Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Save this PDF as:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások"

Átírás

1 Megoldások 1. Számítsd ki a következő emeletes törtek pontos értékét! Az emeletes törteket belülről kifelé haladva bontjuk ki: egy számot egy törttel úgy osztunk, hogy a számot szorozzuk a tört reciprokával. Ezek alapján a megoldások: a) b) Határozd meg, hogy a következő algebrai kifejezések közül, melyek egy tagúak; többtagúak; algebrai törtek; algebrai egészek; egyneműek egymással? Határozd meg a kifejezések együtthatóit! a+b c c x 7x + 8y 7 ab xy 7 9 2a 8b 11 a 2 y A fogalmak alapján a megoldások a következők: Algebrai egészek: 7x + 8y 7 ab xy 7 9 2a 8b 11 Algebrai törtek: a+b c c x a 2 y Egytagú kifejezések: a+b c c x ab xy 7 9 2a 8b 11 Többtagú kifejezések: 7x + 8y 7 a 2 y Egynemű kifejezések: ab a 8b 11 Együtthatók: és és 2 1

2 3. Határozd meg a következő polinomok fokszámát! 6a 9 b 7 2x + 3xy 4xyz 10xy y 2 z xy 2 z 3 A fogalmak alapján a megoldások a következők: 6a 9 b x + 3xy 4xyz 3 (a tagok fokszáma: 1; 2; 3) 10xy y 2 z xy 2 z 3 8 (a tagok fokszáma: 8; 4; 6) 4. Határozd meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét a megadott helyeken! a) 10xy 3z, ha x 0, 2; y 2 ; z 7 b) x + y z z 3x+1, ha x 2; y 3; z 4 2 y Helyettesítsük az adott kifejezésbe a változók értékeit: a) 10 (0,2) 2 3 (7) b) (2) Végezz összevonást a következő kifejezésekben! a 2 + 2ab + 3a 2 ab a + a 2 b + 4ab 2 b + 11a 2 b ab 2 + 3b 3 Vonjuk össze az egynemű tagokat: a 2 + 2ab + 3a 2 ab 4a 2 3ab a + a 2 b + 4ab 2 b + 11a 2 b ab 2 + 3b 3 3b 3 + 3ab a 2 b + a b 2

3 6. Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) (2a + 3b) + (a b + 3) b) ( 1 2 x y 1 z) ( 2 3 x 1 2 y z) c) 4a 2 2ab b 2 (a 2 + b 2 2ab) + (3a 2 ab + b 2 ) d) ( 2 3 x3 3x 2 y xy2 2y 3 1) (3x y3 1 3 x2 y 2xy 2 ) e) 9a 2 + [7a 2 2a (a 2 3a)] f) 3a {2c [6a (c b) + c + (a + 8b 6c]} Először bontsuk fel a zárójeleket: ha a zárójel előtt negatív szerepel, akkor (1) gyel szorozzuk a zárójelben levő tagokat. Ezt követően vonjuk össze az egynemű kifejezéseket. a) (2a + 3b) + (a b + 3) 2a 3b + a b + 3 a 4b + 8 b) ( 1 2 x y 1 z) ( 2 3 x 1 2 y z) 1 2 x y 1 z x y 1 4 z 7 6 x y 9 20 z c) 4a 2 2ab b 2 (a 2 + b 2 2ab) + (3a 2 ab + b 2 ) 4a 2 2ab b 2 + a 2 b 2 + 2ab + 3a 2 ab + b 2 8a 2 b 2 ab d) ( 2 3 x3 3x 2 y xy2 2y 3 1) (3x y3 1 3 x2 y 2xy 2 ) 2 3 x3 3x 2 y xy2 2y 3 1 3x y x2 y + 2xy x3 2 y3 8 3 x2 y xy2 1 3 e) 9a 2 + [7a 2 2a (a 2 3a)] 9a 2 + (7a 2 2a a 2 + 3a) 9a 2 + (6a 2 + a) 9a 2 + 6a 2 + a 1a 2 + a 3

4 f) 3a {2c [6a (c b) + c + (a + 8b 6c]} 3a [2c (6a c + b + c + a + 8b 6c)] 3a [2c (7a + 9b 6c] 3a (2c 7a 9b + 6c) 3a (7a 9b + 8c) 3a + 7a + 9b 8c 10a + 9b 8c 7. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 7 3 ( 3 2 ) (2) ( 2 9 )2 0, 1 4 1, 63 0 Alkalmazzuk a hatványozás definícióját pozitív, illetve negatív egész kitevőjű hatványokra ( 3 2 ) (2) 4 (2) (2) (2) (2) (1) ( 2 9 )2 ( 9 2 ) ,1 4 ( 1 10 )4 ( 10 1 ) , Döntsd el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis! A: A negatív egész számok hatványai lehetnek pozitív és negatív értékek is. B: Az egész számok minden egész kitevőjű hatványa egész. C: Összeszorozva 1000 től 1000 ig az egész számokat az eredmény negatív lesz. A megoldások a következők: I; H; H. 4

5 9. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! (3 2 ) (22 3) 4 ( 2 ) (3 2 ) 1 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait (3 3 ) (2 2 3) 4 (2 2 ) ( 2 ) (3 2 ) 1 32 (1) (2) Döntsd el számológép használata nélkül, hogy melyik kifejezés értéke nagyobb? 2 2 vagy ( 1 2 ) vagy vagy 12 8 ( ) 6 vagy (2 10 ) vagy vagy Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. 2 2 ( 1 2 )2 1 4 ( 1 2 ) > ( 1 2 ) (1 + 3) < (2 3) (2 2 3) > 12 8 ( ) 6 (2 6 ) ( 6 ) (2 10 ) ( 2 ) ( ) 6 < (2 3 ) 2

6 < < Számítsd ki számológép használata nélkül a következő kifejezések értékét! ( 3 ) 8 ( 3 7 ) (3 6 ) 11 (2 3 ) 4 ( 1 2 ) ( 1 4 ) (100 4 ) : Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. ( 3 ) 8 ( 3 7 ) (3 6 ) (2 3 ) 4 ( 1 2 ) ( 1 4 )3 8 1 (2 2 ) 3 (2 3 ) ( 2) (100 4 ) (103 3 ) [(10 2 ) 4 ] : ( ) ( )

7 12. Végezd el az alábbi műveleteket! (Az eredményeket pozitív kitevőkkel add meg!) (x 2 y 3 z 4 ) 3 : (x 3 yz 2 ) 3 ( a2 bc 3 3 x 2 y 3) ( a3 b 2 c 2 1 ) x 2 y 3 ( 2p3 q 2 r 3 4 ) x y 1 : ( p1 q 2 r 2 2 ) 4x 2 y 3 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. (x 2 y 3 z 4 ) 3 : (x 3 yz 2 ) 3 x6 y 9 z 12 x 9 y 3 z 6 x 1 y 12 z 18 z18 x 1 y 12 ( a2 bc 3 x 2 y 3)3 ( a3 b 2 c 2 ) 1 a x 2 y 6 b 3 c 9 x 2 y 3 a6 b 3 c 9 x 6 x2 y 3 b 2 c 2 a3 b c 11 x 8 3 x 6 y 9 a 3 b 2 c 2 y 9 a 3 y 6 ( 2p3 q 2 r 3 x y 1 )4 : ( p1 q 2 r 2 4x 2 y 3 )2 16p 12 q 8 r 12 p10 q 4 r 8 x 16 y 2 p10 q 4 x 16 y 2 r 8 x 20 y 4 : ( 4x2 y 3 p 1 q 2 r 2)2 16p12 q 8 r 12 p2 q 4 r 4 x 20 y 4 16x 4 y Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 3x 2 y (2 + x 4y 3 + xy) b) (d 3 d 2 + d 1) (d + 1) c) 2a 2 a (b 2a) + 4a (3a b) d) (a 3) (a + 4) (a 2) (a + ) e) (x 1) (x + 2) (3 4x) Szorozzunk meg minden tagot minden taggal, majd vonjuk össze az egynemű kifejezéseket. a) 3x 2 y (2 + x 4y 3 + xy) 6x 2 y + 3x 3 y 12x 2 y 4 + 3x 3 y 2 b) (d 3 d 2 + d 1) (d + 1) d 4 d 3 + d 3 d + d 3 d 2 + d 1 d 4 1 c) 2a 2 a (b 2a) + 4a (3a b) 2a2 ab + 2a 2 12a 2 + 9ab 8a 2 + 4ab 7

8 d) (a 3) (a + 4) (a 2) (a + ) a 2 + 4a 3a 12 (a 2 + a 2a 10) a 2 + 4a 3a 12 a 2 a + 2a a 2 e) (x 1) (x + 2) (3 4x) (x 2 + 2x x 2) (3 4x) (x 2 + x 2) (3 4x) 3x 2 + 3x 14. Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezést, majd számold ki a helyettesítési értéket, ha x 3 és y 2! xy 2 {4x 3 [2x 2 y + 3 (2x y) (x 2 + xy y 3 ) (3y 4 6xy 3 )] + x 2 y} Először bontsuk fel a zárójeleket, majd vonjuk össze az egynemű kifejezéseket. Ezt követően a feladatban szereplő értékeket helyettesítsük be a változók helyére. xy 2 {4x 3 [2x 2 y + 3 (2x y) (x 2 + xy y 3 ) (3y 4 6xy 3 )] + x 2 y} xy 2 [4x 3 (2x 2 y + 6x 3 + 6x 2 y 6xy 3 3x 2 y 3xy 2 + 3y 4 3y 4 + 6xy 3 ) + x 2 y] xy 2 [4x 3 (x 2 y + 6x 3 3xy 2 ) + x 2 y] xy 2 (4x 3 x 2 y 6x 3 + 3xy 2 + x 2 y) xy 2 (10x 3 + 3xy 2 ) xy x 3 3xy 2 10x 3 2xy 2 Ezek alapján a megoldás: (2) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! : [( ) 3 72 ] ( ) A műveleti sorrendnek megfelelően számítsuk ki a kifejezések értékét: törtet törttel úgy osztunk, hogy szorzunk az osztó reciprokával :

9 [( ) 3 72 ] ( ) [( ) 72 3 ] ( )1 + 7 ( ) ( 1 6 )1 + 7 (6 ) ( 6) Számítsd ki számológép használata nélkül a következő kifejezések pontos értékét! Vezessük be az x és az y jelöléseket x (x + 4) (x + 2) (x 2) x2 + 4x x x (x + 1) 4 x (x + 1) (x + 1) (x 1) x 2 + x x x + 1 x (y + 1) (2y + 1) y y (2y + 1) + y + 1 2y2 + y + 2y + 1 y 2y 2 + y + y + 1 2y2 + 2y + 1 2y 2 + 2y Végezd el a következő műveleteket! (2 + x) 2 (a 3) 2 (x + 4y) 2 (7a 10b) 2 (x + 3y) (x 3y) (2a 6b) (6b + 2a) ( 2 3 x7 + y) (y 2 3 x7 ) (4 a) 3 (6x + ) 3 (2a + b) 3 (4x 3y) 3 Alkalmazzuk a nevezetes azonosságokat. (2 + x) x + x x + x 2 (a 3) 2 (a) 2 2 a a 2 30a + 9 (x + 4y) 2 x 2 2 x 4y + (4y) 2 x 2 8xy + 16y 2 9

10 (7a 10b) 2 (7a) 2 2 7a 10b + (10b) 2 49a 2 140ab + 100b 2 (x + 3y) (x 3y) x 2 (3y) 2 x 2 9y 2 (2a 6b) (6b + 2a) (2a 6b) (2a + 6b) (2a) 2 (6b) 2 4a 2 36b 2 ( 2 3 x7 + y) (y 2 3 x7 ) (y x7 ) (y 2 3 x7 ) y 2 ( 2 3 x7 ) 2 y x14 (4 a) a a 2 a a + 12a 2 a 3 (6x + ) 3 (6x) (6x) x x x x + 12 (2a + b) 3 (2a) 3 3 (2a) 2 b + 3 2a b 2 b 3 8a 3 12a 2 b + 6ab 2 b 3 (4x 3y) 3 (4x) (4x) 2 3y + 3 4x (3y) 2 + (3y) 3 64x x 2 y + 108xy y Add meg a hiányzó tagokat úgy, hogy teljes négyzeteket kapjunk! a b 2 x 2 10xy ab + 49b x y2 a 6 b 4 2a 3 b x x6 + Pótoljuk ki a kifejezéseket úgy, hogy nevezetes azonosságokat kapjunk. a b 2 a 2 + 6ab + 9b 2 (a + 3b) 2 x 2 10xy + x 2 10xy + 2y 2 (x y) ab + 49b 2 4a ab + 49b 2 (2a + 7b) x y x xy y2 ( 1 6 x 2 7 y)2 10

11 a 6 b 4 2a 3 b 3 + a 6 b 4 2a 3 b 3 + b 2 (a 3 b 2 b) x x x x x4 ( 4 x4 3 7 x2 ) Végezd el a következő műveleteket! (a b) 4 (x + y) (3a + b + c) 2 (x 2y z) 2 8a 3 b 3 x y 3 a 6 b 6 x + 32y (a 2n+1 b n3 ) (a 2n+1 + b n3 ) (2 n n k ) 2 (3 + x + y) (3 x y) Alkalmazzuk a nevezetes azonosságokat. (a b) 4 a 4 4a 3 b + 6a 2 b 2 4ab 3 + b 4 (x + y) x + x 4 y + 10x 3 y x 2 y 3 + xy 4 + y (3a + b + c) 2 9a 2 + b 2 + 2c 2 + 6ab + 30ac + 10bc (x 2y z) 2 x 2 + 4y 2 + z 2 4xy 2xz + 4yz 8a 3 b 3 (2a b) (4a 2 + 2ab + b 2 ) x y 3 (x + y) (x 2 xy + 2y 2 ) a 6 b 6 (a b) (a + a 4 b + a 3 b 2 + a 2 b 3 + ab 4 + b ) x + 32y (x + 2y) (x 4 2x 3 y + 4x 2 y 2 8xy y 4 ) (a 2n+1 b n3 ) (a 2n+1 + b n3 ) (a 2n+1 ) 2 (b n3 ) 2 a 4n+2 b 10n6 (2 n n k ) 2 (2 n ) n n k + (n k ) 2 2 2n 2 n+1 n k + n 2k 11

12 (3 + x + y) (3 x y) (3 + x + y) [3 (x + y)] 3 2 (x + y) 2 9 x 2 2xy y Alakítsd teljes négyzetté a következő kifejezéseket! x 2 + 4x 11 x 2 12x x 2 12x x x 8 x 2 20x 3 3x 2 30x + 79 A teljes négyzetté alakításhoz az első két tagot kell átalakítanunk nevezetes azonossággá, de mivel az azonosság alapján adódna egy harmadik tag is, ezért azt utólag le kell vonnunk ahhoz, hogy a kifejezés értéke ne változzon. Egy másik megoldás lehet a TEVE (teszek veszek) - szabály alkalmazása: az első két tagot kiegészítjük egy harmadikkal úgy, hogy a három tag egy nevezetes azonosságot alkosson, majd a beillesztett tagot le is vonjuk, hogy a kifejezés értéke ne változzon. Abban az esetben, ha az x 2 együtthatója nem négyzetszám, akkor először azt célszerű kiemelni az első két tagból, majd a megmaradó két tagot kell átalakítanunk az előzőkhöz hasonlóan. Ezek alapján a megoldások: x 2 + 4x 11 (x + 2) (x + 2) 2 1 x 2 12x + 43 (x 6) (x 6) x 2 12x x 2 12x (2x 3) TEVE - szabály 2x x 8 2 (x 2 + 8x) 8 2 [(x + 4) 2 16] 8 2 (x + 4) (x + 4) 2 40 x 2 20x 3 (x 2 4x) 3 [(x 2) 2 4] 3 (x 2) (x 2) x 2 30x (x 2 10x) (x 2 10x + 2 2) [(x ) 2 2] (x ) (x ) TEVE - szabály 12

13 21. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! x 2 10x x 2 169y 2 a 3 + 6a a a + 10ab 4a 2 + 2a 8x x x 3 4xy 4 12xy 24ay + 72ab 36bx 49 28a + 4a a b10 12x 3 7x 2 y + 1xy 2 y 3 18a b 6a 3 b a 4 b 3 8a 2 b 3 12a 4 b a 6 b 1 x 8 4ax + 7b 28a bx A kifejezések szorzattá alakításához alkalmazzuk a következőket: nevezetes azonosság, kiemelés, teljes négyzetté alakítás. x 2 10x + 2 (x ) 2 (x ) (x ) 49 28a + 4a 2 (7 2a) 2 (7 2a) (7 2a) 121x 2 169y 2 (11x 13y) (11x + 13y) 1 16 a b10 ( 1 a b ) ( 1 a b ) a 3 + 6a a + 8 (a + 2) 3 (a + 2) (a + 2) (a + 2) 12x 3 7x 2 y + 1xy 2 y 3 (x y) 3 (x y) (x y) (x y) 12a + 10ab 4a 2 + 2a 2a (6 + b 2a + a 4 ) 18a b 6a 3 b a 4 b 3 6a 3 b (3a 2 b + 2ab 2 ) 8x x (4x x + 9) 2 (2x + 3) 2 2 (2x + 3) (2x + 3) 8a 2 b 3 24a 4 b a 6 b 2a 2 b (4b 2 12a 2 b + 9a 4 ) 2a 2 b (2b 3a 2 ) 2 13

14 600x 3 4xy 4 6x (100x 2 9y 4 ) 6x (10x 3y 2 ) (10x + 3y 2 ) 1 x 8 (1 x 4 ) (1 + x 4 ) (1 x 2 ) (1 + x 2 ) (1 + x 4 ) (1 x) (1 + x) (1 + x 2 ) (1 + x 4 ) 12xy 24ay + 72ab 36bx 12y (x 2a) 36b (x 2a) (x 2a) (12y 36b) 12 (x 2a) (y 3b) 4ax + 7b 28a bx 4ax 28a + 7b bx 4a (x 7) b (x 7) (x 7) (4a b) 22. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! x 3 8 x x x x + 7 a 3 + 6a a a 3 + b 3 a 2 16a + 1 x x 4 2x 3 2x 2 2x 3 A kifejezések szorzattá alakításához alkalmazzuk a következőket: nevezetes azonosság, kiemelés, teljes négyzetté alakítás. x 3 8 (x 2) (x 2 + 2x + 4) 1000a 3 + b 3 (10a + b) (100a 2 10ab + b 2 ) x x + 11 (x + 6) (x + 6) 2 2 (x + 6 ) (x ) (x + 1) (x + 11) a 2 16a + 1 (a 8) (a 8) 2 49 (a 8 7) (a 8 + 7) (a 1) (a 1) 6x x + 7 6x 2 + 6x + 7x + 7 6x (x + 1) + 7 (x + 1) (x + 1) (6x + 7) 14

15 x x 4 + 4x x 2 (x 2 + 2) 2 4x 2 (x x) (x x) a 3 + 6a a + 6 a 3 + 6a 2 + 9a + 2a + 6 a (a 2 + 6a + 9) + 2 (a + 3) a (a + 3) (a + 3) (a + 3) [a (a + 3) + 2] (a + 3) (a 2 + 3a + 2) (a + 3) (a 2 + 2a a + 1) (a + 3) [(a + 1) 2 + a + 1] (a + 3) [(a + 1) (a )] (a + 3) (a + 2) (a + 1) x 4 2x 3 2x 2 2x 3 x 4 2x 3 3x 2 + x 2 2x 3 x 2 (x 2 2x 3) + x 2 2x 3 (x 2 2x 3) (x 2 + 1) (x 2 2x + 1 4) (x 2 + 1) [(x 1) 2 4] (x 2 + 1) [(x 1 2)(x 1 + 2)] (x 2 + 1) (x 3) (x + 1) (x 2 + 1) 23. Határozd meg a következő törtek értelmezési tartományát! x 2 7a x y x 7 a x 3y ab a + 2b 10 9x 2 30xy + 2y 2 4a 2 81 A törtek nevezőjében szereplő kifejezések értéke nem lehet 0, mert a 0 val való osztást nem értelmezzük. Amennyiben a nevezőben bonyolultabb kifejezés szerepel, akkor célszerű (ha lehet) azt szorzattá alakítani. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, ezért ezt követően a szorzat tényezői nem lehetnek egyenlők 0 - val. a 0 a x 3y 0 x 3y 0 a R ab a + 2b 10 a (b ) + 2 (b ) (b ) (a + 2) 0 b 0 b a a 2 1

16 9x 2 30xy + 2y 2 (3x ) 2 (3x ) (3x ) 0 3x 0 x 3 4a 2 81 (2a 9) (2a + 9) 0 2a 9 0 a 9 2 2a a Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! 143r 4 s 8 t 66r s 2 t 3 a a + 1b ik 3 i 2 k ik 2 y + 1 6y + 18 b a a b in jn 1jm 1im 2x + 4 x 2 4 3a 2 3 7a + 7 c 2 6c c 9x xy + 9y 2 12x 2 12y 2 4x 3 y + 4xy 3 x 4 y 4 ax + bx ay by 7x 7y Először (ha lehet) alakítsuk szorzattá a számlálóban és nevezőben levő kifejezést is. Ezt követően a számlálóban és nevezőben megjelenő közös tényezőkkel egyszerűsíthetjük a törtet. Ezek alapján a megoldások: 143r 4 s 8 t 13s6 t 2 13r1 s 6 t 2 66r s 2 t 3 6r 6 a a a a + 1b (a + 3b) a + 3b ik 3 ik3 k2 i 2 k ik 2 ik (i k) i k 16

17 y + 1 6y + 18 (y + 3) 6 (y + 3) 6 b a a b (a b) a b 1 in jn 1jm 1im n (i j) n (j i) n 1m (j i) 1m (j i) 3m 2x + 4 x (x + 2) (x 2) (x + 2) 2 x 2 3a (a2 1) 3 (a 1) (a + 1) 3 (a 1) 7a (a + 1) 7 (a + 1) 7 c 2 6c c (c 3)2 3 (3 c) (c 3) (c 3) 3 (c 3) c 3 c 3 3 c x xy + 9y 2 9 (x2 + 2xy + y 2 ) 12x 2 12y 2 12 (x 2 y 2 ) 9 (x + y) 2 12 (x y) (x + y) 3 (x + y) 4 (x y) 4x 3 y + 4xy 3 x 4 y 4 4xy (x2 + y 2 ) (x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 4xy x 2 y 2 ax + bx ay by 7x 7y x (a + b) y (a + b) 7 (x y) (a + b) (x y) 7 (x y) a + b 7 Az értelmezési tartomány vizsgálatát mindig az egyszerűsítés előtt kell végrehajtanunk, mert az egyszerűsítés után bővülhet az alaphalmaz. 2x + 4 x 2 4 Egyszerűsítés előtt: x x 2 és x 2 Egyszerűsítés után: x 2 17

18 2. Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! a 3 a 2 a + 1 a 4 2a x 1 2 x 2 1 3x x x 2 + 3x + 2 x 2 + 4x + 3 (x 2 y 2 z 2 2yz) (x+yz) (x+y+z) (x 2 +z 2 2xzy 2 ) 3a + 6 a (a+1) (a 8 +a 4 +1) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) Először (ha lehet) alakítsuk szorzattá a számlálóban és nevezőben levő kifejezést is. Ezt követően a számlálóban és nevezőben megjelenő közös tényezőkkel egyszerűsíthetjük a törtet. a 3 a 2 a + 1 a 4 2a a2 (a 1) (a 1) (a 2 1) 2 (a 1) (a2 1) (a 2 1) (a 2 1) (a 1) (a 2 1) (a 1) (a + 1) (a 2 1) 1 a + 1 x 2 + 3x + 2 x2 + 2x + x + 2 x (x + 2) + (x + 2) x 2 + 4x + 3 (x + 2) (x + 2) 2 1 (x + 2) (x + 1) (x + 2 1) (x ) (x + 2) (x + 1) (x + 1) (x + 3) x + 2 x + 3 3a (a + 2) 3 a (a + 2) (a 2 2a + 4) a 2 2a + 4 x 1 2 x x 1 1 x x 2 1 x 2 x x + 3x 1 1 x 1 x x 1 x 1 1 x 1 (x1) 1 (x1) (x+1) 1 + x (x1) (x+1) x + 1 (x+1) 2 (x 2 y 2 z 2 2yz) (x+yz) [x2 (y 2 +2yz+z 2 )] (x+yz) [x2 (y+z) 2 ] (x+yz) (x+y+z) (x 2 +z 2 2xzy 2 ) (x+y+z) [x 2 2xz+z 2 y 2 ] (x+y+z) [(xz) 2 y 2 ] [x(y+z)] [x+(y+z)] (x+yz) (x+y+z) (xzy) (xz+y) (xyz) (x+y+z) (x+yz) (x+y+z) (xzy) (xz+y) 1 (a+1) (a 8 +a 4 +1) (a+1) (a8 +2a 4 +1a 4 ) (a+1) [(a4 2 +1) a 4 ] (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a+1) (a4 +1a 2 ) (a 4 +1+a 2 ) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a+1) (a4 +2a 2 +1a 2 ) a 2 +a+1 (a+1) [(a2 +1) 2 a 2 ] a 2 +a+1 (a+1) (a2 +1a) (a 2 +1+a) a 2 +a+1 (a + 1) (a 2 a + 1) a

19 26. (K) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! (4a+b) (4ab) (3a+2b) 2 + b 2 7a12b (3a1) (2a+1) 2 3a (2a+3) a (2x+1) 2 (3x1) (3x+1)+x 2 2x+1 A zárójelek felbontása és a lehetséges összevonások után végezzük el az egyszerűsítéseket. (4a+b) (4ab) (3a+2b) 2 + b 2 7a12b 16a2 b 2 (9a 2 +12ab+4b 2 )+b 2 7a12b 16a2 b 2 9a 2 12ab4b 2 +b 2 7a12b 7a2 12ab 7a12b a (7a12b) a 7a12b (3a1) (2a+1) 2 3a (2a+3) a (3a1) (4a2 +4a+1) 3a (4a 2 +12a+9) a 12a3 +12a 2 +3a4a 2 4a112a 3 36a 2 27a+1 28a 28a2 28a 28a 28a (a+1) 28a a + 1 (2x+1) 2 (3x1) (3x+1) + x 2 2x+1 4x2 +4x+1(9x 2 1)+x 2 2x+1 4x2 +4x+19x 2 +1+x 2 2x+1 4x+2 2 (2x+1) 2 2x+1 2x (E) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! (ab) 3 3ab (a+b) + b 3 a 6b (ab) (a 2 +ab+b 2 ) + b 3 a 2 a 1 A zárójelek felbontása és a lehetséges összevonások után végezzük el az egyszerűsítéseket. (ab) 3 3ab (a+b) + b 3 a6b a3 3a 2 b+3ab 2 b 3 3a 2 b3ab 2 +b 3 a6b a3 6a 2 b a6b a2 (a6b) a6b a 2 (ab) (a 2 +ab+b 2 ) + b 3 a 2 a1 a3 b 3 +b 3 a 2 a1 a3 a 2 a1 a (a1) a a1 19

20 28. Végezd el a törtek osztását, illetve szorzását a változók lehetséges értékeinél! (2x) 2 y (x 4 3 ) 6 x x 7 (x 2 y 6 ) 9 6a 3 10ab8 b2 3a : 4b11 x 2 6x + 9 x2 + 6x + 9 a 6 x 2 9 x 2 + 3x x 2 2 : x2 + x x 2 2x x 4 4x 2 x 2 20y 2 x 10y : 3x + 6y 9x 2ab a 2 6b + 3a 4b 2 a2 a A műveletek elvégzéséhez először az osztást át kell írnunk szorzássá. Ezt követően a nevezőben és a számlálóban levő kifejezést is (ha lehet) alakítsuk szorzattá. Végül a szorzások elvégzése előtt, egyszerűsítsünk a megfelelő tényezőkkel. Ezek alapján a megoldások: (2x) 2 y (x 4 3 ) 4x2 y 6 x x 7 (x 2 y 6 ) 9 6x 12 x 12 x 18 y 4 4x10 y 2x4 y 2y 6x 6 y 4 3 3x 4 6a 3 10ab8 b2 3a : 4b11 a 6 6a3 10ab8 a 6 60a10 b 8 a b2 3a 4b 11 60a b 9 b x 2 6x + 9 x 2 9 x2 + 6x + 9 x 2 + 3x (x 3)2 (x 3) (x + 3) (x + 3)2 x 3 x (x + 3) x x 2 2 : x2 + x x2 2 x4 4x 2 (x ) (x + ) x2 (x 2 4) (x) (x+) x2 (x2) (x+2) x 2 2x x 4 4x 2 x 2 2x x 2 + x x (x 2) x (x + ) x (x 2) x (x + ) (x ) (x + 2) 1 x 2 3x 10 x 2 20y 2 x 10y : 3x + 6y 9x (x2 4y 2 ) 3x + 6y 9x x 10y (x 2y) (x + 2y) 3 (x + 2y) 9x (x 2y) 3x 2ab a 2 6b + 3a 4b 2 a2 a a (2b a) (2b a) (2b + a) 3 (2b + a) a 3 20

21 29. Végezd el a törtek osztását, illetve szorzását a változók lehetséges értékeinél! 3a 2 6ab a 2 + 4b 2 a 4 16b 4 1 (a 2b) 2 x 2 x 2 x 2 + 2x + 1 2x + 2 x 2 a 2 10a + 2 a 2 3a 10 : a 4a + 8 x x x + 9 x 2 + 6x + 9 3a a a a + 1 : a3 9a 10a 30 a 2 a + 6 a 2 + 7a + 12 a 2 + 3a a 2 4a 4 A műveletek elvégzéséhez először az osztást át kell írnunk szorzássá. Ezt követően a nevezőben és a számlálóban levő kifejezést is (ha lehet) alakítsuk szorzattá. Végül a szorzások elvégzése előtt, egyszerűsítsünk a megfelelő tényezőkkel. Ezek alapján a megoldások: 3a 2 6ab a 4 16b 4 3a (a 2b) a 2 + 4b 2 1 (a 2b) 2 (a2 4b 2 ) (a 2 + 4b 2 ) a 2 + 4b 2 1 (a 2b) 2 3a (a 2b) (a 2b) (a + 2b) (a2 + 4b 2 ) a (a + 2b) a2 + 2ab a 2 + 4b 2 1 (a 2b) 2 x 2 x 2 2x + 2 x2 1 x 1 2 (x + 1) (x1) (x+1)(x+1) 2 (x+1) (x+1) (x2) 2 (x+1) 2 x 2 + 2x + 1 x 2 (x + 1) 2 x 2 (x+1) 2 x2 (x+1) 2 x2 a 2 10a+2 a 2 3a10 : a 4a+8 (a)2 4 (a+2) a 2 4 3a6 a (a) 2 4 (a+2) (a)2 4 (a+2) 4 (a2) (a+2)3 (a+2) a (a+2) (a) a x x + 9 (x + 3) (x2 3x + 9) 3 (4x + 3) 3 (x2 3x + 9) 3x2 9x x + 6 x 2 + 6x (4x + 3) (x + 3) 2 2 (x + 3) 2x + 6 3a a a a + 1 : a3 9a 3a (a2 + 6a + 9) 10a 30 (a + 3) 10 (a 3) a (a 3) (a + 3) 3a (a + 3)2 (a + 3) 10 (a 3) a (a 3) (a + 3) 6 a 2 a + 6 a 2 + 7a + 12 a 2 + 3a a2 2a 3a + 6 a 2 4a 4 a 2 + 3a + 4a + 12 a (a + 3) a (a 2) 3 (a 2) a (a + 3) (a 2) 2 a (a + 3) + 4 (a + 3) (a 2) 2 (a 3) (a 2) (a + 4) (a + 3) a (a + 3) a (a 3) (a 2) 2 (a + 4) (a 2) 21 a2 3a a 2 2a 8

22 30. Végezd el a törtek összeadását, illetve kivonását a változók lehetséges értékeinél! 2a + 4 2a 3 a + 11c 7b 6b 2 c 18a 2 b 12ac 2 2a a + 3 a 1 a b + a a 2a 3b a 2 b a + b a b 4a b ab 2 a + 2b b a A műveletek elvégzéséhez először közös nevezőre kell hoznunk a törteket, amihez a nevezők legkisebb közös többszörösét célszerű választanunk. A közös nevező meghatározásához célszerű (ha lehet) szorzattá alakítanunk a nevezőket. A közös nevező megállapítása után a törteket bővítsük úgy, hogy a nevezőjük a közös nevező legyen: amennyivel szorozzuk a nevezőt, annyival szorozzuk a számlálót is. Végül vonjuk össze a törteket, s a kapott törtet hozzuk a legegyszerűbb alakra. Összevonáskor figyelni kell arra, hogy a törtvonás zárójelet helyettesít, vagyis ha valamelyik tört előtt negatív jel szerepel, akkor a számlálóban levő kifejezést zárójelbe kell tennünk. Abban az esetben, ha két tag különbségére lenne szükségünk a közös nevezőhöz, de a két tört nevezőjében fordított sorrendben állnak a tagok, akkor ki kell emelnünk az egyik nevezőből (1) et. Ezt követően, ha a (1) szeres szorzót el szeretnénk hagyni a nevezőből, akkor a tört előjelét kell megváltoztatnunk. Ezek alapkán a megoldások: 2a + 4 2a 3 (2a + ) 20 4 (2a 3) 20 10a + 2 (8a 12) 20 10a + 2 8a a a a b 10a ab 10a (a b) 10a a + b 9a + b 2a 3b a 2 b 4a b ab 2 b (2a 3b) a 2 b 2 a (4a b) a 2 b 2 2ab 3b2 4a 2 + ab a 2 b 2 4a2 3b 2 + 7ab a 2 b 2 a 6b 2 c + 11c 18a 2 b 7b 12ac 2 30a3 c 36a 2 b 2 c bc3 36a 2 b 2 c 2 21ab3 30a3 c + 22bc 3 21ab 3 36a 2 b 2 c 2 36a 2 b 2 c 2 a a a 1 a a (a + 3) a (a 1) + ( a) (a 1) a (a 1) a2 + 3a + a a 2 + a a (a 1) 9a a (a1) a + b a b a + 2b b a a + b a + 2b a + b a + 2b + a b (a b) a b a b a + b + a + 2b 2a + 3b a b a b 22

23 31. Végezd el a törtek összeadását, illetve kivonását a változók lehetséges értékeinél! x + 1 x 2 x x + 2 2x x x 1 x 2 2a + 1 a + 1 a 2 + 3a2 1 a 1 a 2 1 3x + 1 x + 2x 3 x + 1 x 2 x p p 3 2p + 6 2p 2 12p x 3 3 2x 4 + x 3 + x 10x x 4x 2 9 x x 2x 1 x x x 2 1 4a 2 3a + a a + a 2 + a a a 2 18b 2 2a 2 + 3ab 4ab 6b 2 A közös nevező meghatározásához célszerű (ha lehet) szorzattá alakítanunk a nevezőket. x + 1 x + 2 x + 1 x (x + 1) (x + 1) x (x + 2) x 2 x 2x 2 2 x (x 1) 2 (x 1) (x + 1) 2x (x 1) (x + 1) 2x (x 1) (x + 1) 2 (x2 + 2x + 1) (x 2 + 2x) 2x (x 1) (x + 1) 2x2 + 4x + 2 x 2 2x 2x (x 1) (x + 1) x2 + 2x + 2 2x (x 2 1) x x 1 x (1 x) x (1 x) (1 + x) 4 (1x) (1+x) (1x) (1+x) 6 (1+x) + 2+2x (1x) (1+x) (1x) (1+x) 4 4x2 (6 + 6x) x (1 x) (1 + x) 4x2 4x 4x (x + 1) 4x 4x (1 x) (1 + x) (1 x) (1 + x) 1 x (x 1) 4x x 1 2a a 2 3a2 1 (2a + 1) (a 1) (a 2) (a + 1) + 3a 2 1 a + 1 a 1 a 2 1 (a + 1) (a 1) (a 1) (a + 1) (a 1) (a + 1) 2a2 2a + a 1 + a 2 + a 2a 2 (3a 2 1) (a 1) (a + 1) 2a 2 (2) (a + 1) (a 1) (a + 1) (a 1) (a + 1) 2 a (1 a) 1 a 3x + 1 x + 2x 3 x 2 x + 1 x 1 (3x + 1) (x + 1) (x 1) (2x 3) (x 1) x (x 2) (x + 1) x + x (x + 1) (x 1) x (x + 1) (x 1) x (x + 1) (x 1) 3x3 3x + x x 3 2x 2 3x 2 + 3x (x 3 + x 2 2x 2 2x) x (x + 1) (x 1) 7x2 + 2x 1 x (x + 1) (x 1) 23

24 1 3 p 1 3 p p 3 2p + 6 2p 2 12p + 18 p 3 2 (p + 3) 2 (p 3) 2 2 (p + 3) (p 3) 3 (p 3) 2 p (p + 3) 2 (p + 3) (p 3) 2 2 (p + 3) (p 3) 2 2 (p + 3) (p 3) 2 2p2 18 (3p 2 18p + 27) (p 2 + 3p) 2 (p + 3) (p 3) 2 2p2 + 1p 4 2 (p + 3) (p 3) 2 4x x 3 + x 10x2 (4x 3) (3 + 2x) 3 2x 3 + 2x 4x 2 9 (3 2x) (3 + 2x) (4 + x) (3 2x) 3 + x 10x2 (3 + 2x) (3 2x) (94x 2 ) 12x + 8x2 9 6x (12 8x + 1x 10x 2 ) x 10x 2 (3 + 2x) (3 2x) 8x 2 18 (3 + 2x) (3 2x) 2 (2x + 3) (2x 3) (2x + 3) (2x 3) 2 x+3 + 2x1 x3 x+3 + 2x1 1+x 1x x 2 1 x+1 (x1) x3 (x+1) (x1) (x+3) (x1) (2x1) (x+1) (x+1) (x1) (x+1) (x1) x3 (x+1) (x1) x2 x + 3x 3 (2x 2 + 2x x 1) (x 3) (x + 1) (x 1) x2 + 1 (x + 1) (x 1) (x2 1) (x + 1) (x 1) (x + 1) (x 1) (x + 1) (x 1) 1 4a 2 3a + a a + 6 4a 2 3a + (1 2a) (a 1) 6 (a2 + a + 1) a 2 + a a (a 1) (a 2 + a + 1) (a 1) (a 2 + a + 1) (a 1) (a 2 + a + 1) 4a2 3a + (a 1 2a 2 + 2a) (6a 2 + 6a + 6) (a 1) (a 2 + a + 1) 12a 12a (a 1) (a 2 + a + 1) a a (1 a 3 ) 12a 1 a 3 24

25 a 2 18b 2 2a 2 + 3ab 4ab 6b 2 2 (2a + 3b) (2a 3b) a (2a + 3b) 2b (2a 3b) 7ab + 4ab 6b2 (2a 2 + 3ab) 2ab (2a + 3b) (2a 3b) 8ab 6b 2 2a 2 2ab (2a + 3b) (2a 3b) 2 (4ab 3b2 a 2 ) 2ab (2a + 3b) (2a 3b) 4ab 3b2 a 2 ab (4a 2 9b 2 ) 32. Végezd el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél! x 2 4 x + 3 : x 2 x b + b 2 16 (1 9 b + ) a 2 9 a + 2 : (1 a + 2 ) 4x (3 2x ) : x 2x + 1 ( a 3a2 + 1) : (1 a a 2) x 1 1 x (2 + ) ( + 1) 3x 1 7x 3 Vonjuk össze a zárójelben szereplő törteket, majd végezzük el a szorzásokat, illetve osztásokat. x 2 4 : x 2 x + 3 x + 3 (x 2) (x + 2) 2 x x x x + 3 x 2 b + (1 9 ) b + b 2 16 b + (b 4) (b + 4) (b + 9 ) b + b 4 1 b + b + (b 4) (b + 4) b + b + 4 a 2 9 a + 2 : (1 a + 2 ) (a3) (a+3) a+2 : ( a+2 a+2 a+2 ) (a3) (a+3) a+2 : a3 (a3) (a+3) a+2 a + 3 a+2 a+2 a3 ( 3 4x 2x ) : x 2x + 1 4x (3 + 4x + 2 ) 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1 x 2x + 1 x x ( a a + 1 3a2 2a ) : (1 1 a2) : 1 4a2 2a + 1 (1 a) (1 + a) 1 a a a 2 a + 1 (1 2a) (1 + 2a) 1 2a (2 + x 1 ) ( 1 x 6x 2 + x 1 1 x + 7x 3 + 1) 7x 3 6x 2 7x 3 2 (3x 1) 2 3x 1 7x 3 3x 1 7x 3 3x 1 7x 3 3x 1 7x 3 2

26 33. Végezd el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél! x 4 + 2x x 3x x2 4 x x 24 12x ( a a 2 2a 2 2 a + 3 ) 4a2 4 2a ( 1 a ) : ( 1 a + 1 a 1 1 a + 1 ) ( a a + x + x + 10ax a x a 2 x 2) ( a a + x + x a x 2ax a 2 x 2) ( x + 2x 10 x 2x x 2) x x (a + b + a2 + 2ab + b 2 ) : a2 + 2ab + b 2 a b a 2 b 2 2a + 2 ( + a 2 + 2a a 2a + 4 ) 2a + 2 a a (x 2 1) ( ) x 1 x + 1 ( 1 + 2x 1 + x 1 x 2) (1 1) x (a2 3ab a + b + b) : ( a a + b b b a 2ab a 2 b 2) c (16c) c [ + 3+2c 23c ] : c 2 4 2c c+2 c1 c 3 +4c 2 +4c [( 1 x y 2) 1 x 2 +2xy+y (x+y) 3 (1 + 1 xy )] : x y x 3 y 3 Vonjuk össze a zárójelben szereplő törteket, majd végezzük el a szorzásokat, illetve osztásokat x 4 + 2x x 3x x2 4 x x 24 12x 2 1+2x 2 (2+x) x 3 (x2) + 3 x2 6+13x 12 (2x) (2x) (2+x) 3 (1+2x) (2x)+2x (2+x)+4x2 6 (2x) (2+x) 12 (2x) 6+13x 63x+12x6x2 +4x+2x 2 +4x 2 6 (2x) (2+x) 12 (2x) 6+13x 13x+6 6 (2x) (2+x) 12 (2x) 6+13x 2 2+x ( a a + 3 ) 4a2 4 (a + 1) (a + 1) + 6 (a + 3) (a 1) 4 (a 1) (a + 1) 2a 2 2a 2 2 2a (a 1) (a + 1) 3 a2 + 2a (a 2 a + 3a 3) 4 (a 1) (a + 1) 2 (a 1) (a + 1) (a1) (a+1) 4 (a1) (a+1) ( ) : ( 1 1 a a 1 ) : a + 1 a + 1 a 1 a + 1 a 1 a + 1 (a 1) (a + 1) (a 1) (a + 1) 2a (a 1) (a + 1) (a 1) (a +1) 2 a 26

27 ( a a+x + x + 10ax ax a 2 x 2) ( a a+x + x ax 2ax a 2 x 2) a (ax)+x (a+x)+10ax (a x) (a + x) a (ax)+x (a+x)2ax (a x) (a + x) a2 ax + ax + x ax (a x) (a + x) a2 ax + ax + x 2 2ax (a x) (a + x) (a + x)2 (a x) 2 (a x) (a + x) (a x) (a + x) ( x + x 0 x 2x 10 2x x2) ( x + x + 0 ) x x 2x 10 2x + 10 x 2 2 x x2 + 10x + 2 (x 2 10x + 2) (x ) (x + ) x x 20x (x ) (x + ) x x 20 (x + ) x 2 2 (x ) (x + ) x x (a + b + a2 + 2ab + b 2 ) : a2 + 2ab + b 2 a2 ab + ab b 2 + a 2 + 2ab + b 2 (a b) (a + b) a b a 2 b 2 a b (a + b) 2 2a (a + b) a b (a b) (a + b) (a + b) 2 2a ( 2a + 2 a 2 + 2a + a ) 2a a a2 2 (a + 1) 1 (a + 2)2 2 (a + 1) 1 2a + 4 a + 2 a 2a (a + 2) a + 2 a 2a (a + 2) a + 2 a a + 1 a 1 a a a 1 (x 2 1) ( ) (x 1) (x + 1) x + 1 (x 1) + x2 1 x x 1 x + 1 (x 1) (x + 1) ( 1 + 2x 1 + x 1 x 2) (1 1 x + 2x 1) 1 x 1 + x 1 x 1 x (1 x) (1 + x) x (1 x) (1 + x) x x 27

28 ( a2 3ab a + b (ab)2 a+b a + b) : ( a + b b b a (ab) (a+b) a b (ab) 2 2ab a 2 b 2) a2 3ab+ab+b 2 a + b a (ab) + b (a+b) 2ab : (ab) (a+b) c (16c) c [ + 3+2c 23c ] : c 2 4 2c c+2 c1 c 16cc2 (3+2c) (c+2)(23c) (c2) c 3 +4c 2 +4c (c2) (c+2) c (c2 +4c+4) c1 c c2 (c2) (c+2) c (c+2)2 c1 c c (c+2) c1 c2 c c 2 2c c1 3c 1 c [( x 2 y 2) x 2 +2xy+y 2 (x+y) 3 (1 + 1 xy )] : + x 2 x y x 3 y 3 [y y + x x 2 y 2 (x + y) 2 (x + y) 3 xy ] x3 y 3 x y [ y 2 + x 2 + x 2 y 2 (x + y) 2 2 x3y3 ] xy (x + y) 2 x y 2 (x + y) x3y3 x 2 y 2 (x + y) 2 x y xy x y 34. Az a és a b számokra teljesülnek a következő feltételek: a 0; b 0; a b és (a ab ) : ( ab a2 b) (2 b 3a 2b ) 6. Számítsd ki a kifejezés értékét! a b a b 2b 2 a a + b Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: (a ab ) : ( ab a2 b) a b a b (2 b ) a2 ab ab 2b 2 a a b ab ab + b2 : a b a2 2a b 2b2 a a2 2ab a b a b b 2 a2 2a b a2 2ab 2a2 ab 2a2 4ab 2a 2 + ab 3ab 3a 2b2 a b 2 2b 2 2b 2 2b 2 2b Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve a következőt kapjuk: 3a 2b 6. Ebből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: a 4b. Ezek alapján a megoldás: 3a 2b a + b 3 4b 2b 10b 2. 4b + b b 28

29 3. Bizonyítsd be, hogy a páratlan szám! 80a 4a 10 : (2a + 2a 2a ) kifejezés értke minden egész a esetén 2a + Írjuk fel a törtek értelmezési tartományát: a 2 és a 2. Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: 80a : 4a 10 (2a + 2a ) 2a 2a + 80a 2 (2a ) + ) (2a + ) (2a ) (2a ) : [(2a ] (2a ) (2a + ) (2a + ) (2a ) 80a : 4a2 + 20a + 2 (4a 2 20a + 2) 80a (2a ) (2a + ) 2a + 2 (2a ) (2a ) (2a + ) 2 (2a ) 40a Mivel az értelmezési tartománynak minden egész megfelel, illetve a kapott kifejezésben egy páros számhoz adunk hozzá öt, így teljesül az állítás. 36. Tudjuk, hogy a + b és ab 3. Számítsd ki az a 2 + b 2 értékét! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2 2ab (a + b) 2 2ab. Ezek alapján a megoldás: a 2 + b (3) Tudjuk, hogy a b 2 és ab 7. Számítsd ki az a 3 b 3 értékét! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a 3 b 3 (a b) (a 2 + ab + b 2 ) (a b) [a 2 2ab + b 2 + 3ab] (a b) [(a b) 2 + 3ab] Ezek alapján a megoldás: a 3 b 3 2 ( ) 0. 29

30 38. Számítsd ki a következő kifejezés értékét, ha a + b 1! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a 3 + b (a 3 b + ab 3 ) + 6 (a 3 b 2 + a 2 b 3 ) a 3 + b (a 3 b + ab 3 ) + 6 (a 3 b 2 + a 2 b 3 ) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) + 3ab (a 2 + b 2 ) + 6a 2 b 2 (a + b) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) + 3ab (a 2 + 2ab + b 2 2ab) + 6a 2 b 2 (a + b) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) + 3ab [(a + b) 2 2ab] + 6a 2 b 2 (a + b) Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve a következőt kapjuk: 1 (a 2 ab + b 2 ) + 3ab [1 2 2ab] + 6a 2 b 2 1 a 2 ab + b 2 + 3ab 6a 2 b 2 + 6a 2 b 2 a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2 Ezek alapján a megoldás: a 3 + b (a 3 b + ab 3 ) + 6 (a 3 b 2 + a 2 b 3 ) Bizonyítsd be, hogy ha x + y + z 0, akkor x 3 + x 2 z xyz + y 2 z + y 3 0! A feltételből a következőket kapjuk: x + y z; y + z x; x + z y. Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: x 3 + x 2 z xyz + y 2 z + y 3 x 2 (x + z) xyz + y 2 (z + y) Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve adódik a bizonyítandó állítás: x 2 (x + z) xyz + y 2 (z + y) x 2 (y) xyz + y 2 (x) x 2 y xy 2 xyz xy (x + y) xyz xy (z) xyz xyz xyz 0 30

31 40. Mennyi lehet az x + 1 x értéke, ha x 1 x 1? Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: (x 1 x )2 x x 2 x x (x + 1 x )2 4 Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve a következőt kapjuk: (x + 1 x ) Ezek alapján a megoldás: x + 1 x, vagy x + 1 x. 41. Írd fel két polinom hányadosaként a következő kifejezést! a b b c + c a d (a; b; c 0) Írjuk fel a kifejezést egyetlen tört segítségével: a b + c d a2 c ab2 + bc2 abcd a2 c ab 2 + bc 2 abcd b c a abc abc abc abc abc 42. A parciális törtekre bontás segítségével határozd meg a kifejezésben az A és B értékét! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: 13x 8 A + B (x 2) (7x + 4) x 2 7x x 8 A + B (x 2) (7x + 4) x 2 7x + 4 A (7x + 4) B (x 2) + (x 2) (7x + 4) (7x + 4) (x 2) 7Ax + 4A + Bx 2B (x 2) (7x + 4) (7A + B) x + 4A 2B (x 2) (7x + 4) Ebből a következők adódnak: 7A + B 13 és 4A 2B 8. Ezek alapján a megoldás: A 1 és B 6. 31

32 43. Határozd meg a és b értékét, ha tudjuk, hogy minden x 1 ; x 3 esetén teljesül az 2 a + b összefüggés! 2x 2 + x 3 2x 1 x + 3 Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a + b 2x 2 + x 3 2x 1 x + 3 a (x + 3) b (2x 1) + (2x 1) (x + 3) (x + 3) (2x 1) ax + 3a + b 2x b 2x 2 x + 6x 3 x (a + 2b) + 3a b 2x 2 + x 3 Ebből a következők adódnak: a + 2b 0 és 3a b. Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: a 2b. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe, s rendezés után a következőt kapjuk: b 7. Ezek alapján a megoldás: a 10 7 és b Számítsd ki a 7x 6 + 3x x 4 + x 2 + 2x 1 polinom x 2 helyettesítési értékét a Horner elrendezés segítségével! Készítsünk egy 3 soros táblázatot a következők szerint: az első sorba az együtthatókat, a másodikba az x be helyettesített érték és a harmadik sor balra eső elemének szorzatát, a harmadik sorba pedig az első két sor elemeinek az összegét írjuk be Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: 7x 6 + 3x x 4 + x 2 + 2x 1 ((((7x + 3)x 1)x 2 + ) x + 2) x 1 Ezek alapján a megoldás:

33 4. Mennyi az együtthatók összege az (7x 6 6x + x 4 4x 3 3x 2 2x + 2) 2017 kifejezés polinom alakjában? A polinomban az együtthatók összegét megkapjuk, ha a változó helyére 1 et helyettesítünk. Ezek alapján a megoldás: x 1 esetén ( ) 2017 (1) Végezd el a következő polinom osztásokat! a) (x 8 + x 4 + 1) (x 2 + x + 1) b) (x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 6) (x + 2) Az osztásokat a maradékos osztáshoz hasonlóan végezzük el. a) Első esetben megnézzük az x 2 - et mivel kell megszoroznunk, hogy x 8 - t kapjunk, s ez x 6 lesz. Ezt követően x 6 - nal visszaszorozzuk az (x 2 + x + 1) - et, majd a kapott kifejezést az előző alá írjuk. Ezután a két kifejezést kivonjuk egymásból. Az eljárást addig kell folytatnunk, míg a kivonás után kapott kifejezés fokszáma kisebb nem lesz, mint az osztó kifejezés fokszáma. Ekkor az utolsó kivonásnál kapott kifejezés lesz az osztás maradéka. (x 8 + x 4 + 1) (x 2 + x + 1) x 6 x + x 3 x + 1 x 8 + x 7 + x 6 x 7 x 6 + x x 7 x 6 x x + x x + x 4 + x 3 x x 3 x 2 x x 2 + x + 1 x 2 + x Ezek alapján a megoldás: x 8 + x (x 2 + x + 1) (x 6 x + x 3 x + 1). 33

34 b) Első esetben megnézzük az x - et mivel kell megszoroznunk, hogy x 4 - t kapjunk, s ez x 3 lesz. Ezt követően x 3 - nal visszaszorozzuk az (x + 2) - t, majd a kapott kifejezést az előző alá írjuk. Ezután a két kifejezést kivonjuk egymásból. Az eljárást addig kell folytatnunk, míg a kivonás után kapott kifejezés fokszáma kisebb nem lesz, mint az osztó kifejezés fokszáma. Ekkor az utolsó kivonásnál kapott kifejezés lesz az osztás maradéka. (x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 6) (x + 2) x 3 + x 2 + x 1 x 4 + 2x 3 x 3 + 3x 2 + x + 6 x 3 + 2x 2 x 2 + x + 6 x 2 + 2x x + 6 x 2 8 Ezek alapján a megoldás: x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 6 (x + 2) (x 3 + x 2 + x 1) Egyszerűsítsd a következő törtet a változók lehetséges értékeinél! x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 x 2 y 2 Először alakítsuk szorzattá a nevezőt: x 2 y 2 (x + y) (x y). Végezzünk polinom osztást a számlálóban és a nevezőben szereplő kifejezésekkel. (x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) (x + y) x 2 + 2xy + y 2 x 3 + x 2 y 2x 2 y + 3xy 2 + y 3 2x 2 y + 2xy 2 34

35 xy 2 + y 3 xy 2 + y 3 0 Ebből adódik a következő: x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) (x 2 + 2xy + y 2 ) Az (x y) nal történő osztás során a maradék nem 0 lesz, így azt nem alkalmazhatjuk a szorzattá alakításhoz. Ezek alapján a megoldás: x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) (x2 + 2xy + y 2 ) x2 + 2xy + y 2 (x + y)2. x 2 y 2 (x + y) (x y) x y x y 48. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igaz vagy hamis! A: Bármely két irracionális szám között van racionális szám. B: Bármely két racionális szám között van irracionális szám. C: Van legkisebb pozitív irracionális szám. D: Van legnagyobb racionális szám. E: Két irracionális szám összege lehet racionális. F: Két irracionális szám szorzata lehet racionális. G: Két irracionális szám különbsége lehet racionális. H: Egy racionális és egy irracionális szám összege racionális. I: Egy racionális (nem 0) és egy irracionális szám szorzata irracionális. J: Egy irracionális és egy (nem 0) racionális szám hányadosa irracionális. K: Lehet egy racionális és egy irracionális szám különbsége racionális. A megoldások a következők: I; I; H; H; I; I; I; H; I; I; I. 3

36 49. Egy farmer lovat vásárolt 60 dollárért és eladta a szomszédjának 70 ért. Később rájött, hogy jobb üzletet is csinálhatott volna, ezért kölcsönkért a feleségétől 10 dollárt, visszavásárolta a lovat a szomszédtól 80 dollárért, és eladta a másik szomszédjának 90 ért. Mennyit keresett az üzleten? A farmernek eredetileg volt 60 dollárja, s a végén lett 90. Mivel azonban a feleségének visszaadta a kölcsönkért 10 dollárt, így az üzletből 20 dollár haszna maradt. 0. Egy szállodában három barát kibérelt 30 dollárért egy lakosztályt, s fejenként dollárt adtak a szolgának. Mikor azonban a szolga átadta az összeget a tulajdonosnak, az rájött, hogy a lakosztály csak 2 dollár, s így visszaküldött darab egydollárost. A szolga felfele menet azon gondolkodott, hogy nem tudja szétosztani az darab érmét a három utazó között, így 2 - t zsebre tett, az embereknek pedig visszaadott fejenként 1 1 dollárt. Így végül mindenki 9 dollárt fizetett, ami dollár, illetve 2 dollár maradt a zsebben, s ez összesen dollár. Hova tűnt a harmincadik dollár? A kérdés megfogalmazása helytelen, mert a 27 dollárból le kell vonni a 2 dollárt, s így marad a lakosztály 2 dolláros ára. 36

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

3. Algebrai kifejezések, átalakítások

3. Algebrai kifejezések, átalakítások I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály IV. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV. rész:

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Racionális és irracionális kifejezések

Racionális és irracionális kifejezések Racionális és irracionális kifejezések a + b a + ac a_ a+ ci a 77. A feltétel szerint b ac, ezért b c. + ac + c c_ a+ ci c ab ac bc 78. A feltétel szerint: ab+ ac+ bc- b, ezért + + + + a b c abc b -b -,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint

Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat írtunk.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást? 1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?

Részletesebben

5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!

5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze! 1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Számokkal kapcsolatos feladatok.

Számokkal kapcsolatos feladatok. Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17

Részletesebben

Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint

Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint Amit a törtekről tudni kell. osztály végéig Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

= 1, azaz kijött, hogy 1 > 1, azaz ellentmondásra jutottunk. Így nem lehet, hogy nem igaz

= 1, azaz kijött, hogy 1 > 1, azaz ellentmondásra jutottunk. Így nem lehet, hogy nem igaz Egyenlőtlenség : Tegyük fel, hogy valamilyen A,B,C számokra nem teljesül, azaz a bal oldal nagyobb. Mivel ABC =, ha az első szorzótényezőt B-vel, a másodikat C-vel, a harmadikat A-val szorozzuk, azaz az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ; . A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7. 1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.

Részletesebben

Szakács Lili Kata megoldása

Szakács Lili Kata megoldása 1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

2005_01/1 Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyik eggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál.

2005_01/1 Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyik eggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál. Számolásos feladatok, műveletek 2004_1/1 Töltsd ki az alábbi bűvös négyzet hiányzó mezőit úgy, hogy a négyzetben szereplő minden szám különböző legyen, és minden sorban, oszlopban és a két átlóban is ugyanannyi

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).

1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b). 1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Kalkulus. Komplex számok

Kalkulus. Komplex számok Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Polinomok, Lagrange interpoláció

Polinomok, Lagrange interpoláció Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.

Részletesebben

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. II. fejezet (kb. 18 tanóra) > o < november 1.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. II. fejezet (kb. 18 tanóra) > o < november 1. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár II. fejezet (kb. 18 tanóra) > o < 2015. november 1. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a

Részletesebben

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a 1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10 évfolyam modul A négyzetgyök fogalma, azonosságai Készítette: Gidófalvi Zsuzsa MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI TANÁRI ÚTMUTATÓ MODULVÁZLAT A modul célja

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben