A SMITH-PREDIKTOR IDŐTARTOMÁNYBELI VIZSGÁLATA

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR MŰSZAKI MECHANIKAI TANSZÉK A SMITH-PREDIKTOR IDŐTARTOMÁNYBELI VIZSGÁLATA TDK DOLGOZAT Készítette: Hajdu Dávid 2013 Konzulens: Insperger Tamás, egyetemi docens Műszaki Mechanikai Tanszék

2

3 TARTALOMJEGYZÉK 1. BEVEZETŐ 1 2. IDŐKÉSÉS ZÁRT SZABÁLYOZÁSI KÖRÖKBEN INGA ÉS INVERZ INGA IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA INSTABIL GYÖKÖK SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL SMITH-PREDIKTOR A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA ELSŐRENDŰ RENDSZER MÁSODRENDŰ RENDSZER BIZONYTALAN RENDSZERPARAMÉTEREK ÁLLAPOTTÉR MODELL SZABÁLYOZÓERŐ IDŐFÜGGVÉNYE SZABÁLYOZÓERŐ DISZKRETIZÁLÁSA STABILITÁSVIZSGÁLAT A DISZKRETIZÁLT MOZGÁSEGYENLETTEL SMITH-PREDIKTOR ÉS FSA SZABÁLYOZÓ ÖSSZEFOGLALÁS ÖSSZEFOGLALÁS SUMMARY FÜGGELÉK I A. ROUTH-HURWITZ KRITÉRIUM... I B. MÁTRIX-EXPONENCIÁLIS... II 6. IRODALOMJEGYZÉK V

4

5 1. BEVEZETŐ A XX. században bekövetkezett technológiai robbanás az élet minden területét befolyásolta. A technológia fejlődésével az elektromos rendszerek beszivárogtak a hétköznapjaink minden területére, mára nemcsak az iparnak, de háztartásunknak is szinte minden egyes terméke tartalmaz valamilyen integrált elektronikát. Ez meghatározza a működésüket, mindemellett automatikussá, megbízhatóbbá, de gyorsabbá is váltak. Az 1940-es években fejlődésnek indult irányításelmélet is drasztikusan megváltozott napjainkra. Korábban a robosztus, stabil rendszerek domináltak, de mára az instabil rendszerek szabályozása okoz nagyobb kihívást. Ennek oka, hogy az instabil rendszerek csak szabályozással stabilizálhatók, ugyanakkor sokkal gyorsabban, kisebb energia-befektetéssel képesek reagálni. Vegyük például az embert. Amikor fekszünk, felállunk, hosszú idő kell, mire ki tudunk egyenesedni és elindulni, azonban már álló helyzetből sokkal gyorsabban tudunk pozíciót változtatni. Azonban ez a pozíció egy instabil egyensúlyi helyzet, csak folyamatos egyensúlyozással vagyunk képesek tartani azt, érzékszerveink nélkül egy helyben állni sem tudnánk. Ez igaz más dinamikai rendszerekre is, például vadászgépekre, a hadipar egyéb találmányaira vagy robotokra. Éppen ezért mára a fejlődés irányát az instabil rendszerek szabályozása határozza meg [1]. Modellalkotás során bizonyos jelenségeket és paramétereket elhanyagolunk, és ideális esetekkel foglalkozunk. De ezek gyakran nem írják le megfelelően a valóságot és nem elegendőek. Ennek következményeként a modelleket lépésenként bonyolítjuk, kiegészítjük újabb jelenségekkel, hogy megfelelően pontos eredményt kapjunk. Mikor egy szabályozókört tervezünk nem elegendő a szabályozandó rendszert ismerni, hanem a teljes szabályozókör elemeinek paramétereivel és tulajdonságaival is tisztában kell lennünk. Egy gyakran elhanyagolt jelenség az időkésés, amely nemcsak ipari folyamatokban, de gazdasági és biológiai rendszerekben is meghatározó lehet [2]. A rendszerek helyzeteinek mérésére szenzorokat használunk, ezek azonban a legkevésbé sem ideálisak, nemlinearitásokkal és legtöbbször időkésésekkel terheltek. Az időkésés oka lehet a véges információterjedési sebesség, illetve a digitális rendszerekben a mintavételezés. Az emberi szervezet is hasonló, hiszen a szenzorjaink az érzékszerveink, amelyek reflexkésése gyakran problémát okoz. Az időkésés a dinamikai rendszerek szabályozótervezését is befolyásolja, ugyanis instabillá teheti azokat. Célunk, hogy az időkésés ellenére egy stabilan működő, adott feladat számára optimális dinamikai tulajdonságokkal rendelkező rendszert hozzunk létre. A dinamikai rendszereink működését és a szabályozott rendszerekét is differenciálegyenletek írják le, amelyeket késleltetett tagok terhelnek. Az első ilyen matematikai modelleket már 1940-ben megalkották, bár azóta igencsak sokat fejlődtek. Az első olyan szabályozási struktúrát, amely a késleltetett rendszereket hivatott stabilizálni, 1

6 O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben (ld. 3.1 alfejezet) [3]. Feltalálója után ez a szabályozó Smith-prediktor néven terjedt el, röviden SP. Szokás még Smith holtidős kompenzátornak is nevezni (Smith dead-time compensator, DTC) [2], [4], [5]. Ennek a struktúrának az elmúlt néhány évtizedben meghatározó szerepe volt az időkéséssel terhelt rendszerek problémáinak megoldásában. Valójában ez az elmélet adott kezdeti lökést a tervezésnek és az ún. módosított Smith-prediktorok megalkotásának, amelyek szélesebb körben alkalmazottak, mint elődjük [2], [6]. Éppen ezért a mai napig gyakran vizsgált téma az eredeti Smith-prediktor működése is, hiszen ennek ismeretében könnyebben érthetjük meg a modernebb szabályozók működését és kereshetünk megoldást a felmerülő problémákra. Addig nem érthetjük meg az emberi idegrendszer szabályozó mechanizmusát sem, amíg ezeket az egyszerű, idealizált modelleket nem tudjuk matematikailag megfelelően kezelni és tárgyalni. A további felfedezésekhez az alapok biztos és pontos ismeretére van szükség. A SP mellett egy sokat vizsgált szabályozótípus az ún. FSA szabályozó (Finite Spectrum Assignment) [7], [8], [9], amely hasonlóan időkésleltetett rendszerekre tervezett kontroller. Az eredeti SP csak stabil rendszerekre alkalmazható, módosított változatai instabil szabályozandó szakaszokra is kiterjednek. A legtöbb szakirodalomban a két kontroller külön-külön taglalt téma, gyakran semmi párhuzamot nem vonnak közöttük. Valójában azonban az FSA szabályozó és a módosított Smith-prediktor (generalized SP) struktúrája nagyon hasonló egymáshoz. A kettő közötti kapcsolatról a [10]-es szakirodalomban olvashatunk többet, a kettő rendszer obszerver-prediktor blokkdiagramja ugyanis a forrás szerint részben megfeleltethető egymásnak. A következőkben az eredeti Smith-prediktort vizsgáljuk. A 2-es fejezet a késleltetett differenciálegyenletek stabilitásvizsgálatának egy módszerét és egy egyszerű szabályozót ismertet, a prediktor működését pedig részletesebben a 3-as fejezetben találhatjuk meg. A megismert matematikai módszereket alkalmazzuk a SP esetén is, miközben célunk a stabilitás meghatározása nemideális esetben. A dolgozatban részletesebben bemutatjuk az analitikus eredmények levezetését, melyeket numerikus módszerrel, például a semi-diszkretizáció segítségével [11], és szimulációval is igazolunk. 2

7 2. IDŐKÉSÉS ZÁRT SZABÁLYOZÁSI KÖRÖKBEN A jelen fejezet célja, hogy bemutassa az ideális, valamint időkésleltetett rendszerek közötti különbségeket. Az időkéséssel terhelt szabályozókörök egyenleteit is késleltetett differenciálegyenletekkel írhatjuk le, ezért első lépésben ezeket kell megismernünk. A következőkben elvégzésre kerül egy egyszerű szabályozókör elemzése, amelyet megvizsgálunk időkéséses és időkésés nélküli esetben is. A feladatok könnyebb érthetősége és kezelhetősége végett egy egyszerű mechanikai példával kezdődik a fejezet, amelyet demonstrációs célra használunk. Valójában a szabályozott rendszer tetszőleges lehet, de egy példa könnyebben segíti a probléma megértését. Ez a mechanikai modell egy inga illetve inverz inga lesz. Segítségével könnyebben tudjuk értelmezni majd az ideális és késleltetett esetek közötti eltéréseket és a stabilitás kérdését is INGA ÉS INVERZ INGA A stabilitás vizsgálatához a kiinduló modell egy inga lesz, ez az ún. pendulum-cart model. Ehhez meghatározzuk az inga mozgásegyenletét, hogy annak a stabilitását megvizsgálhassuk (2-1. ábra). Az ingát felfordítva inverz ingát kapunk, aminek a linearizált mozgásegyenlete hasonló az ingáéhoz. A nemlineáris mozgásegyenletből levezethető mindkét eset. Ehhez megtehetjük, hogy egyszerűen élünk a 180 helyettesítéssel, majd ez után végezzük a linearizálást. A mozgásegyenlet felírásához a Lagrange-egyenletet használhatjuk, amelynek általános alakja a következőképpen írható fel [1]. (2.1.) 2-1. ábra: Inga (bal) és inverz inga (jobb) sematikus ábrája 3

8 Mivel a szabályozáshoz szükséges egy beavatkozás, hogy a mechanikai rendszer stabil maradjon, ezért egy motor segítségével hozzuk létre a szabályozó erőt. Ez lesz az általános erő, ami az egyenletben is szerepel. A Lagrange-egyenlethez szükség van a kinetikus energia (), a disszipációs energia () és a helyzeti energia () függvényeire, továbbá a mozgásegyenlethez a általános koordinátát is ki kell jelölnünk. Utóbbi jelen esetben egy két szabadságfokot tartalmazó koordinátavektor, vagyis. (2.2.) Mivel jelen esetben a viszkózus és a Coulomb-súrlódást elhanyagoljuk, ezért a Lagrangeegyenletben a disszipációs függvénytől eltekinthetünk. A mozgási- és potenciális energia függvényeit a súlypontra írhatjuk fel, amelynek a pillanatnyi sebessége a koordináták ismeretében megadható, mint! = + = cos * +! cos + = 2 *! 2 sin ) **.! (2.3.) 2 sin ) ** Az energiafüggvényekbe a súlypont sebességét helyettesítve a kinetikus energiára a (2.4.)-es, a helyzeti energiára pedig a (2.5.)-ös összefüggés adódik. = 1 2, Θ 0. (2.4.) =, 1! cos (2.5.) 2 A két energiaegyenlet közül a kinetikus energia függvényét kell kicsit alakítanunk, hogy a megfelelő formához jussunk. Ehhez át kell rendezni a súlyponti sebességre kapott összefüggésünket a (2.3.)-as egyenletből kiindulva. A vektor abszolút értékét képezve, eredményképpen adódnak. = 234 +!. 2 cos 5 + 4!.6 2 sin 5, (2.6.).. =. +! cos +!. 2.. (2.7.) Az egyenletek linearizálása nélkül, a (2.4.)-es egyenletbe helyettesítve a fenti összefüggést, majd átrendezve azt, a kinetikus energia függvénye = 1 2, ,! cos + 1 6,!... (2.8.) A Lagrange-egyenlethez szükség van ezeknek az energiafüggvényeknek a megfelelő koordinátavalamint idő szerinti parciális deriváltjaira, amelyet a következő egyenletek mutatnak. 4

9 = 1,! sin (2.9.) 2 = 1 2,! cos + 1 3,!. (2.10.) d = 1 d 2,! ; cos 1 2,! sin + 1 3,!. ; (2.11.) =, 1! sin (2.12.) 2 = 0 (2.13.) =, + 1,! cos (2.14.) 2 d =, ; + 1 d 2,! ; cos 1 2,!. sin (2.15.) = 0 (2.16.) Mivel a beavatkozó erő teljesítménye csak a koordinátától függ, ezért a = 0 (2.17.) általános erővektor könnyen megadható. Az energiafüggvények, valamint azok deriváltjainak ismeretében felírható a két változó szerinti komponensegyenlet d d d d + = 0, (2.18.) + =. (2.19.) Így fenti egyenletekbe behelyezve a tagokra kapott részeredményeket, a két egyenlet leegyszerűsítés után egyetlen mátrixegyenletbe rendezhető, vagyis 1 3,!. 1 2,! cos, ) ** 1 2,! cos + 1 ; * < = + 2, 1! sin + 0 * ; 1 2,! sin * = < =. (2.20.).* ) Az koordináta ciklikus koordináta, ezért az egyenletrendszerből átrendezéssel kiejthető, ha a második komponensegyenletet >! cos -vel megszorozzuk, majd az első egyenletből. kivonjuk. A tagokat átrendezve kapjuk?4 3 cos. A ; sin 3 sin cos. = 6 cos. (2.21.)!,! 5

10 A beavatkozó erőt szabályozástechnikailag egy negatív visszacsatolással hozhatjuk létre, amely közben mérjük a pillanatnyi szöghelyzetet és szögsebességet, ezt pozícióvisszacsatolásnak (position feedback) nevezzük. A szabályozóerő ezek és egy PD szabályozó segítségével valósítható meg, melyhez két paraméterre, egy B -re valamint -re van szükségünk. Előbbit proporcionális-, míg utóbbit derivatív erősítési tényezőnek nevezzük. Így kapjuk az alábbi összefüggést?a =?,,A = B?A +?A. (2.22.) A következő lépésben linearizálhatjuk a (2.21.)-es mozgásegyenletet, ha csak kis kitéréseket feltételezünk. Egyszerűsítések után a következő egyenlet adódik, amely a rendszer mozgását írja le kis szögelfordulások esetén ( CDE 5 ) ;?A + 6 1?A = 6!,! B?A 6?A. (2.23.),! A későbbi vizsgálatokhoz szükségünk van a mechanikai rendszer átviteli függvényére, amelyet a rendszert leíró differenciálegyenlet Laplace transzformáltjából határozhatunk meg. Ez csak a lineáris mozgásegyenletből adható meg. Ehhez először a könnyebb kezelhetőség érdekében új paramétereket vezetünk be az együtthatók helyett, vagyis ;?A + H?A = I?A?A, H = 6 1, I = 6!,! B, = 6, (2.24.),! majd a két oldalt transzformálva operátor tartományba, a (2.25.)-ös egyenlethez jutunk. A jobb oldal a bemenetnek tekinthető szabályozóerő, ezt helyettesíthetjük egyetlen U?KA függvénnyel. Az átviteli függvény így a bemenet és kimenet Laplace transzformáltjának a hányadosa. s. Φ?KA + H Φ?KA = I Φ?KA K Φ?KA = U?KA (2.25.) P?KA = Φ?KA U?KA = 1 s. + H (2.26.) A végső összefüggés a (2.24.)-es és (2.26.)-os egyenlet, amely az egyszerű szabályozott inga linearizált mozgásegyenlete és átviteli függvénye. A fenti egyenletekben szereplő három paraméter ( H, I és ) a rendszer stabilitása szempontjából lényeges. Cél ezeknek a paramétereknek a függvényében megvizsgálni a teljes rendszer működését, a stabilitás feltételeit és körülményeit. A fentiekben levezett összefüggések az egyszerű ingára vonatkoznak. Abban az esetben, ha megfordítjuk az ingát, inverz ingát kapunk, amelynek a stabilitása megváltozik, de a mozgását leíró egyenletek hasonlók. Megmutatható, hogy ha = ot vezetjük be új változónak, a felső, instabil egyensúlyi helyzet körül linearizálva a mozgásegyenletet csak az H paraméter előjele változik meg, vagyis ;?A H?A = I?A?A P?KA = 1 s. H (2.27.) 6

11 2.2. IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA A 2.1-es alfejezetben levezetett összefüggések alapján a folytonos PD szabályozó esetére könnyű a stabilitás feltételeit meghatározni [1], [11]. A jelen példára elkészíthető blokkdiagramot a 2-2. ábra szemlélteti. A visszacsatolt ág nem tartalmaz időkésést, mintavételezést, ezért a leíró egyenletek közönséges, jelen esetben másodrendű differenciálegyenletek. A vizsgálathoz a (2.24.) és a (2.27.)-es egyenletet használjuk (az előbbi az ingára, míg utóbbi az inverz ingára vonatkozik). Rendezzük át az egyenlet tagjait egyetlen oldalra, majd gyűjtsük egybe az együtthatókat. Az így kapott átrendezett (2.28.)-as alak láthatóan egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet, amire alkalmazható a Routh-Hurwitz kritérium (A Függelék). Jelen, másodrendű rendszer esetében egyszerűsödik a feltétel, és a Routh-Hurwitz determináns helyett csak az együtthatók előjelét kell megvizsgálnunk. ;?A +?A +?I ± HA?A = 0 (2.28.) A fenti egyenlet két részre bontható, ha ingáról beszélünk, akkor a nulladrendű tag együtthatója?i + HA, ha inverz inga a modell, akkor pedig?i HA. Ezek alapján a stabilitás feltételeit definiálja > 0 > 0, (2.29.) I > ±H B > ±, 1. (2.30.) Láthatóan az aszimptotikus stabilitáshoz szükséges egy tag is a szabályozóhoz, nem elegendő egy egyszerű proporcionális tagot tartalmazó szabályozó. Éppen ezért minimálisan szükséges a PD kontroller, amiben még nincs integráló tag. A PID-ben szereplő integrátor lényegesen elbonyolítaná a számításokat, még egy paraméter figyelembevételét igényelné. A jelen dolgozatban ezt az esetet nem kezeljük. A könnyű grafikai megjelenítés érdekében szokás a stabil tartományokat síkban, egy diagramon ábrázolni. A fenti példa egyszerű, a I - síkon kell a stabilitást kielégítő tartományokat megjelölni. Ezt mutatja a 2-3. ábra. Vagyis bármilyen I - kombinációt választva a stabil területen, a rendszer stabil marad, illetve stabilizálható, azon kívül pedig instabillá válik. Láthatóan mindkét esetben van stabil tartomány, amely pontosabban egy teljes negyedsík, de az inverz inga esetében a határ eltolva kezdődik ábra: Idealizált szabályozókör 7

12 2-3. ábra: Stabil tartományok az inga (bal) és inverz inga (jobb) esetében 2.3. INSTABIL GYÖKÖK A legfontosabb stabilitáskritériumok alapja a karakterisztikus egyenlet gyökeire vezethető vissza. Mennyiségük és milyenségük nemcsak a stabilitást befolyásolja, hanem a rendszer működését, vagyis dinamikai viselkedését is. Ezek határozzák meg a rendszer gyorsaságát, időállandóját, beállási pontosságát, túllendülését és a lengéseket is. Éppen ezért fontos, hogy ismerjük azoknak a számát és értékét. Ahol az instabil gyökök száma nullára adódik, ott a rendszer stabil, ha ez egy, vagy ennél nagyobb, akkor instabil. Abban az esetben, ha a rendszer, vagyis az azt leíró differenciálegyenlet nem közönséges differenciálegyenlet, hanem késleltetett típusú, úgy a karakterisztikus egyenlet sem lesz polinom. Egy n-ed rendű polinomnak maximum n különböző gyöke lehet. Ez megfelel egy n dimenziós rendszernek. Időkésleltetett rendszer esetén a gyököket csak numerikusan határozhatjuk meg, számuk pedig végtelenre növekszik. Ezek a rendszerek végtelen dimenziós rendszerek, amely tulajdonság lényegesen nehezíti a számításokat [12], [13]. Az instabil gyökök meghatározására szolgáló egyik formula az ún. Stépán formula [12]. Ehhez szükség van a rendszert leíró karakterisztikus egyenlet valós és képzetes részre bontott alakjára, Q?RA és S?RA függvényekre. Ezt követően meg kell keresnünk ezen függvények gyökeit, ami gyakran önmagában sem egy egyszerű feladat, mivel általában csak közelítéssel oldhatók meg. Ezt követően a kapott gyököket a megfelelő formulába kell helyettesíteni, ennek eredményeképpen adódik az instabil gyökök száma. \ T,?1A C U?1A VW> sgn SY?Z V A[ V]> (2.31.) T, 1 2?1AC ^1 2?1A sgn Q?0A U?1A VW> sgn Q?_ V Aa (2.32.) `> V]> 8

13 Abban az esetben, ha a rendszer b szabadságfoka páros, vagyis b 2,, akkor a (2.31.)-es összefüggés használható. A képlet használatához meg kell keresnünk az Q?RA = 0 egyenlet valamennyi pozitív valós 0 < Z \ Z > gyökét. Ha ismerjük Z \ gyököket, akkor ezeket kell visszahelyettesíteni S?RA függvénybe, R \ = Z e alapján. A képlet ezt követően az instabil gyökszámot adja meg egyetlen zárt tartományra. Ha a rendszer páratlan szabadságfokú, vagyis b = 2, + 1, a (2.32.)-es összefüggésre van szükségünk. Hasonlóan az előzőekhez, most az S?RA = 0 egyenlet nemnegatív valós gyökeit kell meghatároznunk. Az így kapott 0 = _ _ > gyököket pedig az Q?RA függvénybe kell visszahelyettesíteni. Problémát a gyökök meghatározása jelenthet, hiszen a karakterisztikus egyenlet nem egyszerű polinom, analitikusan általában nem tudjuk megoldani. Egy megoldás az, hogy első lépésben kirajzoljuk az S?RA és Q?RA függvényeket R függvényében. Ekkor, ha lehetőségünk van, szemmel általában le tudjuk olvasni a gyökök helyét. Pontosabb megoldáshoz pedig numerikusan kereshetjük meg azok értékét, ha a leolvasott pont környezetében indítunk iterációs lépéseket. Különféle matematikai szoftverekben erre más-más parancsok állnak rendelkezésre, de ezzel a módszerrel gyorsan meghatározhatók a szükséges értékek. A Stépán formula egyszerre csak egy-egy területre ad megoldást. A D-görbékkel feldarabolt stabilitási térképen minden felszabdalt területen ki kell választanunk egy pontot és ezeket a paramétereket kell visszahelyettesíteni a karakterisztikus egyenletbe. Tehát minden tartományra külön-külön, újra és újra el kell végeznünk ezeket a számításokat, amely igencsak időigényes. A továbbiakban a gyökök meghatározásánál csak a módszerre hivatkozunk, annak lépéseit nem tűntetjük fel, de a térképeken ábrázoljuk az instabil gyökök számát SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL Az eddigiek során megnéztük az ideális, késleltetés nélküli szabályozó mozgásegyenletét és megvizsgáltuk annak stabilitását az időtartománybeli alakjában. Abban az esetben, ha a leíró egyenlet nem közönséges lineáris differenciálegyenlet, a Routh-Hurwitz kritérium nem használható (A Függelék), a szükséges determináns ugyanis csak polinomok esetén definiálható. A D-görbe módszerrel (D-subdivision method) azonban lehetőségünk van meghatározni a határgörbéket, ahol a rendszer instabil exponenseinek számában változás jelentkezik [11]. Ezzel a módszerrel könnyen körbehatárolható a stabil terület, ha a kapott egyenletrendszer megoldható. Ehhez a f = g ± h R, R 0 helyettesítést kell elvégeznünk. A következőkben egy egyszabadságfokú, másodrendű, visszacsatolt rendszer vizsgálata kerül bemutatásra. A zárt szabályozási körbe egy PD-szabályozó van beépítve, amelynek paraméterei most I és. Vegyük észre a hasonlóságot a 2.1-es alfejezet (2.27.)-es egyenletével. 9

14 j;?a H > j?a H k j?a I j? la j? la (2.33.) Abban az esetben, ha H > 0, vagyis a rendszerben nincs csillapítás és az időkésés zérus (l 0), akkor a két egyenlet megfeleltethető egymásnak. A következőkben ezt az egyenletet fogjuk megvizsgálni a csillapítás nélküli esetben, mivel a későbbiekben ez meghatározó lesz a további eredmények értékelésében. A fenti megfontolásokkal a zárt rendszer a 2-4. ábra szerinti blokkdiagramba írható át. Fejezzük ki a karakterisztikus egyenletet (2.34.), majd bontsuk szét valós és képzetes részre. Ha a korábban említettek alapján a rendszerben csillapítás nincs, H > együttható értéke nulla. Ezzel szemben az ingához viszonyítva H k H egy olyan paraméter, ami csak a geometriára jellemző konstansokat tartalmaz, vagyis értéke állandónak tekinthető. Így a két paraméter, I- síkján ábrázolhatjuk a stabilitást. A karakterisztikus egyenlet?fa f. H I m`n o f m`n o. (2.34.) Az f g O h R, R i 0 helyettesítéssel tehát a következő egyenletek adódnak Q?RA: g. R. H Im`qo cos?rla gm`qo cos?rla Rm`qo sin?rla 0, (2.35.) S?RA: 2gR Im`qo sin?rla Rm`qo cos?rla gm`qo sin?rla 0. (2.36.) Abban az esetben, ha g 0, a D-görbéket kapjuk meg. ha R 0: I H, s (2.37.) ha R t 0: I?R 2 HA cos?rla, R2 H R sin?rla (2.38.) A két paraméter ismeretében már elkészíthető a stabilitási térkép. Az instabil gyökök száma a Stépán módszerrel meghatározható, az ábrákon azok száma látható. A 2-5. ábra megfeleltethető az inga stabilitási térképének, míg a 2-6. ábra az inverz ingáénak. Látható, hogy az inverz inga esetén a stabil tartomány jóval szűkebb, de jellegre a kettő hasonló. Ennek az az oka, hogy a gravitáció az inga esetén stabilizálja az ingát, míg inverz ingánál éppen ellenkezőleg hat. A statikus stabilitásvesztési határgörbe éppen ezért a I H pontokon helyezkedik el. Az is látható a tartományokon, hogy a statikus határgörbe átlépésekor az instabil gyökök száma mindig eggyel változik, míg dinamikus határgörbe esetén kettővel. Utóbbi egy komplex instabil gyökpár átlépését jelenti a képzetes tengelyen ábra: Szabályozókör késleltetett visszacsatolással 10

15 2-5. ábra: Késleltetett visszacsatolású inga stabilitási tartománya (H 0,5, l 1) 2-6. ábra: Késleltetett visszacsatolású inverz inga stabilitási tartománya (H 0,5, l 1) 11

16 12

17 3. SMITH-PREDIKTOR A következőkben a hagyományos Smith-prediktor kerül bemutatásra, amely a TDK dolgozat témáját képezi. A legtöbb szakirodalomban megtalálható számítástól eltérően a levezetések során a fentiekben bemutatott módszereket használjuk, vagyis az egyenleteket elsősorban időtartományban kezeljük és vizsgáljuk. Első lépésben bemutatjuk a Smith-prediktort, majd egy ilyen prediktív típusú szabályozót tartalmazó, egyszerű, elsőrendű rendszeren alkalmazzuk a megismert módszereket és vizsgáljuk a stabilitást. Későbbiekben a másodrendű rendszeren is bemutatjuk az eredményeket, de részletesebben kielemezve azokat, különböző módszereket, többet között a szemi-diszkretizációt is alkalmazva [11]. Végső soron pedig bemutatjuk a szabályozó ÁTM alakját, rámutatunk néhány újszerű eredményre, valamint felfedjük kapcsolatát az FSA szabályozóval A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR A valós rendszerekben jelentkező időkésés hétköznapi probléma, minden rendszert terhel, legyen az ipari, gazdasági vagy biológiai [2]. Folytonos rendszereknél gyakran elhanyagoljuk ezt, mivel az információterjedés sebessége jóval nagyobb, minthogy az érdemi befolyást jelentene. Vannak esetek, amikor azonban ez ténylegesen fontos lehet, például bonyolultabb elektronikai rendszereknél, vagy digitális mintavételes rendszereknél, ahol a mintavételezés időkéséshez hasonló jelenségeket okoz [11], [14]. A már korábban többször említett Smith-prediktor nevet kapott szabályozási struktúrát O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben [3]. Ez egy matematikai levezetése annak, hogyan lehetne az időkésést a rendszerből kiemelni, majd az ideális szabályozóra visszavezetni azt. Az első próbálkozások annak gyakorlatba ültetésére kevés sikerrel jártak, részletesebb elméleti levezetésekre az 1970-es és 1980-as években került sor [2]. Ezek a levezetések sokban segítették a Smith-prediktor működésének megértését, tulajdonságainak megismerését, de legnagyobb előnye az azt követő években jelentkezett. A Smith-prediktor olyan szabályozót tartalmaz, amely az időkésést ideális esetben elméletileg képes kiemelni a zárt szabályozási körből [2]. Pontosabban a szabályozó tartalmaz egy ún. prediktor tagot, amely a szabályozandó szakasz egy pontos matematikai modellje. Ennek a prediktor modellnek az elkészítése analóg rendszerek esetén komoly nehézségekbe ütközik, többek között az időkésés megvalósítása miatt. Gyakorlatba ültetésére a digitális rendszerek elterjedése után került igazán sor, ahol az időkésés egyszerű shift-eléses utasítássá vált, a modell pedig egy számítógépes algoritmussá [2]. Habár a gyakorlatban a mintavételes SP az elterjedtebb, a dolgozat során a folytonos rendszert vizsgáljuk. Ennek oka, hogy úgy 13

18 tekintjük a mintavételezést, mint ami olyan nagy frekvencián történik, hogy az jó közelítéssel folytonosnak tekinthető, a mintavételezési hatásokat pedig elhanyagoljuk. A beavatkozás úgy történik, hogy a bemeneti jel hatására az eredeti visszacsatolt jellemzők mellett megjelenik két másik visszacsatolt tag is, ezt szemlélteti a 3-1. ábra. Az elmélet szerint, ha pontosan ismerjük a fizikai rendszert és el tudjuk készíteni annak a matematikai modelljét, akkor ismerjük annak dinamikai viselkedését is. Pontosabban bármely időpontban meg tudjuk határozni a rendszer állapotát a jelenlegi állapot ismeretében. Jelöljük a rendszert terhelő időkésés l-val. Tehát, ha ismerjük a rendszer állapotát k időpontban és ismerjük a matematikai modell minden egyes paraméterét pontosan, akkor meg tudjuk adni könnyen a k l állapotot is. A Smith-prediktor esetében ez pontosabban úgy működik, hogy a késleltetett valós visszacsatolást egy nem késleltetett, ideális visszacsatolással cseréljük ki. Tehát ahelyett, hogy egy olyan jellel szabályoznánk a rendszert, amely elkésett, pontosan egy akkora jelet kap, amely a jelen állapotra vonatkozik és nincs elkésve. Ez a működésben úgy jelentkezik, hogy a késleltetett tagok ellentétes előjellel összeadódnak, valamint kiegészül egy prediktált állapottal. Ha minden paraméter ideális és pontosan ismerjük a rendszereket, akkor ezek a tagok valóban kiesnek és az időkésés kiemelhető. A problémát az jelenti, hogy sem a rendszert, sem az időkésést nem ismerjük pontosan, pedig a prediktor működésének alapja, hogy ezek teljesen megegyeznek. Már kis perturbáció (paramétereltérés) esetén is ezek a tagok nem egyszerűsíthetők le és figyelembe kell vennünk a hatásokat. A legtöbb szakirodalomban nem kezelik a valós és a prediktor rendszer eltéréseit, csak az időkésés bizonytalanságát [2], [4], [13]. A probléma ezzel viszont az, hogy a dinamikai rendszerek esetén a paramétereket a tömeg, csillapítás, súrlódás, hossz, tehetetlenségi nyomaték stb. határozzák meg. Ezek közül egyiket sem ismerjük pontosan, ezért nem is mondhatjuk azt, hogy a rendszer és a modell megegyezik. Az időkésés ismeretéről hasonlóan ez állítható. Éppen ezért célunk, hogy a stabilitás vizsgálásánál minél több bizonytalanságot figyelembe vegyünk, és így a valósághoz közelebb álló modellt készítsünk. A következőkben ezt szem előtt tartva vizsgáljuk a Smith-prediktor működését és határozzuk meg a stabil területeket elsősorban időtartománybeli vizsgálattal ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja 14

19 3.2. AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA Az általános alakban megadott blokkdiagramot a 3-1. ábra mutatja, amelyen az átviteli függvények vannak megadva. P?KA átviteli függvény a fizikai rendszer átviteli függvénye, Pu?KA a prediktor modellé, C?KA a szabályozókörbe épített szabályozóé, vagy más szóval controller-é. A valós modell állapotát egy szenzorral mérjük, amely jelen esetben nem ideális. Ezt egy l időkéséssel vesszük figyelembe, amely alapján a mérőeszköz átviteli függvényét egyetlen időkéséses tag, e`o jellemzi. Láthatóan a modell is tartalmaz egy nem ideális, l időkéséssel rendelkező tagot, ennek átviteli függvénye e`oy. A szabályozókörben valamennyi tag visszacsatolva van jelen. Láthatóan a szenzor miatt a valós x időfüggvény a rendszerben csak egy l időkéséssel van jelen, amelynek pontos értékét nem ismerjük. A késleltetett tagot x {, mint delayed tag jelzi. Ehhez képest a rendszerben visszacsatolva van a modell valós idejű xy és xy késleltetett kimenete is. Abban az esetben, ha tökéletesen pontosan ismerjük a fizikai modell paramétereit, valamint a rendszer időkésését és ezt pontosan be is tudjuk állítani a prediktor modellen, akkor az időkésés kiküszöbölhető, hiszen a két késleltetett tag ellentétes előjellel adódik össze (3.1.). Így ideális esetben a beavatkozás a modell alapján történik, nem pedig a valós rendszer alapján. Ez persze egy olyan ideális eset, amely csak matematikailag érhető el. A valóságban viszont sem a fizikai rendszer paramétereit nem tudjuk pontosan lemérni, sem pedig a prediktor modellen nem tudjuk azt pontosan beállítani. Éppen ezért a nem ideális eset kezelése írja le jobban a valóságos működést. A következőkben cél ennek a megvizsgálása elsőrendű és másodrendű rendszeren bemutatva. A blokkdiagram ismeretében meghatározható a rendszer átviteli függvénye, vagyis a bemenet és a kimenet közötti függvénykapcsolat. Ehhez ki kell fejeznünk a szükséges összefüggéseket, majd azokat a megfelelő formára hozni. e = xy xy + x (3.1.) u = C?r ea (3.2.) x = u P (3.3.) xy = u Pu (3.4.) x = x e`o (3.5.) xy = xy e`oy (3.6.) A fenti összefüggésekből kifejezhető a rendszer W?KA átviteli függvénye. Ehhez az egyenleteket kell kifejezni és a következő alakra hozni: W?KA = x r (3.7.) x = u P = r C P = C P?r xy + xy x A (3.8.) 15

20 u x P xy Pu xy P u P x (3.9.) A következő lépésben az xy, xy, x elemeket kell kifejeznünk x segítségével, hogy az átviteli függvény megadható legyen. Az így kapott egyenlet átrendezhető és kiemelhető mindkét oldalról a keresett változó. x C P r P u P x P u P e`oy x e`o (3.10.) C P r x C Pu x P C e`o x C Pu x e`oy (3.11.) W?sA x r C P 1 C Pu C P e`o C Pu e`oy (3.12.) Az egyenletek helyes átrendezését követően a kapott (3.12.)-es alak a rendszer általános esetben megadott átviteli függvénye. Ez azonban nem egyezik meg a stabilitásvizsgálathoz szükséges karakterisztikus egyenlet formulával, ehhez a fenti átviteli függvényeket a megfelelő formával helyettesíteni, majd átalakítani kell. A legtöbb szakirodalomban szokás egy zavarójelet figyelembe venni a rendszer előtt, amellyel valamiféle egyensúlyi megzavarást, vagy kezdeti feltételt vehetünk figyelembe [2], [13]. Ezt szemlélteti a 3-2. ábra. Mivel az r-vel jelzett bemenet jelen esetben az egyensúlytartás miatt nulla, ezért célszerű a d zavarást (disturbance) feltételezni külső bemenetnek, amelyet a szabályozókör kompenzálni kényszerül. Ezzel a megfontolással az átviteli függvényt újra fel kell írnunk a zavarójel és a kimenet között. Ebben az esetben csak egy egyenletet kell újradefiniálnunk, a többi változatlan. Így a (3.3.)-as összefüggést a (3.13.)-assal cserélhetjük ki. Ezt azért célszerű megtennünk, mert a valóságos szemléletnek ez utóbbi ábra jobban megfelel. Így ugyanis a gerjesztés csak a valós fizikai rendszert éri, a beavatkozás pedig a szenzor jele alapján történik. Ennek hatására a prediktor modellbe is már a mért jel csatolódik vissza, a valós rendszer nem kerülhető meg. x?u da P (3.13.) 3-2. ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja zavarással kiegészítve 16

21 Ezen megfontolások alapján az átviteli függvényt könnyen felírhatjuk újra. Az egyenleteket átrendezve és áthelyettesítve, ez előzőekhez hasonlóan, a következő összefüggés adódik: x d P = C P x P u P d P + x P u Ebből könnyen kifejezhető a zavarójel és a kimenet közötti W?KA = x d = P d P e`0 y x e`0. (3.14.) P C P Pu e`0 y + C P Pu 1 + C Pu + C P e`0 C Pu e`0 y (3.15.) átviteli függvény. Az így kapott átviteli függvények között láthatóan csak a számlálóban van különbség, a rendszer karakterisztikus egyenlete, amely a nevezőből képezhető, változatlan. A kettő között azonban van eltérés, ezt a 3.3-as alfejezetben vizsgáljuk meg részletesebben ELSŐRENDŰ RENDSZER Elsőrendű rendszerről akkor beszélhetünk, ha a fizikai rendszer átviteli függvényének karakterisztikus egyenlete elsőrendű. Mivel valós fizikai rendszereknél az átviteli függvény számlálójának rendszáma maximum annyi lehet, mint a nevező rendszáma, az átviteli függvény például P = 1 K H (3.16.) alakban írható. Ebben az esetben a magára hagyott rendszer instabil lenne, ha az H paraméter értéke pozitív. Ebben az alfejezetben ennek az egyszerűsített rendszernek a példáján fogjuk megvizsgálni a stabilitást. A következőkben csak az ideális esetet vizsgáljuk, a paraméterek perturbációjával később foglalkozunk. Az elsőrendű rendszer esetén elegendő a szabályozáshoz egyetlen I paraméter, vagyis a szabályozót egyetlen proporcionális tag képezi: C = I (3.17.) A fenti egyenleteket behelyettesítetjük például a (3.12.)-es eredeti átviteli függvénybe, vagy a (3.15.)-ös zavarással kiegészítettbe. Ezt követően rendezzük mind a számlálót, mind a nevezőt kvázipolinom (exponenciális polinom) alakra, tehát W?KA = 1 I W?KA = K H, I K Hy + I 1 K H e`o 1 (3.18.) I K Hy e`oy I?K HyA?K HA?K HyA + I?K HA + I?K HyA e`o (3.19.) I?K HA e`oy. 17

22 Hasonlóan a zavarással kiegészített átviteli függvény is megadható W?KA?K HyA I e`oy + I (3.20.)?K HA?K HyA + I?K HA + I?K HyA e`o I?K HA e`oy. A (3.19.)-es és (3.20.)-as összefüggés között csak a számlálóban van különbség. Az átviteli függvényt képező nevező gyökeit nevezzük pólusoknak, a számláló gyökeit zérusoknak. Ha egy zérus pontosan megegyezik egy pólussal, abban az esetben az átviteli függvény egyszerűsíthető, hiszen egy gyök kiejthető. Ezt nevezzük pólus-zérus egyszerűsítésnek (polezero cancellation). Ez csak abban az esetben állhat fent, ha például a számlálóból és a nevezőből is egyszerűen kiemelhető ugyanaz a gyök. Jelen esetben az ideális esetet tárgyalhatjuk egyszerűen, ezért tegyük meg azt az egyszerűsítést, miszerint H = Hy és l = l. Vagyis a rendszer és a prediktor modell minden paramétere megegyezik. Nézzük első esetben a (3.19.)-es összefüggést. Látható, hogy az?k HA együttható kiemelhető mindkét esetben, a késleltetett tagok pedig kiesnek. Eredményképpen az ideális, késleltetés nélküli P szabályozóval szabályozott rendszer egyenletét kapjuk vissza: W?KA = C P 1 + C P = C I = 1 P + C?K HA + I (3.21.) Ez az egyszerűsítés nem végezhető el a (3.20.)-as egyenleten, mivel abból nem emelhető ki ilyen együttható. Ennek következménye, hogy a két esetben két karakterisztikus egyenletet vizsgálhatunk meg, az egyszerűsítettet és a teljeset. Elsőként az eredeti karakterisztikus egyenletet vizsgáljuk meg az ideális esetben, amikor a paraméterek megegyeznek. Ezt a következő egyenletek mutatják.?ka =?K HA?K HyA + I?K HA + I?K HyA e`o I?K HA e`oy (3.22.)?KA = K. +?I H HyAK + H?Hy IA Ie`oy K + Ie`o K + HIe`oy HyIe`0 (3.23.) ha Hy = H és l = l:?ka = K. +?I 2HAK + H?H IA (3.24.) A Smith-prediktor esetében általánosan igaz az, hogy ha a paraméterek nem egyeznek meg, vagy átalakítás után nem egyszerűsítjük a karakterisztikus egyenletet, a rendszer fokszámát kétszeresére növeli, vagyis jelen elsőrendű rendszer esetében másodfokú lesz a karakterisztikus polinom. A fenti, (3.24.)-es összefüggés a Routh-Hurwitz kritériummal ellenőrizhető, amely jelen esetben csak az együtthatók előjelének vizsgálatát jelenti. I 2H > 0 H?H IA > 0 (3.25.) A fenti két feltétel három további feltételre bontható szét. I > 2H H < 0 és H < I H > 0 és H > ƒ (3.26.) 18

23 Az így nyert feltételek egyértelműen meghatároznak egy stabilitási tartományt az H-I síkon, ezt mutatja a 3-3. ábra jobb oldali képe. A bal oldali képen a pólus-zérussal leegyszerűsített eset látható. A két térképen jól összehasonlíthatók a kapott eredmények, de ne felejtsük el, hogy ez csak a rendszerparaméterek egyezése esetén áll fent így. Látható, hogy abban az esetben, ha a bemenet és kimenet között felírt átviteli függvényt a zérussal leegyszerűsítjük, egy gyök kieseik a rendszerből. Ez nem probléma akkor sem, ha ez a gyök instabil, vagyis maga a szabályozandó rendszer instabil. Ebben az esetben is lesz stabil tartomány, ezt mutatja a bal oldali ábrán a jobb oldali félsíkon megtalálható stabil terület. Ha az átviteli függvényt nem egyszerűsítjük le, vagy a kimenet és a zavarás között írjuk fel és így nem egyszerűsíthető, akkor a stabilitási tartományt a jobb oldalon látható ábra mutatja. Ebben az esetben a jobb oldali félsík instabil tartománnyá válik. A kiinduló példában instabil rendszert feltételeztünk, ezt mutatja a (3.16.)-os átviteli függvény. Így minden H P 0 rendszerparaméter instabil nyitott rendszert eredményez. A levezetés végeredményeképpen megmutatható, hogy a Smith-prediktor hagyományos esetben nem alkalmas instabil rendszerek szabályozására, mivel H P 0 esetén a stabil tartomány megszűnik. Valójában a bal oldali esetben is van egy instabilitást okozó gyökünk, de a speciális paraméteregyezés miatt ez megegyezik egy zérussal, így az kiejthető. A két eredmény azt mutatja, hogy pontosabb megoldáshoz a teljes karakterisztikus egyenletet kell vizsgálunk, nem pedig annak a zérusokkal egyszerűsített alakját ábra: Elsőrendű rendszer stabilitási tartománya az eredeti átviteli függvény (bal) és a zavarás figyelembevételével felírt átviteli függvény esetén (jobb) 19

24 3.4. MÁSODRENDŰ RENDSZER A másodrendű rendszer példájának bemutatására a 2.1-es alfejezetben, az ingára illetve inverz ingára levezetett átviteli függvényt fogjuk használni. Vagyis a Smith-prediktorral próbáljuk meg a rendszer időkésés okozta instabilitását megoldani. A következőkben a stabil nyitott rendszert vizsgáljuk, vagyis szorítkozzunk az H P 0 esetre. Ha ettől eltérünk, külön felhívjuk a figyelmet. A rendszer átviteli függvényéhez, amely jelen esetben az inga függvénye, a (3.27.)-es egyenletet használjuk. A prediktor modell ez alapján hasonlóan másodrendű, paramétere H helyett azonban Hy, amit a (3.28.)-as egyenlet mutat. Továbbá a szenzort jellemzi a l, valamint a prediktor modellt a l időkésés. P = 1 K. + H Pu = 1 K. + Hy (3.27.) (3.28.) A szabályozókörben ezek mellett egy PD szabályozó is szerepel, amelynek I és paraméterei mellett határozzuk meg a stabilitási tartományokat. Mindeközben H és l értékét lerögzítjük, további a prediktorra megadott eltérést engedünk meg Hy-ra és l -ra nézve. Vagyis célunk a paraméterek eltérése melletti eset vizsgálata. Jelen esetben tehát a beszerelt PD szabályozót nem időtartományban definiáljuk, hanem operátortartományban, vagyis a Laplace transzformáltjával megadva. L?I x?a + x?aa C?KA = I + K (3.29.) Ezt követően, mivel minden átviteli függvényt ismerünk, a (3.12.)-es egyenletbe visszahelyettesítve, megadhatjuk a másodrendű, Smith-prediktorral szabályozott rendszer átviteli függvényét (3.30.). Hozzuk a kifejezést a következő alakra 1?I + K A W?KA = K. + H 1 1 +?I + K A K. + Hy + 1, K. + H?I + K A e`o 1 (3.30.)?I + K A K. + Hy e`oy W?KA =?I + K A?K. + HyA?K. + HyA?K. + HA +?I + K AY?K. + HA +?K. + HyA e`o?k. + HA e`oy [. (3.31.) Az átviteli függvény nevezőjéből képezhető a karakterisztikus egyenlet, amelyet a stabilitásvizsgálatra használhatunk itt is. Első lépésben bontsuk fel a (3.31.)-es tört nevezőinek szorzatait, hogy a helyettesítést könnyebben elvégezhessük. Ezt követően a korábbi esethez hasonlóan meghatározhatjuk a D-görbéket közvetlenül, ha jelen esetben K = h R, R 0 helyettesítéssel élünk. Szétválasztva az egyenletet valós és képzetes részre, tehát 20

25 Q?RA: HHy + HI HR. HyR. IR. + R + HyIcos?RlA IR. cos?rla HIcos?Rl A + IR. cos?rl A + Hy R sin?rla R sin?rla H R sin?rl A + R sin?rl A = 0, (3.32.) S?RA: H R R + Hy R cos?rla R cos?rla H R cos?rl A + R cos?rl A HyI sin?rla + IR. sin?rla + HI sin?rl A IR. sin?rl A = 0, (3.33.) egyenletek adódnak. A paraméteres D-görbék meghatározásához ezt a két egyenletet kell megoldanunk I és paraméterekre (3.35.). Így a stabilitási tartományok megrajzolhatók a szükséges H és l értékek megválasztását követően. ha R = 0: I = H, R (3.34.) ha R 0: I =?H R. A?Hy R. AY? Hy + R. Acos?RlA +?H R. A? 1 + cos?rl AA[ˆ/?2H. + Hy. 4HR. 2HyR. + 3R + 2?H R. A?Hy R. Acos?lRA + 2?H R. A? Hy + R. Acos?R?l l AA 2H. cos?rl A + 4HR. cos?rl A 2R cos?rl AA =?H R. A?Hy R. AY? Hy + R. A sin?rla +?H R. Asin?Rl A[ˆ/?R?2H. + Hy. 4HR. 2HyR. + 3R + 2?H R. A?Hy R. Acos?RlA + 2?H R. A? Hy + R. A cosyr?l l A[ 2H. cos?rl A + 4HR. cos?rl A 2R cos?rl AAA (3.35.) Abban az esetben, ha a prediktált és a valós paraméterek megegyeznek, az egyenletek az ideális PD szabályozó egyenleteire egyszerűsödnek le (2.2-es alfejezet), ez a Smith-prediktor működésének a lényege. Ha azonban a paraméterek nem ideálisak, a fenti egyenletek érvényesek, így a következőkben ezt fogjuk vizsgálni. A módszerrel csak a D-görbék határozhatók meg, a stabil tartomány ezen belül közvetlenül nem. Ehhez a Stépán módszert használhatjuk itt is, amellyel minden tartományon egyenként kell meghatározzuk az instabil gyökök számát. Ahol az instabil gyökök száma nullára adódik, stabil tartományt kapunk. A 3-4. ábra és 3-5. ábra ezeket a gyököket is mutatja. Látható, hogy jelen estben is, ha a statikus határgörbét lépjük át, az instabil gyökszám eggyel változik, míg a dinamikus határgörbe esetén mindig kettővel. A stabil tartományok ismeretében elkészíthető egy olyan diagram, amely a paraméterérzékenységet mutatja (ld ábra és 3-7. ábra). Látható, hogy az időkésés változása jóval kisebb hatással van a rendszerre, mint a rendszerparaméter. Ez utóbbi ugyanis minőségi ugrást jelent a stabil tartományok változásában. Ha az H paraméter értékét alábecsüljük, a stabil tartomány az ideálishoz képest elkezd egy spirálhoz hasonló alakkal szűkülni. Mindenközben megjelenik egy apró hurok, amely mindig az origóban metszi önmagát, és az alsó negatív félsíkból metsz ki egy darabot. Ha azonban az H paraméter értékét felülbecsüljük, a hurok a felső tartományon jelenik meg. Ebben az esetben a stabil tartomány a hurok által körbeölelt terület lesz. Ez egy hirtelen méretváltozás, ugyanis ha a rendszerparaméter két oldalról tart a valóshoz, hirtelen ugrik végtelenről nullára a stabil tartomány, majd kezd el újra növekedni. 21

26 3-4. ábra: Stabilitási térkép (H 0,5, l 1, Hy 0,8H, l 0,5l) 3-5. ábra: Stabilitási térkép (H 0,5, l 1, Hy 1,2H, l 0,5l) A szabályozóparaméterek értéke az origóban?i, A?0,0A, így a karakterisztikus egyenlet (K hr) helyettesítéssel?k. HyA?K. HA 0?R. HyA?R. HA 0 (3.36.) alakra egyszerűsödik, amelynek egyértelmű megoldásai R > H és R. Hy. Tehát a görbe ezeket a frekvenciákon metsződik, ami pontosan a két nyitott rendszer sajátkörfrekvenciája. Az időkésés becslése is meghatározó, ha l értékét zérusra vesszük, az eredeti l időkéséses stabilitást kapjuk vissza. Ez nem véletlen, hiszen ebben az esetben, a blokkdiagramon is látható módon a prediktor önmagát egyszerűsíti le (3-2. ábra). Ehhez képest amíg l l, a stabilitási tartományok növekednek, mert a spirál kezdeti szakasza egyre inkább ellaposodik és l l esetén maximális. Ezt követően l esetén drasztikusan leszűkül. Erre mutat néhány példát a 3-6. ábra és 3-7. ábra. A kis hurok is jól megfigyelhető a lenti ábrákon. Látható, hogy a görbék menete viszonylag hasonló, de az Hy paraméter eltérésének növekedésével a hurok egyre dominánsabbá válik, és nagy eltérés esetén akár új területeket is metszhet ki a már meglévő D-görbékkel. 22

27 3-6. ábra: Stabil tartományok változása paraméterek függvényében (kis eltérések) 3-7. ábra: Stabil tartományok változása paraméterek függvényében (nagy eltérések) 23

28 Valamennyi hivatkozott szakirodalom a rendszerparaméterek eltérését elhanyagolja, és csak az időkésés eltérésével foglalkozik [2], [4], [5], [13]. Ez azt jelenti, hogy az Hy H egyszerűsítés következtében a karakterisztikus egyenlet egyetlen gyökpárja ismert, hiszen egy?k. HA együttható kiemelhető (3.31.). Ez az együttható megadja a rendszer egy komplex póluspárját, amely K Oh H. (3.37.) A stabilitás feltétele, hogy a zárt szabályozási kör valamennyi pólusa a komplex sík negatív valós térfelén helyezkedjen el. A jelen esetben kapott eredmény egy nulla valós értékű komplex gyökpárat mutat, amely a stabilitás határára kényszeríti a rendszert. Vagyis ebben az esetben nem instabil a zárt kör, de nem is aszimptotikusan stabil. Valójában a rendszer állandó amplitúdójú csillapítatlan lengéseket végez állandósult állapotban. Ez azért fontos, mert ha a rendszert úgy vizsgáljuk, hogy nincs zavarás, és a bemenet felöl szabályozzuk, ez a gyök nem jelentkezik, mert egy pólus pont lefedi azt (3.3 alfejezet). Vagyis a Smith-prediktor igencsak érzékeny a zavarásra (erről még a dolgozat végén szó lesz). Abban az esetben, ha a zavarás téríti ki a rendszert, ez a pólus határhelyzetre kényszeríti azt. A későbbiekben szimulációval is bemutatjuk a jelenséget. Hasonlóan az előzőekhez, az instabil szabályozandó szakaszt tartalmazó rendszer stabilitási térképe is elkészíthető. Ebben az esetben az eredeti rendszerparaméter előjelét negatívra cserélhetjük (2.1. alfejezet, (2.27.)-es egyenlet). Az előző bekezdés megfontolása alapján, ha a rendszerparaméter és a prediktor paramétere megegyezik, vagyis Hy = H, egy?k. HAtényező kiemelhető. Jelen esetben is ez két valós pólust eredményez. K = ± H (3.38.) Ezek közül a negatív előjelű stabil, míg a pozitív instabil pólus. A vizsgált szakirodalmakban ezzel magyarázzák a Smith-prediktor korlátait, miszerint az instabil rendszerekre nem alkalmazható [2], [4], [5], [13]. Ez azonban csak speciális eset, a szakdolgozatban ezzel az Hy = H egyszerűsítéssel nem éltünk általánosan, így a számítás is bonyolultabbá vált. A rendszer instabil pólusainak meghatározása nem egyszerű feladat, erre azonban nekünk nincs is szükségünk. Pontosabban nekünk nem az instabil gyökök pontos értéke a fontos, hanem azok darabszáma. A Stépán módszerrel ezeket ebben az esetben is meg tudjuk határozni (3-8. ábra). A kapott D-görbék nagyon hasonlók a stabil rendszerhez, ellenben nem alakul ki az origóban a kis hurok, valamint minden tartományban eggyel növekszik az instabil gyökök száma. A rendszert leíró késleltetett differenciálegyenletekről (RFDE) tudjuk, hogy kis perturbációkra a gyökök folytonosan változnak [15]. Vagyis azt mondhatjuk, hogy kis eltérések esetén, ha Hy H, a rendszernek továbbra is megmarad egy instabil gyöke H + 0h környezetében. Ezzel is megmutatható az, miért nem alkalmas a Smith-prediktor instabil rendszer stabilizálására, ha a paramétereket az ideálishoz közel próbáljuk megválasztani. Nagy paraméterbizonytalanságok esetén azonban a helyzet bonyolultabb (3.5-ös alfejezet). 24

29 ábra: Stabilitási térkép (H 0,5, l 1, Hy 0,8H, l 0,5l) (minden tartomány instabil) 3-9. ábra: Gyökök változása a paraméterek változásával instabil rendszer esetén (H 0,5, l 1, l 1,1l, I 1, 1) Habár eltérő paraméterek mellett nem határozható meg az összes gyök analitikusan, numerikusan különféle módszerek állnak rendelkezésünkre. A fenti elméleti levezetés igazolására a DDE-BIFTOOL numerikus programot használtuk, eredményét mutatja a 3-9. ábra. Látható, hogy a rendszerparaméter becslésével változik az instabil gyök helyzete, de viszonylag nagy hiba esetén is kicsit mozdul csak el eredeti pontjából BIZONYTALAN RENDSZERPARAMÉTEREK Az előbbiekben bemutattuk és megvizsgáltuk azt az esetet, amikor a rendszer paramétereit, illetve az időkésést is viszonylag pontosan ismerjük, a bizonytalanság kicsi. Ez azonban nem jelenti azt, hogy ez általánosságban igaz. Előfordulhat, hogy nem határozhatjuk meg pontosan a paramétereket, vagy azok időközben nagymértékben változnak. A 25

30 következőkben vonatkoztassunk el a mechanikai példánktól és feltételezzünk egy egyszerű, tetszőleges másodrendű rendszert, mely paramétereit széles határok között ismerjük csupán. Ez a bizonytalanság legyen a valós érték akár több tízszerese (!). Elfogadva ezt a feltételezést, megvizsgálhatjuk azt, hogy a rendszer stabilitási határai hogyan változnak, és részletesebb betekintést nyerhetünk annak viselkedésére. Láthattuk, hogy az időkésés bizonytalansága kevésbé befolyásolja a rendszer stabilitását, mint a rendszerparaméteré (3-6. ábra és 3-7. ábra). Jelen alfejezetben rögzítsük a becsült l időkésést, és feltételezzük azt, hogy ezt pontosan ismerjük, vagyis l l. A rendszerparaméter bizonytalanságát ezzel szemben növeljük meg lényegesen, olyannyira, hogy annak előjele is megváltozhat. A mechanikai példánkon élve ez annyit jelent, hogy a valós ingához képest a prediktor modell inverz ingát feltételez. Ily módon legyen 50H < Hy < 50H. Korábbiakban a stabil nyitott rendszert vizsgáltuk elsődlegesen, tegyünk most is így első lépésben. A ábra ezt az esetet mutatja. A szélső esetekhez tartozó diagramokon a Smith-prediktor mellett a késleltetett PD szabályozó stabilitási görbéit is megtalálhatjuk. A második sor diagramjait figyelve (g)-től l)-ig) felfedezhetjük a már korábban, H = Hy (h)) körül tapasztalt hirtelen ugrást. Az alábecsült rendszerparaméter jelentősen megnöveli a területet, ezzel szemben viszont érdekes az, hogy a hiba növekedésével a stabil tartomány is növekszik (i)-től l)-ig), a D-görbe pedig határesetben az egyszerű PD szabályozó görbéjéhez tart (a) és l)). Vagyis a rendszerparaméter felülbecslése mellett annál nagyobb a stabil tartomány, minél nagyobb a hiba. Ez azonban nem növelhető a PD szabályozó tartománya fölé (l)), vagyis ebben az esetben a Smith-prediktor nem alkalmas a stabilitás növelésére. Látható az is, hogy abban az esetben, ha a prediktor modell paramétere előjelet vált (a)-tól f)-ig), vagyis instabil rendszert feltételezünk, nem kapunk stabil tartományt. A következőkben nézzük az instabil nyitott rendszer esetét. Az előző alfejezetben beláthattuk, hogy abban az esetben, ha a belső modell paraméterei pontosan ismertek (időkésés nem kritérium), akkor a zárt rendszer végtelen sok gyöke közül egyetlen gyökpár pontosan meghatározható, amely nem más, mint a nyitott rendszer gyökei. Kis perturbációk esetén pedig H környezetében marad egy instabil pólus. Nagy eltérés esetén már ez a feltételezés azonban nem helytálló, ezt mutatja a ábra. Tehát ha mindegy paraméter pontos (h)) nincs stabil tartomány. Ez igaz mindvégig, amíg a prediktor modell is instabil rendszert tartalmaz. Ha előjelet vált a modellparaméter (a)-tól f)-ig) ez bizonyos értéktől kezdve, miközben a PD szabályozó görbéihez tartunk megjelenik egy apró stabil tartomány. Ez a határérték meghatározható egyszerűen, ha keressük azt a kritikus értéket, melynél a D-görbe ω = 0 frekvencián függőleges érintővel rendelkezik, vagyis lim k d dω, d (3.39.) dω I 26

31 3-10. ábra: Stabil nyitott rendszer (H P 0) ábra: Instabil nyitott rendszer (H c 0) ahol I és a már korábban meghatározott parametrikus görbék (3.35.). Ezt kifejtve Hy l?6 Hl. A 6H l 6H. Hyl?1 H?3l l Al A HHy. l Y12 H?12l. 6ll l. A[ (3.40.) 3HyYHy.?2 Hl. A 2H l. H. Hyl?4l l A[ adódik. Tehát a fenti összefüggés csak akkor tarthat végtelenhez, ha a nevező zérus, így 3HyYHy.?2 Hl. A 2H l. H. Hyl?4l l A[ 0 (3.41.) a végső feltétel. 27

32 3-12. ábra: Hy \ rendszerparaméter Jelen formában a fenti összefüggés Hy-ra egy harmadfokú egyenlet, melyek egyik megoldása nulla. A másik két megoldás közül Hy \ H l H?4l l A 16H H.?8l. 8ll l. Aˆ 4 2Hl. (3.42.) adja a keresett kritikus értéket. A ábra Hy \ értékét mutatja H \ függvényében, vagyis keressük azt a kritikus paramétert, amely fölött stabil tartományt találhatunk. Megmutatható továbbá az is, hogy ha a nevező nullához tart, ez a határérték a végtelenségig növekszik, vagyis 4 2Hl. 0 H \ 2/l., (3.43.) amely azt mutatja, hogy a H \ kritikus rendszerparaméter fölött nem létezik olyan Hy \, amely mellett a rendszer stabil, vagyis a stabil tartomány teljesen megszűnik. Ez az érték pedig pontosan megegyezik a késleltetett PD szabályozóhoz tartozó kritikus értékkel. Ezzel az eredménnyel megmutatható, hogy a magyarázat, miszerint a Smith-prediktor nem alkalmazható instabil rendszerekre, mert a nyitott rendszer gyökei a zárt rendszer gyökei is egyben, nem helyes. Nagymértékben elhangolt paraméterek mellett található olyan érték a belső modellhez, ahol a zárt rendszer még stabil marad. Ellenben be kell látnunk azt, hogy ez esetben a Smith-prediktor egy PD szabályozóhoz tart, és instabil rendszerre alkalmazva továbbra sem javítja a rendszer stabilitását ÁLLAPOTTÉR MODELL A 3.2-es alfejezetben bemutatott blokkdiagramok nem, vagy rosszul kezelik a kezdeti feltételek megadását. A 3-1. ábra nem is veszi figyelembe a külső beavatkozást, csak a bemeneti jelet, amely az egyensúlytartás miatt konstans nulla. A stabilitást azonban a kezdeti feltétel lineáris rendszer esetén nem befolyásolja. Jelen esetben azonban a kezdeti feltétel a 28

33 valós rendszeren egy olyan beavatkozás, amelyet célszerű megfelelően figyelembe venni, hiszen ez felel meg egy külső ütközésnek, lökésnek, ami a rendszert kibillenti egyensúlyi állapotából. Ez a kezdeti feltétel egy kezdeti pozíciót és kezdeti szögsebességet jelent. k k k (3.44.) A korábban bemutatott 3-2. ábra sem kezeli megfelelően a kezdeti feltételt. Ez ugyanis nem ír elő sem kezdeti szögsebességet, sem kezdeti pozíciót. Bár a rendszer stabilitása szempontjából hasonló beavatkozást jelent a szabályozóerő megzavarása, a rendszer működése tekintve azonban nem ekvivalensek egymással. A modell kiegészítését állapottér modell átírásával érhetjük el. Az ÁTM modell időtartományban definiált állapot egyenlete (3.45.) és kimeneti egyenlete (3.46.) a következő?a =?A + u?a, (3.45.)?A =?A + u?a. (3.46.) Az állapotváltozó tetszőlegesen megválasztható, jelen esetben célszerű a szöghelyzet és a szögsebesség időfüggvényét választani.?a =?A?A (3.47.) Mind a valós rendszer, mind pedig a prediktor modell esetén felírható ez az alak, hiszen mindkét esetben a bemenet az u?a szabályozóerő, ahogy azt a 3-1. ábra blokkdiagramja mutatja. Az együtthatómátrixok felírásához csak a nyitott rendszer egyenletét kell ismerni, amelyet a (2.24.)-es egyenlettel már levezettünk. A jobb oldal ez esetben az u?a szabályozóerővel helyettesítendő. Kimenetként a szöghelyzetet választjuk, hiszen az eredeti Smith-prediktort egyetlen kimenetre írták fel, így egy egy bemenetű, egy kimenetű (SISO) rendszert kapunk. Így az állapottér modell mátrixai a következő alakot nyerik:?a?a = 0 1 H 0?A?A u?a,?a = š1 0?A?A (3.48.) = 0 1 H 0, = 0 1, = š1 0, D = 0 (3.49.) Hasonlóan a prediktor modell ÁTM egyenleteit is felírhatjuk, a különbség csak az, hogy a megfelelő paramétereket a prediktált paraméterekre kell kicserélnünk. y?a = u y?a + u u?a, y?a = ž y?a (3.50.) Ÿ y?a y?a = 0 1 Hy 0 Ÿy?A y?a u?a, y?a = š1 0 Ÿy?A y?a (3.51.) 29

34 3-13. ábra: Általános ÁTM modell blokkdiagramja ábra: Smith-prediktor ÁTM modellel kiegészített blokkdiagramja Így helyettesíthető a korábban egyetlen blokkal jelzett átviteli függvény egy bonyolultabb struktúrával, amely azonban egyenértékű azzal. A kezdeti feltételek megadását az ÁTM egyenletek segítségével határozhatjuk meg. Vegyük a (3.45.) és (3.46.)-os egyenletek Laplace transzformáltjait úgy, hogy a derivált tag esetén a kezdeti feltételt nem hagyjuk el. Ez esetben az egyenlet a következő alakot ölti. K?KA k?ka U?KA (3.52.)?KA?KA U?KA (3.53.) Elegendő a (3.52.)-es összefüggést átrendeznünk, amelyben a kezdeti feltétel jól elkülöníthető. Így látható, hogy a blokkdiagramon a bevezetésnek az integráló tag előtt kell lennie, a bemenettel összegezve. A szimulációban lehetőségünk van az integrátor kezdeti feltételeként is megadni ezt az k vektort.? A?K A`>? k U?KAA (3.54.) Az így kapott ÁTM blokkstruktúrát mutatja a ábra. Látható, hogy így már megfelelő módon figyelembe tudjuk venni a rendszer kezdeti állapotát (az integrátor bemenetén egy dirac-impulzussal), amit az egyszerű átviteli függvénnyel nem tudtunk volna. Hasonlóan a fentiekhez a Smith-prediktor ekvivalens struktúrája is elkészíthető. A különbség csak az, hogy nem kell kezdeti feltételt figyelembe vennünk a prediktor modellen, csak a valós rendszeren. Ennek oka, hogy a prediktor kezdeti feltétele tekinthető az egyensúlyi 30

35 helyzetnek, ha pedig nem az, akkor stabil rendszer esetén véges időn belül is az egyensúlyi pontba kell konvergálni. Célszerű tehát olyan rendszert feltételezni, ahol a t 0 időpontban a prediktor modell egyensúlyban van, vagyis y? k A, de a valós rendszert egy hirtelen ütközés kibillenti, tehát? k A. Ezen felül a pontos kezdeti feltételt nem is ismerjük, így nem is adhatunk neki értéket a modellben. Itt ismét megjegyezhetjük azt is, hogy bár ez a feltételezés lényegesen jobban ír le egy valós helyzetet, a stabilitást a kezdeti feltételek nem befolyásolják. A következőkben tegyünk egy új átalakítást. Az eredeti Smith-prediktort blokkdiagram formájában mutatták be, elsősorban SISO rendszerekre. A korábbiakban mi egy PD szabályozót alkalmaztunk, ahol a beavatkozás meghatározása a kimenet és a kimenet érintőjével arányos módon történik. Modern szabályozások alapja azonban az ÁTM modell és az állapotvisszacsatolás, ahol nem egyetlen kimenetet, hanem a rendszer teljes állapotvektorát csatoljuk vissza. Jelent esetben tehát?a?a, és a kimeneti mátrix megfelel egy egységmátrixnak. Vegyük észre azonban, hogy jelen esetben, ha a teljes állapotot csatoljuk vissza egy erősítési vektor segítségével, végső soron ugyanarra az eredményre jutunk, például?ka?i + K A L`> I?A +?A, és ši?a?a I?A +?A. (3.55.) Meg kell azonban jegyezni azt, hogy ez általánosságban nem ilyen egyszerű. Előfordulhat, hogy bizonyos elemei az állapotvektornak nem hozzáférhetők, nem mérhetők, így visszacsatolni sem tudjuk azokat. Ilyen esetben azonban alkalmazható úgynevezett megfigyelő (observer), amelynek lényege, hogy a kimenet és bemenet ismerete alapján a rendszer matematikai modelljének ismeretében meghatározza az aktuális állapotvektort [16]. Ehhez azonban szükséges egy observer-struktúra felállítása és meghatározása, amely esetén szintén beszélhetünk paraméterbizonytalanságokról. Ennek vizsgálata azonban nem képezi a jelen dolgozat témáját, így ettől eltekintünk. Feltételezzük tehát a továbbiakban, hogy a rendszer állapotvektora hozzáférhető, és ezt késleltetve vissza is csatolhatjuk. Ez alapján a ÁTM modell a következő apró átalakításokkal írhatjuk át.?a =?A + u?a, (3.56.)?A =?A, ahol = (3.57.) A szabályozó erő meghatározása a késleltetett és prediktált állapotok alapján történik, amely könnyen levezethető a blokkdiagramból. u?a = Y?A? la y? l A + y?a[, = š I, (3.58.) ahol?a a bemenet időfüggvénye, mivel jelen esetben az egyensúlyi állapotban tartás a cél, így?a. 31

36 3-15. ábra: Smith-prediktor ÁTM modell állapotvisszacsatolással 3.7. SZABÁLYOZÓERŐ IDŐFÜGGVÉNYE A szabályozóerő a motor szabályozóerejének időfüggvénye, amely a beavatkozás és stabilitás miatt fontos. Ez a szabályozóerő fogja az ingát egyensúlyi helyzetben tartani. Ismeretében egyben meghatározható az inga mozgásegyenlete is. Az így kapott megoldásokat szimulációval is összehasonlíthatjuk. Vegyük a 3-1. ábra egyenleteit és összefüggéseit. Az időfüggvény meghatározható, ha a visszacsatolt állapotot és a szabályozó paramétereit ismerjük. Ehhez vegyük úgy a rendszert, mintha bemeneti jel konstans nulla lenne. Amint már említettük, ez megfelel a valóságnak, hiszen a célunk az egyensúlyi helyzetben tartás. Ebben az esetben a szögelfordulás és szögsebesség is nulla, vagyis az állapotvektort a (3.59.)-es összefüggésnek megfelelően definiálhatjuk?a?a és y?a Ÿy?A?A y?a. (3.59.) Ezek alapján az időfüggvény a blokkdiagramból kifejezhető, ha a teljes egyenletet időtartományban írjuk fel. Az időfüggvényben az is látszik, hogy a hullámmal jelzett prediktált tagok is megjelennek a valós rendszer visszacsatolásán kívül. Ha minden paraméter megegyezik, feltételezhető, hogy a késleltetett tagok kiesnek és az ideális visszacsatolást kapjuk vissza. Az állapotváltozókkal leírt szabályozóerő időfüggvényének egyenlete u?a Y? la y? l A y?a[, ši, (3.60.) amely bármelyik korábban bemutatott blokkdiagramból könnyen levezethető. A mellékletben megtalálható matematikai módszerrel megoldhatjuk az egyenletet, de problémát jelent, hogy nem ismerjük az állapotváltozók időfüggvényeit, így ezzel a megközelítéssel közvetlenül nem oldható meg a szabályozóerő időfüggvénye. Ehhez kiegészítő 32

37 egyenletekre van szükségünk. Ezeket az egyenleteket a rendszer állapottér modell leírásából nyerhetünk, amely során korábban a valós rendszert és a prediktort két külön részre bontottuk szét:?a?a + u?a,?0a = k y?a = u y?a + u u?a, y?0a = y k (3.61.) = 0 1 H 0, u = 0 1 Hy 0, = u = 0 1 (3.62.) Ebből az alakból már kifejezhetők az állapotváltozót, felhasználva a mátrixexponenciális módszert. Tehát a megoldást az együtthatók variálásnak módszerével keressük, vagyis a megoldás keresett alakját mutatja?a = e?a. (3.63.) Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe, majd leegyszerűsítve az összefüggést, a lenti alakhoz jutunk:?a = e` u?a (3.64.) A kezdeti feltételek megfogalmazásával és a (3.64.)-es alak integrálásával és áthelyettesítésével kapjuk a?a = e? ` ªA ª + «e? `A u?kadk (3.65.) ª összefüggést. Megmutatható, hogy abban az esetben, ha a késleltetett állapotváltozóra oldjuk meg az egyenletet, egyszerűen helyettesíthető l -val, valamint a prediktor modell a prediktált paraméterivel. `o? la = e? `o` ªA ª + «e? `o`a u?kadk (3.66.) ª y?a = e u? ` ª A y ª + «e u? `A u?kadk (3.67.) ª `oy y? l A = e u? `oy` ª A y ª + «e u? `oy`a u?kadk (3.68.) ª Ezt követően a fenti megoldásokat a (3.60.)-as kiinduló egyenletbe helyettesíthetjük vissza. Látható, hogy a szabályozóerő időfüggvénye meghatározható a rendszer kezdeti állapotából, valamint a korábbi szabályozóerőkből. Logikus választás k = 0 kezdeti feltétellel számolni, így az összefüggés egyszerűsödik (ha k 0, akkor koordináta-transzformációt használhatunk). 33

38 u?a = ^? la e u? `oya `oy y k + «e u? `oy`a u?kadk + e u y k + «e u? `A u?kadk k k a (3.69.) Megfigyelhető az is, hogy a szabályozóerő meghatározásánál szükség van a modell és a valós rendszer kezdeti feltételeire (ez lehet zérus is), illetve a kezdeti időponttól történő integrálásra. Egyensúlyi helyzetet feltételezve ezek a kezdeti feltételek ( y k = ) zérusnak vehetők, ahogy már korábban említettük, vagyis u?a =? la «`oy e u? `oy`a u?kadk k + «e u? `A u?kadk k (3.70.) Látható, hogy a szabályozóerő meghatározása így már csak a mért állapottól és a prediktor modelltől függ. Az így kapott megoldás hasonlít a [17]-es forrásban publikálthoz, de attól egy általánosabb alakot állapítottunk meg. Ebben jelentősen különbözik a Smithprediktor más szabályozóktól, például az FSA szabályozótól, ahol az integrálás csak egy adott időre nyúlik vissza [9]. A különbségeket részletesebben a 3.10 alfejezetben mutatjuk be. A szabályozóerő meghatározása a motor szempontjából lényeges, ellenben számunkra az inga mozgása a fontos. Ez utóbbit a (3.65.)-ös egyenlet írja le. Vagyis a szabályozóerő időfüggvényének ismeretében meghatározható az inga mozgásának is az időfüggvénye, amin jól látható annak stabil vagy instabil viselkedése. Az állapottérmodell egyenleteivel is lehetőségünk van az átviteli függvény meghatározása, ha már a szabályozóerő időfüggvényét ismerjük, vagyis?a =?A + u?a, (3.71.) y?a = u y?a + u?a, (3.72.) u?a = Y? la y? l A + y?a[. (3.73.) Helyettesítsük be a szabályozóerő függvényét az állapotegyenletekbe?a =?A + Y? la y? l A + y?a[, (3.74.) y?a = u y?a + u Y? la y? l A + y?a[. (3.75.) Ezt követő lépésben Laplace-transzformáljuk az összefüggéseket, valamint rendezzük mátrix egyenletbe azokat, így Ÿ K e`o?1 e`oy A u e`o K u u?1 e`oy A Ÿ?sA u?sa = 0. 0 (3.76.) Ebben a formában a karakterisztikus egyenletet det Ÿ K e`o?1 e`oy A u e`o K u u?1 e`oy A = 0 (3.77.) 34

39 összefüggés definiálja. Látható, hogy a Smith-prediktor ilyen módon mindenképpen megduplázza a rendszer rendszámát, tehát ha az eredeti nyitott rendszer n-ed rendű, úgy a zárt rendszer 2n rendűvé válik SZABÁLYOZÓERŐ DISZKRETIZÁLÁSA A (3.69.)-es alakban meghatározott szabályozóerő a folytonos rendszer működését írja le. Az egyenlet megoldásakor több probléma is felvetül. Például az integrál analitikus alakja túlságosan bonyolult, ráadásul az integrálási tartomány egészen időpontig tart. Ennek eredményeképpen az integrál implicit tartalmazza u?a szabályozóerő időpillanatbeli értéket. Ez az egyenlet azonban numerikusan könnyen kezelhető. A megoldásra szükségünk van, ehhez fix időlépésenként közelítjük az egyenletet. Egy integrált a következő alakban közelíthetünk: `> «?jadj U?j A j, k ]k N = T j. (3.78.) Ez a formula téglalapokkal közelíti a függvénygörbe alatti területet. Akkor ad pontosabb megoldást, minél kisebb a j lépés. A lépésszám növekedésével a megoldás tart a pontos megoldáshoz, ellenben a számításigény lényegesen növekszik. Fontos, hogy akkora lépésközt találjunk, amekkorával a hiba minél kisebb, ugyanakkor értékelhető eredményt kapunk viszonylag rövid idő alatt. Ha túl nagy ez a lépésköz például egy differenciálegyenlet esetén, a stabil megoldás instabillá is válhat, vagy túl kicsi esetén sok hiba halmozódhat fel, éppen ezért lényeges kérdés annak megfelelő megválasztása. A Smith-prediktor esetén az állapotváltozókra megoldott analitikus egyenleteteket kell diszkretizálnunk. Ehhez az időkésést és az adott időt is diszkrét alakban kell megfogalmaznunk: e = l l, e = (3.79.) = h, `\ =?h ea, `\ =?h e A (3.80.) A dimenziótlanított időlépésekkel felírható a szabályozóerő diszkrét időfüggvénye: u? A = Y? `\ A y? `\ A + y? A[ (3.81.) A megoldáshoz az állapotváltozók egyenleteit is meg kell oldanunk diszkrét alakban. Vagyis a közelítés során valamennyi változót úgy keresünk, hogy a kezdeti értékektől a jelenbeli értékekig ismert állapotváltozókból meghatározzuk a következő időbeli értéket. Vagyis k, >. időpontbeli értékekből határozzuk meg a W> időbeli értéket. A közelítés problémája, hogy a pontos megoldást elvileg csak a végtelenül kicsi időlépésekkel érnénk el. 35

40 Valójában viszont viszonylag gyorsan elvégezhetők a számítások numerikusan, így számítógéppel gyorsan eredményt kaphatunk. `>? W> A e k + Ue? ` A uy W> [ ]k `> y? W> A = e u y k + Ue u? ` A uy W> [ ]k (3.82.) (3.83.) Fenti egyenletek a valós rendszer és a prediktált rendszer állapotváltozónak diszkrét megoldási egyenletei. Könnyebbséget jelent, hogy a késleltetett tagot nem kell ismételten kiszámítanunk, hiszen az a keresett állapotváltozó adott idővel korábbi értéke. A (3.81.)-es összefüggésbe helyettesítve a fenti egyenleteket, a szabályozóerő időfüggvénye és egyben az inga mozgásegyenlete is meghatározható, hiszen ez? A diszkrét időfüggvény az folytonos megoldást közelíti. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszer indításakor egy tranziens jelenséghez hasonló jelenséget kell figyelembe vennünk. Ez azért van, mert amíg az időkésés le nem telik, a visszacsatolásban jel nem jelenik meg (ilyet mutat például a ábra szabályozóerő függvényének kezdeti szakasza). Vagyis a numerikus program elkészítésekor figyelembe kell venni azt is, hogy kezdeti időponttól l és l időkésésig melyik jel ér vissza hamarabb. Tehát ha például l < l, akkor l ideig nincs jel, majd y jel ér vissza elsőként. Ha azonban l < l, akkor l ideig nincs jel, majd jel után érkezik csak az y visszacsatolt jel l l idővel. Ilyen példát mutat a ábra. A 0 < l intervallumon nincs kimeneti jel, mivel a késleltetés a bemeneti jelet l ideig tartja, hiába van bemenet. Ezt követően l < l tartományon csak?a jel ér még vissza, y?a jel csak l idő után jelentkezik. A pontos szabályozóerő meghatározásához ezt a jelenséget kell megfelelően figyelembe venni. Egy másik megoldás lehet egy kezdeti függvény figyelembe vétele kezdeti feltétel helyett, vagyis definiálhatunk egy?a függvényt, ahol š l,0 vagy š l,0, attól függően, hogy l nagyobb-e mint l. Ez numerikus esetben szintén könnyen megvalósítható, ráadásul jelen esetben mivel egyensúlyi állapotot feltételezünk, így ez a függvény konstans nulla (kivéve a = 0 időpont). A végeredmény természetesen megegyezik azzal, mintha csak egy kezdeti feltételünk lett volna. A numerikus számítás tovább egyszerűsíthető, illetve gyorsítható, ha már korábban kiszámított értékeket nem számítunk ki újra. A fenti egyenletben látszik, hogy az összegképzés a nulla időponttól kezdődik. Ez a számítás során minden egyes ciklusban újraszámítódna, ezért érdemes az értékét tárolni, és csak a következő ciklusban történt változással számolni. Vagyis jelen esetben a függvénygörbe alatti területet nem számítjuk ki minden lépésben újra (hiszen az mindig adott), hanem csak a következő szakasz alatti területet adjuk hozzá. Ez természetesen csak a számításban jelent egyszerűsítést, az időfüggvény esetén az integrálási tartomány nem változik, csak a korábbi értékeket nem számítjuk ki újra, mivel értékük változatlan. 36

41 l l l l l l ábra: Késleltetett visszacsatolás? W> A e µ e u? A (3.84.) y? W> A e u y µ e u u? A (3.85.) A fenti levezetéseket az inga példájára mutattuk be, amely esetén a bemenetet zérusnak feltételeztük az egyensúlytartás miatt. Hasonló megfontolásokkal, a blokkdiagramon megmutatható, hogy a bemenet értéke is figyelembe vehető, ellenben ez a pozíciószabályozáshoz hasonló, nem egyensúlyozáshoz. Ez esetben a szabályozóerő kiegészül egy bemeneti?a jellel, amely könnyen hozzávehető a fenti egyenletekhez, tehát u? A Y? `\ A y? `\ A y? A? A[. (3.86.) A ábra egy stabil és instabil paraméterkombináció esetén történő megoldást mutat be. A kezdeti feltétel lehet szögelfordulás vagy szögsebesség, jelen esetben ez utóbbinak adtunk nullától eltérő értéket. A stabil paraméterkombináció hatására a rendszer lassú lecsengéssel áll vissza az egyensúlyi helyzetébe. Instabil esetben az egyik domináns instabil gyök fogja meghatározni a lengést. Ha a legnagyobb instabil gyök tisztán valós, lengések nem jelentkeznek, a rendszer exponenciálisan elszáll. Ha ez a gyök egy komplex gyökpár, a megoldás exponenciálisan növekvő lengésű. Érdemes a szabályozóerő és a szöghelyzet időfüggvényét is megtekinteni (3-19. ábra). Látható, hogy hiába van a Smith-prediktor szabályozó beépítve, ha nem mérjük külön szenzorral a zavaró jellemzőt (vagy kezdeti feltételeket), a külső behatásra a szabályozóerő mindig l idővel később jelentkezik. Ez azért van, mert ha egyetlen szenzort használunk, annak időkésését így nem tudjuk megkerülni. Ha a rendszert az?a bemenet felöl szabályozzuk, nem 37

42 pedig a?a zavarással, ahogy a 3-2. ábra mutatja, akkor ez az időkésés nem okoz problémát. Ellenben ez nem felel meg az inga egyensúlyozásának, hiszen a bemenet az egyensúlyi helyzet, ami konstans nulla értékű. Ha ezt ettől eltérőnek vesszük, az azt jelentené, hogy az ingát egy egyensúlyi helyzettől eltérő pozícióba kívánjuk hozni, vagy pozíciószabályozás céljára kívánjuk használni a szabályozót. Ezt az esetet nem vesszük figyelembe a jelen dolgozatban, de az eddigiekkel analóg módon kezelendő. Eltérés csak az ideális esetben van, amit már tárgyaltunk, amikor egy zérussal egy instabil gyök kiejthető. Speciális esetként kezelendő tehát a korábban már levezetett Hy H paraméterkombináció. Ez esetben ugyanis jelentkezik egy nulla valós értékű komplex póluspár (3.37.). Ennek eredményeképpen a rendszer állandósult állapotban nem cseng le, állandó amplitúdójú lengéseket végez (Lyapunov értelemben stabil, nem aszimptotikusan). A ábra egy ilyen esetet mutat be. Habár a szabályozóerő exponenciálisan lecsökken, a rendszer mozgása nem áll meg. A rendszer pólusinak száma és milyensége határozza meg a beállást. A statikus stabilitásvesztési görbe átlépésével eggyel növekszik az instabil gyökök száma. Ez azért van mert itt egy tisztán valós gyök lépi át a képzetes tengelyt balról jobbra. Ennek eredményeképpen az egy instabil gyököt tartalmazó tartományon az időfüggvény megoldása exponenciálisan növekszik. Dinamikus stabilitásvesztés esetén a domináns instabil gyökpár egy komplex konjugált pár. Így a megoldás exponenciálisan, lengésekkel elszáll. Ezt a két példát mutatja a ábra. Az időfüggvényeket meghatározó numerikus programot MathWorks MATLAB programmal készítettem. Az eredményeket Simulink szimulációs környezettel kapott eredményekkel hasonlítottam össze. A két numerikus megoldás teljesen megegyező görbéket adott, eltérés csak a numerikus sémák között volt. A szimulációban ugyanis a pontosabb megoldás érdekében negyedrendű Runge-Kutta megoldót alkalmaztunk ábra: Számítási eredmények stabil (I 0, 8) és instabil (I 0, 11) esetre (H 0,5, l 1, Hy 0,8H, l 0,5l) 38

43 Elkészítettük a rendszer állapottér modellje alapján felírható blokkdiagramját Simulink környezetben, majd ennek az eredményét vetettük össze. A ábra az így kapott szabályozóerők eltérését mutatja néhány pontban kinagyítva. A legnagyobb eltérések az időintervallumok végén jelentkeznek, mivel a numerikus integrálok hibája az időlépések növekedésével folyamatosan nő. Ez a növekvő eltérés látható a kinagyított pontokon. Ezzel szemben viszont viszonylag kicsi időlépéssel, rövid idő alatt elég pontos eredményt kaphatunk ábra: Számítási eredmények paraméteregyezés esetén (H 0,5, l 1, Hy H, l 0,5l, I 3, 3) ábra: Számítási eredmények egy stabil példára (H 0,5, l 1, Hy 0,8H, l 0,5l, I 0, 7) 39

44 Statikus stabilitásvesztés Dinamikus stabilitásvesztés ábra: Statikus és dinamikus stabilitásvesztés Diszkrét egyenlet Simulink ábra: Simulink és Diszkrét egyenlet eredményei (időlépés: 0,005) (Folytonos vonal a számítás, szaggatott a szimuláció eredménye) 3.9. STABILITÁSVIZSGÁLAT A DISZKRETIZÁLT MOZGÁSEGYENLETTEL Korábbi fejezetekben levezettük a Smith-prediktor átviteli függvényét, amelyre a (3.12.)-es egyenlet adódott. Ezt az alakot a (3.31.)-es összefüggésben polinomtört formára tudtuk hozni, de a kifejezés továbbra is a bemenet és a kimenet kapcsolatát mutatja. A nevezővel átszorozhatjuk az egyenletet, és az így kapott negyedrendű egyenlet a rendszer egyenlete a bemenet és kimenet között. Abban az esetben, ha a bemenet zérus, vagyis jelen esetben egyensúlyozásról beszélünk, a jobb oldal értéke nulla, hiszen az?a bemenet is nulla. Mivel a kimenet alap esetben a szögelfordulás, a blokkdiagramon jelezett x kimenetet most koordinátával helyettesíthetjük. 40