INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK
|
|
- Flóra Patakiné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1
2 ROBOTMANIPULÁTOROK KINEMATIKÁJA Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 2
3 1.1 ROBOTMANIPULÁTOROK GEOMETRIAI MODELLJE A robotmanipulátor mint mechanizmus n számú szegmensből áll melyeket 1-szabadságfokú csuklók kapcsolnak össze. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 3
4 Robotcsuklók A merev test mozgása műszaki szempontból a mozgástengelyek (x,y,z) menti elmozdulásból és e tengelyek körüli elfordulásból áll. Ez persze vonatkozik a robotmanipulátorok mozgására is amely felosztható haladó -és forgó ( rotációs ) mozgásra. Így tehát az 1-szabadságfokú robotcsuklók felosztása a következő: rotációs csukló, transzlációs csukló. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 4
5 A rotációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens forgó mozgását a másik szegmens körül, R szimbólummal jelöljük és sematikusan hengerrel ábrázoljuk. l 1 z l 2 q 1.1. ábra A rotációs csukló vázlata Dr. Mester Gyula Robotkinematika 5
6 A transzlációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens haladó mozgását a másik szegmenshez viszonyítva, T szimbólummal jelöljük és sematikusan hasábbal ábrázoljuk. l 1 l 2 z q 1.2. ábra A transzlációs csukló vázlata Dr. Mester Gyula Robotkinematika 6
7 A 1.3 ábrán a 6-szabadságfokú PUMA típusú robototmanipulátort mutatjuk be, a 1.4 ábrán pedig a PUMA robotmanipulátor vázlata látható: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 7
8 1.3. ábra A PUMA robotmanipulátor q 2 q 3 q 1 q 5 q 6 q 4 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 8
9 1.4. ábra A PUMA Robotmanipulátor vázlata Dr. Mester Gyula Robotkinematika 9
10 Robotszegmensek A robotmanipulátor szegmense merev test, amely kinematikai- és dinamikai paraméterekkel rendelkezik. A kinematikai paraméterek a szegmens hossza és a robotcsukló-tengelyek egymással között bezárt szöge. A dinamikai paraméterek közé tartozik a szegmens tömege, és tehetetlenségi nyomatéka. A kinematikai paramétereket a Denavit-Hartenberg féle eljárás szerint határozzuk meg. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1
11 1.5. Ábra Robotszegmens q i-1 q i i-szegmens (i-1) - csukló i-csukló Dr. Mester Gyula Robotkinematika 11
12 Kinematikai pár A kinematikai pár két egymás mellett lévő szegmensből és a szegmenseket összekötő csuklóból áll. A továbbiakban csak 1-szabadságfokú kinematikai párokat vizsgálunk (rotáció vagy transzláció). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 12
13 Kinematikai lánc A kinematikai lánc n számú kinematikai párból áll. A kinematikai láncok struktúrális szempontból csoportosíhatók: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 13
14 egyszerû összetett Kinematikai lánc - felosztása - nyitott zárt 1.6. ábra Kinematikai láncok felosztása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 14
15 Az egyszerű kinematikai láncnál egyik szegmens sem kapcsolódik több mint két kinematikai párhoz. Az összetett kinematikai láncnál legalább egy szegmens több mint két kinematikai párhoz tartozik. A nyitott kinematikai lánc legalább egy szegmense csak egy kinematikai párhoz tartozik. A zárt kinematikai láncnál minden szegmens két kinematikai párhoz tartozik. A kinematikai láncok típusai az 1.7. ábrán láthatók. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 15
16 egyszerű, nyitott kinematikai lánc összetett, nyitott kinematikai lánc egyszerű, zárt kinematikai lánc összetett, zárt kinematikai lánc Dr. Mester Gyula Robotkinematika 16
17 A mechanizmusok elmélete szempontjából a robotmanipulátorok aktív mechanizmusai általános esetben összetett és változó struktúrájú kinematikai láncok [2]. Egy ipari robot kinematikai láncának szerelés közben változó struktúráját a ábrákon mutatjuk be. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 17
18 Vizsgáljunk meg egy 6-szabadságfokú PUMA típusú robotmanipulátort. A munkadarab megfogása előtt a robotmanipulátor kinematikai lánca egyszerű és nyitott: 1.8. ábra A szerelő robot a munkadarab megfogása előtt Dr. Mester Gyula Robotkinematika 18
19 A munkadarab szállítása közben a robotmanipulátor kinematikai struktúrája nem változik, de a kinematikai lánc utolsó tagjának ( a megfogó-effektor és a munkadarab együttesen ) a tömege és tehetetlenségi nyomatéka változik, ami persze kihat a szemlélt rendszer dinamikájának változására: 1.9. ábra A munkadarab szállítása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 19
20 A munkadarab szerelésénél pedig (1.9. ábra) megváltozik a robotmanipulátor kinematikai struktúrája is, mivel az, egyszerű és zárt kinematikai struktúrájú lesz: Dr. Mester Gyula 1.1. Robotkinematika ábra A munkadarab szerelése 2
21 Robotmanipulátorok alapkonfigurációi A robotmanipulátorok alapkonfigurációja alatt egy három csuklós, tehát 3 - szabadságfokú kinematikai láncot értünk. Az alapkonfigurációhoz csatlakozik az effektor. Az alapkonfiguráció feladata az effektor pozícionálása a munkatérben. A legtöbb használatban lévő robotmanipulátor rendelkezik ilyen alapkonfigurációval. Mivel a robotcsuklók rotációsak és transzlációsak lehetnek, így az alapkonfigurációk esetében a 1.1. ábra szerinti kombinációk jelentkezhetnek. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 21
22 Robotmanipulátorok alapkonfigurációi No. Struktúra vázlat Struktúra vázlat 1 RRR 5 TRR 2 RRT 6 TTR 3 RTT 7 TRT 4 RTR 8 TTT ábra A robotmanipulátorok lehetséges alapkonfigurációinak bemutatása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 22
23 Fontos kihangsúlyozni azt is, hogy a robotmanipulátor alapkonfigurációk kinematikai paramétereitől függően az ábra egy-egy eseténél több kombináció is lehetséges. Ez például a SCARA (Selective Compliant Articulated Robot for Assembly) RRT struktúrájú szerelő robotmanipulátor esetében szemléletesen bemutatható (1.12. ábra). z q 1 z 1 q ábra A SCARA szerelőrobot alapkonfigurációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 23 z 2 q 3
24 Az alapkonfigurációk munkaterei A robotmanipulátor alapkonfigurációjának a munkatere alatt azt a bejárható térnagyságot értjük, amelynek minden pontjában eljuthat a harmadik szegmens végső pontja. A továbbiakban a 4 leginkább használt alapkonfiguráció munkaterét vizsgáljuk [7]: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 24
25 a. A TTT struktúra munkatere: A TTT struktúra 3 transzlációs csuklóval rendelkezik. Három haladó mozgást valósít meg egy Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. A ábrán látható a TTT alapkonfiguráció munkatere, amely hasáb alakú. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 25
26 z a y o x ábra A TTT struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 26
27 b. Az RTT struktúra munkatere: Az RTT struktúra 2 transzlációs és 1 rotációs csuklóval rendelkezik (az első csukló rotációs a másik kettő pedig transzlációs). Két haladó és egy forgó mozgást valósít meg. A ábrán látható az RTT alapkonfiguráció hengergyűrű alakú munkatere. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 27
28 z b y o x ábra Az RTT struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 28
29 c. Az RRT struktúra munkatere: Az RRT struktúra 2 rotációs és 1 transzlációs csuklóval rendelkezik (az első két csukló rotációs a harmadik pedig transzlációs). Két forgó és egy haladó mozgást valósít meg. Az ábrán látható az RRT alapkonfiguráció üreges gömb alakú munkatere. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 29
30 z c y o x ábra Az RRT struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 3
31 d. Az RRR struktúra munkatere: Az RRR struktúra 3 rotációs csuklóval rendelkezik három forgás Az ábrán látható az RRR alapkonfiguráció munkatere, amely gömb alakú: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 31
32 Z d y o x ábra Az RRR struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 32
33 Ha feltételezzük, hogy a fent említett alapkonfigurációk paraméterei azonosak, tehát: - az elmozdulások maximális hossza l, - a maximális rotáció nagysága 18o és - a rotációt végző szegmensek hossza l, akkor megállapítható, hogy az RRR struktúra munkatere a legnagyobb. Itt viszont azt is meg kell említeni, hogy a pozícionálási hiba nagyobb azoknál a robotmanipulátoroknál amelyek rotációs csuklókkal rendelkeznek (mivel a rotációs csuklóknál a pozicionálási hibák szuperponálódnak). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 33
34 Az ipari alkalmazásban mégis a rotációs csuklókkal rendelkező robotmanipulátorok vannak többségben, egyrészt a szervomotor forgómozgása, másrészt a robotirányítás könnyedsége miatt. Ugyanis a transzlációs csuklóknál a szervomotor forgómozgását át kell alakítani haladó mozgássá, ami a robotmanipulátoroknál kotyogást és mechanikai veszteségeket idéz elő. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 34
35 1.2. A ROBOT HELYZETMEGHATÁROZÁSA Dr. Mester Gyula Robotkinematika 35
36 Bevezetés A robotirányítás legegyszerűbb feladata az effektor helyzetmeghatározása a munkatérben. Figyeljük tehát azt a feladatot amikor egy munkadarabot helyezünk át az 1-es helyzetből a 2-es helyzetbe (1.17. ábra). Először az effektort pozícionálni kell a munkadarab közelébe, majd a munkadarab megfogása céljából el kell végezni az effektor orientációját is ( 1-es helyzet). A robot helyzete a munkatérben tehát az effektor pozíciójával és orientációjával van meghatározva [3]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 36
37 ábra A munkadarab áthelyezése Dr. Mester Gyula Robotkinematika 37
38 A következő lépés a munkadarab megfogása és áthelyezése (2-es helyzet). Itt új pozíciót és orientációt szükséges definiálni. Amikor a munkadarab a 2-es helyzetbe kerül, az effektor kinyílik így a munkadarab a végső helyzetébe jut. A robot pozícionálása a szerelőrobotok legegyszerűbb feladata. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 38
39 Az effektor pozicionálása A robotmanipulátor pozícionálása alatt az effektor világkoordináták (x,y,z) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. A pozícionálási feladat elvégzésére 3 szabadságfokra, vagyis a robot alapkonfigurációjára van szükség. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 39
40 Az effektor orientációja A robotmanipulátor orientációja alatt az effektornak a 3 térbeli szög (ψ, θ, ϕ) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. A orientációs feladat elvégzésére tehát további 3 szabadságfokra van szükség. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 4
41 Az ipari robotmanipulátorokat leginkább 4, 5 és 6 szabadságfokú struktúrával gyártják. A 4 - szabadságfokú robotmanipulátor, 3 szabadságfokkal el tudja végezni a pozicionálást (x, y, z), a 4. szabadságfokkal pedig egy szög szerinti orientációt (ψ), tehát a robot képes elvégezni egyszerűbb térbeli manipulációs feladatokat (munkadarab szállítás, présgépek kiszolgálása stb.). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 41
42 Az 5 - szabadságfokú robotmanipulátor 3 szabadságfokkal el tudja végezni a pozicionálást (x, y, z), a 4. és 5. szabadságfokokkal pedig 2 szög szerinti orientációt (ψ, θ), tehát a robotmanipulátor összetettebb térbeli manipulációs feladatokat képes elvégezni (folyadék-szállítás, egyszerűbb szerelési munkálatok, hegesztés stb.). Az 1 és 2 szög szerinti orientáció-feladat különbsége a és ábrákon látható [4]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 42
43 1.18. ábra Az 1 szögű orientáció-feladat z z' Dr. Mester Gyula Robotkinematika 43
44 1.19. ábra A 2 szögű orientáció-feladat. z z' Ψ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 44
45 Csuklókoordináták A robotmanipulátor csuklókoordinátája skaláris érték, amely a kinematikai pár egyik szegmensének a relatív helyzetét határozza meg a másik szegmenshez viszonyítva [1]. A rotációs csuklónál a csuklókoordináta megegyezik a csukló elforgatási szögével, a transzlációs csuklónál a csuklókoordináta pedig megegyezik a csukló tengelye mentén történő elmozdulással. Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i = 1,2,...,n Dr. Mester Gyula Robotkinematika 45
46 a csuklókoordináták vektora pedig: q1 q = M q n (1.1) q 2 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 46
47 Minden csuklókoordináta bizonyos határok között változhat: q q q i min i max Megállapítható, hogy a rotációs csuklók pozícionálása esetében egyidőben változik az effektor orientációja is, így az effektor orientációját később csak korrigálni kell (ez persze a transzlációs csuklókról nem mondható el). i Dr. Mester Gyula Robotkinematika 47
48 q 3 q 4 q 2 q 6 q 5 q ábra Robotmanipulátorok csuklókoordinátái Dr. Mester Gyula Robotkinematika 48
49 Világkoordináták A világkoordináták meghatározzák a robotmanipulátor effektorjának a pozícióját és orientációját egy nyugvó Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. Az effektor pozíciója három, Descartes féle derékszögű koordinátával írható le: x, y, z. A vonatkoztató nyugvó koordinátarendszer a robotmanipulátor platformjához van rögzítve (a leíráshoz lehet hengeres-koordinátákat is alkalmazni). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 49
50 Azeffektor orientációja a módosított Euler szögekkel írható le: ψ,θ,ϕ. Ezek a szögek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a robotmanipulátor platformjához van rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez képest. (1.2) x y s = z Ψ θ ϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 5
51 A módosított Euler szögeket a hajózásból vették át és az Euler szögekhez képest abban különböznek, hogy a harmadik forgatás az x tengely körül történik (az Euler szögeknél pedig újból a z tengely körül!). A módosított Euler szögek elnevezései: ψ - csavarási szög (ROLL) θ - billentési szög (PITCH) ϕ - forgatási szög (YAW) Dr. Mester Gyula Robotkinematika 51
52 z n ψ csavarás Roll O n θ billentés Pitch xn ϕ forgatás Yaw y n ábra Robotmanipulátorok ROLL, PITCH és YAW szögei Dr. Mester Gyula Robotkinematika 52
53 A csavarási szög ψ, az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek a nyugvó koordinátarendszer z tengelye körüli szögelfordulását határozza meg. A billentési szög θ az új helyzetbe került y tengely körüli szögelfordulást adja. A forgatási szög ϕ pedig a két előbbi szögelfordulás után új helyzetbe került x tengely körüli szögelfordulását határozza meg [1]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 53
54 A világkoordináták s vektorának komponensei: Az effektor kiválasztott szerszámközéppontjának TCP (Tool Center Point) három x, y és z Descartes féle koordinátája a robotmanipulátor platformjához rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez viszonyítva, és a ψ, θ, ϕ szögek, amelyek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a vonatkoztató nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 54
55 z z n ψ q i ϕ o n θ y n x o y ábra Robotmanipulátorok effektorának világkoordinátái Dr. Mester Gyula Robotkinematika 55 x n x z y
56 A világkoordináták s vektorának általános esetben m koordinátája van. Legtöbbször m=6. Bizonyos típusú robotmanipulátoroknál elegendő kisebb számú világkoordináta használata, így például az effektor pozicionálására (orientáció nélkül) elegendő: m = 3 világkoordináta, tehát a világkoordináták vektora ez esetben: (1.3) s = [ x y z] T Dr. Mester Gyula Robotkinematika 56
57 Direkt kinematikai feladat A világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat [1], amely a következő módon irható le: (1.4) s = f(q) ahol a: qi (i = 1,...n) robotmanipulátor csuklókoordinátái, si (i = 1,...m) - világkoordináták, f: - nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény amely leképezi a csuklókoordinátákat világkoordinátákká. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 57
58 A következő ábrán bemutatjuk a direkt kinematikai feladat koordinátatranszformáció struktúráját. A q csuklókoordináták minden vektorértékének egyértelmű s világkoordináta érték felel meg. Az 1.3. fejezetben a direkt kinematikai feladattal foglalkozunk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 58
59 q Transzformáció: csuklókoordinátákból világkoordinátákba s ábra A direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Dr. Mester Gyula Robotkinematika 59
60 Inverz kinematikai feladat A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat [1], amely a következő módon irható le: (1.5) q = f -1(s) Dr. Mester Gyula Robotkinematika 6
61 Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Az 1.4. fejezetben az inverz kinematikai feladattal foglalkozunk. A következő ábrán bemutatjuk az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 61
62 s Transzformáció: világkoordinátákból csuklókoordinátákba q ábra Az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Dr. Mester Gyula Robotkinematika 62
63 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb mint a direkt kinematikai feladat. Akkor alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál az effektor pályája világkoordinátákban van megadva és így szükséges meghatározni a csuklókoordinátákat is. A direkt- és inverz kinematikai feladat koordinátatranszformáció struktúráját szemléltető módon az ábrán mutatjuk be: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 63
64 z Inverz kinematikai feladat s q ϕ x n z n ψ θ y n Tool-Center-Point ( ) TCP f -1 q 2 q 3 q 4 q 6 q 5 q 1 x y f világkoordináták vektora T s= x, y, z, ψ, θ, ϕ Direkt kinematikai feladat csuklókoordináták vektora T q= q, q, q, q, q, q ábra A direkt és inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Dr. Mester Gyula Robotkinematika 64
65 Redundancia A robotmanipulátort nemredundánsnak tekintjük, ha a világkoordináták vektordimenziója m megegyezik a robotmanipulátor szabadságfok számával n m = n. Ha az: n > m akkor a robotmanipulátor redundáns vagy túlhatározott, vagyis az effektor adott helyzetéhez viszonyítva, a csuklókoordináták szempontjából többféle megoldás is létezik. Ha pedig: n < m akkor a robotmanipulátor nem tudja elvégezni az előírt feladatot. A könyv további részében csak a nemredundáns robotmanipulátorokkal foglalkozunk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 65
66 1.3. DIREKT KINEMATIKAI FELADAT Dr. Mester Gyula Robotkinematika 66
67 Bevezetés Ahogy már elmondtuk a világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat. Egyszerű manipulációs feladatoknál a csuklókoordinátákat közvetlenül lehet megadni. Szemléljük tehát a ábra szerinti robotmanipulátort: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 67
68 1.26. ábra Feladatmeghatározás csuklókoordináták közvetlen megadásával Dr. Mester Gyula Robotkinematika 68
69 Első lépésben az effektor a munkadarabot az A helyzetből az AB pálya mentén a B helyzetbe szállítja, ez idő alatt a q1 csuklókoordináta π/2-vel változik. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 69
70 A következő lépésben a munkadarabot vízszintes helyzetbe hozzuk, így a q4 csuklókoordináta változik π/2-vel. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 7
71 A harmadik lépésben a BC pálya mentén a munkadarab a C helyzetbe kerül és a q1 csuklókoordináta -π/2-vel változik, de egyidőben változik a q2 csuklókoordináta miután l hosszal leengedi a munkadarabot. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 71
72 Így ha a csuklókoordináták q változása ismert akkor a direkt kinematikai feladat megoldásával meghatározhatjuk az s világkoordinátákat, vagyis az effektor térbeli mozgását [4]. A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogyan lehet felírni a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggést, így e célból célszerű bevezetni a: homogén transzformációs mátrixot. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 72
73 Homogén koordináta-transzformációk Homogén transzformációs mátrixok alatt olyan 4x4 típusú mátrixokat értünk, amelyek tartalmazzák a két kiválasztott derékszögű koordinátarendszer közötti: rotációt és a két koordinátarendszer origójának a távolságát. Használatuk azért célszerű mert lehetővé teszik különböző koordinátarendszerek viszonyának kompakt vektorleírását [1]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 73
74 Először ismerkedjünk meg a két koordinátarendszer közötti rotációs mátrixszal. Tekintsük tehát a következő két: nyugvó Oxoyozo alapkoordinátarendszert, amely a robotmanipulátor alapjához van kötve, és mozgó Onxyz koordinátarendszert, az On origóval, amely a robotmanipulátor effektorjához kötődik, egységvektorai e1, e2 és e3 (1.27. ábra szerint). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 74
75 Legyen az álló Oxoyozo a referencia koordinátarendszer. Az On origó helyzetét a referencia koordinátarendszerben a k helyzetvektorral adjuk meg. x zo O k On yo z e 3 e 2 e 1 x y ábra Nyugvó és mozgó koordinátarendszerek Dr. Mester Gyula Robotkinematika 75
76 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 76 A mozgó koordinátarendszer orientációja a nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő R rotációs mátrixszal: Tehát a rotációs mátrix elemei tulajdonképpen az e1, e2 és e3 egységvektoroknak az xo, yo, zo referencia koordinátákra számított vetületeivel egyeznek meg [8]. = z z z y y y x x x e e e e e e e e e R
77 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 77
78 Ismerve a p helyzetvektort, amely meghatározza a P pont helyzetét a mozgó koordinátarendszerben, az ábra szerint határozzuk meg a P pont helyzetét a referencia Oxo,yo,zo koordinátarendszerben: zo z On e 3 e 2 y O k e 1 x P yo x ábra A helyzetvektorok Dr. Mester Gyula Robotkinematika 78
79 ahol: r a P pont helyzetvektora a nyugvó Oxoyozo referencia koordinátarendszerben, p - a P pont helyzetvektora a mozgó koordinátarendszerben, k -az On origó helyzetvektora az nyugvó Oxoyozo referencia koordinátarendszerben, R - a két koordinátarendszer rotációs mátrixa. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 79
80 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 8 Az (1.7) kifejezésben az r helyzetvektort úgy írjuk fel, hogy a p vektort balról megszorozzuk a R rotációs mátrixszal, és az eredményhez hozzáadjuk a k vektort, az On origó helyzetvektorát. Az (1.7)-es reláció skaláris alakja tehát a következő: (1.8) + = z y x z 2z 1z 3y 2y 1y 3x 2x 1x z y x k k k p p p e e e e e e e e e r r r
81 A kompakt felírás céljából állítsuk fel az nyugvó és mozgó koordinátarendszerek közötti 4x4 típusú homogén transzformációs mátrixot a következő alakban: R k (1.9) H = 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 81
82 vagyis: (1.1) H = e e e 1x 1y 1z e e e 2x 2y 2z e e e 3x 3y 3z e e e 4x 4y 4z 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 82
83 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 83 Így az (1.7)-es reláció kompakt alakban írható fel: (1.11) r=hp Az 1.11 vektoregyenlet skaláris alakja így a következő: (1.12) = 1 p p p 1 k e e e k e e e k e e e 1 r r r z 3z 2z 1z y 3y 2y 1y x 3x 2x 1x z y x
84 A homogén mátrix-transzformáció bevezetésének három jelentősége van: Megadja a mozgó koordinátarendszer orientációját a nyugvó koordinátarendszerhez képest. Megadja a mozgó koordinátarendszer origójának a pozícióját a nyugvó koordinátarendszer origójához képest. Ha egy adott pont koordinátáit ismerjük a mozgó koordinátarendszerben, akkor a homogén mátrixtranszformáció segítségével felírhatjuk ugyanennek a pontnak a koordinátáit a nyugvó koordinátarendszerben is [5]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 84
85 Tehát két (vagy több) koordinátarendszer esetében, az (1.7) reláció szerinti szukcesszív szorzási és összeadási műveletek helyett a kiválasztott pont r helyzetvektorát az (1.11) reláció szerinti homogén transzformációs mátrix segítségével fejezzük ki (homogén transzformációs mátrix szorzása a p vektorral), amely eljárás gyorsabb számításokat eredményez, és használata elterjedt a robotmanipulátor kinematikai modelljének felállításánál. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 85
86 Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix Dr. Mester Gyula Robotkinematika 86
87 A csuklókoordináták transzformálása világkoordinátákba a Denavit-Hartenberg féle transzformációs mátrixszal történik. Denavit és Hartenberg ezt az eljárást 1955-ben publikálta és ezért nevezték el együttesen Denavit-Hartenberg módszernek. Az eljárás lényege az, hogy egy koordinátarendszer két haladó és két forgó mozgással egy másikba átvihető. A robotmanipulátoroknál használt Denavit- Hartenberg paraméterek: d és a távolságok és α szög. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 87
88 A Denavit-Hartenberg eljárás szerint [5] az i-edik és i+1-edik robotcsuklókra egy-egy derékszögű koordinátarendszert ültetünk, a csukló tengelyének iránya a z tengely és a két egymást követő koordinátarendszert a következő irányszabályok szerint határozzuk meg: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 88
89 Az i+1-es robotcsuklón megválasztjuk az Oi xi yi zi koordinátarendszert a következő módon: - A zi tengely az i+1-edik csukló irányában fekszik, - az xi tengely a két szemlélt csukló (i-edik és i+1-edik) tengelyének közös normálisába esik és az i-edik csuklótól az i+1-edik csukló felé mutat, - az y1 tengely kielégíti a következő feltételt: xi yi = zi - jobbcsavar irányú. ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 d i z i-1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 89 z i-2 O i-2 ( i-1) szegmens a i-1 y i-1 Oi-1 x i-1 i szegmens ábra A derékszögű koordinátarendszerek helyzete Denavit-Hartenberg eljárás szerint a i y i α i O i z i x i
90 Az i-edik robotcsuklón megválasztjuk az Oi-1 xi-1 yi-1 zi-1 koordinátarendszert a következő módon: - A zi-1 tengely az i-edik csukló irányában fekszik, - az xi-1 tengely az i-1-edik és i-edik csuklók tengelyének közös normálisába esik és az i- 1-edik csuklótól a i-edik csukló felé mutat, - az y i-1 tengely kielégíti a következő feltételt: xi-1xyi-1=zi-1 - jobbcsavar irányú. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 9
91 A Denavit-Hartenberg paraméterek a következők: di : - minden csuklótengelynek két normálisa van (ai- 1 és ai) és a normálisok közötti az i-edik csukló tengelye mentén mért távolság a di, ai : az i-edik és i+1-edik csukló-tengelyek közös normálisának a hossza, αi : - az i-edik csukló és az i+1-edik csukló tengelye közötti jobbcsavar irányú szög az ai-re merőleges síkban. A qi csuklókoordináta, rotációs csukló esetében az xi-1 és xi tengelyek között bezárt jobbcsavar irányú szög nagysága, amely zérus, ha a tengelyek egyirányúak vagy párhuzamosak egymással. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 91
92 A Denavit-Hartenberg eljárás szerint felvitt két szomszédos derékszögű koordinátarendszer Oi-1xi-1yi-1zi-1 és Oixiyizi két haladó és két forgó mozgással egymásba átvihető a következő lépések szerint: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 92
93 Először qi elfordulás zi-1 körül: xi-1 párhuzamos lesz xi-vel. (1.3. ábra): Zglob i-1 Zglob i Zglob i+1 Segment i-1 Segment i α i a i z i O i d i z i-1 y i x i qi z i-2 y i-1 a i-1 Oi-1 x i-1 O i ábra Az Oi-1xi-1yi-1zi-1 koordinátarendszer qi forgatása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 93
94 Az így elvégzett forgatás a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az 1.3. ábráról): (1.13) D(qi) = cosq sin q i i sin q cosq i i 1 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 94
95 Másodszor következzék di transzláció a zi-1 mentén, a zi-1 és xi metszéspontjáig (1.31. ábra), így az xi-1 egybeesik az xi -vel: ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 α i ( i-1) szegmens i szegmens z i-1 a i z i y i-1 x i-1 O i d i y i x i z i-2 a i-1 O i-1 O i ábra Az elforgatott Oi-1xi-1yi-1zi-1 koordinátarendszer di transzlációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 95
96 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 96 Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az ábráról): (1.14) D(di) = 1 d i
97 Harmadszor következzék ai transzláció xi mentén az Oi origóig (1.32. ábra), így a koordinátarendszerek metszéspontja fedésbe kerül. ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 α i ( i-1) szegmens i szegmens a i z i-1 z i d i O i y i-1 x i-1 x y i i z i-2 a i-1 O i-1 O i ábra Az elforgatott és elmozdult Oi-1xi-1yi-1zi-1 koordinátarendszer ai transzlációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 97
98 Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az ábráról): (1.15) D(ai) = 1 a i Dr. Mester Gyula Robotkinematika 98
99 Negyedszer αi jobbcsavar irányú elfordulás az xi körül: hogy a z és y tengelyek is fedésbe kerüljenek (1.33. ábra). ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 ( i-1) szegmens i szegmens a i α i z, i z i-1 d i O i x, i x i-1 y, i y i-1 z i-2 O i-2 a i-1 O i ábra A koordinátarendszer αi forgatása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 99
100 Az így elvégzett rotáció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az ábráról): (1.16) D(αi) = 1 cosα sin α i i sin α cosα i i 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1
101 A fenti négy mozzanat a következő alakú Denavit Hartenberg transzformációs mátrixban foglalható össze: (1.17) i-1di = D(qi) D(di) D(ai) D(αi) Dr. Mester Gyula Robotkinematika 11
102 Behelyettesítve (1.13), (1.14), (1.15) és (1.16) mátrixokat a (1.17)-be, elvégezve a mátrixszorzást megkapjuk a következő alakú Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrixot a két egymást követő rotációs csuklóra rögzített koordinátarendszer esetén: (1.18) cosq i-1di = sin q i i sin q cosq i i sin α cosα cosα i i i sin q i cosq sin α i cosα sin α i i i a a i i cosq sin q d i 1 i i Dr. Mester Gyula Robotkinematika 12
103 Transzlációs csuklók esetében a koordinátarendszereket úgy választjuk meg, hogy ai=, a di hossz qi lesz, ami pedig a rotációs csuklónál a qi forgásszög, az most θi paraméter lesz, vagyis: ai = di = qi qi = θi Dr. Mester Gyula Robotkinematika 13
104 Így a Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrix a transzlációs csuklók esetén: (1.19) i-1di = cosθ sin θ i i sin θ cosθ i i sin α cosα cosα 1 i i sin θ i cosθ sin α i cosα sin α i i i q i 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 14
105 Miután tehát minden egymást követő koordinátarendszer esetében (a fenti eljárás szerint) meghatároztuk a Denavit Hartenberg (D-H) féle transzformációs-mátrixot, akkor a robotmanipulátor platformjához kötött álló koordinátarendszer és az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer közötti D-H féle homogén transzformációs-mátrixot, a két egymást követő koordinátarendszerek DH mátrixainak szorzata adja. (1.2) T n = D 1 1 D 2 2 D 3... n 2 D n 1 n 1 D n Dr. Mester Gyula Robotkinematika 15
106 A robotmanipulátor csuklók összes D-H mátrixának összeszorzásával ismét egy 4x4 es mátrixot kapunk, amely az effektor TCP pontjának a pozícióját és az effektor orientációját adja meg. Ugyanis a otn mátrix első három sora és oszlopa a robotmanipulátor platformhoz kötött álló és az effektorhoz kötött mozgó koordináta-rendszerek közötti rotaciós mátrixot, míg a otn mátrix negyedik oszlopa a az effektor TCP pontjának a nyugvó koordinátarendszerben lévő koordinátáit határozza meg Dr. Mester Gyula Robotkinematika 16
107 Amikor a robotmanipulátor-csuklóknál rögzítjük a megfelelő koordináta-rendszereket és meghatározzuk a D-H paramétereket: αi, ai, di, (i = 1,2,...,n), akkor a homogén transzformációs-mátrixok (1.18) csak a csuklókoordináták qi függvényeivé válnak. Tehát ha a robotmanipulátornál meghatározzuk a mátrix numerikus alakját, akkor abból kiolvashatjuk a három módosított Euler szöget és az effektor TCP szerszámközéppontjának a pozícióját, így tulajdonképpen meghatározzuk a robotmanipulátor világkoordinátáit [1]. (1.21) T n = R n x y z 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 17
108 Megállapítható tehát, hogy ily módon azzal, hogy - a három módosított Euler szöget és az effektor TCP pontjának a pozícióját meghatároztuk, a direkt kinematikai feladatot meg-oldottuk. A otn mátrix meghatározása tehát a csuklókoordináták vektorának ismeretében, a direkt kinematikai feladat megoldásának az alapja. Megjegyezhető, hogy a módosított Euler szögek kiszámítása a mátrixból nem függ a robotmanipulátor típusától! Dr. Mester Gyula Robotkinematika 18
109 Az effektor orientációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 19
110 Robotmanipulátor effektorának az orientációját a robotplatformhoz kötött nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva, a módosított Euler szögekkel ψ, θ, ϕ határozzuk meg [1]. A továbbiakban vizsgáljuk a következő két koordinátarendszer közötti rotációt: Oxoyozo nyugvó alapkoordinátarendszer, amely a robotmanipulátor platformjához van kötve, és Onxnynzn mozgó koordinátarendszer az On origóval, amely a robotmanipulátor effektorához kötődik. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 11
111 A mozgó koordinátarendszer orientációja az nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő rotációs mátrixszal Rn: (1.22) R n = e e e 1x 1y 1z e e e 2x 2y 2z e e e 3x 3y 3z Az Rn rotációs mátrix leképezi a mozgó koordinátarendszer koordinátáit a nyugvóba. Az Rn rotációs mátrix leképezi a mozgó koordinátarendszer koordinátáit a nyugvóba. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 111
112 A mozgó koordinátarendszer rotációja az nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva bemutatható a következő három rotációval: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 112
113 A mozgó Onxnynzn koordinátarendszer első rotációja a csavarási ψ szög szerint, amely az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek az álló koordinátarendszer z tengelye körüli szögelfordulását határozza meg (1.34. ábra). Ψ O n z=z' Ψ Ψ x x' y ábra A mozgó koordinátarendszer Rotációja a csavarási ψ szög szerint y' Dr. Mester Gyula Robotkinematika 113
114 Az így elvégzett rotációnak, az ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ψ) felel meg: (1.23) R( ψ) = cosψ sin ψ sin ψ cosψ 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 114
115 Az új helyzetbe került mozgó koordinátarendszer Onxn'yn'zn' második rotációja a θ billen-tési szög szerint, amely az y' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (1.35. ábra). z' Θ z" y'=y" Dr. Mester Gyula Robotkinematika 115 O n Θ ábra A mozgó koordinátarendszer második rotációja a billentési szög θ szerint Θ x" x'
116 Az így elvégzett rotációnak az ábráról közvetlenül leolvasva a következő formájú rotációs mátrix R(θ) felel meg: (1.24) R(θ) = cosθ sin θ 1 sin θ cosθ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 116
117 A Az új helyzetbe került mozgó Onxn''yn''zn'' koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási szög ϕ szerint, amely az x'' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (1.36. ábra). z"' x''=x'" ábra A mozgó koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási ϕ szög szerint Dr. Mester Gyula Robotkinematika 117 ϕ ϕ z" y'" O n y" ϕ
118 Az így elvégzett rotációnak az ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ϕ) felel meg: (1.25) R(ϕ) = A fent elvégzett három rotáció együttesen az ábrán van bemutatva. A három felsorolt rotációnak megfelel a következő transzformációs mátrixszorzat: (1.26) o R n 1 cosϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ ( ψ) R( θ) ( ϕ) = R R Dr. Mester Gyula Robotkinematika 118
119 A felírt rotációs mátrixokat (1.23), (1.24) és (1.25) behelyettesítve a (1.26)-ba következik: (1.27) o R n = cosψ sin ψ sin ψ cosψ cosθ 1 sin θ 1 sin θ 1 cosθ cosϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 119
120 A mátrix szorzásokat elvégezve, felírható: (1.28) o R n = cosψ cosθ sinψ cosθ sinθ (1.28) cosψ sinθ sinϕ sinψ cosϕ sinψ sinθ sinϕ + cosψ cosϕ cosθ sinϕ cosψ sinθ cosϕ + sinψ sinϕ sinψ sinθ cosϕ cosψ sinϕ cosθ cosϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 12
121 z''' ϕ z" 1 Θ z, z' Ψ 3 2 O n y''' x x' 3 1 Ψ Θ 2 ϕ x", x'" ábra Módosított Euler szögek. Θ y', y" Dr. Mester Gyula Robotkinematika ϕ Ψ y 2
122 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 122 (1.29) ϕ θ ϕ θ θ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ + θ ψ θ ψ ϕ ψ ϕ + θ ψ ϕ ψ ϕ θ ψ θ ψ = cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin ccos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos e e e e e e e e e 3z 2z 1z 3y 2y 1y 3x 2x 1x
123 A (1.29) mátrixegyenlet egyes elemeit egyenlővé téve, felírható: (1.3) (1.31) (1.32) (1.33) (1.34) (1.35) (1.36) (1.37) e1x = cosψcosθ e1y = sinψcosθ e1z = -sinθ e2x = cosψsinθsinϕ-sinψcosϕ e2y = sinψsinθsinϕ +cosψcosϕ e2z = cosθsinϕ e3x = cosψsinθcosϕ +sinψsinϕ e3y = sinψsinθcosϕ- cosψsinϕ (1.38) e3z = cosθcosϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 123
124 Így 9 egyenletből álló egyenletrendszert kaptunk, amely 3 ismeretlent tartalmaz ψ, θ és ϕ, mivel a mátrix ortogonális, ezek az egyenletek nem függetlenek egymástól. A ψ, θ és ϕ szögeket a következő módon határozhatjuk meg [1]: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 124
125 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 125
126 a. Szorozzuk meg az (1.3) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel és az (1.31) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel, majd felírható a következő kivonási művelet: (1.39) e1xsinψ - e1ycosψ = ahonnan kiszámítható a ψ szög nagysága: e1y (1.4) ψ = arctg + 2kπ e 1x Dr. Mester Gyula Robotkinematika 126
127 b. Szorozzuk meg az (1.3) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel és az (1.31) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel, majd az összeadási művelet felírható: (1.41) e1xcosψ + e1ysinψ = cosθ Az (1.41) egyenlet az (1.32) egyenlettel együtt lehetővé teszi a θ szög kiszámítását: e 1z (1.42) θ = arctg + 2kπ e1x cos ψ + e1y sin ψ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 127
128 c. Szorozzuk meg az (1.35) egyenlet mindkét oldalát cosϕ-vel és (1.38) egyenlet mindkét oldalát sinϕ-vel, így a kivonási művelet felírható: (1.43) e cosϕ e sinϕ = 2 z 3z 2z (1.44) ϕ = arctg + 2kπ e e 3z Dr. Mester Gyula Robotkinematika 128
129 A ψ, θ és ϕ szögeket többféle módon határozhatjuk meg. A szögek számításánál numerikus problémák jelentkezhetnek, ha az (1.4), (1.42) és (1.44) relációkban a nevezők kis értékűek. Ez megfelelő numerikus eljárással kiküszöbölhető. Az egyetlen szinguláris eset akkor jelentkezik, ha a θ = ± π/2, vagyis: e1x =e1y = e2z= e3z =. Ekkor az (1.4) egyenlet nem oldható meg, ezért a ψ szög értéket tetszőlegesen választjuk meg. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 129
130 Az ilyen ψ szög ismeretében a ϕ szöget a következő módon számítjuk ki: e 2x (1.45) ϕ = arctg ψ + 2kπ ha a θ = -kπ/2 e 2y ϕ = arctg e e 2x 2y + ψ + 2kπ ha a θ = kπ/2 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 13
131 Az (1.4), (1.42), (1.44) és (1.45) relációkban a k értéket úgy határozzuk meg, hogy figyelembe vesszük a direkt kinematikai feladat megoldásánál a világkoordináták két pont közötti minimális változását (mivel a robotmanilpulátor folyamatos mozgásának a világkoordináták folyamatos változása felel meg). A robotmanipulátor effektorának orientáció meghatározását a ψ, θ és ϕ szögek kiszámításával [az (1.4), (1.42) és (1.44) relációkból], befejezettnek tekintjük. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 131
132 Összegezés: Az effektor TCP szerszámközéppontjának: Descartes féle derékszögű koordinátáinak (pozicionálás) és a három módosított Euler-féle szögeinek (orientáció) meghatározásával a direkt kinematikai feladatot teljességben megoldottnak tekintjük. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 132
133 1.4. INVERZ KINEMATIKAI FELADAT Dr. Mester Gyula Robotkinematika 133
134 Bevezetés A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat amely a következő módon írható le: (1.46) q = f -1(s) Akkor alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál az effektor pályája világkoordinátákban van megadva, és nekünk a robotvezérléshez a csuklókoordinátákra van szükségünk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 134
135 Amikor tehát ismerjük az effektor TCP pontjának a világkoordinátáit (x,y,z) és az orientációját (ψ, θ és ϕ), akkor tulajdonképpen meghatároztuk a homogén mátrix-transzformációt a nyugvó- és mozgó koordinátarendszerek között, így az inverz kinematikai feladat felírható: (1.47) q = f (otn) -1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 135
136 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb, mint a direkt kinematikai feladat. Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Több esetben a dekompozíciós módszer vezet eredményre. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 136
137 Az inverz kinematikai feladatot két módon oldhatjuk meg: a. Analitikus és b. Numerikus eljárások alkalmazásával. Az analitikus eljárás esetében a megoldást zárt analitikus formában kapjuk meg minden robotmanipulátor konfigurációra külön-külön. Numerikus eljárások esetében a numerikus analízis ismert módszereit alkalmazzuk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 137
138 Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f-1 amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 138
139 Az analitikus megoldásnak az előnyei a numerikus eljárásokhoz viszonyítva a következők: a. Megkapjuk az összes megoldást. b. Pontos eredményeket kapunk (numerikus hibák nélkül). c. Kevesebb numerikus számítással használható, így megfelel a valós idejű számításoknál. d. Felismerhetővé teszi a szingularitásokat. Az analitikus megoldás fő hátránya az, hogy nem írható fel tetszőleges robotkonfigurációra. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 139
140 Oldjuk meg az ábrán látható négy szabadságfokú hengeres robotmanipulátor esetében az inverz kinematikai feladatot analitikus eljárással. l 3 q 3 l 4 q 2 c q 4 z l 2 q 1 z c o y c x c y x ábra. A hengeres robotmanipulátor vázlata. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 14
141 A világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggés felírható a következőképpen: (1.48) x y c c c = = ( l + l + q ) ( l ) 3 + l4 + q3 sin q1 ϕ=q4 ahol: s = [ x ] T c, yc, zc, ϕ a világkoordináták vektora xc, yc, zc az effektor súlypontkoordinátái, ϕ - Euler szög, li szegmenshossz. 3 z = q Dr. Mester Gyula Robotkinematika 141 l 2 4 cosq 1
142 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 142 Az analitikus megoldást tehát felírhatjuk a következő módon: (1.49) Így meghatároztuk a világkoordinátáknak megfelelő csuklókoordinátákat. ( ) = ϕ + = = = c 2 c 3 2 c 2 c c 1 q l l y x q l z q x y arctg q
143 Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása Az inverz kinematikai feladatok megoldásánál a numerikus matematika eljárásait használjuk fel. (1.5) q = f-1(s,qo) A legelterjedtebb a Newton módszer használata. Deriváljuk a robotmanipulátor világ- és csuklókoordinátái közötti összefüggést: (1.51) s = f ( q ) s& = f q q& Dr. Mester Gyula Robotkinematika 143
144 Ahol az un. nxn dimenziós Jacobi-mátrix: (1.52) f ( q) q Így az kifejezés felírható: (1.53) J s & = = J( q)q& Az (1.53) reláció a világkoordináták sebességvektora és a csuklókoordináták sebességvektora közötti összefüggést határozza meg. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 144
145 Ha ismerjük a világkoordináták sebességvektorát, akkor a csuklókoordináták sebességvektora a következő módon számítható ki: (1.54) 1 q& = J ( q)s& Mivel a nemredundáns robotmanipulátoroknál a Jacobi-mátrix kvadratikus, az inverz mátrixa meghatározható. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 145
146 A Jacobi-mátrix meghatározása Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása megköveteli a Jacobi-mátrix és az inverz Jacobi-mátrix ismeretét. A Jacobi-mátrix összeköti: - a világkoordináták és a csuklókoordináták sebességvektorait, - az effektorra ható erőket és a terhelő erőkből adódó csuklónyomatékokat. A Jacobi-mátrixnak nagy jelentősége van a robotmanipulátor pályatervezésénél. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 146
147 A Jacobi-mátrix függ a világkoordináták vektorának a típusától és meghatározható két almátrix segítségével: Az egyik almátrix a Descartes féle koordinátáknak felel meg JD: (1.55) x& & y z& = J D q& J D 3xn R Dr. Mester Gyula Robotkinematika 147
148 A másik almátrix az effektor szögsebességvektor vetületeinek felel meg Jω: (1.56) ωx 3xn = J ω q& ωy J ω R ω z Így a Jacobi-mátrixot felírhatjuk a következő módon: J D (1.57) J = J ω Dr. Mester Gyula Robotkinematika 148
149 A Jacobi-mátrix meghatározását az 1.36 ábrán látható hengeres robotmanipulátor példájánál mutatjuk be. Deriváljuk a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti (1.48) összefüggést: (1.58) x & ( ) c = l3 + l4 + q3 q& 1 sin q1 + q& 3 cosq1 C. ( l ) 3 + l4 + q3 q& 1 cosq1 q& 3 sin q1 y & = + z& C ϕ & = = q& q& 4 2 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 149
150 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 15 A fenti kifejezéseket a következő alakban is felírhatjuk: (1.59) ( ) ( ) = ϕ C C C q q q q 1 1 sin q cosq q l l cosq sin q q l l z y x & & & & & & & &
151 Összehasonlítva az (1.53) és (1.59) kifejezéseket a Jacobi-mátrix alakja a kővetkező: (1.6) J (q)= ( l + l + q ) 3 ( l + l + q ) sin q cosq cosq sin q Dr. Mester Gyula Robotkinematika 151
152 1.5. ROBOTMANUPULÁTOROK PÁLYATERVEZÉSE Dr. Mester Gyula Robotkinematika 152
153 Bevezetés Robotmanipulátorok pályatervezésének kettős célja lehet: Az effektor mozgását meghatározó pontok pozíciójának a megadása. Az adott pontok közötti pálya-meghatározás. A pályatervezési feladat a robotmanipulátor munkafolyamatától függ. A pályatervezési feladatot skalárértékű időfüggvények tervezési feladatára vezetjük vissza és elvégezhetjük: Csuklókoordinátákban és Világkoordinátákban. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 153
154 A robotirányítási algoritmusok a pálya ismerete mellett megkövetelik a pálya menti sebességek, gyorsulások, szögsebességek és szöggyorsulások ismeretét is. A pályatervezési feladatot elvégezhetjük: Off-line vagyis a robotmanipulátor tanítási fázisában és On-line, valós időben. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 154
155 Pályatervezés világkoordinátákban Két adott pont (A és B) közötti pályatervezés világkoordinátákban τ idő alatt elvégezhető a következő módon: (1.61) s(t) A B A = s + λ(t)( s s ) t ahol az integrálási folyamat közben szükséges az inverz kinematikai feladat megoldása. τ Az (1.61) kifejezésben a λ(t) függvény az effektor sebesség-törvényszerűségét határozza meg, amely különböző típusú lehet (háromszög-, trapéz-, parabola-, ciklois- stb. alakú). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 155
156 Amikor sikeresen elvégeztük a pályatervezést a világkoordinátákban, akkor meg kell oldani a pályatervezést csuklókoordinátákban is. E feladat három módon oldható meg: a. Az inverz kinematikai feladat megoldásával. b. Az (1.54) reláció segítségével és c. Az (1.53) reláció felhasználásával. Deriváljuk az (1.53) kifejezést: (1.62) ahonnan: (1.63) && s = q && Jq&& + J q& q J && s q Dr. Mester Gyula Robotkinematika & = J 1 q 2
157 Pályatervezés csuklókoordinátákban Amikor a pályatervezést csuklókoordinátákban szükséges elvégezni akkor következő kifejezést használjuk: (1.64) q(t) A B A = q + λ(t)( q q ) t ahol a qa és qb a csuklókoordináták megfelelő vektorai. Fontos kihangsúlyozni, hogy a csuklókoordináták lineáris változása nem biztosítja a világkoordináták lineáris változását is. τ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 157
Mester Gyula 2003 Intelligens robotok és rendszerek
Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek Robotmanipulátorok kinematikája Robotmanipulátorok dinamikája Robotmanipulátorok szabad mozgásának hagyományos irányítása Robotmanipulátorok adaptív irányítása
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenAz ipari robotok definíciója
Robot manipulátorok Az ipari robotok definíciója Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely merev testek (szegmensek) sorozatából áll, melyeket összeillesztések (csuklók, ízületek) kapcsolnak össze A
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. IX. Előadás. Robot manipulátorok I. Alapfogalmak. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA IX. Előadás Robot manipulátorok I. Alapfogalmak Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Robot manipulátorok definíciója és alkalmazásai Manipulátorok szerkezete
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenIPARI ROBOTOK. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József
IPARI ROBOTOK, munkatértípusok 2. előadás Dr. Pintér József Az ipari robotok kinematikai felépítése igen sokféle lehet. A kinematikai felépítés alapvetően meghatározza munkaterének alakját, a mozgási sebességét,
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenSzámítógépes geometria (mester kurzus)
2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)
RészletesebbenROBOTTECHNIKA. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József
ROBOTTECHNIKA 2. előadás Kinematikai strukturák, munkatértípusok Dr. Pintér József Kinematikai strukturák Az ipari robotok kinematikai felépítése igen sokféle lehet. A kinematikai felépítés alapvetően
RészletesebbenCsuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenPneumatika az ipari alkalmazásokban
Pneumatika az ipari alkalmazásokban Manipulátorok Balanszer technika Pneumatikus pozícionálás Anyagmozgatási és Logisztikai Rendszerek Tanszék Manipulátorok - Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenMechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó
Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
Részletesebben2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A
Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenOptika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető
Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal
RészletesebbenAz R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész
Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
RészletesebbenRobottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék
Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium
RészletesebbenEGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Részletesebben6. Robotok és manipulátorok a rugalmas gyártórendszerekben. 6.1 Manipulátorok
6. Robotok és manipulátorok a rugalmas gyártórendszerekben Isaac Asimov: Én, a robot (1950), a robotika alaptörvényei A robot nem árthat az embernek, és nem nézheti tétlenül, ha az embert veszély fenyegeti
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)
2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
RészletesebbenSegédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
Részletesebben4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.)
SZÉHNYI ISTVÁN YTM LKLMZOTT MHNIK TNSZÉK. MHNIK-MHNIZMUSOK LŐÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) yalugép sebességábrája: F. ábra: yalugép kulisszás mechanizmusának onalas ázlata dott: az ábrán látható
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenTranszformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform
Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenAz egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
RészletesebbenEgy másik érdekes feladat. A feladat
Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
RészletesebbenIntelligens hatlábú robot kinematikai vizsgálata
Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola Intelligens hatlábú robot kinematikai vizsgálata Füvesi Viktor I. éves doktorandusz Tel: +6-46-565111/1144 e-mail: elkfv@uni-miskolc.hu Témavezető: Dr.
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
Részletesebben