INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK

Átírás

1 INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1

2 ROBOTMANIPULÁTOROK KINEMATIKÁJA Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 2

3 1.1 ROBOTMANIPULÁTOROK GEOMETRIAI MODELLJE A robotmanipulátor mint mechanizmus n számú szegmensből áll melyeket 1-szabadságfokú csuklók kapcsolnak össze. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 3

4 Robotcsuklók A merev test mozgása műszaki szempontból a mozgástengelyek (x,y,z) menti elmozdulásból és e tengelyek körüli elfordulásból áll. Ez persze vonatkozik a robotmanipulátorok mozgására is amely felosztható haladó -és forgó ( rotációs ) mozgásra. Így tehát az 1-szabadságfokú robotcsuklók felosztása a következő: rotációs csukló, transzlációs csukló. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 4

5 A rotációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens forgó mozgását a másik szegmens körül, R szimbólummal jelöljük és sematikusan hengerrel ábrázoljuk. l 1 z l 2 q 1.1. ábra A rotációs csukló vázlata Dr. Mester Gyula Robotkinematika 5

6 A transzlációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens haladó mozgását a másik szegmenshez viszonyítva, T szimbólummal jelöljük és sematikusan hasábbal ábrázoljuk. l 1 l 2 z q 1.2. ábra A transzlációs csukló vázlata Dr. Mester Gyula Robotkinematika 6

7 A 1.3 ábrán a 6-szabadságfokú PUMA típusú robototmanipulátort mutatjuk be, a 1.4 ábrán pedig a PUMA robotmanipulátor vázlata látható: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 7

8 1.3. ábra A PUMA robotmanipulátor q 2 q 3 q 1 q 5 q 6 q 4 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 8

9 1.4. ábra A PUMA Robotmanipulátor vázlata Dr. Mester Gyula Robotkinematika 9

10 Robotszegmensek A robotmanipulátor szegmense merev test, amely kinematikai- és dinamikai paraméterekkel rendelkezik. A kinematikai paraméterek a szegmens hossza és a robotcsukló-tengelyek egymással között bezárt szöge. A dinamikai paraméterek közé tartozik a szegmens tömege, és tehetetlenségi nyomatéka. A kinematikai paramétereket a Denavit-Hartenberg féle eljárás szerint határozzuk meg. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1

11 1.5. Ábra Robotszegmens q i-1 q i i-szegmens (i-1) - csukló i-csukló Dr. Mester Gyula Robotkinematika 11

12 Kinematikai pár A kinematikai pár két egymás mellett lévő szegmensből és a szegmenseket összekötő csuklóból áll. A továbbiakban csak 1-szabadságfokú kinematikai párokat vizsgálunk (rotáció vagy transzláció). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 12

13 Kinematikai lánc A kinematikai lánc n számú kinematikai párból áll. A kinematikai láncok struktúrális szempontból csoportosíhatók: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 13

14 egyszerû összetett Kinematikai lánc - felosztása - nyitott zárt 1.6. ábra Kinematikai láncok felosztása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 14

15 Az egyszerű kinematikai láncnál egyik szegmens sem kapcsolódik több mint két kinematikai párhoz. Az összetett kinematikai láncnál legalább egy szegmens több mint két kinematikai párhoz tartozik. A nyitott kinematikai lánc legalább egy szegmense csak egy kinematikai párhoz tartozik. A zárt kinematikai láncnál minden szegmens két kinematikai párhoz tartozik. A kinematikai láncok típusai az 1.7. ábrán láthatók. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 15

16 egyszerű, nyitott kinematikai lánc összetett, nyitott kinematikai lánc egyszerű, zárt kinematikai lánc összetett, zárt kinematikai lánc Dr. Mester Gyula Robotkinematika 16

17 A mechanizmusok elmélete szempontjából a robotmanipulátorok aktív mechanizmusai általános esetben összetett és változó struktúrájú kinematikai láncok [2]. Egy ipari robot kinematikai láncának szerelés közben változó struktúráját a ábrákon mutatjuk be. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 17

18 Vizsgáljunk meg egy 6-szabadságfokú PUMA típusú robotmanipulátort. A munkadarab megfogása előtt a robotmanipulátor kinematikai lánca egyszerű és nyitott: 1.8. ábra A szerelő robot a munkadarab megfogása előtt Dr. Mester Gyula Robotkinematika 18

19 A munkadarab szállítása közben a robotmanipulátor kinematikai struktúrája nem változik, de a kinematikai lánc utolsó tagjának ( a megfogó-effektor és a munkadarab együttesen ) a tömege és tehetetlenségi nyomatéka változik, ami persze kihat a szemlélt rendszer dinamikájának változására: 1.9. ábra A munkadarab szállítása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 19

20 A munkadarab szerelésénél pedig (1.9. ábra) megváltozik a robotmanipulátor kinematikai struktúrája is, mivel az, egyszerű és zárt kinematikai struktúrájú lesz: Dr. Mester Gyula 1.1. Robotkinematika ábra A munkadarab szerelése 2

21 Robotmanipulátorok alapkonfigurációi A robotmanipulátorok alapkonfigurációja alatt egy három csuklós, tehát 3 - szabadságfokú kinematikai láncot értünk. Az alapkonfigurációhoz csatlakozik az effektor. Az alapkonfiguráció feladata az effektor pozícionálása a munkatérben. A legtöbb használatban lévő robotmanipulátor rendelkezik ilyen alapkonfigurációval. Mivel a robotcsuklók rotációsak és transzlációsak lehetnek, így az alapkonfigurációk esetében a 1.1. ábra szerinti kombinációk jelentkezhetnek. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 21

22 Robotmanipulátorok alapkonfigurációi No. Struktúra vázlat Struktúra vázlat 1 RRR 5 TRR 2 RRT 6 TTR 3 RTT 7 TRT 4 RTR 8 TTT ábra A robotmanipulátorok lehetséges alapkonfigurációinak bemutatása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 22

23 Fontos kihangsúlyozni azt is, hogy a robotmanipulátor alapkonfigurációk kinematikai paramétereitől függően az ábra egy-egy eseténél több kombináció is lehetséges. Ez például a SCARA (Selective Compliant Articulated Robot for Assembly) RRT struktúrájú szerelő robotmanipulátor esetében szemléletesen bemutatható (1.12. ábra). z q 1 z 1 q ábra A SCARA szerelőrobot alapkonfigurációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 23 z 2 q 3

24 Az alapkonfigurációk munkaterei A robotmanipulátor alapkonfigurációjának a munkatere alatt azt a bejárható térnagyságot értjük, amelynek minden pontjában eljuthat a harmadik szegmens végső pontja. A továbbiakban a 4 leginkább használt alapkonfiguráció munkaterét vizsgáljuk [7]: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 24

25 a. A TTT struktúra munkatere: A TTT struktúra 3 transzlációs csuklóval rendelkezik. Három haladó mozgást valósít meg egy Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. A ábrán látható a TTT alapkonfiguráció munkatere, amely hasáb alakú. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 25

26 z a y o x ábra A TTT struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 26

27 b. Az RTT struktúra munkatere: Az RTT struktúra 2 transzlációs és 1 rotációs csuklóval rendelkezik (az első csukló rotációs a másik kettő pedig transzlációs). Két haladó és egy forgó mozgást valósít meg. A ábrán látható az RTT alapkonfiguráció hengergyűrű alakú munkatere. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 27

28 z b y o x ábra Az RTT struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 28

29 c. Az RRT struktúra munkatere: Az RRT struktúra 2 rotációs és 1 transzlációs csuklóval rendelkezik (az első két csukló rotációs a harmadik pedig transzlációs). Két forgó és egy haladó mozgást valósít meg. Az ábrán látható az RRT alapkonfiguráció üreges gömb alakú munkatere. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 29

30 z c y o x ábra Az RRT struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 3

31 d. Az RRR struktúra munkatere: Az RRR struktúra 3 rotációs csuklóval rendelkezik három forgás Az ábrán látható az RRR alapkonfiguráció munkatere, amely gömb alakú: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 31

32 Z d y o x ábra Az RRR struktúra munkatere Dr. Mester Gyula Robotkinematika 32

33 Ha feltételezzük, hogy a fent említett alapkonfigurációk paraméterei azonosak, tehát: - az elmozdulások maximális hossza l, - a maximális rotáció nagysága 18o és - a rotációt végző szegmensek hossza l, akkor megállapítható, hogy az RRR struktúra munkatere a legnagyobb. Itt viszont azt is meg kell említeni, hogy a pozícionálási hiba nagyobb azoknál a robotmanipulátoroknál amelyek rotációs csuklókkal rendelkeznek (mivel a rotációs csuklóknál a pozicionálási hibák szuperponálódnak). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 33

34 Az ipari alkalmazásban mégis a rotációs csuklókkal rendelkező robotmanipulátorok vannak többségben, egyrészt a szervomotor forgómozgása, másrészt a robotirányítás könnyedsége miatt. Ugyanis a transzlációs csuklóknál a szervomotor forgómozgását át kell alakítani haladó mozgássá, ami a robotmanipulátoroknál kotyogást és mechanikai veszteségeket idéz elő. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 34

35 1.2. A ROBOT HELYZETMEGHATÁROZÁSA Dr. Mester Gyula Robotkinematika 35

36 Bevezetés A robotirányítás legegyszerűbb feladata az effektor helyzetmeghatározása a munkatérben. Figyeljük tehát azt a feladatot amikor egy munkadarabot helyezünk át az 1-es helyzetből a 2-es helyzetbe (1.17. ábra). Először az effektort pozícionálni kell a munkadarab közelébe, majd a munkadarab megfogása céljából el kell végezni az effektor orientációját is ( 1-es helyzet). A robot helyzete a munkatérben tehát az effektor pozíciójával és orientációjával van meghatározva [3]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 36

37 ábra A munkadarab áthelyezése Dr. Mester Gyula Robotkinematika 37

38 A következő lépés a munkadarab megfogása és áthelyezése (2-es helyzet). Itt új pozíciót és orientációt szükséges definiálni. Amikor a munkadarab a 2-es helyzetbe kerül, az effektor kinyílik így a munkadarab a végső helyzetébe jut. A robot pozícionálása a szerelőrobotok legegyszerűbb feladata. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 38

39 Az effektor pozicionálása A robotmanipulátor pozícionálása alatt az effektor világkoordináták (x,y,z) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. A pozícionálási feladat elvégzésére 3 szabadságfokra, vagyis a robot alapkonfigurációjára van szükség. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 39

40 Az effektor orientációja A robotmanipulátor orientációja alatt az effektornak a 3 térbeli szög (ψ, θ, ϕ) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. A orientációs feladat elvégzésére tehát további 3 szabadságfokra van szükség. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 4

41 Az ipari robotmanipulátorokat leginkább 4, 5 és 6 szabadságfokú struktúrával gyártják. A 4 - szabadságfokú robotmanipulátor, 3 szabadságfokkal el tudja végezni a pozicionálást (x, y, z), a 4. szabadságfokkal pedig egy szög szerinti orientációt (ψ), tehát a robot képes elvégezni egyszerűbb térbeli manipulációs feladatokat (munkadarab szállítás, présgépek kiszolgálása stb.). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 41

42 Az 5 - szabadságfokú robotmanipulátor 3 szabadságfokkal el tudja végezni a pozicionálást (x, y, z), a 4. és 5. szabadságfokokkal pedig 2 szög szerinti orientációt (ψ, θ), tehát a robotmanipulátor összetettebb térbeli manipulációs feladatokat képes elvégezni (folyadék-szállítás, egyszerűbb szerelési munkálatok, hegesztés stb.). Az 1 és 2 szög szerinti orientáció-feladat különbsége a és ábrákon látható [4]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 42

43 1.18. ábra Az 1 szögű orientáció-feladat z z' Dr. Mester Gyula Robotkinematika 43

44 1.19. ábra A 2 szögű orientáció-feladat. z z' Ψ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 44

45 Csuklókoordináták A robotmanipulátor csuklókoordinátája skaláris érték, amely a kinematikai pár egyik szegmensének a relatív helyzetét határozza meg a másik szegmenshez viszonyítva [1]. A rotációs csuklónál a csuklókoordináta megegyezik a csukló elforgatási szögével, a transzlációs csuklónál a csuklókoordináta pedig megegyezik a csukló tengelye mentén történő elmozdulással. Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i = 1,2,...,n Dr. Mester Gyula Robotkinematika 45

46 a csuklókoordináták vektora pedig: q1 q = M q n (1.1) q 2 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 46

47 Minden csuklókoordináta bizonyos határok között változhat: q q q i min i max Megállapítható, hogy a rotációs csuklók pozícionálása esetében egyidőben változik az effektor orientációja is, így az effektor orientációját később csak korrigálni kell (ez persze a transzlációs csuklókról nem mondható el). i Dr. Mester Gyula Robotkinematika 47

48 q 3 q 4 q 2 q 6 q 5 q ábra Robotmanipulátorok csuklókoordinátái Dr. Mester Gyula Robotkinematika 48

49 Világkoordináták A világkoordináták meghatározzák a robotmanipulátor effektorjának a pozícióját és orientációját egy nyugvó Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. Az effektor pozíciója három, Descartes féle derékszögű koordinátával írható le: x, y, z. A vonatkoztató nyugvó koordinátarendszer a robotmanipulátor platformjához van rögzítve (a leíráshoz lehet hengeres-koordinátákat is alkalmazni). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 49

50 Azeffektor orientációja a módosított Euler szögekkel írható le: ψ,θ,ϕ. Ezek a szögek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a robotmanipulátor platformjához van rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez képest. (1.2) x y s = z Ψ θ ϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 5

51 A módosított Euler szögeket a hajózásból vették át és az Euler szögekhez képest abban különböznek, hogy a harmadik forgatás az x tengely körül történik (az Euler szögeknél pedig újból a z tengely körül!). A módosított Euler szögek elnevezései: ψ - csavarási szög (ROLL) θ - billentési szög (PITCH) ϕ - forgatási szög (YAW) Dr. Mester Gyula Robotkinematika 51

52 z n ψ csavarás Roll O n θ billentés Pitch xn ϕ forgatás Yaw y n ábra Robotmanipulátorok ROLL, PITCH és YAW szögei Dr. Mester Gyula Robotkinematika 52

53 A csavarási szög ψ, az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek a nyugvó koordinátarendszer z tengelye körüli szögelfordulását határozza meg. A billentési szög θ az új helyzetbe került y tengely körüli szögelfordulást adja. A forgatási szög ϕ pedig a két előbbi szögelfordulás után új helyzetbe került x tengely körüli szögelfordulását határozza meg [1]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 53

54 A világkoordináták s vektorának komponensei: Az effektor kiválasztott szerszámközéppontjának TCP (Tool Center Point) három x, y és z Descartes féle koordinátája a robotmanipulátor platformjához rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez viszonyítva, és a ψ, θ, ϕ szögek, amelyek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a vonatkoztató nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 54

55 z z n ψ q i ϕ o n θ y n x o y ábra Robotmanipulátorok effektorának világkoordinátái Dr. Mester Gyula Robotkinematika 55 x n x z y

56 A világkoordináták s vektorának általános esetben m koordinátája van. Legtöbbször m=6. Bizonyos típusú robotmanipulátoroknál elegendő kisebb számú világkoordináta használata, így például az effektor pozicionálására (orientáció nélkül) elegendő: m = 3 világkoordináta, tehát a világkoordináták vektora ez esetben: (1.3) s = [ x y z] T Dr. Mester Gyula Robotkinematika 56

57 Direkt kinematikai feladat A világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat [1], amely a következő módon irható le: (1.4) s = f(q) ahol a: qi (i = 1,...n) robotmanipulátor csuklókoordinátái, si (i = 1,...m) - világkoordináták, f: - nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény amely leképezi a csuklókoordinátákat világkoordinátákká. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 57

58 A következő ábrán bemutatjuk a direkt kinematikai feladat koordinátatranszformáció struktúráját. A q csuklókoordináták minden vektorértékének egyértelmű s világkoordináta érték felel meg. Az 1.3. fejezetben a direkt kinematikai feladattal foglalkozunk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 58

59 q Transzformáció: csuklókoordinátákból világkoordinátákba s ábra A direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Dr. Mester Gyula Robotkinematika 59

60 Inverz kinematikai feladat A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat [1], amely a következő módon irható le: (1.5) q = f -1(s) Dr. Mester Gyula Robotkinematika 6

61 Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Az 1.4. fejezetben az inverz kinematikai feladattal foglalkozunk. A következő ábrán bemutatjuk az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 61

62 s Transzformáció: világkoordinátákból csuklókoordinátákba q ábra Az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Dr. Mester Gyula Robotkinematika 62

63 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb mint a direkt kinematikai feladat. Akkor alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál az effektor pályája világkoordinátákban van megadva és így szükséges meghatározni a csuklókoordinátákat is. A direkt- és inverz kinematikai feladat koordinátatranszformáció struktúráját szemléltető módon az ábrán mutatjuk be: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 63

64 z Inverz kinematikai feladat s q ϕ x n z n ψ θ y n Tool-Center-Point ( ) TCP f -1 q 2 q 3 q 4 q 6 q 5 q 1 x y f világkoordináták vektora T s= x, y, z, ψ, θ, ϕ Direkt kinematikai feladat csuklókoordináták vektora T q= q, q, q, q, q, q ábra A direkt és inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Dr. Mester Gyula Robotkinematika 64

65 Redundancia A robotmanipulátort nemredundánsnak tekintjük, ha a világkoordináták vektordimenziója m megegyezik a robotmanipulátor szabadságfok számával n m = n. Ha az: n > m akkor a robotmanipulátor redundáns vagy túlhatározott, vagyis az effektor adott helyzetéhez viszonyítva, a csuklókoordináták szempontjából többféle megoldás is létezik. Ha pedig: n < m akkor a robotmanipulátor nem tudja elvégezni az előírt feladatot. A könyv további részében csak a nemredundáns robotmanipulátorokkal foglalkozunk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 65

66 1.3. DIREKT KINEMATIKAI FELADAT Dr. Mester Gyula Robotkinematika 66

67 Bevezetés Ahogy már elmondtuk a világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat. Egyszerű manipulációs feladatoknál a csuklókoordinátákat közvetlenül lehet megadni. Szemléljük tehát a ábra szerinti robotmanipulátort: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 67

68 1.26. ábra Feladatmeghatározás csuklókoordináták közvetlen megadásával Dr. Mester Gyula Robotkinematika 68

69 Első lépésben az effektor a munkadarabot az A helyzetből az AB pálya mentén a B helyzetbe szállítja, ez idő alatt a q1 csuklókoordináta π/2-vel változik. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 69

70 A következő lépésben a munkadarabot vízszintes helyzetbe hozzuk, így a q4 csuklókoordináta változik π/2-vel. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 7

71 A harmadik lépésben a BC pálya mentén a munkadarab a C helyzetbe kerül és a q1 csuklókoordináta -π/2-vel változik, de egyidőben változik a q2 csuklókoordináta miután l hosszal leengedi a munkadarabot. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 71

72 Így ha a csuklókoordináták q változása ismert akkor a direkt kinematikai feladat megoldásával meghatározhatjuk az s világkoordinátákat, vagyis az effektor térbeli mozgását [4]. A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogyan lehet felírni a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggést, így e célból célszerű bevezetni a: homogén transzformációs mátrixot. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 72

73 Homogén koordináta-transzformációk Homogén transzformációs mátrixok alatt olyan 4x4 típusú mátrixokat értünk, amelyek tartalmazzák a két kiválasztott derékszögű koordinátarendszer közötti: rotációt és a két koordinátarendszer origójának a távolságát. Használatuk azért célszerű mert lehetővé teszik különböző koordinátarendszerek viszonyának kompakt vektorleírását [1]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 73

74 Először ismerkedjünk meg a két koordinátarendszer közötti rotációs mátrixszal. Tekintsük tehát a következő két: nyugvó Oxoyozo alapkoordinátarendszert, amely a robotmanipulátor alapjához van kötve, és mozgó Onxyz koordinátarendszert, az On origóval, amely a robotmanipulátor effektorjához kötődik, egységvektorai e1, e2 és e3 (1.27. ábra szerint). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 74

75 Legyen az álló Oxoyozo a referencia koordinátarendszer. Az On origó helyzetét a referencia koordinátarendszerben a k helyzetvektorral adjuk meg. x zo O k On yo z e 3 e 2 e 1 x y ábra Nyugvó és mozgó koordinátarendszerek Dr. Mester Gyula Robotkinematika 75

76 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 76 A mozgó koordinátarendszer orientációja a nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő R rotációs mátrixszal: Tehát a rotációs mátrix elemei tulajdonképpen az e1, e2 és e3 egységvektoroknak az xo, yo, zo referencia koordinátákra számított vetületeivel egyeznek meg [8]. = z z z y y y x x x e e e e e e e e e R

77 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 77

78 Ismerve a p helyzetvektort, amely meghatározza a P pont helyzetét a mozgó koordinátarendszerben, az ábra szerint határozzuk meg a P pont helyzetét a referencia Oxo,yo,zo koordinátarendszerben: zo z On e 3 e 2 y O k e 1 x P yo x ábra A helyzetvektorok Dr. Mester Gyula Robotkinematika 78

79 ahol: r a P pont helyzetvektora a nyugvó Oxoyozo referencia koordinátarendszerben, p - a P pont helyzetvektora a mozgó koordinátarendszerben, k -az On origó helyzetvektora az nyugvó Oxoyozo referencia koordinátarendszerben, R - a két koordinátarendszer rotációs mátrixa. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 79

80 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 8 Az (1.7) kifejezésben az r helyzetvektort úgy írjuk fel, hogy a p vektort balról megszorozzuk a R rotációs mátrixszal, és az eredményhez hozzáadjuk a k vektort, az On origó helyzetvektorát. Az (1.7)-es reláció skaláris alakja tehát a következő: (1.8) + = z y x z 2z 1z 3y 2y 1y 3x 2x 1x z y x k k k p p p e e e e e e e e e r r r

81 A kompakt felírás céljából állítsuk fel az nyugvó és mozgó koordinátarendszerek közötti 4x4 típusú homogén transzformációs mátrixot a következő alakban: R k (1.9) H = 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 81

82 vagyis: (1.1) H = e e e 1x 1y 1z e e e 2x 2y 2z e e e 3x 3y 3z e e e 4x 4y 4z 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 82

83 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 83 Így az (1.7)-es reláció kompakt alakban írható fel: (1.11) r=hp Az 1.11 vektoregyenlet skaláris alakja így a következő: (1.12) = 1 p p p 1 k e e e k e e e k e e e 1 r r r z 3z 2z 1z y 3y 2y 1y x 3x 2x 1x z y x

84 A homogén mátrix-transzformáció bevezetésének három jelentősége van: Megadja a mozgó koordinátarendszer orientációját a nyugvó koordinátarendszerhez képest. Megadja a mozgó koordinátarendszer origójának a pozícióját a nyugvó koordinátarendszer origójához képest. Ha egy adott pont koordinátáit ismerjük a mozgó koordinátarendszerben, akkor a homogén mátrixtranszformáció segítségével felírhatjuk ugyanennek a pontnak a koordinátáit a nyugvó koordinátarendszerben is [5]. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 84

85 Tehát két (vagy több) koordinátarendszer esetében, az (1.7) reláció szerinti szukcesszív szorzási és összeadási műveletek helyett a kiválasztott pont r helyzetvektorát az (1.11) reláció szerinti homogén transzformációs mátrix segítségével fejezzük ki (homogén transzformációs mátrix szorzása a p vektorral), amely eljárás gyorsabb számításokat eredményez, és használata elterjedt a robotmanipulátor kinematikai modelljének felállításánál. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 85

86 Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix Dr. Mester Gyula Robotkinematika 86

87 A csuklókoordináták transzformálása világkoordinátákba a Denavit-Hartenberg féle transzformációs mátrixszal történik. Denavit és Hartenberg ezt az eljárást 1955-ben publikálta és ezért nevezték el együttesen Denavit-Hartenberg módszernek. Az eljárás lényege az, hogy egy koordinátarendszer két haladó és két forgó mozgással egy másikba átvihető. A robotmanipulátoroknál használt Denavit- Hartenberg paraméterek: d és a távolságok és α szög. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 87

88 A Denavit-Hartenberg eljárás szerint [5] az i-edik és i+1-edik robotcsuklókra egy-egy derékszögű koordinátarendszert ültetünk, a csukló tengelyének iránya a z tengely és a két egymást követő koordinátarendszert a következő irányszabályok szerint határozzuk meg: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 88

89 Az i+1-es robotcsuklón megválasztjuk az Oi xi yi zi koordinátarendszert a következő módon: - A zi tengely az i+1-edik csukló irányában fekszik, - az xi tengely a két szemlélt csukló (i-edik és i+1-edik) tengelyének közös normálisába esik és az i-edik csuklótól az i+1-edik csukló felé mutat, - az y1 tengely kielégíti a következő feltételt: xi yi = zi - jobbcsavar irányú. ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 d i z i-1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 89 z i-2 O i-2 ( i-1) szegmens a i-1 y i-1 Oi-1 x i-1 i szegmens ábra A derékszögű koordinátarendszerek helyzete Denavit-Hartenberg eljárás szerint a i y i α i O i z i x i

90 Az i-edik robotcsuklón megválasztjuk az Oi-1 xi-1 yi-1 zi-1 koordinátarendszert a következő módon: - A zi-1 tengely az i-edik csukló irányában fekszik, - az xi-1 tengely az i-1-edik és i-edik csuklók tengelyének közös normálisába esik és az i- 1-edik csuklótól a i-edik csukló felé mutat, - az y i-1 tengely kielégíti a következő feltételt: xi-1xyi-1=zi-1 - jobbcsavar irányú. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 9

91 A Denavit-Hartenberg paraméterek a következők: di : - minden csuklótengelynek két normálisa van (ai- 1 és ai) és a normálisok közötti az i-edik csukló tengelye mentén mért távolság a di, ai : az i-edik és i+1-edik csukló-tengelyek közös normálisának a hossza, αi : - az i-edik csukló és az i+1-edik csukló tengelye közötti jobbcsavar irányú szög az ai-re merőleges síkban. A qi csuklókoordináta, rotációs csukló esetében az xi-1 és xi tengelyek között bezárt jobbcsavar irányú szög nagysága, amely zérus, ha a tengelyek egyirányúak vagy párhuzamosak egymással. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 91

92 A Denavit-Hartenberg eljárás szerint felvitt két szomszédos derékszögű koordinátarendszer Oi-1xi-1yi-1zi-1 és Oixiyizi két haladó és két forgó mozgással egymásba átvihető a következő lépések szerint: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 92

93 Először qi elfordulás zi-1 körül: xi-1 párhuzamos lesz xi-vel. (1.3. ábra): Zglob i-1 Zglob i Zglob i+1 Segment i-1 Segment i α i a i z i O i d i z i-1 y i x i qi z i-2 y i-1 a i-1 Oi-1 x i-1 O i ábra Az Oi-1xi-1yi-1zi-1 koordinátarendszer qi forgatása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 93

94 Az így elvégzett forgatás a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az 1.3. ábráról): (1.13) D(qi) = cosq sin q i i sin q cosq i i 1 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 94

95 Másodszor következzék di transzláció a zi-1 mentén, a zi-1 és xi metszéspontjáig (1.31. ábra), így az xi-1 egybeesik az xi -vel: ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 α i ( i-1) szegmens i szegmens z i-1 a i z i y i-1 x i-1 O i d i y i x i z i-2 a i-1 O i-1 O i ábra Az elforgatott Oi-1xi-1yi-1zi-1 koordinátarendszer di transzlációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 95

96 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 96 Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az ábráról): (1.14) D(di) = 1 d i

97 Harmadszor következzék ai transzláció xi mentén az Oi origóig (1.32. ábra), így a koordinátarendszerek metszéspontja fedésbe kerül. ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 α i ( i-1) szegmens i szegmens a i z i-1 z i d i O i y i-1 x i-1 x y i i z i-2 a i-1 O i-1 O i ábra Az elforgatott és elmozdult Oi-1xi-1yi-1zi-1 koordinátarendszer ai transzlációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 97

98 Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az ábráról): (1.15) D(ai) = 1 a i Dr. Mester Gyula Robotkinematika 98

99 Negyedszer αi jobbcsavar irányú elfordulás az xi körül: hogy a z és y tengelyek is fedésbe kerüljenek (1.33. ábra). ( i-1) csukló i-csukló (i+1) csukló q i-1 q i q i+1 ( i-1) szegmens i szegmens a i α i z, i z i-1 d i O i x, i x i-1 y, i y i-1 z i-2 O i-2 a i-1 O i ábra A koordinátarendszer αi forgatása Dr. Mester Gyula Robotkinematika 99

100 Az így elvégzett rotáció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az ábráról): (1.16) D(αi) = 1 cosα sin α i i sin α cosα i i 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1

101 A fenti négy mozzanat a következő alakú Denavit Hartenberg transzformációs mátrixban foglalható össze: (1.17) i-1di = D(qi) D(di) D(ai) D(αi) Dr. Mester Gyula Robotkinematika 11

102 Behelyettesítve (1.13), (1.14), (1.15) és (1.16) mátrixokat a (1.17)-be, elvégezve a mátrixszorzást megkapjuk a következő alakú Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrixot a két egymást követő rotációs csuklóra rögzített koordinátarendszer esetén: (1.18) cosq i-1di = sin q i i sin q cosq i i sin α cosα cosα i i i sin q i cosq sin α i cosα sin α i i i a a i i cosq sin q d i 1 i i Dr. Mester Gyula Robotkinematika 12

103 Transzlációs csuklók esetében a koordinátarendszereket úgy választjuk meg, hogy ai=, a di hossz qi lesz, ami pedig a rotációs csuklónál a qi forgásszög, az most θi paraméter lesz, vagyis: ai = di = qi qi = θi Dr. Mester Gyula Robotkinematika 13

104 Így a Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrix a transzlációs csuklók esetén: (1.19) i-1di = cosθ sin θ i i sin θ cosθ i i sin α cosα cosα 1 i i sin θ i cosθ sin α i cosα sin α i i i q i 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 14

105 Miután tehát minden egymást követő koordinátarendszer esetében (a fenti eljárás szerint) meghatároztuk a Denavit Hartenberg (D-H) féle transzformációs-mátrixot, akkor a robotmanipulátor platformjához kötött álló koordinátarendszer és az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer közötti D-H féle homogén transzformációs-mátrixot, a két egymást követő koordinátarendszerek DH mátrixainak szorzata adja. (1.2) T n = D 1 1 D 2 2 D 3... n 2 D n 1 n 1 D n Dr. Mester Gyula Robotkinematika 15

106 A robotmanipulátor csuklók összes D-H mátrixának összeszorzásával ismét egy 4x4 es mátrixot kapunk, amely az effektor TCP pontjának a pozícióját és az effektor orientációját adja meg. Ugyanis a otn mátrix első három sora és oszlopa a robotmanipulátor platformhoz kötött álló és az effektorhoz kötött mozgó koordináta-rendszerek közötti rotaciós mátrixot, míg a otn mátrix negyedik oszlopa a az effektor TCP pontjának a nyugvó koordinátarendszerben lévő koordinátáit határozza meg Dr. Mester Gyula Robotkinematika 16

107 Amikor a robotmanipulátor-csuklóknál rögzítjük a megfelelő koordináta-rendszereket és meghatározzuk a D-H paramétereket: αi, ai, di, (i = 1,2,...,n), akkor a homogén transzformációs-mátrixok (1.18) csak a csuklókoordináták qi függvényeivé válnak. Tehát ha a robotmanipulátornál meghatározzuk a mátrix numerikus alakját, akkor abból kiolvashatjuk a három módosított Euler szöget és az effektor TCP szerszámközéppontjának a pozícióját, így tulajdonképpen meghatározzuk a robotmanipulátor világkoordinátáit [1]. (1.21) T n = R n x y z 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 17

108 Megállapítható tehát, hogy ily módon azzal, hogy - a három módosított Euler szöget és az effektor TCP pontjának a pozícióját meghatároztuk, a direkt kinematikai feladatot meg-oldottuk. A otn mátrix meghatározása tehát a csuklókoordináták vektorának ismeretében, a direkt kinematikai feladat megoldásának az alapja. Megjegyezhető, hogy a módosított Euler szögek kiszámítása a mátrixból nem függ a robotmanipulátor típusától! Dr. Mester Gyula Robotkinematika 18

109 Az effektor orientációja Dr. Mester Gyula Robotkinematika 19

110 Robotmanipulátor effektorának az orientációját a robotplatformhoz kötött nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva, a módosított Euler szögekkel ψ, θ, ϕ határozzuk meg [1]. A továbbiakban vizsgáljuk a következő két koordinátarendszer közötti rotációt: Oxoyozo nyugvó alapkoordinátarendszer, amely a robotmanipulátor platformjához van kötve, és Onxnynzn mozgó koordinátarendszer az On origóval, amely a robotmanipulátor effektorához kötődik. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 11

111 A mozgó koordinátarendszer orientációja az nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő rotációs mátrixszal Rn: (1.22) R n = e e e 1x 1y 1z e e e 2x 2y 2z e e e 3x 3y 3z Az Rn rotációs mátrix leképezi a mozgó koordinátarendszer koordinátáit a nyugvóba. Az Rn rotációs mátrix leképezi a mozgó koordinátarendszer koordinátáit a nyugvóba. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 111

112 A mozgó koordinátarendszer rotációja az nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva bemutatható a következő három rotációval: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 112

113 A mozgó Onxnynzn koordinátarendszer első rotációja a csavarási ψ szög szerint, amely az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek az álló koordinátarendszer z tengelye körüli szögelfordulását határozza meg (1.34. ábra). Ψ O n z=z' Ψ Ψ x x' y ábra A mozgó koordinátarendszer Rotációja a csavarási ψ szög szerint y' Dr. Mester Gyula Robotkinematika 113

114 Az így elvégzett rotációnak, az ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ψ) felel meg: (1.23) R( ψ) = cosψ sin ψ sin ψ cosψ 1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 114

115 Az új helyzetbe került mozgó koordinátarendszer Onxn'yn'zn' második rotációja a θ billen-tési szög szerint, amely az y' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (1.35. ábra). z' Θ z" y'=y" Dr. Mester Gyula Robotkinematika 115 O n Θ ábra A mozgó koordinátarendszer második rotációja a billentési szög θ szerint Θ x" x'

116 Az így elvégzett rotációnak az ábráról közvetlenül leolvasva a következő formájú rotációs mátrix R(θ) felel meg: (1.24) R(θ) = cosθ sin θ 1 sin θ cosθ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 116

117 A Az új helyzetbe került mozgó Onxn''yn''zn'' koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási szög ϕ szerint, amely az x'' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (1.36. ábra). z"' x''=x'" ábra A mozgó koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási ϕ szög szerint Dr. Mester Gyula Robotkinematika 117 ϕ ϕ z" y'" O n y" ϕ

118 Az így elvégzett rotációnak az ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ϕ) felel meg: (1.25) R(ϕ) = A fent elvégzett három rotáció együttesen az ábrán van bemutatva. A három felsorolt rotációnak megfelel a következő transzformációs mátrixszorzat: (1.26) o R n 1 cosϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ ( ψ) R( θ) ( ϕ) = R R Dr. Mester Gyula Robotkinematika 118

119 A felírt rotációs mátrixokat (1.23), (1.24) és (1.25) behelyettesítve a (1.26)-ba következik: (1.27) o R n = cosψ sin ψ sin ψ cosψ cosθ 1 sin θ 1 sin θ 1 cosθ cosϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 119

120 A mátrix szorzásokat elvégezve, felírható: (1.28) o R n = cosψ cosθ sinψ cosθ sinθ (1.28) cosψ sinθ sinϕ sinψ cosϕ sinψ sinθ sinϕ + cosψ cosϕ cosθ sinϕ cosψ sinθ cosϕ + sinψ sinϕ sinψ sinθ cosϕ cosψ sinϕ cosθ cosϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 12

121 z''' ϕ z" 1 Θ z, z' Ψ 3 2 O n y''' x x' 3 1 Ψ Θ 2 ϕ x", x'" ábra Módosított Euler szögek. Θ y', y" Dr. Mester Gyula Robotkinematika ϕ Ψ y 2

122 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 122 (1.29) ϕ θ ϕ θ θ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ + θ ψ θ ψ ϕ ψ ϕ + θ ψ ϕ ψ ϕ θ ψ θ ψ = cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin ccos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos e e e e e e e e e 3z 2z 1z 3y 2y 1y 3x 2x 1x

123 A (1.29) mátrixegyenlet egyes elemeit egyenlővé téve, felírható: (1.3) (1.31) (1.32) (1.33) (1.34) (1.35) (1.36) (1.37) e1x = cosψcosθ e1y = sinψcosθ e1z = -sinθ e2x = cosψsinθsinϕ-sinψcosϕ e2y = sinψsinθsinϕ +cosψcosϕ e2z = cosθsinϕ e3x = cosψsinθcosϕ +sinψsinϕ e3y = sinψsinθcosϕ- cosψsinϕ (1.38) e3z = cosθcosϕ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 123

124 Így 9 egyenletből álló egyenletrendszert kaptunk, amely 3 ismeretlent tartalmaz ψ, θ és ϕ, mivel a mátrix ortogonális, ezek az egyenletek nem függetlenek egymástól. A ψ, θ és ϕ szögeket a következő módon határozhatjuk meg [1]: Dr. Mester Gyula Robotkinematika 124

125 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 125

126 a. Szorozzuk meg az (1.3) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel és az (1.31) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel, majd felírható a következő kivonási művelet: (1.39) e1xsinψ - e1ycosψ = ahonnan kiszámítható a ψ szög nagysága: e1y (1.4) ψ = arctg + 2kπ e 1x Dr. Mester Gyula Robotkinematika 126

127 b. Szorozzuk meg az (1.3) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel és az (1.31) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel, majd az összeadási művelet felírható: (1.41) e1xcosψ + e1ysinψ = cosθ Az (1.41) egyenlet az (1.32) egyenlettel együtt lehetővé teszi a θ szög kiszámítását: e 1z (1.42) θ = arctg + 2kπ e1x cos ψ + e1y sin ψ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 127

128 c. Szorozzuk meg az (1.35) egyenlet mindkét oldalát cosϕ-vel és (1.38) egyenlet mindkét oldalát sinϕ-vel, így a kivonási művelet felírható: (1.43) e cosϕ e sinϕ = 2 z 3z 2z (1.44) ϕ = arctg + 2kπ e e 3z Dr. Mester Gyula Robotkinematika 128

129 A ψ, θ és ϕ szögeket többféle módon határozhatjuk meg. A szögek számításánál numerikus problémák jelentkezhetnek, ha az (1.4), (1.42) és (1.44) relációkban a nevezők kis értékűek. Ez megfelelő numerikus eljárással kiküszöbölhető. Az egyetlen szinguláris eset akkor jelentkezik, ha a θ = ± π/2, vagyis: e1x =e1y = e2z= e3z =. Ekkor az (1.4) egyenlet nem oldható meg, ezért a ψ szög értéket tetszőlegesen választjuk meg. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 129

130 Az ilyen ψ szög ismeretében a ϕ szöget a következő módon számítjuk ki: e 2x (1.45) ϕ = arctg ψ + 2kπ ha a θ = -kπ/2 e 2y ϕ = arctg e e 2x 2y + ψ + 2kπ ha a θ = kπ/2 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 13

131 Az (1.4), (1.42), (1.44) és (1.45) relációkban a k értéket úgy határozzuk meg, hogy figyelembe vesszük a direkt kinematikai feladat megoldásánál a világkoordináták két pont közötti minimális változását (mivel a robotmanilpulátor folyamatos mozgásának a világkoordináták folyamatos változása felel meg). A robotmanipulátor effektorának orientáció meghatározását a ψ, θ és ϕ szögek kiszámításával [az (1.4), (1.42) és (1.44) relációkból], befejezettnek tekintjük. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 131

132 Összegezés: Az effektor TCP szerszámközéppontjának: Descartes féle derékszögű koordinátáinak (pozicionálás) és a három módosított Euler-féle szögeinek (orientáció) meghatározásával a direkt kinematikai feladatot teljességben megoldottnak tekintjük. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 132

133 1.4. INVERZ KINEMATIKAI FELADAT Dr. Mester Gyula Robotkinematika 133

134 Bevezetés A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat amely a következő módon írható le: (1.46) q = f -1(s) Akkor alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál az effektor pályája világkoordinátákban van megadva, és nekünk a robotvezérléshez a csuklókoordinátákra van szükségünk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 134

135 Amikor tehát ismerjük az effektor TCP pontjának a világkoordinátáit (x,y,z) és az orientációját (ψ, θ és ϕ), akkor tulajdonképpen meghatároztuk a homogén mátrix-transzformációt a nyugvó- és mozgó koordinátarendszerek között, így az inverz kinematikai feladat felírható: (1.47) q = f (otn) -1 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 135

136 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb, mint a direkt kinematikai feladat. Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Több esetben a dekompozíciós módszer vezet eredményre. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 136

137 Az inverz kinematikai feladatot két módon oldhatjuk meg: a. Analitikus és b. Numerikus eljárások alkalmazásával. Az analitikus eljárás esetében a megoldást zárt analitikus formában kapjuk meg minden robotmanipulátor konfigurációra külön-külön. Numerikus eljárások esetében a numerikus analízis ismert módszereit alkalmazzuk. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 137

138 Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f-1 amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 138

139 Az analitikus megoldásnak az előnyei a numerikus eljárásokhoz viszonyítva a következők: a. Megkapjuk az összes megoldást. b. Pontos eredményeket kapunk (numerikus hibák nélkül). c. Kevesebb numerikus számítással használható, így megfelel a valós idejű számításoknál. d. Felismerhetővé teszi a szingularitásokat. Az analitikus megoldás fő hátránya az, hogy nem írható fel tetszőleges robotkonfigurációra. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 139

140 Oldjuk meg az ábrán látható négy szabadságfokú hengeres robotmanipulátor esetében az inverz kinematikai feladatot analitikus eljárással. l 3 q 3 l 4 q 2 c q 4 z l 2 q 1 z c o y c x c y x ábra. A hengeres robotmanipulátor vázlata. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 14

141 A világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggés felírható a következőképpen: (1.48) x y c c c = = ( l + l + q ) ( l ) 3 + l4 + q3 sin q1 ϕ=q4 ahol: s = [ x ] T c, yc, zc, ϕ a világkoordináták vektora xc, yc, zc az effektor súlypontkoordinátái, ϕ - Euler szög, li szegmenshossz. 3 z = q Dr. Mester Gyula Robotkinematika 141 l 2 4 cosq 1

142 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 142 Az analitikus megoldást tehát felírhatjuk a következő módon: (1.49) Így meghatároztuk a világkoordinátáknak megfelelő csuklókoordinátákat. ( ) = ϕ + = = = c 2 c 3 2 c 2 c c 1 q l l y x q l z q x y arctg q

143 Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása Az inverz kinematikai feladatok megoldásánál a numerikus matematika eljárásait használjuk fel. (1.5) q = f-1(s,qo) A legelterjedtebb a Newton módszer használata. Deriváljuk a robotmanipulátor világ- és csuklókoordinátái közötti összefüggést: (1.51) s = f ( q ) s& = f q q& Dr. Mester Gyula Robotkinematika 143

144 Ahol az un. nxn dimenziós Jacobi-mátrix: (1.52) f ( q) q Így az kifejezés felírható: (1.53) J s & = = J( q)q& Az (1.53) reláció a világkoordináták sebességvektora és a csuklókoordináták sebességvektora közötti összefüggést határozza meg. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 144

145 Ha ismerjük a világkoordináták sebességvektorát, akkor a csuklókoordináták sebességvektora a következő módon számítható ki: (1.54) 1 q& = J ( q)s& Mivel a nemredundáns robotmanipulátoroknál a Jacobi-mátrix kvadratikus, az inverz mátrixa meghatározható. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 145

146 A Jacobi-mátrix meghatározása Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása megköveteli a Jacobi-mátrix és az inverz Jacobi-mátrix ismeretét. A Jacobi-mátrix összeköti: - a világkoordináták és a csuklókoordináták sebességvektorait, - az effektorra ható erőket és a terhelő erőkből adódó csuklónyomatékokat. A Jacobi-mátrixnak nagy jelentősége van a robotmanipulátor pályatervezésénél. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 146

147 A Jacobi-mátrix függ a világkoordináták vektorának a típusától és meghatározható két almátrix segítségével: Az egyik almátrix a Descartes féle koordinátáknak felel meg JD: (1.55) x& & y z& = J D q& J D 3xn R Dr. Mester Gyula Robotkinematika 147

148 A másik almátrix az effektor szögsebességvektor vetületeinek felel meg Jω: (1.56) ωx 3xn = J ω q& ωy J ω R ω z Így a Jacobi-mátrixot felírhatjuk a következő módon: J D (1.57) J = J ω Dr. Mester Gyula Robotkinematika 148

149 A Jacobi-mátrix meghatározását az 1.36 ábrán látható hengeres robotmanipulátor példájánál mutatjuk be. Deriváljuk a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti (1.48) összefüggést: (1.58) x & ( ) c = l3 + l4 + q3 q& 1 sin q1 + q& 3 cosq1 C. ( l ) 3 + l4 + q3 q& 1 cosq1 q& 3 sin q1 y & = + z& C ϕ & = = q& q& 4 2 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 149

150 Dr. Mester Gyula Robotkinematika 15 A fenti kifejezéseket a következő alakban is felírhatjuk: (1.59) ( ) ( ) = ϕ C C C q q q q 1 1 sin q cosq q l l cosq sin q q l l z y x & & & & & & & &

151 Összehasonlítva az (1.53) és (1.59) kifejezéseket a Jacobi-mátrix alakja a kővetkező: (1.6) J (q)= ( l + l + q ) 3 ( l + l + q ) sin q cosq cosq sin q Dr. Mester Gyula Robotkinematika 151

152 1.5. ROBOTMANUPULÁTOROK PÁLYATERVEZÉSE Dr. Mester Gyula Robotkinematika 152

153 Bevezetés Robotmanipulátorok pályatervezésének kettős célja lehet: Az effektor mozgását meghatározó pontok pozíciójának a megadása. Az adott pontok közötti pálya-meghatározás. A pályatervezési feladat a robotmanipulátor munkafolyamatától függ. A pályatervezési feladatot skalárértékű időfüggvények tervezési feladatára vezetjük vissza és elvégezhetjük: Csuklókoordinátákban és Világkoordinátákban. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 153

154 A robotirányítási algoritmusok a pálya ismerete mellett megkövetelik a pálya menti sebességek, gyorsulások, szögsebességek és szöggyorsulások ismeretét is. A pályatervezési feladatot elvégezhetjük: Off-line vagyis a robotmanipulátor tanítási fázisában és On-line, valós időben. Dr. Mester Gyula Robotkinematika 154

155 Pályatervezés világkoordinátákban Két adott pont (A és B) közötti pályatervezés világkoordinátákban τ idő alatt elvégezhető a következő módon: (1.61) s(t) A B A = s + λ(t)( s s ) t ahol az integrálási folyamat közben szükséges az inverz kinematikai feladat megoldása. τ Az (1.61) kifejezésben a λ(t) függvény az effektor sebesség-törvényszerűségét határozza meg, amely különböző típusú lehet (háromszög-, trapéz-, parabola-, ciklois- stb. alakú). Dr. Mester Gyula Robotkinematika 155

156 Amikor sikeresen elvégeztük a pályatervezést a világkoordinátákban, akkor meg kell oldani a pályatervezést csuklókoordinátákban is. E feladat három módon oldható meg: a. Az inverz kinematikai feladat megoldásával. b. Az (1.54) reláció segítségével és c. Az (1.53) reláció felhasználásával. Deriváljuk az (1.53) kifejezést: (1.62) ahonnan: (1.63) && s = q && Jq&& + J q& q J && s q Dr. Mester Gyula Robotkinematika & = J 1 q 2

157 Pályatervezés csuklókoordinátákban Amikor a pályatervezést csuklókoordinátákban szükséges elvégezni akkor következő kifejezést használjuk: (1.64) q(t) A B A = q + λ(t)( q q ) t ahol a qa és qb a csuklókoordináták megfelelő vektorai. Fontos kihangsúlyozni, hogy a csuklókoordináták lineáris változása nem biztosítja a világkoordináták lineáris változását is. τ Dr. Mester Gyula Robotkinematika 157