Mester Gyula 2003 Intelligens robotok és rendszerek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mester Gyula 2003 Intelligens robotok és rendszerek"

Átírás

1 Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek

2 Robotmanipulátorok kinematikája Robotmanipulátorok dinamikája Robotmanipulátorok szabad mozgásának hagyományos irányítása Robotmanipulátorok adaptív irányítása Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek

3 Robotmanipulátorok geometriai modellje A robot helyzetmeghatározása Direkt kinematikai feladat Inverz kinematikai feladat Robotmanipulátorok pályatervezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

4 . A robotmanipulátorok geometriai modellje.. Robotcsuklók... Robotszegmensek..3. Kinematikai pár..4. Kinematikai lánc..5. Robotmanipulátorok alapkonfigurációi..6. Az alapkonfigurációk munkaterei a. A TTT struktúra munkatere b. Az RTT struktúra munkatere c. Az RRT struktúra munkatere d. Az RRR struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

5 .. Robotcsuklók A robotmanipulátor mint mechanizmus n számú szegmensből áll melyeket -szabadságfokú csuklók kapcsolnak össze. A merev test mozgása műszaki szempontból a mozgástengelyek (x,y,z) menti elmozdulásból és e tengelyek körüli elfordulásból áll. Ez persze vonatkozik a robotmanipulátorok mozgására is amely felosztható haladó -és forgó ( rotációs ) mozgásra. Így tehát az -szabadságfokú robotcsuklók felosztása a következő: rotációs csukló, transzlációs csukló. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

6 A rotációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens forgó mozgását a másik szegmens körül, R szimbólummal jelöljük és sematikusan hengerrel ábrázoljuk. l z l q.. ábra A rotációs csukló vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

7 A transzlációs csuklók lehetővé teszik az egyik szegmens haladó mozgását a másik szegmenshez viszonyítva, T szimbólummal jelöljük és sematikusan hasábbal ábrázoljuk. l l z l l q z q.. ábra A transzlációs csukló vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

8 Az.3 ábrán a 6-szabadságfokú PUMA típusú robototmanipulátort mutatjuk be. Az.4 ábrán pedig a PUMA robotmanipulátor vázlata látható. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

9 q q 3 q q 5 q 6.3. ábra A PUMA robotmanipulátor q 4 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

10 .4. ábra A PUMA robotmanipulátor vázlata Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

11 ... Robotszegmensek A robotmanipulátor szegmense merev test, amely kinematikai- és dinamikai paraméterekkel rendelkezik. A kinematikai paraméterek a szegmens hossza és a robotcsukló-tengelyek egymással között bezárt szöge. A dinamikai paraméterek közé tartozik a szegmens tömege, és tehetetlenségi nyomatéka. A kinematikai paramétereket a Denavit-Hartenberg féle eljárás szerint határozzuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

12 q i- q i i-szegmens (i-) - csukló i-csukló.5. ábra Robotszegmens Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

13 ..3. Kinematikai pár A kinematikai pár két egymás mellett lévő szegmensből és a szegmenseket összekötő csuklóból áll. A továbbiakban csak -szabadságfokú kinematikai párokat vizsgálunk (rotáció vagy transzláció). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

14 ..4. Kinematikai lánc A kinematikai lánc n számú kinematikai párból áll. A kinematikai láncok struktúrális szempontból csoportosíhatók: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

15 egyszerû összetett Kinematikai lánc - felosztása - nyitott zárt.6. ábra Kinematikai láncok felosztása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

16 Az egyszerű kinematikai láncnál egyik szegmens sem kapcsolódik több mint két kinematikai párhoz. Az összetett kinematikai láncnál legalább egy szegmens több mint két kinematikai párhoz tartozik. A nyitott kinematikai lánc legalább egy szegmense csak egy kinematikai párhoz tartozik. A zárt kinematikai láncnál minden szegmens két kinematikai párhoz tartozik. A kinematikai láncok típusai az.7. ábrán láthatók. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

17 z l l q egyszerű, nyitott kinematikai lánc összetett, nyitott kinematikai lánc.7.a. ábra Kinematikai lánc típusok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

18 z l l q egyszerű, zárt kinematikai lánc összetett, zárt kinematikai lánc.7.b. ábra Kinematikai lánc típusok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

19 A mechanizmusok elmélete szempontjából a robotmanipulátorok aktív mechanizmusai l általános esetben összetett és változó struktúrájú kinematikai láncok []. q Egy ipari robot kinematikai láncának szerelés közben változó struktúráját a ábrákon mutatjuk be. z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

20 Vizsgáljunk meg egy 6-szabadságfokú PUMA típusú robotmanipulátort. l z l q A munkadarab megfogása előtt a robotmanipulátor kinematikai lánca egyszerű és nyitott:.8. ábra A szerelő robot a munkadarab megfogása előtt Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

21 A munkadarab szállítása közben a robot-manipulátor kinematikai struktúrája nem változik, de a kinematikai lánc utolsó tagjának ( a megfogó-effektor és a munkadarab együttesen ) a tömege és tehetetlenségi nyomatéka változik, ami persze kihat a szemlélt rendszer dinamikájának változására: l z q.9. ábra A munkadarab szállítása l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

22 A munkadarab szerelésénél pedig (.9. ábra) megváltozik a robotmanipulátor kinematikai struktúrája is, mivel az, egyszerű és zárt kinematikai struktúrájú lesz: l z q.0. ábra A munkadarab szerelése l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

23 ..5. Robotmanipulátorok alapkonfigurációi A robotmanipulátorok alapkonfigurációja alatt egy három csuklós, tehát 3 - szabadságfokú kinematikai láncot értünk. Az alapkonfigurációhoz csatlakozik az effektor. Az alapkonfiguráció feladata az effektor pozícionálása a munkatérben. A legtöbb használatban lévő robotmanipulátor rendelkezik ilyen alapkonfigurációval. Mivel a robotcsuklók rotációsak és transzlációsak lehetnek, így az alapkonfigurációk esetében a.0. ábra szerinti kombinációk jelentkezhetnek. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

24 Robotmanipulátorok alapkonfigurációi Struktúra vázlat Struktúra vázlat No. RRR 5 TRR RRT 6 TTR 3 RTT 7 TRT 4 RTR 8 TTT.. ábra A robotmanipulátorok lehetséges alapkonfigurációinak bemutatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

25 Fontos kihangsúlyozni azt is, hogy a robotmanipulátor alapkonfigurációk kinematikai paramétereitől függően az.. ábra egy-egy eseténél több kombináció is lehetséges. z z l q z 0 q l q 3 Ez például a SCARA (Selective Compliant Articulated Robot for Assembly) RRT struktúrájú szerelő robotmanipulátor esetében szemléletesen bemutatható (.. ábra)... ábra A SCARA szerelőrobot alapkonfigurációja q z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

26 ..6. Az alapkonfigurációk munkaterei A robotmanipulátor alapkonfigurációjának a munkatere alatt azt a bejárható térnagyságot értjük, amelynek minden pontjában eljuthat a harmadik szegmens végső pontja. A továbbiakban a 4 leginkább használt alapkonfiguráció munkaterét vizsgáljuk [7]: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

27 a. A TTT struktúra munkatere A TTT struktúra 3 transzlációs csuklóval rendelkezik. Három haladó mozgást valósít meg egy Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. A.3. ábrán látható a TTT alapkonfiguráció munkatere, amely hasáb alakú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

28 z a y o x.3. ábra A TTT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

29 b. Az RTT struktúra munkatere Az RTT struktúra transzlációs és rotációs csuklóval rendelkezik (az első csukló rotációs a másik kettő pedig transzlációs). Két haladó és egy forgó mozgást valósít meg. A.4. ábrán látható az RTT alapkonfiguráció hengergyűrű alakú munkatere. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

30 z b y o x.4. ábra Az RTT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

31 c. Az RRT struktúra munkatere Az RRT struktúra rotációs és transzlációs csuklóval rendelkezik (az első két csukló rotációs a harmadik pedig transzlációs). Két forgó és egy haladó mozgást valósít meg. Az.5. ábrán látható az RRT alapkonfiguráció üreges gömb alakú munkatere. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

32 z c y o x.5. ábra Az RRT struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

33 d. Az RRR struktúra munkatere Az RRR struktúra 3 rotációs csuklóval rendelkezik három forgás Az.6. ábrán látható az RRR alapkonfiguráció munkatere, amely gömb alakú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

34 Z d y o x.6. ábra Az RRR struktúra munkatere Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

35 Ha feltételezzük, hogy a fent említett alapkonfigurációk paraméterei azonosak, tehát: - az elmozdulások maximális hossza l, - a maximális rotáció nagysága ± 80º és - a rotációt végző szegmensek hossza l, akkor megállapítható, hogy az RRR struktúra munkatere a legnagyobb. Itt viszont azt is meg kell említeni, hogy a pozícionálási hiba nagyobb azoknál a robotmanipulátoroknál amelyek rotációs csuklókkal rendelkeznek (mivel a rotációs csuklóknál a pozicionálási hibák szuperponálódnak). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

36 Az ipari alkalmazásban mégis a rotációs csuklókkal rendelkező robotmanipulátorok vannak többségben, egyrészt a szervomotor forgómozgása, másrészt a robotirányítás könnyedsége miatt. Ugyanis a transzlációs csuklóknál a szervomotor forgómozgását át kell alakítani haladó mozgássá, ami a robotmanipulátoroknál kotyogást és mechanikai veszteségeket idéz elő. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

37 .. A robot helyzetmeghatározása... Bevezetés Az effektor pozicionálása Az effektor orientációja... Csuklókoordináták..3. Világkoordináták..4. A direkt kinematikai feladat..5. Az inverz kinematikai feladat..6. Redundancia Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

38 ... Bevezetés A robotirányítás legegyszerűbb feladata az effektor helyzetmeghatározása a munkatérben. Figyeljük tehát azt a feladatot amikor egy munkadarabot helyezünk át az -es helyzetből a -es helyzetbe (.7. ábra). Először az effektort pozícionálni kell a munkadarab közelébe, majd a munkadarab megfogása céljából el kell végezni az effektor orientációját is ( -es helyzet). A robot helyzetét a munkatérben tehát az effektor pozíciójával és orientációjával határozzuk meg [3]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

39 z l l q.7. ábra A munkadarab áthelyezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

40 A következő lépés a munkadarab z megfogása l és áthelyezése (-es helyzet). Itt új pozíciót és orientációt szükséges definiálni. l Amikor a munkadarab a -es helyzetbe kerül, az effektor kinyílik így a munkadarab a végső helyzetébe q jut. A robot pozícionálása a szerelőrobotok legegyszerűbb feladata. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

41 Az effektor pozicionálása z l A robotmanipulátor pozícionálása l alatt az effektor világkoordináták (x,y,z) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. q A pozícionálási feladat elvégzésére 3 szabadságfokra, vagyis a robot alapkonfigurációjára van szükség. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

42 Az effektor orientációja z l A robotmanipulátor orientációjal alatt az effektornak a 3 térbeli szög (ψ, θ, ϕ) szerinti elhelyezését értjük a munkatérben. q A orientációs feladat elvégzésére tehát további 3 szabadságfokra van szükség. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

43 Az ipari robotmanipulátorokat leginkább 4, 5 és 6 szabadságfokú struktúrával gyártják. A 4 - szabadságfokú robotmanipulátor, l 3 szabadságfokkal el tudja végezni a pozicionálást (x, y, z), a 4. szabadságfokkal q pedig egy szög szerinti orientációt (ψ), tehát a robot képes elvégezni egyszerűbb térbeli manipulációs feladatokat (munkadarab szállítás, présgépek kiszolgálása stb.). z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

44 Az 5 - szabadságfokú robotmanipulátor 3 szabadságfokkal el tudja végezniz a l pozicionálást (x, y, z), a 4. és 5. szabadságfokokkal pedig szög szerinti orientációt l (ψ, θ), tehát a robotmanipulátor összetettebb térbeli manipulációs feladatokat képes elvégezni q (folyadék-szállítás, egyszerűbb szerelési munkálatok, hegesztés stb.). Az és szög szerinti orientáció-feladat különbsége a.8. és.9. ábrákon látható [4]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

45 z z l l.8. ábra Az szögű orientáció-feladat q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

46 z z l l.9. ábra A szögű orientáció-feladat q z z' z' Ψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

47 A 6- szabadságfokú robotmanipulátor munka közben elvégzi a komplett z l pozicionálást (x,y,z) és komplett orientációt (ψ,θ,ϕ), így teljesíti az l összetett térbeli manipulációs feladatokat (összetett szerelés és szállítás, stb.). A robot pozicionálási feladatát elvileg megoldhatjuk: csuklókoordinátákban és világkoordinátákban. z q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

48 ... Csuklókoordináták A robotmanipulátor csuklókoordinátája skaláris érték, amely a kinematikai pár egyik szegmensének a relatív helyzetét határozza meg a másik szegmenshez viszonyítva []. A rotációs csuklónál a csuklókoordináta megegyezik a csukló elforgatási szögével, a transzlációs csuklónál a csuklókoordináta pedig megegyezik a csukló tengelye mentén történő elmozdulással. Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i =,,...,n Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

49 Robotmanipulátorok csuklókoordinátáit a következőképpen jelöljük: qi i =,,...,n a csuklókoordináták vektora pedig: q = q q M q n (.) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

50 Minden csuklókoordináta bizonyos határok között változhat: q i min q i q i max Megállapítható, hogy a rotációs csuklók pozícionálása esetében egyidőben változik az effektor orientációja is, így az effektor orientációját később csak korrigálni kell (ez persze a transzlációs csuklókról nem mondható el). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

51 q 3 q 4 z l q l q 6 q 5 q z q.0. ábra Robotmanipulátorok csuklókoordinátái z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

52 ..3. Világkoordináták A világkoordináták meghatározzák a robotmanipulátor effektorjának a pozícióját és orientációját egy nyugvó Descartes féle derékszögű koordinátarendszerben. Az effektor pozíciója három, Descartes féle derékszögű koordinátával írható le: x, y, z. A vonatkoztató nyugvó koordinátarendszer a robotmanipulátor platformjához van rögzítve (a leíráshoz lehet hengeres-koordinátákat is alkalmazni). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

53 Az effektor orientációja a módosított Euler szögekkel írható le: ψ,θ,ϕ. Ezek a szögek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a robotmanipulátor platformjához van rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez képest. x y = z Ψ θ ϕ s (.) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

54 A módosított Euler szögeket a hajózásból vették át és az Euler szögekhez képest abban különböznek, hogy a harmadik forgatás az x tengely körül történik (az Euler szögeknél pedig újból a z tengely körül!). A módosított Euler szögek elnevezései: ψ - csavarási szög (ROLL) θ - billentési szög (PITCH) ϕ - forgatási szög (YAW) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

55 z n ψ csavarász Roll l O n θ l billentés Pitch q xn ϕ forgatás Yaw y n.. ábra Robotmanipulátorok ROLL, PITCH és YAW szögei z' z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

56 A csavarási szög ψ, az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek a nyugvó koordinátarendszer z tengelye körüli z szögelfordulását határozza meg. A billentési szög θ az új helyzetbe került y tengely körüli szögelfordulást adja. z A forgatási szög ϕ pedig a két előbbi szögelfordulás után új helyzetbe került x tengely körüli szögelfordulását határozza meg []. l l q z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

57 A világkoordináták s vektorának komponensei: Az effektor kiválasztott szerszámközéppontjának z l TCP (Tool Center Point) három x, y és z Descartes féle koordinátája a robotmanipulátor l platformjához rögzített vonatkoztató álló koordinátarendszerhez viszonyítva, és a z ψ, θ, ϕ szögek, amelyek meghatározzák az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer szögelfordulását a vonatkoztató nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva. z' q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

58 z q i ϕ l z l x z'.. ábra Robotmanipulátorok effektorának világkoordinátái x n z n o n ψ θ y n o y x z z q y Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

59 A világkoordináták s vektorának általános esetben m koordinátája van. Legtöbbször m=6. Bizonyos típusú robotmanipulátoroknál elegendő kisebb számú világkoordináta használata, így például az effektor pozicionálására (orientáció nélkül) elegendő: m = 3 világkoordináta, tehát a világkoordináták vektora ez esetben: [ x y z] T s = (.3) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

60 ..4. Direkt kinematikai feladat A világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat [], amely a következő módon irható le: (.4) s = f(q) ahol a: qi (i =,...n) robotmanipulátor csuklókoordinátái, si (i =,...m) - világkoordináták, f: - nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény amely leképezi a csuklókoordinátákat világkoordinátákká. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

61 A következő ábrán bemutatjuk a direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. A q csuklókoordináták minden vektorértékének egyértelmű s világkoordináta érték felel meg. Az.3. fejezetben a direkt kinematikai feladattal foglalkozunk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

62 z l l q Transzformáció: csuklókoordinátákból világkoordinátákba z q s.3. ábra A direkt kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

63 ..5. Inverz kinematikai feladat A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat [], amely a következő módon irható le: (.5) q = f -(s) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

64 Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Az.4. fejezetben az inverz kinematikai feladattal foglalkozunk. A következő ábrán bemutatjuk az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúráját. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

65 z l l s Transzformáció: világkoordinátákból csuklókoordinátákba z q q.4. ábra Az inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája z' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

66 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb mint a direkt kinematikai feladat. Akkor l alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál azeffektor pályája világkoordinátákban van megadva és így z szükséges meghatározni a csuklókoordinátákat is. A direkt- és inverz kinematikai feladat koordinátatranszformáció struktúráját szemléltető módon az.5. ábrán mutatjuk be: z' z l q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

67 Inverz kinematikai feladat z ϕ x n z n ψ s θ y n Tool-Center-Point ( TCP) f - l z l q q q q 3 q 4 q 6 q 5 q x y f z világkoordináták vektora csuklókoordináták vektora T T s= x, y, z, ψ, θ, ϕ q= q, q, q3, q4, q5, q6 Direkt kinematikai feladat z'.5. ábra A direkt és inverz kinematikai feladat koordináta-transzformáció struktúrája Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

68 ..6. Redundancia A robotmanipulátort nemredundánsnak tekintjük, ha a világkoordináták vektordimenziója m megegyezik a robotmanipulátor szabadságfok számával n. Ha az: n > m akkor a robotmanipulátor redundáns vagy túlhatározott, vagyis az effektor adott helyzetéhez viszonyítva, a csuklókoordináták q szempontjából többféle megoldás is létezik. Ha pedig: n < m akkor a robotmanipulátor nem tudja elvégezni az előírt feladatot. A könyv további részében csak a nemredundáns robotmanipulátorokkal foglalkozunk l z' z z l Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

69 .3. DIREKT KINEMATIKAI FELADAT.3.. Bevezetés.3.. Homogén koordináta-transzformációk.3.3. Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix.3.4. Az effektor orientációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

70 .3.. Bevezetés Ahogy már elmondtuk a világkoordináták s vektorának meghatározása a csuklókoordináták q vektorának ismeretében a direkt kinematikai feladat. Egyszerű manipulációs feladatoknál a csuklókoordinátákat közvetlenül lehet megadni. Szemléljük tehát a.6. ábra szerinti robotmanipulátort: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

71 .6. ábra Feladatmeghatározás csuklókoordináták közvetlen megadásával Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

72 Első lépésben az effektor a munkadarabot az A helyzetből az AB pálya mentén a B helyzetbe szállítja, ez idő alatt a q csuklókoordináta π/-vel változik. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

73 A következő lépésben a munkadarabot vízszintes helyzetbe hozzuk, így a q4 csuklókoordináta változik π/-vel. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

74 A harmadik lépésben a BC pálya mentén a munkadarab a C helyzetbe kerül és a q csuklókoordináta -π/-vel változik, de egyidőben változik a q csuklókoordináta miután l hosszal leengedi a munkadarabot. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

75 Így ha a csuklókoordináták q változása ismert akkor a direkt kinematikai feladat megoldásával meghatározhatjuk az s világkoordinátákat, vagyis az effektor térbeli mozgását [4]. A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogyan lehet felírni a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggést, így e célból célszerű bevezetni a: homogén transzformációs mátrixot. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

76 .3.. Homogén koordináta-transzformációk Homogén transzformációs mátrixok alatt olyan 4x4 típusú mátrixokat értünk, amelyek tartalmazzák a két kiválasztott derékszögű koordinátarendszer közötti: rotációt és a két koordinátarendszer origójának a távolságát. Használatuk azért célszerű mert lehetővé teszik különböző koordinátarendszerek viszonyának kompakt vektorleírását []. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

77 Először ismerkedjünk meg a két koordináta-rendszer közötti rotációs mátrixszal. Tekintsük tehát a következő két: nyugvó Ox o y o z o alapkoordinátarendszert, amely a robotmanipulátor alapjához van kötve, és mozgó O n xyz koordinátarendszert, az O n origóval, amely a robotmanipulátor effektorjához kötődik, egységvektorai e, e és e 3 (.7. ábra szerint). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

78 Legyen az álló Ox o y o z o a referencia koordinátarendszer. Az O n origó helyzetét a referencia koordinátarendszer-ben a k helyzetvektorral adjuk meg. zo z On e 3 e e y k x O yo x0.7. ábra Nyugvó és mozgó koordinátarendszerek Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

79 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája A mozgó koordinátarendszer orientációja a nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő R rotációs mátrixszal: rotációs mátrix x x x 3 Tehát a rotációs mátrix elemei tulajdonképpen az e,e és e 3 egységvektoroknak az x o, y o, z o referencia koordinátákra számított vetületeivel egyeznek meg [8]. = z z z y y y e e e e e e e e e 3 3 R

80 Ismerve a p helyzetvektort, amely meghatározza a P pont helyzetét a mozgó koordinátarendszerben, az.8. ábra szerint határozzuk meg a P pont helyzetét a referencia Ox o y o z o koordinátarendszerben: zo z On e 3 e y O k e x P yo x0.8. ábra A helyzetvektorok Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

81 ahol: r a P pont helyzetvektora a nyugvó Ox o y o z o referencia koordinátarendszerben, p - a P pont helyzetvektora a mozgó koordinátarendszerben, k -az O n origó helyzetvektora az nyugvó Ox o y o z o referencia koordinátarendszerben, R - a két koordinátarendszer rotációs mátrixa. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

82 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az (.7) kifejezésben az r helyzetvektort úgy írjuk fel, hogy a p vektort balról megszorozzuk a R rotációs mátrixszal és az eredményhez hozzáadjuk a k vektort, az On origó helyzetvektorát. Az (.7)-es reláció skaláris alakja tehát a következő: (.8) + = z y x 3 3z z z 3y y y 3x x x z y x k k k p p p e e e e e e e e e r r r

83 A kompakt felírás céljából állítsuk fel az nyugvó és mozgó koordinátarendszerek közötti 4x4 típusú homogén transzformációs mátrixot a következő alakban: (.9) vagyis: (.0) H H = = R 000 e e e 0 x y z e e e k x y z 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája e e e 3x 3y 3z 0 e e e 4x 4y 4z

84 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Így az (.7)-es reláció kompakt alakban írható fel: (.) r = Hp Az. vektoregyenlet skaláris alakja így a következő: (.) = p p p k e e e k e e e k e e e r r r 3 z 3z z z y 3y y y x 3x x x z y x

85 A homogén mátrix-transzformáció bevezetésének három jelentősége van: Megadja a mozgó koordinátarendszer orientációját a nyugvó koordinátarendszerhez képest. Megadja a mozgó koordinátarendszer origójának a pozícióját a nyugvó koordinátarendszer origójához képest. Ha egy adott pont koordinátáit ismerjük a mozgó koordinátarendszerben, akkor a homogén mátrixtranszformáció segítségével felírhatjuk ugyanennek a pontnak a koordinátáit a nyugvó koordinátarendszerben is [4]. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

86 Tehát két (vagy több) koordinátarendszer esetében, az (.7) reláció szerinti szukcesszív szorzási és összeadási műveletek helyett a kiválasztott pont r helyzetvektorát az (.) reláció szerinti homogén transzformációs mátrix segítségével fejezzük ki (homogén transzformációs mátrix szorzása a p vektorral), amely eljárás: gyorsabb számításokat eredményez, és használata elterjedt a robotmanipulátor kinematikai modelljének felállításánál. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

87 .3.3. Denavit-Hartenberg transzformációs mátrix A csuklókoordináták transzformálása világkoordinátákba a Denavit-Hartenberg féle transzformációs mátrixszal történik. Denavit és Hartenberg ezt az eljárást 955-ben publikálta és ezért nevezték el együttesen Denavit-Hartenberg módszernek. Az eljárás lényege az, hogy egy koordinátarendszer két haladó és két forgó mozgással egy másikba átvihető. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

88 A robotmanipulátoroknál használt Denavit- Hartenberg paraméterek: d és a távolságok és α szög. A Denavit-Hartenberg eljárás szerint [5] az i-edik és i+-edik robotcsuklókra egy-egy derékszögű koordinátarendszert ültetünk, a csukló tengelyének iránya a z tengely és a két egymást követő koordinátarendszert a következő irányszabályok szerint határozzuk meg: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

89 Az i+-es robotcsuklón megválasztjuk az O i x i y i z i koordinátarend szert a következő módon: -Az i tengely az i+-edik csukló irányában fekszik, -az x i tengely a két szemlélt csukló (i-edik és i+-edik) tengelyének közös normálisába esik és az i-edik csuklótól az i+-edik csukló felé mutat, -az y tengely kielégíti a következő feltételt: x i y i = z i - jobbcsavar irányú. ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ z i- O i- ( i-) szegmens a i- d i z i- y i- Oi-.9. ábra A derékszögű koordinátarendszerek helyzete Denavit-Hartenberg eljárás szerint x i- i szegmens a i y i α i O i z i x i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

90 Az i-edik robotcsuklón megválasztjuk az O i- x i- y i- z i- koordinátarendszert a következő módon: a z i- tengely az i-edik csukló irányában fekszik, az x i- tengely az i--edik és i-edik csuklók tengelyének közös normálisába esik és az i--edik csuklótól a i-edik csukló felé mutat, az y i- tengely kielégíti a következő feltételt: x i- x y i- =z i- - jobbcsavar irányú. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

91 d i : - minden csuklótengelynek két normálisa van (a i- és a i ) és a normálisok közötti az i-edik csukló tengelye mentén mért távolság a d i, a i : az i-edik és i+-edik csukló-tengelyek közös normálisának a hossza, α i : - az i-edik csukló és az i+-edik csukló tengelye közötti jobbcsavar irányú szög az a i -re merőleges síkban. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

92 A q i csuklókoordináta, rotációs csukló esetében az x i- és x i tengelyek között bezárt jobbcsavar irányú szög nagysága, amely zérus, ha a tengelyek egyirányúak vagy párhuzamosak egymással. A Denavit-Hartenberg eljárás szerint felvitt két szomszédos derékszögű koordinátarendszer O i - x i- y i- z i- és O i x i y i z i két haladó és két forgó mozgással egymásba átvihető a következő lépések szerint: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

93 Először qi elfordulás z i- körül: x i- párhuzamos lesz x i -vel. (.30. ábra): Zglob i- Zglob i Zglob i+ Segment i- Segment i α i a i z i O i d i z i- y i x i qi z i- y i- a i- Oi- x i- O i-.30. ábra Az Oi-xi-yi-zi- koordinátarendszer qi forgatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

94 Az így elvégzett forgatás a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.30. ábráról): (.3) D(q i ) = cosq sin q 0 0 i i sin q cosq 0 0 i i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

95 Másodszor következzék di transzláció a z i- mentén, a z i- és xi metszéspontjáig (.3. ábra), így az x i- egybeesik az x i -vel: ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ α i ( i-) szegmens i szegmens z i- a i z i y i- x i- O i d i y i x i z i- a i- O i- O i-.3. ábra Az elforgatott O i- x i- y i- z i- koordinátarendszer d i transzlációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

96 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.3. ábráról): (.4) D(d i ) = d i

97 Harmadszor következzék a i transzláció x i mentén az O i origóig (.3. ábra), így a koordinátarendszerek metszéspontja fedésbe kerül. ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ α i ( i-) szegmens i szegmens a i z i- z i d i O i y i- x i- x y i i z i- a i- O i- O i-.3. ábra Az elforgatott és elmozdult O i- x i- y i- z i- koordinátarendszer ai transzlációja Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

98 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az így elvégzett transzláció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.3. ábráról): (.5) D(a i ) = a 0 0 i

99 Negyedszer α i jobbcsavar irányú elfordulás az x i körül: hogy a z és y tengelyek is fedésbe kerüljenek (.33. ábra). ( i-) csukló i-csukló (i+) csukló q i- q i q i+ ( i-) szegmens i szegmens a i α i z, i z i- d i O i x, i x i- y, i y i- z i- a i- O i- O i-.33. ábra A koordinátarendszer α i forgatása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

100 Az így elvégzett rotáció a következő homogén koordináta-transzformációs mátrixszal írható le (leolvasható az.33. ábráról): (.6) D(α i ) = cosα sin α 0 i i 0 sin α cosα 0 i i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

101 A fenti négy mozzanat a következő alakú Denavit Hartenberg transzformációs mátrixban foglalható össze: (.7) i- D i = D(q i ) D(d i ) D(a i ) D(α i ) Behelyettesítve (.3), (.4), (.5) és (.6) mátrixokat a (.7)-be, elvégezve a mátrixszorzást megkapjuk a következő alakú Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrixot a két egymást követő rotációs csuklóra rögzített koordinátarendszer esetén: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

102 (.8) i- D i = cosq sin q 0 0 i i sin q cosq i i sin α cosα cosα 0 i i i sin q i cosq sin α i cosα 0 sin α i i i a a i i cosq sin q d i i i Transzlációs csuklók esetében a koordinátarendszereket úgy választjuk meg, hogy a i = 0, a d i hossz q i lesz, ami pedig a rotációs csuklónál a q i forgásszög, az most θ i paraméter lesz, vagyis: a i = 0 d i = q i q i = θ i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

103 Így a Denavit Hartenberg féle transzformációs mátrix a transzlációs csuklók esetén: (.9) i- D i = cosθ sin θ 0 0 i i sin θ cosθ i i sin α cosα cosα 0 i i sin θ i cosθ sin α i cosα 0 sin α i i i 0 0 q i Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

104 Miután tehát minden egymást követő koordinátarendszer esetében (a fenti eljárás szerint) meghatároztuk a Denavit Hartenberg (D-H) féle transzformációs-mátrixot, akkor a robotmanipulátor platformjához kötött álló koordinátarendszer és az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszer közötti D-H féle homogén transzformációsmátrixot, a két egymást követő koordinátarendszerek DH mátrixainak szorzata adja. (.0) 0 T n = 0 D D D 3... n D n n D n Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

105 A robotmanipulátor csuklók összes D-H mátrixának összeszorzásával ismét egy 4x4 es mátrixot kapunk, amely az effektor TCP pontjának a pozícióját és az effektor orientációját adja meg. Ugyanis a o T n mátrix első három sora és oszlopa a robotmanipulátor platformhoz kötött álló és az effektorhoz kötött mozgó koordináta-rendszerek közötti rotaciós mátrixot, míg a o T n mátrix negyedik oszlopa a az effektor TCP pontjának a nyugvó koordinátarendszerben lévő koordinátáit határozza meg Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

106 Amikor a robotmanipulátor-csuklóknál rögzítjük a megfelelő koordináta-rendszereket és meghatározzuk a D-H paramétereket: α i, a i, d i, (i =,,...,n), akkor a homogén transzformációs-mátrixok (.8) csak a csuklókoordináták qi függvényeivé válnak. Tehát ha a robotmanipulátornál meghatározzuk a mátrix numerikus alakját, akkor abból kiolvashatjuk a három módosított Euler szöget és az effektor TCP szerszámközéppontjának a pozícióját, így tulajdonképpen meghatározzuk a robotmanipulátor világkoordinátáit []. (.) 0 T n = 0 0 R n 0 x y z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája 0

107 Megállapítható tehát, hogy ily módon azzal, hogy - a három módosított Euler szöget és az effektor TCP pontjának a pozícióját meghatároztuk, a direkt kinematikai feladatot megoldottuk. A o T n mátrix meghatározása tehát a csuklókoordináták vektorának ismeretében, a direkt kinematikai feladat megoldásának az alapja. Megjegyezhető, hogy a módosított Euler szögek kiszámítása a mátrixból nem függ a robotmanipulátor típusától! Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

108 .3.4. Az effektor orientációja Robotmanipulátor effektorának az orientációját a robotplatformhoz kötött nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva, a módosított Euler szögekkel ψ, θ, ϕ határozzuk meg []. A továbbiakban vizsgáljuk a következő két koordinátarendszer közötti rotációt: Ox o y o z o nyugvó alapkoordinátarendszer, amely a robotmanipulátor platformjához van kötve, és O n x n y n z n mozgó koordinátarendszer az O n origóval, amely a robotmanipulátor effektorához kötődik. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

109 A mozgó koordinátarendszer orientációja az nyugvóhoz viszonyítva leírható a következő rotációs mátrixszal 0 R n : (.) 0 R n = e e e x y z Az 0 R n rotációs mátrix leképezi a mozgó koordinátarendszer koordinátáit a nyugvóba. A mozgó koordinátarendszer rotációja az nyugvó koordinátarendszerhez viszonyítva bemutatható a következő három rotációval: e e e x y z e e e 3x 3y 3z Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

110 A mozgó O n x n y n z n koordinátarendszer első rotációja a csavarási ψ szög szerint, amely az effektorhoz kötött mozgó koordinátarendszernek az álló koordinátarendszer z tengelye körüli szögelfordulását határozza meg (.34. ábra). Ψ O n z=z' Ψ Ψ x x' y.34. ábra A mozgó koordinátarendszer Rotációja a csavarási ψ szög szerint y' Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

111 Az így elvégzett rotációnak, az.34. ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ψ) felel meg: (.3) R( ψ) = cosψ sin ψ 0 sin ψ cosψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

112 Az új helyzetbe került mozgó koordinátarendszer Onx n' y n' z n' második rotációja a θ billentési szög szerint, amely az y' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (.35. ábra). z' Θ z" On Θ Θ y'=y" x" x'.35. ábra A mozgó koordinátarendszer második rotációja a billentési szög θ szerint Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

113 Az így elvégzett rotációnak az.35. ábráról közvetlenül leolvasva a következő formájú rotációs mátrix R(θ) felel meg: (.4) R(θ) = cosθ 0 sin θ 0 0 sin θ 0 cosθ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

114 Az új helyzetbe került mozgó O n x n'' y n'' z n'' koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási szög ϕ szerint, amely az x'' tengely körüli szögelfordulást határozza meg (.36. ábra). z"' z" ϕ y'" ϕ O n y" ϕ x''=x'".36. ábra A mozgó koordinátarendszer harmadik rotációja a forgatási ϕ szög szerint Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

115 Az így elvégzett rotációnak az.36. ábráról közvetlenül leolvasva, a következő formájú rotációs mátrix R(ϕ) felel meg: (.5) R(ϕ) = A fent elvégzett három rotáció együttesen az.37. ábrán van bemutatva. A három felsorolt rotációnak megfelel a következő transzformációs mátrixszorzat: (.6) o R n cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ ( ψ) R( θ) ( ϕ) = R R Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

116 A felírt rotációs mátrixokat (.3), (.4) és (.5) behelyettesítve a (.6)-ba következik: (.7) o R n = cosψ sin ψ 0 sin ψ cosψ 0 0 cosθ 0 0 sin θ 0 0 sin θ 0 0 cosθ 0 0 cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ A mátrix szorzásokat elvégezve, felírható: (.8) o R n = cosψ cosθ sinψ cosθ sinθ cosψ sinθ sinϕ sinψ cosϕ sinψ sinθ sinϕ + cosψ cosϕ cosθ sinϕ cosψ sinθ cosϕ + sinψ sinϕ sinψ sinθ cosϕ cosψ sinϕ cosθ cosϕ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

117 z''' ϕ z" Θ z, z' Ψ 3 O n y''' x x' Ψ Θ 3 ϕ Ψ y Θ y', y" 3 ϕ x", x'".37. ábra Módosított Euler szögek. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

118 (.9) e e e x y z e e e x y z e e e 3x 3y 3z = cosψ cosθ sin ψ cosθ sin θ cosψsin θsin ϕ sin ψ cosϕ sin ψ sin θsin ϕ + cosψccosϕ cosθsin ϕ cosψsin θcosϕ + sin ψsin ϕ sin ψsin θcosϕ cosψsin ϕ cosθcosϕ A (.9) mátrixegyenlet egyes elemeit egyenlővé téve, felírható: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

119 (.30) ex = cosψcosθ (.3) ey = sinψcosθ (.3) ez = -sinθ (.33) ex = cosψsinθsinϕ-sinψcosϕ (.34) ey = sinψsinθsinϕ +cosψcosϕ (.35) ez = cosθsinϕ (.36) e3x = cosψsinθcosϕ +sinψsinϕ (.37) e3y = sinψsinθcosϕ- cosψsinϕ (.38) e3z = cosθcosϕ Így 9 egyenletből álló egyenletrendszert kaptunk, amely 3 ismeretlent tartalmaz ψ, θ és ϕ, mivel a mátrix ortogonális, ezek az egyenletek nem függetlenek egymástól. A ψ, θ és ϕ szögeket a következő módon határozhatjuk meg []: Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

120 a. Szorozzuk meg az (.30) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel és az (.3) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel, majd felírható a következő kivonási művelet: (.39) exsinψ - eycosψ = 0 ahonnan kiszámítható a ψ szög nagysága: (.40) ψ = arctg + kπ e e y x Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

121 b. Szorozzuk meg az (.30) egyenlet mindkét oldalát cosψ-vel és az (.3) egyenlet mindkét oldalát sinψ-vel, majd az összeadási művelet felírható: (.4) excosψ + eysinψ = cosθ Az (.4) egyenlet az (.3) egyenlettel együtt lehetővé teszi a θ szög kiszámítását: e z (.4) θ = arctg + kπ x e cos ψ + e y sin ψ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

122 c. Szorozzuk meg az (.35) egyenlet mindkét oldalát cosϕ-vel és (.38) egyenlet mindkét oldalát sinϕ-vel, így a kivonási művelet felírható: (.43) e cosϕ e sinϕ = z 3z z (.44) ϕ = arctg + kπ e e 3z 0 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

123 A ψ, θ és ϕ szögeket többféle módon határozhatjuk meg. A szögek számításánál numerikus problémák jelentkezhetnek, ha az (.40), (.4) és (.44) relációkban a nevezők kis értékűek. Ez megfelelő numerikus eljárással kiküszöbölhető. Az egyetlen szinguláris eset akkor jelentkezik, ha a θ = ± π/, vagyis: e x =e y = e z = e 3z = 0. Ekkor az (.40) egyenlet nem oldható meg, ezért a ψ szög értéket tetszőlegesen választjuk meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

124 Az ilyen ψ szög ismeretében a ϕ szöget a következő módon számítjuk ki: ex (.45) ϕ = arctg ψ + kπ ha a θ = -kπ/ e y ϕ = arctg e e x y + ψ + kπ ha a θ = kπ/ Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

125 Az (.40), (.4), (.44) és (.45) relációkban a k értéket úgy határozzuk meg, hogy figyelembe vesszük a direkt kinematikai feladat megoldásánál a világkoordináták két pont közötti minimális változását (mivel a robotmanilpulátor folyamatos mozgásának a világkoordináták folyamatos változása felel meg). A robotmanipulátor effektorának orientáció meghatározását a ψ, θ és ϕ szögek kiszámításával [az (.40), (.4) és (.44) relációkból], befejezettnek tekintjük. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

126 Összegezés: Az effektor TCP szerszámközéppontjának: Descartes féle derékszögű koordinátáinak (pozicionálás) és a három módosított Euler-féle szögeinek (orientáció) meghatározásával a direkt kinematikai feladatot teljességben megoldottnak tekintjük. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

127 .4. INVERZ KINEMATIKAI FELADAT.4.. Bevezetés.4.. Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása.4.3. Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása.4.4. A Jacobi-mátrix meghatározása Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

128 .4. Bevezetés A csuklókoordináták q vektorának meghatározása a világkoordináták s vektorának ismeretében az inverz kinematikai feladat amely a következő módon írható le: (.46) q = f - (s) Akkor alkalmazzuk, amikor a robotmanipulátor feladatnál az effektor pályája világkoordinátákban van megadva, és nekünk a robotvezérléshez a csuklókoordinátákra van szükségünk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

129 Amikor tehát ismerjük az effektor TCP pontjának a világkoordinátáit (x,y,z) és az orientációját (ψ, θ és ϕ), akkor tulajdonképpen meghatároztuk a homogén mátrixtranszformációt a nyugvó- és mozgó koordinátarendszerek között, így az inverz kinematikai feladat felírható: (.47) q = f - ( o T n ) Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

130 Az inverz kinematikai feladat, mivel nagyszámú nemlineáris (a csuklókoordináták és a világkoordináták közötti összefüggés nemlineáris) trigonometriai egyenlet megoldását feltételezi, sokkal összetettebb, mint a direkt kinematikai feladat. Az s világkoordináták visszatranszformálása a q csuklókoordinátákba nem egyértelműen meghatározott feladat. A számítás nagymértékben függ a robotmanipulátor geometriájától és gyakran több megoldást eredményez. Több esetben a dekompozíciós módszer vezet eredményre. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

131 Az inverz kinematikai feladatot két módon oldhatjuk meg: a. Analitikus és b. Numerikus eljárások alkalmazásával. Az analitikus eljárás esetében a megoldást zárt analitikus formában kapjuk meg minden robotmanipulátor konfigurációra külön-külön. Numerikus eljárások esetében a numerikus analízis ismert módszereit alkalmazzuk. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

132 .4.. Az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f - amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

133 Az analitikus megoldásnak az előnyei a numerikus eljárásokhoz viszonyítva a következők: a. Megkapjuk az összes megoldást. b. Pontos eredményeket kapunk (numerikus hibák nélkül). c. Kevesebb numerikus számítással használható, így megfelel a valós idejű számításoknál. d. Felismerhetővé teszi a szingularitásokat. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

134 Az analitikus megoldás fő hátránya az, hogy nem írható fel tetszőleges robotkonfigurációra. Oldjuk meg az.36. ábrán látható négy szabadságfokú hengeres robotmanipulátor esetében az inverz kinematikai feladatot analitikus eljárással. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

135 l 3 q 3 l 4 q c q 4 z l q z c o y c x c y x.36. ábra. A hengeres robotmanipulátor vázlata. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

136 A világkoordináták és a csuklókoordináták közötti összefüggés felírható a következőképpen: (.48) ahol: s = x [, y z ϕ] T c c, c, x y ϕ=q4 a világkoordináták vektora xc, yc, zc az effektor súlypontkoordinátái, ϕ - Euler szög, li szegmenshossz. c c = = ( l + l + q ) 3 4 ( l ) 3 + l4 + q3 sin q z = q + c l 4 cosq Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

137 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Az analitikus megoldást tehát felírhatjuk a következő módon: (.49) Így meghatároztuk a világkoordinátáknak megfelelő csuklókoordinátákat. ( ) = ϕ + = = = c c 3 c c c q l l y x q l z q x y arctg q

138 .4.3. Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása Az inverz nemlineáris, folytonos deriválható vektorfüggvény f - amely leképezi a világkoordinátákat csuklókoordinátákká egy összetett n változós függvény, így az inverz kinematikai feladat analitikus megoldása összetett feladat. Az iparban használt legtöbb robotmanipulátornál létezik analitikus megoldás az inverz kinematikai problémára. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

139 Az inverz kinematikai feladatok megoldásánál a numerikus matematika eljárásait használjuk fel. (.50) q = f - (s,q o ) A legelterjedtebb a Newton módszer használata. Deriváljuk a robotmanipulátor világ- és csuklókoordinátái közötti összefüggést: (.5) s = f ( q) s& = f q q& Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

140 Ahol az un. nxn dimenziós Jacobi-mátrix: (.5) J ( q) = f q Így az.5. kifejezés felírható: (.53) s & = J( q)q& Az (.53) reláció a világkoordináták sebességvektora és a csuklókoordináták sebességvektora közötti összefüggést határozza meg. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

141 Ha ismerjük a világkoordináták sebességvektorát, akkor a csuklókoordináták sebességvektora a következő módon számítható ki: (.54) q& = J ( q)s& Mivel a nemredundáns robotmanipulátoroknál a Jacobi-mátrix kvadratikus, az inverz mátrixa meghatározható. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

142 .4.4. A Jacobi-mátrix meghatározása Az inverz kinematikai feladat numerikus megoldása megköveteli a Jacobi-mátrix és az inverz Jacobimátrix ismeretét. A Jacobi-mátrix összeköti: a világkoordináták és a csuklókoordináták sebességvektorait, az effektorra ható erőket és a terhelő erőkből adódó csuklónyomatékokat. A Jacobi-mátrixnak nagy jelentősége van a robotmanipulátor pályatervezésénél. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

143 A Jacobi-mátrix függ a világkoordináták vektorának a típusától és meghatározható két almátrix segítségével: Az egyik almátrix a Descartes féle koordinátáknak felel meg JD: (.55) x& & y z& = J D q& J D R 3xn Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

144 A másik almátrix az effektor szögsebesség-vektor vetületeinek felel meg Jω: (.56) Így a Jacobi-mátrixot felírhatjuk a következő módon: (.57) ω ω ω J x y z = = J ω q& J J D ω J ω 3xn R Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

145 A Jacobi-mátrix meghatározását az.36 ábrán látható hengeres robotmanipulátor példájánál mutatjuk be. Deriváljuk a világkoordináták és a csuklókoordináták közötti (.48) összefüggést: (.58) ( l ) 3 + l4 + q3 q& sin q q& 3 cosq & c = + x C. ( l ) 3 + l4 + q3 q& cosq q& 3 sin q y & = + z& C ϕ & = = q& q& 4 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

146 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája A fenti kifejezéseket a következő alakban is felírhatjuk: (.59) ( ) ( ) = ϕ C C C q q q q sin q 0 cosq q l l 0 cosq 0 sin q q l l z y x & & & & & & & &

147 Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája Összehasonlítva az (.53) és (.59) kifejezéseket a Jacobi-mátrix alakja a kővetkező: (.60) ( ) ( ) sin q 0 cosq q l l 0 cosq 0 sin q q l l J (q)=

148 .5. A robotmanipulátorok pályatervezése.5.. Bevezetés.5.. Pályatervezés világkoordinátákban.5.3. Pályatervezés csuklókoordinátákban Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

149 .5. Bevezetés Robotmanipulátorok pályatervezésének kettős célja lehet: Az effektor mozgását meghatározó pontok pozíciójának a megadása. Az adott pontok közötti pálya-meghatározás. A pályatervezési feladat a robotmanipulátor munkafolyamatától függ. A pályatervezési feladatot skalárértékű időfüggvények tervezési feladatára vezetjük vissza és elvégezhetjük: Csuklókoordinátákban és Világkoordinátákban. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

150 A robotirányítási algoritmusok a pálya ismerete mellett megkövetelik a pálya menti sebességek, gyorsulások, szögsebességek és szöggyorsulások ismeretét is. A pályatervezési feladatot elvégezhetjük: Off-line vagyis a robotmanipulátor tanítási fázisában és On-line, valós időben. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

151 .5.. Pályatervezés világkoordinátákban Két adott pont (A és B) közötti pályatervezés világkoordinátákban τ idő alatt elvégezhető a következő módon: (.6) s(t) A B A = s + λ(t)( s s ) 0 t τ ahol az integrálási folyamat közben szükséges az inverz kinematikai feladat megoldása. Az (.6) kifejezésben a λ(t) függvény az effektor sebesség-törvényszerűségét határozza meg, amely különböző típusú lehet (háromszög-, trapéz-, parabola-, ciklois- stb. alakú). Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

152 Amikor sikeresen elvégeztük a pályatervezést a világkoordinátákban, akkor meg kell oldani a pályatervezést csuklókoordinátákban is. E feladat három módon oldható meg: a. Az inverz kinematikai feladat megoldásával. b. Az (.54) reláció segítségével és c. Az (.53) reláció felhasználásával. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

153 Deriváljuk az (.53) kifejezést: (.6) ahonnan: && s = Jq&& + J q q& (.63) q && J && s q & = J q Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

154 .5.. Pályatervezés csuklókoordinátákban Amikor a pályatervezést csuklókoordinátákban szükséges elvégezni akkor következő kifejezést használjuk: (.64) q(t) A B A = q + λ(t)( q q ) 0 t τ ahol a qa és qb a csuklókoordináták megfelelő vektorai. Fontos kihangsúlyozni, hogy a csuklókoordináták lineáris változása nem biztosítja a világkoordináták lineáris változását is. Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok kinematikája

155 Bevezetés Robotmechanizmus matematikai modellje Robotmanipulátorok hajtásai Robotmanipulátorok számítógépes dinamikai modellezése Mester Gyula 003 Robotmanipulátorok dinamikája

INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK

INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1 ROBOTMANIPULÁTOROK KINEMATIKÁJA Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 2 1.1 ROBOTMANIPULÁTOROK GEOMETRIAI MODELLJE

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

Robotok inverz geometriája

Robotok inverz geometriája Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés

Részletesebben

Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra

Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás

Részletesebben

Az ipari robotok definíciója

Az ipari robotok definíciója Robot manipulátorok Az ipari robotok definíciója Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely merev testek (szegmensek) sorozatából áll, melyeket összeillesztések (csuklók, ízületek) kapcsolnak össze A

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. IX. Előadás. Robot manipulátorok I. Alapfogalmak. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. IX. Előadás. Robot manipulátorok I. Alapfogalmak. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA IX. Előadás Robot manipulátorok I. Alapfogalmak Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Robot manipulátorok definíciója és alkalmazásai Manipulátorok szerkezete

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai

Részletesebben

IPARI ROBOTOK. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József

IPARI ROBOTOK. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József IPARI ROBOTOK, munkatértípusok 2. előadás Dr. Pintér József Az ipari robotok kinematikai felépítése igen sokféle lehet. A kinematikai felépítés alapvetően meghatározza munkaterének alakját, a mozgási sebességét,

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Számítógépes geometria (mester kurzus)

Számítógépes geometria (mester kurzus) 2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)

Részletesebben

ROBOTTECHNIKA. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József

ROBOTTECHNIKA. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József ROBOTTECHNIKA 2. előadás Kinematikai strukturák, munkatértípusok Dr. Pintér József Kinematikai strukturák Az ipari robotok kinematikai felépítése igen sokféle lehet. A kinematikai felépítés alapvetően

Részletesebben

Csuklós mechanizmus tervezése és analízise

Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt

Részletesebben

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Pneumatika az ipari alkalmazásokban

Pneumatika az ipari alkalmazásokban Pneumatika az ipari alkalmazásokban Manipulátorok Balanszer technika Pneumatikus pozícionálás Anyagmozgatási és Logisztikai Rendszerek Tanszék Manipulátorok - Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)

MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 ) 1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Optika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető

Optika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

1 2. Az anyagi pont kinematikája

1 2. Az anyagi pont kinematikája 1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből 1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű

Részletesebben

6. Robotok és manipulátorok a rugalmas gyártórendszerekben. 6.1 Manipulátorok

6. Robotok és manipulátorok a rugalmas gyártórendszerekben. 6.1 Manipulátorok 6. Robotok és manipulátorok a rugalmas gyártórendszerekben Isaac Asimov: Én, a robot (1950), a robotika alaptörvényei A robot nem árthat az embernek, és nem nézheti tétlenül, ha az embert veszély fenyegeti

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

Robottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék

Robottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Transzformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform

Transzformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead

Részletesebben

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.)

4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) SZÉHNYI ISTVÁN YTM LKLMZOTT MHNIK TNSZÉK. MHNIK-MHNIZMUSOK LŐÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) yalugép sebességábrája: F. ábra: yalugép kulisszás mechanizmusának onalas ázlata dott: az ábrán látható

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről 1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges

Részletesebben