MODELLEK KÜLÖNLEGES STABILITÁSVESZTÉSEK SZEMLÉLTETÉSÉRE

Átírás

1 MODELLEK KÜLÖNLEGES STABILITÁSVESZTÉSEK SZEMLÉLTETÉSÉRE Gáspár Zsolt - Németh Róbert ** RÖVID KIVONAT A rugalmas szerkezetek stabilitásvesztéseinek típusait egszeru modelleken szokták szemléltetni. Ebben a cikkben két olan stabilitásvesztési típusra (a dombtetopont és a kettoscsúcs-katasztrófa egik alesete) mutatunk be eg-eg modellt, amelre az irodalomban nem láttunk szerkezeti példákat. A dombteto-pont esetén bemutatjuk a tökéletlenségérzékenségi felületet, a tökéletes szerkezet egensúli útjait, valamint eg tipikus tökéletlenség hatását. A kettoscsúcs-katasztrófa esetén csak az egensúli utakat elemezzük: a tökéletes szerkezetnél és eg sor speciális tökéletlenség esetén is. 1. AZ EDDIG ISMERT ESETEK A rugalmas szerkezetek stabilitásvizsgálatainak legfontosabb módszereit, a stabilitás-vesztés leggakoribb típusait hazánkban nagon sokan Halász [1] jegzetébol tanulták meg. Ezek az elvek sokkal részletesebben, már kiegészítve a valódi acélszerkezetek viselkedésének modellezésénél szükséges anagi, geometriai, terhelési tökéletlenségek hatásának bemutatásával nemrég jelentek meg könv formájában is []. A stabilitásvesztés típusait legjobban egszeru modellek elemzésével lehet bemutatni. Ezt tette Koiter [] a híres disszertációjában, illusztrálva a határpontnál, az aszimmetrikus valamint a stabilis és labilis szimmetrikus elágazásnál bekövetkezo stabilitásvesztést, a tökéletlenségek hatását. Augusti modelljénél [] a két kritikus paraméter megegezik, vagis kétszeres kritikus pont jön létre. Thompson és Hunt [5] bevezeti az eghajlású, azonos hajlású és az ellenhajlású elágazási pont fogalmát, a hozzájuk tartozó energiafüggvéneket részletesen elemzik, de csak késobb [6] mutatnak szerkezeti példákat, sot az azonos hajlású elágazásra akkor sem. A katasztrófaelmélet megjelenése [7, 8] matematikailag megalapozottabbá tette a stabilitásvesztések osztálzását, korábban nem vizsgált osztálokat is bevezetett. Eg alul csuklóval, felül két rugóval megtámasztott merev síkbeli rúd a kritikus tehernél végtelen degeneráltságot mutat: a másodlagos egensúli út eg vízszintes egenes, íg ezzel a szerkezettel speciális tökéletlenségeket figelembe véve az összes csúcsszeru katasztrófához tartozó elágazási típus bemutatható ([9], [10] 0. oldal). Térbeli rudat vizsgálva már a kétszeres kritikus terhek is elemezhetok. Ha a rúd tetejét három megfelelo merevségu rugóval támasztjuk meg, akkor a rugók helzetét okl. építomérnök, okl. alk. matematikus, az MTA rendes tagja, egetemi tanár, BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék ** okl. építomérnök, egetemi tanársegéd, BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék

2 folamatosan változtatva a köldökszeru katasztrófák típusai, és ennek bizonos alosztálai szemléltethetoek ([11], [10] 1. oldal). Ha a rugók számát növeljük, akkor a kettoscsúcs-katasztrófa két típusára kapunk példát ([1], [10] 7. oldal).. A DOMBTETO TÍPUSÚ ELÁGAZÁSI PONT SZEMLÉLTETÉSE A fent említett háromrugós térbeli modell ([11], [10] 1. oldal) létrehozza a hiperbolikusköldök-katasztrófa három alesetét: az azonos hajlású, az eghajlású elágazási pont és a háromszoros gök esetét is. [1] bevezeti a dombteto típusú elágazási pont esetét is, de arra nem szerkezeti példát mutat, hanem eg kristálrácsot mutat be. A következokben a dombteto típusú elágazási pont elemzésére eg három rugóból álló kétszabadságfokú szerkezetet vizsgálunk meg. Az 1. ábrán látható helzetben (terheletlen állapotban) feszültségmentesek a tökéletesnek tekintett szerkezet rugói. A ferde rugók egforma merevséguek, az ero egségét úg választjuk, hog c 1 =c =1 legen. A c értékét úg választjuk, hog dombteto típusú elágazási pont jöjjön létre. A tökéletes szerkezetet eg függoleges, lefelé mutató ero terheli, melnek a nagságát jelölje Λ. A szerkezet állapotát a terhelt pont koordinátáival jellemezzük. Ehhez felveszünk eg koordinátarendszert, melben a vízszintes tengel az elso két rugó fi végeit összeköto szakaszt tartalmazza, a függoleges tengel uganezen szakasz felezo merolegese. 1. ábra: A háromrugós modell a terheletlen (a) és a kritikus (b) állapotban A tökéletes szerkezet potenciális energiáját V-vel jelöljük, és a három rugó közös pontjának helzetét megadó állapotváltozóknak, a teherparaméternek és a vízszintes rugó merevségének a függvénében írjuk fel: ( ) ( ( ) ) V (,, Λ, c) = ( 1 ) c Λ.(1) A függvén és szerinti elso deriváltjai az egensúli helzetekben zérusok. A kritikus pontban a függvén Hesse-mátria válik szingulárissá. Minket most olan

3 kritikus pont érdekel, melben a Hesse-mátri mindkét sajátértéke zérus lesz. A szerkezet szimmetriája miatt =0-nál V =0 és V =0. (A V alsó indee mindig a megfelelo változó szerinti deriválást jelöli.) A V függvén másik három változójának kritikus értékét az alábbi három feltételbol határozhatjuk meg: ( ) ( ) ( ) V 0,, Λ, c = 0, V 0,, Λ, c = 0, V 0,, Λ, c = 0. Ennek az egenletrendszernek az egik megoldása kr =1,571617, Λ kr =7,158, c kr =,667. E kritikus állapotot mutatja az 1.b. ábra, melen az ettol az állapottól való eltérést is értelmezzük. Vagis a kritikus helzettol való vízszintes eltolódást u-val, a függolegest v-vel jelöljük. Fejtsük Talor-sorba a potenciálfüggvént a kritikus pont körül, majd csonkoljuk a harmadfokú tagokig! A konstans taggal nem foglalkozunk, az elso és második deriváltaknak pedig zérusnak kell adódni. Valóban, a függvén az alábbi alakot ölti: ( ) jv u, v, Λ, c = 0,5801 v 0, uv. () kr kr kr A továbbiakban a v egütthatóját A-val, u v egütthatóját B-vel jelöljük a könnebb átláthatóság érdekében. A fenti függvén gökei alapján minosíthetjük a kritikus pontot ([10], 17. o.). Mivel csak eg valós göke van (v=0), a kritikus pontban hiperbolikus köldök-katasztrófa van. Ennek kinitásához három paraméterre van szükség. Az elso legen a teherparaméter változása (λ=λ-λ kr ), a második eg kicsin vízszintes teher (ε 1 ), a harmadik a vízszintes rugó merevségének eltérése a kritikus értéktol (ε ). Értelmezésük megértését könníti az 1.b. ábra. Az íg kapott tökéletlen szerkezet potenciális energiafüggvénét az elobb meghatározott kritikus pont körnezetében Talor-sorba fejtjük. A katasztrófaelmélet szerint a függvén léneges tulajdonságait lokálisan meghatározza a -szelete, melet U-val jelölünk: 1 U( u, v, λε,, ε 1 ) = Av Buv ε u λ v ε u 1. () Hiperbolikus köldök-katasztrófa esetén a függvén kanonikus alakja a következo alakú: f ( X, Y, a, b, c) = X Y axy bx cy, (5) melnek elágazási halma0zát a (p, q) paraméterekkel lehet leírni ([10], 175. o.): a= 6 p, ( ) ( ) b= p q q 1, c= p q q. A tökéletlen szerkezet energiafüggvénének leszármaztatásához eg lineáris koordináta-transzformációt alkalmazunk, melnek alakja: () (6)

4 X = C u C v C, 1 Y = C u C v C 5 6. Ezt behelettesítjük a kanonikus alakba, majd az egütthatókat egenlové tesszük az U függvén megfelelo egütthatóival. Ez nég harmadfokú, három másodfokú és két elsofokú tag egeztetését jelenti, hiszen a konstans nulladfokú tagokkal nem foglalkozunk. A kilenc feltételbol kilenc ismeretlent: a C i egütthatókat és a λ, ε 1, ε paramétereket tudjuk meghatározni az a, b, c egütthatók függvénében. A tökéletlenségérzékenségi felületet úg kapjuk, ha ebbe behelettesítjük az elágazási halmaz (q, p) paraméterekkel kifejezett alakját: (7) ε ε 1 = λ = ( 108 A) = ( / A) 1/ 6 1/ B p B p, 1 q 1 q q q q q ( A / ) 1/ p q q., (8). ábra: A tökéletlenségérzékenségi felület A fenti képletekkel megadott felületekbol minket csak az érdekel, ahol az energiafüggvén minimumpontja szunik meg. Ez a p q>0 feltétellel biztosítható ([10], 177. o.). Az íg kapott felületet mutatja a. ábra. Ezen a negatív ε tökéletlenséghez tartozó metszetek csúcsos görbék, míg a pozitív ε tökéletlenséghez tartozó metszetek sima görbék. (Az ábrán alig látszik a görbületük). Végül nézzük meg az egensúli utakat! Az egensúl feltétele az U gradiensének zérus volta:

5 U = B u v ε u ε = 0, 1 U = Av B u = λ 0. (9) A.a. ábrán láthatók a tökéletes szerkezet egensúli útjai, melek alakja indokolja a dombteto elnevezést. A foltonos vonal az egetlen stabilis ágat jelöli, melnél az energiafüggvénnek lokális minimuma van. Ennek foltatása olan egensúli helzeteket ábrázol, melben a függvénnek lokális maimuma van. Az oket keresztezo görbe pontjaihoz tartozó energiafüggvénnek neregpontja van. A.b. ábrán a (vékonabb vonallal rajzolt) tökéletesen kívül a tökéletlen szerkezet egensúli útjai láthatók. Az egensúli helzetek a kis zavarok hatására is megtartják a tökéletes szerkezet közelükben lévo egensúli helzeteinek típusát, a típusok elválasztó pontjai, az egensúli utak tetopontjai, az ún. (H) határpontok. a) b). ábra: Egensúli utak a tökéletes (a) és eg tökéletlen (b) szerkezetnél. EGY KETTOS-CSÚCS TÍPUSÚ ELÁGAZÁSI PONT SZEMLÉLTETÉSE Ezen katasztrófa-típus bemutatására a. ábrán látható szerkezetet használjuk. Ez eg egségni hosszúságú, végtelen merev rúdból áll, ami az alsó végpontjában csuklósan kapcsolódik a földhöz, a rúd felso végén eg, az tengellel mindig párhuzamosan álló rugót alkalmazunk megtámasztásként. A rudat az alsó végén megtámasztja eg spirálrugó is, amel az tengel és a rúdtengel közti szög megváltozásával arános nomatékot fejt ki. A rúd felso végpontját eg Λ nagságú függoleges ero terheli. Az ero egségét úg választjuk, hog c 1 =1 legen, a második rugó merevségét jelölje c! A szerkezet állapotváltozóinak válasszuk a felso végpont és koordinátáját! Íg a potenciális energia függvénét az alábbi alakban írhatjuk: 1 1 V (,,, c ) c arcsin ( ) 1 Λ = Λ (10)

6 Ennek elso deriváltjai: V V Λ = 1, 1 arcsin( ) Λ = c 1 1. (11). ábra: A kétrugós modell Egensúli helzetben az elso deriváltak zérusok, tehát a triviális egensúli út egenlete: ==0. A triviális egensúli úton is olan kritikus pontot keresünk, amelben a Hesse-mátri minden eleme zérus. A feladat szimmetriája miatt az ==0 egenes pontjaiban a V veges derivált nullával egenlo. A V =0 feltételbol Λ kr =1, majd ennek segítségével V =0-ból c kr =1 adódik. E körül a kritikus pont körül fejtjük Talor-sorba az energiafüggvént, majd most a -szeletét képezzük, uganis a Talorsor harmadfokú tagjai mind eltunnek: 1 1 jv (,, kr, ckr ) Λ = 8. (1) Mivel a fenti kifejezésnek két valós és két komple göke van, ezért a függvén a. osztálba tartozik ([10], 7. o.). Az ilen típusú katasztrófa elágazási halmazát nem tudjuk kezelni a katasztrófa teljes kinitásához szükséges tökéletlenségek nag száma miatt, ami az ábrázolás dimenzióját növeli meg túlságosan. Az elozo példához képest további nehézség, hog nem ismerjük az elágazási halmaz paraméteres alakját. Azt mindenesetre megtehetjük, hog felveszünk független tökéletlenségeket, majd külön-külön megnézzük, hog azok milen változást okoznak a tökéletes szerkezet egensúli útjában. Az általunk vizsgált szerkezetre az 5. ábrán látható tökélelenségeket vesszük fel. Az elso most is a teherparaméter változása (λ=λ-λ kr ), a második, illetve a harmadik eg-eg kicsin vízszintes teher az, illetve az tengellel párhuzamosan (ε 1, illetve ε ), a negedik a vízszintes rugó merevségének eltérése a

7 kritikus értéktol (ε ), az ötödik pedig a spirálrugó elhelezésének tökéletlensége (ε ), mel azt mutatja, hog a rugó függoleges síkja milen szöget zár be az z síkkal. 5. ábra: A tökéletlenségek értelmezése Az íg kapott tökéletlen szerkezet potenciális energiafüggvénét Talor-sorba fejtjük a kritikus pont közelében, majd a függvén léneges tulajdonságait lokálisan leíró -szeletét U-val jelöljük: U = ε 1 ε ( ε sin ε λ ) sin ε ( sin ε λ ) ( sin ε λ ) ( sin ε sin ε ) ( cos ε λ ) ( cos ε sin ε ) ( cos ε λ ) Az egensúli utakat most is abból a feltételbol határozzuk meg, hog az U gradiensének zérusnak kell lennie. Eloször a tökéletes szerkezet egensúli útjait mutatjuk be a 6. ábrán. Az ε tökéletlenségek helére 0-t behelettesítve az U függvén parciális deriváltjaira az alábbi kifejezést kapjuk: U U 1 λ 1 λ = λ, 1 λ 1 λ = λ. 6 A fenti két kifejezés az ==0 egenesen zérus lesz, ez a triviális egensúli út. Az =0 síkban U =0, majd az =0-t behelettesítve U -ba λ kifejezheto függvéneként. Hasonló módon az =0 síkban U =0, majd az =0-t behelettesítve U - ba λ kifejezheto függvéneként. Ezt a három megoldást mutatja a 6. ábra.. (1) (1)

8 a) b) 6. ábra: A tökéletes szerkezet egensúli útjai aonometrikus nézetben (a), felülnézetben (b) Itt, és a késobbiekben is, foltonos vonallal a stabilis állapotokat jelöltük, a többi állapot labilis. A szaggatott vonal pontjainál az energiafüggvén Hesse-mátriának eg pozitív és eg negatív, a pontokból álló vonalnál két negatív, a pontokból és vonalkákból álló görbe pontjainál eg zérus és eg negatív sajátértéke van. A zérus sajátérték azt jelenti, hog az egensúli út minden pontja kritikus. A zérus sajátértékhez tartozó metszetben negedfokú az elso el nem tuno tag, az pozitív, tehát standard csúcskatasztrófa van a görbe minden pontjában, és ebben a metszetben valóban minimuma van a görbének. A 6.a. ábrán az egensúli utak mellett feltüntettük az energiafüggvének eg-eg tipikus alakját is. A tökéletlenségek hatását külön-külön fogjuk megvizsgálni. Eloször az ε 1 tökéletlenséget nézzük meg, míg a másik három tökéletlenséget nullának vesszük. Ekkor az U függvén deriváltjai az alábbi alakot öltik: U U 1 λ 1 λ = ε1 λ, 1 λ 1 λ = λ. 6 Az egensúli utak -síkra való vetületét a két derivált segítségével megadhatjuk, ha kiejtjük a λ-t: (15) U U = ε 1. (16) Az egensúli helzetekben U =U =0, vagis a fenti kifejezésnek is nullának kell lennie. Vagis egensúli út az =0, illetve az = ε1 felületen lehetséges. Ezeket visszahelettesítve U -be, illetve U -ba λ most is kifejezheto, illetve függvénében. Az íg kapott egensúli utakat mutatja a 7. ábra. Látszik, hog az egensúli út itt szétesett nég független útra. Az eredetileg stabilis állapot a teherparaméter növelésekor eg H-val jelzett határpontnál veszti el a stabilitását. A tökéletlenség hatására az >0 szakaszon a zérus sajátérték pozitívvá válik, íg az energiafüggvénnek a vizsgált pont körnezetében egetlen neregpontja lett, az <0 szakaszon a zérus sajátérték negatív lett, ezért megháromszorozódott az egensúli helzetek száma, két neregpont és eg lokális maimumpont keletkezett.

9 a) b) 7. ábra: Egensúli utak (ε 1 <0) aonometrikus nézetben (a), felülnézetben (b) Az ε tökéletlenség hatását uganezzel a módszerrel vizsgálhatjuk. (A másik három tökéletlenséget most is nullának vesszük.) Az U függvén deriváltjai most az alábbi alakot öltik: U U 1 λ 1 λ = λ, 1 λ 1 λ = ε λ 6 Most is megadjuk az egensúli utak -síkra való vetületét:. (17) U U = ε. (18) a) b) 8. ábra: Egensúli utak (ε <0) aonometrikus nézetben (a), felülnézetben (b) Az egensúli helzetekben U =U =0, vagis a fenti kifejezésnek is nullának kell lennie. Vagis egensúli út az =0, illetve az = ε felületen lehetséges. Ezeket visszahelettesítve U -be, illetve U -ba λ-t kifejezzük, illetve függvénében. Az íg kapott egensúli utakat mutatja a 8. ábra. Az egensúli út most nem esett szét teljesen, eg L-lel (labilis szimmetrikus elágazás) jelölt elágazási pont megmaradt a kritikus pont közelében. A kapott határpont két labilis szakaszt választ el. Az ε tökéletlenség hatása némileg eltér az elozo kettotol. (A másik három tökéletlenséget most is nullának vesszük.) Az U függvén deriváltjaival itt is megadható az egensúli utak -síkra való vetülete:

10 U U = ε. (19) Az egensúli helzetekben U =U =0, vagis a fenti kifejezésnek is nullának kell lennie. Vagis egensúli út az =0, vag az =0, illetve az = ± ε felületen lehetséges. Ezeket visszahelettesítve U -ba, U -be, illetve U -be λ-t kifejezzük,, illetve függvénében. A harmadik felület azonban most csak pozitív ε esetén létezik. Az íg kapott egensúli utakat mutatja a 9. ábra. Amint látható, az egetlen elágazási pont helett néget (három labilis és eg (S-sel jelölt) stabilis szimmetrikus elágazási pontot) is találunk az eredeti elágazás kis körnezetében. A triviális egensúli úton a két elágazási pont között az energiafüggvénnek neregpontja van. Az =0 síkban fekvo egensúli út pontjaiban a tökéletes szerkezetnél eredetileg zérusnak adódott sajátérték végig negatív lett, ezért háromszorozódott meg az eredeti görbe. a) b) 9. ábra: Egensúli utak (ε >0) aonometrikus nézetben (a), felülnézetben (b) a.) b.) 10. ábra: Egensúli utak (ε <0) aonometrikus nézetben (a), felülnézetben (b) A 10. ábrán negatív ε -nál létrejövo egensúli utakat rajzoltunk fel. Itt a korábbi kettos elágazási pont két különálló elágazási pontra esett szét. A triviális egensúli úton a két elágazási pont között az energiafüggvénnek most is neregpontja van. Az =0 síkban fekvo egensúli út pontjaiban a tökéletes szerkezetnél eredetileg

11 zérusnak adódott sajátérték végig pozitív lett, ezért az eredetileg kritikus pontokat tartalmazó görbe eg normális egensúli helzetekhez tartozó görbévé vált. Az ε tökéletlenség vizsgálatához a másik három tökéletlenséget most is nullának vesszük. Az U függvén deriváltjaiból megállapítható, hog az ==0 triviális megoldás az egensúli út része, és megadható az egensúli utak -síkra való vetülete is, mel azonban az összes negedfokú tagot is tartalmazza, íg nem írható fel a pontos megoldása. Kirajzolható azonban az -síkban (11.b. ábra). Mint látjuk, az eredetileg egenes utak eltorzultak. Az egensúli utak térbeli alakját csak numerikusan tudtuk meghatározni. A 11.a. ábrán látszik, hog az elágazási pont is kettévált, λ = ±sin ε -nél következik be eg labilis, illetve eg stabilis elágazás. A tökéletes szerkezetnél elfajult, háromszoros egensúli út újra egetlen görbévé vált, amelnek pontjai azonban már nem elfajuló (labilis) állapotokat jelölnek. a) b) 11. ábra: Egensúli utak (ε <0) aonometrikus nézetben (a), felülnézetben (b) Megállapítható, hog bár a kettoscsúcs-katasztrófák esetében a vizsgált típus tipikus, hiszen [10] -. táblázata szerint ezen osztál pontjainak halmazának dimenziója megegezik a kétváltozós homogén negedfokú polinom egütthatóinak számával, a katasztrófapont a köldökszeru katasztrófáknál sokkal bonolultabb. A kettoscsúcs-katasztrófák Thom tételében még nem szerepelnek, mert tipikus létrejöttükhöz öt paraméter még nem elegendo. Mi csak nég speciális tökéletlenség egenkénti hatását vizsgáltuk, és ezzel is nagon különbözo egensúli utak voltak létrehozhatók. Megjegezzük azt is, hog a 6. ábrán a tökéletes szerkezet egensúli útjain eg háromszoros megoldási görbét is rajzoltunk. Ez a jelenség hasonló ahhoz, amikor a háromrugós térbeli modellnél ([10] 1-6. oldalak) a szimbolikusköldökkatasztrófánál kétszeres, a háromszoros gök alosztálánál háromszoros egensúli út jelent meg. Azoknál a magasabbfokú tagok hatására ez a degeneráltság megszunt ([10] -58. ábra, [1]).

12 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Ez a kutatás az FKFP 008/000 és 0177/001 kutatási projektek támogatásával készült. HIVATKOZÁSOK [1] Halász O.: Acélszerkezetek III/1. Stabilitáselmélet, Építoipari és Közlekedési Muszaki Egetem jegzete, Tankönvkiadó, Budapest, [] Halász O. - Iváni M.: Stabilitáselmélet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 001. [] Koiter, W. T.: On the stabilit of elastic equilibrium, Dissertation, Delft, 195. (Angol fordítás: NASA, Tech. Trans., F 10, 8, 1967) [] Augusti, G.: Stabilita di strutture elastiche elementari in presenca di grandi spostamenti, Atti Accad. Sci. fis. mat., Napoli, Serie, Vol., No. 5, 196. [5] Thompson, J. M. T. - Hunt, G. W.: A general theor of elastic stabilit, Wile, London, 197. [6] Thompson, J. M. T. - Hunt, G. W.: Towards a unified bifurcation theor, Zeitschrift für angewandte Mathematik und Phsik, 6, 1975, pp [7] Thom, R.: Stabilité structurelle et morphogenese, Benjamin, New York, 197. (Angol fordítás: Structural stabilit and morphogenesis, Benjamin, New York, 1975) [8] Poston, T. - Stewart, I. N.: Catastrophe theor and applications, Pitman, London, [9] Gáspár, Zs.: Buckling model for a degenerated case. Newsletter (), 198, pp [10] Gáspár Zs.: A katasztrófaelmélet alkalmazása a szerkezetek stabilitásvizsgálatában,. fejezet Kollár L. (szerk.): A mérnöki stabilitáselmélet különleges problémái, Akadémiai Kiadó, Budapest, [11] Thompson, J. M. T. - Gáspár, Zs.: A buckling model for the set of umbilic catastrophes, Mathematical Proc. of Cambridge Phil. Soc., 8, 1977, pp [1] Gáspár Zs.: Buckling models for higher catastrophes, J. of Structural Mechanics, 5, 1977, pp [1] Thompson, J. M. T. - Hunt, G. W.: Elastic instabilit phenomena, Wile, Chichester, 198. [1] Pajunen, S. Gáspár, Zs.: Stud of an interactive buckling model from local to global approach, Proceedings of the nd International Conf. On Coupled Instabilities in Metal Structures, CIMS 96, (Eds: J. Rondal, D. Dubina, V. Gioncu), Imperial College Press, London, 1996, pp. 5.