Turbulencia és modellezése. lohasz [at] ara.bme.hu. Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. GEA EGI Energiagazdálkodási Zrt

Átírás

1 Dr. Márton Ph.D., külső óraadó lohasz [at] ara.bme.hu Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Áramlástan Tanszék, GEA EGI Energiagazdálkodási Zrt ősz

2 definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet rész I Első előadás

3 Kivonat definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet 1 definíciója és tulajdonságai 2 Tulajdonságok 3 Jelölések 4 Statisztikai leírás 5 Reynolds egyenlet

4 Bevezetés definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Miért foglalkozunk a turbulenciával egy numerikus áramlástan (CFD) kurzusban? Numerikus áramlástanban az egyenletek nagyrészt modell egyenletek jelensége a numerikus áramlástani alkalmazások 95%-ban jelen van A turbulenciát csak nagyon ritkán lehet szimulálni és általában modellezni kell alapjainak ismerete szükséges a modellek használatához

5 Korlátok, egyszerűsítések definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet A következő hatásokat nem vesszük figyelembe: sűrűség változás (ρ = konst.) Lökéshullám és a turbulencia kölcsönhatását nem tárgyaljuk A felhajtóerő hatását a turbulenciára nem tárgyaljuk viszkozitás változás (ν = konst.) térerő hatása (g i = 0) Szabad-felszínű áramlások kivételével, a gravitációnak nincs hatása és beolvasztható a nyomásba

6 Definíció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Precíz definíció? Eddig nem létezik a turbulencia definíciója Stabilitás- és káoszelmélet azok a tudományok amelyek szolgáltathatják majd a definíciót De a leíró PDE-eket sokkal bonyolultabb kezelni mint egy KDE-t A klasszikus fizika utolsó megoldatlan problémája ( Lehetséges-e egy elméleti modellt adni amely leírja a turbulens áramlások statisztikáit? ) A mérnökök mégis tudják kezelni a turbulenciát

7 Tulajdonságok definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Definíció helyett tulajdonságai összefoglalhatóak Ezek a jellemzők felhasználhatóak: Különbséget tegyünk lamináris (akár időfüggő) és turbulens áramlás között Megértsük hogyan vizsgálható a turbulencia Megértsük a turbulencia a mérnöki gyakorlatban betöltött szerepét Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

8 Magas Reynolds szám definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Reynolds szám Re = UL ν = F tehetlenségi F viszkózus magas Re szám viszkózus erők kicsik De a súrlódásmentes áramlás nem turbulens A Re szám szerepe A Reynolds szám az áramlás bifurkációs (stabilitási) paramétere Re cr 2300 csőben való áramlás esetén Re > Re cr áramlás instabil, turbulens

9 Rendezetlen, kaotikus definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Dinamikus rendszerek terminológiája A kezdeti (KF) és a perem feltételekre (PF) való erős érzékenység Az áramlás stabilitásáról való állítás A PDE-knek (parciális differenciál egyenleteknek) végtelenszer több szabadsági foka van mint a KDE-knek (közönséges differenciál egyenleteknek) Sokkal nehezebb kezelni őket definíciójának jelöltje lehet Eszköz amellyel megmagyarázható a turbulencia és a sima lamináris időfüggés közötti különbség Reynolds egyenlet

10 Folytonos térbeli spektrum Térbeli spektrum definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív A térbeli spektrum analóg az időbelihez, Fourier transzformációval definiáljuk Praktikusan periodikus vagy végtelen nagy tartományt nehezebb találni Vizuálisan: Minden méretű (határok között) áramlási jelenség jelen van Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Ellen példa Az akusztikai hullámoknak csúcsos spektruma van al- és felharmonikusokkal.

11 3D jelenség definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum Örvény megnyúlás (lásd: Hő és áramlástan vagy Áramlástan válogatott fejezetei) csak 3D áramlásban van jelen. 2D-ben nincs az örvényesség irányába mutató sebességkomponens, amely meg tudná nyújtani azt. Felelős a méretek csökkenésért Felelős az örvényesség növekedésért 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Az átlagáramlás lehet 2D Az időfüggő áramlás mindenképp 3D A (Reynolds, idő) átlagolt áramkép lehet 2D A keresztirányú fluktuációk zérusra átlagolódnak, de szükség van rájuk az áramlás irányú és a falra merőleges irányú ingadozások létrejöttében

12 Időfüggő definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás A turbulens áramlások időfüggőek, az áramlás időfüggése nem jelenti azt, hogy turbulens Az időfüggő áramlások stabilitás szempontjából különbözőek lehetnek Egy csőben való időfüggő lamináris áramlásban (pl.: 500 < Re b (t) < 1000), a kis perturbációktól való függés sima és folytonos Egy csőben való időfüggő turbulens áramlásban (pl.: 5000 < Re b (t) < 5500), a kis perturbációktól való függés erős Reynolds egyenlet

13 Kontinuum jelenség definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Leírható a kontinuum Navier-Stokes (NS) egyenlettel Azaz molekuláris jelenségeknek nincs szerepe, ahogy ezt 100 évvel ezelőtt még gondolták egyesek Következmények 1 Szimulálható a NS egyenlet megoldásaként (közvetlen numerikus szimuláció = KNSZ, Direct Numerical Simulation = DNS) 2 A turbulenciának van egy legkisebb léptéke, ami általában jelentősen nagyobb mint a molekuláris léptékek 3 Van olyan eset is ahol a molekuláris hatások fontosak (pl. visszatérő kapszula) 4 A turbulenciát nem a molekuláris rezgések hajtják, hanem a turbulencia a NS egyenlet (stabilitás típusú)

14 Disszipatív definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Disszipatív Def: A mechanikus (mozgási) energia hővé alakulása (hőmérséklet növelés) Mindig jelen van a turbulens áramlásokban legkisebb léptékén történik, viszkózus erők fontosak a tehetetlenségi erőkhöz képest Hullám mozgáshoz képest ez egy jelentős különbség, mivel ott a disszipációnak nincs elsőrendű jelentősége Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

15 Örvényes definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség A turbulens áramlások mindig örvényesek Az örvény megnyúlás felelős a méretek csökkenéséért A disszipáció a legkisebb skálákon jelentkezik Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

16 Diffúzív definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás A diffúzív tulajdonság, mérnökileg fontos következmény Az átlagolt mennyiségeket tekintve a turbulencia általában növeli az átadásokat Pl. az átadási tényezők növekednek (pl.: λ) A Nusselt szám növekszik Az átlagolt mezőben a turbulencia általában növeli az átadási tényezőket A turbulens viszkozitás (az impulzus átadás) növekszik A turbulens hővezetési tényező növekszik A turbulens diffúziós tényező növekszik Reynolds egyenlet

17 Történelme van, A TURBULENCIA nem létezik definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések A klasszikus fizikai utolsó megoldatlan problémája szerint a turbulenciának nem tudtak általános elméletet kifejleszteni mostanáig. A turbulenciában semmilyen univerzalitást nem fedeztek fel A turbulens áramlások többfélék lehetnek, pl.: Peremfeltétel függő lehet A fel-vízi feltételeken múlik (térbeli történelem) Az időbeli történelemtől függ Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

18 Jelölések Irányok definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció x: Áramlási irány y: Falra merőleges, legnagyobb gradiens iránya z: Bi-normális a x, y irányokra, keresztirány NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Megfelelő sebességek u, v, w Index-es írásmód x = x 1, y = x 2, z = x 3 u = u 1, v = u 2, w = u 3

19 Jelölések (folyt.) definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Parciális deriváltak def j = x j def t = t Reynolds egyenlet

20 Összegzési konvenció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Összegzést végzünk a dupla indexek esetén a három térbeli iránynak megfelelően. Alap példa Skalár szorzás: a i b i def = 3 a i b i (1) i=1

21 NS mint példa definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Kontinuitás egy. ha ρ = konst., akkor ρ t + div(ρv) = 0 (2) divv = 0 (3)

22 NS rövidítő írásmóddal definíciója és tulajdonságai ρ = konst. kontinuitás Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Az összes mozgásegyenlet i u i = 0 (4) t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j j u i (5)

23 Statisztikai leírás definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Az egyszerű megközelítés Turbulens áramlást az idő átlagával és ahhoz képesti ingadozással lehet jellemezni Ennek a megközelítésnek a problémái Milyen hosszú legyen az időátlagolás? Hogy különböztessük meg az időfüggést a turbulenciától?

24 Statisztikai leírás Példák definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Áramlási példák Turbulens csőáramlás (Re >> 2300), amelyet egy dugattyús szivattyú hajt meg (szinuszos időfüggés) Kármán örvénysor egy Re = 10 5 számú henger körüli áramlásban, ahol az örvények St = 0, 2 frekvenciával válnak le Nehéz különbséget tenni a turbulencia és az időfüggés között

25 Statisztikai átlag definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Miért kezelünk egy determinisztikus folyamatot statisztikailag? Az NS egyenletek determinisztikusak (legalábbis azt hisszük, de nincs általánosan bizonyítva) Azaz a megoldást egyértelműen megadják a KF-ek és PF-ek A statisztikai leírás hasznos a kaotikus viselkedés miatt A KF-ek és PF-ek re való nagyfokú érzékenység A hasonló KF és PF halmazokbeli megoldásokat statisztikailag lehet kezelni

26 Statisztika A megoldás mint egy statisztikai változó definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet ϕ = ϕ(x, y, z, t, i) (6) Az i index különböző de hasonló KF-ekhez és PF-ekhez tartozik Sűrűség függvény Megmutatja ϕ értékének valószínűségét. f (ϕ) (7) Normálva van: f (ϕ) dϕ = 1 (8)

27 Átlag érték Várható érték definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás ϕ(x, y, z, t) = ϕ(x, y, z, t) ( ) f ϕ(x, y, z, t) dϕ (9) Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Átlag Reynolds egyenlet 1 ϕ(x, y, z, t) = lim N N N ϕ(x, y, z, t, i) (10) i=1

28 Reynolds átlagolás definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Reynolds felbontás Mivel a statisztikai átlagot Reynolds átlagnak is hívjuk, ezért a felbontást szintén Reynolds felbontásnak hívjuk Ingadozás ϕ = ϕ + ϕ (11) ϕ def = ϕ ϕ (12)

29 Az átlagolás tulajdonságai definíciója és tulajdonságai Linearitás Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai A Reynolds átlag csak egyszer hat aϕ + bψ = aϕ + bψ (13) Korreláció Reynolds egyenlet ϕ = ϕ (14)

30 Az átlagolás tulajdonságai (folyt.) definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Az ingadozások átlaga zérus ϕ = 0 (15) Korreláció Reynolds egyenlet

31 Szórás definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Szórás Az ingadozás elsőrendű jellemzése σ ϕ = RMS-nek is hívják: ϕ rms def = σ ϕ ϕ 2 (16)

32 Kapcsolat az idő és a statisztikai átlag között definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Ergodicitás Ha az időbeli és statisztikai átlag azonos. Azaz ha függetlenek a kezdeti feltételektől. Az átlag azonos, és a szórás? ˆϕ (T ) def = 1 T ˆϕ (T ) = 1 T T 0 T 0 ϕ dt (17) ϕ dt = ϕ (18)

33 Korreláció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Kovariancia R ϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = ϕ (x, y, z, t)ψ (x + δx, y + δy, z + δz, t + τ) Auto kovariancia Ha ϕ = ψ akkor a kovariancia auto kovariancia Pl. Időbeli auto kovariancia: R ϕϕ (x, y, z, t, 0, 0, 0, τ) (19)

34 Korreláció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Korreláció Dimenziótlan kovariancia ρ ϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = R ϕψ σ ϕ(x,y,z,t) σ ψ(x+δx,y+δy,z+δz,t+τ) (20)

35 Integrál időlépték definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Integrál időlépték Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció T ϕψ (x, y, z, t) = + ρ ϕψ (x, y, z, t, 0, 0, 0, τ) dτ (21) Reynolds egyenlet

36 Taylor-féle fagyott örvény hipotézis definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Sokkal könnyebb az integrál időléptéket mérni (hődrót), mint a hosszléptéket (két hődrót különböző távolságokra) Feltevések Az áramkép teljesen fagyott, az átlagsebességgel (U) jellemezhető Az áramlás-irányú hosszléptéket közelíteni lehet, a fagyott örvény időbeli haladását vizsgálva A Taylor szerint közelített áramlás-irányú hosszlépték L x = TU (22)

37 Reynolds egyenlet definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Levezetjük a NS egyenlet Reynolds átlagát, amelyet Reynolds egyenletnek fogunk hívni Reynolds egyenlet

38 Reynolds Átlagolt kontinuitás Az eredeti egyenlet definíciója és tulajdonságai i u i = 0 Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Levezetés: i u i = = i u i = i u i + u i = i u i 0 = i u i (23) Ugyanaz az egyenlet csak az átlagra!

39 Mozgásegyenlet definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Levezetés Ugyanazokat a szabályokat alkalmazzuk a lineáris tagokhoz A nemlineáris tagok különböznek

40 A nem-lineáris tagok átlagolása definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet u j j u i = = j (u j u i ) = j u j u i = j (u j + u j )(u i + u i ) = j (u j u i + u i u j + u j u i + u j u i ) = j (u j u i + u j u i ( ) = j u j u i + j u j u i ) = u j j u i + j u i u j (24)

41 Reynolds egyenletek Kontinuitás egyenlet definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Mozgás egyenlet i u i = 0 t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j j u i j u i u j (25) Reynolds feszültség tenzor Vagy ρ-val vagy 1-el szorozva u i u j (26)

42 Feszültségek definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Minden feszültség ami gyorsulást okoz: 1 ρ p δ ij + ν j u i u i u j (27)

43 léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek rész II Második előadás

44 Kivonat léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek 6 léptékei 7 k transzport egyenlete 8 Modellezés 9 Peremfeltételek

45 sok léptéke léptékei k transzport egyenlete különböző skálái egy keveredési rétegben sűrűség változással láthatóvá téve Modellezés Peremfeltételek Cél: Találjunk egy összefüggést a különböző méretű turbulencia tulajdonságaira

46 Mozgási (kinetikus) energia Mozgási energia: E def = 1 2 u iu i (28) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek A Reynolds felbontása: A Reynolds átlaga: E = 1 2 u iu i = 1 2 (u i u i + 2u i u i + u i u i ) (29) E = 1 2 (u i u i ) + 1 }{{} 2 (u i u i ) = Ê + k (30) }{{} k Ê Az átlagos áramlás mozgási energiája: Ê mozgási energiája: k (Turbulens Kinetikus Energia, TKE)

47 Richardson-féle energia kaszkád Az örvények mérete Magas Re számú áramlást tekintünk léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Az áramlás tipikus sebessége U Az áramlás tipikus hosszléptéke L A vonatkozó Reynolds szám (Re = UL ν ) nagy különböző méretű örvényekből áll Az örvények minden osztályának van: hosszléptéke: l sebesség léptéke: u(l) idő léptéke: τ(l) = l/u(l)

48 A Richardson energia kaszkád A nagy léptékek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Legnagyobb örvények jellemzői méret l 0 L sebesség u 0 = u 0 (l 0 ) u = 2/3k U Re = u 0l 0 ν szintén magas A nagy örvények darabolódása A nagy Re szám kis mértékű viszkózus stabilizációt jelent A nagy örvények instabilak A nagy örvények kisebbekké esnek szét

49 A Richardson energia kaszkád A kis léptékek felé léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Tehetetlenségi kaszkád Amíg Re(l) nagy a tehetetlenségi erők dominálnak és a darabolódás folytatódik Kis léptékeken, ahol Re(l) 1 a viszkozitás kezd fontossá válni Az örvények mozgási energiája hővé disszipál

50 A Richardson energia kaszkád A vers léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Richardson verse Big whorls have little whorls that feed on their velocity, and little whorls have smaller whorls and so on to viscosity. Lewis Fry Richardson F.R.S.

51 A Richardson energia kaszkád A kis és a nagy méretek közötti kapcsolat léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek A disszipáció megegyezik a produkcióval A disszipációt ε-al jelöljük A kaszkád miatt a nagy léptéken lévő mozgásokkal jellemezhető Disszipáció: ε mozg. energia időlépték Képlettel: ε = u2 0 l 0 /u 0 = u3 0 l0 a nagy léptékeken

52 k transzport egyenlete Definíciók 1. léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Az NS szimbólum A levezetések leíráshoz érdemes bevezetni a következő NS szimbólumot: NS(u i ) def = t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j s ij }{{} j t ij (31) ahol: s ij def = 1 2 ( iu j + j u i ) az (szimmetrikus=s) alakváltozás része a derivált tenzornak j u i.

53 k transzport egyenlete Definíciók 2. léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Ismételjük meg a Reynolds egyenlet levezetését! NS(u i + u i ) [ (32) t u i + u j j u i = j 1 ] ρ p δ ij + νs ij u i u j (33) }{{} T ij

54 A TKE egyenlete léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Vegyük (NS(u i ) NS(u i ) )u j (NS(u j) NS(u j ) ) + u i nyomát ] ( p t k + u j j k = a ij s ij + j [u ) j }{{} ρ + k νu i s ij Produkció }{{} Transzport Disszipáció: ε def = 2νs ij s ij def Anizotrópia tenzor: a ij = u i u j 1 3 u l u l }{{} (A Reynolds feszültség tenzor deviátor része) 2k δ ij ε }{{} Disszipáció (34)

55 A TKE egyenlet A tagok jelentése léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Produkció Kifejezés: P def = a ij s ij A mozgási energia transzferje az átlagos áramlástól a turbulenciába Ugyanez a tag jelenik meg ellentétes előjellel az átlagsebesség mozgási energiájának egyenletében Ez a mechanizmus táplálja az energiát a Richardson kaszkádba A nagy skálákon történik

56 A TKE egyenlet A tagok jelentése (folyt.) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Disszipáció Kifejezés: ε def = 2νs ij s ij A turbulens kinetikus (mozgási) energia hővé alakulása A viszkózus feszültségek munkája a kis léptékeken (s ij ) Ez az energia elvonási mechanizmusa a Richardson kaszkádból A kis léptékeken történik P = ε ha a turbulencia homogén (izotrop), mint a Richardson kaszkádban

57 A TKE egyenlet A tagok jelentése (folyt.) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Transzport Kifejezés: j [u j ] ( ) p ρ + k νu i s ij A turbulens kinetikus energia térbeli transzportja A kifejezés divergenciás alakú ( j j ) A divergencia felületi integrállá alakítható (G-O tétel)

58 A RANS modellezés ötlete léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek A Reynolds átlagolt NS egyenletet oldjuk meg az átlagolt változókra (u, v, w, p ) A Reynolds feszültség tenzor u i u j ismeretlen, így modellezni kell A modellezésnek az egyébként is felhasznált mennyiségeket (u, v, w, p ) kellene használnia Hasznosság Ha az átlagolt mennyiségek hasznosak a mérnökök számára azaz ha az ingadozások nem érdekesek csak a hatásuk az átlag áramképre A megfelelően pontos

59 Örvény viszkozitás modellezés léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Az ötlet hatása mint a mozgó molekulák hatása a kinetikus gázelméletben Az impulzus csere a különbözős sebességgel mozgó rétegek között a merőlegesen mozgó molekulák által jön létre A viszkózus feszültséget így számoljuk: Φ ij = 2νS ij

60 Örvény viszkozitás modell (folyt.) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Egyenletekben... Csak a deviátor részt modellezzük A nyom (k) beolvasztható a nyomásban (modifikált nyomás), és nincs szükség a modellezésére A modifikált nyomást használjuk a nyomáskorrekciós módszerben a kontinuitás kielégítése céljából (lásd: nyomásra vonatkozó Poisson egyenlet) u i u j 2 3 kδ ij = 2ν t S ij (35)

61 Örvény viszkozitás léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek A viszkozitás a hosszlépték (l ) és a sebesség ingadozás lépték (u ) szorzatával arányos A hosszléptéknek arányosnak kell lennie azzal a hosszal, amit a folyadék impulzusát megtartva megtesz A sebesség ingadozási léptéknek a mozgó folyadékrészek által okozott ingadozáshoz kell kötődnie ν t l u (36) Frissebb eredmények melyek a koncepciót támasztják alá koherens struktúra szemlélete megmutatta, hogy vannak folyadékrészek (örvények) amelyek mozgásuk során megtartják egy ideig tulajdonságaikat

62 Két egyenlet modellek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek A hossz (l ) és a sebességingadozás lépték (u ) az áramlás és nem a folyadék tulajdonsága, így helytől és időtől függenek PDE-kre van szükség, hogy a skálák fejlődését leírhassuk A léptékekre vonatkozó kritériumok Jól definiáltnak kell lennie Az alakulásra vonatkozó egyenleteket kell fejleszteni Numerikusan szépnek kell lennie Könnyen mérhetőnek kell lennie, hogy kísérleti validációra lehetőség legyen

63 k-e modell léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Sebesség ingadozás lépték A TKE jellemzi a sebesség ingadozást Izotrop (nincs kitüntetett irány) u k (37) Hossz lépték Az integrál hosszlépték jól definiált (lásd: korrelációk) Nem könnyű közvetlen egyenletet fejleszteni A hosszléptéket a disszipáción keresztül számoljuk Emlékeztető: ε = u3 0 l0 l k 3/2 ε

64 Az örvény viszkozitásra vonatkozó egyenlet léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek k 2 ν t = C ν (38) ε C ν konstanst, melyet elmélet alapján vagy kísérletből kell meghatározni... A helyzet...? Két ismeretlenünk (k, ε) van az egy (ν t ) helyett

65 k modell egyenlet léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek k egyenletet levezettük, de vannak benne ismeretlenek: ] ( p t k + u j j k = a ij s ij + j [u ) j }{{} ρ + k νu i s ij Produkció }{{} Transzport Produkció ε }{{} Disszipáció A produkció közvetlenül számítható, ha felhasználjuk az örvényviszkozitás hipotézist (39) P = a ij S ij = 2ν t S ij S ij (40)

66 k modell egyenlet léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Disszipáció Különálló egyenletet vezetünk le Transzport j T j Közelíthető a gradiens hipotézis segítségével T j = ν t σ k j k (41) σ k egy Schmidt szám típusú mennyiség mely átskálázza ν t -t, hogy megkapjuk a szükséges diffúziós tényezőt Kísérletileg meghatározandó

67 A k modell egyenlet összefoglalva léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek ( νt ) t k + u j j k = 2ν t S ij S ij ε j j k σ k Minden közvetlenül számítható, kivéve ε A bal oldal k lokális és konvektív változása A konvekció egy fontos tulajdonsága a turbulenciának (így megfelelően kezeljük) (42)

68 ε modell egyenlete léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Feltesszük, hogy transzport egyenlet írja le Levezetés helyett, a k egyenleten alapul t ε + u j j ε = C 1ε P ε k C 2εε ε k j ( νt ) j ε σ ε A produkció és disszipációkat átskálázzuk ( ε k ) és feljavítjuk állandó együtthatókkal (C 1ε, C 2ε ) Gradiens diffúzióval modellezzük a transzportot Schmidt számot használva σ ε Az ε nem túlságosan pontos! :) (43)

69 A standard k-e modell állandói léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek C ν = 0, 09 (44) C 1ε = 1, 44 (45) C 2ε = 1, 92 (46) σ k = 1 (47) σ ε = 1, 3 (48)

70 Példák az állandókra Homogén turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek d t k = P ε (49) d t ε = C 1ε P ε k C 2εε ε k (50)

71 Példák az állandókra Csillapodó turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Mivel P = 0, az egyenlet rendszert könnyen meg lehet oldani: ( ) n k(t) = k 0 ε(t) = ε 0 ( t t 0 t t 0 ) n 1 n = 1 C 2ε 1 n könnyen mérhető

72 k-ω modell léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek k egyenlet ugyanaz ω def = 1 ε C ν k (ω) az ω egyenlet hasonló a ε egyenlethez transzport egyenlet produkcióval, disszipációval és transzporttal a jobb oldalon Specifikus disszipáció, turbulens frekvencia az ω egyenlet jobb a falak közelében az ε egyenlet jobb a távol-térben az SST modell keveri a két fajta hosszlépték egyenletet a faltól való távolság függvényében

73 A szükséges peremfeltételek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek modell PDE-ei transzport egyenletek hasonlóan az energia egyenlethez Lokális változás Konvekció Forrás tagok Transzport tagok

74 Belépő perem feltételek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Neumann, Dirichlet vagy kevert típusú peremfeltételeket lehet általában használni A belépés általában Dirichlet típusú (adott érték) Végső cél Hogyan adjuk meg k és ε vagy ω értékét a belépő peremeken?

75 A belépő peremfeltételek közelítése Turbulencia fok léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Olyan mennyiségeket használjunk, amit könnyű becsülni Fejlesszünk egyenletet, amellyel k-t és ε-t vagy ω-t lehet számolni olyan mennyiségekből, amelyek mérnökök által becsülhetőek Turbulencia intenzitás Tu def = u u = 2/3k u

76 Belépő peremfeltételek közelítése Hossz lépték léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Hossz lépték l k 3/2 ε ε Mérésből (Taylor hipotézist felhasználva) Faltörvény alapján Becsülhető hidraulikus átmérőből l 0.07d H

77 A belépő peremfeltételek fontossága Ha a turbulencia kormányozza az áramlást léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Példa: Atmoszferikus áramlás, ahol a geometria nagyon egyszerű (sík táj, domb), a turbulencia bonyolult az áramlás térbeli történelmén keresztül érdes felület felett felhajtó erő is szerepet játszik A belépő turbulenciára való érzékenységet ellenőrizni kell a szimuláció bizonytalanságát fel kell ismerni mérést is használni kell a szimulációs tartományt fel-vízi oldalon ki kell egészíteni

78 Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek rész III Harmadik előadás Nagy örvény szimuláció

79 Kivonat Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál 10 Nagy örvény szimuláció TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció

80 Fali peremfeltételek Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Mind k-nak és ε-nak vagy ω-nak szüksége van peremfeltételekre a falnál Mielőtt bevezetnénk a peremfeltételeket és a közelítő peremkezelési technikákat, pár dolgot érdemes összefoglalni a fali határrétegek elméletéről

81 Csatorna áramlás Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Jellemzők Áramlás két végetelen síklap között teljesen kialakult Csatorna fél szélesség : δ def Átlag sebesség: U b = 1 δ δ 0 u dy def Reynolds szám: Re b = U b2δ ν Re b > 1800 jelenti a turbulenciát

82 Csatorna áramlás (folyt.) Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Áramlás irányú átlagolt mozgásegyenlet 0 = νd 2 1 y u d }{{ 2 y } u v }{{} ρ xp (51) d y τ l d y τ t A nyomásgradienssel (d x p w ) a két csúsztató feszültség tart egyensúlyt: τ = τ l + τ t Az eloszlás lineáris ( τ(y) = τ w 1 y ) (52) δ

83 Csatorna áramlás (folyt.) A kétféle csúsztató feszültség Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció A két csúsztató feszültség A viszkózus feszültség a domináns a falnál A turbulens feszültség domináns a faltól távol Mindkét feszültség fontos a közbülső tartományban

84 A fali áramlás két léptéke Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Definíciók Súrlódási sebesség: u τ def = τwρ = Súrlódási Reynolds szám: Re τ def = uτ δ ν viszkózus hossz lépték: δ ν def = uτ ν δ ρ d xp w = δ δ ν Nagy örvény szimuláció Az általános faltörvény jellemezhető: d y u = u τ y Φ ( y δ ν, y δ ) (53) Φ egy később meghatározandó függvény!

85 Faltörvény A fal közelében Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Feltehető, hogy csak a fali léptékeknek van szerepe a fal közelében d y u = u ( τ y ) y Φ I for y δ (54) δ ν Fali dimenziótlanítás + Nagy örvény szimuláció u + y + def = u u τ (55) def = y δ ν (56)

86 Faltörvény Sebesség Viszkózus alapréteg Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Csak τ l számít u + = y + y + < 5 esetén Logaritmikus réteg A viszkozitás nincs benne a skálázásban Φ I = 1 κ amennyiben y δ és y + 1 Log-függvény: u + = 1 κ ln(y + ) + B Mérések alapján: κ 0.41 és B 5.2

87 Faltörvény Sebesség Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Külső réteg Φ csak y/δ-tól függ Az áramlások numerikus szimulációja során ki szeretnénk számolni! Nem kell vele foglalkozni.

88 Reynolds feszültség tenzor a falnál u τ skálázás Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Éles csúcs y + = 20-nál

89 Reynolds feszültség tenzor a falnál k skálázás Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Egy állandó tartomány figyelhető meg a logaritmikus törvény zónájában.

90 TKE mérleg a falnál Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció P/ε 1 a logaritmikus törvény zónájában P/ε 1.8 a fal közelében

91 TKE mérleg a falnál Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció nagyrészt az átmeneti tartományban keletkezik (5 < y + < 30) viszkózusan diffundál a falhoz erősen disszipálódik a falnál Következmény: ε = νd 2 y 2 k ha y = 0

92 A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Alacsony Re módszer Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Ebben a módszerben a teljes határréteget numerikusan felbontjuk Mikor használjuk? Alacsony Reynolds számú áramlásoknál, ha a felbontásra lehetőség van Ha a határréteg nem egyszerű, azaz nem írható le faltörvénnyel Hogyan csináljuk? Használjunk olyan turbulencia modellt amely figyelembe veszi a fal közeli viszkózus hatásokat is Használjunk megfelelő fali felbontást (y + < 1)

93 A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Magas Re módszer Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Ebben a megközelítésben az első cella magába foglalja a faltörvényt Mikor alkalmazzuk? Magas Reynolds számú áramlások esetén, ha lehetetlen felbontani a fal közeli réteget Ha a határréteg egyszerű, azaz a faltörvény jól leírja Hogyan csináljuk? Használjunk olyan turbulencia modellt amely tartalmaz faltörvényes peremfeltételt Használjunk megfelelő fali felbontást (30 < y + < 300)

94 A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Okos függvények Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció A két módszer keverékét fejlesztették ki hogy a mérnöknek ne kelljen foglalkozni a fali felbontással általában a két módszer keverékére van szükség, attól függően, hogy a számítási tartomány mely pontjában vagyunk Felbontásbeli követelemények Bármelyik módszer esetén a határréteg vastagságot (δ) 20 cellával kell fölbontani (szokásos másodrendű megoldó esetén), hogy megfelelő pontosságot érjünk el Legyünk tisztában mit használunk (képességek különbözőek)!

95 Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Szimuláció A szimulációban a turbulencia jelenségét felbontjuk a numerikus módszerrel, oly módon, hogy megoldjuk a leíró egyenleteket Modellezés modellezésében a turbulencia hatásait elméleti és kísérleti eredményekre alapozva modellezzük A számításban a turbulenciának egy redukált leírását adjuk

96 Közvetlen numerikus szimuláció (DNS) Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A NS egyenletet (amely teljesen leírja a turbulencia jelenségét) numerikusan megoldjuk Nehézségek Azok a skálák ahol a disszipáció lezajlik nagyon kicsik A legkisebb léptékek mérete Reynolds szám függő A szimuláció csak akadémiai esetekre lehetséges (pl.: HIT cellát használva)

97 A NÖSZ koncepciója Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség A RANS és a DNS közötti kompromisszum RANS: lehetséges, de pontatlan DNS: pontos, de lehetetlen KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A nagy léptékeket fontos szimulálni nagy léptékei peremfeltétel függőek, ezért ezeket szimulálni kell kis léptékei többé-kevésbé univerzálisak és így könnyen modellezhetőek A kis léptékek eltávolítása a szimulációból jelentősen csökkenti a számítási igényt

98 Szűrés Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Hogy vezessük le az egyenleteket? Hogy válasszuk szét a nagy és a kis léptékeket? Térbeli szűrés, simítás magfüggvényt használva ϕ (x j, t) def = G (r i ; x j ) ϕ(x j r i, t)dr i (57) V

99 Szűrő mag Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények G a szűrő mag, melynek tipikus mérete. G kompakt tartójú (az értelmezési tartomány azon része, ahol az érték nem nulla zárt) az első változójában Hogy egy konstans mező szűrtje önmaga legyen igaznak kell, hogy legyen: G (r i ; x j )dr i = 1 (58) V Ha G (r i ; x j ) homogén a második változójában és izotrop az első változójában akkor G ( r i ) egyváltozós függvény

100 Szűrő mag Példák Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények

101 Szűrés Fizikai térben Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Ingadozás ϕ def = ϕ ϕ (59) ϕ 0: egyik különbség a Reynolds átlagoláshoz képest

102 Szűrés Spektrális tér Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Emlékeztető: a vágási hullámszám (κ c ), az ami alatt modellezésre szükség van

103 Szűrt egyenletek Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség Ha a korábban definiált (homogén, izotrop) szűrőt használjuk Az átlagolás és a deriválás kommutatív (felcserélhető) KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények i u i = 0 (60) t u i + u j j u i = 1 ρ p + ν j j u i j τ ij (61) 3D (mivel a turbulencia 3D)) időfüggő (mivel a legnagyobb örvények is időfüggőek)

104 Hálóméret alatti feszültségek Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség τ ij -t hálóméret alatti (Sub-Grid Scale=SGS) feszültség-nek hívják még abból az időből amikor a szűrés közvetlenül a hálóhoz volt rendelve KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények τ ij def = u i u j ui u j A szűrt léptékek hatását reprezentálja Feszültség tenzor formája van Disszipatívnak kell lennie, hogy kifejezze a kis léptékeken lévő disszipációt (62)

105 Örvény viszkozitás modell Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Ugyanaz mint RANS-ban τ ij 1 3 τ kkδ ij = 2ν t sij (63) Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A módszer itt (NÖSZ) pontosabb, mivel a kisebb léptékek univerzálisabbak (mint a nagyok amelyeket a RANS-ban modellez) Disszipatív ha ν t > 0.

106 Szmagorinszki model Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények ν t = (C s ) 2 S (64) S def = 2s ij s ij (65) C s Szmagorinszki konstans, amit meg kell határozni spektrális elmélete alapján valós áramlási esetek validálásával -t elő kell írni Meghatározza a számítási igényt (ha túl kicsi akkor magas) Meghatározza a pontosságot (alacsony ha a szűrő túl nagy) Az mozgási energia 80%-nak felbontása egy jó kompromisszum

107 Méret hasonlóság Méret hasonlóság modell Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Feltételezzük, hogy a levágott kis léptékek hasonlóak a megtartott nagyokhoz! Egy logikus modell: τ ij def = u i u j ui u j (66) Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Tulajdonságok Nem elég disszipatív Alkalmas csúsztatófeszültségeket ad (tapasztalatok alapján) Logikus kombinálni a Szmag. modellel!

108 Dinamikus módszer Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Az ötlet azonos a mérethasonlóság modellével Az elmélet bonyolultabb Bármely modell dinamikussá tehető A dinamikus Szmagorinszki széles körben használt (ötvözi az előnyöket)

109 Numerikus szempontok Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A térbeli numerikus sémákat a határaiig használjuk (hullámhossz = cella méret), amennyiben a = h (h = cellaméret) A numerikus sémák jelentősen befolyásolják az eredményt Hálófüggetlenség h/ függvényként: praktikusan lehetetlen elvégezni

110 Peremfeltételek Periodicitás Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Periodicitást használunk a végtelen tartomány modellezésére A periodicitás hosszát a turbulencia hosszléptéke adja meg Eredmények

111 Peremfeltételek Belépés Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Sokkal bonyolultabb mint RANS-nál A turbulens struktúrákat kell visszaadni Örvényeket kell szintetizálni Külön előzetes számítás, ami igazi turbulenciát ad Eredmények

112 Peremfeltételek Fal Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Falaknál a tapadás törvénye alkalmazható, amennyiben megfelelő felbontást használunk (igazi LES) A szűkséges fali felbontás Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények y + 1 (67) x + 50 (68) z (69)

113 Eredmények Idő átlagolt mennyiségek Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Hasonlóan felhasználható, mint RANS esetén. Szerencsés esetben pontosabb mint a RANS, de rossz használat esetén sokkal pontatlanabb! Peremfeltételek Eredmények

114 Eredmények Időfüggő struktúrák Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Az örvények mozgását követhetjük. Lehetőséget teremt a turbulencia befolyásolására Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények