SZAKDOLGOZAT. Kondor István

Átírás

1 SZAKDOLGOZAT Kondor István 2008

2 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK CSATORNÁBAN LEJÁTSZÓDÓ HŐÁTADÁS NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓJA Kondor István Konzulens: Lohász Máté Márton

3 FELADATKIÍRÁS 3

4 Alulírott Kondor István, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és a szakdolgozatban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, a forrás megjelölésével egyértelműen megjelöltem. Kondor István 4

5 TARTALOMJEGYZÉK 1 BEVEZETÉS IPARI HÁTTÉR ELMÉLETI HÁTTÉR A SZAKDOLGOZAT CÉLJA IRODALMI ÁTTEKINTÉS DIREKT NUMERIKUS SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK A vizsgált mennyiségek Irodalmi előzmények NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK MATEMATIKAI HÁTTÉR A SZÁMÍTÁSI TARTOMÁNY AZ ÁRAMLÁST LEÍRÓ EGYENLETEK AZ ÁRAMLÁS PERIODIKUSSÁGA A HŐMÉSRÉKLET PERIODIKUSSÁGA PEREMFELTÉTELEK NUMERIKUS SZIMULÁCIÓ A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ ELVE HÁLÓ KÉSZÍTÉS NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ FLUENT PROGRAMMAL KIÉRTÉKELÉS ÉS VALIDÁLÁS A SZIMULÁCIÓ FUTÁSÁNAK ELLENŐRZÉSE FELTÉTELES ÁTLAGOLÁS SEBESSÉGMEZŐ VALIDÁLÁSA A HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA Az UHF peremfeltétel A CTD peremfeltétel Korrelációk KOHERENS STRUKTÚRA ÖSSZEFOGLALÁS

6 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Ezúton szeretnék köszönetet mondani konzulensemnek, Lohász Máté Mártonnak, hathatós segítségéért és hogy mindig rendelkezésemre állt, ha elakadtam. Külön szeretném megköszönni Illyés László Zoltánnak és Mach Évának szíves segítségüket és végtelen türelmüket. 6

7 JELÖLÉSJEGYZÉK A csatorna keresztmetszete C Courant szám CS Smagorinsky konstans cp G k L m Nu p P Pr q qw Q Reb Reτ Sij t tavg T állandó nyomáson vett fajhő térbeli átlagolás magfüggvénye turbulens kinetikus energia periódus hossza tömegáram Nusselt szám nyomás csökkentett nyomás Prandtl szám fajlagos bevezetett hőmennyiség fali hőáram sebességgradiens tenzor második invariánsa átlagos Reynolds szám turbulens Reynolds szám alakváltozási tenzor idő átlagolási idő súrlódási hőmérséklet T T m ui, u, v, w u ub csökkentett hőmérséklet kevert átlaghőmérséklet sebességkomponensek súrlódási sebesség átlagsebesség xi, x, y, z koordináta irányok Görög jelölések: ij t T hőátadási tényező nyomás gradiens hőmérséklet gradiens a csatorna magasságának fele Kronecker delta szűrő szélesség időlépés nagysága hőmérséklet különbség 7

8 kinematikai viszkozitás t örvényviszkozitás sűrűség ij szűrőméret alatti feszültség tenzor w fali csúsztató feszültség transzformált hőmérséklet ij örvénytenzor Indexek: ( )' ingadozó komponens ( )+ u val, T val és vel dimenziótlanított ( )* val és T vel deimenziótlanított ( )rms root mean square ( )max pontbeli maximum csatorna keresztmetszetében átlagolt ( )_mean statisztikailag átlagolt 8

9 TARTALMI ÖSSZEFOGLALÓ A szakdolgozatomban ismertetem a direkt numerikus szimuláció és a nagy örvény szimuláció alapvető elméleti hátterét, a csatornaáramlásban való alkalmazásuk fontosabb irodalmi eredményeit, valamint bemutatom a periodikus hőátadás számításának módját. Ezt követően nagy örvény szimuláció segítségével vizsgálom végtelen síklapok közötti kialakult turbulens áramlásban a hőtranszportot különböző termikus peremfeltételek esetén. A sebesség és hőmérsékletmező főbb mennyiségeinek pillanatnyi értékeit valamint időbeli és térbeli átlagait is közlöm. A számítástechnika rohamos fejlődésének köszönhetően lehetővé vált a Navier Stokes egyenlet numerikus megoldása, s elérhetővé vált az áramlások időfüggő modellezése. Napjainkban egyre többen végeznek nagy örvény szimulációt, így a módszer fejlesztése és ellenőrzése különösen fontos. A dolgozatban vizsgált áramlás turbulens Reynolds száma 180, míg Prandtl száma 0,71. A számítás során kétféle peremfeltételt alkalmazok a hőmérsékletre vonatkozóan. Az egyik esetben a fali hőáram állandó, míg a másikban a két fal hőmérsékletkülönbségét tartom konstans értékén. A kiértékelés során feltételes átlagolást végzek, az alkalmazott feltétel a Q kritérium. Ellenőrzöm a sebesség és hőmérséklet profilokat, valamint ezek ingadozásait is. Továbbá vizsgálom ezek korrelációit, az eredményeket pedig DNS adatokhoz viszonyítom. A koherens struktúrákat a Q kritérium alapján tanulmányozom. 9

10 ABSTRACT In my thesis I review the basic theoretical background of direct numerical simulation and large eddy simulation, the most important results of their usage and I also present a method to compute periodic heat transfer. After that I study the turbulent heat transfer in a fully developed channel flow. I analyzed two different thermal boundary conditions with the help of large eddy simulation. I report the main characteristics of the velocity and thermal field including instantaneous values and both spatial and temporal averages. Thanks to the rapid development of computer science it became possible to numerically solve the Navier Stokes equation. Consequently, time dependent modeling of flows are now available. Nowadays large eddy simulations are performed more frequently, therefore its development and validation became crucial. In the present study the turbulent Reynolds number of the flow was 180, while the applied Prandtl number was I examine the effect of two thermal boundary conditions. The first case is the uniform heat flux (UHF) over the surfaces, while the second one is the constant temperature difference (CTD) between the top and bottom walls. I adopt a conditional averaging method in the evaluation process, in which the applied condition is the Q criteria. I verify the profiles of the velocity and thermal fields and also their fluctuations. In addition, I study their correlations and compare the results to DNS data. I examine the coherent structures from the viewpoint of Q criteria. 10

11 1 BEVEZETÉS 1.1 IPARI HÁTTÉR A mérnöki gyakorlatban egyre fontosabbá válik, hogy a gyártást, felépítést megelőzően már pontos ismeretekkel rendelkezzünk a termék leendő tulajdonságairól. Ez különösen lényeges az áramlástani és hőtani problémák esetében, példának okáért gondoljunk egy turbina lapátkerékre, amelyet C körüli hőmérsékletű gáz forgat. Ez magasabb érték, mint a lapátok anyagának olvadáspontja, ezért a megfelelő üzembiztonság eléréséhez elengedhetetlen megfelelő hűtésről gondoskodni. A belső hűtőrendszer tervezésekor jól kihasználható a turbulens áramlások jobb hővezetése a laminárisokhoz képest, ám ennek elengedhetetlen feltétele, hogy a turbulenciát kellő pontossággal modellezzük. Fontos tudni például, hogy a forgás hogyan hat a hűtő csatornában kialakuló áramlásra és ezek hatására milyen hőmérséklet eloszlás jön létre. Hogy idáig eljussunk először az alapjelenségeket kell megértenünk, majd a lényeges tulajdonságaikat a modellbe be kell építenünk. Ennek szellemében a szakdolgozat témája a turbulens hőátadás számítása kialakult csatornaáramlásban. 1.2 ELMÉLETI HÁTTÉR Az áramlástan alapegyenletei régóta ismertek, ám megoldásuk néhány egyszerű esetet leszámítva gyakorlatilag lehetetlen volt. A helyzet az 1980 as években változott meg, a számítógépek rohamos fejlődésének köszönhetően. Ekkor vált lehetővé az áramlásokat leíró Navier Stokes egyenlet (NS) numerikus megoldása. A csatornában kialakult áramlás jól dokumentált, bőséges irodalommal rendelkezik. Ezek nagy része a Reynolds átlagolt Navier Stokes (RANS) egyenleten alapuló turbulencia modelleket használja. Gyorsaságuk mellett legnagyobb hátrányuk, hogy a Navier Stokes egyenletet időben átlagolják, így időfüggő szimulációra csak korlátozottan alkalmazhatók. A direkt numerikus szimuláció (DNS) során a Navier Stokes, a kontinuitási és a transzport egyenleteket is közvetlenül, numerikusan megoldják. Ez a módszer semmilyen közelítést nem alkalmaz, ugyanakkor a pontos eredmény feltétele a megfelelően finom háló, ami a turbulencia legkisebb léptékének felbontására is alkalmas. Következésképpen számításigénye hatalmas, a mindennapi mérnöki feladatok megoldása során használata a jelenlegi számítógépekkel nem gazdaságos. A fenti probléma megoldására dolgozták ki a nagy örvény szimulációt (LES). Mivel a kialakult áramlás tulajdonságait elsősorban a nagyobb örvények határozzák meg, ezért elegendő olyan háló készítése, mely ezeket felbontja, az ennél kisebb léptékű örvényeket pedig valamilyen turbulencia modellel közelíti, ezeket Subgrid Scale (SGS) modelleknek nevezzük. 11

12 1.3 A SZAKDOLGOZAT CÉLJA A szakdolgozat célja a csatornában kialakult turbulens áramlás áramképének meghatározása, valamint a hőmérséklet eloszlás vizsgálata különböző peremfeltételek mellett, a kapott eredmények összehasonlítása az irodalomban közöltekkel. A feladat elvégzése során ismertetem a periodikus hőátadás számításának módját, a numerikus háló készítésének lépéseit Gambit szoftverben, továbbá a nagy örvény szimuláció alapkoncepcióját és alkalmazásának mikéntjét a Fluent rendszerben. A dolgozatban bemutatom a témában megjelent fontosabb irodalmi eredményeket, kiemelve a direkt numerikus szimulációval és a nagy örvény szimulációval végzett vizsgálatokat. Ezt egy áttekintés követi, melyben a számítások matematikai hátterét közlöm. A szimuláció menetének részletes leírására a negyedik fejezetben kerül sor. Ezután elvégzem az eredmények kiértékelését és validálását, utóbbi során direkt numerikus szimulációs adatokat tekintek referenciának. 2 IRODALMI ÁTTEKINTÉS 2.1 DIREKT NUMERIKUS SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK A vizsgált mennyiségek A csatornaáramlás mindenkori dimenziós jellemzői függnek a csatorna geometriai alakjától, az áramló közeg anyagjellemzőitől és az áramlási sebességtől, következésképpen ezekből az adatokból nem vonhatunk le általános következtetéseket. Éppen ezért a probléma vizsgálatakor szükségünk van olyan dimenziótlan mennyiségekre, melyekkel a különböző egyedi áramlások összehasonlíthatóak. Az áramlási sebesség jellemzésére a Reynolds számot használjuk, kétféle definíció szerint. Az átlagos Reynolds számot a (2.1) egyenlet írja le: Reb= u (2.1) ahol u az áramlás (x) irányú (lásd 1. ábra) átlagsebesség a keresztmetszetben, a csatorna magasságának fele, pedig a közeg kinematikai viszkozitása. A (2.2) összefüggésből látható, hogy hasonlóan értelmezhető a turbulens Reynolds szám (Reτ) is: Re = u (2.2) ahol az u súrlódási sebességet a fali csúsztató feszültség segítségével a (2.3) egyenlet adja meg: 12

13 u = w (2.3) A hőmérséklet transzport jellemzésére a Prandtl számot használjuk a (2.4) definíció szerint: Pr= (2.4) ahol a hőátadási tényező. A hőmérsékletek dimenziótlanítására a súrlódási hőmérsékletet (T ) alkalmazzuk (2.5) szerint: T = qw c p u (2.5) Az eredményeket általában a dimenziótlanított fali koordináta függvényében adják meg, melyet definíció szerint a (2.6) ír le: y = u y (2.6) A Reynolds szám a legkisebb és legnagyobb örvények léptékének arányát is jellemzi, tehát ennek növekedésével a hálót finomítani kell. A csatornában kialakuló áramlás biztosan turbulens, ha az átlagos Reynolds száma nagyobb, mint A kutatások során általában ennél magasabb értékekkel dolgoznak, jellemzően között. Ennek numerikus számítására már az 1990 es évek elején lehetőség nyílt, nem meglepő hát, hogy erre az esetre vonatkózóan áll a rendelkezésre a legtöbb adat. A szerzők praktikus okok miatt általában a turbulens Reynolds számot adják meg, ez a fentiek szerint általában 180. Látható tehát, hogy a Reynolds szám növelésével drasztikusan növekedik a háló szükséges cellaszáma és ezzel együtt a számításigény is. Még nehezebb a helyzet, ha a Prandtl számot növeljük, mivel a hőmérséklet fluktuációk legkisebb mérettartománya fordítottan arányos Pr1/2 vel (bővebben lásd [1] és [2]). Ebből következik, hogy a hőmérséklet és a sebességmező felbontásához szükséges cellaszám hányadosa arányos a Prandtl szám 3/2 ik hatványával (bővebben lásd [3]) Irodalmi előzmények Napjainkban a turbulens hőátadásra egyre többen végeznek direkt numerikus szimulációkat különböző geometriai elrendezésekre. A kialakult turbulens csatornaáramlás a leggyakrabban vizsgált eset, köszönhetően egyszerű alakjának és annak, hogy segítségével mégérthetjük a szilárd fal és folyadék közötti hőátadás alapvető természetét. A témában az első kutatás Kim & Moin [4] nevéhez fűződik, három Prandtl számot vizsgáltak: Pr=0,1; 0,71 és 2; Re =180 mellett még 1989 ben. Állandó térfogati hőforrást és konstans fali hőmérsékletet tételeztek fel. Az átlaghőmérséklet, a hőmérséklet változás, valamint a turbulens hőáram profilokat közölték, de a magasabb rendű momentumokra 13

14 vonatkozó mérkegegyenletek tagjait nem részletezték. Később valamivel alacsonyabb Reynolds szám mellett, Re =150, Kasagi et al. [5] és Kasagi & Ohtsubo [6] végeztek számításokat Pr=0,025 és 0,71 re. Ők prezentálták a hőmérséklet változás, a turbulens hőáram és disszipációik mérlegegyenleteinek tagjait is. A falak mentén az átlagos hőáramot állandónak tekintették, de a pillanatnyi értéke változhat a helytől és időtől függően. Kawamura et al. [7] vizsgálták a Prandtl szám hatását, Pr=0,025 és 5 között nyolc lépésben Re =180 mellett. Mivel az eddig felsorolt eredményeket alacsony Reynolds számon kapták, érvényességük általánosságát óvatosan kell kezelni. Később [8] tovább emelték a Reynolds számot, egészen 395 ig. Mindkét esetben állandó fali hőáramot alkalmaztak fali peremfeltételnek. Wikström & Johansson a falak közötti állandó hőmérsékletkülönbség feltételt vizsgálták Re =265 esetén. A peremfeltételek hatását Seki et al. [9] részletesen ellenőrizték Re =180 és 395 mellett, miközben a Prandtl szám 0.71 volt. Napjainkban Fukugata et al. [10] folytattak kutatásokat a bőrsúrlódás csökkentése és a hővezetés javítása érdekében, ennek során az állandó hőáram és állandó hőmérsékletkülönbség feltételt is alkalmazták. 2.2 NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK A nagy örvény szimuláció egy erős eszköz a mérnökök kezében az időfüggő áramlási problémák megoldásához. Az utóbbi néhány évben gyors fejlődésen ment keresztül és az iparban is egyre szélesebb körben alkalmazzák. Mivel a kicsi örvényeket közelítő eljárásokkal modellezi, ezért fontos kérdés, hogy mennyire pontos a számítás és az adott problémánál melyik SGS modell használata javasolt. A módszer részletes bemutatására a negyedik fejezetben kerül sor. Chatelain et al. [11] a hőmérséklet eloszlás vizsgálatakor különböző numerikus módszereket hasonlított össze. Munkájukban rámutatnak, hogy jobb eredmény érhető el, ha a hőmérséklet transzport egyenletére regularizáló, a sebességére pedig középpontos sémát alkalmazunk, mintha mindkettőre az utóbbit használnánk. Montreuil et al. [12] öt különböző SGS modellt vizsgált a skalár transzport leírására, Fick féle és nem Fick féle módszereket egyaránt. 3 MATEMATIKAI HÁTTÉR 3.1 A SZÁMÍTÁSI TARTOMÁNY A dolgozatban két párhuzamos, végtelen kiterjedésű, 2 távolságú síklap közötti kialakult áramlást tanulmányozok. A tényleges számítási tartomány ennek egy 3 széles és 5 hosszú, téglatest alakú része, amely az (1. ábrán) látható. A későbbiekben használt koordinátarendszer a következőképp definiálható: x az áramlás iránya, y a fali normális 14

15 irány, míg z az előző kettőre merőleges irányba mutat. (1. ábra: Vizsgált geometria, forrás: [3]) A kiválasztott térről feltételezzük, hogy a belépéstől elegendően messze van, tehát az az áramképet már nem befolyásolja, az áramlás kialakultnak tekinthető. A vizsgált geometria oldalarányai úgy lettek meghatározva, hogy minden irányban azonos cellaszámot véve a felbontott örvénnyesség anizotrópiájához illeszkednek, ezért a numerikus szimuláció során a cellák hossz és keresztirányú méretének (x+ és z+) vizsgálatát mellőzöm, csak az y+ értékének megfelelő beállítását ellenőrzöm. 3.2 AZ ÁRAMLÁST LEÍRÓ EGYENLETEK Az áramlástanban a folyadékok mozgását irányító összefüggés a Navier Stokes egyenlet (3.1): ui u 2 u i 1 p u j i = xi t xj xj x j (3.1) és a kontinuitási egyenlet (3.2): ui =0 xi (3.2) ahol xi a koordináta irányokat, ui a a folyadékrész adott irányba eső sebességét, p a nyomást és t az időt jelöli. Bár a mérnöki gyakorlatban nagy sikereket ért el a Navier Stokes egyenlet, mégis a hét legfontosabb matematikai probléma között szerepel, mivel a megoldások egzisztenciája és unicitása, ami a lehetséges megoldások keresésének alapfeltétele, a mai napig nem bizonyított. Ennek ellenére a numerikus megoldások pontosan egyeznek a mérésekkel, így használata kézenfekvő. A (3.1) egyenlet implicit módon tartalmaz egy elhanyagolást, nevezetesen a sűrűséget 15

16 állandónak feltételezi, így a természetes konvekciót figyelmen kívül hagyjuk. A koordinátákat val, a változókat vel, u val és T val, a súrlódási hőmérséklettel dimenziótlanítjuk. Így a Navier Stokes egyenlet a (3.3), a kontinuitási egyenlet pedig a (3.4) alakban írható: 2 p 1 ui p u = i1 t x j x i Re x 2 x1 j u i j u i u i x i =0 (3.3) (3.4) ahol a (3.3) jobb oldalának utolsó tagja az áramlás irányú átlagos nyomás gradiens. 3.3 AZ ÁRAMLÁS PERIODIKUSSÁGA Az áramlást a kialakultnak tekinthető tartományban periodikusnak tekintjük, amihez a szükséges feltételeket először Patankar et al. [13] vezette le 1977 ben. Nem szabad azonban megfeledkezni arról, hogy a turbulencia, mint hely és időfüggő jelenség sosem lehet periodikus. Ez a tulajdonsága, bár még nem nyert explicit bizonyítást [14], feltehetően kaotikus viselkedéséből adódik. Mivel azonban a turbulencia jellemzőinek statisztikai átlagát vizsgáljuk, így a periodizálás nem okoz súlyos hibát. Tekintsük két kellően nagy síklap közötti áramlásnak egy olyan részét, mely elég messze van a belépéstől ahhoz, hogy a belépési problémát elhanyagolhassuk. Az így kapott térben az áramlás kialakultnak tekinthető. Vegyük észre, hogy ez a definíció ekvivalens azzal amikor végtelennek tekintjük a csatorna oldalait. A koordinátarendszert a 3.1 fejezetben tárgyaltaknak megfelelően vegyük fel. Ekkor nyilvánvaló, hogy az áramlásban a sebesség nagysága független az x koordinátától, amit dimenziótlan alakban a (3.5) összefüggés fejez ki. u =0 x (3.5) A (3.5) feltétel szerint az x irányú periodikusság végtelen rövid lehet. Az áramlás modellezésekor azonban figyelmbe kell venni a turbulencia hosszléptékét is, a vizsgálati tartományt úgy kell felvenni, hogy az minden irányban nagyobb legyen, mint a legnagyobb örvények adott irányú kiterjedése. A 3.1 fejezetben ennek szellemében jártam el. Lamináris esetben ezt a v=0 feltétel egészíti ki, de turbulens áramlásnál ez a pillanatnyi sebességekre nem igaz, csak az időátlagokra, ezért más peremfeltételt kell keresni. Most a vizsgált tartományt osszuk fel az áramlás irányában n darab L hosszúságú részre. A (3.5) egyenlettel összhangban felírható (3.6), mely a sebességmező 16

17 periodikusságát fejezi ki és turbulens esetben is helyes. u x, y, z =u x L, y, z =u x 2L, y, z =...=u x n L, y, z v x, y, z =v x L, y, z =v x 2L, y, z =...=v x n L, y, z w x, y, z =v x L, y, z =w x 2L, y, z =...=w x n L, y, z (3.6) Habár u, v és w nagysága folyamatosan változik az áramlási térben, a (3.6) összefüggés lehetővé teszi, hogy a sebességkomponenseket csak egy L hosszúságú térrészben vizsgáljuk. Továbbá a kialakult áramlás jellemzőit anélkül határozhatjuk meg, hogy a belépési problémával foglalkoznánk. Ahhoz, hogy a csatornában x irányú áramlás jöjjön létre, abban az irányban nyomásesésre van szükség, ebből következik, hogy nem vonatkozhat rá a sebességeket leíró periodikusság. Ha a nyomást felrajzoljuk az y koordináta függvényében egy tetszőleges x és x+l helyen vett keresztmetszetben, azt tapasztaljuk, hogy a két görbe alakja hasonló, csak el vannak tolva egy konstanssal. Ha az x+2l hez tartozó görbét is berajzoljuk, látható lesz, hogy az is ugyanannyival van eltolva lefelé, mint az x+l helyhez tartozó az x ben levőhöz képest. Következésképpen a (3.7) egyenlet minden x re teljesül: p x, y, z p x L, y, z = p x L, y, z p x 2L, y, z =... (3.7) Ez az állandó nyomásesés hozza létre az átlagos tömegáramot a csatornában. A (3.7) összefüggés alapján definiálható konstans (3.8) szerint: = p x, y, z p x L, y, z L (3.8) Ezután Patankar et al. [13] javaslata alapján érdemes a nyomást (3.9) szerint szétválasztanai: p x, y, z =P x, y, z x (3.9) Belátható, hogy a x okozza a globális tömegáramot, P(x,y,z) pedig a helyi mozgásokért felelős. Utóbbira a sebességeket leíró periodikusság is jellemző, vagyis (3.10) felírható: P x, y, z =P x L, y, z =P x 2L, y, z =... (3.10) 3.4 A HŐMÉSRÉKLET PERIODIKUSSÁGA A hőmérsékletmező leírásakor Patankar et al. [13] és Seki et al. [9] gondolatmenetét követtem. Hasonlóan ahhoz ahogy azt már a nyomás vizsgálatakor láttuk, ha a hőmérsékletet az y koordináta függvényében felrajzoljuk különböző x, x+l és x+2l helyeken, kiderül, hogy a kapott görbék hasonlóak, csak egy konstans értékkel el vannak tolva egymáshoz képest. Ebből adódik, hogy a (3.7) hez hasonlóan a hőmérsékletre felírható a (3.11) egyenlet: T x L, y, z T x, y, z =T x 2L, y, z T x L, y, z =... (3.11) 17

18 Ezt követően definiáljuk t (3.12) szerint: = T x L, y, z T x, y, z L (3.12) Könnyen belátható, hogy (3.13) szerint is felírható: = q m c p L (3.13) ahol q a fajlagos bevezetett hőmennyiség, m a tömegáram, cp pedig a folyadék fajhője. Ezután a hőmérséklet a nyomáshoz hasonlóan szétválasztható, melyet a (3.14) összefüggés mutat be: T x, y, z = x T x, y, z (3.14) T ról belátható, hogy (3.15) szerint periodikus: T x, y, z =T x L, y, z =T x 2L, y, z =... (3.15) A hőmérsékletre vonatkozóan kétféle peremfeltételt vizsgáltam. Az első esetben a fali hőáram nagysága volt állandó (Uniform Heat Flux UHF), a másodikban a falak állandó, de eltérő hőmérsékletűek (Constant Temperature Difference CTD) voltak. A két különböző feltételnél a számítás menete eltérő. Állandó fali hőáram esetén a transzformált hőmérsékletet célszerű a (3.16) nak megfelelően bevezetni: =T w T (3.16) ahol Tw a fali hőmérséklet. Ekkor a (3.14) összefüggés dimenziótlanítva a (3.17) alakot ölti: T x, y, z = d T m dx x x, y, z (3.17) ahol T m az ún. kevert átlaghőmérséklet, mely (3.18) szerint fejezhető ki: 1 T m 0 u 1 T dy = 1 0 u 1 dy (3.18) A jelen elrendezésben az áramlás irányú gradiense (3.19) egyenletté egyszerűsödik: d T m dx = 1 u 1 (3.19) ahol u 1 az átlagsebesség a keresztmetszetben. A fenti átalakítások után az energia egyenlet a (3.20) formában írható fel: 2 u 1 1 u j = 2 t x j Re Pr x j u 1 (3.20) 18

19 Az állandó hőmérséklet különbség esetén a transzformált hőmérskletet (3.21) szerint célszerű bevezetni: = T T 1 T 2 T 1 (3.21) A pillanatnyi hőmérséklet ebben az esetben is szétválasztható, ekkor a (3.14) egyenlet dimenziótlan formában a (3.22) alakot ölti: T T x, y, z = y x, y, z 2 (3.22) ahol T a két fal közötti hőmérsklet különbség. Ezt az energia egyenletbe beírva arra a (3.23) összefüggés adódik: 1 2 T u j = u2 2 t x j Re Pr x 2 j (3.23) 3.5 PEREMFELTÉTELEK A fenti egyenletek megoldásához szükség van megfelelő számú peremfeltétel megadására. A sebességekre vonatkozóan a falak felületén a szokásos tapadási törvényt alkalmazzuk, amit a (3.24) egyenlettel fejezhetünk ki: ui=0 az y=0 és y=2 helyeken (3.24) Amint azt az előző fejezetben megjegyeztük az egyik esetben a falakon állandó hőáramot feltételezünk. Ez azt jelenti, hogy a felületen időegység alatt átmenő átlagos hőmennyiség konstans, de a pillanatnyi értéke változhat térben és időben. Ennek megfelelően a hőmérsékletre vonatkozó peremfeltétel (3.25) szerint írható: =0 az y=0 és y=2 helyeken (3.25) Ezt a premfeltételt használják a DNS kutatások jelentős részénél. Ebben az esetben feltételezik, hogy a fal végtelenül jó hővezető és ezért a hőmérséklete is mindig állandó. Én ettől egy kicsit eltérő esetet vizsgáltam, mert csak a fali hőáramot írtam elő, de az előbbi egyszerűsítéssel nem éltem. A falakon használt másodfajú peremfeltételeket a (3.26) egyenlet írja le: =1 az y=0 helyen, x2 = 1 az y=2 helyen x2 (3.26) 19

20 A második esetben a falakon állandó a hőmérséklet, itt a hőáram változhat. Ekkor a peremfeltételek a (3.27) nak megfelelően alakulnak: = 1 az y=0 helyen, =1 az y=2 helyen (3.27) A feladat így már lezárt és megoldható. A következő fejezetben a szoftveres megoldás lépéseit mutatom be, majd a kapott eredményeket értékelem. 4 NUMERIKUS SZIMULÁCIÓ 4.1 A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ ELVE Ahogy a bevezetésben már megemlítettem, direkt numerikus szimuláció során az áramlás összes mérettartományát felbontják, így ez az eljárás adja az elméletileg elérhető legpontosabb eredményt. Ugyanakkor éppen a teljes felbontás adja a módszer legnagyobb gyakorlati hátrányát is, mivel óriási számítási kapacitást igényel. Ebből kifolyólag az elérhető számítógépes erőforrások a viszonylag alacsony Reynolds számú tartományokra korlátozzák a kutatásokat. Mint a neve is sugallja a nagy örvény szimuláció az áramlásnak csak a nagyobb léptékű részeit próbálja meg leírni. A DNS hez hasonlóan itt is a Navier Stokes egynletet oldják meg, de a háló térbeli felbontása nem elégséges a legkisebb örvények modellezésére. Ebből adódóan a LES a valóságos áramlás egy olyan közelítését adja, melyből egy bizonyos méret alatti rész hiányzik. Ugyanakkor dinamikai szempontból a kis mérettartományok is fontosak lehetnek, ezért az eredmény korrekcióra szorul. Ezt úgy oldják meg, hogy egy új tagot adnak a mozgásegyenlethez, amit SGS (Subgrid Scale) modellnek nevezünk. Legfőbb tulajdonsága, hogy csak a LES által felbontott legkisebb léptékeket módosítja, pontosítja ezek leírását, miközben a nagyobbakat nem befolyásolja. A nehézséget az adott geometriához és numerikus módszerhez megfelelő SGS típus kiválasztása jelenti. Ennek bonyolultsága és terjedelme meghaladja jelen dolgozat célkitűzéseit. Ahhoz, hogy csak a nagy örvényeket vegyük figyelembe a teljes sebességmezőt szűrnünk kell. Így a Navier Stokes egyenletet csak a felbontott mérettartományra oldjuk meg, a kisebbeket az SGS modell segítségével közelítjük. A LES ben általánosan használt szűrő operátort a (4.1) egyenlet mutatja be: x, t = V G y x, x y, t d y (4.1) ahol G a magfüggvény, melynek (4.2) nek megfelelően kompakt tartójúnak kell lennie, valamint teljesülnie kell (4.2) nek: V G r, x d r =1 (4.2) Az előző összefüggésekben a szűrő szélességére utal. Lényegében a nál nagyobb örvények nagynak tekintjük és kiszámítjuk, az ennél kisebbeket pedig csak modellezzük. Ha a G függvény homogén és izotróp, akkor a szűrt Navier Stokes egyenlet (4.3) szerint 20

21 írható fel: u i u i u j 2 u i ij 1 p = 2 xi t xj x j xj (4.3) A kontinuitási egyenlet lineáris, ezért az továbbra is a (3.5) alakban írható. A (4.3) összefüggésben szereplő ij t tradícionálisan hálóméret alatti (SGS) feszültségnek nevezik. Valójában szűrőméret alatti feszültség lenne a helyes megnevezése, mivel tól függ, ami viszont, mint később látni fogjuk, elméletileg független a hálótól. Az SGS feszültség (4.4) egyenlettel fejezhető ki: ij =ui u j u i u j (4.4) A (4.5) összefüggés jobb oldalának első tagját nem lehet kiszámolni, ezért ij re az örvényviszkozitás modellt használjuk, így a (4.5) kifejezés adódik: 1 ij kk ij = 2 t S ij 3 (4.5) ahol az örvényviszkozitás, ezt kell valahogyan közelíteni. Az első és legelterjedtebb megoldást Smagorinsky dolgozta ki, melyet a (4.6) összefüggés mutat be: 2 t = C S S (4.6) ahol S az alakváltozási tenzorból számolható és a (4.7) egyenlettel definiálhatjuk: S = S ij S ij (4.7) CS pedig a Smagorinsky konstans, mely különböző módszerekkel határozható meg, például mérési vagy DNS eredményekből. 4.2 HÁLÓ KÉSZÍTÉS Numerikus szimuláció során a problémát modellező differenciálegyenleteket nem analitikusan oldjuk meg, hanem azokat valamilyen módszer segítségével differenciaegyenletekkel helyettesítjük. Mivel ezek az egyenletek a tér adott pontjaiban érvényesek, ezért a megoldás sem lesz folytonos. Az eredmény pontossága nagyban függ attól, hogy a vizsgált tartományt hogyan diszkretizáljuk. Mivel a csatorna geometriája egyszerű, ezért a háló elkészítése nem jelent akkora problémát, mint egy átlagos mérnöki feladatnál. Ettől függetlenül persze néhány dologra különös figyelmet kell fordítani. A hálót a Gambit szoftver segítségével készítettem. Az alapelgondolás az volt, hogy először 40x40x40 cellára osztom a csatornát, ami már elég ahhoz, hogy a kiszámított áramlás turbulens legyen. Ennek segítségével meg tudtam határozni, hogy mekkorának kell lennie a fal melletti első cellának és az áramlás főbb jellemzőiről is nagyságrendi képet kaptam. Ezt követően létrehoztam egy 72x72x72 elemet tartalmazó hálót, amit később a végső számításnál használtam. 21

22 A háló néhány egyszerű lépésben előállítható: A csatorna magasságának felét ( ) egységnyinek választva létrehoztam egy téglatestet az (1. ábrának) megfelelően. Tekintve a 3. fejezetben leírtakat, az áramlás periodikus, mind x és z irányban, ezért szükséges a megfelelő oldalak összekapcsolása. Két párt hoztam létre, az egyik az áramlásra merőleges két lapból áll, a másikat az áramvonalakkal párhuzamos kisebb téglalapok alkotják. Erre azért van szükség, mert ahhoz, hogy a periodikus peremfeltételt pontosan definiálhassuk garantálni kell az egyforma hálót a felületpárokon. Ezek után az élek hálózása következett. Mivel a csatorna méreteit úgy határoztuk meg a 3.1 fejezetben, hogy az már tartalmazza a turbulencia anizotrópiáját, ezért x és z irányban egyforma hosszúságú részekre osztottam az oldalakat. Y irányban sűríteni kell a hálót, hogy a fali határréteg is megfelelően fel legyen bontva. Itt a Successive Ratio opciót használtam kétoldali sűrítéssel, melynek mértéke mindkét oldalnál 1,05 volt. Így az első cella mérete 0, lett. A három élen lévő háló egyértelműen meghatározza a testhálót, így ennek generálása már nem jelent problémát. A lapokra vonatkozó peremfeltételeket is itt kell megadni, beállítottam az előbb említett két periodikusságot, valamint a fennmaradó két oldalt alsó és felső falként definiáltam. 4.3 NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ FLUENT PROGRAMMAL A szimulációt Fluenttel végeztem, melyben a lamináris és RANS modellek mellett lehetőség van nagy örvény számításra is. A különböző hőmérséklet peremfeltételek miatt két számításra van szükség, az egyikben az átlagos fali hőáram, a másikban a fali hőmérséklet állandó. A DNS eredményekkel való összehasonlíthatóság miatt a kiindulási adatok Pr=0,71 és Re =180. Időfüggő szimulációt végeztem másodrendű implicit formulációval. A számítás három dimenzióban, nyomás alapú implicit módszerrel történt. A nagy örvény számításhoz a sebességek pontosítására a Smagorinsky Lilly féle SGS modellt használtam dinamikus feszültségek opcióval. A Fluent periodikus peremfeltétel esetén lerögzíti a hőmérsékletet egy cellában azért, hogy az ne növekedhessen a végtelenségig. Viszont ennek következtében mindkét peremfeltétel esetében hibás lesz az eredmény. Mivel a (3.1) egyenletben már feltételeztük, hogy a közeg összenyomhatatlan, vagyis a hőmérséklet változása nem módosítja a tulajdonságait, ebből kifolyólag a hőmérséklet modellezhető passzív skalárként, s ez megoldja a fenti problémat is. A hőmérsékletmezőre semmilyen SGS modellt nem használtam, tehát a fel nem bontott skálákat teljesen elhanyagoltam. Ezután a közeg anyagjellemzőit adtam meg. Mivel a kiértékelést dimenziótlanított mennyiségekkel végzem, ezért az egyszerűség kedvéért a független anyagjellemzőket egységnyinek választottam. A DNS kutatások során az áramlást a periodikus falak között 22

23 előírt nyomáseséssel hozzák létre, így Re értékét közvetlenül be tudják állítani. Én az átlagos Reynolds számot állítottam be a tömegáram meghatározásával. Az áramlás irányára 2 merőleges keresztmetszet nagysága Az átlagsebességet A=2 2 =12,566 m. kg m ub =1 és a sűrűséget =1 3 egységnyinek feltételezve a tömegáramra (4.8) s m adódik: m = A ub =12,566 kg s (4.8) A (4.1) szerinti tömegáramot létrehozó nyomásgradienst a Fluent számítja ki és minden iterációs lépés után korrigálja. Az átlagos Reynolds szám értékét úgy vettem fel, hogy az egyezzen a Kasagi [17] által találttal, mivel az áramkép validálásánál azt veszem majd referenciának. Ennek megfelelően Reb=3245 öt felvéve a kinematikai viszkozitás számítható (4.9) nek megfelelően: = u b kg =3, ; Re b m s (4.9) Mivel a Prandtl szám adott, így a hőátadási tényező (4.10) szerint kifejezhető: = 4 kg =4, Pr m s (4.10) Fontos a peremfeltételek megfelelő megadása is, a két periodikussal nincs további teendő, de a falakra elő kell írni első esetben az állandó hőáramot, a másodikban az állandó hőmérsékletet. Az UHF esetében a falakon keresztül bekerülő hőt el kell vonni, különben a hőmérséklet a számolás során végig emelkedni fog. Erre a tanszéki fejlesztésű, C ben írt átlagoló program megfelelő forrástag függvényét használtam. Ez annyi hőt von ki egyenletesen a térfogatból, mint amennyi a falakon beérkezik, így anélkül küszöbölhető ki a túlmelegedés, hogy a hőszállítás jellemzőit befolyásolnánk, ugyanakkor az x irányú átlaghőmérséklet növekedést elveszítjük. A nyomás diszkretizálására másodrendű, a hőmérsékletre harmadrendű, míg a sebességre kötött középpontos differenciáló (Bounded Central Differencing) sémát alkalmaztam a lehető legpontosabb eredmény érdekében. A sebesség és nyomás összekapcsolására a SIMPLE eljárást használtam. Az alulrelaxációs faktorok módosításával elméletileg csökkenthető a számításigény, de a próbák azt mutatták, hogy nem gyorsul a konvergencia, ezért az alapbeállítással futtattam a számítást. Az inicializálás során a hőmérsékletet nullára állítottam, az x irányú sebességet pedig 1 re. Ezt követően a három sebességkomponenst állítottam be egy ad hoc függvénnyel. Ezzel egy instabil állapotot hoztam létre, ami garantálta, hogy turbulens lesz az áramkép. Minderre azért volt szükség, mert a viszonylag alacsony Reynolds szám miatt előfordulhat, hogy a lamináris áramlásként inicializált számítás nem csap át turbulensbe, hanem megmarad egy instabil lamináris állapotban. Az alkalmazott függvény a (4.11) összefüggés 23

24 volt: f x, y, z =0,3 sin 3 x y z (4.11) Mindkét szimuláció során figyelemmel követtem az y=1 egyenletű sík (azaz a középsík) átlaghőmérsékletét, a falak melletti áramlás irányú nyírófeszültség átlagos értékét, valamint egy keresztmetszetben az y és z irányú sebességkomponensek négyzetösszegének a síkra vett térbeli átlagát. A CTD peremfeltétel esetében vizsgáltam továbbá az áramlási térben előforduló legnagyobb hőmérsékletet is. Az időlépés nagyságát úgy kell meghatározni, hogy a leggyorsabban mozgó részecske se haladhasson egy cellánál többet egy lépés alatt. Ellenkező esetben a számítás pontatlanná válik. Az előzetes szimulációk alapján úgy találtam, hogy az előforduló m legnagyobb sebesség nagysága v max =1,35. Ennek felhasznlásával az időlépés (4.12) s szerint meghatározható: t= ahol ,16 s 72 v max (4.12) a cellák x irányú hossza. A szimuláció során először a tranzíciós szakaszt kell kiszámolni, amelynek során az áramlás az inicializált állapotból eljut a kialakultnak tekinthető fázisba. Annak eldöntése, hogy ez pontosan mikor következik be igen nehéz, a fentebb említett figyelemmel kísért mennyiségek változásából próbáljuk meg meghatározni. Mindez azért lényeges, mert a turbulencia statisztikai jellemzőit úgy tudjuk meghatározni, hogy a vizsgált mennyiségeket időben átlagoljuk. Amennyiben ezt túl korán kedjük el valószínűleg nagy hibát fog okozni a tranziens szakasz jelentős változékonysága. Az átlagolást a korábban említett tanszéki program végzi. Ennek működéséhez felhasználói memória helyeket (User Defined Memory) kell létrehozni Fluentben, ezekben tárolódnak az átlagolt értékek. Ezeket úgy számolja a kód, hogy minden időlépés végén lekérdezi az adott mennyiség pillanatnyi értékét és azt súlyozva hozzáadja az előző lépésbelihez. Az is fontos, hogy mennyi időn keresztül végezzük az átlagolást. Elméletileg végtelenül hosszan kellene, általánosságban elmondható, hogy minél tovább, annál pontosabb lesz az eredmény. Ideális minimumnak tekinthető Kawamura [16] összefüggése, melyet a (4.13) egyenlet prezentál: t avg= u2 (4.13) Ez az időmennyiség jelen esetben a csatorna kb. 50 átöblítésének felel meg. Kasagi [17] valamivel hosszabb átlagolási időt javasol (4.14), ami közelítőleg 75 átáramlást jelent: t avg= 5 u (4.14) 24

25 5 KIÉRTÉKELÉS ÉS VALIDÁLÁS 5.1 A SZIMULÁCIÓ FUTÁSÁNAK ELLENŐRZÉSE A futtatás során a számítás ellenőrzésére az előző fejezetben említett néhány alpvető mennyiség alakulását követtem figyelemmel. A (2. ábrán) az UHF, a (3. ábrán) a CTD peremfeltételhez tartozó eredmények időlépésenkénti alakulása látható. (2.a ábra: Az y és z irányú sebességkomponensek négyzetösszegének a síkra vett térbeli átlaga) 25

26 (2.b ábra: Az y=1 egyenletű középsík átlaghőmérséklete) (2.c ábra: Az x irányú fali nyírófeszültség két falon vett átlaga) 26

27 (3.a ábra: Az y és z irányú sebességkomponensek négyzetösszegének a síkra vett térbeli átlaga) (3.b ábra: Az y=1 egyenletű középsík átlaghőmérséklete) 27

28 (3.c ábra: Az x irányú fali nyírófeszültség két falon vett átlaga) (3.d ábra: Az áramlási térben előforduló legmagasabb hőmérséklet) 28

29 A CTD peremfeltétel esetén az átlagolás során vizsgáltam az áramlási térben előforduló legmagasabb hőmérsékletet (lásd 3.c ábra), de nem találtam a Chatelain et al. [11] által jelentett irreális értékhez hasonló jelenséget. Valószínű, hogy ez a numerikus eljárásukból adódó hiba volt. Először a tranzíciós szakaszt számítottam ki, aminek hossza közelítőleg 1000 időlépésnek, azaz körülbelül 10 átáramlásnak adódott. Ezt követően kapcsoltam be a tanszéki átlagoló programot, melyet további időlépésen keresztül futtattam. Ez 2080s áramlási időnek és kb. 130 teljes átáramlásnak felel meg. Ellenőrzés szempontjából fontos mennyiségek továbbá az x irányú sebesség, a csatornán keresztül haladó tömegáram, a fal melletti első cellában y+ értéke és a turbulens Reynolds szám. Az első kettőnek a t=2240s időpillanathoz tartozó, utóbbi kettőnek az átlagolás során kapott értékét, és ezek célértékét tüntettem fel az (1. táblázat) ban: (1. táblázat: Ellenőrzött mennyiségek) x irányú sebesség [m/s] Peremfeltétel Valós Cél UHF 1, CTD 0, Tömegáram [kg/s] Valós Cél y+ az első cellában Valós Reτ Cél Valós Cél 12, ,566 0, , ,566 0, Lényeges még a Courant szám cellákban vett értékének eloszlása is. Ezzel ellenőrizhető a számítás időbeli felbontása. Az adott áramlás esetén ennek az átlaga egy körüli kell, hogy legyen. Továbbá törekedni kell arra, hogy minél kevesebb cellában kapjunk egy fölötti értéket. A (4.a ábrán) látható hisztogram prezentálja a Courant szám eloszlását a teljes vizsgált tartományban. Látható, hogy az előbbi feltételeknek megfelelő mértékben sikerült eleget tenni, az átlagos Courant szám C=0, , maximális értéke Cmax=1, és a cellák több, mint 95% a 1,2 alatt van. A (4.b ábra) mutatja az y+ értékének alakulását a két fal mellett. Maximuma y+max=1,549662; átlaga y+=0, ; egy cellában sem kisebb az értéke mint 0,6; tehát a fal melletti réteg felbontása megfelelő. 29

30 (4.a ábra: A cellák Courant számának eloszlása a teljes áramlási térre vonatkoztatva) (4.b ábra: y+ megoszlása a falak melletti első cellarétegekben) 30

31 5.2 FELTÉTELES ÁTLAGOLÁS A számítás során a tanszéki program segítségével ún. feltételes átlagolást végeztem, melyről bővebb leírás található Lohász et al. [16] cikkében. A feltétel a Q kritérium volt, melynek segítségével a vizsgált mennyiségeket négy különböző csoportra bontottam. Annak függvényében, hogy egy cella az adott pillanatban melyik Q osztályba tartozik, a változókat külön átlagolja. Így minden csoportra külön eredmény adódik, melyeket az adott osztályba való tartozás idejével súlyozni kell, majd a vizsgált mennyiségeket csoportonként összegezni. Az így kapott időbeli átlagokat térben vízszintes síkonként újból átlagoltam. Az ilyenformán adódó eredményeket használtam a sebesség és hőmérséklet profilok elkészítéséhez. A Q kritériumról bővebben az 5.5 fejezetben lesz szó. 5.3 SEBESSÉGMEZŐ VALIDÁLÁSA A sebességek vizsgálatakor Kawamura [19] és Kasagi [20] DNS eredményeihez hasonlítom a számításomat. A sebességprofilok a hőmérséklet peremfeltételtől függetlenek, ezért itt nem közlöm őket külön külön. Az x irányú átlagsebességet u val dimenziótlanított formában és a fali koordináták függvényében a (5. ábra) mutatja be: 31

32 Átlagsebesség 25 u_mean LES Kasagi Kawamura y+ (5.a ábra: Dimenziótlan sebességprofil a fali koordináták függvényében) Átlagsebesség 25 u_mean LES Kasagi Kawamura y+ (5.b ábra: Logaritmikus dimenziótlan sebességprofil a fali koordináták függvényében) 32

33 A három sebességkomponens rms értékét a fali koordináták függvényében a (6. ábra) szemlélteti, a dimenziótlanítás itt is uτ val történt. Sebesség-ingadozások rms értéke 3.5 u'+ v'+ w'+ u'+ (Kasagi) v'+ (Kasagi) w'+ (Kasagi) u'+ (Kawamura) v'+ (Kawamura) w'+ (Kawamura) 3 u'+ v'+ w' y+ (6. ábra: Sebességkomponensek ingadozásának rms értéke a fali koordináták függvényében) A két előző ábrából jól látható, hogy a profilok jellege megfelelő, azonban pontosságuk hagy kívánni valót maga után. A maximális relatív hiba megközelíti a 25% ot. Ennek oka feltehetően az, hogy ilyen kis cellaszám mellett nagy örvény szimulációval csak kisebb tartományt vizsgálva kapható pontosabb eredmény. A kisebb modellezett tér azonban felveti a kérdést, hogy elegendően nagy e ahhoz, hogy a turbulencia hosszléptékét magába foglalja. A (7. ábra) egy pillanatnyi hőmérséklet eloszlást mutat a két falon. Jól megfigyelhetők a felső lapon lévő, a tartomány hosszának felénél határozottan nagyobb örvények, melyekből arra következtethetünk, hogy ezek alapján 3 nál rövidebbre nem vehető a vizsgált térfogat hosszúsága. 33

34 (7. ábra: Pillanatnyi hőmérséklet eloszlás a falakon UHF peremfeltétel esetén) 5.4 A HŐMÉRSÉKLET ELOSZLÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA Az UHF peremfeltétel A transzformált hőmérséklet eloszlása Tτ val dimenziótlanítva a csatorna keresztmetszetében a (8. ábrán) látható. 34

35 Hőmérséklet-eloszlás T_mean T_mean T_mean (Kasagi) T_mean (Kawamura) y+ (8.a ábra: Dimenziótlanított hőmérséklet eloszlás a fali koordináták függvényében) Hőmérséklet-eloszlás T_m ean T_mean T_mean (Kasagi) T_mean (Kawamura) y+ (8.b ábra: Logaritmikus dimenziótlanított hőmérséklet eloszlás a fali koordináták függvényében) 35

36 A transzformált hőmérséklet fluktuációja a (9. ábrán) látható. A DNS eredményektől való eltérés a különböző peremfeltételből adódik. Jól látható, hogy az általam vizsgált esetben a hőmérséklet ingadozása a falon nem nulla, mivel nem használtam azt az egyszerűsítést, hogy a fal hővezetése végtelen nagy. Így nagyobb gradiensek alakulhatnak ki, melyek hatékonyabb hővezetést tesznek lehetővé a fal közelében, ami magyarázza a görbék eltolt helyzetét. Hőmérséklet-ingadozások rms értéke 3.5 T' T' (Kasagi) T' (Kawamura) T' y+ (9. ábra: Transzformált hőmérsklet ingadozásának rms értéke Tτ val dimenziótlanítva a fali koordináták függvényében) 36

37 5.4.2 A CTD peremfeltétel A transzformált hőmérséklet eloszlása a csatorna keresztmetszetében a (10. ábrán) látható. Hőmérséklet-eloszlás T_mean T_mean T_mean (Seki) y (10. ábra: Transzformált hőmérséklet eloszlás a csatorna keresztmetszetében) 37

38 A transzformált hőmérséklet ingadozását a (11. ábra) szemlélteti. Hőmérséklet-ingadozás rms értéke T' 0.07 CTD y+ (11. ábra: Transzformált hőmérsklet ingadozásának rms értéke Tτ val dimenziótlanítva a fali koordináták függvényében ) Korrelációk A két peremfeltétel kereszt korrelációit a könnyebb áttekinthetőség kedvéért közös grafikonban ábrázolom. A (12. ábrán) az x és y irányú sebességek korrelációja látható. A csatorna belsejében kb. y =60 nál nagyobb értékeknél a nyírófeszültség már lineárisan közelíthető, mely analitikusan levezethető. Az általam kapott eredmény ennél magasabb, ami arra utal, hogy mivel az SGS feszültséggel nincsenek korrigálva az adatok, ott annak negatívnak kell lennie. + 38

39 Sebesség korreláció 0.9 uv+ uv+ (Kasagi) uv+ (Kawamura) uv y+ (12. ábra: x és y irányú sebességkomponensek korrelációja) Az x irányú sebesség és a hőmérséklet korrelációját a (13. ábra), míg az y irányú sebesség és a hőmérséklet korrelációját a (14. ábra) szemlélteti. Sebesség-hőmérséklet korreláció u-t 0.6 CTD UHF y+ 39

40 (13. ábra: u' ' korreláció a fali koordináták függvényében) Sebesség-hőmérséklet korreláció CTD UHF v-t y+ (14. ábra: v' ' korreláció a fali koordináták függvényében) Az UHF és a CTD peremfeltételek között a legnagyobb különbség a csatorna közepénél mutatkozik. Állandó hőáram esetén az v' ' kereszt korrelációs együttható a középsíknál nullához tart, mert a falra merőleges irányú turbulens hőáram inverz módon szimmetrikus a csatorna középsíkjára. Az állandó hőmérséklet különbség esetén u' ' hasonló okok miatt tart nullához. A másik két esetben, az UHF nél u' ', míg CTD nél v' ' közel állandó marad egészen a csatorna közepéig. Ennek oka, hogy a megfelelő irányú turbulens hőáram is konstans. Mivel a korábban többször említett tanszéki átlagoló az UHF peremfeltétel esetére lett kifejlesztve, ezért működése korlátozott volt a CTD számítása során. Ennek következtében a (13. és 14. ábra) elkészítéséhez lineáris transzformációkat kellett alkalmaznom. A (15. ábra) a sebességmező és a hőmérséklet pillanatnyi eloszlását mutatja a t=2240s időpontban. A két kép inverz hasonlóságából jól látható, hogy a konvektív hővezetés egyértelműen domináns, a konduktív hőtranszport szinte elhanyagolhatóan kicsi. 40

41 (15.a ábra: Pillanatnyi sebességeloszlás a periodikus falakon) (15.b ábra: Pillanatnyi hőmérséklet eloszlás a periodikus falakon) 41

42 5.5 KOHERENS STRUKTÚRA A koherens struktúra alapötlete, hogy a sebességkomponensek ingadozó tagját felbontják egy koherens mozgásra és egy turbulens háttérre. Az az elképzelés, hogy a koherens mozgás sokkal könnyebben leírható, mint az utóbbi, ugyanakkor dinamikai szempontból is meghatározóbb. Jeong & Hussian [16] szerint a koherens struktúrát térben koherens, időben fejlődő örvénylő mozgás alkotja. A turbulencia koherens struktúráinak vizsgálatakor a Q kritériumot használtam az örvények azonosítására, ahol Q az (5.1) egyenlet szerint a sebességgradiens tenzor második invariánsa: 1 Q= ij ji S ij S ji 2 (5.1) ahol ij az örvénytenzor, melyet definíció szerint az (5.2) összefüggés ír le: 1 ij = i u j j ui 2 (5.2) Sij pedig az alakváltozási tenzor, mely az (5.3) szerint fejezhető ki: 1 S ij = i u j j u i 2 (5.3) Bővebb leírásért lásd [17], valamint [18], utóbbiban más leírási módszerek (például 2) részletes bemutatása is megtalálható. A szimuláció során négy Q osztályt definiáltam, ezek határait ad hoc módon a következőkben állapítottam meg: Első osztály: < Q < 0 Második osztály: 0 < Q < 0,01 Harmadik osztály: 0,01 < Q < 0,1 Negyedik osztály: 0,1 < Q < A (16. ábrán) adott pillanatban kialakuló Q= állandó felületek láthatóak. 42

43 (16.a ábra: Q iso felületek; kék: Q=0; zöld: Q=0,01) (16.a ábra: Q iso felületek; sárga: Q=0,1; piros: Q=0,2) 43

44 A (2. táblázat) a Q osztályokba tartozás százalékos arányát mutatja, a két peremfeltétel mellett feltüntettem Lohász Máté [17] eredményeit is. Ez részben megerősíti a konzulensem által felfedezetteket, miszerint az örvényesség nem a leggyakoribb folyadék állapot a turbulenciában. Ő úgy találta, hogy a blokkolt csatornaáramlásban az örvények valószínűsége 40%, lásd [17] oldalán. Meglepő módon a bordát nem tartalmazó csatornában ugyanazzal a számítási módszerrel ennél valamivel magasabb értéket kaptam, 42% ra adódott az örvények aránya az áramlásban. Az előzőek ellent mondanak az intuíciónak, miszerint a borda felkavarja az áramlást, sok új örvényt létrehozva. Mindez látszólag arra utalhat, hogy jobb hűtést lehet elérni borda nélkül, de ez nyilvánvalóan nem igaz. Ez valószínűleg azzal magyarázható, hogy a konzulensem által vizsgált csatornában az átlagos örvények nagyobb intenzitásúak, amik jobb hatásfokkal szállítják el a hőt. Sajnos ennek vizsgálata nem megoldható, mert a Q osztályokra előírt határok nem konzekvensek, ad hoc módon lettek meghatározva. Továbbá nem szabad megfeledkezni a borda felületnövelő hatásáról sem, ami szintén a jobb hőtranszportot segíti. (2. táblázat: Q osztályok százalékos aránya a különböző peremfeltételek esetén) Vizsgált eset QI [%] QII [%] QIII [%] QIV [%] UHF 57,79 9,96 22,04 10,20 CTD 57,83 9,90 21,93 10, ,7 38,8 1,4 0, ,6 1,9 0,08 1: lásd [17] 147. oldalán A (3. táblázatban) található a Q osztályok átlagos x irányú sebessége. Jól látható, hogy minél nagyobb intenzitású egy örvény, annál lassabban halad az áramlás irányában. (3. táblázat: Q osztályok átlagos x irányú sebessége) Peremfeltétel QI QII QIII QIV UHF 1,0032 1,0254 0,9992 0,9548 CTD 1,0032 1,0253 0,9992 0,

45 6 ÖSSZEFOGLALÁS A szakdolgozatom során megismerkedtem a direkt numerikus szimuláció és a nagy örvény szimuláció alapvető elméleti hátterével, a csatornaáramlásban való alkalmazásuk fontosabb irodalmi eredményeivel, valamint elsajátítottam a periodikus hőátadás számításának módját. Ezt követően nagy örvény szimuláció segítségével vizsgáltam végtelen síklapok közötti kialakult turbulens áramlásban a hőtranszportot különböző termikus peremfeltételek esetén. A sebesség és hőmérsékletmező főbb mennyiségeinek pillanatnyi értékeit valamint időbeli és térbeli átlagait is tanulmányoztam. A kapott eredmények alátámasztják a nagy örvény szimuláció létjogosultságát, ugyanakkor a kapott nagy relatív hiba miatt a további eredmények fenntartással kezelendőek. A hiba oka feltehetően az adott cellaszám mellett vizsgált túl nagy tartomány volt, ezt célszerű volna újabb számításokkal ellenőrizni. A kiértékelés során feltételes átlagolást végeztem a Q kritérium alapján. Az örvényesség vizsgálatakor kimutattam, hogy a turbulens áramlásban nem az örvények a leggyakoribbak, valamint hogy minél nagyobb intenzitású egy örvény, az áramlás irányában annál lassabban halad. 45