A hőmérséklet-megoszlás és a közepes hőmérséklet számítása állandósult állapotban

Átírás

1 A HŐMÉRSÉKLET ÉS HŐKÖZLÉS KÉRDÉSEI BETONRÉTEGBE ÁGYAZOTT FŰTŐCSŐKÍGYÓK ESETÉBEN A LINEÁRIS HŐVEZETÉS TÖRVÉNYSZERŰSÉGEINEK FIGYELEMBEVÉTELÉVEL Általános észrevételek A sugárzó fűtőtestek konstrukciójából következik, hogy a hőleadó felületen képzelt koordináta-rendszer koordinátái szerint változó hőmérséklettel kell számolnunk. Ha elfogadjuk a csőkígyóba be- és onnan kilépő fűtőközeg hőfokának számtani közepét fűtővíz-hőmérsékletnek, akkor a hőleadó testben vagy testen elhelyezett csőszálak közötti hőmérséklet-változást és az ebből adódó közepes hőmérsékletet kell meghatároznunk. A számítás menetében bizonyos változást okoz az, hogy betonba vagy vakolatba beágyazott avagy fémlemezzel kapcsolatba hozott csőkígyóval van dolgunk. A berendezések méretezésének tárgyalásakor látni fogjuk, hogy a fűtőfelület közepes hőmérséklete szinte kivétel nélkül előre megválasztható, s így feladatunk ennek alapján a fűtőtest konstrukciójának és a fűtőközeg hőmérsékletének meghatározása. A következőkben tehát adott közepes felületi hőmérséklet esetén az egyes konstrukciós megoldásokban az menettávolságot, s ebben elsősorban a csőfalon beálló hőmérsékletet fogjuk meghatározni. A hazánkban érvényes következő számítási mód alapgondolata KALOUS prágai tanártól ered, továbbfejlesztésén KOLLMAR érdemesen dolgozott, de e téren a külföldi szerzők is megemlékeznek a Budapesti Műszaki Egyetem Épületgépészeti I. Tanszékének jelentős tevékenységéről. A hőmérséklet-megoszlás és a közepes hőmérséklet számítása állandósult állapotban A megoldás igen vékony =0,001 0,00 m és jó hővezetési tényezőjű lemezekben szolgáltat szinte teljesen pontos eredményt, tehát olyan esetben, ha az ún. tényező értéke =h = = ,001=1 10 (1) nagyságrendű. Az összehasonlító számítások azonban azt is mutatják, hogy a kétirányú hővezetés figyelembevételével nyert eredményektől a tényező lényegesen nagyobb értéke esetén a lineáris hővezetésen alapuló számítások csak a gyakorlatban megengedhető kis mértékben térnek el. Az érvényességi határt = 10 0,03=0,3 () 1 1

2 nagyságban szabhatjuk meg. Természetes itt a =0,3 értékben nem a benne szereplő tényezők egyedi értékei fontosak. A 0,3-et ezúttal betonrétegbe ágyazott csőkígyó figyelembevételével számítottuk. A hőmérséklet-megoszlás számítása érdekében a következő feltételezésekkel éltünk: a) a sík felületű fűtőtest méretei igen nagyok, vastagsága 0,07 0,08 m; b) a fűtőtest anyaga beton, amely homogén és izotrópnak tekinthető; c) a betonrétegben egymástól távolságban fűtőcsövek helyezkednek el, amelyeket első közelítésben szélességű, de elenyésző vastagságú, hőmérsékletű pántoknak tekintünk (1. ábra); d) a betonréteget mindkét síkja felől hőmérsékletű környezet övezi (. ábra); e) a betonréteg hővezetési tényezője, hőátadási tényezője fölfelé, lefelé ; f) a hőáramlás az -ben képzelt szimmetriasíktól jobbra és balra egymásnak tükörképe (analóg a két végén beágyazott tartóval). Az =0 síkban elhelyezkedő szélességű hőmérsékletű pánttól távolságban levő keresztmetszeten vezetés útján átáramló hő = (3) illetve = túlhőmérséklettel kifejezve = (4) 1. ábra. Sugárzó fűtőtest elvi szemléltető vázlata. ábra. Sugárzó fűtőtest hőmérséklet megoszlásának számítása

3 A következőkben =1 m széles síkra vizsgáljuk a hőmérséklet-megoszlást, így = (5) Az + távolságban levő keresztmetszeten = (6) hő áramlik át. A kettő különbsége az 1 felületről felfelé és lefelé átadott hő, azaz = + =, (7) amiből rendezés után nyerjük, hogy + = 0 = (8) mivel az egyenlet jobb oldalán az első differenciálhányadosok differenciálhányadosának limesze, azaz a második differenciálhányados szerepel. A együtthatójára vezessük be az + = (9) jelölést, minthogy ez a hányados csak pozitív szám lehet. Így a =0 (10) ismert differenciálegyenletet nyerjük. Ennek céljainknak megfelelő egyik általános megoldása = + (11) A és állandókat a határfeltételekből számíthatjuk. Ugyanis ha =0, akkor = (1) 3

4 és a szimmetrikus hőáramlás miatt az középvonalon hő nem áramlik át, azaz ha =, akkor =0 (13) Az első feltételből = = + (14) s ebből = (15) A második feltételből = =0 (16) = =0 (17) s így = + (18) amiből = + (19) Viszont = = 1 + (0) illetve 4

5 = + (1) Behelyettesítve (11)-be nyerjük, hogy = + + () + azaz + = + (3) Felhasználva, hogy + =h nyerjük, hogy = h h (4) A kapott eredmény a határfeltételeket kielégíti, mert ha =0, akkor = (5) és ha =, akkor h h = h h (6) és h h 0=0 (7) 5

6 Tehát az összefüggés hűen írja le, hogy a középvonalon hő nem hatol át. A hőmérsékletmegoszlást az szélességű sávon a 3. ábra mutatja, amely természetesen többszörösen ismétlődik. Az ábrát egyben a középhőmérséklet kiszámítására is felhasználjuk. 3. ábra. A hőmérséklet megoszlása sugárzó fűtőtest felületén Vizsgálatunkban a hőátadási tényezőket konstansnak, azaz az szélességű sávon változatlannak tekintjük és középértékükkel helyettesítjük. Így = és = Ezzel a feltevéssel az szélességű sávon leadott hő = + = + = + (8) formában írható. Ebből = 1 (9) illetve = h h = = h 1 h = (30) (31a) 6

7 = h 1 h h = h h h = (31b) (3) (ugyanis h = h és =h ). Még mielőtt a (3)-es összefüggésből a következtetéseket levonnánk, rámutatunk arra, hogy a közepes hőmérsékletet abból a megfontolásból is le lehet vezetni, hogy a hőmérsékletű pántból + és irányban a betonrétegbe vezetéssel jutó hő egyenlő az szélességű sáv hőleadásával, azaz = + (33) amiből a műveletek elvégzése után szintén h = (34) összefüggést nyerjük. Ez arra mutat, hogy a közepes hőmérséklet annál nagyobb, mennél nagyobb a hőmérséklet, de mennél kisebb az + = (35) mivel h lim =1 () ami fizikailag azonnal érthető, hiszen ha a hőmérsékletű pántok egymáshoz tapadóan volnának a betonrétegben (tehát =0 volna), akkor a réteg közepes hőmérséklete szintén lenne. Ha viszont igen nagy, sőt a végtelen felé közeledne, akkor h lim =0 () 7

8 miatt a közepes túlhőmérséklet szintén =0-vá válnék. Ez a vizsgálat tehát egymagában nem dönti el, hogy vajon nagy, vagy kis távolságban érdemes-e a mostanáig pántnak nevezett hőforrásokat elhelyezni. Rögtön hű képet kapunk erről, ha azt a követelményt tűzzük ki, hogy egy pántból (ami helyett a továbbiakban majd csövet helyezünk) minél több hőt nyerhessünk. A közepes hőmérsékletű betonréteg hőközlése ugyanis =+ = + (36) Az egységnyi hosszúságú pánt szélességű sávja közvetíti ezt a hőt, azaz = = + (37) kifejtve értékét nyerjük, hogy h = + (38) = + h (39) Ebből az összefüggésből most már világosan látható, hogy 1 fm beépített pántból akkor kapjuk a legtöbb hőt, ha minél nagyobb túlhőmérséklete van a pántnak ha a pánt szélessége minél nagyobb ha a réteg hővezetési tényezője minél nagyobb s ha az tényező, illetve azt a legjobban befolyásoló menettávolság minél nagyobb. Ezek a felismerések útmutatók, de teljes egészükben nem vihetők át a betonrétegbe ágyazott csőkígyók esetére, mivel a lineáris hővezetés mellett a használt tételek a 0,3 értékből következően csak kb. 0,06-0,08 m rétegvastagságig közelítik meg a valóságot és mivel a beépített cső átmérője < és természetszerűleg nem pánt alakú. Mégis sok tanulsággal szolgálnak a (3) és (39) összefüggések, mivel elsősorban arra mutatnak rá, hogy minél nagyobb hőmérsékletű hőhordozó közeget kell alkalmaznunk, tehát mindenütt, ahol a hőmérséklet korlátozott, nem kapunk jó anyagkihasználást (pl. a mennyezetfűtésben). 8