Turbulencia és modellezése jegyzet. Lohász Máté Márton, Régert Tamás. Áramlástan Tanszék. Saját használatra

Átírás

1 Turbulencia és modellezése jegyzet Lohász Máté Márton, Régert Tamás Áramlástan Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Budapest, tavasz Frissítve: október 13.

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Turbulens áramlások tulajdonságai Nagy Reynolds szám esetén lép föl Rendezetlen és kaotikus D jelenség Instacionárius Örvényes Kontinuum jelenség Disszipatív Diffúzív Sok skála folytonosan van jelen Történelme van, tehát a turbulencia nem létezik Jelölések A Navier-Stokes egyenlet példája Statisztikai leírásmód Statisztikai szemlélet Determinisztikus folyamat miért lehet véletlenszerű? Statisztikai megvalósulások jelölése Valószínűségszámítás ismétlés Sűrűség függvény Várható érték Fontos tulajdonság a linearitás Ingadozás átlaga zérus A Reynolds átlag csak egyszer hat Reynolds felbontás Szórás n-ed rendű centrális momentumok Normál eloszlás Torzultság (Skewness) Lapultság (flatness, kurtosis) i

3 TARTALOMJEGYZÉK ii 2.4. Ergodicitás hipotézis Statisztikai és időátlag kapcsolata Többváltozós valószínűségek, sűrűségfüggvények (feltételes valószínűség) Feltételes valószínűség sűrűség függvény Korrelációs függvények Példa Példa Integrál léptékek Hosszléptékek Időlépték Taylor-féle fagyott örvény hipotézis Reynolds egyenlet A Reynolds feszültség tenzor tulajdonságai Szimmetrikus Feszültség típusok A turbulens kinetikus energia Motivációs példa Anizotrópia Reynolds feszültség tenzor saját koordináta rendszerben A Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus áramlásra és 2D-re Lumley háromszög (1978) A Reynolds feszültség tenzor és k transzport egyenlete Az átlagsebesség mozgási energiájának transzport egyenlete Reynolds feszültség transzport egyenlet Viszkózus tag k transzport egyenlet Produkció A sebesség-nyomásgradiens tenzor A transzport tagok A nyomás hatásai A turbulencia léptékei Az energia kaszkád A Kolmogorov hipotézisek Az energia spektrum Egy modell spektrum

4 TARTALOMJEGYZÉK iii 6.4. A spektrum Reynolds szám függése Önhasonlóság Határréteg egyenlet Szabad nyíróréteg áramlások Hengeres szabadsugár Energia mérleg Sík keveredési réteg Sík nyom Axiszimmetrikus nyom Homogén nyírás Rács turbulencia Fali áramlások Csatorna áramlás Az átlagsebesség profil A faltörvény Sebesség defekt függvény A logaritmikus faltörvény tulajdonságai A koherens struktúra koncepció Áramlások lokális jellemzése Koherens struktúra, örvény detektálás Örvényesség Diszkrimináns kritérium Q kritérium λ 2 kritérium Kritériumok és a koherencia A RANS modellezés Örvényviszkozitás modell Az összefüggés lokális Az összefüggés lineáris Az örvényviszkozitás meghatározása keveredési úthossz modell k-epszilon modell A k-epszilon modell tulajdonságai

5 TARTALOMJEGYZÉK iv 13. A nagy örvény szimuláció DNS A nagy örvény szimuláció alapgondolata A LES egyenlet levezetése A szűrés A szűrt egyenlet Örvény viszkozitás modell Méret hasonlóság (scale similarity) modell A dinamikus modellezés Numerikus szempontok Permfeltételek Periodikus perem Belépő perem Fali perem Példa szükséges cellaszámra

6 1. fejezet Bevezetés E tárgy keretein belül végig a ρ = konst. és a ν = konst. feltevéssel élünk, így nem lesz szó a sűrűség különbség keltette turbulenciáról se, és a turbulencia és lökéshullámok kölcsönhatásáról se. Ezenkívül a térerő hatásától is eltekintünk, ha nincs szabad vízfelszín akkor potenciális erőtérben ez nem csökkenti az általánosságot. A turbulenciát matematikai értelemben eddig nem sikerült definiálni, habár stabilitás elmélet jellegű definiciót talán bonyolult eszközrendszerrel lehetne adni. Ennek ellenére mérnöki szempontból általában könnyen el tudjuk dönteni, hogy turbulens vagy lamináris áramlásról van-e szó Turbulens áramlások tulajdonságai Alábbiakban összefoglaljuk néhány fontos tulajdonságát a turbulens áramlásoknak, melyek szinte definicióként is alkalmazhatóak. Ezek némelyikét a kurzus során részletesebben és világosabban is tárgyalunk majd, ha meg lesz hozzá az eszközrendszer Nagy Reynolds szám esetén lép föl Mivel a Reynolds szám (Re) a tehetetlenségi és a viszkózus (súrlódásól származó) erők hányadosaként is értelmezhető, így turbulens áramlás olyan ahol a tehetetlenségi erők dominálnak a súrlódási erők felett. Ezzel szemben súrlódás mentes áramlásnál nem beszélünk turbulenciáról. 1

7 1. FEJEZET. BEVEZETÉS Rendezetlen és kaotikus Ez a tulajdonság tulajdonképpen azt jelenti, hogy a folyamat nagyon érzékeny a kezdeti és/vagy peremfeltételekre. A megnevezés a dinamikus rendszerek elméletéből jön, a turbulenciát is próbálják ilyen szemmel nézni ámde, mivel itt végtelen dimenziós térrel állunk szemben a kezelés sokkal nehezebb így komolyabb eredményeket nem sikerült ezidáig elérni. Tulajdonképpen ez lehetne a turbulencia definiciója, ha pontosan meg tudnánk fogalmazni milyen téren értjük a stabilitást. Mindenesetre, ahogy látni fogjuk ez a szemlélet segít világosan elkülöníteni az instacioner lamináris áramlást a turbulenstől D jelenség A 3D térben lezajló turbulens áramlás lényegét tekintve különbözik a 2D térben létrejövőtől, mivel az örvényesség csak 3D áramlás esetén növekedhet a tér belsejében az örvényesség megnyúlása következtében. Ezt akár az áramlástanban tanult Helmholtz II. tétel segítségével is beláthatjuk, ha 2D az áramlás egy zárt örvényvonal által közbezárt felület állandó, így a tétel szerint az átlagos örvényesség is, míg egy áramlással egyirányú örvénycső csak 3D-ben létezhet (az örvényesség 2D-ben mindig az invariáns irányba mutat). Ezen örvénycsőnek változhat a keresztmetszete, így növekedhet az örvényesség is. Ez fontos szerepet kap turbulens áramlásokban, így mérnöki szempontól azt mondhatjuk, hogy csak 3D-s turbulencia van Instacionárius A turbulencia mindig időfüggő jelenség, ahogy ezt korábban is tanultuk Örvényes Turbulens áramlásban örvényesség mindig jelen van Kontinuum jelenség Fontos tulajdonság, hogy a turbulencia leírható a kontinuum hipotézisen alapuló Navier-Stokes egyenlettel, ellentétben azzal a korábban tett feltevéssel szemben, hogy a turbulencia a molekuláris szintről táplálkozik. Ennek a tulajdonságnak fontos következménye, hogy a Navier-Stokes egyenleten alapuló numerikus szimulációkkal (DNS=Direct Numerical Simulation) a turbulencia tanulmányozható.

8 1. FEJEZET. BEVEZETÉS Disszipatív Az áramlásban a mozgási energia a súrlódás következtében folyamatosan hővé alakul, így zárt rendszer energia bevitel nélkül idővel nyugalomba kerül. Ez a tulajdonság megkülönbözteti a turbulenciát a hullámmozgásoktól Diffúzív A turbulens áramlásokban az impulzus vagy bármilyen skalár keveredése felerősödik, hasonlóan mintha a megfelelő vezetési tényező (pl. viszkozitás az impulzusra, hővezetési tényező a hőmérsékletre) megnőne, de ennek nem anyagtulajdonságbeli hanem áramlástani okai vannak, azaz a turbulencia növeli a keveredést. Általunk már korábbról ismert példa erre, hogy megnő a csősúrlódási (hőátadási) tényező ha lamináris áramlásból turbulensbe térünk át (λ = Sok skála folytonosan van jelen, 0,316 ). Re Re 0.25 A turbulens áramlásban mindig sok skálájú mozgás van jelen, ezek folyamatosan egymásba alakulnak, így világosan elkülönül egy hangszer hangjától, ahol al- és felharmonikusok dominálnak Történelme van, tehát a turbulencia nem létezik Mivel a turbulens áramlás az előzményektől (mind időben, mind térben) függ, így mindig csak az adott turbulenciáról lehet beszélni, ennek ellenére lehet és érdemes a turbulens áramlásokat osztályozni (fali turbulencia, szabad nyiróréteg turbulencia stb.) Jelölések A koordináta rendszert a másol is megszokott módon: x 1, x 2, x 3 vagy máskor x, y, z, a sebességeket egyrészt u 1, u 2, u 3, vagy máskor u, v, w-vel jelöljük. A koordináta rendszert, ha konkrét áramlásról van szó úgy választjuk, hogy az első koordináta irány a fő áramlás iránya, a második pedig ennek a gradiensével párhuzamos (a kettő egymásra merőleges), a harmadik irányt pedig a jobbsodrású koordináta rendszer adja. Tipikus alkalmazási példa a fal melletti áramlás, ahol x az áramlás iránya és u az ez-irányú sebesség, y a faltól mért távolság és v az ez-irányú sebesség, z és w pedig ezekre merőleges.

9 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A Navier-Stokes egyenlet példája A kontinuitás egyenletet a következő alakban tanultuk: ha ρ = konst., akkor ρ t A mozgás egyenlet x komponense: + div(ρv) = 0 (1.1) divv = 0 (1.2) ( ) v x t + v v x x x + v v x y y + v v x z z = 1 p 2 ρ x + ν v x x + 2 v x 2 y + 2 v x 2 z 2 Vezessük be a következő egyszerűsítő jelöléseket a parciális deriváltakra: t i def (1.3) = (1.4) t def = (1.5) x i Továbbá vezessük be az Einstein-féle összegzési konvenciót, miszerint ha két azonos index szerepel egy szorzatban akkor arra az indexre a tér dimenzióinak megfelelő számban összegezni kell, például: def a i b i = 3 a i b i (1.6) Ezen szabályok együttes alkalmazásával a kontinuitás egyenlet rendkívül egyszerűen írható (a sebességek jelölésénél pedig, ahogy korábban említettük áttérünk az u i jelölésre): i u i = 0 (1.7) A Navier-Stokes egyenletek még nagyobb mértékben egyszerűsödnek, mivel mindhárom komponens együtt írható: i=1 t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j j u i (1.8) Az elkövetkező órákon meg fogjuk látni, hogy ezen egyszerűsítő jelölések még fontosabbá válnak, mivel jelentősen bonyolultabb, hosszabb egyenleteket fogunk levezetni, elemezni.

10 2. fejezet Statisztikai leírásmód Alapáramlástanban a turbulens áramlásokat időátlagukkal és az attól való eltéréssel (ingadozással) jellemeztük. Az időátlagolás definíciója zavarossá válhat sok esetben ha az áramlás statisztikai értelemben nem stacioner. Ilyen esetekben nehéz szétválasztani a sima instacionaritást és a turbulenciát. Turbulens csőáramlás (Re >> 2300), amit pl. egy dugattyús szivattyú hoz létre, azaz van egy a turbulens ingadozásoktól elkülönülő instacinaritás. Henger körüli áramlás Re = 10 5 esetén, szabályszerűen leváló (St = 0.2) örvénysor alakul, amely azonban turbulens Statisztikai szemlélet A turbulens áramlást mint statisztikus jelenséget tekinthetjük, ha bevezetjük a különböző kísérletek fogalmát. Például ugyanazt az áramlást vizsgálhatunk a szélcsatornában az év különböző napjain, például egy Re = s henger körüli áramlást. Ha mindig ugyanazt a kísérletet is végezzük az eredmény statisztikai jelleget mutat Determinisztikus folyamat miért lehet véletlenszerű? Fölmerül a kérdés, ha pontosan ugyanazt a kísérletet végezzük el, miért különbözhet az eredmény miközben a leíró N-S egyenletrendszer teljesen determinisztikus. A válasz a turbulencia kaotikus tulajdonságában rejlik, mivel praktikusan soha nem adható meg teljesen azonos kezdeti és/vagy peremfeltétel a megoldás más 5

11 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 6 lesz és mivel a rendszer nagyon érzékeny a perem és/vagy kezdeti feltételekre a megvalósulások teljesen letérnek egymástól, statisztikailag leírhatóak. RAJZ ARRÓL, HOGY MIKÉNT FÜGG A PROFIL CSŐÁRAMLÁSBAN A BELÉPŐ PEREMTŐL LAMINÁRIS ÉS TURBULENS ESETBEN 2.2. Statisztikai megvalósulások jelölése A korábban leírtaknak megfelelően egy statisztikai változó így írható: ahol i a megvalósulás sorszáma Valószínűségszámítás ismétlés Sűrűség függvény Valószínűségi változó sűrűség függvényéről beszélünk. ϕ = ϕ(x, y, z, t, i) (2.1) f(ϕ) (2.2) Megmutatja mennyi a valószínűsége, ϕ egy adott értékének. A sűrűség függvény normált tulajdonsága: Várható érték Átlag Ingadozás ϕ(x, y, z, t) = f(ϕ) dϕ = 1 (2.3) ϕ(x, y, z, t) ϕ(x, y, z, t) = lim N ( ) f ϕ(x, y, z, t) 1 N dϕ (2.4) N ϕ(x, y, z, t, i) (2.5) i=1 Az aktuális érték átlagtól való eltérését ingadozásnak nevezzük: ϕ def = ϕ ϕ (2.6)

12 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD Fontos tulajdonság a linearitás aϕ + bψ = aϕ + bψ (2.7) Ez a tulajdonság azért fontos, mivel az integrálás és a deriválás is lineáris operátor, így felcserélhető az átlag képzéssel. Ezt sokat fogjuk használni egyenletek levezetésénél Ingadozás átlaga zérus A Reynolds átlag csak egyszer hat Reynolds felbontás ϕ = 0 (2.8) ϕ = ϕ (2.9) Mivel a statisztikai átlagot az turbulenciakutatásban más néven Reynolds átlagnak is hívják, így be lehet vezetni az un. Reynolds felbontás, ahol tetszőleges mennyiséget átlag és ingadozás összegeként állítjuk elő Szórás σ ϕ = n-ed rendű centrális momentumok Példák ϕ = ϕ + ϕ (2.10) ϕ 2 = ϕ rms (2.11) µ ϕ n = ϕ n = (ϕ ) n f(ϕ) dϕ (2.12) µ 0 = 1 (2.13) µ 1 = 0 (2.14) µ 2 = σ 2 (2.15)

13 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD Normál eloszlás f(ϕ) = (ϕ ϕ ) 1 2 σ e ϕ 2 (2.16) 2πσϕ Torzultság (Skewness) Sk = µ 3 σ 3 (2.17) RAJZ normál eloszláshoz képest Az eloszlás szimmetriától való eltérését mutatja Lapultság (flatness, kurtosis) F l = µ 4 σ 4 (2.18) Az eloszlás a normál eloszláshoz képesti lapultságát mutatja. A normál eloszlás lapultsága F l = 3. RAJZ, normálhoz képest Ergodicitás hipotézis Az idő vagy térbeli és a statisztikai átlagok (momentumok) megegyeznek. Azt feltételezik, hogy egy statisztikailag stacioner áramlás minden statisztikai jellemzője megegyezik, mind ha eseményeket veszünk, mind ha hosszú idősort tekintünk. Hasonlóan tekinthető a statisztikailag homogén irányt tartalmazó áramlásnál a térbeli átlag. Ezt a hipotézist eddig nem sikerült bizonyítani, de ellenérv és ellenpélda se létezik Statisztikai és időátlag kapcsolata Mivel a gyakorlatban ritkán tudunk valódi statisztikai átlagot meghatározni, és helyette az ergodicitás feltevésével időbeli átlagot használunk, vizsgáljuk meg, hogy mennyire közelíti az időbeli átlag a statisztikai átlagot az átlagolási idő függvényében. Azt várjuk, hogy végtelen hosszú átlag visszaadja a statisztikai átlagot, de praktikusan fontos kérdés milyen hosszan kell átlagolni, hogy pontos eredményt kapjunk. Természetesen csak statisztikailag stacioner ( t ϕ = 0) áramlásra lehet időbeli átlaggal meghatározni az átlagot.

14 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 9 Definiáljuk az időbeli átlagot: ˆϕ (T ) def = 1 T Vegyük ennek statisztikai átlagát! ˆϕ (T ) = 1 T T T 0 0 ϕ dt (2.19) ϕ dt = ϕ (2.20) Mivel a statisztikai átlag időfüggetlen. Tehát az időbeli átlag várható értéke a statisztikai átlag. Ez megnyugtató eredmény, de vizsgáljuk meg mekkora a becslés szórása. σ 2ˆϕ (T ) = ( 1 T = 1 T 2 T ϕ 0 T 0 dt ) 2 Vezessünk be az időbeli korrelációs függvényt: T ϕ (t 1 )dt 1 ϕ (t 2 )dt 2 (2.21) ρ ϕ (τ) = ϕ (t)ϕ (t + τ) σ 2 ϕ 0 (2.22) A stacionaritás miatt t ρ = 0 ezért hagyható el a t argumentum. Ennek behelyettesítésével és további átalakításokkal kapjuk: σ ˆϕ (T ) = σ ( ) T ϕ 1 τ ρ ϕ (τ)dτ (2.23) T T T Definiáljuk továbbá az integrál időléptéket: Θ = ha az integrál konvergál. Így a következő képletet kapjuk: ρ(τ) dτ (2.24) ( ) 1/2 Θ σ ˆϕ (T ) σ ϕ (2.25) T Ez azt jelenti, hogy ha statisztikai átlagot egy T hosszú időátlaggal közelítjük, akkor ezen közelítés szórása, arányos a közelítendő mennyiség szórásával (σ ϕ ) és a jellemző integrál időléptékének és az átlagolási idő hányadosának gyökével.

15 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD Többváltozós valószínűségek, sűrűségfüggvények (feltételes valószínűség) Legyenek ϕ, ψ valószínűségi változók, ez esetben beszélhetünk ezen változók együttes valószínűségéről, azaz ezen számpár valószínűségi eloszlásáról. Ilyen esetben lényeges tulajdonság, hogy ezek a valószínűségi változók (esetünkben turbulens áramlási jellemzők) függenek-e egymástól vagy függetlenek. Ha függetlenek akkor az együttes sűrűség függvény a következőképpen számolható. f ϕψ (ϕ, ψ) = f ϕ (ϕ)f ψ (ψ) (2.26) RAJZ FÜGGŐRŐL, FÜGGETLENRŐL (Kontúr ábra) Feltételes valószínűség sűrűség függvény f ϕ ψ (ϕ ψ) def = f ϕψ(ϕ, ψ) f ψ (ψ) (2.27) Turbulens áramlásoknál mindkét esetnek jelentősége van, tipikusan egy pontban a különböző sebességkomponensek egymástól függenek, így érdemes együttes sűrűségfüggvényüket vizsgálni. Az együttes sűrűségfüggvény bepillantást adhat a turbulencia szerkezetére, például ha u és v együttes sűrűség függvényének valamilyen speciális értéknél van maximuma, az azt jelentheti, hogy az ingadozásoknak valamilyen speciális szerkezet van, például egy tipikus irányú örvény elhaladása során keletkeznek. A feltételes valószínűség szintén fontos a turbulencia kutatásban, talán egyik legszebb példa erre egy fal melletti határréteg ahol a fal hatása okozza a turbulenciát, de távolabb lamináris az áramlás. A két részt egy időben változó felület választja el, így a határfelület közelében olykor turbulens olykor lamináris az áramlás. Ha ilyen esetben nem alkalmaznánk a áramlás turbulens vagy lamináris voltára vonatkozó feltételt például olyan átlagot kapnánk, amely egyik áramlási állapotra se jellemző, így célszerűbb a két állapotnak megfelelő átlagot meghatározni és ezeket tekinteni. Tehát olyan esetekben alkalmazunk praktikusan feltételes átlagot, amikor arra számítunk, hogy bizonyos paraméter jelentős hatással van a vizsgálni kívánt paraméterre. Ahogy a későbbiekben látni fogjuk nagy szerepet tulajdonítunk az örvényeknek, így szokás külön vizsgálni az örvények keltette turbulens jelenségeket, megfelelő feltételek felhasználásával. Például csatornában az örvények valószínűsége, és a feltételes áramlás irányú átlagsebesség látható.

16 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD ábra. Feltételes valószínűség és átlag 2.7. Korrelációs függvények A feltételes valószínűségek témakörében felvethetjük azt a kérdést is, függetleneke a turbulens jellemzők ha térben vagy időben távoli jellemzőt vizsgálunk. Vizsgáljuk azt a feltételes valószínűséget például, hogy független-e a ϕ(x, y, z, t) a ϕ(x, y, z, t + τ) mennyiségtől. Ilyen jellegű kérdésekkel foglalkozik a korrelációs függvény. Először definiáljuk a következő kovariancia függvényt. R ϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = ϕ (x, y, z, t)ψ (x + δx, y + δy, z + δz, t + τ) (2.28) Ha ϕ és ψ különböző jellemzők, akkor kereszt kovarianciáról beszélünk, ha azonos akkor autokovarianciáról. Például: R ϕϕ (x, y, z, t,0,0,0, τ) (2.29) időbeli autokovariancia függvénye ϕ-nek. Ha dimenziótlan jellemzőt akarunk kapni, akkor bevezetjük a korrelációs függvényt. ρ ϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = R ϕψ σ ϕ(x,y,z,t) σ ψ(x+δx,y+δy,z+δz,t+τ) (2.30) Ha δx, δy, δz, τ-t nullának választjuk, akkor két változó azonos pontban vett korrelációját kapjuk, ami azt fejezi ki, hogy lineáris-e a kapcsolat a két változó között, konyha nyelven úgy mondhatjuk mekkora a kapcsolat a két változó között. Ha ψ értékének más pontokbeli értékéhez vizsgáljuk ϕ kapcsolatát, akkor arról kaphatunk képet, miképpen változik ez a kapcsolat a távolság (térben és/vagy időben) növekedésével.

17 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD Példa1 Az R ui u j (x, y, z, t,0,0,0,0) tenzor a Reynolds feszültség tenzor Példa2 ρ(x, y, z, t,0,0,0, τ)-t használtuk az időlépték definíciójánál Integrál léptékek Hosszléptékek Vegyünk egy tetszőleges irányú e i egységvektort, ekkor a vektor irányában lévő integrál hosszléptéket a következőképpen definiálhatjuk. + ϕψ (x, y, z, t) = ρ ϕψ (x, y, z, t, e x s, e y s, e z s, 0) ds (2.31) L (e) Általában az egységvektornak koordináta irányokat választunk, például a z irányú hosszlépték. L (z) + ϕψ (x, y, z, t) = ρ ϕψ (x, y, z, t,0,0, s, 0) ds (2.32) Ez a hossz jellemzi egyszerűsítve a z irányú korrelációs függvényt, és nagyságrendileg megmutatja, milyen z távolságban tekinthetőek a turbulens jellemzők egymástól függetlennek. Más néven milyen távolságon belül függenek a változók egymástól. Előbbinek fontos alkalmazása lesz a homogén irányok periodicitással való modellezése a turbulencia numerikus szimulációjában, ennek segítségével tudjuk megválasztani a periodicitás távolságát. RAJZ (szimulációs videó) henger mögötti örvénysorról. Örvény leválás henger mögött (DNS Re = 100) A másodikat fogjuk alkalmazni, mikor meg akarjuk becsülni milyen nagyságrendű struktúrák vannak a turbulens áramlásban, hogy ezek segítségével becsülhessük többek között az energetikai viszonyokat Időlépték Hasonlóan a hosszléptékhez definiálhatjuk az integrál időléptéket. T ϕψ (x, y, z, t) = + ρ ϕψ (x, y, z, t,0,0,0, τ) dτ (2.33)

18 2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 13 Az előző fejezetben ezt Θ-val jelöltük, mert ott T az átlagolási időt jelentette Taylor-féle fagyott örvény hipotézis Gyakorlati szempontból legkönnyebben az időbeli korrelációs függvényt (és vele együtt az integrál időléptéket) lehet meghatározni, mivel elegendő hozzá egy adott pontban finom időfelbontással mérni az adott jellemzőt, ez pedig megtehető általában hődróttal. Ellenben pl. a turbulencia modellt használó számításoknál a hosszléptékre van szükség, így érdemes lenne módszert találni ennek becslésére az időlépték ismeretében. Taylor azt a javaslatot tett, hogy képzeljük el az örvényeket megfagyottnak amelyek pusztán az átlagsebességgel (U) repülnek tova, ezen feltételezéssel becsülhetővé válik az áramlás irányú hosszlépték. L x = T U (2.34) A valóság természetesen nem ilyen, mivel az örvények folyamatosan egymással kölcsönhatásban vannak és deformálódnak, mozognak, de az előbbi nagyságrendi becslésre jól használható.

19 3. fejezet Reynolds egyenlet Ismétlésként és gyakorlásképpen levezetjük a Reynolds egyenlet rendszert. Elsőként a kontinuitás egyenletet Reynolds átlagoljuk. i u i = 0 (3.1) Reynolds átlagolva ezt az egyenletet és felhasználva, hogy a deriválás lineáris operátor (2.7 egyenlet) és, hogy az ingadozások Reynolds átlaga zérus (2.8 egyenlet) és, hogy Reynolds átlagolt mennyiség Reynolds átlaga önmaga (2.9 egyenlet). i u i = = i u i = i u i + u i = i u i 0 = i u i (3.2) Teljesen hasonlóan eljárva átlagolható a mozgásegyenlet is attól az egy kivételtől eltekintve, hogy a konvektív tag nem lineáris. A következőekben ennek átalakítását ismertetjük. 14

20 3. FEJEZET. REYNOLDS EGYENLET 15 u j j u i = = j (u j u i ) = j u j u i = j (u j + u j )(u i + u i ) = j (u j u i + u i u j + u j u i + u j u i ) = j (u j u i + u j u i ( ) = j u j u i + j u j u i = u j j u i + j u i u j (3.3) Ez alapján a Reynolds átlagolt mozgás egyenlet a következő alakú lesz: t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j j u i j u i u j (3.4) Az egyenlet ismét nagyon hasonlít az eredeti egyenlethez Reynolds átlagolt változókkal felírva, de a nemlinearitás miatt megjelenik egy tag a jobb oldalon amelyet a Reynolds feszültség tenzor divergenciájának nevezünk. Így a Reynolds feszültség tenzor a következő: u i u j (3.5) valójában ennek ρ szorosa lenne a feszültség tenzor, de mindkét alakot szokás Reynolds feszültség tenzornak nevezni. Így az előbb definiált Reynolds feszültség tenzorral együtt felírhatjuk, milyen (felületi) feszültségek divergenciái hozzák létre az átlagsebesség gyorsulását. 1 ρ p δ ij + ν j u i u i u j (3.6) ahol δ ij a Kronecker delta szimbólum. Előzetesen érdemes megjegyezni, hogy az úgynevezett Reynolds átlagolt turbulencia modellezésnél ezt az egyenletet oldjuk meg oly módon, hogy a Reynolds feszültség tenzort modellezzük a rendelkezésre álló átlagolt mennyiségek segítségével. )

21 4. fejezet A Reynolds feszültség tenzor tulajdonságai Ebben a fejezetben a Reynolds feszültség tenzor tulajdonságait vizsgáljuk Szimmetrikus Első tulajdonságként a már tanult szimmetriát ellenőrizzük. Mivel a szorzás kommutatív művelet, így u i u j = u j u i (4.1) tehát a Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus Feszültség típusok A feszültség tenzor átlójában és azon kívül lévő feszültségek komponenseket a következő képpen nevezzük: Normál feszültségek vannak az átlóban. u i u j ha i = j Nyíró feszültségek vannak az átlón kívül. u i u j ha i j A turbulens kinetikus energia A Reynolds feszültség tenzor első skalár invariánsának felét, mivel az ingadozó sebességek tömegegységre jutó mozgási energiája, így turbulens kinetikus energiának nevezzük és k-val jelöljük. ( k = 1 2 u i u i = 1 2( u 2 + v 2 + w 2 )) (4.2) 16

22 4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI Motivációs példa Vegyünk egy gyakran vizsgált alkalmazások szempontjából is nagyon fontos tudományosság szintjére egyszerűsített áramlást, és nézzük meg milyen ezen áramlás esetén a Reynolds feszültség tenzor. Tekintsünk két végtelen méretű egymással párhuzamos álló lapot, áramoljon a két lap között statisztikailag stacioner módon az általunk vizsgált newtoni folyadék, olyan Reynolds számmal, hogy az áramlás turbulens legyen (lásd 4.1 ábra). Ez esetben mérésekből vagy direkt numerikus szimulációból (kellően alacsony Reynolds szám esetén szimulálható ezen áramlási eset) ismert a Reynolds feszültség tenzor komponenseinek eloszlása az y koordináta mentén (lásd 4.2). Ezen az ábrán megfigyelhetjük, hogy a Reynolds 4.1. ábra. Vázlat csatorna áramlásra feszültség tenzor mennyire anizotróp (azaz mennyire irányfüggőek az értékek). Felmerülhet a kérdés hogyan lehetne ezt az anizotrópiát jellemezni és van-e valamilyen fizikai szabályszerűség a komponensek között, lehet-e szemléletes geometriai reprezentációt adni. Megfigyelhetjük például, hogy az áramlás irányú sebességingadozás (u 2 ) sokkal nagyobb mint a másik két ingadozás komponens. A fal közvetlen közelében a falra merőleges sebességkomponens ingadozása (v 2 ) máshogy viselkedik, mint a fallal párhuzamos, keresztirányú sebesség ingadozás (v 2 ). Ez utóbbi jelenséget megpróbáljuk egyszerű megfontolással magyarázni.

23 4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI ábra. Reynolds feszültségek csatornában A Reynolds feszültség tenzor normál komponenseinek fal-közeli viselkedése Írjuk fel a sebességkomponensek ingadozását a faltól távolodva Taylor sorba. u = a 1 + b 1 y + c 1 y (4.3) v = a 2 + b 2 y + c 2 y (4.4) w = a 3 + b 3 y + c 3 y (4.5) Legelemibb megfontolásunk a tapadási törvény (u i = 0, ha y = 0), ez alapján, ha a sebesség 0 akkor az ingadozása is: a 1 = a 2 = a 3 = 0 (4.6) Írjuk fel továbbá a kontinuitás egyenletet az ingadozó komponensekre (lásd 2.8 egyenlet) a falnál (y = 0): x u + y v + z w = 0 (4.7) mivel a x és a z irány a fal síkjában van, így ebben az irányokban a deriváltak zérus értékűek, így: y v = 0 (4.8) amiből viszont b 2 = 0 következik. Ennek segítségével a három normál irányú Reynolds feszültség tenzor komponens sorfejtésének első tagjai a következőképpen alakulnak. u 2 = b 2 1y (4.9) v 2 = c 2 2y (4.10) w 2 = b 2 3y (4.11)

24 4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 19 Ezzel megmagyaráztuk miért indul laposabban a v 2 görbéje a falnál Anizotrópia Ebben a fejezetben a Reynolds feszültség tenzor anizotrópiáját fogjuk jellemezni. Előszöris képezzük a Reynolds feszültség tenzor deviátor részét, ezt nevezzük anizotrópia tenzornak: a ij def = u i u j 1 3 u l u l δ }{{} ij (4.12) Ezt tovább elosztva a feszültségtenzor nyomával (2k = u j u j ) kapjuk a normált anizotrópia tenzort. b ij def = a ij 2k = u i u j u l u l 2k 1 3 δ ij = u i u j 2 3 kδ ij u l u l (4.13) Az anizotrópia tenzor segítségével újra fölírhatjuk a Reynolds egyenlet feszültség tenzorát a következőképpen rendezve. ahol 1 ρ p δ ij 2 3 kδ ij a ij + 2νs }{{ ij }}{{} 1 ρ p mod δ ij (4.14) s ij def = 1 2 ( iu j + j u i ) (4.15) a derivált tenzor szimmetrikus része. Fenti felbontás azért érdekes, mert különválasztottuk a gömbtenzor részt, melyet a p mod a turbulens kinetikus energiával megváltoztatott nyomás jellemez és a deviátor részt. s ij is deviátor jellegű tenzor ugyanis a nyoma zérus, mivel s ll = 1 2 ( lu l + l u l ) }{{} = 0 (4.16) a kontinuitás miatt zérus. Mint azt numerikus áramlástanból tudhatjuk, összenyomhatatlan áramlásban a nyomás pusztán a kontinuitás kielégítésében játszik szerepet, így dinamikailag csak a két utolsó tag számít. Azaz dinamikailag az anizotrópia tenzor és a deformáció fontos (a következőekben látjuk majd, hogy energetikai szerepe is csak ennek a két tagnak van). kont.

25 4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI Reynolds feszültség tenzor saját koordináta rendszerben Ha a Reynolds feszültség tenzort a saját koordináta rendszerében írjuk fel, akkor nyilván csak az átlóban van nem zérus elem. u 2 u I 0 0 i u j = 0 u 2 II 0 (4.17) 0 0 u 2 Érdemes megfigyelni, hogy a sajátirányok merőlegesek, mivel a tenzor szimmetrikus. Így a diagonizált alak pusztán koordináta rendszer elforgatással keletkezik. Pozitív szemidefinit Ezen alakból világosan látszik, hogy a tenzor pozitív szemidefinit, mivel az átló minden eleme nagyobb vagy egyenlő nullánál. u 2 I, u 2 II, u 2 III III 0 (4.18) A Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus áramlásra és 2D-re A mérnöki gyakorlatban gyakran fordul elő áramlás szimmetrikus tartományon, így érdemes megvizsgálni, milyen speciális tulajdonsága van a Reynolds feszültség tenzornak a szimmetria síkban. A turbulencia könnyebb megértése érdekében gyakran vizsgálunk 2D áramlásokat, szintén fontos tudnunk ilyenkor hogyan alakul a Reynolds feszültség tenzor. Szimmetrikus tartomány Ha az áramlási tartományuk szimmetrikus és élünk az ergodicitás hipotézisével, akkor a következő sűrűségfüggvény is tükör szimmetrikus: Ez alapján a középsíkban: f(x, y, z, u, v, w, t) = f(x, y, z, u, v, w, t) (4.19) f(x, y,0, u, v, w, t) = f(x, y,0, u, v, w, t) (4.20) a sebességeloszlás sűrűségfüggvény szimmetrikus w-ben. Ez alapján:

26 4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 21 így a Reynolds feszültség tenzor: 2D áramlás w = 0 (4.21) u w = 0 (4.22) v w = 0 (4.23) u 2 u v 0 u i u j = u v v 2 0 (4.24) 0 0 w 2 A 2D áramlásban z-től függetelen a sűrűségfüggvény, tehát: f(x, y, z, u, v, w, t) = f(x, y, z, u, v, w, t) z (4.25) Lumley háromszög (1978) Lumley javasolta a normált anizotrópia tenzor grafikus árbrázolását, mivel a tenzor deviátoros (zérus a nyoma), így két invariansávál jellemezhető: ( ) 6η 2 = b ij b ji = 2II b = tr(bb) (4.26) 6ξ 3 = b ij b jk b ki = 3III b (4.27) Lumley eredetileg a második és harmadik skalár invariánst (II b, III b ) használta, de az η, ξ változók használatával könnyebb dolgozni, mivel így a pozitív szemidefinitség által kijelölt tartomány két oldala egyenes lesz. Ezt az alakot látjuk a 4.3 ábrán. Ezen az ábrán könnyen elhelyezhetjük a speciális Reynolds feszültség tenzor eseteit. A Reynolds feszültség tenzort érdemes továbbá az által definiált kvadratikus alak szintfelületének alakjával is jellemezni. Mivel a tenzor pozitív szemidefinit, így ezek a szintfelületek mindig ellipszoidok, csak az alakjuk változik. 1C x i b ij x j = C (4.28) Célszerűen mindig a saját koordináta rendszerben ábrázoljuk az ellipszoidot. Egy komponensű turbulencia. Az ellipszoid egy vonal. Növény analógia: hagymaszár.

27 4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI ábra. Lumley háromszög

28 4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 23 2C Két komponensű turbulencia. Az ellipszoid egy ellipszis. A Lumley háromszög teteje. Izotróp A turbulencia izotróp. Az ellipszoid egy gömb. Növény analógia: dinnye. Axiszimmetrikus lapos ξ < 0, a háromszög bal oldala. Növény analógia: patisszon. korong Ezen belül ha két komponensű akkor korong, a háromszög bal felső csúcsa. hosszúkás ξ > 0, a háromszög jobb oldala. A fali határréteg majdnem ilyen. Növény analógia: uborka.

29 5. fejezet A Reynolds feszültség tenzor és k transzport egyenlete Ebben a fejezetben néhány transzport egyenletet vezetünk le, amint azt később látni fogjuk ezen egyenletek új ismereteket nyújtanak majd a turbulens áramlások energetikai viszonyairól, ezen felül a Reynolds feszültség tenzor transzport egyenlete segíteni fog a Reynolds egyenlet lezárásában. Hogy a levezetések menetét könnyen összefoglalhassuk bevezetjük az Navier- Stokes (NS) operátort, amely valójában a momentum egyenletet jelöli. NS(u i ) def = t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j s ij }{{} j t ij (5.1) Ezzel a jelölésrendszerrel, nagyon tömören leírható a Reynolds egyenlet levezetése: NS(u i ) (5.2) [ t u i + u j j u i = j 1 ] ρ p δ ij + νs ij u i u j (5.3) }{{} Definiáljuk a mozgási energiát: Majd írjuk fel a Reynolds felbontást fölhasználva: T ij E def = 1 2 u iu i (5.4) E = 1 2 u iu i = 1 2 (u i + u i)(u i + u i) (5.5) = 1 2 (u i u i + 2u iu i + u iu i) (5.6) 24

30 5. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE25 Végül nézzük ennek Reynolds átlagát: E = 1 2 (u i u i ) + k (5.7) Láthatjuk, hogy az össz mozgási energia átlaga az átlagsebesség mozgási energiája és ingadozó sebesség mozgási energiájának átlaga. Jelöljük az előbbi tagot Ê-vel Az átlagsebesség mozgási energiájának transzport egyenlete Az alábbi szabály szerint levezethetünk Ê-re vonatkozó mozgásegyenletet. NS(u i ) u i (5.8) t Ê + u j j Ê = u i j T ij szorzat deriválás = (5.9) = j (u i T ij ) T ij j u i (5.10) Ez utóbbi alak azért fontos, mivel az első tagja divergencia, azaz térfogatra integrálva felületi integrállá alakítható és így látható, hogy csak a peremi jelenségek hatását fejezi ki. Például egy periodikus áramlás esetén az ilyen tagok nullává válnak. Így belátható, hogy a turbulencia helyi jelenségeiben csak a további tag(ok) számítanak. Írjuk ki a nem divergenciás tagot részletesen: t Ê + u j j Ê = j (u i T ij ) + 1 ρ p δ ij j u }{{} i νs ij j u i + u i u j ju i (5.11) A deformációs és Reynolds feszültség tenzoros tag átalakítható (MAGYARÁZAT KELL!!!): t Ê + u j j Ê = j (u i T ij ) 2νs }{{} ij s }{{ ij + a } ij s }{{ ij } transzport =0 disszipáció produkció (5.12) Mátrixos írásmóddal (Frobenius belső szorzat) S : A = tr(s T A) = tr(s A T ), így belátható, hogy tr(s T (A + A T )/2) = tr(s T A)/2 + tr(s T A T )/2. A második tagban átvíve a transzponáltat az elsőre: tr(s T A T )/2 = tr(s T T A)/2 = = tr(s A)/2 és mivel S szimmetrikus, így tr(s T (A + A T )/2) = tr(s T A). Azonos érvelés igaz az utolsó tagra, szimmetrikus tenzor és a sebesség derivált tenzor Frobenius szorzata, ezek után a gömb tenzorral vett szorzatot kell még elemezni: kδ ij s ij. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a lokális egyensúlyban csak a Reynolds feszültség tenzor anizotrópiája és az átlagsebesség deformációja számít.

31 5. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE Reynolds feszültség transzport egyenlet Az alábbi szabállyal levezethető a Reynolds feszültség tenzorra egy transzportegyenlet: amely a következő alakot ölti: (NS(u i ) NS(u i ) )u j + (NS(u j) NS(u j ) )u i (5.13) t u i u j + u l l u i u j = lu i u j u l + P ij + Π ij + ν[u i l l u j + u j l l u i ] (5.14) ahol a sebesség-nyomásgradiens tenzor, és a produkció tenzor Viszkózus tag Bontsuk a viszkózus tagot két részre: itt Π ij = 1 ρ u i j p + u j i p (5.15) P ij = u i u l lu j u j u l lu i (5.16) ν[u i l l u j + u j l l u i ] = ε ij + l (ν l u i u j }{{} ) T (ν) lij (5.17) ε ij def = 2ν l u i lu j (5.18) ezt disszipációs tenzornak nevezzük. Ez a tag az energia hővé alakulását fejezi ki k transzport egyenlet A különböző tagok elemzéséhez előbb célszerű ennek az egyenlet nyomának a felét venni. Az egyenlet nyomának fele a k transzport egyenlete lesz. ] ( p t k + u j j k = a ij s }{{ ij + } j [u ) j ρ + k νu i s ij }{{} ε (5.19) produkció disszipáció }{{} ahol transzport ε def = 1 2 ε ii = 2νs ij s ij (5.20)

32 5. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE Produkció Az alapjellemzőket tartalmazza. Nyoma a következő: P ii = 2u i u l lu i (5.21) Ez azonos a Ê egyenletben lévő produkció tag kétszeresével, csak itt ellentétes előjellel kerül elő. A k transzport egyenletben pont ez a tag fog majd előfordulni A sebesség-nyomásgradiens tenzor A sebesség-nyomásgradiens tenzort érdemes fölbontani két részre: ahol Π ij = R ij l T (p) lij (5.22) def R ij = p amit nyomás-deformáció tenzornak hívnak. Ezen kívül T (p) lij amit nyomás transzport tagnak hívnak. ρ s ij (5.23) def = 1 ρ u i p δ jl + 1 ρ u j p δ il (5.24) R ii = p ρ s ii = 0 (5.25) így nem jelenik meg a k egyenletben, tehát a csak az irányok közötti transzportot okoz, így redisztribúció tenzornak nevezik A transzport tagok Bevezetjük a következő harmadrendű tenzort: ahol T lij def = T (p) + T (ν) lij T (u) lij lij + T (u) lij (5.26) def = u l u i u j (5.27)

33 5. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE A nyomás hatásai Először is vezessünk le egyenletet a nyomásingadozásra a következő módon: ) i (NS(u i ) NS(u i ) (5.28) A kontinuitást is felhasználva a következő egyenletet kapjuk: [ l l p = ρ i j u i u j + u j u i + u }{{} iu j + u i u j }{{} I. II. ] (5.29) mivel ez az egyenlet lineáris, így a megoldása előáll különböző rész jobb oldalak megoldásaként és a homogén Laplace egyenlet megoldásaként: l l p r = ρ i j (I.) (5.30) l l p s = ρ i j (II.) (5.31) l l p h = 0 (5.32) p r a gyors nyomástag, itt a sebesség fluktuációk lineárisan szerepelnek, gyorsnak hívják, mivel ez a tag gyorsan reagál a jellemzők lokális változására. p s a lassú nyomás tag, itt a sebesség fluktuációk nemlineárisan szerepelnek, lassúnak hívják, mivel a reakciónak egy időbeli késleltetése van. A p h homogén tag a peremfeltételek hatását veszi, figyelembe, így pl. a fali visszhang is ebben tagban jelentkezik. Ezek összegeként áll elő a nyomásingadozás: p = p r + p s + p h (5.33) A nyomás nem lokális jellemző, de csak hosszlépték távolságra hat. p u l = ρ i j [u i (x )u j 4π (x )u l (x) + u j (x )u i (x )u l (x) + ] d 3 +u i (x )u j (x )u l (x) x (5.34) x x mivel u i (x )u l (x) egy térbeli korrelációs függvény. Tehát ezek alapján elvileg is lehetetlen bármiféle lokális turbulencia modell, viszont jó hír, hogy a nyomás hatása is a hosszlépték méretére van korlátozva. A nyomás szerepét és viselkedését azért fontos látunk, mivel előfordul a sebességnyomásgradiens tenzor mindkét tagjában. Ennek a transzport tagja lényegét tekintve a k transzport egyenletben is előfordul.

34 6. fejezet A turbulencia léptékei Ebben a fejezetben a korábbiakhoz képest új szempontból vizsgáljuk a turbulenciát, mégpedig olyan szempontból, hogy az ingadozások milyen léptékekhez tartoznak. Korábban már definiáltuk az integrál hosszléptéket, de emlékezhetünk, hogy ez a térbeli korrelációs függvénynek csak egy speciális paramétere. Ha megfigyeljük például a 6.1 ábrán látható nyíróréteget, vagy akár tanulmányozzuk egy híd pillérei mögött az áramlást megfigyelhetjük, hogy sokféle méretű struktúra van folyamatosan jelen. A nagyobb struktúrák eközben tartalmazhatják a kisebbeket. Egyik fő eredményünk az lesz, hogy az energia a nagy léptékeken keletkezik, a 6.1. ábra. Szabad nyíróréteg vizualizációja közepes létékeken veszteség nélkül halad át és a kis léptékeken alakul hővé Az energia kaszkád Tekintsünk egy nagy Reynolds számú áramlást, melynek tipikus sebessége U és tipikus léptéke L. 29

35 6. FEJEZET. A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 30 Az első feltevésünk, hogy a turbulencia különböző méretű örvényekként fogható fel. Az örvény definícióját itt még nem adjuk meg, nagyjából együtt mozgó l méretű folyadékcsomagot értünk rajta. Tehát az örvény: mérete: l tipikus sebessége: u(l) időléptéke: τ(l) = l/u(l) A legnagyobb örvények méretét jelölje l 0, amely összevethető az áramlás L léptékével. Ezen örvények tipikus sebessége u 0 = u 0 (l 0 ) ami pedig az áramlás turbulens intenzitásával mérhető össze (u = (2/3k) 1/2 ), ami pedig az áramlás tipikus sebességével U arányos. Így a Re 0 = u 0 l 0 /ν Reynolds szám is nagy, így ezen a léptéken elhanyagolható a viszkozitás hatása. Richardson véleménye szerint, mivel a viszkozitásnak nincs szerep, így ezek az örvények instabilak és kisebbekre esnek szét, ahova mozgási energiájukat is magukkal viszik. Majd a keletkezett örvények úgyszintén, míg el nem érkezünk egy olyan örvény Reynolds számhoz (Re(l) = u(l)l/ν), ahol már stabilak az örvények a viszkozitás miatt és eldisszipálják a mozgási energiát. A koncepció leglényegesebb pontja, hogy a disszipáció a sor legkisebb méretű végén van. Ellenben az ε disszipáció mértékét a folyamat első léptéke szabja meg, amely a nagy örvényeket jelenti. A nagy örvények energiája u 2 0 és ennek időléptéke τ 0 = l 0 /u 0, így az energiaáram u 2 0/τ 0 = u 3 0/l 0 értékkel skálázható. Azaz ε u 3 0/l 0 -al skálázódik, de független ν-től. Ez mérésekben is megfigyelhető A Kolmogorov hipotézisek Az előzőeken felül még jó néhány kérdés megválaszolatlanul maradt, a turbulencia léptékeivel kapcsolatban. Mekkorák a disszipatív örvények, l növekedésével, hogy változnak a megfelelő sebesség (u(l)) és időléptékek (τ(l)). Ezekre a kérdésekre ad választ Kolmogorov három hipotézise, például kiderül, hogy l csökkenésével együtt u(l) és τ(l) is csökken. Az első hipotézis szerint a kis léptékek izotropak, azaz habár a nagy örvények a különböző peremfeltételek miatt anizotropak, a kaszkádban ez az anizotrópia csökken és kis örvények esetére teljesen megszűnik, ez kimondva: Hipotézis (Kolmogorov lokális izotrópia hipotézise). Megfelelően magas Reynolds szám esetén, a kis-léptékű turbulens mozgások statisztikailag izotropok. Hogy pontosan milyen méreteket értünk kis lépték alatt azt célszerű definiálni, vezessük be l EI léptéket amely alatt a lokális izotrópia fennáll. Tehát l > l EI nagy örvények anizotrópok és a l < l EI örvények izotrópok.

36 6. FEJEZET. A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 31 A gondolatot továbbvíve feltehető az is, hogy irányfüggésen túl a nagy léptékeknek egyáltalán nincs hatásuk a kis léptékekre, így a kis léptékek bármely statisztikái univerzálisak vagyis hasonlóak. Kérdés, hogy milyen paraméterektől függhet ez az univerzális állapot. Az energia kaszkád két fő folyamata az energia transzfer és a viszkózus disszipáció. Tehát vegyük egyik paraméterként azt az energia rátát amely a nagy skáláktól érkezik és jelöljük T EI -vel. A viszkózus disszipációt pedig jellemezzük a kinematikai viszkozitással ν. Mint ahogy korábban láttuk a disszipációt az energia ráta szabja meg, tehát ezek a mennyiségek közel azonosak: ε T EI. Így a hipotézis a következőképpen fogalmazható meg: Hipotézis (Kolmogorov első hasonlósági hipotézise). Minden megfelelően magas Reynolds számú turbulens áramlásban a kis mozgások (l < l EI )) statisztikáinak univerzális az alakja, amely csak ε-tól és ν-től függ. Az l < l EI mérettartományt univerzális egyensúlyi tartománynak nevezzük, mivel a l/u(l) időlépték kicsi a l 0 /u 0 időléptékhez képest, így a kis örvények hamar követik a nagy örvények változását, és dinamikusan előáll a T EI által megszabott egyensúly. Az ε és a ν paraméterek segítségével egyértelműen (konstans szorzótól eltekintve) egy hossz, sebesség és időlépték képezhető. η = (ν 3 /ε) 1/4 (6.1) u η = (εν) 1/4 (6.2) τ η = (ν/ε) 1/2 (6.3) Ezek a Kolmogorov skálák jellemzik a kis disszipatív örvényeket. Ezt egyrészt onnan látjuk, hogy a belőlük képzett Reynolds szám egységnyi (ηu η /ν = 1) és kaszkád addig tart, amíg megfelelően kicsi nem lesz a Reynolds szám, hogy stabilizálja az örvényeket. Másrészt a disszipációt felírva: ε = ν(u η /η) 2 = ν/τ 2 η (6.4) látszik, hogy (u η /η) = 1/τ η adja a disszipatív skála sebesség gradiensét. Nézzük meg miért is hívjuk hasonlósági hipotézisnek és univerzális alaknak az előzőeket. Ha Kolmogorov skálával dimenziótlanított sebességet tekintünk a Kolmogorov skálával dimenziótlan távolság függvényében láthatjuk, hogy ez nem függhet ε és ν paraméterektől, mivel a kettőből nem képezhető dimenziótlan mennyiség, tehát bármely közeli pontban azonos függvényt kapunk. u/u η (l/l η ) = f(ε, ν) = konst. (6.5) Nagy Reynold szám esetén a kis léptékekkel dimenziótlanítva minden sebesség mező statisztikailag azonos.

37 6. FEJEZET. A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 32 A nagy léptékek és Kolmogorov léptéket aránya is számolható, ha figyelembe vesszük, hogy ε u 3 0/l 0. η/l 0 Re 3/4 (6.6) u η /u 0 Re 1/4 (6.7) τ η /τ 0 Re 1/2 (6.8) Látható, hogy η/l 0 csökken a Reynolds szám növelésével, tehát nagy Reynolds szám esetén van egy olyan l tartomány, hogy l 0 l η. Feltehető, hogy ebben a tartományban olyan nagy a Reynolds szám (lu(l)/ν), hogy a viszkozitásnak nincs szerepe. Ez alapján kimondhatjuk a harmadik hipotézist. Hipotézis (Kolmogorov második hasonlósági hipotézise). Minden turbulens áramlásban megfelelően magas Reynolds szám esetén az l léptékű mozgások statisztikáit függetlenül ν-től egyedül ε határozza meg, amennyiben l az l 0 l η tartományba esik. Érdemes bevezetni egy l DI hosszat, oly módon, hogy az előző hipotézist a l 0 > > l > l DI módon írhassuk. Ez a skála két részre bontja az univerzális egyensúlyi tartományt (l < l EI ), a tehetetlenségi tartományra (l EI > l > l DI ) és a disszipációs tartományra (l < l DI ). A viszkozitásnak csak disszipációs tartományban van szerepe, itt játszódik le a disszipáció teljes egészében. A KÖVETKEZŐ ábrán a különböző skálák és tartományok láthatóak. Az energia fő tömege a 1l 6 0 < l < 6l 0 tartományban van, ezt energiát tartalmazó tartománynak nevezzük. A betűk jelentése a következő I= inercia, E= energia, D= disszipációs, a hosszléptékek nevei a két oldal alapján vannak definiálva. Pusztán ε használatával nem lehet hossz-, sebesség- és időléptéket definiálni, de egy l hosszléptékhez meg lehet határozni ε és l segítségével sebesség és időléptéket: u(l) = (εl) 1/3 = u η (l/η) 1/3 u 0 (l/l 0 ) 1/3 (6.9) τ(l) = (l 2 /ε) 1/3 = τ η (l/η) 2/3 τ 0 (l/l 0 ) 2/3 (6.10) Ennek következmény, hogy a tehetetlenségi tartományban a sebesség és idő léptékek a hosszléptékkel egyszerre csökkennek. Az energia kaszkádban lényeges szerepe van a T (l) energia áramnak, amely a l-nél nagyobb skálákról az l-nél kisebb skálája szállítja a mozgási energiát. T (l) u(l) 2 /τ(l)-el skálázható. Mivel u(l) 2 /τ(l) = ε (6.11) T (l) is l-től független és ε-al megegyező. Az energia ráta minden skálán azonos: T EI T (l EI ) = T (l) = T DI T (l DI ) = ε (6.12)

38 6. FEJEZET. A TURBULENCIA LÉPTÉKEI Az energia spektrum Vezessük be újfent a térbeli korrelációs függvényt és annak spektrális változatát: R ij (x l, r m, t) = u i (x l )u j (x l + r m, t) (6.13) 1 + Φ ij (κ l, t) = e ıκ lr m R (2π) 3 ij (r m, t) dr m (6.14) Ezek segítségével az energia spektrum definiálható: + 1 E(κ, t) = 2 Φ ii(κ m, t)δ( κ m κ) dκ m (6.15) Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy a hullámszám és a lépték között a következő összefüggés van: κ = 2π/l (6.16) Ennek segítségével felírható a κ a és a κ b hullámszám közé eső energia: k κa,κ b = κb κ a E(κ) dκ (6.17) Bebizonyítható, hogy a κ a és a κ b hullámszám közé eső disszipáció a következőképpen írható: ε κa,κ b = κb κ a 2νκ 2 E(κ) dκ (6.18) Az első Kolmogorov hipotézisből következik, hogy a spektrum ε és ν, a második hipotézisből következik, hogy a tehetetlenségi tartományban pusztán ε függvénye, így itt csak a következő alakú lehet: Egy modell spektrum E(κ) = Cε 2/3 κ 5/3 (6.19) E(κ) = Cε 2/3 κ 5/3 f L (κl)f η (κη) (6.20) 6.4. A spektrum Reynolds szám függése

39 6. FEJEZET. A TURBULENCIA LÉPTÉKEI ábra. Spektrum a nagy léptékkel dimenziótlanítva 6.3. ábra. Spektrum a Kolmogorov léptékkel dimenziótlanítva

40 7. fejezet Önhasonlóság A turbulens áramlások mint láttuk a nagy léptékekben esetről esetre változóak, csak a kis léptékekben figyelhető meg bizonyos univerzalitás. Így érdemes a turbulens áramlások gyakran előforduló építőköveit egyesével megismerni. Az elkövetkező fejezetekben ezzel foglalkozunk. Ezek az építőkövek 2D áramlások lesznek, attól eltekintve, hogy bizonyos jelenségek csak 3D átlag áramkép esetén jönnek elő. Az önhasonlóság koncepcióját egy kétváltozós Q(x, y) függvényen mutatjuk be. x függvényében definiálhatjuk a függő Q mennyiséget skálázó Q 0 (x) és a független y mennyiséget skálázó δ(x) jellemző változókat. Így a következő dimenziótlan mennyiségeket vezethetjük be: ha Q(ξ, x) független x-től tehát ξ Q(ξ, x) def = def = y δ(x) Q(x, y) Q 0 (x) (7.1) (7.2) Q(ξ, x) = ˆQ(ξ) (7.3) akkor Q(x, y)-et önhasonlónak nevezzük. Ekkor Q(x, y) a Q 0 (x), δ(x) és a ˆQ(ξ) egyváltozós függvények segítségével kifejezhető. Néhány dolgot még érdemes megjegyezni: Q 0 (x)-t és δ(x)-t jól kell megválasztani. alakot kell használni a transz- Általánosabb esetben Q(ξ, x) def formációhoz. = Q(x,y) Q (x) Q 0 (x) Néha csak egy adott x érték halmazra igaz az önhasonlóság 35