A prímszámtétel bizonyításának története

Átírás

1 A prímszámtétel bizonyításának története Matematika BSc szakdolgozat Szerz : Szabó Lilla Témavezet : Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 204

2 Köszönetnyilvánítás Ezúton köszönöm Dr. Waldhauser Tamásnak, hogy témavezet mként segítette szakdolgozatom elkészülését ötleteivel és tanácsaival. Kovácsné Görgényi Ilonának és Kaló Juditnak, volt matematika tanáraimnak, hogy elindítottak a matematika útján. Továbbá Marcus de Sautoy-nak, hogy A prímszámok zenéje cím könyvével ihletet adott. Végül, de nem utolsó sorban szeretném megköszönni szüleimnek, családomnak, páromnak és barátaimnak támogatásukat, türelmüket és megértésüket.

3 Tartalomjegyzék. Történeti áttekintés 4 2. Dirichlet-sorok 7 3. Csebisev eredményei 0 4. Riemann cikke 5 5. Prímszámtétel 7 6. Érdekességek Függelék (segédtételek és lemmák) 24 2

4 Bevezetés A prímszámok a számtan atomjai. A prímek az oszthatatlan számok: azok a számok, amelyek nem írhatók fel két kisebb szám szorzataként. A 3 és a 7 prímszám, a 5 azonban nem az, mert felírható mint 3-szor 5. A prímek csupán elszórt díszek a számok végtelen világában, ezen a matematikusok által évszázadok óta kutatott hatalmas területen. A kutatókat ma is csodálattal töltik el: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, id tlen számok ezek, a zikai valóságtól függetlenül is léteznek; a természet ajándékai a matematikusoknak. Marcus du Sautoy: A prímszámok zenéje Engem a fenti idézet indított el a prímszámok útján. Dolgozatom is ezekr l a különleges épít kövekr l fog szólni. Ezeknek a számoknak melyeket felbonthatatlan számoknak is szokás nevezni a történelme egészen az ókorig nyúlik vissza. A dolgozat els részében áttekintjük az Euklidészt l a prímszámtételig vezet utat. Ezután részletesebben tanulmányozzuk Csebisev munkásságát és Riemann 859-es cikkét, majd belemélyedünk a prímszámtétel bizonyításába. Mindezek után a teljesség igénye nélkül tekintünk néhány érdekesebb eredményt a prímszámok témakörében. 3

5 . Történeti áttekintés A legkorábbi lelet, mely a prímek ismeretére utalhat a Kr. e ból származó ishangói csont elnevezés lelet, melyet 960-ban találtak Közép-Afrika egyik hegységében, az Egyenlít nél. A csonton három oszlopba osztva rovátkacsoportok találhatók, melyekb l az els oszlopban a 0 és 20 közötti prímeknek, 3, 7 és 9 megfelel számú rovátkák vannak. Nem tudni biztosan, hogy ez a csont, melyet a brüsszeli Belga Királyi Természettudományi Intézetben riznek, lenne az els kísérlet a prímszámok megértésére, vagy a rovások csupán véletlenszer ek. Bizonyíték van rá, hogy a kínaiaknak Kr. e. 000-ben már világos képük volt a prímszámokról. Az szemükben ezek azok a féras számok, amelyek ellenállnak a két kisebb szám szorzatára való felbontásnak. A görögök ismerték fel el ször Kr. e. 4. században, hogy a prímek a számok épít kövei lehetnek. Felismerték, hogy az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. A Kr. e. 3. évszázadban élt Eratoszthenész, aki könyvtáros volt a hatalmas ókori aleandriai görög kutatóintézetben, volt az els ember, aki prímszámtáblázatot készített. Az módszerét Eratoszthenész szitájának hívjuk és a következ képpen fest:.. Tétel (Eratoszthenész szitája). Írjuk fel 2-t l n-ig az egész számokat. Az els lépésben karikázzuk be 2-t, majd húzzuk át 2 összes nála nagyobb többszörösét. Ezután karikázzuk be a legkisebb még nem jelölt (nem bekarikázott vagy áthúzott) számot, jelenleg ez a 3, majd húzzuk át a nála nagyobb többszöröseit. Hasonlóan folytatva karikázzuk be a legkisebb még jelöletlen számot, legyen az p, és húzzuk át a többszöröseit p 2 -t l kezdve. Mivel a szitálás során korábban 2p, 3p,..., (p ) p már át lett húzva, ezért valóban elég lesz p 2 -t l kezdve áthúzni p többszöröseit. Az eljárás akkor fejez dik be, ha p 2 > n. Ekkor a bekarikázott és a jelöletlen számok adják meg az és n közötti prímszámok listáját. Ugyanebben a században Euklidész bebizonyította a következ tételt..2. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Legyen p, p 2,..., p k prímek egy halmaza, n = p p 2 p k + és p az n szám egy prímosztója. Ekkor p nem lehet eleme a p, p 2,..., p k halmaznak, hiszen különben osztaná a p p 2 p k szorzatot és az n p p 2 p k = különbséget, ami nem lehetséges. Tehát egy véges prímhalmaz nem tartalmazhatja az összes prímszámot. Az ókort követ en a prímszámok körében számos kutatást végeztek, újabb tételeket mondtak ki és bizonyítottak be. Ezek közül néhányat a 6. fejezetben 4

6 említek meg. Számunkra, a prímszámtétel bizonyításának szempontjából, azonban az 700-as évekt l kezd d korszak a lényeges. 737-ben Euler belátta [5], hogy a prímszámok reciprokösszege végtelen, azaz p =, másképp p log n p log(log ). Gauss 792-ben táblázatokból megsejtette, hogy a prímek s r sége, log pontosabban π() dt, melyet Li()-szel jelölünk. Kés bbi, pontosabb 2 log t táblázatok kicsit más számokat tartalmaznak, de ezek csak még jobban er sítik a sejtést. Legendre körülbelül 800-ban közreadott egy cikket, melyben a prímek s r ségére az kifejezést adta, empirikusan meghatározott A log +B A és B konstansokkal és π()-re pedig a következ becslést: π() log A, ahol A =, Err l 808-ban írt el ször Théorie des Nombres cím munkájában. A világ viszont csak 849-ben tudta meg [7], hogy valójában Gauss megel zte Legendre-t. A következ évben Csebisev egyik megjelent cikkében ír a π() függvénynek Li()-szel való becslésér l. Riemann 859 novemberében a berlini Akadémia havonta megjelen közleményében közreadott egy 9 oldalas cikket Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse címmel [], mely egyedüli cikke a prímszámok témakörében. A cikkben Riemann módszerei még az eredményeknél is fontosabbak. Ír az alábbi,.. Denícióban szerepl függvény analitikus kiterjesztésér l, komple zérushelyeir l, felhasználja a Fourier, illetve Möbius inverziót, eplicit formulákat ad meg... Deníció. Minden n természetes számra és s komple számra ζ(s) = n n s. 896-ban Hadamard [8] és de la Vallée Poussin [3] egymástól függetlenül bebizonyították a prímszámtételt. 899-ben de la Vallée Poussin publikált egy cikket, melyben leírja, hogy elég nagy -re π() Li() Li() 5 < e c log.

7 Koch 90-ben belátta, hogy ha a fenti becslésben e c log helyett 2 +ε -t írva a Riemann-sejtéssel ekvivalens állítást kapunk. A következ fejezetekben részletesebben tekintjük Csebisev munkásságát, Riemann cikkét és a prímszámtétel bizonyítását. 6

8 2. Dirichlet-sorok Ebben a fejezetben néhány függvény Dirichlet-sorát fogjuk vizsgálni. Ehhez szükségünk lesz az alábbi két denícióra, illetve két tételre. 2.. Deníció. Az f(n) számelméleti függvényhez tartozó Dirichlet-sor a következ : f(n) F (s) = n. s n= 2.. Megjegyzés. A fenti denícióban lev sor nem minden f(n) függvényre konvergál. A konvergencia igazolása fontos kérdés, de erre mi most nem térünk ki. A kés bb belátott lemmákban ezeket a sorokat formálisan fogjuk tekinteni. Az 2.. Tételben szerepl speciális Dirichlet-sorról melyben f(n) azonosan kés bb részletesebben is beszélünk Deníció. Mangoldt-függvénynek nevezzük a következ képlettel deniált Λ számelméleti függvényt: { log p, ha n = p Λ(n) = α ; 0, különben. Euler 737-ben mondta ki az alábbi tételt. 2.. Tétel. Minden 2 s N számra ζ(s) = n n = s p ( p s ), ahol p a prímszámokon, n pedig a természetes számokon fut végig. Ez ma Euler-szorzatként ismert. A fenti tételt kés bb Dirichlet s > valós számokra alkalmazta. A következ tétel két sor szorzatáról szól: 2.2. Tétel. Legyen A(s) = a k k= k s következ : A(s)B(s) = és B(s) = b l l= n= c n n s, l s. Ekkor szorzatuk a ahol a szorzat együtthatóinak sorozata a két sor együtthatóinak konvolúciója, tehát c n = kl=n a kb l. 7

9 Bizonyítás. Tekintsük a két sor szorzatát és alakítsuk a következ módon: A(s)B(s) = k= a k k s l= b l l s = k l a k k s b l l s = k l a k b l (kl) s. A fenti Dirichlet-sorban n s Tehát együtthatója a k b l = c n. kl=n A(s)B(s) = n= c n n s. 2.. Lemma. A δ(n) számelméleti függvényhez tartozó Dirichlet-sor a konstans függvény. Bizonyítás. Tekintsük a δ(n) függvényhez tartozó Dirichlet-sort: δ(s) = s s s +... = s = Lemma. A konstans függvényhez tartozó Dirichlet-sor ζ(s). Bizonyítás. Tekintsük a konstans függvényhez tartozó Dirichlet-sort: + s 2 + s = s n = ζ(s). s n= 2.3. Lemma. A log(n) függvényhez tartozó Dirichlet-sor ζ (s). Bizonyítás. Deriváljuk a ζ(s) függvény Dirichlet-sorát tagonként: Ebb l következik, hogy n= log(n) n s ζ(s) = log n n s. = n= ( log(n) ) = ζ (s). n s 8

10 2.4. Lemma. A µ(n) számelméleti függvényhez tartozó Dirichlet-sor ζ(s). Bizonyítás. Mivel = δ, a Möbius-féle inverziós formula alapján A 2.2. Tételb l következik, hogy δ = µ. (s) = ζ(s)m(s), ahol 2.. és 2.2. Lemmák alapján (s) a δ(n), ζ(s) az (n), M(s) pedig a µ(n) függvény Dirichlet-sorát jelöli. Ebb l következik, hogy ζ(s) = M(s) Lemma. A Λ(n) számelméleti függvényhez tartozó Dirichlet-sor ζ (s) ζ(s). Bizonyítás. Jelölje f(s) a Λ számelméleti függvényhez tartozó Dirichlet-sort: f(s) = n= Λ(n) n s. El ször belátjuk, hogy azaz ( Λ)(n) = log n, log n = d n Λ(d). Legyen n = p α p α p αm m az n szám prímfelbontása. Tekintsük n egy d osztóját. Ha d nem prímhatvány, akkor Λ(d) = 0. Ha d = p β i i alakú, ahol i {, 2,..., m} és 0 β i α i, akkor Λ(d) = log p i. Ilyen tagból a fenti összegben α i darab van. Ez alapján kapjuk, hogy Λ(d) = α log p + α 2 log p α m log p m = log n. d n A 2.. Tételb l és a 2.3. Lemmából következik, hogy tehát f(s) = ζ (s) ζ(s). ζ(s)f(s) = ζ (s), 9

11 3. Csebisev eredményei Csebisev 850-ben látta be az alábbi tételt: 3.. Tétel (Csebisev Tétel). Bármely n egész esetén létezik olyan p prím, melyre n < p 2n. 3.. Megjegyzés. Az alábbi tételek bizonyításánál Erd s gondolatmenetét [4] fogjuk követni. Csebisev következ tétele több tétel bizonyításának szempontjából is fontos Tétel. Bármely n N-re p n p < 4n. Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk. Tekintsük a bizonyítandó egyenl tlenséget n = -re: p = < 4 = 4, ezután n = 2-re: p p = 2 < 4 2 = 6. p 2 Legyen n > 2, és tegyük fel, hogy, 2,..., n -re teljesül az állítás. (i) Ha n páros, akkor n nem lehet prím, így az indukciós hipotézisb l következik, hogy p = p < 4 n < 4 n. p n p n (ii) Ha n páratlan, akkor felírható 2k + alakban, ahol k pozitív egész. Bontsuk szét a szorzatot: p = p p = Π Π 2. p 2k+ p k+ Az indukciós hipotézis alapján k+2 p 2k+ Π < 4 k+. Mivel a Π 2 -ben lev prímek nagyobbak, mint k + 2, ezért lnko(π 2, k!) =. Mivelhogy Π 2 (k + 2) (2k + ), 0

12 ahol (k + 2) (2k + ) = (2k + )! (k + )! = (2k + )!k! (k + )!k! ( ) 2k + = k!, k és lnko(π 2, k!) =, ezért ( ) 2k + Π 2. k A 7.3. segédtétel alapján ( ) 2k + < 22k+ k 2 = 4 k. Tehát Π Π 2 < 4 k+ 4 k = 4 2k+ = 4 n. Csebisev egyik 850-ben megjelent cikkében [] arról ír, hogy a π() függvénynek Li()-szel való becslésében a relatív hiba kisebb, mint %, ha elég nagy, tehát 0, 89 Li() < π() <, Li(), ha elég nagy. Leírta, hogy Legendre formulája semmilyen A-ra illetve B- re nem lehet jobb, mint Li(). Szintén Csebisev belátta, hogy ha a π() Li() hányados konvergál, akkor csak -hez konvergálhat. Azt viszont nem tudta belátni, hogy konvergál. A következ kben belátjuk a fentebb említett becslést π()-re, pontos értékek megadása nélkül Tétel. Létezik olyan B > 0 konstans, amelyre π() < B log. Bizonyítás. A tételt el ször természetes számokra látjuk be, majd pozitív valós számokra. Bontsuk szét a 3.. Tételben szerepl szorzatot a következ képpen: 4 n > p = p p. p n n<p n p n Becsüljük a szorzatot úgy hogy az els tényez ben minden p helyett -et, a másodikban pedig n-et írunk. Ekkor a következ t kapjuk: p n π(n) π( p p > n = n n<p n n<p n n).

13 Tehát 4 n > n π(n) π( n), amib l mindkét oldal logaritmusát véve következik, hogy 2 (π(n) π( n)) log n < n log 4. Átrendezve az egyenl tlenséget kapjuk, hogy π(n) n log n < 2 log 4 + π( n) n log n < 2 log 4 + n n log n = 2 log 4 + log n n, ahol a 7.. Lemma (2)-es pontja alapján log n n = log n 2 n = 2 log n n 0, tehát létezik egy olyan B konstans, amellyel 2 log 4 + log n n felülr l becsülhet. Ha / N és > e, akkor []-t kell tekintenünk. Mivel a 7.. Lemma log ()-es pontja szerint szigorúan monoton növ, ezért az állítás igaz lesz minden e < valós számra, hiszen π() = π([]) < B [] log[] < B log Következmény. Létezik olyan b > 0 konstans, amelyre p n > b n log n. Bizonyítás. Tudjuk, hogy n = π(p n ), ahol p n az n-edik prímszámot jelöli. Az el z tételb l következik, hogy p n n = π(p n ) < B. log p n Az egyenl tlenséget átrendezve kapjuk, hogy p n > B n log p n > n log n. B Végül legyen B = b, így megkapjuk az állításban szerepl egyenl tlenséget Segédtétel. Minden n N-re ( ) 2n n = p 2n, ahol pαp p kp 2n p kp+, illetve α p k p. 2

14 Bizonyítás. Legyen ( ) 2n = (2n)! n n! n! = p αp. p 2n Tekintsünk egy rögzített p prímet. A p kitev je (2n)!-ban és n!-ban a 7.. Segédtétel alapján ν p ((2n)!) = i= 2n, illetve ν p i p (n!) = i= n. Mivel p i azonos alapú hatványok osztásánál a kitev k kivonódnak, így kapjuk, hogy 2n n α p = 2. i= p i Vegyük észre, hogy minden k p < i-re az összegben az alsó egészrészek értéke nulla lesz, tehát k p k 2n p n α p = 2. i= p i i= i= A 7.2. Segédtétel alapján tudjuk, hogy { 2n n, ha {} 2 = ; 2 0, ha {} <. 2 p i p i Mivel az összeg minden tagja legfeljebb és összesen k p tagja van, így az összeg legfeljebb k p Tétel. Létezik olyan A > 0 konstans, amelyre π() > A log. Bizonyítás. El ször páros számokra látjuk be a tételt. Az el bbi segédtételt felhasználva kapjuk, hogy ( ) 2n = p αp p kp. n p 2n p 2n Minden p-re becsüljük a p kp hatványt 2n-nel: p kp 2n = (2n) π(2n). p 2n p 2n Ebb l és a 7.4. Segédtételb l következik, hogy ( ) 2n 2 2n 2n (2n) (2n) π(2n) = (2n) π(2n)+. n Vegyük mindkét oldal logaritmusát és rendezzük át az egyenl tlenséget. Így a következ t kapjuk: 2n log 2 log(2n) π(2n). 3 p i p i

15 Melyb l az alábbi következik: π(2n) 2n log(2n) log 2 2n log(2n) = log 2 log(2n) 2n, log 2n 2n ahol a 7.. Lemma (2)-es pontja alapján 0, tehát létezik egy olyan A > 0 konstans, amellyel log 2 log(2n) alulról becsülhet. 2n Tetsz leges R-re legyen 2n a legnagyobb páros szám, ami -nél kisebb vagy egyenl. Ekkor 2n < 2n + 2. Tudjuk, hogy π() π(2n) > A 2n log 2n, és 2n > 2 miatt a 7.. Lemma alapján 2n > log 2n A 2n log 2n A 2 log( 2). A 7.. Lemmából következik, hogy log 2 log( 2), ezért létezik egy olyan pozitív A, melyre A 2. Tehát log( 2) 2 > log( 2) A. log 3.7. Következmény. Létezik olyan a > 0 konstans, amelyre p n < a n log n. Bizonyítás. Világos, hogy n = π(p n ). Az el z tétel alapján tudjuk, hogy minden n esetén n = π(p n ) > A p n log(p n ), melyb l az alábbi következik: Mivel p n 2 2n, ezért, ha n elég nagy, akkor p n < A n log(p n). () p n < A n log(p n) A n2n log 2 < 4 n. Ezt az () -es egyenl tlenségbe behelyettesítve kapjuk, hogy ha n elég nagy, akkor p n < A n log(p n) < A n log 4n < n3. Újra behelyettesítve () -be az alábbi következik: p n < A n log(p n) < 3 n log n. A Végül legyen a = 3, így megkapjuk az állításban szerepl egyenl tlenséget. A 4

16 4. Riemann cikke Riemann 859-es cikkében [] formulát ad π()-re végtelen sor alakban, melynek domináns tagja Li(). Ennek bizonyítása nem kielégít, hisz nem látja be, hogy konvergál, sem pedig, hogy Li() a domináns tag. Riemann leírja, hogy a Dirichlet-t l tanult Euler-szorzat segítségével a ζ függvény a következ képpen is megadható: ζ(s) = n = ( p ), s s n p ahol p a prímeken, n pedig a pozitív egész számokon fut végig. Megemlíti, hogy ζ-nak zérushelye van az s = 2, 4, 6,... helyeken (mindegyik egyszeres), s t bizonyos értékeit konkrétan meg is adta, mint például ζ(0) = 2, ζ( ) = 2, ζ( 3) = 20. Valószín leg ismerte a ζ( n) = ( ) n B n+, illetve ζ(2n) = (2π)2n ( ) n+ B 2n n+ 2 (2n)! formulákat is ez utóbbit Euler fedezte fel 755-ben, de err l nem tesz említést. Ezekben a formulákban B n -ek a Bernoulli számokat jelölik. Ír a ζ függvény analitikus kiterjesztésér l és a kiegészített ζ függvényr l ez utóbbit ξ(s)-sel jelölt, és a következ képpen deniálta: ( s ξ(s) = Γ (s )π 2) s 2 ζ(s), ahol Γ ( s 2) miatt a zérushelyek, s miatt pedig a pólus t nik el, és melyre ξ(s) = ξ( s), és ha ξ(s) = 0, akkor 0 Re s. Nagyon valószín nek tartotta, hogy ζ zérushelyeinek valós része, de ezt nem bizonyította be, 2 mivel nem ez volt a célja ebben a cikkben. Ezt a mai napig be nem bizonyított állítást Riemann-sejtésnek hívják. Ezt a sejtést Hilbert 900-ban a 23 problémából álló listájára vette, majd 2000-ben a milleniumi problémák közé sorolták. Ez utóbbi miatt bizonyítását egymillió dollárral díjazzák. Ebben a cikkében Riemann a prímszámtétel bizonyításáról is ír. Ž egy J()-szel (eredetileg f()-szel) jelölt prímszámláló függvényt vett, ami a következ képpen néz ki: J() = 2 [ p n < n + p n ], n és ennek a kapcsolatát tekintette a ζ függvénnyel. Ez a következ : log ζ(s) = s 0 5 J() s d, (2)

17 ha Re s >. Erre a Fourier inverziós formulát alkalmazva kapta, hogy ha σ >, akkor J() = σ+i log ζ(s) s ds 2πi s. (3) σ i Ebb l a ξ függvény szorzatalakját felhasználva, melynek bizonyítása hiányos ezt Hadamard tette teljessé 893-ban, kapta J() eplicit formuláját, mely a következ : J() = Li() ahol Li() = Imρ>0 ( + ) 0 + [ Li( ρ ) + Li( ρ ) ] + dt + log ξ(0), (4) t(t 2 log t) dt. A log t Imρ>0 [Li(ρ ) + Li( ρ )] egy nem megalapozott tagonkénti integrálással jön ki. Ennek a helyességét Landau igazolta 908-ban, viszont Mangoldt 895-ben a problémát megkerülve igazolta a formulát. Természetesen Riemann célja az volt, hogy π()-re adjon eplicit formulát. Ehhez segítségére volt a J() és π() függvények egy kapcsolata, nevezetesen az, hogy J() = π() + 2 π( 2 ) + 3 π( 3 ) n π( n ) +... (5) Ebb l a Möbius-féle inverziós formulával megkapta π()-re az alábbi képletet: π() = J() 2 J( 2 ) 3 J( 3 ) 5 J( 5 )+ 6 J( 6 )...+ µ(n) n J( n )+... (6) Az (5) és a (6) összefüggésekb l kapott eplicit formulát π()-re. Ezután közel 30 évig szinte semmi eredmény nem volt a prímszámokkal kapcsolatban, egészen addig, míg Hadamard és de la Vallée Poussin be nem bizonyították a prímszámtételt, melyben Riemann ötletei kulcsfontosságúak. 6

18 5. Prímszámtétel Hadamard 893-ban ξ szorzatformuláját ténylegesen bizonyította. 895-ben Mangoldt belátta J() eplicit formuláját, és egyszer bb alakban is felírta, mert a ζ hányados szebben viselkedik, mint log ζ. ζ Hadamard és de la Vallée Poussin az alábbi tételt bizonyították egymástól függetlenül 896-ban: 5.. Tétel (Prímszámtétel). A π() számelméleti függvény aszimptotikusan egyenl az hányadossal. log() Žk komple függvénytani segédeszközöket használtak. Mindketten Mangoldt (8) formulájának egy-egy variációját vezették le. Mangoldt és de la Vallée Poussin variánsa azért is különbözött, mert de la Vallée Poussin tévesen azt gondolta, hogy Mangoldt bizonyítása rossz. Csebisev 850-ben bevezette az alábbi ψ() függvényt. 5.. Deníció. A ψ() számelméleti függvényt a következ képpen deniáljuk: ψ() = log p. p k 5.. Megjegyzés. A ψ() számelméleti függvényt a következ képpen is értelmezhetjük: ψ() = n Λ(n), ahol Λ(n) a Mangoldt-féle függvény. A következ segédtételt és megfordítását Csebisev mutatta meg, melyet egyik 850-es cikkében adott közre Segédtétel. Ha ψ() aszimptotikusan, akkor π() aszimptotikusan log. Bizonyítás. Tetsz leges p prímre és között így ψ() = p k log p = p log p log log p darab p-hatvány van, log. log p A fenti egyenletben az egészrészt elhagyva a ψ() számelméleti függvényt tudjuk felülr l becsülni. Ekkor a következ t kapjuk: ψ() p log p log log p 7 = π() log.

19 Ha ψ() deníciójában csak a prímeket hagyjuk meg és a prímhatványokat elhagyjuk, akkor alsó becslését kapjuk a függvénynek: ψ() p log p. Legyen ε > 0 tetsz legesen kicsi szám. Ekkor p log p-t a következ képpen becsülhetjük alulról: log p log p (π() π( ε )) log ε. p ε <p Mivel π( ε ) ε, ezért (π() π( ε )) log ε ( ε)π() log ( ε) ε log. A fentiekb l következik, hogy tart ε ψ() π() log ψ() ε + log. (7) ε Mivel ψ() tart -hez, és log tart 0-hoz, ezért az egyenl tlenség jobb oldala ε -hoz. Ebb l következik, hogy minden pozitív ε-ra lim inf π() log lim sup π() log ε. Mivel ε tetsz legesen kicsi szám lehet, így a fenti összefüggésb l következik, hogy π() log π() log = lim inf = lim sup =. Ebb l következik, hogy létezik a határérték, és annak értéke, tehát lim π() log = Megjegyzés. A fenti bizonyításból könnyen belátható, hogy a segédtétel megfordítása is igaz, hiszen átrendezve az (7) egyenl tlenséget, becslést kapunk ψ() -re: ( ε)π() log ( ε) log ε ψ() π() log. Ez alapján mondhatjuk, hogy az az állítás, hogy ψ() aszimptotikusan ekvivalens a prímszámtétellel. 8

20 A Riemann által megfogalmazott (2) kapcsolat von Mangoldt féle átfogalmazása a ζ függvény és ψ() között, ha Re s >, a következ : ζ (s) ζ(s) = n= Λ(n) n s = 0 ψ() s s d, melyb l az els egyenl séget a 2.5. Lemmában beláttuk. A Fourier inverziós formulát alkalmazva erre Mangoldt az alábbit kapta, mely Riemann (3) formulájának felel meg: ψ() = 2πi σ+i σ i ( ) ζ (s) s ζ(s) s ds. Komple függvénytani eszközök segítségével a fentib l ψ()-re a következ négytagú összeget kapta, mely Riemann (4) formulájának felel meg: ψ() = ρ ρ ( 2 log ) log 2π, (8) 2 ρ ahol ρ a ζ függvény kritikus sávban lev zérushelyein fut végig. Azt szeretnénk hogy ez az összeg aszimptotikusan egyenl legyen -szel, tehát, hogy legyen a domináns tag. Ehhez korlátozni szeretnénk a ρ ρ összeget, hogy ρ lassabban tartson végtelenbe -nél. Ha Re ρ <, akkor ρ = Reρ <, tehát ρ konvergál a 0-hoz. A következ lemma segítségével melyet Mertens alkalmazott 898-as cikkében belátjuk, hogy a Re ρ = egyenesen nincs zérushelye a ζ függvénynek. 5.. Lemma. Minden R számra igaz a következ : cos + cos 2 0. Bizonyítás. Tekintsük a következ trigonometrikus azonosságot: cos 2 = cos 2 sin 2 = 2 cos 2. Ezt behelyettesítve a cos + cos 2 kifejezésbe kapjuk, hogy cos + cos 2 = cos + 2 cos 2 = 2( + cos ) Segédtétel. A Riemann-féle ζ függvénynek nem esik zérushelye a Re s = egyenlet egyenesre, azaz minden t valós számra ζ( + it) 0. 9

21 Ehhez fel- Bizonyítás. Állításunkat indirekt módon fogjuk bebizonyítani. tesszük, hogy létezik olyan t 0 R, amelyre ζ( + it 0 ) = 0. Legyen s = σ + it és tegyük fel, hogy Re s >. Mivel a 7.2. Lemma alapján minden w komple számra log w = Re log w, ezért log ζ(s) = Re log ζ(s). Tekintsük a ζ(s) függvényre az Euler-szorzatot: ζ(s) = ( ). p s p Az el bbiek és a logaritmus azonosságai alapján kapjuk a következ t: log ζ(s) = Re log ζ(s) = Re log ( ) = Re ( ) log ( p ). p s s p p A logaritmus hatványsora alapján Re ( ) log ( p ) = Re s p p,k kp ks. Minden s = σ + it C és n N esetén n s = n σ (cos(log n t) + i sin(log n t)). Ezt az n = p k esetben alkalmazva a fenti összeg tagjaira, a következ t kapjuk: Re p,k kp ks = p,k kp kσ cos(t log pk ). Tehát log ζ(s) = p,k kp kσ cos(t log pk ). (9) Tekintsük a (9) egyenletet az s = σ, s = σ +it, illetve az s = σ +2it helyeken. A logaritmus azonosságait felhasználva kapjuk, hogy log ζ(σ) 3 ζ(σ +it) 4 ζ(σ +2it) = p,k kp kσ (3+4 cos(t log pk )+cos(2t log p k )). Mivel az el z lemma alapján cos(t log p k ) + cos(2t log p k ) 0, ezért a fenti összeg nemnegatív lesz. Ebb l következik, hogy ha σ >, akkor ζ(σ) 3 ζ(σ + it) 4 ζ(σ + 2it). 20

22 Legyen t = t 0 és σ tartson felülr l -hez, és szorozzuk meg majd pedig osszuk el a fenti egyenl tlenség bal oldalát σ 4 -nel. Ekkor rendezve kapjuk a következ t: (σ )(ζ(σ)(σ )) 3 ( ζ(σ + it0 ) σ Ekkor, ha σ, akkor kapjuk a következ határértékeket: (i) (σ ) 0, ) 4 ζ(σ + 2it 0 ). (0) (ii) mivel az s = helyen a ζ függvénynek egyszeres pólusa van, és ott reziduuma egyenl -gyel, így ζ(σ)(σ ). A következ két pontban felhasználjuk, hogy a ζ(s) függvény analitikus folytatással kiterjeszthet az egész síkra kivéve az s = helyen. ζ(σ+it 0 ) (iii) Tekintsük a következ hányadost:. Ez valójában egy dierenciahányados, hiszen a ζ( + it 0 ) = 0 indirekt feltevést felhasználva σ kapjuk, hogy ζ(σ + it 0 ) 0 lim σ σ mely alapján = lim σ ζ(σ + it 0 ) ζ( + it 0 ) σ ( ) 4 ζ(σ + it0 ) (ζ ( + it 0 )) 4, σ = ζ ( + it 0 ), (iv) végezetül pedig ζ(σ + 2it 0 ) ζ( + 2it 0 ). Ez alapján a (0)-beli kifejezés tart 0 (ζ ( + it 0 )) 4 ζ( + 2it 0 ) = 0- hoz, ami ellentmondáshoz vezet, tehát az indirekt feltevésünk hamis. Ebb l következik, hogy az + it egyenesen a ζ függvénynek nincs zérushelye. 2

23 6. Érdekességek A 7. században a matematikusok felfedeztek egy tesztet, amivel úgy gondolták, hogy egyértelm en el lehet dönteni egy n számról, hogy az prím-e vagy sem. Ehhez ki kell számítani, hogy mivel kongruens 2 n modulo n. Ha ez a szám 2, tehát 2 n 2 (mod n), akkor az n szám prímszám. Viszont ez az elgondolás 89-ben megbukott, hiszen bár 340-ig jól m ködik, 34-r l azt mondja hogy az prím, miközben 34 = 3. Szintén ebben a században Fermat úgy gondolta, hogy minden n természetes számra 2 2n + prím lesz, de ezúttal tévedett, ami ritka esetnek számított. Ezt a tévedést Euler vette észre el ször. Ž 732-ben bebizonyította, hogy ez a képlet nem prímszámot ad, ha n = 5. Fermat a prímek egy másik nagyon különleges tulajdonságának feltárásában már jóval nagyobb sikerrel járt. 640-ben Mersenne-nek levelet írt arról a felfedezésér l, hogy azok a prímek, melyek 4-gyel osztva -et adnak maradékul felírhatók két négyzetszám összegeként. Bár azt állította, hogy van rá bizonyítása, azt nem hagyta meg az utókornak. Az alábbi tétel Wilsontól származik, de Edward Waring publikálta el ször 770-ben és Lagrange bizonyította 773-ban a megfordítással együtt. 6.. Tétel (Wilson-tétel). Az n szám akkor és csak akkor prím, ha (n )! (mod n). Euler 772-ben észrevette, hogy ha 0-tól 39-ig beírja az egész számokat az kifejezésbe, akkor prímszámok egy listáját kapja. Elkezdte érdekelni, hogy 4 helyett mely számok beírásával kap még ilyen sorozatot. Rájött, hogy a 4 mellett r = 2, 3, 5, és 7 is választható és az r kifejezés csupa prímszámot ad, ha 0 és r 2 közötti számokat írunk be. Szintén 772-ben felfedezte, hogy az 2 + kifejezés prímet ad az, 2, 3,..., 40 helyeken. Legendre 798-ban a következ lemmát mondta ki: 6.. Lemma. Az polinom prímet ad az 0,, 2,..., 79 helyeken. 75-ben Euler így ír arról, hogy még neki sem sikerült megadnia olyan egyszer képletet, mely az összes prímszámot megadná: Vannak rejtélyek, amelyekbe az emberi elme sosem lesz képes behatolni. Bizonyságul elég egyetlen pillantást vetni a prímek táblázatára; látnunk kell, hogy abban nincs se rend, se semmiféle szabályosság. 22

24 A következ tétel 837-b l származik: 6.2. Tétel (Diriclet-tétel). Minden a, a + b, a + 2b,... számtani sorozat, ahol a és b relatív prímek, végtelen sok prímszámot tartalmaz. Terence Tao 2004-ben Ben Greennel belátta, hogy a prímek sorozatában létezik tetsz legesen hosszú számtani sorozat. Ez a Green-Tao-tétel. 8 évvel kés bb, 202-ben Tao igazolta a gyenge Goldbach-sejtés egy gyengített változatát, ami kimondja, hogy minden 5-nél nagyobb páratlan szám el áll legfeljebb öt prímszám összegeként. 203-ban Harald Helfgott belátta apáratlan Goldbach-sejtést, vagyis, hogy minden 5-nél nagyobb páratlan szám el áll legfeljebb három prímszám összegeként Valószín leg már Euklidészben is megfogalmazódott az ikerprím-sejtés, mely kimondja, hogy végtelen sok olyan prímszámpár létezik, melyek között 2 a különbség. Ennek bizonyításában 203 tavaszán nagy áttörés történt, melyet Yitang Zhang-nak köszönhetünk. Ž belátta, hogy a szomszédos prímek közötti távolság végtelen sokszor kisebb 70 milliónál. Ezt a korlátot a PolyMath8 nevezet kutatócsoport, mely az interneten szervez dik Terence Tao vezetésével, 5000 alá csökkentette. Kés bb pedig a PolyMath8b projekt keretében ezt a számot 246-ra csökkentették 23

25 7. Függelék (segédtételek és lemmák) 7.. Deníció. A ν p (n)-nel jelölt függvény megadja a p prímszám kitev jét n prímfelbontásában. 7.. Segédtétel. Bármely n N-re igaz a következ : ν p (n!) = i= n p i. Bizonyítás. Az els n természetes szám között a p-vel osztható számok száma összesen n p. Minden p2 -edik szám osztható p második hatványával. Ezek száma összesen n p 2, és így tovább. Ebb l következik, hogy ν p (n!) = n n = p p 2 n Ez az összeg pedig véges, mivel létezik 0 < j 0 küszöbszám úgy, hogy minden j > j 0 -ra a n hányados kisebb lesz, mint egy, tehát egészrésze 0. p j {, ha {} 7.2. Segédtétel. Bármely R-re igaz a következ : 2 2 = ; 2 0, ha {} <. 2 Bizonyítás. Legyen f() = 2 2. El ször tegyük fel, hogy {} <. 2 Ekkor 2 = 2 + 2{}, ahol 2 Z és 2{} [0, ), mivel {} [0, ). 2 Ebb l következik, hogy 2 = 2, tehát f() = 0, ha {} <. 2 Ezek után tegyük fel, hogy {}. Ekkor 2 = 2 + 2{}, ahol 2 2 Z és 2{} [, 2), mivel {} [, ). Átalakítással kapjuk, hogy 2 2 = (2 + ) + (2{} ), ahol (2 + ) Z és (2{} ) [0, ). Ebb l 2 = 2 +, tehát f() =, ha {} Segédtétel. Bármely k N-re ( 2k+ k i= p i. ) < 2 2k+ 2. Bizonyítás. A Pascal háromszög 2k + -edik sorának összege ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2k + 2k + 2k + 2k + 2k k k + 2k + A ( ) ( 2k+ i = 2k+ ( ) 2k + 2k+ i) azonosság szerint a fenti összeg fele ( ) ( 2k + 2k k ) = 22k+ 2. = 2 2k+. Ezt az összeget alulról becsülve az utolsó tagjával, azaz ( ) 2k+ k -val, kapjuk a bizonyítandó egyenl tlenséget Segédtétel. Bármely n N-re ( ) 2n n 2 2n 24 2n.

26 Bizonyítás. Becsüljük a Pascal háromszög 2n-edik sorának összegét felülr l a következ módon: a sor két szélén lev -est hagyjuk meg, a többi elemét pedig cseréljük ki a sor legnagyobb számára, tehát ( ) 2n n -re. Így a következ t kapjuk: 2 2n 2n Tehát elegend belátni, hogy ( + + (2n ) 2n ) n 2n 2 + (2n ) ( ) 2n n 2n A fenti egyenl tlenség ekvivalens azzal, hogy ( ) 2n 2, n ami minden n -re igaz. 7.. Lemma. = 2 + (2n )( 2n n 2n ( ) 2n. n () Ha > e, akkor szigorúan monoton növ. log (2) Ha, akkor. log (3) Ha, akkor minden δ > 0-ra log +δ log(+δ). ). Bizonyítás. () Deriváljuk a függvényt: ( ) = log log log 2 = log log 2. Ha a derivált pozitív, akkor az eredeti függvény monoton növ. A nevez mindig pozitív, így csak a számlálót kell megvizsgálnunk, az pedig akkor lesz pozitív, ha > e. Ebb l következik, hogy monoton log növ, ha > e. (2) Tekintsük határértékét, ha. Mivel log így a L'Hopital-szabályt alkalmazva lim log = lim = lim =. ilyenkor alakú, log 25

27 (3) Legyen δ > 0 tetsz legesen kicsi pozitív szám. Tekintsük log +δ log(+δ) határértékét ha. Ehhez alakítsuk át a törtet a következ módon: log +δ log(+δ) = log( + δ) ( + δ) log. Mivel a fenti tört alakú, így a L'Hopital-szabályt alkalmazva kapjuk a következ t: log( + δ) lim ( + δ) log = lim log( + δ) + +δ. log + +δ Ez még mindig alakú, így a L'Hopital-szabály újbóli alkalmazásával az alábbi következik: log( + δ) + +δ lim log + +δ = lim +2δ (+δ) 2 δ 2 = lim ( + 2δ) 2 ( + δ) 2 ( δ) = Lemma. Legyen s = σ + it egy tetsz leges komple szám, és legyen w = e s. Ekkor igazak a következ k: (i) w = e σ (cos t + i sin t), melyb l következik, hogy w = e σ, (ii) minden n N-re n s = e log n s = n σ (cos(log n t) + i sin(log n t)), (iii) s = log w = σ + it = log w + i arg w, amib l következik, hogy log w = Re log w. 26

28 Hivatkozások [] Csebisev, P. L.: Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inferieurs à une limite donnée. J. Math. Pures Appl., 7, 848 [2] Csebisev, P. L.: Mémoire sur les nombres premiers. J. Math. Pures Appl., 7, 852 [3] Edwards, H. M.: Riemann's Zeta Function. Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 974 [4] Erd s Pál: Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Acta Litt. Sci., Szeged, 5, 94-98, 932 [5] Euler, L.: Variae observationes circa series innitas. Comm. Acad. Sci. Petropolitanae, 9, , 737 [6] Euler, L.: Introductio in Analysin Innitorum. Chapter 5. Bousquet and Socios., Lausanne, 748 (Opera (), Vol. 8.) [7] C. F. Gauss levele Enke-nek, 849. December 24. Werke, Vol. II, pp [8] Hadamard, J.: Sur la distribution des zeros de la fonction ζ(s) et ses consequences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, 24, , 896 [9] Legendre, A. M.: Théorie des Nombres. 4th ed., Vol. 2, 4th Pt., ŸVIII Paris, 830 [0] von Mangoldt, H.: Zu Riemann's Abhandlung 'Ueber die Anzhal der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'. J. Reine Angew. Math., 4, , 895 [] Riemann, B.: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. 859 [2] du Sautoy, M: A prímszámok zenéje. Park Könyvkiadó, 204 [3] de la Vallée Poussin, C.-J.: Recherches analytiques sur la théorie des nombres (premiére partie). Ann. Soc. Sci. Bruelles, 20 2, ,

29 Alulírott Szabó Lilla kijelentem, hogy a szakdolgozatban foglaltak a saját munkám eredményei, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. Tudomásul veszem, hogy szakdolgozatomat a Szegedi Tudományegyetem könyvtárában a kölcsönözhet könyvek között helyezik el, és az interneten is nyilvánosságra hozhatják december 0. Szabó Lilla 28