A Dirichlet-tétel. Matematika BSc szakdolgozat. Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék. Szerző: Körmendi Kristóf

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Dirichlet-tétel. Matematika BSc szakdolgozat. Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék. Szerző: Körmendi Kristóf"

Átírás

1 A Dirichlet-tétel Matematika BSc szakdolgozat Szerző: Körmendi Kristóf Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2009

2 Bevezetés Az analitikus számelmélet annak a meghökkentő ténynek a felismerésével vette kezdetét, hogy bizonyos komplex függvények tulajdonságaiból következtetéseket vonhatunk le a természetes számokkal kapcsolatban. Leonhard Euler volt az első, aki felismerte ezt a kapcsolatot, és az általa definiált ζ függvény segítségével bebizonyította, hogy a prímszámok reciprokaiból álló sor divergens. Később 837-ben Dirchlet mutatta meg, hogy (a, m) = esetén az a + km alakú számok között végtelen sok prímszám van. Ennél egy erősebb állítás, ami Euler tétele általánosításásnak is tekinthető, hogy azon prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens, amelyek kongruensek a-val modulo m. Bernhard Riemann egyetlen számelméleti témájú dolgozata 859-ben jelent meg. Ez a mű mutatta meg igazán a ζ függvény vizsgálatában rejlő lehetőségeket, és tartalmazta a híres Riemann-sejtést. Az első igazán nagy eredmény a prímszámtétel, miszerint π(x) x log(x), x azaz az x-nél kisebb prímszámok száma aszimptotikusan. Ezt Gauss már log(x) 796-ban sejtette, de igazolni nem tudta. Csebisev bizonyította, hogy nagy x-re x x 0, 922 π(x), 05 log(x) log(x). Később 896-ban Hadamard és de la Vallée Poussin igazolta a tételt. Ehhez azt mutatták meg, hogy a ζ függvénynek nincs zérushelye a Re(s) = egyenesen. Később kiderült, hogy a két állítás ekvivalens. Napjaink egyik legfontosabb, 50 éve megoldatlan problémája Riemann azon sejtésének igazolása, miszerint a ζ függvény minden nemtriviális zérushelye a Re(s) = kritikus egyenesre esik. 2 Ezen dolgozat célja a Dirichlet-tétel erősebb alakjának igazolása. Ehhez bevezetjük a Dirichlet-karakter fogalmát, és ezen karakterek alapvető tulajdonságainak igazolása után megalkotjuk a Dirichlet L függvényeket. Előállítjuk ezen függvényeket Euler-szorzat alakban, majd megvizsgáljuk egy az eredetileg definiáltnál tágabb tartományon való értelmezés lehetőségét. Ezután megmutatjuk, hogy a triviális Dirichlet-karakterhez tartozó L függvénynek egyszeres pólusa van az s = helyen. Ezen állításokat felhasználva pedig igazoljuk Dirichlet tételét.

3 Tartalomjegyzék. Karakterek.. Véges Abel-csoportok karakterei Dirichlet-karakterek A Riemann-féle ζ és a Dirichlet-féle L függvények Analitikus kiterjesztés A Dirichlet-féle L függvény viselkedése az s = helyen A Dirichlet-tétel

4 . Karakterek.. Véges Abel-csoportok karakterei.. Definíció. Tetszőleges G véges Abel-csoport esetén, a : G C* homomorfizmusokat G karaktereinek nevezzük. A G csoport karaktereinek halmazát Ĝ jelöli. A továbbiakban G mindig véges Abel-csoportot jelöl..2. Lemma. Tetszőleges Ĝ karakter és g G esetén (g) egy G -adik egységgyök. Bizonyítás. Jelölje a G csoport egységelemét, ekkor minden g G-re igaz, hogy g G =. Továbbá tudjuk, hogy homomorfizmus, így () =. Ezeket felhasználva adódik, hogy bármely Ĝ és bármely g G esetén ((g)) G = ( g G ) = () =..3. Tétel. A Ĝ halmaz csoport a pontonkénti szorzással, és G = Ĝ. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy Ĝ egységeleme a konstans karakter. Jelölje ezt a karaktert 0. A karakter inverze, hiszen egységnyi abszolút értékű komplex szám reciproka megegyezik a konjugáltjával. Ezek után Ĝ csoport voltát egyszerű számolással ellenőrizhetjük. Az izomorfizmus bizonyításához első lépésben tegyük fel, hogy G ciklikus, azaz G = [g] valamely g G-re. Vegyük észre, hogy a Ĝ karaktert egyértelműen meghatározza g képe, ami G -adik egységgyök. Továbbá ha ε egy tetszőleges G adik egységgyök, akkor a ε (g k ) = ε k képlettel definiált ε leképezés karakter, így G = Ĝ. Ha ε egy primitív G -adik egységgyök, akkor Ĝ k Z úgy, hogy (g) = εk = k ε(g), tehát Ĝ = [ ε], így a karakterek csoportja ciklikus. Ezekből pedig G = Ĝ következik. Ha G nem ciklikus, akkor a véges Abel-csoportok alaptételének értelmében G előáll ciklikus csoportok direkt szorzataként, így a bizonyítás befejezéséhez elegendő azt megmutatni, hogy tetszőleges H és H 2 csoportok esetén H H 2 = Ĥ Ĥ2. Ehhez tekintsük a következő homomorfizmusokat: ϕ : Ĥ Ĥ2 ψ : H H 2, (, 2 ), ahol (a, b) = (a) 2 (b), H H 2 Ĥ Ĥ2, (, 2 ), ahol (a) = (a, ) és 2 (b) = (, b). Az alábbi számolás mutatja, hogy ϕ és ψ egymás inverzei: (ψϕ)(a, b) = (a, ) (, b) = (a, b), ((, 2 )ϕψ)(a, b) = ( (a) 2 (), () 2 (b)) = ( (a), 2 (b))..4. Állítás. Minden Ĝ, 0 esetén (g) = 0. g G

5 Bizonyítás. Mivel G csoport, így minden a G esetén teljesül, hogy Ezt felhasználva kapjuk, hogy {a g g G} = {g g G}. g G (g) = g G (ag) = g G (a)(g) = (a) g G Mivel 0, ezért van olyan a G, hogy (a), így (g) = 0. g G (g)..5. Állítás. Tetszőleges g G esetén (g) = Ĝ { G, ha g =, 0 különben. Bizonyítás. Az előző állítás bizonyításáshoz hasonlóan tetszőleges ξ Ĝ esetén (g). Ĝ (g) = Ĝ(ξ )(g) = Ĝ ξ(g)(g) = ξ(g) Ĝ Ha ξ(g), akkor ebből következik, hogy (g) = 0. Ĝ Azt kell tehát megmutatnunk, hogy ha g, akkor létezik olyan ξ Ĝ, amelyre ξ(g). Ennek igazolásához tekintsük a következő H halmazt: H = {g G Ĝ : (g) = }. Könnyen megmutatható, hogy H normálosztó G-ben. Vegyük észre, hogy a H szerinti mellékosztályozás osztályain minden Ĝ-beli karakter konstans, így Ĝ beágyazható Ĝ/H-ba, amiből Ĝ Ĝ/H következik. Figyelembe véve, hogy Ĝ/H = G/H, adódik a következő összefüggés: G = Ĝ Ĝ/H = G/H = G / H, amiből H =, és így H = {} következik..2. Dirichlet-karakterek A Dirichlet-karakterek nevüket az őket megalkotó Johann Peter Gustav Lejeune Dirchlet-ről kapták, aki 837-es dolgozatában használta őket, hogy bizonyítsa tételét a prímszámok előfordulásáról számtani sorozatokban. Mi is e célból foglalkozunk velük. 2

6 .6. Definíció. Legyen egy karaktere a modulo m redukált maradékosztályok Z m csoportjának. Értelmezzük -t a természetes számok halmazán a következőképpen: { (a), ha a Z (a) = m, 0 különben. Vegyük észre, hogy multiplikatív és m szerint periodikus. Az így előálló : N C leképezéseket nezezzük (az m modulushoz tartozó) Dirichlet-karaktereknek..7. Megjegyzés. A továbbiakban m 2 egy rögzített modulust, pedig egy tetszőleges modulo m Dirichlet-karaktert jelöl, valamint a-val jelöljük mind az a természetes számot, mind az a-t tartalmazó modulo m maradékosztályt..8. Állítás. Ha 0, akkor bármely x pozitív valós számra (n) < m. n x Bizonyítás. Írjuk fel [x]-et mq + r alakban, ahol 0 r < m. Ekkor mq mq+r (n) = (n) + (n). () n x n= n=mq+ Az im +, im + 2,..., im + m számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo m bármely i {0,,..., q } esetén. Így az.4. Állítás alapján az ezeken vett összeg 0. Ezt felhasználva () a következő alakban írható fel: mq+r n=mq+ (n) mq+r n=mq+ (n) r < m..9. Állítás. Ha 0, akkor tetszőleges a, b Z m esetén { ϕ(m), ha a b mod m, (a)(b) = 0 különben. Bizonyítás. Az.5. Állítást és a (a) = (a ) összefüggést felhasználva (a)(b) = (a )(b) = { (a ϕ(m), ha a b =, b) = 0 különben. Vegyük észre, hogy a b = pontosan akkor, ha a b (mod m), így kész a bizonyítás. 3

7 2. A Riemann-féle ζ és a Dirichlet-féle L függvények 2.. Definíció. A Riemann-féle ζ függvényt és a Dirichlet-féle L függvényeket Re(s) > esetén a következő formulákkal definiáljuk: p prím ζ(s) = n= n s, L(s, ) = n= (n) n s Tétel. A fenti függvények Re(s) > esetén holomorfak, és előállnak szorzat alakban a következőképpen: ζ(s) = ( ) és L(s, ) = ( (p) ). p s p s p prím Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a függvényeket előállító sorok abszolút konvergensek, hiszen (n) n s <, nre(s) n= n= ha Re(s) >. A Weierstrass-féle M-tesztet alkalmazva adódik az egyenletes konvergencia, Weierstrass konvergenciatétele pedig garantálja a függvények analitikus voltát [G]. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban jelöljön p mindig prímszámot. Felhasználva multiplikativitását a szorzatalak a következő formába írható át: ( ) ( ) p ( (p) p s ) = p (p) p s = p n=0 (p n ) p ns. (2) A (2) egyenlőségben csak egy adott k-nál kisebb prímekre véve a szorzatot ( ) (p n ) = (n) p ns n, (3) s n p k n=0 ahol olyan n-ekre összegzünk, melyeknek nincs k-nál nagyobb prímtényezőjük. Ha k, és alkalmazzuk a számelmélet alaptételét, akkor a (3) egyenlőség a következőképpen alalkul: ( p n=0 ) (p n ) = p ns n= (n) n s = L(s, ). Az állítás a ζ függvény esetén a fentivel analóg módon igazolható. 2.. Analitikus kiterjesztés Ezen fejezet célja megmutatni, hogy a Riemann-féle ζ függvény és a Dirichlet-féle L függvények a Re(s) > tartománynál tágabb tartományon is értelmezhetők. Kiterjeszthetőek az egész komplex síkon meromorf függvényekké [G], azonban a Dirichlettétel bizonyításáshoz nekünk elegendő a Re(s) > 0 tartományra való kiterjesztés, így ennyivel megelégszünk. Ehhez pedig a következő tételt és annak következményét fogjuk felhasználni. 4

8 2.3. Tétel (Parciális összegzés). Legyen {a n } n= komplex számok egy sorozata, f(t) pedig egy folytonosan differenciálható függvény az [, x] intervallumon, és legyen A(t) = n t a n. Ekkor a n f(n) = A(x)f(x) n x A(t)f (t) dt. Bizonyítás. Első lépésben tegyük fel, hogy x természetes szám. Ekkor a n f(n) = (A(n) A(n )) f(n) n x n x = A(n)f(n) A(n)f(n + ) n x n x = A(x)f(x) n+ A(n) f (t) dt = A(x)f(x) = A(x)f(x) n x n n+ n x n A(t)f (t) dt, A(t)f (t) dt mivel A(t) lépcsős függvény. Ezzel beláttuk az állítást arra az esetre, ha x egész szám. Ha x nem egész, figyeljük meg, hogy A(x) (f(x) f([x])) [x] A(t)f (t) dt = 0, amivel kész a bizonyítás Következmény. Tegyük fel, hogy A(x) = O(x δ ). Ekkor s > δ esetén n= a n n = s A(t) s t. s+ Bizonyítás. Legyen f(t) =, ekkor f (t) = s. A 2.3. Tételt alkalmazva t s t s+ a n f(n) = A(x)f(x) n x Ha x, akkor A(x) x s n x a n n = A(x) + s s x s A(t)f (t) dt, azaz A(t) dt. ts+ 0, mivel s > δ és A(x) = O(x δ ). Tehát n= a n n = s s A(t) dt. ts+ 5

9 2.5. Állítás. Az (s )ζ(s) függvény analitikusan kiterjeszthető a Re(s) > 0 tartományra. Bizonyítás. A 2.3. Tételt alkalmazva Re(s) > esetén adódik, hogy n x n = [x] s x + s s [t] x {x} dt = + s ts+ x s [t] dt. (4) ts+ Írjuk fel az x x s függvényt integrál alakban a következőképpen: x x = s x Helyettesítsük be ezt a (4) egyenlőségbe: n x n s = +( s) {x} dt ts x +s s = + ( s) s [t] {x} x dt = ts+ x + s dt. (5) ts x t dt s s {t} dt. ts+ Szorozzunk be (s )-gyel és alkalmazzunk határátmenetet. A jobb oldalon {x} x s nullához tart, a bal oldalon pedig megkapjuk az (s )ζ(s) függvényt: (s )ζ(s) = s + (s ) Az (5) egyenlőség alapján dt s(s ) ts dt =, ezt (6)-ba írva t s s {t} dt. (6) ts+ {t} (s )ζ(s) = s s(s ) dt. (7) ts+ A (7) egyenlőség jobb oldala egy olyan függvény, ami a Re(s) > tartományon megegyezik az (s )ζ(s) függvénnyel, és analitikus Re(s) > 0 esetén Következmény. A Riemann-féle ζ függvény kiterjeszthető a Re(s) > 0 félsíkra egy olyan meromorf függvénnyé, melynek s = -ben egyszeres pólusa van, és ez az egyetlen szingularitása Állítás. Ha 0, akkor az L(s, ) függvény analitikusan kiterjeszthető a Re(s) > 0 tartományra. Bizonyítás. Az.8. Állítás értelmében A(x) = n x (n) = O(), így a 2.4. Következményt alkalmazva kapjuk, hogy s > 0 esetén L(s, ) = s A(t) t s+. 6

10 2.2. A Dirichlet-féle L függvény viselkedése az s = helyen Ebben az alfejezetben igazoljuk, hogy minden 0 -tól különböző Dirichlet karakterre L(, ) 0. Ezen az analitikus jellegű tényen múlik a Dirichlet-tétel bizonyítása Állítás. Ha Re(s) > és (a, m) =, akkor (a) log L(s, ) = ϕ(m) np. ns p n a Bizonyítás. A 2.2. Tételt, és a log( x) függvény Taylor-sorfejtését felhasználva kapjuk, hogy (a) log L(s, ) = ( ( (a) log (p) ) ) p s p = (a) ( log (p) ) p s p = (a) ((p)) n np ns p n= = (a) (pn ) np ns p n= = (a)(p n ). np ns p n= Az.9. Állítás alapján (a)(p n ) = { ϕ(m), ha p n a, 0 különben, és ezzel kész a bizonyítás Definíció. Legyenek {a n } n= és s komplex számok, ekkor a sort Dirichlet-sornak nevezzük. n= 2.0. Megjegyzés. Minden Dirichlet-sorhoz létezik σ 0 R {± } úgy, hogy a sor abszolút konvergens Re(s) > σ 0 esetén és divergens Re(s) < σ 0 esetén. Ezt a σ 0 értéket nevezzük a Dirichlet-sor konvergencia-abszcisszájának [G]. Mi csak az a n 0 esetre igazoljuk a konvergencia-abszcissza létezését. 2.. Lemma. Legyen {a n } nemnegatív számok egy sorozata. Ekkor létezik olyan σ 0 R { }, hogy az a n f(s) = n s 7 a n n s n=

11 sor konvergál s > σ 0 esetén és divergál s < σ 0 esetén. Sőt, ha Re(s) > σ 0, akkor a sor egyenletesen konvergál a Re(s) > σ 0 + δ tartományon minden pozitív δ-ra, továbbá f (k) (s) = ( ) k a n (log n) k. n s Bizonyítás. Ha a sor egyetlen valós számra sem konvergens, akkor legyen σ 0 =. Egyébként tegyük fel, hogy a sor konvergens valamely s 0 valós számra. A majoráns kritérium értelmében a sor konvergens s > s 0 esetén, hiszen a tagok nemnegatívak. Legyen σ 0 azon valós számok infimuma, melyekre a sor konvergens. Az egyenletes konvergencia nyilvánvaló, emiatt tagonkénti deriválással kiszámíthatjuk f (k) (s) értékét Re(s) > σ 0 esetén. Az előző lemma mutatja a konvergencia-abszcissza létezését. Tegyük fel, hogy σ 0 valós, azaz nem végtelen, ekkor egy érdekes kérdés lehet a Dirichlet-sor viselkedése az s = σ 0 pontban. A későbbiekben megmutatjuk, hogy a sor divergál a konvergencia-abszcisszájában, ehhez azonban szükségünk van a következő tételre, melyet bizonyítás nélkül közlünk [R] Tétel. Legyen f a n= a n (z z 0 ) n n=0 hatványsor által meghatározott függvény. Ekkor f-nek van szingularitása a fenti hatványsor konvergenciatartományának határán Tétel. Legyen {a n } nemnegatív számok egy sorozata, és legyen σ 0 az f(s) = Dirichlet-sor konvergencia-abszcisszája. Ekkor f egy holomorf függvény a Re(s) > σ 0 tartományon, melynek s = σ 0 egy szingularitása. Bizonyítás. A 2.. Lemma alapján világos, hogy f(s) egy olyan függvénysor határértéke, amely tetszőleges δ > 0 esetén egyenletesen konvergens a Re(s) > σ 0 + δ félsíkon, és így a Weierstrass konvergenciatétel értelmében f(s) holomorf ezen a tartományon. Tekintsünk egy tetszőleges σ > σ 0 valós számot, ekkor a 2.. Lemma alapján f (k) (σ ) = ( ) k n= n= a n n s a n (log n) k, és így átírhatjuk a σ körüli hatványsort a következő alakba: f (k) (σ ) (s σ ) k (σ s) k a n (log n) k =. k! k! n σ k=0 k=0 Ha s < σ, akkor ez egy nemnegatív tagú sor, és így megcserélhetjük az összeadások sorrendjét és alkalmazva az exponenciális függvény sorfejtésést kapjuk, hogy (σ s) k a n (log n) k a n (σ s) k (log n) k a n = = k! n σ n σ k! n. s k=0 n= n= 8 k=0 n σ n= n=

12 Tehát s < σ esetén a Dirichlet-sor és a Taylor-sor ekvikonvergens. Mivel s < σ 0 esetén a Dirichlet-sor divergál, így divergál a Taylor-sor is, ezért a σ körüli Taylor-sor konvergenciasugara nem lehet más, mint σ és σ 0 távolsága (lásd az. ábrát). A 2.2. Tétel alapján f-nek van szingularitása az ábrán látható körvonalon, ami csak a σ 0 pont lehet, hiszen az f-et definiáló Dirichlet-sor konvergens a körvonal minden σ 0 -tól különböző pontjában.. ábra. A Dirichlet-sor és a Taylor-sor konvergenciatartománya 2.4. Állítás. Ha Re(s) >, akkor f(s) = L(s, ) = ahol c n 0, de ez a sor divergál s = ϕ(m) esetén. n= c n n s, Bizonyítás. Felhasználva a 2.8. Állítást kapjuk, hogy ( f(s) = exp log ) ( ) ( L(s, ) = exp log L(s, ) = exp p n ) ϕ(m). np ns Innen pedig Taylor-sorfejtéssel kapjuk a pozitív tagú alakot. A divergencia bizonyításához elegendő az f függvény logaritmusával foglalkoznunk. Tekintsük a következő becslést, melyet úgy kapunk, hogy összegzéskor csak az n = ϕ(m)-hez tartozó tagokat vesszük figyelembe: log f(s) = p n ϕ(m) np ns > 9 p ϕ(m) p ϕ(m)s.

13 Az egyenlőtlenség jobb oldalában s helyére -et írva és figyelembe véve, hogy ϕ(m) p ϕ(m) akkor és csak akkor, ha (p, m) =, kapjuk, hogy log f(s) > (p,m)= p = p p p m p =, hiszen p m p egy véges összeg Tétel. Minden 0 Dirichlet-karakterre L(, ) 0. Bizonyítás. A 2.. alfejezetben láttuk, hogy 0 esetén L(s, ) analitikus a Re(s) > 0 tartományon, továbbá azt is láttuk, hogy ζ meromorf a Re(s) > 0 félsíkon és az s = egyszeres pólus az egyetlen szingularitása. Vegyük észre, hogy L(s, 0 ) = ζ(s). ( p ). (8) s p m A fenti összefüggés miatt L(s, 0 ) is meromorf a Re(s) > 0 félsíkon és az s = egyszeres pólus az egyetlen szingularitása. Ha létezik 0, hogy L(, ) = 0, akkor az f(s) = L(s, ) függvény analitikus a Re(s) > 0 tartományon, mert az L(s, ) függvény zérushelye semlegesíti az L(s, 0 ) függvény pólusát. A 2.4. Állítás szerint viszont az f függvényt előállító Dirichlet-sor divergál s = esetén, amiből az következik, hogy a konvergencia-abszcissza, σ ϕ(m) 0 > 0, ϕ(m) és így a 2.3. Tétel alapján az f függvénynek szingularitása van az s = σ 0 pontban, ami ellentmond annak, hogy f analitikus a Re(s) > 0 félsíkon. Tehát minden 0 Dirichlet-karakterre L(, ) A Dirichlet-tétel Dirichlet tétele tekinthető Euklidész azon tétele általánosításának is, miszerint végtelen sok prímszám van. Ugyanis ez a tétel azt állítja, hogy tetszőleges a és m természetes számokra (a, m) = esetén végtelen sok a + km alakú prímszám létezik, vagy másképpen megfogalmazva, hogy az a, a + m, a + 2m, a + 3m,... számtani sorozatnak végtelen sok prím eleme van. Ennél egy erősebb állítást fogunk igazolni neveztetesen azt, hogy az a + km alakú prímek reciprokaiból alkotott sor divergens, ami Euler a prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergenciájáról szóló tételének általánosítása Tétel (Dirichlet-tétel). Ha az a természetes számra (a, m) =, akkor p a p =. Bizonyítás. A 2.8. Állítás alapján tudjuk, hogy (a) log L(, ) = ϕ(m) np. n p n a 0

14 Ezt átalakítva kifejezhető a vizsgálni kívánt sor: p a p = (a) ϕ(m) Első lépésben megmutatjuk, hogy log L(, ) n 2 p n a n 2 p n a Ehhez tekintsük a következő becslést: n 2 p n a np < n p = 2 = 2 = 2 p p n 2 n=2 p 2 np < n p n=0 np n <. p n = 2 p 2 p < 2 2 p n n 2 n=2 n(n ) = 2 p p 2 p n 2 n n=2 np n. ( n n ) <. Célunk igazolni, hogy a log L(, ) sor divergens. A 2.5. Tétel alapján L(, ) 0 ha 0, így elegendő az L(s, 0 ) függvényt az s = pontban vizsgálnunk. Használjuk fel a (8) összefüggést log L(s, 0 ) becslésére: log L(s, 0 ) = log ζ(s) ( p ) = log( ) + log ζ(s). s ps p m p m Ha s, akkor a fenti összeg első tagja véges határértékhez tart, log ζ(s) pedig divergál. Így a log L(, ) sor divergens, és ezzel beláttuk Dirichlet tételét.

15 Hivatkozások [G] Theodore W. Gamelin, Complex Analysis, Undegraduate Texts in Mathemtics, Springer-Verlag, New York, 200. [R] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 987. [ME] M. Ram Murty, Jody Esmonde, Problems in Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 90, Springer-Verlag, [M] M. Ram Murty, Problems in Analytic number Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008

16 Alulírott Körmendi Kristóf kijelentem, hogy a szakdolgozatban foglaltak saját munkám eredményei, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. Tudomásul veszem, hogy szakdolgozatomat a Szegedi Tudományegyetem könyvtárában a kölcsönözhető könyvek között helyezik el, és az interneten is nyilvánosságra hozhatják május 5. Körmendi Kristóf

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

SZTE TTIK Bolyai Intézet

SZTE TTIK Bolyai Intézet Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény 1.2 Kar 1.3 Intézet 1.4 Szakterület 1.5 Képzési szint 1.6 Szak / Képesítés Babeș-Bolyai Tudományegyetem Matematika és Informatika

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?

és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen? 3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben