A Dirichlet-tétel. Matematika BSc szakdolgozat. Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék. Szerző: Körmendi Kristóf
|
|
- Árpád Pataki
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A Dirichlet-tétel Matematika BSc szakdolgozat Szerző: Körmendi Kristóf Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2009
2 Bevezetés Az analitikus számelmélet annak a meghökkentő ténynek a felismerésével vette kezdetét, hogy bizonyos komplex függvények tulajdonságaiból következtetéseket vonhatunk le a természetes számokkal kapcsolatban. Leonhard Euler volt az első, aki felismerte ezt a kapcsolatot, és az általa definiált ζ függvény segítségével bebizonyította, hogy a prímszámok reciprokaiból álló sor divergens. Később 837-ben Dirchlet mutatta meg, hogy (a, m) = esetén az a + km alakú számok között végtelen sok prímszám van. Ennél egy erősebb állítás, ami Euler tétele általánosításásnak is tekinthető, hogy azon prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens, amelyek kongruensek a-val modulo m. Bernhard Riemann egyetlen számelméleti témájú dolgozata 859-ben jelent meg. Ez a mű mutatta meg igazán a ζ függvény vizsgálatában rejlő lehetőségeket, és tartalmazta a híres Riemann-sejtést. Az első igazán nagy eredmény a prímszámtétel, miszerint π(x) x log(x), x azaz az x-nél kisebb prímszámok száma aszimptotikusan. Ezt Gauss már log(x) 796-ban sejtette, de igazolni nem tudta. Csebisev bizonyította, hogy nagy x-re x x 0, 922 π(x), 05 log(x) log(x). Később 896-ban Hadamard és de la Vallée Poussin igazolta a tételt. Ehhez azt mutatták meg, hogy a ζ függvénynek nincs zérushelye a Re(s) = egyenesen. Később kiderült, hogy a két állítás ekvivalens. Napjaink egyik legfontosabb, 50 éve megoldatlan problémája Riemann azon sejtésének igazolása, miszerint a ζ függvény minden nemtriviális zérushelye a Re(s) = kritikus egyenesre esik. 2 Ezen dolgozat célja a Dirichlet-tétel erősebb alakjának igazolása. Ehhez bevezetjük a Dirichlet-karakter fogalmát, és ezen karakterek alapvető tulajdonságainak igazolása után megalkotjuk a Dirichlet L függvényeket. Előállítjuk ezen függvényeket Euler-szorzat alakban, majd megvizsgáljuk egy az eredetileg definiáltnál tágabb tartományon való értelmezés lehetőségét. Ezután megmutatjuk, hogy a triviális Dirichlet-karakterhez tartozó L függvénynek egyszeres pólusa van az s = helyen. Ezen állításokat felhasználva pedig igazoljuk Dirichlet tételét.
3 Tartalomjegyzék. Karakterek.. Véges Abel-csoportok karakterei Dirichlet-karakterek A Riemann-féle ζ és a Dirichlet-féle L függvények Analitikus kiterjesztés A Dirichlet-féle L függvény viselkedése az s = helyen A Dirichlet-tétel
4 . Karakterek.. Véges Abel-csoportok karakterei.. Definíció. Tetszőleges G véges Abel-csoport esetén, a : G C* homomorfizmusokat G karaktereinek nevezzük. A G csoport karaktereinek halmazát Ĝ jelöli. A továbbiakban G mindig véges Abel-csoportot jelöl..2. Lemma. Tetszőleges Ĝ karakter és g G esetén (g) egy G -adik egységgyök. Bizonyítás. Jelölje a G csoport egységelemét, ekkor minden g G-re igaz, hogy g G =. Továbbá tudjuk, hogy homomorfizmus, így () =. Ezeket felhasználva adódik, hogy bármely Ĝ és bármely g G esetén ((g)) G = ( g G ) = () =..3. Tétel. A Ĝ halmaz csoport a pontonkénti szorzással, és G = Ĝ. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy Ĝ egységeleme a konstans karakter. Jelölje ezt a karaktert 0. A karakter inverze, hiszen egységnyi abszolút értékű komplex szám reciproka megegyezik a konjugáltjával. Ezek után Ĝ csoport voltát egyszerű számolással ellenőrizhetjük. Az izomorfizmus bizonyításához első lépésben tegyük fel, hogy G ciklikus, azaz G = [g] valamely g G-re. Vegyük észre, hogy a Ĝ karaktert egyértelműen meghatározza g képe, ami G -adik egységgyök. Továbbá ha ε egy tetszőleges G adik egységgyök, akkor a ε (g k ) = ε k képlettel definiált ε leképezés karakter, így G = Ĝ. Ha ε egy primitív G -adik egységgyök, akkor Ĝ k Z úgy, hogy (g) = εk = k ε(g), tehát Ĝ = [ ε], így a karakterek csoportja ciklikus. Ezekből pedig G = Ĝ következik. Ha G nem ciklikus, akkor a véges Abel-csoportok alaptételének értelmében G előáll ciklikus csoportok direkt szorzataként, így a bizonyítás befejezéséhez elegendő azt megmutatni, hogy tetszőleges H és H 2 csoportok esetén H H 2 = Ĥ Ĥ2. Ehhez tekintsük a következő homomorfizmusokat: ϕ : Ĥ Ĥ2 ψ : H H 2, (, 2 ), ahol (a, b) = (a) 2 (b), H H 2 Ĥ Ĥ2, (, 2 ), ahol (a) = (a, ) és 2 (b) = (, b). Az alábbi számolás mutatja, hogy ϕ és ψ egymás inverzei: (ψϕ)(a, b) = (a, ) (, b) = (a, b), ((, 2 )ϕψ)(a, b) = ( (a) 2 (), () 2 (b)) = ( (a), 2 (b))..4. Állítás. Minden Ĝ, 0 esetén (g) = 0. g G
5 Bizonyítás. Mivel G csoport, így minden a G esetén teljesül, hogy Ezt felhasználva kapjuk, hogy {a g g G} = {g g G}. g G (g) = g G (ag) = g G (a)(g) = (a) g G Mivel 0, ezért van olyan a G, hogy (a), így (g) = 0. g G (g)..5. Állítás. Tetszőleges g G esetén (g) = Ĝ { G, ha g =, 0 különben. Bizonyítás. Az előző állítás bizonyításáshoz hasonlóan tetszőleges ξ Ĝ esetén (g). Ĝ (g) = Ĝ(ξ )(g) = Ĝ ξ(g)(g) = ξ(g) Ĝ Ha ξ(g), akkor ebből következik, hogy (g) = 0. Ĝ Azt kell tehát megmutatnunk, hogy ha g, akkor létezik olyan ξ Ĝ, amelyre ξ(g). Ennek igazolásához tekintsük a következő H halmazt: H = {g G Ĝ : (g) = }. Könnyen megmutatható, hogy H normálosztó G-ben. Vegyük észre, hogy a H szerinti mellékosztályozás osztályain minden Ĝ-beli karakter konstans, így Ĝ beágyazható Ĝ/H-ba, amiből Ĝ Ĝ/H következik. Figyelembe véve, hogy Ĝ/H = G/H, adódik a következő összefüggés: G = Ĝ Ĝ/H = G/H = G / H, amiből H =, és így H = {} következik..2. Dirichlet-karakterek A Dirichlet-karakterek nevüket az őket megalkotó Johann Peter Gustav Lejeune Dirchlet-ről kapták, aki 837-es dolgozatában használta őket, hogy bizonyítsa tételét a prímszámok előfordulásáról számtani sorozatokban. Mi is e célból foglalkozunk velük. 2
6 .6. Definíció. Legyen egy karaktere a modulo m redukált maradékosztályok Z m csoportjának. Értelmezzük -t a természetes számok halmazán a következőképpen: { (a), ha a Z (a) = m, 0 különben. Vegyük észre, hogy multiplikatív és m szerint periodikus. Az így előálló : N C leképezéseket nezezzük (az m modulushoz tartozó) Dirichlet-karaktereknek..7. Megjegyzés. A továbbiakban m 2 egy rögzített modulust, pedig egy tetszőleges modulo m Dirichlet-karaktert jelöl, valamint a-val jelöljük mind az a természetes számot, mind az a-t tartalmazó modulo m maradékosztályt..8. Állítás. Ha 0, akkor bármely x pozitív valós számra (n) < m. n x Bizonyítás. Írjuk fel [x]-et mq + r alakban, ahol 0 r < m. Ekkor mq mq+r (n) = (n) + (n). () n x n= n=mq+ Az im +, im + 2,..., im + m számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo m bármely i {0,,..., q } esetén. Így az.4. Állítás alapján az ezeken vett összeg 0. Ezt felhasználva () a következő alakban írható fel: mq+r n=mq+ (n) mq+r n=mq+ (n) r < m..9. Állítás. Ha 0, akkor tetszőleges a, b Z m esetén { ϕ(m), ha a b mod m, (a)(b) = 0 különben. Bizonyítás. Az.5. Állítást és a (a) = (a ) összefüggést felhasználva (a)(b) = (a )(b) = { (a ϕ(m), ha a b =, b) = 0 különben. Vegyük észre, hogy a b = pontosan akkor, ha a b (mod m), így kész a bizonyítás. 3
7 2. A Riemann-féle ζ és a Dirichlet-féle L függvények 2.. Definíció. A Riemann-féle ζ függvényt és a Dirichlet-féle L függvényeket Re(s) > esetén a következő formulákkal definiáljuk: p prím ζ(s) = n= n s, L(s, ) = n= (n) n s Tétel. A fenti függvények Re(s) > esetén holomorfak, és előállnak szorzat alakban a következőképpen: ζ(s) = ( ) és L(s, ) = ( (p) ). p s p s p prím Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a függvényeket előállító sorok abszolút konvergensek, hiszen (n) n s <, nre(s) n= n= ha Re(s) >. A Weierstrass-féle M-tesztet alkalmazva adódik az egyenletes konvergencia, Weierstrass konvergenciatétele pedig garantálja a függvények analitikus voltát [G]. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban jelöljön p mindig prímszámot. Felhasználva multiplikativitását a szorzatalak a következő formába írható át: ( ) ( ) p ( (p) p s ) = p (p) p s = p n=0 (p n ) p ns. (2) A (2) egyenlőségben csak egy adott k-nál kisebb prímekre véve a szorzatot ( ) (p n ) = (n) p ns n, (3) s n p k n=0 ahol olyan n-ekre összegzünk, melyeknek nincs k-nál nagyobb prímtényezőjük. Ha k, és alkalmazzuk a számelmélet alaptételét, akkor a (3) egyenlőség a következőképpen alalkul: ( p n=0 ) (p n ) = p ns n= (n) n s = L(s, ). Az állítás a ζ függvény esetén a fentivel analóg módon igazolható. 2.. Analitikus kiterjesztés Ezen fejezet célja megmutatni, hogy a Riemann-féle ζ függvény és a Dirichlet-féle L függvények a Re(s) > tartománynál tágabb tartományon is értelmezhetők. Kiterjeszthetőek az egész komplex síkon meromorf függvényekké [G], azonban a Dirichlettétel bizonyításáshoz nekünk elegendő a Re(s) > 0 tartományra való kiterjesztés, így ennyivel megelégszünk. Ehhez pedig a következő tételt és annak következményét fogjuk felhasználni. 4
8 2.3. Tétel (Parciális összegzés). Legyen {a n } n= komplex számok egy sorozata, f(t) pedig egy folytonosan differenciálható függvény az [, x] intervallumon, és legyen A(t) = n t a n. Ekkor a n f(n) = A(x)f(x) n x A(t)f (t) dt. Bizonyítás. Első lépésben tegyük fel, hogy x természetes szám. Ekkor a n f(n) = (A(n) A(n )) f(n) n x n x = A(n)f(n) A(n)f(n + ) n x n x = A(x)f(x) n+ A(n) f (t) dt = A(x)f(x) = A(x)f(x) n x n n+ n x n A(t)f (t) dt, A(t)f (t) dt mivel A(t) lépcsős függvény. Ezzel beláttuk az állítást arra az esetre, ha x egész szám. Ha x nem egész, figyeljük meg, hogy A(x) (f(x) f([x])) [x] A(t)f (t) dt = 0, amivel kész a bizonyítás Következmény. Tegyük fel, hogy A(x) = O(x δ ). Ekkor s > δ esetén n= a n n = s A(t) s t. s+ Bizonyítás. Legyen f(t) =, ekkor f (t) = s. A 2.3. Tételt alkalmazva t s t s+ a n f(n) = A(x)f(x) n x Ha x, akkor A(x) x s n x a n n = A(x) + s s x s A(t)f (t) dt, azaz A(t) dt. ts+ 0, mivel s > δ és A(x) = O(x δ ). Tehát n= a n n = s s A(t) dt. ts+ 5
9 2.5. Állítás. Az (s )ζ(s) függvény analitikusan kiterjeszthető a Re(s) > 0 tartományra. Bizonyítás. A 2.3. Tételt alkalmazva Re(s) > esetén adódik, hogy n x n = [x] s x + s s [t] x {x} dt = + s ts+ x s [t] dt. (4) ts+ Írjuk fel az x x s függvényt integrál alakban a következőképpen: x x = s x Helyettesítsük be ezt a (4) egyenlőségbe: n x n s = +( s) {x} dt ts x +s s = + ( s) s [t] {x} x dt = ts+ x + s dt. (5) ts x t dt s s {t} dt. ts+ Szorozzunk be (s )-gyel és alkalmazzunk határátmenetet. A jobb oldalon {x} x s nullához tart, a bal oldalon pedig megkapjuk az (s )ζ(s) függvényt: (s )ζ(s) = s + (s ) Az (5) egyenlőség alapján dt s(s ) ts dt =, ezt (6)-ba írva t s s {t} dt. (6) ts+ {t} (s )ζ(s) = s s(s ) dt. (7) ts+ A (7) egyenlőség jobb oldala egy olyan függvény, ami a Re(s) > tartományon megegyezik az (s )ζ(s) függvénnyel, és analitikus Re(s) > 0 esetén Következmény. A Riemann-féle ζ függvény kiterjeszthető a Re(s) > 0 félsíkra egy olyan meromorf függvénnyé, melynek s = -ben egyszeres pólusa van, és ez az egyetlen szingularitása Állítás. Ha 0, akkor az L(s, ) függvény analitikusan kiterjeszthető a Re(s) > 0 tartományra. Bizonyítás. Az.8. Állítás értelmében A(x) = n x (n) = O(), így a 2.4. Következményt alkalmazva kapjuk, hogy s > 0 esetén L(s, ) = s A(t) t s+. 6
10 2.2. A Dirichlet-féle L függvény viselkedése az s = helyen Ebben az alfejezetben igazoljuk, hogy minden 0 -tól különböző Dirichlet karakterre L(, ) 0. Ezen az analitikus jellegű tényen múlik a Dirichlet-tétel bizonyítása Állítás. Ha Re(s) > és (a, m) =, akkor (a) log L(s, ) = ϕ(m) np. ns p n a Bizonyítás. A 2.2. Tételt, és a log( x) függvény Taylor-sorfejtését felhasználva kapjuk, hogy (a) log L(s, ) = ( ( (a) log (p) ) ) p s p = (a) ( log (p) ) p s p = (a) ((p)) n np ns p n= = (a) (pn ) np ns p n= = (a)(p n ). np ns p n= Az.9. Állítás alapján (a)(p n ) = { ϕ(m), ha p n a, 0 különben, és ezzel kész a bizonyítás Definíció. Legyenek {a n } n= és s komplex számok, ekkor a sort Dirichlet-sornak nevezzük. n= 2.0. Megjegyzés. Minden Dirichlet-sorhoz létezik σ 0 R {± } úgy, hogy a sor abszolút konvergens Re(s) > σ 0 esetén és divergens Re(s) < σ 0 esetén. Ezt a σ 0 értéket nevezzük a Dirichlet-sor konvergencia-abszcisszájának [G]. Mi csak az a n 0 esetre igazoljuk a konvergencia-abszcissza létezését. 2.. Lemma. Legyen {a n } nemnegatív számok egy sorozata. Ekkor létezik olyan σ 0 R { }, hogy az a n f(s) = n s 7 a n n s n=
11 sor konvergál s > σ 0 esetén és divergál s < σ 0 esetén. Sőt, ha Re(s) > σ 0, akkor a sor egyenletesen konvergál a Re(s) > σ 0 + δ tartományon minden pozitív δ-ra, továbbá f (k) (s) = ( ) k a n (log n) k. n s Bizonyítás. Ha a sor egyetlen valós számra sem konvergens, akkor legyen σ 0 =. Egyébként tegyük fel, hogy a sor konvergens valamely s 0 valós számra. A majoráns kritérium értelmében a sor konvergens s > s 0 esetén, hiszen a tagok nemnegatívak. Legyen σ 0 azon valós számok infimuma, melyekre a sor konvergens. Az egyenletes konvergencia nyilvánvaló, emiatt tagonkénti deriválással kiszámíthatjuk f (k) (s) értékét Re(s) > σ 0 esetén. Az előző lemma mutatja a konvergencia-abszcissza létezését. Tegyük fel, hogy σ 0 valós, azaz nem végtelen, ekkor egy érdekes kérdés lehet a Dirichlet-sor viselkedése az s = σ 0 pontban. A későbbiekben megmutatjuk, hogy a sor divergál a konvergencia-abszcisszájában, ehhez azonban szükségünk van a következő tételre, melyet bizonyítás nélkül közlünk [R] Tétel. Legyen f a n= a n (z z 0 ) n n=0 hatványsor által meghatározott függvény. Ekkor f-nek van szingularitása a fenti hatványsor konvergenciatartományának határán Tétel. Legyen {a n } nemnegatív számok egy sorozata, és legyen σ 0 az f(s) = Dirichlet-sor konvergencia-abszcisszája. Ekkor f egy holomorf függvény a Re(s) > σ 0 tartományon, melynek s = σ 0 egy szingularitása. Bizonyítás. A 2.. Lemma alapján világos, hogy f(s) egy olyan függvénysor határértéke, amely tetszőleges δ > 0 esetén egyenletesen konvergens a Re(s) > σ 0 + δ félsíkon, és így a Weierstrass konvergenciatétel értelmében f(s) holomorf ezen a tartományon. Tekintsünk egy tetszőleges σ > σ 0 valós számot, ekkor a 2.. Lemma alapján f (k) (σ ) = ( ) k n= n= a n n s a n (log n) k, és így átírhatjuk a σ körüli hatványsort a következő alakba: f (k) (σ ) (s σ ) k (σ s) k a n (log n) k =. k! k! n σ k=0 k=0 Ha s < σ, akkor ez egy nemnegatív tagú sor, és így megcserélhetjük az összeadások sorrendjét és alkalmazva az exponenciális függvény sorfejtésést kapjuk, hogy (σ s) k a n (log n) k a n (σ s) k (log n) k a n = = k! n σ n σ k! n. s k=0 n= n= 8 k=0 n σ n= n=
12 Tehát s < σ esetén a Dirichlet-sor és a Taylor-sor ekvikonvergens. Mivel s < σ 0 esetén a Dirichlet-sor divergál, így divergál a Taylor-sor is, ezért a σ körüli Taylor-sor konvergenciasugara nem lehet más, mint σ és σ 0 távolsága (lásd az. ábrát). A 2.2. Tétel alapján f-nek van szingularitása az ábrán látható körvonalon, ami csak a σ 0 pont lehet, hiszen az f-et definiáló Dirichlet-sor konvergens a körvonal minden σ 0 -tól különböző pontjában.. ábra. A Dirichlet-sor és a Taylor-sor konvergenciatartománya 2.4. Állítás. Ha Re(s) >, akkor f(s) = L(s, ) = ahol c n 0, de ez a sor divergál s = ϕ(m) esetén. n= c n n s, Bizonyítás. Felhasználva a 2.8. Állítást kapjuk, hogy ( f(s) = exp log ) ( ) ( L(s, ) = exp log L(s, ) = exp p n ) ϕ(m). np ns Innen pedig Taylor-sorfejtéssel kapjuk a pozitív tagú alakot. A divergencia bizonyításához elegendő az f függvény logaritmusával foglalkoznunk. Tekintsük a következő becslést, melyet úgy kapunk, hogy összegzéskor csak az n = ϕ(m)-hez tartozó tagokat vesszük figyelembe: log f(s) = p n ϕ(m) np ns > 9 p ϕ(m) p ϕ(m)s.
13 Az egyenlőtlenség jobb oldalában s helyére -et írva és figyelembe véve, hogy ϕ(m) p ϕ(m) akkor és csak akkor, ha (p, m) =, kapjuk, hogy log f(s) > (p,m)= p = p p p m p =, hiszen p m p egy véges összeg Tétel. Minden 0 Dirichlet-karakterre L(, ) 0. Bizonyítás. A 2.. alfejezetben láttuk, hogy 0 esetén L(s, ) analitikus a Re(s) > 0 tartományon, továbbá azt is láttuk, hogy ζ meromorf a Re(s) > 0 félsíkon és az s = egyszeres pólus az egyetlen szingularitása. Vegyük észre, hogy L(s, 0 ) = ζ(s). ( p ). (8) s p m A fenti összefüggés miatt L(s, 0 ) is meromorf a Re(s) > 0 félsíkon és az s = egyszeres pólus az egyetlen szingularitása. Ha létezik 0, hogy L(, ) = 0, akkor az f(s) = L(s, ) függvény analitikus a Re(s) > 0 tartományon, mert az L(s, ) függvény zérushelye semlegesíti az L(s, 0 ) függvény pólusát. A 2.4. Állítás szerint viszont az f függvényt előállító Dirichlet-sor divergál s = esetén, amiből az következik, hogy a konvergencia-abszcissza, σ ϕ(m) 0 > 0, ϕ(m) és így a 2.3. Tétel alapján az f függvénynek szingularitása van az s = σ 0 pontban, ami ellentmond annak, hogy f analitikus a Re(s) > 0 félsíkon. Tehát minden 0 Dirichlet-karakterre L(, ) A Dirichlet-tétel Dirichlet tétele tekinthető Euklidész azon tétele általánosításának is, miszerint végtelen sok prímszám van. Ugyanis ez a tétel azt állítja, hogy tetszőleges a és m természetes számokra (a, m) = esetén végtelen sok a + km alakú prímszám létezik, vagy másképpen megfogalmazva, hogy az a, a + m, a + 2m, a + 3m,... számtani sorozatnak végtelen sok prím eleme van. Ennél egy erősebb állítást fogunk igazolni neveztetesen azt, hogy az a + km alakú prímek reciprokaiból alkotott sor divergens, ami Euler a prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergenciájáról szóló tételének általánosítása Tétel (Dirichlet-tétel). Ha az a természetes számra (a, m) =, akkor p a p =. Bizonyítás. A 2.8. Állítás alapján tudjuk, hogy (a) log L(, ) = ϕ(m) np. n p n a 0
14 Ezt átalakítva kifejezhető a vizsgálni kívánt sor: p a p = (a) ϕ(m) Első lépésben megmutatjuk, hogy log L(, ) n 2 p n a n 2 p n a Ehhez tekintsük a következő becslést: n 2 p n a np < n p = 2 = 2 = 2 p p n 2 n=2 p 2 np < n p n=0 np n <. p n = 2 p 2 p < 2 2 p n n 2 n=2 n(n ) = 2 p p 2 p n 2 n n=2 np n. ( n n ) <. Célunk igazolni, hogy a log L(, ) sor divergens. A 2.5. Tétel alapján L(, ) 0 ha 0, így elegendő az L(s, 0 ) függvényt az s = pontban vizsgálnunk. Használjuk fel a (8) összefüggést log L(s, 0 ) becslésére: log L(s, 0 ) = log ζ(s) ( p ) = log( ) + log ζ(s). s ps p m p m Ha s, akkor a fenti összeg első tagja véges határértékhez tart, log ζ(s) pedig divergál. Így a log L(, ) sor divergens, és ezzel beláttuk Dirichlet tételét.
15 Hivatkozások [G] Theodore W. Gamelin, Complex Analysis, Undegraduate Texts in Mathemtics, Springer-Verlag, New York, 200. [R] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 987. [ME] M. Ram Murty, Jody Esmonde, Problems in Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 90, Springer-Verlag, [M] M. Ram Murty, Problems in Analytic number Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008
16 Alulírott Körmendi Kristóf kijelentem, hogy a szakdolgozatban foglaltak saját munkám eredményei, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. Tudomásul veszem, hogy szakdolgozatomat a Szegedi Tudományegyetem könyvtárában a kölcsönözhető könyvek között helyezik el, és az interneten is nyilvánosságra hozhatják május 5. Körmendi Kristóf
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenA prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió
Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,
RészletesebbenA híres Riemann-sejtés
A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz 205. 04. 8. A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenNormális függvénycsaládok. Alkalmazások harmonikus függvényekre.
XI. Erdélyi Tudományos Diákköri Konferencia Kolozsvár, 2008. május 23 24. Normális függvénycsaládok. Alkalmazások harmonikus függvényekre. Szerző: Darvas Tamás Matematika-Informatika szak, IV. év Babeş-Bolyai
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL
NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebben4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények
4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények Igazolásában, Út az Algebrai Számelmélet felé 4.1. Maradékosztálygyűrűk egységcsoportjai szerkezete. Jelölés. Tetszőleges n > 1 egészre jelölje U n a Z n maradékosztálygyűrű
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
RészletesebbenWaldhauser Tamás. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2014 őszi félév) Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alapvető tulajdonságai
Részletesebbenalkalmazása Írta: Bárdits Anna Matematika BSc, Elemző szakirány Keleti Tamás
A Riemann-féle zéta-függvény néhány alkalmazása Írta: Bárdits Anna Matematika BSc, Elemző szakirány Témavezető: Keleti Tamás Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenA Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma
A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
RészletesebbenAutonóm egyenletek, dinamikai rendszerek
238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenGAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE
GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenA végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenA folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenSZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenA folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
Részletesebben