A Dirichlet-tétel. Matematika BSc szakdolgozat. Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék. Szerző: Körmendi Kristóf

Átírás

1 A Dirichlet-tétel Matematika BSc szakdolgozat Szerző: Körmendi Kristóf Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2009

2 Bevezetés Az analitikus számelmélet annak a meghökkentő ténynek a felismerésével vette kezdetét, hogy bizonyos komplex függvények tulajdonságaiból következtetéseket vonhatunk le a természetes számokkal kapcsolatban. Leonhard Euler volt az első, aki felismerte ezt a kapcsolatot, és az általa definiált ζ függvény segítségével bebizonyította, hogy a prímszámok reciprokaiból álló sor divergens. Később 837-ben Dirchlet mutatta meg, hogy (a, m) = esetén az a + km alakú számok között végtelen sok prímszám van. Ennél egy erősebb állítás, ami Euler tétele általánosításásnak is tekinthető, hogy azon prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens, amelyek kongruensek a-val modulo m. Bernhard Riemann egyetlen számelméleti témájú dolgozata 859-ben jelent meg. Ez a mű mutatta meg igazán a ζ függvény vizsgálatában rejlő lehetőségeket, és tartalmazta a híres Riemann-sejtést. Az első igazán nagy eredmény a prímszámtétel, miszerint π(x) x log(x), x azaz az x-nél kisebb prímszámok száma aszimptotikusan. Ezt Gauss már log(x) 796-ban sejtette, de igazolni nem tudta. Csebisev bizonyította, hogy nagy x-re x x 0, 922 π(x), 05 log(x) log(x). Később 896-ban Hadamard és de la Vallée Poussin igazolta a tételt. Ehhez azt mutatták meg, hogy a ζ függvénynek nincs zérushelye a Re(s) = egyenesen. Később kiderült, hogy a két állítás ekvivalens. Napjaink egyik legfontosabb, 50 éve megoldatlan problémája Riemann azon sejtésének igazolása, miszerint a ζ függvény minden nemtriviális zérushelye a Re(s) = kritikus egyenesre esik. 2 Ezen dolgozat célja a Dirichlet-tétel erősebb alakjának igazolása. Ehhez bevezetjük a Dirichlet-karakter fogalmát, és ezen karakterek alapvető tulajdonságainak igazolása után megalkotjuk a Dirichlet L függvényeket. Előállítjuk ezen függvényeket Euler-szorzat alakban, majd megvizsgáljuk egy az eredetileg definiáltnál tágabb tartományon való értelmezés lehetőségét. Ezután megmutatjuk, hogy a triviális Dirichlet-karakterhez tartozó L függvénynek egyszeres pólusa van az s = helyen. Ezen állításokat felhasználva pedig igazoljuk Dirichlet tételét.

3 Tartalomjegyzék. Karakterek.. Véges Abel-csoportok karakterei Dirichlet-karakterek A Riemann-féle ζ és a Dirichlet-féle L függvények Analitikus kiterjesztés A Dirichlet-féle L függvény viselkedése az s = helyen A Dirichlet-tétel

4 . Karakterek.. Véges Abel-csoportok karakterei.. Definíció. Tetszőleges G véges Abel-csoport esetén, a : G C* homomorfizmusokat G karaktereinek nevezzük. A G csoport karaktereinek halmazát Ĝ jelöli. A továbbiakban G mindig véges Abel-csoportot jelöl..2. Lemma. Tetszőleges Ĝ karakter és g G esetén (g) egy G -adik egységgyök. Bizonyítás. Jelölje a G csoport egységelemét, ekkor minden g G-re igaz, hogy g G =. Továbbá tudjuk, hogy homomorfizmus, így () =. Ezeket felhasználva adódik, hogy bármely Ĝ és bármely g G esetén ((g)) G = ( g G ) = () =..3. Tétel. A Ĝ halmaz csoport a pontonkénti szorzással, és G = Ĝ. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy Ĝ egységeleme a konstans karakter. Jelölje ezt a karaktert 0. A karakter inverze, hiszen egységnyi abszolút értékű komplex szám reciproka megegyezik a konjugáltjával. Ezek után Ĝ csoport voltát egyszerű számolással ellenőrizhetjük. Az izomorfizmus bizonyításához első lépésben tegyük fel, hogy G ciklikus, azaz G = [g] valamely g G-re. Vegyük észre, hogy a Ĝ karaktert egyértelműen meghatározza g képe, ami G -adik egységgyök. Továbbá ha ε egy tetszőleges G adik egységgyök, akkor a ε (g k ) = ε k képlettel definiált ε leképezés karakter, így G = Ĝ. Ha ε egy primitív G -adik egységgyök, akkor Ĝ k Z úgy, hogy (g) = εk = k ε(g), tehát Ĝ = [ ε], így a karakterek csoportja ciklikus. Ezekből pedig G = Ĝ következik. Ha G nem ciklikus, akkor a véges Abel-csoportok alaptételének értelmében G előáll ciklikus csoportok direkt szorzataként, így a bizonyítás befejezéséhez elegendő azt megmutatni, hogy tetszőleges H és H 2 csoportok esetén H H 2 = Ĥ Ĥ2. Ehhez tekintsük a következő homomorfizmusokat: ϕ : Ĥ Ĥ2 ψ : H H 2, (, 2 ), ahol (a, b) = (a) 2 (b), H H 2 Ĥ Ĥ2, (, 2 ), ahol (a) = (a, ) és 2 (b) = (, b). Az alábbi számolás mutatja, hogy ϕ és ψ egymás inverzei: (ψϕ)(a, b) = (a, ) (, b) = (a, b), ((, 2 )ϕψ)(a, b) = ( (a) 2 (), () 2 (b)) = ( (a), 2 (b))..4. Állítás. Minden Ĝ, 0 esetén (g) = 0. g G

5 Bizonyítás. Mivel G csoport, így minden a G esetén teljesül, hogy Ezt felhasználva kapjuk, hogy {a g g G} = {g g G}. g G (g) = g G (ag) = g G (a)(g) = (a) g G Mivel 0, ezért van olyan a G, hogy (a), így (g) = 0. g G (g)..5. Állítás. Tetszőleges g G esetén (g) = Ĝ { G, ha g =, 0 különben. Bizonyítás. Az előző állítás bizonyításáshoz hasonlóan tetszőleges ξ Ĝ esetén (g). Ĝ (g) = Ĝ(ξ )(g) = Ĝ ξ(g)(g) = ξ(g) Ĝ Ha ξ(g), akkor ebből következik, hogy (g) = 0. Ĝ Azt kell tehát megmutatnunk, hogy ha g, akkor létezik olyan ξ Ĝ, amelyre ξ(g). Ennek igazolásához tekintsük a következő H halmazt: H = {g G Ĝ : (g) = }. Könnyen megmutatható, hogy H normálosztó G-ben. Vegyük észre, hogy a H szerinti mellékosztályozás osztályain minden Ĝ-beli karakter konstans, így Ĝ beágyazható Ĝ/H-ba, amiből Ĝ Ĝ/H következik. Figyelembe véve, hogy Ĝ/H = G/H, adódik a következő összefüggés: G = Ĝ Ĝ/H = G/H = G / H, amiből H =, és így H = {} következik..2. Dirichlet-karakterek A Dirichlet-karakterek nevüket az őket megalkotó Johann Peter Gustav Lejeune Dirchlet-ről kapták, aki 837-es dolgozatában használta őket, hogy bizonyítsa tételét a prímszámok előfordulásáról számtani sorozatokban. Mi is e célból foglalkozunk velük. 2

6 .6. Definíció. Legyen egy karaktere a modulo m redukált maradékosztályok Z m csoportjának. Értelmezzük -t a természetes számok halmazán a következőképpen: { (a), ha a Z (a) = m, 0 különben. Vegyük észre, hogy multiplikatív és m szerint periodikus. Az így előálló : N C leképezéseket nezezzük (az m modulushoz tartozó) Dirichlet-karaktereknek..7. Megjegyzés. A továbbiakban m 2 egy rögzített modulust, pedig egy tetszőleges modulo m Dirichlet-karaktert jelöl, valamint a-val jelöljük mind az a természetes számot, mind az a-t tartalmazó modulo m maradékosztályt..8. Állítás. Ha 0, akkor bármely x pozitív valós számra (n) < m. n x Bizonyítás. Írjuk fel [x]-et mq + r alakban, ahol 0 r < m. Ekkor mq mq+r (n) = (n) + (n). () n x n= n=mq+ Az im +, im + 2,..., im + m számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo m bármely i {0,,..., q } esetén. Így az.4. Állítás alapján az ezeken vett összeg 0. Ezt felhasználva () a következő alakban írható fel: mq+r n=mq+ (n) mq+r n=mq+ (n) r < m..9. Állítás. Ha 0, akkor tetszőleges a, b Z m esetén { ϕ(m), ha a b mod m, (a)(b) = 0 különben. Bizonyítás. Az.5. Állítást és a (a) = (a ) összefüggést felhasználva (a)(b) = (a )(b) = { (a ϕ(m), ha a b =, b) = 0 különben. Vegyük észre, hogy a b = pontosan akkor, ha a b (mod m), így kész a bizonyítás. 3

7 2. A Riemann-féle ζ és a Dirichlet-féle L függvények 2.. Definíció. A Riemann-féle ζ függvényt és a Dirichlet-féle L függvényeket Re(s) > esetén a következő formulákkal definiáljuk: p prím ζ(s) = n= n s, L(s, ) = n= (n) n s Tétel. A fenti függvények Re(s) > esetén holomorfak, és előállnak szorzat alakban a következőképpen: ζ(s) = ( ) és L(s, ) = ( (p) ). p s p s p prím Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a függvényeket előállító sorok abszolút konvergensek, hiszen (n) n s <, nre(s) n= n= ha Re(s) >. A Weierstrass-féle M-tesztet alkalmazva adódik az egyenletes konvergencia, Weierstrass konvergenciatétele pedig garantálja a függvények analitikus voltát [G]. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban jelöljön p mindig prímszámot. Felhasználva multiplikativitását a szorzatalak a következő formába írható át: ( ) ( ) p ( (p) p s ) = p (p) p s = p n=0 (p n ) p ns. (2) A (2) egyenlőségben csak egy adott k-nál kisebb prímekre véve a szorzatot ( ) (p n ) = (n) p ns n, (3) s n p k n=0 ahol olyan n-ekre összegzünk, melyeknek nincs k-nál nagyobb prímtényezőjük. Ha k, és alkalmazzuk a számelmélet alaptételét, akkor a (3) egyenlőség a következőképpen alalkul: ( p n=0 ) (p n ) = p ns n= (n) n s = L(s, ). Az állítás a ζ függvény esetén a fentivel analóg módon igazolható. 2.. Analitikus kiterjesztés Ezen fejezet célja megmutatni, hogy a Riemann-féle ζ függvény és a Dirichlet-féle L függvények a Re(s) > tartománynál tágabb tartományon is értelmezhetők. Kiterjeszthetőek az egész komplex síkon meromorf függvényekké [G], azonban a Dirichlettétel bizonyításáshoz nekünk elegendő a Re(s) > 0 tartományra való kiterjesztés, így ennyivel megelégszünk. Ehhez pedig a következő tételt és annak következményét fogjuk felhasználni. 4

8 2.3. Tétel (Parciális összegzés). Legyen {a n } n= komplex számok egy sorozata, f(t) pedig egy folytonosan differenciálható függvény az [, x] intervallumon, és legyen A(t) = n t a n. Ekkor a n f(n) = A(x)f(x) n x A(t)f (t) dt. Bizonyítás. Első lépésben tegyük fel, hogy x természetes szám. Ekkor a n f(n) = (A(n) A(n )) f(n) n x n x = A(n)f(n) A(n)f(n + ) n x n x = A(x)f(x) n+ A(n) f (t) dt = A(x)f(x) = A(x)f(x) n x n n+ n x n A(t)f (t) dt, A(t)f (t) dt mivel A(t) lépcsős függvény. Ezzel beláttuk az állítást arra az esetre, ha x egész szám. Ha x nem egész, figyeljük meg, hogy A(x) (f(x) f([x])) [x] A(t)f (t) dt = 0, amivel kész a bizonyítás Következmény. Tegyük fel, hogy A(x) = O(x δ ). Ekkor s > δ esetén n= a n n = s A(t) s t. s+ Bizonyítás. Legyen f(t) =, ekkor f (t) = s. A 2.3. Tételt alkalmazva t s t s+ a n f(n) = A(x)f(x) n x Ha x, akkor A(x) x s n x a n n = A(x) + s s x s A(t)f (t) dt, azaz A(t) dt. ts+ 0, mivel s > δ és A(x) = O(x δ ). Tehát n= a n n = s s A(t) dt. ts+ 5

9 2.5. Állítás. Az (s )ζ(s) függvény analitikusan kiterjeszthető a Re(s) > 0 tartományra. Bizonyítás. A 2.3. Tételt alkalmazva Re(s) > esetén adódik, hogy n x n = [x] s x + s s [t] x {x} dt = + s ts+ x s [t] dt. (4) ts+ Írjuk fel az x x s függvényt integrál alakban a következőképpen: x x = s x Helyettesítsük be ezt a (4) egyenlőségbe: n x n s = +( s) {x} dt ts x +s s = + ( s) s [t] {x} x dt = ts+ x + s dt. (5) ts x t dt s s {t} dt. ts+ Szorozzunk be (s )-gyel és alkalmazzunk határátmenetet. A jobb oldalon {x} x s nullához tart, a bal oldalon pedig megkapjuk az (s )ζ(s) függvényt: (s )ζ(s) = s + (s ) Az (5) egyenlőség alapján dt s(s ) ts dt =, ezt (6)-ba írva t s s {t} dt. (6) ts+ {t} (s )ζ(s) = s s(s ) dt. (7) ts+ A (7) egyenlőség jobb oldala egy olyan függvény, ami a Re(s) > tartományon megegyezik az (s )ζ(s) függvénnyel, és analitikus Re(s) > 0 esetén Következmény. A Riemann-féle ζ függvény kiterjeszthető a Re(s) > 0 félsíkra egy olyan meromorf függvénnyé, melynek s = -ben egyszeres pólusa van, és ez az egyetlen szingularitása Állítás. Ha 0, akkor az L(s, ) függvény analitikusan kiterjeszthető a Re(s) > 0 tartományra. Bizonyítás. Az.8. Állítás értelmében A(x) = n x (n) = O(), így a 2.4. Következményt alkalmazva kapjuk, hogy s > 0 esetén L(s, ) = s A(t) t s+. 6

10 2.2. A Dirichlet-féle L függvény viselkedése az s = helyen Ebben az alfejezetben igazoljuk, hogy minden 0 -tól különböző Dirichlet karakterre L(, ) 0. Ezen az analitikus jellegű tényen múlik a Dirichlet-tétel bizonyítása Állítás. Ha Re(s) > és (a, m) =, akkor (a) log L(s, ) = ϕ(m) np. ns p n a Bizonyítás. A 2.2. Tételt, és a log( x) függvény Taylor-sorfejtését felhasználva kapjuk, hogy (a) log L(s, ) = ( ( (a) log (p) ) ) p s p = (a) ( log (p) ) p s p = (a) ((p)) n np ns p n= = (a) (pn ) np ns p n= = (a)(p n ). np ns p n= Az.9. Állítás alapján (a)(p n ) = { ϕ(m), ha p n a, 0 különben, és ezzel kész a bizonyítás Definíció. Legyenek {a n } n= és s komplex számok, ekkor a sort Dirichlet-sornak nevezzük. n= 2.0. Megjegyzés. Minden Dirichlet-sorhoz létezik σ 0 R {± } úgy, hogy a sor abszolút konvergens Re(s) > σ 0 esetén és divergens Re(s) < σ 0 esetén. Ezt a σ 0 értéket nevezzük a Dirichlet-sor konvergencia-abszcisszájának [G]. Mi csak az a n 0 esetre igazoljuk a konvergencia-abszcissza létezését. 2.. Lemma. Legyen {a n } nemnegatív számok egy sorozata. Ekkor létezik olyan σ 0 R { }, hogy az a n f(s) = n s 7 a n n s n=

11 sor konvergál s > σ 0 esetén és divergál s < σ 0 esetén. Sőt, ha Re(s) > σ 0, akkor a sor egyenletesen konvergál a Re(s) > σ 0 + δ tartományon minden pozitív δ-ra, továbbá f (k) (s) = ( ) k a n (log n) k. n s Bizonyítás. Ha a sor egyetlen valós számra sem konvergens, akkor legyen σ 0 =. Egyébként tegyük fel, hogy a sor konvergens valamely s 0 valós számra. A majoráns kritérium értelmében a sor konvergens s > s 0 esetén, hiszen a tagok nemnegatívak. Legyen σ 0 azon valós számok infimuma, melyekre a sor konvergens. Az egyenletes konvergencia nyilvánvaló, emiatt tagonkénti deriválással kiszámíthatjuk f (k) (s) értékét Re(s) > σ 0 esetén. Az előző lemma mutatja a konvergencia-abszcissza létezését. Tegyük fel, hogy σ 0 valós, azaz nem végtelen, ekkor egy érdekes kérdés lehet a Dirichlet-sor viselkedése az s = σ 0 pontban. A későbbiekben megmutatjuk, hogy a sor divergál a konvergencia-abszcisszájában, ehhez azonban szükségünk van a következő tételre, melyet bizonyítás nélkül közlünk [R] Tétel. Legyen f a n= a n (z z 0 ) n n=0 hatványsor által meghatározott függvény. Ekkor f-nek van szingularitása a fenti hatványsor konvergenciatartományának határán Tétel. Legyen {a n } nemnegatív számok egy sorozata, és legyen σ 0 az f(s) = Dirichlet-sor konvergencia-abszcisszája. Ekkor f egy holomorf függvény a Re(s) > σ 0 tartományon, melynek s = σ 0 egy szingularitása. Bizonyítás. A 2.. Lemma alapján világos, hogy f(s) egy olyan függvénysor határértéke, amely tetszőleges δ > 0 esetén egyenletesen konvergens a Re(s) > σ 0 + δ félsíkon, és így a Weierstrass konvergenciatétel értelmében f(s) holomorf ezen a tartományon. Tekintsünk egy tetszőleges σ > σ 0 valós számot, ekkor a 2.. Lemma alapján f (k) (σ ) = ( ) k n= n= a n n s a n (log n) k, és így átírhatjuk a σ körüli hatványsort a következő alakba: f (k) (σ ) (s σ ) k (σ s) k a n (log n) k =. k! k! n σ k=0 k=0 Ha s < σ, akkor ez egy nemnegatív tagú sor, és így megcserélhetjük az összeadások sorrendjét és alkalmazva az exponenciális függvény sorfejtésést kapjuk, hogy (σ s) k a n (log n) k a n (σ s) k (log n) k a n = = k! n σ n σ k! n. s k=0 n= n= 8 k=0 n σ n= n=

12 Tehát s < σ esetén a Dirichlet-sor és a Taylor-sor ekvikonvergens. Mivel s < σ 0 esetén a Dirichlet-sor divergál, így divergál a Taylor-sor is, ezért a σ körüli Taylor-sor konvergenciasugara nem lehet más, mint σ és σ 0 távolsága (lásd az. ábrát). A 2.2. Tétel alapján f-nek van szingularitása az ábrán látható körvonalon, ami csak a σ 0 pont lehet, hiszen az f-et definiáló Dirichlet-sor konvergens a körvonal minden σ 0 -tól különböző pontjában.. ábra. A Dirichlet-sor és a Taylor-sor konvergenciatartománya 2.4. Állítás. Ha Re(s) >, akkor f(s) = L(s, ) = ahol c n 0, de ez a sor divergál s = ϕ(m) esetén. n= c n n s, Bizonyítás. Felhasználva a 2.8. Állítást kapjuk, hogy ( f(s) = exp log ) ( ) ( L(s, ) = exp log L(s, ) = exp p n ) ϕ(m). np ns Innen pedig Taylor-sorfejtéssel kapjuk a pozitív tagú alakot. A divergencia bizonyításához elegendő az f függvény logaritmusával foglalkoznunk. Tekintsük a következő becslést, melyet úgy kapunk, hogy összegzéskor csak az n = ϕ(m)-hez tartozó tagokat vesszük figyelembe: log f(s) = p n ϕ(m) np ns > 9 p ϕ(m) p ϕ(m)s.

13 Az egyenlőtlenség jobb oldalában s helyére -et írva és figyelembe véve, hogy ϕ(m) p ϕ(m) akkor és csak akkor, ha (p, m) =, kapjuk, hogy log f(s) > (p,m)= p = p p p m p =, hiszen p m p egy véges összeg Tétel. Minden 0 Dirichlet-karakterre L(, ) 0. Bizonyítás. A 2.. alfejezetben láttuk, hogy 0 esetén L(s, ) analitikus a Re(s) > 0 tartományon, továbbá azt is láttuk, hogy ζ meromorf a Re(s) > 0 félsíkon és az s = egyszeres pólus az egyetlen szingularitása. Vegyük észre, hogy L(s, 0 ) = ζ(s). ( p ). (8) s p m A fenti összefüggés miatt L(s, 0 ) is meromorf a Re(s) > 0 félsíkon és az s = egyszeres pólus az egyetlen szingularitása. Ha létezik 0, hogy L(, ) = 0, akkor az f(s) = L(s, ) függvény analitikus a Re(s) > 0 tartományon, mert az L(s, ) függvény zérushelye semlegesíti az L(s, 0 ) függvény pólusát. A 2.4. Állítás szerint viszont az f függvényt előállító Dirichlet-sor divergál s = esetén, amiből az következik, hogy a konvergencia-abszcissza, σ ϕ(m) 0 > 0, ϕ(m) és így a 2.3. Tétel alapján az f függvénynek szingularitása van az s = σ 0 pontban, ami ellentmond annak, hogy f analitikus a Re(s) > 0 félsíkon. Tehát minden 0 Dirichlet-karakterre L(, ) A Dirichlet-tétel Dirichlet tétele tekinthető Euklidész azon tétele általánosításának is, miszerint végtelen sok prímszám van. Ugyanis ez a tétel azt állítja, hogy tetszőleges a és m természetes számokra (a, m) = esetén végtelen sok a + km alakú prímszám létezik, vagy másképpen megfogalmazva, hogy az a, a + m, a + 2m, a + 3m,... számtani sorozatnak végtelen sok prím eleme van. Ennél egy erősebb állítást fogunk igazolni neveztetesen azt, hogy az a + km alakú prímek reciprokaiból alkotott sor divergens, ami Euler a prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergenciájáról szóló tételének általánosítása Tétel (Dirichlet-tétel). Ha az a természetes számra (a, m) =, akkor p a p =. Bizonyítás. A 2.8. Állítás alapján tudjuk, hogy (a) log L(, ) = ϕ(m) np. n p n a 0

14 Ezt átalakítva kifejezhető a vizsgálni kívánt sor: p a p = (a) ϕ(m) Első lépésben megmutatjuk, hogy log L(, ) n 2 p n a n 2 p n a Ehhez tekintsük a következő becslést: n 2 p n a np < n p = 2 = 2 = 2 p p n 2 n=2 p 2 np < n p n=0 np n <. p n = 2 p 2 p < 2 2 p n n 2 n=2 n(n ) = 2 p p 2 p n 2 n n=2 np n. ( n n ) <. Célunk igazolni, hogy a log L(, ) sor divergens. A 2.5. Tétel alapján L(, ) 0 ha 0, így elegendő az L(s, 0 ) függvényt az s = pontban vizsgálnunk. Használjuk fel a (8) összefüggést log L(s, 0 ) becslésére: log L(s, 0 ) = log ζ(s) ( p ) = log( ) + log ζ(s). s ps p m p m Ha s, akkor a fenti összeg első tagja véges határértékhez tart, log ζ(s) pedig divergál. Így a log L(, ) sor divergens, és ezzel beláttuk Dirichlet tételét.

15 Hivatkozások [G] Theodore W. Gamelin, Complex Analysis, Undegraduate Texts in Mathemtics, Springer-Verlag, New York, 200. [R] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 987. [ME] M. Ram Murty, Jody Esmonde, Problems in Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 90, Springer-Verlag, [M] M. Ram Murty, Problems in Analytic number Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008

16 Alulírott Körmendi Kristóf kijelentem, hogy a szakdolgozatban foglaltak saját munkám eredményei, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. Tudomásul veszem, hogy szakdolgozatomat a Szegedi Tudományegyetem könyvtárában a kölcsönözhető könyvek között helyezik el, és az interneten is nyilvánosságra hozhatják május 5. Körmendi Kristóf