Elemi becslések a prímszámok számára
|
|
- Irén Pap
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Elemi becslések a rímszámok számára Szakdolgozat Készítette: Kolányi Barbara Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Gyarmati Katalin adjunktus Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budaest 202
2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3 2. Hat bizonyítás a rímszámok végtelenségére Euklidész bizonyítása Második bizonyítás Harmadik bizonyítás Negyedik bizonyítás Ötödik bizonyítás Hatodik bizonyítás A rímszámok eloszlásáról 3.. A rímszámok számának vizsgálata Csebisev-tétel Az n-edik ozitív rímszám becslése Prímszámok recirokösszege A rímszámok recirokösszegének divergenciája A rímszámok recirokösszegével kacsolatos tételek Modern eredmények Élesebb becslések a rímszámok számára Prímszámtétel
3 . fejezet Bevezetés A matematika területén rímszámnak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek ontosan két osztójuk van a természetes számok között (maga a szám és az ). Végtelen sok rímszám van. Ennek az állításnak a legrégebbi bizonyítását Euklidész adta meg Elemek cím munkájában. A rímszámok végtelenségére számos más bizonyítás is született számelméleti, absztrakt algebrai, analitikus, s t toológiai eszközök felhasználásával is. A rímszámok keresésének legegyszer bb módja a rosta, avagy Eratoszthenész szitája: felírjuk a számokat -t l n-ig. Kihúzzuk az -et, hiszen az nem rímszám. Az els nem kihúzott számot bekarikázzuk, ez rímszám lesz ( 2), ezután kihúzzuk a 2 többszöröseit, majd a számok sorozatában az els ki nem húzott és be nem karikázott számot bekarikázzuk, ez lesz a következ rímszám (3). Ennek a többszöröseit is kihúzzuk, és így tovább. A bekarikázott számok lesznek n-ig a rímszámok. A rímszámokkal kacsolatban rengetek megoldatlan robléma van. Ilyen éldául az Ikerrím-sejtés, az n 2 + alakú rímek számának végtelensége és a Mersenne-rímek számának végtelensége. Máig ne tudjuk, hogy létezik-e végtelen sok 2 2n + (Fermat szám) alakú rímszám, s t azt sem, hogy létezik-e végtelen sok ilyen alakú összetett szám. 3
4 A szakdolgozatban bizonyításokat mutatunk be a rímszámok végtelenségére, elemi becsléseket adunk a rímszámok számára, megismerkedünk néhány, a rímszámok recirokösszegér l szóló tétel bizonyításával és ismertetjük a rímszámok számának meghatározására vonatkozó modernebb eredményeket. 4
5 2. fejezet Hat bizonyítás a rímszámok végtelenségére Euklidész óta ismert, hogy végtelen sok rímszám létezik. [] alaján 6 különböz bizonyítást ismertetek. Bevezetünk néhány jelölést: N = {, 2, 3,... } a természetes számok halmaza, Z = {..., 2,, 0,, 2,... } az egész számok halmaza, P = {2, 3, 5, 7,... } a rímszámok halmaza. 2.. Euklidész bizonyítása Legyen {,..., r } rímek egy tetsz leges véges halmaza. Vegyük az n = 2... r + számot és legyen az n szám rímosztója. Ekkor nem lehet egyenl semelyik i -vel, különben ugyanis osztaná n-et és a 2... r szorzatot, és így az n 2... r = különbséget is, ami lehetetlen. Tehát egy véges {,..., r } halmaz nem tartalmazhatja az összes rímszámot. A következ három bizonyítás szájhagyomány útján terjedt, az ötödik Hillél Fürstenberg nevéhez f z dik, az utolsó edig Erd s Pál bizonyítása. 5
6 2.2. Második bizonyítás Nézzük el ször az F n = 2 2n + Fermat számokat n = 0,, 2,...-re. (Az els néhány Fermat szám: F 0 = 3; F = 5; F 2 = 7; F 3 = 257; F 4 = ; F 5 = ) Megmutatjuk, hogy bármely két Fermat szám relatív rím, így végtelen sok rímszámnak kell lennie. Ezért belátjuk a n F k = F n 2 (n ) k=0 rekurziót, amib l állításunk azonnal következik. Valóban, ha m osztja éldául F k -t és F n -et (k < n), akkor m osztja 2 = F n n F k -t is, tehát m = vagy m = 2. De m = 2 k=0 nem lehet, mert minden Fermat szám áratlan. A rekurziót n szerinti indukcióval bizonyítjuk. Ha n =, akkor F 0 = 3 és F 2 = 3. Feltesszük, hogy az állítás igaz n = m-ig. Bebizonyítjuk, hogy ekkor n = m + -re is igaz. Az indukciós feltevésb l következik, hogy ( m m ) F k = F k F m = (F m 2)F m = (2 2m )(2 2m + ) = 2 2m+ = k=0 k=0 = F m Harmadik bizonyítás Deníció. A Mersenne-számok az M = 2 alakú számok, ahol rím Tétel (Lagrange-tétel). Ha G egy véges (multilikatív) csoort és U egy részcsoortja, akkor U osztja G -t. Tegyük fel, hogy P véges és a legnagyobb rím. Megmutatjuk, hogy 2 bármely q rímosztója nagyobb mint. Ebb l következik a rímszámok végtelensége. Legyen q a 2 valamely rímosztója, azaz 2 (mod q). Mivel rím, ez azt jelenti, hogy Z q test Z q \{0} multilikatív csoortjában a 2 elem rendje. Ennek a csoortnak q 6
7 eleme van. A Tételb l tudjuk, hogy minden elem rendje osztja a csoort rendjét, így q, tehát < q Negyedik bizonyítás Ez a bizonyítás elemi analízist használ Deníció. log = dt az természetes logaritmusa. t Legyen π() := #{ : P} az valós számnál kisebb vagy egyenl rímszámok száma. (#A az A halmaz elemszámát jelöli.) Számozzuk meg a rímszámokat növekv sorrendben: P = {, 2, 3...} és vegyük természetes logaritmusát. Hasonlítsuk össze az f(t) = t konját felülr l közelít lécs s függvénnyel. függvény grakonja alatti területet egy a függvény gra- Így n n + -re log n + n m -et kaunk, ahol az összegzést minden olyan m N-re kiterjesztjük, aminek csak rímosztója van. Minden ilyen m egyértelm en felírható alakban, ezért m = ( P 7 k 0 ) k k
8 A bels összeg egy kvóciens mértani sor, azaz log P = P π() = k= k k. k k +, így tehát k k = + k + k = k + k, log π() k= k + k = π() +. Tudjuk, hogy log nem korlátos, tehát π() sem az, azaz végtelen sok rímszám van Ötödik bizonyítás Ez a bizonyítás toológiát használ. Nézzük az alábbi toológiát az egész számok Z halmazán: az a, b Z, b > 0 számokra legyen N a,b = {a + nb : n Z}. Minden N a,b halmaz egy kétirányú végtelen számtani sorozat Deníció. Egy O Z halmaz nyílt, ha vagy O üres, vagy minden a O-hoz van olyan b Z, amelyre N a,b O. Nyilvánvaló, hogy nyílt halmazok uniója is nyílt. Belátjuk, hogy véges sok nyílt halmaz metszete is nyílt. Ehhez elég, hogy két nyílt halmaz metszete is nyílt. Legyen O és O 2 két nyílt halmaz, ekkor tetsz leges a O O 2 -hez létezik b, b 2 Z, hogy N a,b O illetve N a,b2 O 2, de ekkor a N a,b b 2 O O 2. Ez a halmazcsalád tehát egy valódi toológiát generál Z-n. Állítás (A) Bármely nemüres nyílt halmaz végtelen. 8
9 (B) Minden N a,b halmaz zárt is. (A) következik a denícióból. (B)-hez vegyük észre, hogy N a,b = Z \ b i= N a+i,b, ami bizonyítja, hogy N a,b egy nyílt halmaz komlementere, tehát zárt is. Mivel minden n, számnak van rímosztója, ezért benne van N 0, -ben, amib l következik, hogy Z \ {, } = P N 0,. Ha P véges lenne, akkor N 0, (B) alaján el állna zárt halmazok véges uniójaként, és P így maga is zárt lenne. Tehát az {, } nyílt halmaz lenne, ami viszont ellentmond (A)-nak Hatodik bizonyítás sor di- Ez a bizonyítás a rímszámok végtelenségén túl azt is megmutatja, hogy P vergens. Euler adta az els bizonyítást erre a fontos eredményre (4. fejezet). Legyen, 2, 3,... a rímszámok növekv sorozata, és tegyük fel, hogy konvergens. Ekkor kell lennie olyan k természetes számnak, melyre < 2. P Nevezzük i k+,..., k -t kis rímeknek, és k+, k+2,...-t nagy rímeknek. Tetsz leges természetes számra tehát adódik. i k+ i < 2 i (2.) Legyen N azon m ozitív egészek száma, amelyeknek legalább egy nagy rímosztójuk van, K edig azoké, amelyeknek minden rímosztójuk kicsi. Megmutatjuk, hogy alkalmas -re N + K <, 9
10 ami a várt ellentmondást adja, mert deníció szerint N + K =. azokat a m ozitív egészeket számolja, amelyek i többszörösei. Vagyis () i alaján N i k+ < 2. (2.2) Vizsgáljuk most K -et! A csak kis rímosztókkal rendelkez m -eket átírjuk m = a m b 2 m alakba, ahol a m a négyzetmentes rész. Minden a m tehát különböz kis rímeknek a szorzata, azaz legfeljebb 2 k féle négyzetmentes rész van. Továbbá, mivel b m m, azt kajuk, hogy legfeljebb féle négyzetes rész van, és ezért i K 2 k. Ha 2 k 2, akkor K 2 k 2, és ekkor (2) alaján K + N <. Végül megjegyezzük, hogy > 2 2k+2 esetén 2 k < 2 valóban teljesül. 0
11 3. fejezet A rímszámok eloszlásáról Ebben a fejezetben [2] alaján adok elemi becsléseket a rímszámok számára. 3.. A rímszámok számának vizsgálata 3... Deníció. Tetsz leges 2 valós szám esetére jelölje π() az -et meg nem haladó ozitív rímszámok számát, azaz π() = rim. (A továbbiakban rímeken futó szummákat és roduktumokat és kélettel írjuk.) A következ tétel a [2; n] intervallumba es rímszámok szorzatára ad fels becslést Tétel. Tetsz leges n 2 egész szám esetén < 4 n. Bizonyítás. (Erd s Pál és Kalmár László bizonyítása) A bizonyítást n szerinti teljes indukcióval végezzük. n = 2 esetén 2 < 4 2 ; n = 3 estén 2 3 < 4 3. Tegyük fel, hogy a tétel n -ig igaz. Bebizonyítjuk, hogy ekkor n-re is igaz, amennyiben n 4. I. eset: n áros: n = 2k 4, ekkor = < 4 2k < 4 2k 2k 2k n
12 II. eset: n áratlan: n = 2k + > 4, akkor a szorzat ( ) ( = 2k+ k+ k+2 2k+ ahol az indukciós feltétel miatt < 4 k+, hiszen 2 < k + < n. Továbbá k+ (k + 2)(k + 3) (2k + ) = (2k+)! = k! ( ) 2k+ (k+)! k kifejezést, és mivel ez a k+2 2k+ ( ) 2k+ szorzat k!-hoz relatív rím, ezért osztója a k egész számnak, tehát ( ) 2k (2k + ) 2k = < k (k + )! így végül k+2 2k+ < (2k + 2) 2k (k + )! 2k+ < 4 k+ 4 k = 4 2k+. Megjegyzés: A Tétel R esetén is igaz Tétel. Tetsz leges 2 valós szám esetén ( π() < ) 4 log 2. ), = 2 2k = 4 k ; Bizonyítás. A szorzatot becsüljük alulról. A szorat alatti tényez it 2-vel, a többit -szel becsüljük alulról: 4-re 4 > = 2 = < < = 2 π( ) ( ) π( ), tehát 2 2 > 2 π( ) ( ) π() π( ). 2
13 Áttérve kettes alaú logaritmusra azt kajuk, hogy 2 > π( ) + (π() π( )) log 2, 4 miatt log 2 0 és π( ) <, ezért π() < 4 2π( ) + π( ) = ( 4 + π( ) ) (log log 2 log 2 2 2) ( 4 + ) (log log 2 2 2), Mivel 4, ezért van olyan k 2 egész, amelyre 2 k < 2 k+, így ahol 2 k 2 (k + 2) 3 4 k 2 k 2 0 (log 2 2) < 2 k 2 (k + 2) 3 4, egyenl tlenség k = 2; k = 3 és k = 4 esetén fennáll, és k 4-re = Ezzel igazoltuk, hogy 4-re (k + ) 2 k+ 2 π() < ( k ) 2 (k + ) >. ( ) 4 log 2 ; 2 k+ 2 és 2 < 4 esetén π() 2 < ( 4 = ) ( 2 4 log 2 4 < ) 4 log Tétel. Tetsz leges 2 valós szám esetén ( π() > 3 ) 4 log 2. Bizonyítás. A bizonyításnál felhasználjuk a következ tételt: Tétel (Legendre féle formula). Legyenek n és k ozitív egész számok, ozitív rímszám, továbbá k kitev je: α,n! = n < k+. Ekkor az n! kanonikus felbontásában a [ ] [ ] [ ] [ ] n n n n k 3
14 [ A tétel egyszer en következik abból, hogy az, 2,..., n számok között [ [ n darab 2 n -tel és általában darab j -nel osztható szám van. 2 ] j ] Ezután rátérünk a Tétel bizonyítására: Legyen n ozitív egész. A Tétel alaján ( ) 2n = (2n)! n (n!) = β, ahol β 2 = 2n γ j= ([ ] 2n j n [ ]) n 2 j ] darab -vel, és γ 2n < γ+. y R esetén 2[y] 2y < 2[y] + 2 miatt 2[y] [2y] 2[y] +, azaz 0 [2y] 2[y], tehát 0 β γ, ezért ( ) 2n γ (2n) π(2n). n Másrészt n 2-re ( ) 2n = n 2n (2n )2n n! = 22n n > (2n 2)2n n! = 22n 2n. (3.) = Tehát ozitív egész n-re (n = -re egyenl séggel) 2 2n (2n) π(2n)+, azaz π(2n) 2n log 2 (2n). Ezt R; 2 esetén alkalmazhatjuk n = [ 2] -szel: ( [ ]) 2 [ ] 2 π() π 2 ]) > 2 2 log 2 = = log 2 ( [ log ( (2 + log 2 ) ). Ha 8, akkor van olyan k 3 egész, amelyre 2 k < 2 k+, így (2 + log 2 ) 2 k (k + 3) 3 4, 4
15 ami k = 3-ra nyilvánvaló, míg k 4-re k k 2k 2 k 3 4. (Az utolsó egyenl tlenséget a Tétel bizonyításában már láttuk 2k helyén k-val) Tehát 8 esetén π() > ( ) 3, ami 2 < 4-re: < 4 = 4 és 4 < 8-4 log 2 log 2 ra: = 4 is teljesül, tehát minden 2-re igaz a tétel. log 2 < Csebisev-tétel Tétel (Csebisev tétele). Tetsz leges n ozitív egészhez létezik olyan rímszám, amelyre n < 2n. Bizonyítás. (Erd s Pál bizonyítása) Nézzük n 5 ( ) 2n egész esetére a n = β 2n fels becslését úgy, hogy szétvágjuk a szorzatot 2n-nél, 2n -nál és n-nél! A Tétel 3 bizonyításában láttuk, hogy < 2n β < 2n γ (2n) π( 2n) (2n) 2n. Ha 2n < 2n 3, akkor β γ =, és a Tétel alaján 2n< 2n 3 β 2n 3 < 4 2n 3. Deniáljuk az üres szorzatot -nek! Így az eredmény akkor is érvényes lesz, ha 2n és 2n 3 között nincs rímszám (éldául n = 5; n = 6; n = 7). Ha 2n < 3 n, akkor γ = [ ] [ ] és n < 3 2 ; 2 2n < 3 révén β = 2 = 2 2 = 0. Ha n < 2n, akkor γ = és β = 2 0 =. 2n n Összegy jtve a becsléseketés és a 3.-et felhasználva: n 5-re ( ) 2 2n 2n 2n < < (2n) 2n 4 2n 3, n n< 2n 5
16 ha van rímszám az ]n; 2n] intervallumban. Ha nem volna, akkor adódik, azaz 2 2n 2n < (2n) 2n 4 2n 3 ( 2 2n ( 2n) 6 ) 2n 3 <. De k = [ 2n] 30 esetén és k 30-ra 2 2n ( 2n) 6 > 2 k (k + ) 6 >, mivel = 2 k+ (k + 2) 6 = 2 k (k + ) 6 2 ( ) + 6 k+ 2 k (k + ) 6 hiszen ( + 3) 6 <, 6 <, 34 2 < 2. ( ) 6 32 >, 3 2 ( ) + 6 > 3 2 k (k + ) 6, Tehát [ 2n] 30, azaz n 450 esetén biztos, hogy van rímszám az ]n; 2n] intervallumban. Ellen rizhet, hogy az ]n; 2n] intervallumban n < 450 esetén is van rímszám, biztosan jó a következ rímszámok valamelyike: 2; 3; 5; 7; 3; 23; 43; 83; 63; 37; 63 (mindegyik kisebb, mint az el tte lév kétszerese). Csebisev tétele úgy is megfogalmazható, hogy tetsz leges n ozitív egészre π(2n) > π(n). Ez Csebisev 850-es eredménye. Közvetlen el zménye Joseh Louis Francois Bertrand ( ) francia matematikus 845-ben megfogalmazott sejtése volt, miszerint ha n > 3 egész, akkor van olyan rímszám, hogy n < < 2n 2. Bertrandnak a sejtését nem sikerült általában igazolnia (n < ra ellen rizte). Ezt Bertrand-féle osztulátumként is szokták emlegetni. 850-ben Csebisev bebizonyította ezt a sejtést: minden n > 3 egészre teljesül, hogy π(2n 3) > π(n). A Tétel ennek egy gyengébb változata. 6
17 3.3. Az n-edik ozitív rímszám becslése Jelölje, 2, 3,... a ozitív rímszámok növekv sorozatát: = 2, 2 = 3, 3 = 5, stb., általában n az n-edik ozitív rímszám. Megjegyzés: Ha a Tételt n helyett n -re alkalmazzuk, a n+ < 2 n egyenl tlenséget kajuk, ami minden n ozitív egészre teljesül Tétel. Ha n az n-edik ozitív rímszám és n 2, akkor 5 n log 2 n < n < 8 3 n log 2 n. Bizonyítás. A π()-re nyert becslésekb l meghatározhatjuk n nagyságrendjét. Mivel tetsz leges n ozitív egészre π( n ) = n és n > n, a Tétel alaján n 2-re n n n = π( n ) < 5 < 5 log 2 n log 2 n, tehát n > 5 n log 2 n. A Tétel szerint edig n = π( n ) > 4 de ebb l csuán n < 4n log 2 n adódik. n log 2 n, Érdemes a Tétel helyett annak bizonyításából az R; 2-re nyert π() > 2 log 2 becslést használni nagyobb -ekre. Ha n 8 egész, akkor n log 2 n 3 8. ( log = 3; log = 2 log < 2 log = 0 < 3; log = log < log = 7 < ; továbbá, ha n 6, akkor log n 2 n 4 < 3, ezután edig 8 2 k n < 2 k+ (k Z) esetén teljesül log n 2 n < k+ 5 < 3 2 k 6 8, mivel k = k + + (k + ) k+ 2 k 2 < k + 2 k.) Nézzük a becslést = 8 3 n log 2 n esetére, ahol n 8 egész. Eszerint ( ) 8 π 3 n log 2 n > 8 n log n 2 ( log 8 n log n ) n log 3 2 n 2 = log 2 (n 2 ) = 4 3 n log 2 n n + n > n = π( n ),
18 így n < 8 3 n log 2 n teljesül n 8-ra, és érvényes 2 n 7 esetén is, mivel ha 2 n 3, akkor 4 n 7 esetén edig és 7 8 < 5 2 < 8 3. n n log 2 n 5 2 log 2 2 = 5 2, n n log 2 n 7 4 log 2 4 = 7 8 Ezt az eredményt alkalmazhatjuk éldául rímszámok recirokösszegeinek becslésére: Ha k nemnegatív egész, akkor a Tétel szerint 2 k+ n=2 k + n > k+ n=2 k + így tetsz leges N ozitív egészre 2 N n= = N n 2 + n log 2 n k+ k=0 2 k + Mivel tetsz leges K ozitív egészre 2 K j= a következ tételt kajuk: K j = + 2 k+ k=0 j=2 k + 2 k+ n=2 k + > 3 N n 6 k=0 K j > 2 k+ (k + ) = 3 6(k + ), k=0 j=2 k + k + = k+ N j= 2 k+ = K 2 ; Tétel. Ha n az n-edik ozitív rímszám és K ozitív egész, akkor j. A Tételb l leolvasható, hogy 2 2K n= lim n > 3 32 K. + = +. A 4. fejezetben további eredményeket ismertetek a a rímszámok recirokösszegér l. 8
19 4. fejezet Prímszámok recirokösszege [3] alaján ismertetek a rímszámok recirokösszegér l szóló tételek közül néhányat. 4.. A rímszámok recirokösszegének divergenciája 4... Tétel. A végtelen sor divergens. Bizonyítás. (Euler bizonyítása) A bizonyítás a divergencia tényén kívül azt is megmutatja, hogy n > log log n 2. (4.) A bizonyításnál a következ analízisbeli tételelet használjuk fel: > log, ha Tétel. k= k (A 2.4. fejezetben már használtuk ezt a tételt.) Tétel. log = , ha Tétel. l k= k 2 < 2, minden l > 0-ra. 3 esetén nézzük a következ szorzatot: A = ( ν ), (4.2) 9
20 ahol Megmutatjuk, hogy ν < ν. (4.3) A > k= k. (4.4) Például = 0-re: A 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) Ha k 0, akkor k kanonikus el állításában csak a 2, 3, 5, 7 rímek szereelhetnek, és legfeljebb akkora hatványon, mint amilyenen az A 0 egyes tényez iben. Tehát tetsz leges k 0 szám egyértelm en el áll ezen rímhatványok szorzataként. A 0 -ben a szorzást végrehajtva minden tag k alakú, és tetsz leges k 0 esetén az k tag tényleg fellé. Tehát a 0 k= k minden tagja megjelenik A 0-ben, azaz 0 k= k < A 0. Ugyanilyen gondolatmenettel A -nél, azt kajuk, hogy A > k= k. (4.5) A Tétel és (4.5) alaján A > log. (4.6) Mivel A minden tényez je egy-egy mértani sor, összegezve az egyes tényez kben, és növelve A = ( ) ν+ <. (4.7) (4.6)-ot és (4.7)-et felhasználva log <. (4.8) 20
21 3, így (4.8) mindkét oldala ozitív, ezért áttérhetünk logaritmusra: Alkalmazva a Tételt és (4.9)-et log log < log. (4.9) log log < + 2. (4.0) A Tétel alaján Végül (4.0) és (4.) miatt 2 < k= < 2. (4.) k2 > log log 2. Megjegyzés: A sor divergenciája, - vagyis az a tény, hogy a sor összege a tagok számának növelésével minden határon túl n, - azt jelenti, hogy a rímszámok recirok értékei lassan fogynak, tehát a rímszámok viszonylag lassan n nek, vagyis elég gyakran helyezkednek el a természetes számok között A rímszámok recirokösszegével kacsolatos tételek Tétel. vagyis a log lim log log = sor aszimtotikusan egyenl log -szel. Bizonyítás. Az alábbi segédtételeket használjuk fel: 2
22 Tétel. n ν= log ν = log n ([ n ] [ ] ) n Ez az n! kanonikus el állítására vonatkozó Legendre féle formula logaritmizált alakja. (3..5. Tétel: Legendre féle formula) Tétel. n log n n < n log ν < (n + ) log(n + ) n Tétel. log( + ) Tétel Tétel. log k k(k ) < 4. ν= log < n log 4. n Ez a < 4 n (minden n > 0-ra) logaritmizált alakja. n Becsüljük a n sort alulról és felülr l a és a Tételek felhasználásával! log Fels becslés: de log n ([ ] [ ] ) n n = 2 n log ν < (n + ) log(n + ) n, (4.2) ν= (n + ) log(n + ) n = n log(n + ) + log(n + ) n = = n log n + n + n log n + log(n + ) n = = n log( + ) + n log n + log(n + ) n. (4.3) n = -re a Tételt alkalmazva n ( n log + ) n n n = (4.4) 22
23 eredményre jutunk. Tehát (4.3) és (4.4) miatt (n + ) log(n + ) n + n log n n + log(n + ). (4.5) Így (4.2) és (4.5) alaján ([ ] [ ] n n log + 2 n ) +... < + n log n n + log(n + ). (4.6) Ha a (4.6) bal oldalát alulról becsüljük, azt kajuk, hogy ([ ] [ ] ) n n log [ ] n log 2 n n ( ) n log = n log log. (4.7) n n n Így a Tétel és (4.7) felhasználásával ([ ] [ ] ) n n log n 2 n n log n log 4. (4.8) Végül (4.6) és (4.8) miatt n-nel végigosztva és rendezve n log < log n + log 4 + log(n + ) n + n (4.9) adódik, vagyis ha n elég nagy, akkor (4.9) alaján arra jutunk, hogy n log < log n + 2. (4.20) Alsó becslés: másrészt ([ ] [ ] ) n n log = 2 n n log ν > n log n n, (4.2) ([ ] [ ] ) n n log < ( n log 2 + n ) +... = 2 n n ν= 23
24 de = n n log + n n ( log + ) , 3 (4.22) konvergens mértani sor, és így ( log + ) = 3 n n A Tételt felhasználva log ( ) < n log 2 = log ( ). (4.23) n n (4.22), (4.23) és (4.24) miatt ([ ] [ ] n n log + 2 n log k k(k ) < log k k(k ) = < 4. (4.24) ) +... < n log + 4n (4.25) n adódik. Ha a (4.2) és (4.25) egyenl tlenségeket felhasználjuk és n-nel végigosztunk, azt kajuk, hogy n log > log n 5. (4.26) Végül a (4.20) és (4.26) alaján a következ eredményre jutunk log log n 5. (4.27) n Ebb l edig következik, hogy lim n n log log n =. (4.28) Tétel. Létezik olyan c konstans, hogy elég nagy n-re log log n < c. n 24
25 Bizonyítás. A bizonyítás során felhasznált analízis tételek: Tétel. log( + ) < 2 ha 0 < Tétel. n Tétel. konvergens. k 2 log k log log n < c. k log(k+) A tételt a arciális szummálás (Ábel-átrendezés) segítségével bizonyítjuk Tétel (Ábel-átrendezés). Legyenek c k, d k, k =,..., n valós számok és jelölje s k a k i= c k d k összeg átrendezhet a következ módon: d i összeget bármely k =,..., n esetén. Ekkor a n n c k d k = (c k c k+ )s k + c n s n. k= A sort rendezzük át n n hogy aszimtotikusan log n. Legyen log k= n k= sor szerint, melyr l a Tétel alaján tudjuk, f(n) = n log (4.29) és g(n) = n. (4.30) f(n) deníciója miatt 0 ha k nem rím f(k) f(k ) = ha k = rím log így f(k) f(k ) log k = 0 ha k nem rím ha k = rím 25
26 Tehát g(n) = n f(k) f(k ) log k Most (4.3)-et átrendezzük f(n) szerint. Legyen = n k= f(k + ) f(k). (4.3) log(k + ) f (n) = f(n) log n. (4.32) (4.27) egyenl tlenség felhasználásával n > n 0 -ra f (n) 5, (4.33) de így (4.3) és (4.32) miatt g(n) = n k= f (k + ) f (k) log(k + ) + n El ször megvizsgáljuk a (4.34) jobb oldalának a második tagját: k= log(k + ) log k. (4.34) log(k + ) n k= log(k + ) log k log(k + ) = n k= log( + k ) log(k + ) = = = n n log( + k ) log(k + ) + log 2 log 2 log( + n ) log(n + ) = log( + ) k log(n + ) + log(k + ) log(n + ) + log n log(n + ) = = n Alkalmazzuk a Tételt = -ra. Ekkor k ( k log + ) < k k, 2 log(k + ) > 0-val végigosztva log( + ) k log(k + ) + log n log(n + ). (4.35) n n k log(k + ) log( + ) k log(k + ) < n k 2 log(k + ) (4.36) 26
27 eredményt kajuk. Tehát a Tételt felhasználva n n k log(k + ) log( + ) k log(k + ) < ahol c ozitív konstans. Másrészt a Tétel alaján vagyis n n n n k log(k + ) log( + ) k log(k + ) n k log(k + ) k 2 log k < k 2 log k = c, (4.37) > 0, (4.38) log( + ) k log(k + ) < c, (4.39) de így a Tétel és (4.39) miatt n log( + k ) log log n log(k + ) < c 2, (4.40) ahol c 2 ozitív konstans. Végül (4.35) és (4.40) alaján elég nagy n-re n log( + k ) log log n log(k + ) k= n log( + ) k log(k + ) log log n + log n log(n + ) < < c 2 + = c 3. (4.4) Most megvizsgáljuk (4.34) jobb oldalának els tagját is (ez a hibatag). (4.33)-beli n 0 -lal n k= f (k + ) f (k) log(k + ) = n 0 k= f (k + ) f (k) log(k + ) + n k=n 0 + f (k + ) f (k) log(k + ) = = c 4 + n k=n f (n 0 + 3) f (n 0 + 2) log(n 0 + 3) f (k + ) f (k) log(k + ) + + f (n ) f (n 2) log(n ) = c 4 + f (n 0 + 2) f (n 0 + ) + log(n 0 + 2) + f (n) f (n ). (4.42) log n 27
28 (4.42) arciálisan szummálva: n k= f (k + ) f (k) log(k + ) = c 4 + f (n) log n f (n 0 + ) log(n 0 + 2) + ( ) +f (n 0 + 2) log(n 0 + 2) + + log(n 0 + 3) ( +f (n ) log(n ) ), (4.43) log n így (4.33) és (4.43) miatt n f (k + ) f (k) log(k + ) c log log n ν=n 0 +2 k= ( ) ( log ν = c log(ν + ) log(n 0 + 2) ) log n < c log(n 0 + 2) = c 6, (4.44) ahol c 5 és c 6 ozitív konstansok. Tehát (4.34), (4.4) és (4.44) felhasználásával végül arra az eredményre jutunk, hogy elég nagy n-re: < g(n) log log n < c 7, (4.45) ahol g(n) = n Megjegyzés: A Tételb l azonnal következik, hogy azaz, hogy n lim n n aszimtotikusan log log n. log log n = 28
29 5. fejezet Modern eredmények [2] alaján modern becsléseket mutatok be a rímszámok számára. 5.. Élesebb becslések a rímszámok számára A Tétel és a Tétel szerint 2 esetén 3 4 < π() log 2 < Ezek a becslések gyengék ahhoz, hogy Csebisev tételét kiadják. A Tétel és a Tétel bizonyításából belátható, hogy nagy -re az alsó és fels becslésnél is lényegesen csökkenthet a 3, s t még a 4 is, ha ügyesebb szétvágást alkalmazunk. 4. Feladat:Bizonyítandó, hogy adott ɛ > 0-hoz létezik olyan 0 (ɛ) korlát, hogy 0 (ɛ) esetén ( ɛ) < π() < (2 + ɛ) log 2 log 2. Ebb l még mindig nem jön ki közvetlenül Csebisev tétele, de a szorzók aránya a korábbi 9-r l a 2 közelébe került. 29
30 5... Tétel. Létezik olyan e > alaszám, amelynél a logaritmusfüggvény (; 0)-beli érint jének iránytangense. Ezt szokás természetes alaú logaritmusnak nevezni, jelölése ln vagy log (mi a log jelölést használjuk). ( ) Tétel. e = lim + n és e = n n n= Tétel. log.. n! Természetes logaritmusra átfogalmazva, a. Feladat állítása szerint ɛ > 0; 0 (ɛ) esetén ( ɛ)(log 2) < π() < (2 + ɛ)(log 2) log log. A log 2 közelít értéke 0, 693, így elég nagy -re a π() és az, 39 közé esik. Sejtések a π() közelítésére: Gauss 792-ben arra a sejtésre jutott, hogy 2 dt log t log lehet a jó közelítés. Legendre 798-ban kimondta azt a sejtését, hogy π() jól közelíthet az A log +B kifejezéssel, ahol A és B állandók, s ezt 808-ban már Ha azonban legfeljebb log 3 log,08366 hányadosa 0, 69 és alakban fogalmazta meg. nagyságrend eltérést engedünk meg π()-t l, akkor Legendre konkrét közelítése és Gauss sejtése nem fér össze egymással, hiszen (sorfejtéssel, illetve arciális integrálással) a fenti hibahatáron belül az + log log 2 becslést adnák. Ha log 2 log +, log 2, illetve az nagyságrend eltérést engedünk meg, akkor nincs köztük lényeges különbség, és bármelyik sejtés (ezen hibahatáron belüli) teljesüléséb l következne, hogy létezik a π() lim + log határérték, és értéke. Csebisev bebizonyította, hogy ha létezik a fenti határérték, akkor értéke. A határérték létezését nem sikerült igazolnia, de megmutatta, hogy nagy -ekre Legendre becslése biztosan nem lehet túl ontos (azóta kiderült, hogy kb ig még Legendre becslése ontosabb, viszont felett már Gauss közelítése jobb). 30
31 Az. Feladat állításánál sokkal ontosabb becslést igazolt Csebisev. Bebizonyította, hogy létezik olyan korlát, hogy esetén log < π() <, 0556 log. Nézzük s R; s > esetére a következ függvényt: ζ(s) = Euler-féle szorzatel állítás: minden s > -re n= n s. ζ(s) = s, Georg Friedrich Bernhardt Riemann ( ) német matematikus a ζ(s) függvényt az s = kivételével minden komle s-re értelmezte. Ez a π() becslésében dönt hatású észrevétel volt. Riemann 859. november 3-án tartotta székfoglaló el adását a Berlini Akadémián, el adása 860-ban jelent meg nyomtatásban. Ebben a 9 oldalas dolgozatban (egyetlen számelméleti munkájában) vázolt egy lehet séget a π() ontosabb becslésére, s észrevételei fantasztikus hatással voltak a matematika fejl désére annak ellenére, hogy dolgozatában számos bizonyítatlan feltevés szereel. Máig sem sikerült igazolni a Riemann féle ζ(s) függvény komle gyökeire vonatkozó nevezetes sejtést, hogy 0 Re s és ζ(s) = 0 esetén Re s =. (986-ig ezt már ellen rizték 2 másfél milliárd gyökre, de végtelen sokan vannak.) Bizonyítható, hogy Riemann sejtése azzal ekvivalens, hogy létezik olyan c > 0 állandó, hogy minden 2-re π() dt log t < c 2 log. 2 Ett l a ma ismert legjobb becslések is messze vannak, s még a létezésének igazolása is csuán 896-ban sikerült. lim + π() log 3
32 5.2. Prímszámtétel Tétel (PRÍMSZÁMTÉTEL). Létezik a határérték, és értéke. π() lim + log Ezt Riemann gondolatai alaján bizonyította be egymástól függetlenül Jacques Hadamard ( ) francia matematikus és Charles Jean de la Vallée Poussin ( ) belga matematikus. 899-ben de la Vallée Poussin azt is igazolta, hogy létezik olyan c és c 2 ozitív állandó, hogy minden 2 esetén π() dt log t < c e c 2(log ) 2. (5.) 2 Az itteni hibatag tetsz leges K-ra kisebb -nél, ha elég nagy. log K Gyengébb, de nagy konstansot nem tartalmazó becslés éldául a következ : 962- ben J. B. Rosser és L. Schoenfeld amerikai matematikusok bebizonyították, hogy n Z; n 67 esetén n n log n < π(n) < log n Az el ször 896-ban bizonyított rímszámtételre még több, mint fél évszázadig csak függvénytani bizonyítások születtek; az els elemi számelméleti bizonyítást Erd s Pál és a norvég Atle Selberg adta 948-ban. Azóta számos elemi bizonyítás született. A rímszámok analitikus eszközökkel való vizsgálata az elemi becsléseknél sokkal élesebb eredményeket ad (éldául (5.)), de ezek igazolása nagyon mély eszközöket kíván, amely túlmegy a dolgozat keretein. Megjegyezzük azonban, hogy ezekkel a módszerekkel nem csak a rímszámok számára adhatunk éles becsléseket, hanem egyéb rímekhez kacsolódó mennyiségek is jól becsülhet ek. Ennek az elméletnek magyar vonatkozása 32
33 is van, világhír ek éldául Pintz János magyar matematikus, D. A. Goldston és C. Y. Yildirim rímhézagokra vonatkozó eredményei. [4]-ben egy kit n összefoglalót találhatunk a legmodernebb eredményekr l. 33
34 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Gyarmati Katalinnak a dolgozatom elkészítésében nyújtott segítségéért és türelméért. Köszönettel tartozom még családomnak és barátomnak a támogatásukért és a megértésükért. 34
35 Irodalomjegyzék [] Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Bizonyítások a könyvb l, Tyote, [2] Szalay Mihály: Számelmélet, Tiote Nemzeti Tankönyvkiadó, 998. [3] Lánczi Ivánné: Számelmélet, Tankönyvkiadó, Budaest, 967. [4] János Pintz: Landau's Problems on Primes, Journal de Théorie des Nombres [5] htt://hu.wikiedia.org/wiki/prímszámok 35
36 Nyilatkozat A szakdolgozat szerz jeként fegyelmi felel sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel idézés nélkül nem használtam fel. 36
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenA prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió
Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma
A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenJelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenA híres Riemann-sejtés
A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz 205. 04. 8. A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenMatematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenRekurzív sorozatok oszthatósága
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Rekurzív sorozatok oszthatósága készítette: Barta Attila Matematika BSc szakos hallgató témavezet : Dr Tengely Szabolcs egyetemi
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenHaladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenPrímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak.
A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. Bevezetés on vagy felbonthatatlan számokon olyan pozitív egész számokat értünk, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen az 1 és
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenA prímszámtétel bizonyításának története
A prímszámtétel bizonyításának története Matematika BSc szakdolgozat Szerz : Szabó Lilla Témavezet : Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 204 Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenMegoldások 11. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 016. március 1115. Megoldások 11. osztály 1. feladat Egy háromszög három oldalának mér száma, a, b, c ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
Részletesebben2017, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,
RészletesebbenBizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n.
Bizonyítási módszerek - megoldások 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha (a) 9 n 3 n (b) 4 n 2 n (c) 21 n 3 n (d) 21 n 7 n (e) 5 n 25 n (f) 4 n 16 n (g) 15 n (3 n 5 n) 9 n n = 9k = 3 3k
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenA Dirichlet-tétel. Matematika BSc szakdolgozat. Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék. Szerző: Körmendi Kristóf
A Dirichlet-tétel Matematika BSc szakdolgozat Szerző: Körmendi Kristóf Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2009 Bevezetés Az analitikus
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenModern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenSZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
RészletesebbenA törzsszámok sorozatáról
A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
RészletesebbenGAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE
GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben