Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont körüli kicsi körön legfeljebb az (x 0, y 0 pontot kivéve. Ekkor azt mondjuk, hogy az f(x, y függvény határértéke az L szám, ha minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0 szám, hogy f(x, y L < ε, ha 0 < (x x 0 + (y y 0 < δ. (b ( pont Konvergens-e az f(x, y = x3 y x +y, (x, y (0, 0 függvény az (x 0, y 0 = (0, 0 helyen? Megoldás: Közelítsünk az origóba különböző m meredekségű egyenesek mentén (azaz y = mx. Tudjuk, hogy ha a függvénynek létezik a megadott pontban határértéke, akkor annak útfüggetlennek kell lennie. Ezek alapján lim (x 0,y 0 (0,0 x 3 y x + y = lim x 0 x 3 mx x + (mx = m + m. Azaz a fenti határérték függ m-től, ami egyben azt jelenti, hogy a függvény határértéke a fenti pontban függ attól, hogy milyen meredekségű egyenes mentén tartunk az origóba, így nem létezik.. (a (3 pont Definiálja, hogy mikor mondjuk, hogy a v, v,..., v n vektorok a V vektortérben lineárisan függetlenek! Megoldás: {v, v,..., v n } V vektorok lineárisan függetlenek, ha a λ v + λ v + + λ n v n = 0 egyenletnek csak triviális megoldása van, azaz λ = = λ n = 0. (b (3 pont Igaz-e, hogy R 3 -ben a v = (3,,, v = (,, és v 3 = (,, vektorok lineárisan függetlenek? Megoldás: A vektorok lineáris függetlenségét a fenti definíció alapján ellenőrizzük, azaz megoldjuk a λ v + λ v + λ 3 v 3 = 0 egyenletrendszert. Azaz 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 A fenti Gauss-elimináció lépései: először megcseréljük az első és harmadik sort; majd a második sorból kivonjuk az első sor kétszeresét, a harmadikból pedig az első sor háromszorosát; végül pedig a harmadik sorból kivonjuk a második sor kétszeresét. A fenti alakból leolvasható, hogy az egyenletrendszer egyetlen megoldása: λ = 0, λ = 0 és λ 3 = 0. Azaz a v, v és v 3 lineárisan függetlenek.
3. (7 pont Mondja ki és bizonyítsa be a pozitív tagú a n végtelen sorra vonatkozó gyökkritériumot! Megoldás: Állítás:Legyen a n csupa pozitív tagból álló végtelen sor. Tegyük fel, hogy lim n an = ϱ. Ekkor (a Ha ϱ <, akkor a n konvergens. (b Ha ϱ >, akkor a n divergens. (c Ha ϱ =, akkor a kritérium nem alkalmazható. Bizonyítás: (a Ha lim n an = ϱ <, akkor rögzített ϱ < r < esetén létezik alkalmas pozitív egész N szám, hogy n > N esetén n a n < r, azaz a n < r n. Meg kell mutatnunk, hogy az s n n-edik részletösszegek felülről korlátosak. s n = a + + a N + a N + a N+ + + a n < a + + a N + r N + r N+ + + r n < < a + + a N + r N + r N+ + < a + + a N + rn r (b Ha lim n an = ϱ >, akkor létezik N alkalmas pozitív egész, hogy n > N esetén n a n > teljesül, azaz lim a n 0, azaz a n divergens. (c n esetén lim n n = és a sor divergens. Míg n esetén lim n n= n= Tehát ebben az esetben a kritérium nem segít a döntésben. n = és a sor konvergens.. (6 pont Határozza meg az n= n n (x + n hatványsor konvergenciatartományát! Megoldás: A fenti hatványsor középpontja x 0 = és együtthatója c n = n n. A konvergenciatartomány meghatározásának első lépése a konvergenciasugár meghatározása. Tudjuk, hogy R = lim n n cn = lim n n = lim n n =. Azaz R = / lesz a konvergenciasugár. Tehát a ( /; +/ = ( 3/; / nyílt intervallum biztosan része a konvergenciatartománynak. De még meg kell vizsgálnunk mi a helyzet az intervallum két végpontja esetén. Ha x = 3/, akkor a n ( n 3 n + ( n = n n= végtelen sort kapjuk, ami előjelváltó, és így a Leibniz-kritétium alapján konvergens (hisz n monoton csökkenve nullához tart. Míg ha x = /, akkor a n= n n ( + n = n= n= n
végtelen sort kapjuk, ami konvergens. Tehát a konvergenciatartomány a [ 3/; /] zárt intervallum. 5. (6 pont Számítsa ki a determinánst! 3 0 0 3 0 0 3 Megoldás: A determinánst a harmadik oszlop szerint célszerű kifejteni, mert az jár a legkevesebb számolással. 3 0 0 3 0 0 3 = ( 3 0 3 + 3 0 3 = ( [( + 0 + 6 (0 + 3 + 9] + [(0 + 9 + 3 (0 + + 8] = ( ( 3 + ( 9 = 7 = 6. (a ( pont Határozza meg A = ( 9 3 3 7. mátrix sajátértékeit, sajátvektorait. Megoldás: Először a mátrix sajátértékeit számoljuk, amik a det ( A λi karakterisztikus polinom gyökei. A karakterisztikus polinom: det ( A λi = 9 λ 3 3 7 λ = (9 λ (7 λ 9 = λ 6λ +. A karakterisztikus polinom gyökei: λ = 8 és λ = 8. Ezek után következik a sajátvektorok kiszámítása, ami minden esetben az ( A λi v = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. Azaz λ = 8 esetén ( 3 0 3 9 0 ( 3 0 0 0 0 A fenti Gauss-elimináció lépései: kivonjuk az első sor háromszorosát a második sorból. Ezek alapján kapjuk, hogy a v sajátvektor második v koordinátája tetszőlegesen megválasztható, míg az első koordináta a második ( 3-szorosa. Azaz v = ( 3t; t, ahol t R. λ = 8 esetén ( 9 3 0 3 0. ( 3 0 0 0 0 A fenti Gauss-elimináció lépései: először megcseréljük a kér sort, majd kivonjuk az első sor háromszorosát a második sorból. Ezek alapján kapjuk, hogy a v sajátvektor második v koordinátája tetszőlegesen megválasztható, míg az első koordináta a második /3-szorosa. Azaz v = (t; 3t, ahol t R.. 3
(b ( pont Ábrázolja a 9x + 6xy + 7y = egyenletnek eleget tevő pontokat! Megoldás: A fenti egyenlet a következő alakba írható: ( ( 9 3 x (x; y 3 7 y =. Azaz az (a-részben lévő A mátrixot kell transzformálnunk ahhoz, hogy felismerhessük, milyen görbét ír le az egyenlet. Tudjuk, hogy A szimmetrikus, emiatt létezik egy ortogonális P mátrix, ami őt diagonalizálja. ( 3/ 0 / 0 P = / 0 3/ 0 ( D = P T 8 0 A P = 0 8 A fenti formulát átrendezve kapjuk, hogy A = P D P T. Így ha végrehajtjuk az ( (x ; y 3/ 0 / 0 = (x, y / 0 3/ 0 transzformációt (ez mutatja meg, hogy az x, y tengelyt milyen iránybe kell transzformálnunk, akkor az eredeti egyenletünk a 8(x + 8(y = alakba írható, ami egy ELLIPSZIS-t határoz meg. 7. (7 pont Határozza meg az f(x, y = xy függvény maximumát az x + y = egyenletnek eleget tevő görbén! Megoldás: A feltételfüggvény tehát a következő: g(x, y = x + y = 0. Képezzük a h(x, y, λ = f(x, y λg(x, y függvényt, és ennek keressük meg azon pontjait, ahol a paricális deriváltak eltűnnek. h x(x, y, λ = y λ x 3, h y(x, y, λ = x λ y 3, míg h λ (x, y, λ = x y +. Azaz meg kell oldanunk a y λ x 3 = 0 x λ y 3 = 0 x y + = 0 egyenletrendszert. Kifejezve az első két egyenletből λ-t kapjuk, hogy λ = y x illetve λ = x 3 y. Ezen két 3 egyenletet egyenlővé téve kapjuk, hogy y = x, azaz y = x. Ezt visszahelyettesítve a harmadik egyenletbe: x + = 0, azaz x = 0,5. Ennek megoldásai: x = 0,5 és x = 0,5. Azaz meghatározva az y értékeket is kapjuk, hogy a lehetséges szélsőérték-helyek: ( 0,5, ( 0,5, ( 0,5 és ( 0,5. Ezekben a pontokban kell tehát megvizsgálnunk a függvény helyettesítési értékeit: f( 0,5 = 0,5 f( 0,5 = 0,5 f( 0,5 = 0,5 f( 0,5 = 0,5 Tehát a keresett feltételes maximumhelyek: ( 0,5 és ( 0,5, míg a maximum értéke 0,5.
8. (7 pont Határozza meg az f(x, y = +x +y függvény kettős integrálját a T = {(x, y : x + y, x + y < 0} tartományon! Megoldás: Felrajzolva a tartományt azt láthatjuk, hogy T egy körgyűrű része. Így polárkoordinátás helyettesítést hajtunk végre. Azaz x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, míg a Jacobimátrix determinánsa: J = r. A feladat szövege alapján felírhatóak a határok: r, ϕ 7π. Így a kettősintegrál: T + x + y dxdy = = + r r drdϕ = [ ln( + r ] dϕ = (ln 5 ln r + r drdϕ = dϕ = π (ln 5 ln. 9. (6 pont Határozza meg az f(x, y, z = y függvény hármasintegrálját a T = {(x, y, z : x, y, z } kockán! Megoldás: Mivel kockatartományról van szó, így az integrálás sorrendje tetszőlegesen megválasztható. Tehát a hármasintegrál: T f(x, y, z dxdydz = = y dydxdz = 0 dxdz = 0 [ y ] dxdz = 5