FIZIKA BSc, III. évolam /. élév, Optika tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8.) AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek hullámegelet: E( r, t) E ( r, t) µ µ rε ε r, t ahol a következıt tételeztük el: Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a moder optikába Bor-Wol, Priciples o optics grad ( r) λ( r) << ; ε r µ r (Maxwell reláció) ( r) azaz hullámhosszal összemérhetı tartomáo a relatív törésmutató változásak elhaagolhatóak kell leie. Ez em teljesül ago gorsa változó törésmutató struktúrákál, pl. hullámhossz alatti dirakciós rácsok esetébe. Megoldás speciális esetbe: Síkhullám: Ẽ(r, t) E e i(ωt + k r + φ ) ; ( k π / λ ) Gömbhullám: Ẽ(r, t) E e i(ωt + k r + φ ) / r A hullámegelet megoldása általáos esetbe: Ẽ(r, t) E (r) e i ωt + k S(r) + φ ; S(r) eikoál (εικών kép görögül) (*) Eikoál: a tér potjait az elektromágeses hullám ázisviszoai szerit jellemzı meiség. (A ázis siet a éterjedés iráába az elıjel szerit koveció.) A GEOMETRIAI OPTIKA ÉRVÉNYESSÉGI KÖRE Geometriai optika: közelítés, amel a éterjedést, közeghatáro való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével írja le. Eze görbéket ésugarakak evezzük. Ahhoz, hog a étörést (tükrözést) és a éterjedést a geometriai optikába le tudjuk íri, szükségük va arra, hog a teret lokálisa síkhullámak tekithessük. Ez akkor teljesül, ha adott r helvektor megváltozás eseté Ẽ(r) megváltozásába E (r) változásáak hatása elhaagolható e ik S(r) változásához képest. A levezetés mellızésével a eltétel alakja: grad E ( r i E ( r ) i ) λ( r ) << π, ahol i az x--z vektor kompoeseket jelöli. A eltétel azt jeleti, hog a térerısség megváltozásáak mértéke kicsi kell lege magához a térerısség abszolút értékéhez képest, akkora tartomáo mérve, amelik a é hullámhosszáak agságredjébe esik. E eltevés em igaz pl. árék szélé, ókuszolt közelébe stb. A bemutatott eltétel teljesülése eseté megmutatható, hog a térerısség a következıképpe közelíthetı: ~ ik grad S( r ) r i( k S( r + ϕ ) ) E ( r + r) E( r ) e e, ahol k lokális k grad S(r ) a lokális síkhullám hullámszámvektora, vagis eredeti célukak megelelıe téleg síkhullámot kaptuk. 6 /
Eikoál-egelet: (a geometriai optika alapegelete) grad S(r) (r) & peremeltételek Az eikoál egeletbıl következik, hog (r ) grad S(r ), ahol (r ) a lokális törésmutató. Ez alapjá: k lokális k (r ). Az eikoál-egelet legıbb alkalmazási területe az ihomogé közegek számítása. Példák: légköri eektusok (aplemete, délibáb) étörés gravitációs térbe lévı oladékokba szemlecse (szíhiba korrekció) plaár hullámvezetı lecsék gradies lecsék száloptikához, lézerdiódához, leképezéshez elektrooptikák A geometriai optikát szokás ulla hullámhosszúságú közelítések is evezi, mivel ola esetekbe igaz, amikor a hullámhossz mértéke elhaagolható a törésmutató és relatív térerısségváltozás jellemzı térbeli kiterjedéséhez képest. Egéb esetekbe dirakciós közelítést kell alkalmazi. FÁZISVISZONYOK LEÍRÁSA A GEOMETRIAI OPTIKÁBAN Hullámrot: S(r) álladó (ázisrot, kostas ázisú elület) Fésugár deiíció I.: ola görbe, amel mide potba merıleges a hullámrotokra. Mivel a a hullámszám vektor (k) deiíció szerit merıleges a hullámrotokra, a ésugár éritıje k iráába mutat. hullámrot ésugár Mivel a ésugár merıleges a hullámrotra, az elektromágeses tér éppe hullámhosszi (λ λ /) távolságokét periódikus a ésugár meté. A ésugár meté mért áziskésés és az optikai úthossz kapcsolata tehát (vö. *-al): π ϕ OPL k S( r) [rad]. (**) λ Optikai úthossz (OPL Optical Path Legth): OPL(P, P ) ( r ) dl P P tetszıleges görbe P P r (helvektor) Azaz, ha az optikai úthosszat ésugár meté mérjük ** alapjá: S OPL 6 /
ENERGETIKAI VISZONYOK LEÍRÁSA A GEOMETRIAI OPTIKÁBAN ~ ~ Potig vektor : S( r, t) E( r, t) H ( r, t) (teljesítmé-sőrőség vektor, itezitás) Idıátlag: S( r) E ( r) H ( r) ; Teljesítmé: dp( r) S ( r) da S( r) da cos( Θ) ~ E ( r, t ) da Θ S ( r, t) S( r) ~ H ( r, t ) Fésugár deiíció II.: ola görbe, amelek éritıje mide potba a teljesítmésőrőség vektor iráába mutat. Az I. és II. deiíció izotróp közegbe egeértékő. Potig-vektor ésugár Féaláb : ésugarak által határolt csıszerő tartomá, amelbıl az eergia em képes kilépi (a geometriai közelítés érvéességi köré belül) Itezitás törvé : < S > da < S > da (ola tértartomába igaz, ahol a sugarak em keresztezıdek) < S > da da < S > ÁLTALUNK ALKALMAZOTT TOVÁBBI KÖZELÍTÉSEK iráüggés polarizáció üggés helüggés csak izotróp közegeket tekitük, pl. üveget (ekkor az. és. sugárdeiíció ugaazt adja, azaz a ésugár k S) a teret skalár meiségek tekitjük (mitha csak eg térerı-vektor kompoes lee ) csak homogé közegeket tekitük (a ésugarak em görbék, haem egeesek) 6 / 3
térerı üggés csak lieáris közegeket tekitük (a ésugarak kölcsöhatás élkül keresztezhetik egmást ; a tér mide potjába azoos ω a gerjesztés körrekveciájával) hullámhossz üggés mookromatikus eset (csak eg hullámhossz va a spektrumba, idıbe koheres eset) polikromatikus eset (idıbe ikoheres é hullámhossz kompoesekre botható) térbeli koherecia térbe koheres eset, pl. potorrás, síkhullám (va hullámrot csillagé, lézer) vag térbe ikoheres eset (diúz é potorrásokra botható) A GEOMETRIAI OPTIKA ALKALMAZÁSI TERÜLETEI képalkotó redszerek (mi ezzel oglalkozuk) megvilágító redszerek Képalkotó / megvilágító redszerek geometriai modellezéséél a tárgat / éorrást térbe koheres orrások (potorrások) összegére botjuk. IDEÁLIS KÉPALKOTÁS egszerősített deiíció potot potba képez le, azaz a képpot és a tárgpot kojugáltjai egmásak a képalkotó redszer orgászimmetrikus optikai tegelre merıleges síkba lévı alakzatok hasoló alakzatokba képzıdek le (azaz torzításmetese) GEOMETRIAI OPTIKAI KÖZELÍTÉSEK A KÉPALKOTÁSBAN elsıredő (paraxiális) közelítés agítás, tárg-kép helzet, éerı, max. elbotás harmadredő közelítés (aberráció elmélet) képalkotási hibák aalízise valós sugárátvezetés (törés, terjedés ismételgetése) képalkotási hibák, optimalizáció ELSİRENDŐ (PARAXIÁLIS) KÖZELÍTÉS A paraxiális közelítés eltételei: α si(α) tg(α) [α] rad ; (ezért elsıredő a közelítés) << r elıjeles meiségek! Azaz ésugarak az optikai tegel közelébe, vele kis szöget bezárva haladak, és a elületek síkkal közelíthetıek. (Ezekbıl következik: gömbhullám ~ paraboloid elület.) α α - beesési szög α - törési szög α α α r z 6 / 4
Fókusztávolság meghatározása: α r α ( α α ) α (étörés) (elületormális) (ideális leképzés) r [α] rad! - Tükör tárgalása ormálisa:. Törıerı: p [dioptria m ] Két, közvetleül egmás mögé helezett (. és. sz.) vékolecse eseté: + azaz p p eredı + p eredı Paraxiális közelítésbe a étörés ill. szabadtéri terjedés az X-Z és Y-Z síkokba egmástól üggetleül számolható! Ez a közelítés teljesíti az ideális leképzés eltételeit! θ x d. elület. elület z Kérdés: ha az. síko adott ( ; θ), akkor eg további. síko mekkora ( ; θ)? Válasz: mátrixos ormalizmus: θ A C Pl. étörés: A C B D B D p θ Pl. szabadtéri terjedés: d A B C D ; A részredszerek mátrixai összeszorzódak. ; p elület törıereje VÉKONYLENCSÉK JELLEMZİI ; d az. és. sík távolsága, a közöttük mért törésmutató s, s tárg-, képtávolság, tárg-, képmagasság ω tárgszög N T traszverzális agítás (N T / ) N L logitudiális agítás (N L s / s ) Γ T szögagítás (Γ T θ / θ ) ókusztávolság ( s, ha s ) NA umerikus apertúra (NA si θ ) 6 / 5
s ω θ θ z s Lecsetörvé: s + s LENCSERENDSZEREK TÁRGYALÁSA - FİSÍKOK Fısíkok: az a tárg-képsík pár, amelre igaz: m +. Ile mide optikai redszerél meghatározható. A ısíkok helzete egértelmő. Ha a ısíkoktól mérjük a tárg és képtávolságot, illetve a ókusztávolságot (eektív ókusztávolság), akkor tetszıleges lecseredszer eseté érvées a lecsetörvé! A ısíkok meghatározása: eektív képoldali ısík Alapvetı törvészerőségek: N L N λ R,6 NA T ; Γ T N T (ókuszolt dirakció s sugara) Speciális lecseredszerek: teleobjektív, eektív > szerkezeti hossz (ld. éképezıgép) iverz teleobjektív, hátsó ókusztávolság > eektív (ld. projektor) 6 / 6