Széhenyi István Egyete Mehatronika és Gépszerkezettan Tanszék Mehatronika alapjai I-II. Labor érési útutató Másodrendő rendszer vizsgálata érés élja:. Másodrendő rendszer aplitúdó-nagyítási diagrajának érése és egrajzolása lineáris léptékben (rezonaniagörbe).. rendszer sillapításának és sajátfrekveniájának eghatározása. endelkezésre álló eszközök: Hangszóró, kettıs tápegység, függvénygenerátor, lézeres távolságérı, oszilloszkóp. érés leírása: hangszórót idıben változó feszültséggel gerjesztve annak ebránja ehanikus ozgást végez. laborgyakorlat során a hangszóró, int ásodrendő rendszer két fı jellezıjének vizsgálatával foglalkozunk. Két alapvetıen különbözı érést végzünk. Elıször a rendszer sajátrezgését vizsgáljuk, ajd ezt követıen a rendszer szinuszos gerjesztésre adott válaszát. ) sajátrezgés vizsgálatához a rendszert ugrásfüggvénnyel (illetıleg azt autoatikusan isétlı kisfrekveniás négyszögjellel) késztetjük ás-ás egyensúlyi állapot felvételére. kienet, a ebrán elozdulása, sillapodó szinusz rezgés után áll be az új egyensúlyi értékre (8. ábra). válaszjel tranziens része felfogható úgy is, int az egyensúlyi helyzetébıl kitérített és agára hagyott rendszer válasza, vagyis a rendszer sajátrezgése. Ennek periódusidejébıl az s sillapított sajátfrekvenia eghatározható. ) Állandósult (steady-state) rezgés alatt a bekapsolást követı áteneti folyaat eltelte után fennaradó rezgést értjük (a differeniálegyenlet partikuláris egoldása). z állandósult egoldás periodikus beenıjel esetén szintén periodikus, frekveniája egegyezik a gerjesztés frekveniájával, fázisa eltér a gerjesztés fázisától. érés során gerjesztésként függvénygenerátor által elıállított villaos négyszög- és szinuszjelet alkalazunk. rendszer kienetét, a hangszóró ebránjának rezgéseit érintésentesen, lézeres távolságérı őszer segítségével érjük és közvetlenül oszilloszkópon jelenítjük eg (. ábra). lézeres elozdulásérı a -,5 éréstartoányt -V kienı feszültségre képezi le. kienıjel aplitúdója a tárolós oszilloszkóp kurzorjának ozgatásával pontosan leérhetı. fázistolás eghatározásával a érés során ne foglalkozunk. Lézeres elozdulásérõ Oszilloszkóp Jelgenerátor jelalak jel aplitúdó LS Hangszóró. ábra Tápfeszültség (4V) Jelkondíionáló egység
z eléleti alapok összefoglalása: z elektrodinaikus hangszóró ozgó tekersének töege, a kúpos ebrán rugóerevsége és a b anyagsillapítás+légellenállás egy szabadságfokú (SDF Single Degree of Freedo) ehanikus lengırendszert alkot (. ábra), elyet villaos úton gerjesztünk a ozgó tekersre kapsolt feszültséggel ( erıgerjesztés ) (3. ábra). b Fli x B u i L u ee kv +x +v. ábra B i F li B i B F i F B B 3. ábra ennyiben a ozgó tekers induktivitása elhanyagolható, úgy a hangszóró (VCM) ásodrendő rendszerként viselkedik. Ebben a laborérésben ne foglalkozunk a rendszer egyes eleeinek paraéter-identifikáiójával, azaz pl. a B ágneses indukió, vagy a ozgórész töegének stb. eghatározásával. Csupán a rendszertulajdonságokat eghatározó D sillapítás és sajátfrekvenia eghatározása a élunk. villaos odell alapján - figyelebe véve a ágneses térben ozgó tekersben indukálódó feszültséget is - a tekersben folyó ára a következı: u kv i () töeg ozgásegyenlete ( F i a ) behelyettesítés után adódik: u kv ( ) x bv a endezve a ozgásegyenletet valóban egy ásodrendő rendszer egyenletét kapjuk: k ɺ x + (b + )xɺ + x u () (3)
rendszer állandósult válaszát keressük, ezért elegendı a rendszeregyenlet zérus kezdeti feltételekkel vett Laplae-transzforáltját képezni: k s X(s) + (b + )sx(s) + X(s) U(s) (4) Szinuszos beenı jelre, az állandósult egoldás vizsgálatához az sjω helyettesítést alkalazzuk: k (jω ) X(jω) + (b + )(jω)x(jω) + X(jω) U(jω) Átrendezés után a frekvenia-átviteli függvény a következı: X(jω) Y(jω ) ( ) U(jω) k b + k (jω) + (b + )jω + (jω) + ( )(jω) + Y( j) di enziótlan (5) (6) Mivel az aplitúdó-nagyítási függvényt (a frekvenia-átviteli függvény abszolút értékét) ábrázoló Bode -diagraban két ennyiség hányadosának logaritusát kell venni, ezért a két ennyiségnek azonos dienziójúnak kell lenni. (6) egyenlet ásodik törtkifejezése dienziótlan, ezért a kifejezést az elsı tört értékével kell noralizálni (osztani). Vegyük észre, hogy (6) kifejezés ω körfrekveniájú (statikus) gerjesztéskor éppen az elsı törtet adja eredényül: X(j) Y (j) U(j) X(j) U(j) (7) z Y n (jω) noralizált, dienzióentes frekvenia-átviteli függvényt a noralizálatlan (6) frekveniafüggvény (/)-vel való osztásával nyerjük: Y (jω) n X(jω) U(jω) X(jω) X(j) (jω) b + k + ( )(jω) + (7) Értelezve a (7) kifejezést, a noralizált frekvenia-átviteli függvény állandó û aplitúdójú szinuszos beenıjelet feltételezve a következı: az ω körfrekveniájú gerjesztésre adott válasz X(jω) koplex aplitúdójának és az ω körfrekveniájú (statikus) gerjesztésre adott X(j) valós válasz aplitúdójának hányadosa. ásodrendő rendszer szokásos jelöléseit alkalazva (jω) (jω) + D(jω) + Yn (8) z aplitúdó-nagyítási (rezonania) görbe egyenlete a frekvenia-átviteli függvénybıl abszolút-érték képzéssel nyerhetı: n ( ω ) Y (jω) n X(jω) X(j) xˆ ( ω) xˆ ( ω ) ( ω ) + (Dω) (9)
Szavakban, a noralizált aplitúdó-nagyítás az ω körfrekveniájú, állandó aplitúdójú gerjesztésre adott válasz xˆ (valós) aplitúdójának és az ω körfrekveniájú (statikus) gerjesztésre adott xˆ () állandó válasznak a hányadosa. noralizált aplitúdó-nagyítási görbe indig n () értékbıl indul (4. ábra). (8) és (9) képletekben : a rendszer sillapítatlan saját(kör)frekveniája. b + k D : a Lehr-sillapítás. Fontos felisernünk, hogy egy összetett villaos-ehanikus rendszerben bizonyos rendszerparaéterek - int esetünkben a D sillapítás - együttesen és szétválaszthatatlanul függenek ind a villaos (, B), ind a ehanikus (b, ) paraéterektıl! Vezessük be a dienzióentes gerjesztı körfrekveniát a gerjesztés és a sajátfrekvenia körfrekveniájának hányadosaként: r ω () Ezekkel a jelölésekkel a rezonaniagörbe egyenlete az alábbi egyszerő dienzióentes alakot veszi fel: n ( ω ) xˆ ( ω) xˆ () ( r ) + 4D r () rezonaniagörbét egy adott (D,) sillapítási értékre a 4. ábra utatja. Láthatóan a kitérésnek létezik axiua a gerjesztıfrekvenia függvényében (ez a rezonania esete). rezonania sillapítatlan rendszernél (D) akkor következik be, ikor a gerjesztés körfrekveniája egegyezik a rendszer sillapítatlan sajátfrekveniájával (r). sillapítás növelésével a axiális aplitúdónagyítás sökken, a rezonania helye pedig egyre inkább balra tolódik (r<). sillapítás növelésével elérkezünk ahhoz az esethez (D~,7), aikor a rezonaniagörbének ár nins lokális axiua. Α n (ω) (ω),7,8,6,4,,8,6,4, D, rω/ sávszélesség 3 4 5 6 r*ω*/ rω/ 4. ábra
fenti rezonaniagörbe logaritikus léptékben is egrajzolható pl. MTLB prograal (5. ábra). Magnitude (db) - - db/dekád Bode Diagra -3 db -4 db/dekád -3-4 sávszélesség -45 Phase (deg) -9-35 -8 - r* Frequeny (rad/se) 5. ábra axiális * aplitúdó nagyítás értéke és a sillapítás száértéke között egyértelő kapsolat áll fenn, elyet a D sillapítás eghatározására fogunk felhasználni. z (r) aplitúdó nagyítási függvény axiua annál az r* dienziótlan frekveniánál van, ahol a () függvénynek szélsıértéke van, vagyis ahol r-szerinti elsı deriváltja zérus: d(r) dr ásodik szögletes zárójel rezonaniában zérus értékő lesz, ha [ ] 3 ( r ) + 4D r [ ( r )( r) + 4D r] () r D (3) ezonaniában a axiális aplitúdó-nagyítás értéke (()-be helyettesítve (3)-at) a következı: (D) ( ( D )) + 4D ( D ) (4) egyenletbıl a keresett D sillapítást kifejezhetjük: D D (4) * D * (5) z iént levezetett (5) kifejezéssel leírható függvénykapsolatot az 6. ábrán láthatjuk.
Lehr-sillapítás, D,8,7,6,5,4,3,, 3 4 5 6 7 8 9 Maxiális nagyítás, * 6 ábra. sillapítás eghatározása a axiális nagyításból r*ω ω/,,9,8,7,6,5,4,3,, 3 4 5 6 7 8 9 Maxiális nagyítás, * 7. ábra. axiu helyének eltolódása a axiális nagyítás függvényében (3)-ba helyettesítve (5) összefüggést, az r (6) kifejezést nyerjük a dienziótlan gerjesztı frekveniára, ait a 7. ábrán láthatunk. sillapítás iseretében pedig (3)-ból a rendszer sillapítatlan sajátfrekveniája is kiszáítható: ω (7) D ásodrendő rendszer sillapításentes sajátfrekveniája a szabadrezgés során érhetı s sillapított sajátfrekveniából is eghatározható az isert s γ D összefüggéssel. sillapított sajátfrekveniát kisfrekveniás négyszög-beenıjelre adott tranziens válasz (a rendszer sajátrezgése) kiértékelésébıl nyerjük. (8)
érés végrehajtása ) sillapított sajátfrekvenia eghatározásához hertzes frekveniájú négyszögjelet alkalazunk. jelgenerátoron állítsa a jelalakot négyszögjelre. helyes frekveniatartoány beállítására után a frekveniaállító gobot finoan tekerve állítsa a frekveniát Hz-re. Mérje le az oszilloszkóp képernyıjén látható lesengési görbe axiuai közötti távolságokat (a sillapított rezgés periódusidejét) a függıleges kurzor ozgatásával (8. ábra). Képezze ezek T szátani átlagát és száítsa ki a sillapított szabadrezgés körfrekveniáját: π s (i) T 4 x a a a 3 a 4 x st t -4 T T T 8. ábra ) rezonaniagörbe felvételéhez a frekveniagenerátoron különbözı, a táblázatban egadott frekveniájú szinuszos jeleket állítunk be, iközben oszilloszkópon figyeljük, és a ozgatható kurzor segítségével leérjük a kienı jel aplitúdóját. beenı jel aplitúdóját a jelgenerátoron állítsa a axiális kienet kb. egyharadára, ezzel elkerülhetı, hogy a hangszóró rezonaniában túl nagy rezgéseket végezzen. Gyızıdjön eg, hogy a jelgenerátoron a jelalakot átkapsolta-e szinuszos alakra! Ezt követıen állítsa be a táblázat elsı oszlopában feltüntetett frekveniákat és érje le a kurzor segítségével a kienıjel (az elozdulással arányos feszültség) értékeket és írja a 3. oszlopba. Száítsa ki a hiányzó ezık értékeit! f (Hz) ω (/s) xˆ (~V) xˆ st 3 4 5 6 7 8 9 xˆ xˆ st db log
3) ajzolja eg illiéterpapíron az -ω rezonaniagörbét lineáris léptékben! 4) Mekkora az * axiális aplitúdó-nagyítás és a hozzá tartozó ω* gerjesztı frekvenia (a rezonaniagörbébıl leérve), valaint a hangszóró sávszélessége? 5) (5) képlettel száítsa ki a rendszer sillapítását, ajd a (7) képlettel a rendszer sillapítatlan sajátfrekveniáját és a (8) képlettel a rendszer sillapított sajátfrekveniáját! 6) Hasonlítsa össze a sajátrezgés vizsgálatakor, az (i) képlettel száított sillapított sajátfrekveniát a rezonaniagörbébıl a (8) képlettel száított értékkel! Ellenırzı kérdések. Mit ért a ásodrendő rendszer sajátrezgése alatt?. Mit ért a rendszer állandósult (steady-state) rezgése alatt? 3. Mit ért egy rendszer sávszélessége alatt? 4. Hogyan határozható eg a érésnél alkalazott távolságérı őszer érzékenysége? 5. Mi a SDF rendszer? 6. Isertesse az elektrodinaikus elvő erıkeltés alapegyenletét vektorosan és az erıirány szabályával! 7. Miért indukálódik a hangszóró tekersében feszültség? 8. Állandósult egoldás keresésekor szükséges-e figyelebe venni deriváláskor a kezdeti feltételeket a Laplae-transzforáiónál és iért? 9. Mi a noralizált frekvenia-átviteli függvény és iért van szükség a noralizálásra?. Melyik két paraéter jellezi a ásodrendő rendszert?. Mit ért dienzióentes gerjesztı-frekvenia alatt?. Milyen ábrázolási ódjait iseri a rezonaniagörbének? 3. Mire utal a -4 db/dekád jelölés? 4. Mekkora az egységnyi erısítés db-ben kifejezve? 5. Hogyan változik a axiális aplitúdó-nagyítás helye a sillapítás függvényében? 6. Isertesse a noralizált aplitúdó-nagyítási görbe egyenletét! 7. Milyen adat határozható eg a sajátrezgés vizsgálatából jelen iseretei alapján? 8. Isertesse a rezonaniagörbe felvételének a érésnél alkalazott ódszerét! 9. Hogyan lehet következtetni a rendszer sillapítására a rezonaniagörbe alakjából?. Miért kell a beenıjel aplitúdóját korlátozni kis frekvenián? érést egelızıen a érésre való felkészültség rövid zárthelyivel kerül ellenırzésre. laborérésen sak az a hallgató vehet részt, aki a zárthelyin legalább 5 százalékos eredényt ér el. jánlott irodalo: Horváth: Mehatronika alapjai I-II, SZE, 7. Petrik. Finoehanika, MK. Bp, 974.