1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egenletet! 6 (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egenletrendszert! lg lg (9 pont) lg lg lg 1 a) 1. eset: 6 0, 6 ennek valós gökei és 3 Ezek megoldásai az eredeti egenletnek. eset: 6 0, 6 ennek nincs valós megoldása Tehát az egenlet megoldásai a 3 és a. b) 0 és 1 a logaritmus értelmezése miatt A logaritmus azonosságait használva lg lg lg lg 1 ( pont) Az lg függvén szigorú monoton nő A második egenletből kifejezzük -et, behelettesítve az elsőbe kapjuk, hog 4 11 6 0 Ennek valós gökei és 0,75 Az 1 miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománnak Ezért csak és íg egenletnek lehetséges. A ; számpár megoldása az Összesen: 14 pont
) a) Mel valós számok elégítik ki az alábbi egenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 (4 pont) b) Az alábbi f és g függvént is a 3;6 intervallumon értelmezzük. f 3 és g 0,5,5. Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvént a 3;6 intervallumon! Igazolja számítással, hog a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! (4 pont) c) Oldja meg az alábbi egenlőtlenséget a valós számok halmazán! 0,5 3,5 (6 pont) a) Elvégezve a köbre emelést: 3 3 b) 3 3 1 3 3 1 8 ( pont) összevonva és rendezve: 1 a megoldáshalmaz tehát a 1;1 intervallum f függvén heles ábrázolása ( pont) g függvén heles ábrázolása a metszéspont koordinátái 1; c) A megoldandó egenlőtlenség ekvivalens a 3 0,5,5 egenlőtlenséggel A bal oldal nem negatív a jobb oldal 5-nél nagobb -ekre negatív Az egenlőtlenség megoldásait a 3;6 intervallumon a b) részben ábrázolt f és g függvénekről leolvashatjuk A megoldáshalmaz a 3;1 intervallum ( pont) Összesen: 14 pont
3) Oldja meg a következő egenletrendszert, ha és valós számok, továbbá 0, 1 és 0, 1. 4) log log sin 3 sin 4 1 (13 pont) 1 Áttérve azonos alapú logaritmusra: log log ( pont) Mivel eg pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám 1 ( pont) ezért log 1 azaz 1 Behelettesítve a második egenletbe: sin5 1, azaz sin5 Innen 5 k 6 5 vag 5 l 6 ahol k és l A megoldások íg: 1 1 k k 30 5 és l 6 5 l A kapott értékek kielégítik az egenletet Összesen: 13 pont a) Ábrázolja a derékszögű koordinátarendszerben az f : 0;5, f 4 3 függvént! (5 pont) b) Tekintsük az 1 k paraméteres egenletet, ahol k valós paraméter. Vizsgálja a megoldások számát a k paraméter függvénében! (7 pont) c) Ábrázolja a megoldások számát megadó függvént a k 6;6 intervallumon! ( pont) d) Adja meg a c)-beli függvén értékkészletét! ( pont)
f 4 3 1 a) Az 1parabola tengelpontja ; 1 az tengelt az 1;0 és Jó ábrázolás, leszűkítés a 3;0 pontokban metszi 0;5 intervallumra Az abszolút érték figelembe vétele Heles ábra: b) A megoldások számát az f teljes grafikonja és az k egenes közös pontjainak száma adja ( pont) Ha k 1, akkor két közös pontja van Ha k 1, akkor három közös pontja van Ha 0 k 1, akkor nég közös pontja van Ha k 0, akkor két közös pontja van Ha k 0, akkor nincs közös pont c) Heles ábra d) Értékkészlete: ( pont) R 0;;3;4 ( pont) f Összesen: 16 pont
5) Oldja meg az alábbi egenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3 3 log log 9 (16 pont) cos cos 0 A logaritmus miatt és 1-től különböző pozitív számok lehetnek Az első egenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: 3 3 log log log 3 log 1 3 3 log log (3 pont) Íg az első egenlet: log log A log és a log egmás reciprokai, és összegük ( pont) Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő 1-gel egenlő, amiből azt kapjuk, hog ( pont) Beírva a második egenletbe: cos cos 0 0, ahonnan cos 1 ( pont) Ez akkor és csak akkor teljesül, ha k, azaz k, ahol k (3 pont) Összevetve az, 0 feltétellel, k, k ( pont) Összesen: 16 pont 6) Eg város sportklubjának 640 fős tagságát felnőttek és diákok alkotják. A tagság 55%-a sportol rendszeresen. A rendszeresen sportoló tagok számának és a sportklub teljes taglétszámának az arána 11 8 -szor akkora, mint a rendszeresen sportoló felnőttek számának arána a felnőtt klubtagok számához viszonítva. A rendszeresen sportolók arána a felnőtt tagságban fele akkora, mint amekkora ez az arán a diákok között. Hán felnőtt és hán diák tagja van ennek a sportklubnak? (13 pont) Jelölje f a sportklub felnőtt tagjainak számát. Ekkor a diákok száma a sportklubban 640 f. A rendszeresen sportolók száma 640-nek a az 55%-a, 0,55 640 35 fő. 8 A rendszeresen sportolók arána a teljes tagságban 0,55. Ennek a 11 -ed 8 része, vagis 0,55 0,4 a rendszeresen sportolók arána a felnőttek 11 között. ( pont) A rendszeresen sportolók arána a diákok között ennek az aránszámnak a kétszerese, vagis 0,8 A rendszeresen sportoló felnőttek száma 0,4 f A rendszeresen sportoló diákok száma 0,8 640 f
A rendszeresen sportolók száma e két létszám összege: 0,4 f 0,8 640 f 35 ( pont) Innen f 400 és 640 f 40 A felnőtt tagok száma 400, a diákok száma 40 Ellenőrzés Összesen: 13 pont 7) Eg egetem 10 580 hallgatójának tanulmáni lapjáról összesítették az angol és német nelvvizsgák számát. Kiderült, hog a német nelvvizsgával nem rendelkezők 70%-ának, a német nelvvizsgával rendelkezők 30%-ának nincs angol nelvvizsgája. Az angol nelvvizsgával nem rendelkezők 60%-ának nelvvizsgája sincs. a) Ezek közül a hallgatók közül hánan rendelkeznek angol és hánan német nelvvizsgával? (1 pont) b) A hallgatók hán százaléka rendelkezett angol és német nelvvizsgák mindegikével? (4 pont) a) Szemléltessük a feltételeket ábrával, ahol a hallgatók közül főnek nincs német nelvvizsgája és 10580 főnek van német nelvvizsgája, nincs német nelvvizsgája ( fő) van német nelvvizsgája 10580 nincs angol nelvvizsgája nincs sem német, sem angol nelvvizsgája van német, de nincs angol nelvvizsgája van angol nelvvizsgája nincs német, de van angol nelvvizsgája német és angol nelvvizsgája is van A feladat heles értelmezése (komplementer halmazok) A feladat feltétele alapján az fő 70%-ának, vagis 0,7 főnek nincs sem német, sem angol nelvvizsgája és a 10580 fő 30%-ának vagis főnek van német, de nincs angol nelvvizsgája 0,7 0,3 10580 Tehát nincs angol nelvvizsgája 3174 0,4 főnek Íg a feladat feltétele szerint a 3174 0,4 fő 60%-ának, vagis 0,6 3174 0,4 főnek nincs sem német, sem angol nelvvizsgája 0,7 0,6 3174 0,4 Innen 4140 ( pont) A német nelvvizsgával rendelkezők száma: 10580 6440 fő Nincs angol nelvvizsgája 3174 0,4 4830 főnek Van angol nelvvizsgája 10580 4830 5750 főnek b) A német vizsgával rendelkezők 6440 fő 30%-a, (vagis 193 fő) nem vizsgázott angolból
vagis a német nelvvizsgával rendelkezők 70%-a angolból is vizsgázott, ezek száma 4508 fő 4508 0,46 10580 A hallgatók 4,6 %-ának van angolból és németből is vizsgája Összesen: 16 pont 8) Eg áruházban eg mosóport négféle kiszerelésben árusítanak. Az első kiszerelés 50%-kal drágább a harmadiknál, és 0%-kal kevesebb mosópor van benne, mint a másodikban. A második 50%-kal több mosóport tartalmaz, mint a harmadik, és 5%-kal többe kerül, mint az első. a) Az első három kiszerelés közül melikben a legalacsonabb a mosópor egségára? (13 pont) A negedik fajta kiszerelést úg állították össze, hog annak dobozán a feltüntetett egségár megegezett az első három kiszerelés átlagos egségárával. b) Ha a legolcsóbb kiszerelésű dobozon 600 Ft egségárat tüntettek fel, akkor hán forint egségár szerepel a negedik fajta dobozon?(3 pont) a) (1 pont) 1.. 3. ár 1,5 1,5 1,5 1,875 tömeg 1,5 0,8 1, 1,5 1,5 1,875 egségár 1, 1,5 ár tömeg 1,5 1,5 Tehát a harmadik kiszerelés egségára a legalacsonabb b) Ha a legolcsóbb kiszerelés egségára 600 Ft, a másik kettőé ennek a 15%-a, azaz 750-750 Ft A három kiszerelés átlagos egségára: 600 750 750 700 3 A negedik kiszerelésen 700 Ft egségár szerepel Összesen: 16 pont 9) A mosogatógépünkön háromféle program van. Eg mosogatáshoz az A program 0%-kal több elektromos energiát, viszont 10%-kal kevesebb vizet használ, mint a B program. A B program 30%-kal kevesebb elektromos energiát és 5%-kal több vizet használ mosogatáshoz, mint a C program. Mindhárom program futtatásakor 40 Ft-ba kerül az alkalmazott mosogatószer. Eg mosogatás az A programmal 151 Ft-ba, B programmal 140 Ft-ba kerül. Mennibe kerül a C programmal a mosogatás? (14 pont)
A B program Ft értékű elektromos energiát és Ft értékű vizet használ eg mosogatás alkalmával Ekkor 40 140 Az A program 1, Ft értékű elektromos energiát, és 0,9 Ft értékű vizet használ eg mosogatáskor A költségekre vonatkozó egenlet: 1, 0,9 40 151 A következő egenletrendszert kapjuk -re és -ra: (1) 100 () 1, 0,9 111 Az egenletrendszert megoldva: 70, 30 (3 pont) A feltételek alapján a C program futtatása során az elektromos energia ára: 100 0,7 ( pont) a víz ára: 4 Ft 1,5 ( pont) A mosogatószer árát is figelembe véve, a C programmal eg mosogatás 164 Ft-ba kerül Összesen: 14 pont 10) Jelölje H a 5, 3 egenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, 6 amelekre a logb kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a H B és a B\ H halmazt! (11 pont) A gökös kifejezés értelmezési tartomán vizsgálata alapján: 5,. Az egenlőtlenség elvégzése során: 5, 9 3,8 Tehát azok a pozitív számok elemei H halmaznak, melek 3,8 -nál nagobbak és 5,-nél kisebbek: H 1;;3; 4;5 k 6 6 Ha logb k, akkor b, ami 64. ( pont) A k kitevő pozitív egész, ezért a b olan pozitív egész szám lehet, melnek valamel pozitív egész kitevős hatvána 64-gel egenlő: 6 3 1 4 8 64 64 ( pont) B ; 4; 8; 64. Ezért H B ;4 \ 8;64 B H Összesen: 11 pont
11) 1 a) Igazolja, hog a, a 0 és a 3 is göke a 3 5 3 0 egenletnek, és az egenletnek ezeken kívül más valós göke nincs! (5 pont) b) Oldja meg az alábbi egenletet a valós számok halmazán! 3 cos 5cos 3cos 0 (6 pont) c) Mutassa meg, hog a 8 7 4 3 0 egenletnek nincs valós göke! (5 pont) a) 3 5 3 5 3 0 Eg szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla! Az 0 valóban gök. A többi gököt a megmaradt másodfokú egenletből kapjuk meg: 5 3 0 1 A két gök: és 3, azaz a megadott három szám valóban göke az eredeti egenletnek. Másodfokú egenletnek legfeljebb két különböző valós göke lehet, ezért több gök nincsen. b) Vezessünk be új ismeretlent: cos! 3 A 5 3 0 egenletnek keressük a valós gökeit, meleket az a) feladatrészből tudhatunk is: 1 0, 1, 3 3. Mivel a cos kifejezés értéke -1 és 1 között mozoghat csak, ezért a 3 nem jó megoldás. A cos 0 egenlet megoldása: 1 k, ahol k ( pont) 1 A cos egenlet megoldásai:,3 m, ahol m 3 ( pont) c) Az egenlet bal oldalán kiemelhető: 4 7 3 0. Az eponenciális függvén értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, íg 0 nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egenlet: 7 3 0. 3 vag 1. Az eponenciális függvén már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gökei, íg valóban nincs megoldása az egenletnek. Összesen: 16 pont
1) Két valós szám összege 9. Ha az egikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az íg kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melik lehet ez a két szám? (13 pont) Jelölje azt a számot, amelet 15-tel csökkentünk, pedig a másikat 9 15 15 (3 pont) 5 Az első egenletből például -t kifejezve és a második egenletbe 15 9 15 5 (9 ) behelettesítve: A műveleteket elvégezve: 59 660 145 5 ( pont) Rendezve: 4 86 660 0 Az egenlet megoldásai a -6 és a 7,5 ( pont) Ha a 15-tel csökkentendő szám a 6, akkor a másik szám a 35 Ha a 15-tel csökkentendő szám a 7,5, akkor a másik szám a 1,5 Ellenőrzés a szöveg alapján: Ha a két szám a -6 és a 35, akkor az összegük 9, a szorzatuk -10 A megváltoztatott számok a -1 és az 50, ezek szorzata -1050, ami valóban az 5-szöröse a -10-nek. Ha a két szám a 7,5 és az 1,5, akkor az összegük 9, a szorzatuk 41,5. A megváltoztatott számok a 1,5 és a 16,5, ezek szorzata 06,5, ami valóban 5-szöröse a 41,5-nek. Összesen: 13 pont 13) A tavaszi idén utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pálára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérleteinek számát és az eges játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hog a dobási kísérleteknek hán százaléka volt sikeres.) Játékos mezszáma Dobási kísérletek száma Dobószázalék 4 50 5 3 0 6 10 60 7 8 5 10 7 43 13 6 33 15 14 57 a) Számítsa ki, hog menni volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen! (5 pont)
Az őszi idén kezdete előtt eg hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott eg 195 cm magas játékos, íg a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagobb lett. Pár nap múlva eg 0 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt. b) Hán tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt? (11 pont) a) Az eges játékosok sikeres dobásainak száma rendre: 1, 0, 6,, 3, és 8. ( pont) A csapat dobási kísérleteinek a száma a mérkőzésen 50, a sikeres dobások száma volt. A csapat dobószázaléka 44. b) A két új játékos csatlakozása előtt a csapat tagjainak száma a tagok magasságának átlaga pedig cm volt, 0. (Az első játékos belépése előtt a csapattagok magasságának összege volt, 195 az új játékos után 195 lett, tehát) 0,5. ( pont) 1 Az előzőhöz hasonló gondolatmenettel kapjuk, hog a második új játékos 195 0 belépését követően 1,5. ( pont) Az egenletek rendezése után a 0,5 194,5 egenletrendszerhez jutunk. ( pont) 1,5 394 10 és 189,5. ( pont) A csapat tagjainak száma 10, az átlagos magasságuk pedig 189,5 cm volt. Ellenőrzés. Összesen: 16 pont 14) Oldja meg az alábbi egenletrendszert a rendezett valós számpárok halmazán! a) b) 1 3 3 3 4 3 1 0 3 (7 pont) (7 pont)
a) 0 és 0 esetén A két egenlet összeadásával: 1 6, amiből (négzetre emelés és rendezés után) adódik. Az egenlet gökei: 4 és 9. 13 36 0 A 9 nem megoldása a 6 egenletnek. Tehát 4, és íg 4. Ellenőrzés b) Értelmezési tartomán: és 3. Az első egenletből 4 3 19. A második egenletből: 3 11. Behelettesítve: 7 10 Ellenőrzés 4 3 11 3 19. Összesen: 14 pont 15) Oldja meg a 4;6 alaphalmazon az alábbi egenleteket, illetve egenlőtlenséget! a) 5 3 (3 pont) b) 3 10 1 (6 pont) c) cos cos 1 0 (7 pont) b) 5 3 esetén 8 5 3 esetén Ilen elemei nincsenek az alaphalmaznak, ezért az eredeti egenlet megoldáshalmaza az üres halmaz. c) Négzetre emelve: 3 10 1 10 10 14 Négzetre emelve és rendezve: 1 3 156 0 6, 6 Ellenőrzés 6 hamis gök, a heles megoldás csak a 6
d) A cos cos 1 0 (cos-ben másodfokú) egenlet teljesül, ha cos 1 vag cos 0,5. ( pont) (A megadott egenlőtlenség cos-ben másodfokú tagjának egütthatója pozitív, ezért) 1 cos 0,5. 1 cos minden esetén (íg az alaphalmaz minden elemére is) igaz. (4;6 ; miatt) a koszinuszfüggvén a [4;6] alaphalmazon szigorúan monoton növekedő, és itt cos 0,5, ha 5,4 ezért az egenlőtlenség megoldáshalmaza 5 3 5 4; 3 Összesen 16 pont