Kontinuummechanika óravázlat Készítette: Dr. Pere Balázs Széchenyi István Egyetem Alkalmazott Mechanika Tanszék 0. augusztus.
Copyright 0 Dr. Pere Balázs. Minden jog fenntartva. Ez a dokumentum szabadon másolható és terjeszthet. Módosítása és kereskedelmi forgalomba kerülése csak a szerz írásbeli engedélyével lehetséges. e-mail: pere.balazs@sze.hu
Tartalomjegyzék Jelölések 5. Kinematika 7.. Anyagi pont és test helyzetének megadása................................. 7.. Elemi vonalszakasz, felület és térfogat alakváltozása.............................. Elemi vonalszakasz megváltozása..................................... Elemi felület megváltozása...................................... 6..3. Elemi térfogat megváltozása..................................... 8.3. A deformáció gradiens poláris felbontása.................................. 0.3.. A deformáció gradiens VR poláris felbontása............................3.. A deformáció gradiens RU poláris felbontása........................... 6.3.3. A nyújtó tenzorok sajátértékei és sajátvektorai közötti összefüggések.............. 9.4. Alakváltozási tenzorok............................................ 30.4.. Jobboldali Cauchy-Green deformációs tenzor........................... 3.4.. Green-Lagrange alakváltozási tenzor................................ 3.4.3. További kezdeti kongurációban értelmezett alakváltozási tenzorok.............. 33.4.4. Baloldali Cauchy-Green deformációs tenzor............................ 35.4.5. Euler-Almansi alakváltozási tenzor................................. 36.4.6. További pillanatnyi kongurációban értelmezett alakváltozási tenzorok............. 37.4.7. Alakváltozási tenzorok el retolása, visszahúzása.......................... 39.5. Alakváltozási tenzorok deviátoros felbontása................................ 43.6. Merev test szer elmozdulás és objektivitás................................ 44.7. Id ben változó alakváltozási mennyiségek................................. 50.7.. Materiális id szerinti deriválás................................... 50. Dinamika 50.. Tömegmegmaradás.............................................. 50... Tömeg................................................. 50... Tömeg-mérlegegyenlet........................................ 50..3. Integrálok id szerinti deriváltja.................................. 50.. Impulzus-tétel................................................. 50... Impulzus............................................... 50... Impulzus-tétel integrál alakja.................................... 50..3. Bels er k............................................... 50..4. Cauchy-féle feszültség tenzor.................................... 50..5. Impulzus-tétel dierenciális alakja................................. 50.3. Perdület-tétel................................................. 50.3.. Perdület................................................ 50.3.. Perdület-tétel integrál alakja.................................... 50.3.3. Perdület-tétel dierenciális alakja.................................. 50.4. Energia-tétel, avagy a h tan els f tétele.................................. 50.4.. Energia................................................ 50.4.. Energia-tétel integrál alakja..................................... 50.4.3. Celluláris lokális egyensúly, avagy az energia-tétel dierenciális alakja............ 50.4.4. Bels energia............................................. 50.5. Entrópia-tétel, avagy a h tan második f tétele.............................. 50.5.. Reverzibilis, irreverzibilis folyamatok................................ 50.5.. Entrópia................................................ 50.5.3. Entrópia-tétel integrál alakja.................................... 50.5.4. Entrópia-tétel dierenciális alakja................................. 50.5.5. Clausius-Planck-egyenl tlenség................................... 50.6. Feszültség tenzorok.............................................. 50.6.. Kirchho-féle feszültség....................................... 50.6.. I. Piola-Kirchho-féle feszültség................................... 50.6.3. Impulzus-tétel a kezdeti kongurációban.............................. 50 3
.6.4. II. Piola-Kirchho-féle feszültség.................................. 50.6.5. Biot-féle feszültség.......................................... 50.7. Helmholtz-féle szabadenergia........................................ 50.7.. Clausius-Duhem-egyenl tlenség................................... 50.7.. Bels paraméterek.......................................... 50.7.3. A h vezetés egyenlete........................................ 50.7.4. A szabadenergia függvény általános szerkezete.......................... 50 3. Anyagszerkezeti viselkedés 50 3.. Általános elvek????.............................................. 50 3.. Egyszer anyagmodellek........................................... 5 3... Tisztán rugalmas elem........................................ 5 3... Tisztán viszkózus elem........................................ 5 3..3. Tisztán képlékeny elem????..................................... 5 3.3. Összetett anyagmodellek........................................... 5 3.3.. Kelvin-Voigt modell......................................... 5 3.3.. Maxwell-modell............................................ 5 3.3.3. Vegyes modell............................................. 5 3.4. Anyagtörvények................................................ 5 3.4.. Objektivitás.............................................. 5 Tárgymutató 53 Függelék 55 A. Tenzoralgebra 55 A.. Vektorok.................................................... 55 A.. Tenzorok................................................... 56 A... Tenzorok szorzatainak determinánsa................................ 56 A.3. Harmadrend tenzorok............................................ 56 A.4. Negyedrend tenzorok............................................ 56 4
Jelölések adj... mátrix adjungáltja a Euler-Almansi alakváltozási tenzor B Piola-féle alakváltozási tenzor b baloldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor b a b tenzor torzításos vagy deviátoros része cof... mátrix kofaktora C jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor c Cauchy-féle alakváltozási tenzor C a C tenzor torzításos vagy deviátoros része χ vektor-vektor függvény, a r és R között teremt kapcsolatot δ j i Kronecker-szimbólum det... mátrix determinánsa da elemi felület a kezdeti kongurációban d a elemi felület a pillanatnyi kongurációban dv elemi térfogat a kezdeti kongurációban dv elemi térfogat a pillanatnyi kongurációban E Green-Lagrange alakváltozási tenzor e Euler-Almansi alakváltozási tenzor E n általános Lagrange-féle alakváltozási tenzor e n általános Euler-féle alakváltozási tenzor ε ijk, ε ijk Levi-Civita-szimbólum E egységvektor a kezdeti kongurációban e egységvektor a pillanatnyi kongurációban E I tenzor i-edik sajátvektora a kezdeti kongurációban e i tenzor i-edik sajátvektora a pillanatnyi kongurációban φ... el retolás m velet φ... visszahúzás m velet F deformáció gradiens Γ K IJ Γ k ij Christoel-szimbólum a kezdeti kongurációban Christoel-szimbólum a pillanatnyi kongurációban G i g i G i kovariáns bázisvektor a kezdeti kongurációban kovariáns bázisvektor a pillanatnyi kongurációban kontravariáns bázisvektor a kezdeti kongurációban 5
g i H h I J J b J C J U J v λ s λ i, λ I Λ kontravariáns bázisvektor a pillanatnyi kongurációban kezdeti kongurációban értelmezett Hencky-féle alakváltozási tenzor pillanatnyi kongurációban értelmezett Hencky-féle alakváltozási tenzor egységtenzor Jacobi-determináns, az F deformáció gradiens determinánsa a b tenzor tisztán térfogatváltozást leíró része a C tenzor tisztán térfogatváltozást leíró része az U tenzor tisztán térfogatváltozást leíró része az v tenzor tisztán térfogatváltozást leíró része vonalelem arány vagy fajlagos nyúlás nyújtó tenzor i-edik sajátértéke A v nyújtó tenzor a sajátvektorok bázisában Λ Az U nyújtó tenzor a sajátvektorok bázisában Hamilton-féle nabla dierenciál operátor a pillanatnyi kongurációban 0 N n N I n i Hamilton-féle nabla dierenciál operátor a kezdeti kongurációban felület normálvektora a kezdeti kongurációban felület normálvektora a pillanatnyi kongurációban tenzor i-edik egyre normált sajátvektora a kezdeti kongurációban tenzor i-edik egyre normált sajátvektora a pillanatnyi kongurációban Q, Q ortogonális transzformáció tenzora R ortogonális transzformáció, az elemi térfogat merev test szer elfordulását írja le R anyagi pont helyzete a kezdeti kongurációban r, r t anyagi pont helyzete a pillanatnyi kongurációban U poláris felbontás után a deformáció gradiens tisztán alakváltozást leíró része a kezdeti kongurációban Ũ v ṽ az U tenzor torzításos vagy deviátoros része poláris felbontás után a deformáció gradiens tisztán alakváltozást leíró része a pillanatnyi kongurációban a v tenzor torzításos vagy deviátoros része 6
. Kinematika.. Anyagi pont és test helyzetének megadása A kinematika anyagok mozgásának leírásával foglalkozik, nem keresi a mozgás okát. A vizsgált anyagok lehetnek gázok, folyadékok és szilárd testek is. A továbbiakban a szilárd anyagok egy modelljével, a kontinuumokkal, azaz folytonos tömegeloszlású szilárd testek leírásával foglalkozunk. Feltételezzük, hogy a kontinuum anyagi pontok sokaságából áll, az anyagi pontok szorosan hézagmentesen egymás mellett helyezkednek el. Tekintsünk egy test véges nagyságú tartományát, amelyet egy zárt felület határol. Ezt a tartományt, mint anyagi pontok halmazát jelöljük B-vel. A B egy tetsz leges anyagi pontját jelölje P P B. A háromdimenziós térben egy adott t id pillanatban minden anyagi ponthoz kölcsönösen egyértelm módon hozzárendelhet egy x, x, x 3 számhármas, amelyet az anyagi pont koordinátáinak nevezünk. A hozzárendelést vagy leképezést jelölje κ. Ezek alapján x, x, x 3 = κ P, t. A számhármas egy hozzá kapcsolódó vonatkoztatási rendszerrel együtt adja meg az anyagi pont pontos helyét a t id pillanatban. Az egyszer ség kedvéért feltételezzük, hogy a tér, amelyben a test elhelyezkedik euklideszi. A vonatkoztatási rendszer legyen a g, g és g 3 nem egy síkba es vektorokból álló vektorhármas, amelyet szokás bázisvektoroknak is nevezni. Azt, hogy az x, x, x 3 koordináták és a g, g, g 3 bázisvektorok egy adott id pillanathoz tartoznak, úgy is jelölhetjük, hogy x i = x i t és g i = g i t, ahol i =,, 3. Ezek alapján egy adott t id pillanatban a P anyagi pontba mutató r helyvektor az r t = x i t g i t összeggel számítható. Szimbolikusan írhatjuk az r t = κ P, t = κ t P függvénykapcsolatot is, amely bár konkrét számításra alkalmatlan, jelzi hogy egy anyagi pont és egy számhármas és a hozzá kapcsolódó bázis kapcsolatáról van szó. κp, t P P rt g 3 g g. ábra. A testet alkotó anyagi pontok egy adott t id pillanatban történ hozzárendelése a tér egy három koordinátával megadott pontjához. A függvény inverze a P = κ t r t alakban írható. Ha a B test mozgását elmozdulását szeretnénk leírni, legalább két különböz id pillanatban ismernünk kell a pontos helyzetét, azaz a testet alkotó P anyagi pontok helyzetét, mert a mozgást valamihez viszonyítanunk kell. Az egyik id pontot rögzítsük le, és jelöljük ezt a rögzített id pontot t 0 -val. A t 0 id pillanatban az anyagi pont helyvektorát jelölje R = r t 0 = x i t 0 g i t 0 = X I GI. Ezt szimbolikusan jelölhetjük az R = r t 0 = κ P, t 0 = κ 0 P összefüggéssel is, ami maga után vonja, hogy P = κ R 0. A továbbiakban a t0 id pillanathoz tartozó mennyiségeket általában nagy bet kkel fogjuk jelölni beleértve az indexeket is, a tetsz leges t id pillanathoz tartozó Az Einstein-féle összegzési konvenciónak megfelel en az azonos indexekre összegezni kell, például x i t g i t = 3 i= xi t g i t. 7
mennyiségeket pedig kis bet kkel. A tetsz leges t id pillanatban a test helyzetét pillanatnyi kongurációnak nevezzük, itt az egyes mennyiségek általában függvényei az id nek is. A t 0 id pillanatban a test helyzetét kezdeti kongurációnak nevezzük. A kezdeti kongurációban a rögzített t 0 id miatt az egyes mennyiségek nem függenek az id t l. Az r és az R közötti kapcsolat leírható az r t = κ t κ R = χ R, t = χ t R 3 függvénnyel is, az inverz kapcsolatot pedig az 0 R = κ 0 κ t r t = χ t r t 4 összefüggés adja meg. A kés bbiekben nem fogjuk külön hangsúlyozni, hogy a χ t = χ t R = χ R, t függvény még függ az id t l is, és jelölésére csak a χ = χ R -t fogjuk használni. kezdeti konfiguráció χ R pillanatnyi konfiguráció P κ 0 P κ t P P R P rt G 3 g 3 G G g g. ábra. A kezdeti és a pillanatnyi konguráció kapcsolatát leíró χ függvény. A kezdeti kongurációt úgy is felfoghatjuk, hogy a test a t 0 id pillanatban befagyott az éppen aktuális állapotában, és a továbbiakban bármelyik t id pillanatot véve ugyanazt a mozdulatlan állapotot térbeli helyzetet látjuk. Vagyis R = R t = konstans. Ennek a kés bbiekben azt lesz a következménye, hogy a kezdeti kongurációban értelmezett R helyvektornak az id szerinti deriváltja vagy deriváltjai nullával lesznek egyenl ek. Feladatok. feladat egyszer nyírás. Adott egy egység oldalú kocka, mint kezdeti kongurációt. A kocka alakváltozását a pillanatnyi kongurációban a 3. ábra szemlélteti. A g 3 irányba a kocka egyik pontja sem mozdul el. Határozza meg a kocka pontjainak elmozdulását leíró χ függvényt az ábrán megadott bázisok segítségével! 8
kezdeti konfiguráció G, g γ pillanatnyi konfiguráció G, g 3. ábra. Egyszer nyírás.. feladat. Oldja meg az. feladatot a a 4. ábrán látható bázisokkal. kezdeti konfiguráció G γ g pillanatnyi konfiguráció G, g 4. ábra. Egyszer nyírás. 3. feladat tiszta nyírás. Adott egy egység oldalú kocka, mint kezdeti kongurációt. A kocka alakváltozását a pillanatnyi kongurációban az 5. ábra szemlélteti. A g 3 irányba a kocka egyik pontja sem mozdul el. Határozza meg a kocka pontjainak elmozdulását leíró χ függvényt az ábrán megadott bázisok segítségével! G, g kezdeti konfiguráció pillanatnyi konfiguráció a G, g a 5. ábra. Tiszta nyírás. 9
4. feladat. Adott egy egység oldalú kocka, mint kezdeti kongurációt. A kocka alakváltozását a pillanatnyi kon- gurációban a 6. ábra szemlélteti. Határozza meg a kocka pontjainak elmozdulását leíró χ függvényt az ábrán megadott bázisok segítségével! a G 3, g 3 pillanatnyi konfiguráció kezdeti konfiguráció G, g a a G, g 6. ábra. A tiszta nyírás térbeli változata. 5. feladat. Adott egy egység oldalú kocka, mint kezdeti kongurációt. A kocka alakváltozását a pillanatnyi kon- gurációban a 7. ábra szemlélteti. Határozza meg a kocka pontjainak elmozdulását leíró χ függvényt az ábrán megadott bázisok segítségével! G 3, g 3 kezdeti konfiguráció pillanatnyi konfiguráció a G, g a a G, g 7. ábra. Tiszta térfogatváltozás. 6. feladat. Adott a 8. ábra látható három testb l felépített szerkezet. Mindhárom test forgásszimmetrikus, és szimmetriatengelyeik egybeesnek. A küls A és bels C testek merevnek tekinthet k, a B test pedig alakváltozásra képes test. A küls A testet mereven megfogtuk, a bels C testet pedig a szimmetriatengely körül ϕ szöggel elforgattuk. Feltételezzük, hogy az A test a B testhez képes, valamint a B test a C testhez képes nem csúszik meg, valamint hogy a szimmetriatengelyre mer leges síkok az alakváltozás után is síkok maradnak. Feltételezzük továbbá, hogy a B test pontjai koncentrikus körökön mozdulnak el, az elmozdulás nagysága pedig lineáris függvénye a szimmetriatengelyt l mért távolságnak. Határozza meg a B test pontjainak elmozdulását leíró χ függvényt alkalmasan választott bázisok segítségével! 0
A B C ϕ G 3, g 3 R R h G, g G, g 8. ábra. Csavarás. 7. feladat. Adott a 9. ábra látható három testb l felépített szerkezet. Mindhárom test forgásszimmetrikus, és szimmetriatengelyeik egybeesnek. A küls A és bels C testek merevnek tekinthet k, a B test pedig alakváltozásra képes test. A küls A testet mereven megfogtuk, a bels C test pedig a szimmetriatengely irányába elmozdítottuk. Az elmozdulás értéke a. Feltételezzük, hogy az A test a B testhez képes, valamint a B test a C testhez képes nem csúszik meg. Feltételezzük továbbá, hogy a B test pontjai mind a szimmetriatengely irányába mozdulnak el, az elmozdulás nagysága pedig lineáris függvénye a szimmetriatengelyt l mért távolságnak. Határozza meg a B test pontjainak elmozdulását leíró χ függvényt alkalmasan választott bázisok segítségével! A B C G 3, g 3 a R R h G, g G, g 9. ábra. Forgásszimmetrikus nyírás. 8. feladat. Adott a 0. ábrán látható henger alakú alakváltozásra képes test. A test alsó felületét mereven megfogtuk, a fels homlokfelületét pedig ϕ szöggel elforgattuk. Feltételezzük, hogy a henger keresztmetszetei az alakváltozás során síkok maradnak, alakjuk és nagyságuk sem változik meg, és a keresztmetszetek távolsága is változatlan marad. Feltételezzük továbbá, hogy a henger keresztmetszeteinek szögelfordulása a szimmetriatengely irányába mért távolság lineáris függvénye. Határozza meg a henger pontjainak elmozdulását leíró χ függvényt alkalmasan választott bázisok segítségével!
h G 3, g 3 ϕ R G, g G, g 0. ábra. Csavarás. 9. feladat. Határozza meg R = χ r inverz leképezést az -8. feladatok esetére!.. Elemi vonalszakasz, felület és térfogat alakváltozása Az el z fejezetben bemutatott χ függvény minden szükséges információt tartalmaz arra vonatkozóan, hogy a vizsgált test helyzetét, mozgását, alakváltozásait le tudjuk írni. A χ függvény tulajdonképpen jóval több információt tartalmaz, mint amennyire szükségünk van az alakváltozások leírásához. A kérdés az, hogy mik azok a mennyiségek, amelyek csak az alakváltozással kapcsolatosak, és hogyan lehet ezeket kinyerni a χ függvényb l? Amire nincsen szükségünk, az a. merev test szer elmozdulás transzláció vagy térbeli eltolás és a. merev test szer elfordulás rotáció vagy térbeli elforgatás. Hogy valami támpontot kapjunk, vizsgáljuk meg azoknak az elemi geometriai alakzatoknak a test mozgása során bekövetkezett megváltozását, amely alakzatokra a kés bbiekben szükségünk lehet például egy a testre vonatkozó integrál felírásánál. Ilyen alakzat a testben egy elemi vonalszakasz, egy elemi felület vagy egy elemi térfogat. A következ alfejezetekben ezeket vesszük végig.... Elemi vonalszakasz megváltozása Tekintsük a B test P anyagi pontját, és annak elemi környezetében lév Q anyagi pontját lásd. ábra. A kezdeti kezdeti konfiguráció χ R pillanatnyi konfiguráció Q d R P d r P Q R r G 3 g 3 G G g g. ábra. Elemi vonalszakasz megváltozása.
kongurációban legyen a P pontba mutató helyvektor R P = R, 5 a Q pontba mutató helyvektor pedig az R Q = R + d R, 6 ahol d R = dx I GI. A. ábra alapján nyilvánvaló, hogy d R = R Q R P. 7 Most nézzük meg ugyanezen anyagi pontok helyét a pillanatnyi kongurációban. Feltételezve hogy ismerjük a χ leképezést, az r P = χ RP = χ R 8 és r Q = χ RQ = χ R + dr összefüggéseket kapjuk. Szintén a. ábráról olvashatjuk le a d r = r Q r P 0 összefüggést, ahol d r = dx i g i. Helyettesítsük be a 0 egyenletbe a 8 és 9 vektorokat. d r = χ R + dr χ R Vagyis fel tudtunk írni egy függvénykapcsolatot a d r, dr és R között. Ezt jelölhetnénk akár a d r = d r R, dr függvénnyel is. Mivel dr az R elemi környezetében lév vektor, érdemes sorba fejteni a függvényt. χ R d r = χ R + X J dxj + + + n χ R dx k dx k dx 3 k 3 + χ R k!k!k 3! X k X k X 3 k3 k,k,k 3 3 ki=n. Feltevés helyi hatások elve. A P pont környezetének alakváltozását, így a d r vektort nem befolyásolják a P ponttól távolabb lév anyagi pontoknál bekövetkez alakváltozások. Következmény. Elegend a sorfejtésb l csak a lineáris tagokat gyelembe venni, a magasabb fokú tagok hatása elhanyagolható. 9 Ezek alapján írható, hogy vagy röviden χ R d r = χ R + X J = χ R χ X J δj KdX K = d r = F χ R dxj χ R = R X J G J F R X J dxj = G K dx K d R R d R 3 3
. Deníció. Az F R = tenzort deformáció gradiens nek nevezzük. χ R X J G J = χ R X J G J 0 = χ R 0 A. denícióban a 0 dierenciál operátor alsó nulla indexe arra utal, hogy a deriválást a kezdeti kongurációban kell elvégezni. Szokásosak még a következ jelölések is a deformáció gradiensre: r R F R = X J G J = r X J G J = r R, ahol felhasználtuk a 3 jelölést. Az F deformáció gradiens egy másodrend tenzor, vagyis egy homogén-lineáris vektor-vektor függvény. Megjegyzés: Görbevonalú koordinátarendszerben az χ R F R = X J G J = X J x i g i G J = xi X J g i G J + x i g i X J G J = = xi X J g i G J + x i xk g i X J x k G J = xi X J g i G J + x k xi g k X J x i G J = = xi X J g i G J + x k Γ l x i ki X J g l G J = xi X J g i G J + x k Γ i x l kl X J g i G J = = xl X J δi l g i G J + x k Γ i x l kl X J g i G J = xl X J δl i + xk Γ i kl g i G J összefüggés érvényes, ahol Γ i kl az úgynevezett Christoel-féle szimbólum. Egyenesvonalú koordinátarendszerben a Γ i kl Christoelszimbólumok értéke nulla, ezért itt használhatjuk az F = xi X J g i G J egyszer bb alakot. Most számoljuk ki a fordított összefüggést. A 7 egyenlet jobb oldalát fejezzük ki a pillanatnyi kongurációban lév r P és r Q vektorokkal, felhasználva a 4 inverz χ függvényt. d R = χ r Q χ r P 4 A. ábra jelöléseivel a P és Q helyvektorokra a pillanatnyi kongurációban az és r P = r r Q = r + d r vektorok adódnak. Ezeket behelyettesítve a 4 egyenletbe egy újabb, a összefüggéshez hasonló, de a d R-re kifejezett egyenletet kapunk. d R = χ r + d r χ r 5 Az el z ekhez hasonlóan végezzük el a 5 sorba fejtését. + k,k,k 3 3 ki=n d R = χ r + χ r x j dx j + + n χ r dx k dx k dx 3 k 3 + χ r 6 k!k!k 3! x k x k x 3 k3 A feltételezve hogy érvényes a helyi hatások elve, a 6 összefüggésb l elhagyhatóak a lineárisnál magasabb fokú tagok. dr = χ r + χ r x j dx j χ r = χ r x j dx j = A Γ i kl Christoel-szimbólumokat például a g k x i = Γ l ki g l, vagy ami ezzel ekvivalens, a Γ l ki = g k x i g l összefüggéssel is számíthatjuk. 4
vagy röviden = χ r x j δ j k dxk = χ r x j g j g k dx k, d r F r d R = F r d r. 7 Az F szintén egy másodrend tenzor, és hasonló szerepet játszik, mint a 3 egyenletben a deformáció gradiens. A kapcsolat az F és F között könnyen tisztázható. Szorozzuk meg a 3 mindkét oldalát balról az F tenzorral. F / d r = F d R F d r = F F d R Ezt összevetve a 7 összefüggéssel belátható, hogy F F = I, ahol I az egységtenzor. Ezek után a 7 összefüggést írhatjuk az d R = F r d r 8 alakban is. Az F = F r tenzort a deformáció gradiens tenzor inverzének nevezzük. Szokásosak még a következ jelölések a deformáció gradiens inverzére: F r = χ r x j g j = χ r = R r x j g j = R x j gj = R r, ahol felhasználtuk a 4 jelölést. Itt a dierenciál operátor a pillanatnyi kongurációban történ deriválást jelenti. Megjegyzés: Görbevonalú koordinátarendszerben az F r = χ r x j g j = x j X I GI g j = XI x j G I g j + X I G I x j gj = = XI x j = XI x j G I g j + X I XK x j G I g j + X K Γ L KI G I X K gj = XI x j G I g j + X K XI G K x j X I gj = G L g j = XI x j G I g j + X K Γ I X L KL x j G I g j = G I g j = XL x j δl I + XK Γ I GI KL g j X I x j = XL x j δi LG I g j + X K Γ I X L KL x j összefüggés érvényes, ahol a Γ I KL Christoel-féle szimbólumokat a kezdeti kongurációban kell kiszámítani3. Egyenesvonalú koordinátarendszerben a Γ I KL Christoel szimbólumok értéke nulla, ezért itt használhatjuk az F = XI x j egyszer bb alakot. Az F deformáció gradiensnek akkor és csakis akkor létezik az F inverze, ha a determinánsa nem nulla, vagyis det F 0. Az F deformáció gradiens egy úgynevezett kétpont tenzor. A kétpont tenzorokra az jellemz, hogy két koordinátarendszer között teremtenek kapcsolatot, bázisuk a két koordinátarendszer bázisainak diadikus szorzataként állítható el. Összefoglalva mondhatjuk, hogy a d R vagy d r elemi vonalszakasz megváltozását az F deformáció gradiens segítségével egyértelm en le tudjuk írni lásd a 3 és 8 egyenletek. * * * Ezen a ponton még kevésbe látszik, de a deformáció gradiens az alakváltozások, s t kés bb a feszültségállapot és az anyagtörvények felírásánál és számításánál is kulcsszerepet fog játszani. A deformációgradiens az az alapváltozó lesz a kontinuummechanikai feladatnál, amelynek meghatározásával a feladatot megoldottnak tekinthetjük, ugyanis segítségével minden más mennyiséget származtatni tudunk. Az F a deriválások miatt kevesebb információt tartalmaz, mint a χ függvény. G I g j 3 A Γ I KL Christoel szimbólumokat például a G K X I = Γ L KIG L, vagy ami ezzel ekvivalens, a Γ L KI = G K X számíthatjuk. I G L összefüggéssel is 5
Feladatok 0. feladat. Számítsa ki az -8. feladatok megoldása során kapott χ függvényekb l kiindulva az egyes alakváltozásokhoz tartozó F deformáció gradienseket! Írja fel az egyes deformáció gradiens tenzorok mátrixát a megfelel bázisok segítségével.. feladat. Számítsa ki a 9. feladat megoldása során kapott χ függvényekb l kiindulva az egyes alakváltozásokhoz tartozó deformáció gradiensek F inverzét! Írja fel az egyes inverz deformáció gradiens tenzorok mátrixát a megfelel bázisok segítségével.. feladat. Ellen rizze, hogy a 0. feladatban kapott deformáció gradiensek valóban az inverzei-e a. feladatban kapott eredményeknek. 3. feladat. Adott a d R = dx G elemi vonalszakasz a kezdeti kongurációban. Számítsa ki a pillanatnyi kongurációba leképezett d r vektort az. feladatban és a. feladatban kapott deformáció gradiensek felhasználásával is. Hasonlítsa össze az eredményeket.... Elemi felület megváltozása Az elemi vonalszakasz után most vizsgáljuk egy elemi da felület alakváltozás során bekövetkezett megváltozását. Legyen kezdetben a kezdeti kongurációban a da elemi felület normálvektora N. Ugyanezen felületelemet a pillanatnyi kongurációban alakváltozás után jelölje da, normálvektora pedig legyen az n lásd a. ábrát. kezdeti konfiguráció da N χ R pillanatnyi konfiguráció da n G 3 g 3 G G g g. ábra. Elemi felület megváltozása. Mindkét normálvektorra legyen igaz, hogy N = n = A da és da elemi felületek skalár mennyiségek, de az N és n normálvektorok segítségével bevezethetünk vektor felületelemeket is a következ módon: d A = NdA és d a = nda. Nyilvánvaló, hogy da = da illetve da = d a. A feladat a da és a d a elemi felületvektorok közötti kapcsolat megkeresése azon feltétel mellett, hogy az alakváltozást leíró F deformáció gradiens invertálható, vagyis det F 0. Kiindulásként írjuk fel az elemi felületeket két-két vektor elemi vonalszakasz vektoriális szorzataként lásd a 3. ábrát. Ha az elemi felületek elegend en kicsik, akkor az ily módon történ felírással csak kis hibát követünk el. Ha az elemi felületek mérete tart a nullához, akkor az elkövetett hiba értéke is nullához konvergál. 6
da N da d r n és A 3. ábra alapján írhatjuk, hogy dr dr d r 3. ábra. Elemi felületek el állítása két vektor vektoriális szorzataként. d A = d R d R 9 d a = d r d r. 0 Az elemi vonalszakaszok transzformációját az... fejezet 3 összefüggése alapján számíthatjuk. Helyettesítsük be a 3 összefüggést a 0 egyenletbe. d a = F dr F dr. Szorozzuk meg mindkét oldalt az F deformáció gradienssel jobbról. d a F = F dr F dr F Szorozzuk meg mindkét oldalt jobbról egy olyan tetsz leges dl vektorral, amely nem esik egy síkba a dr és dr vektorokkal. d a F dl = F dr F dr F dl Felhasználva az A a A b A c = det A a b c azonosságot az F deformáció gradiens kiemelhet a jobb oldalból. d a F dl = det F dr dr dl A jobb oldalon zárójelben álló tag nem más, mint a kezdeti kongurációban értelmezett, 9 összefüggéssel számított elemi felület. d a F d L = det F d A d L Mivel a d L vektort tetsz legesnek vettük fel, az egyenl ség csak akkor igaz, ha a d L vektort balról szorzó vektor mindkét oldalon megegyezik. d a F = det F d A Szorozzuk meg mindkét oldalt jobbról a deformáció gradiens F inverzével. d a = det F d A F Vegyük mindkét oldal transzponáltját azért, hogy a d A vektor a jobb oldali kifejezés végére kerüljön. d a = det F F T d A A bal oldal transzponálása csak annyit eredményez, hogy a d a vektor sorvektorból oszlopvektor lesz, de mivel ennek itt különösebb hatása nincsen, nem különböztetjük meg ket egymástól. A deformáció gradiens determinánsának jelölésére vezessünk be egy új jelölést. Mivel a deformáció gradiens tulajdonképpen egy leképezés Jacobi mátrixaként is felfogható a megfelel bázisok felhasználásával, ezért az F determinánsát Jacobi determinánsnak is nevezhetjük, és a J = det F jelölést fogjuk rá használni a továbbiakban. Így megkaptuk a d a = JF T d A 7
vagy d a = JF T N da 3 végeredményt, amely Nanson-formulaként is ismert. Az inverz összefüggés a fentiekhez hasonló módon is megkapható, de talán egyszer bb a eredményb l kiindulni. Szorozzuk meg a egyenletet balról a deformáció gradiens F T transzponáltjával, majd osszuk el az egyenletet a J Jacobi determinánssal. vagy d A = J F T d a 4 d A = J F T n da 5 A kezdeti kongurációban adott d A, és a pillanatnyi kongurációban neki megfelel d a elemi felületek közötti kapcsolatot a vagy 3 összefüggések, az inverz kapcsolatot pedig a 4 vagy 5 összefüggések adják meg. * * * A lineáris algebrából ismert egy mátrix inverzének kiszámítására szolgáló A = adj A det A 6 összefüggés, ahol az adj A a mátrix adjungáltját jelenti. Mivel a tenzorok egy adott bázisban koordinátarendszerben vagy koordináta-rendszerekben vett reprezentációja egy négyzetes mátrix, ezért a 6 egyenlet érvényes tenzorokra is. Helyettesítsük be a 6 összefüggést a képlettel együtt a Nanson-formulába. majd az egyszer sítések után a d a = det F adj F T det F d A, d a = adj F T d A 7 adódik. Vagyis a deformáció gradiens tenzor adjungáltja teremt kapcsolatot a kezdeti és pillanatnyi kongurációban lév felületelemek között. Szokásos még a mátrix un. kofaktorának cofactor használata is. cof F = adj F T A mátrix adjungáltjának transzponáltja jelenti a mátrix kofaktorát. Az új jelöléssel a 7 összefüggést az alakban is írhatjuk. Feladatok d a = cof F d A 8 4. feladat. Számítsa ki az., 3., 4. és 5. feladatokban szerepl egységoldalú kocka oldallapjainak területét az alakváltozás után a Nanson-formula segítségével. Ellen rizze a számítást elemi matematikai módszerekkel. 5. feladat. Vezesse le a 4 összefüggést a 3. ábra jelöléseinek felhasználásával...3. Elemi térfogat megváltozása Egy test egy tetsz leges elemi térfogatát jelölje dv a kezdeti kongurációban, és dv a pillanatnyi kongurációban lásd a 4. ábra. 8
kezdeti konfiguráció dv χ R pillanatnyi konfiguráció dv G 3 g 3 G G g g 4. ábra. Elemi térfogat alakváltozás során bekövetkez megváltozása. A két elemi térfogat közötti kapcsolat megadásához írjuk fel részletesebben az elemi térfogatokat. Feltételezve, hogy mind a dv, mind a dv elegend en kicsinyek, mindkét elemi térfogat kell pontossággal állítható el az egy csúcsból kiinduló, az oldallapok metszetgörbéit érint vektorok úgynevezett vegyes szorzataiként lásd a 5. ábra. dv dv d R d R d R 3 d r d r d r 3 5. ábra. Elemi térfogat el állítása a kezdeti és pillanatnyi kongurációban. Legyen d R, d R és d R 3 a kezdeti kongurációban lév dv elemi térfogat egy csúcsából kiinduló, az oldallapok metszetgörbéit érint három vektor feltételezzük, hogy a dv térfogat nem elfajuló, azaz dv 0. Hasonló módon legyen d r, d r és d r 3 a pillanatnyi kongurációban lév dv elemi térfogat egy csúcsából kiinduló, az oldallapok metszetgörbéit érint három vektor. Feltételezzük, hogy az alakváltozást leíró deformáció gradiens invertálható, azaz det F 0. A fentiek alapján a dv és dv térfogatelemek a és dv = d R d R d R 3 9 dv = d r d r d r 3 30 szorzatokkal számíthatóak. A 3 összefüggés felhasználásával a 30 egyenlet jobb oldala átalakítható. dv = F dr F dr F dr 3 Az A a A b A c = det A a b c azonosság felhasználásával az F deformáció gradiens kiemelhet a jobb oldalból. dv = det F dr dr dr 3 A 9 összefüggést behelyettesítve a jobb oldalon lév vegyes szorzat helyébe, és alkalmazva a jelölést a dv = J dv 3 9
összefüggést kapjuk. Az inverz kapcsolatot a 3 egyenlet mindkét oldalának a J Jacobi-determinánssal történ osztásával kapható meg. dv = J dv 3 Összefoglalva kijelenthetjük, hogy a 3 és 3 összefüggések teremtenek kapcsolatot a kezdeti kongurációban adott dv elemi térfogat és a pillanatnyi kongurációban adott dv elemi térfogat között. Feladatok 6. feladat. Számítsa ki az., 3., 4. és 5. feladatokban szerepl egységoldalú kocka térfogatát az alakváltozás után a dv = J dv képlet segítségével. Ellen rizze a számítást elemi matematikai módszerekkel. 7. feladat. Vezesse le a 3 összefüggést a 5. ábra jelöléseinek felhasználásával..3. A deformáció gradiens poláris felbontása Mint ahogy már az. fejezetben utaltunk rá, a χ R függvény több információt tartalmaz a vizsgált test mozgásáról, mint amennyire az alakváltozások leírásához szükség van. Az F deformáció gradiens a χ R függvény deriválásával áll el, vagyis a χ R függvényben lév konstansok, amelyek a test pontjainak helyét határozzák meg, elt nnek. Ezekre az alakváltozások leírásához szerencsére nincs is szükség, ugyanis ezek a test merev test szer transzlációs mozgásával lennének kapcsolatosak. Van azonban még egy másik merev test szer mozgással kapcsolatos információ is a deformáció gradiensben, amelyet célszer leválasztani róla. Ez a merev test szer elfordulás, vagy rotáció. A rotáció deformáció gradiensr l történ leválasztásához a következ matematikából ismert tételb l indulunk ki. 3. Tétel poláris felbontás tétele. Legyen F egy valós, nem elfajuló det F > 0 tenzor. Az F mindig felbontható egy R ortogonális transzformáció 4 vagy tenzor, és egy U vagy v szimmetrikus, pozitív denit tenzor szorzatára a következ módon: F = R U, 33 vagy F = v R. 34 Vagyis a deformáció egy R forgatás és egy U vagy v nyújtás stretch egymásutánjából áll össze. 4. Deníció. A 33 egyenletben szerepl U szimmetrikus, pozitív denit tenzort jobboldali vagy anyagi nyújtó tenzor nak nevezzük material stretch tensor. A jobboldali jelz arra utal, hogy a 33 felbontásban az R forgató tenzort jobbról szorozzuk az U tenzorral. Az anyagi jelz arra utal, hogy az U tenzor a kezdeti kongurációban értelmezett lásd lejjebb. 5. Deníció. A 34 egyenletben szerepl v szimmetrikus, pozitív denit tenzort baloldali vagy térbeli nyújtó tenzornak nevezzük. A baloldali jelz arra utal, hogy a 34 felbontásban az R forgató tenzort balról szorozzuk a v tenzorral. Az térbeli jelz arra utal, hogy az v tenzor a pillanatnyi kongurációban értelmezett lásd lejjebb. A poláris felbontás szemléltetésére szorozzuk meg a 33 tenzoregyenlet mindkét oldalát a dr vektorral jobbról. A 3 alapján az egyenlet mindkét oldala a d r vektort adja eredményül, de a jobb oldalon az U tenzorral történ szorzás után kapunk egy részeredményt. F dr = R U dr 35 d r } d R {{ } d r A d R vektor egy un. köztes kongurációban értelmezett vektor. Az F deformáció gradiens kétpont tenzor, azaz két koordinátarendszer között teremt kapcsolatot. Legyen az R elforgatás szintén kétpont tenzor. Ekkor viszont az 4 Akkor nevezzük az R transzformációt ortogonálisnak, ha igaz az R T = R egyenl ség. Ebb l következik, hogy R T R = R R T = I, ahol I az egységtenzor. Könnyen belátható még a det R = egyenl ség is. 0
U már egyértelm en a kezdeti kongurációhoz kötött tenzort fog jelenteni. Írjuk fel a 35 egyenletet a megfelel bázisok feltüntetésével is: F.J g i i G J dr K GK = R ị J g i G J U Ḳ LG K G L dr M GM, dr i g i } {{ d R K G K } dr i g i ahol FJ i az... fejezet F = xl X δ i J l + x k Γ i kl gi G J képletének tömörebb F = F.J i i G J jelöléséb l származik. A g n n =,, 3 vektorokkal jobbról történ szorzás után az F n.kdr K = R ṇ JU J.M dr M egyenletet kapjuk, amelyet a dr M illetve dr K koordináták elhagyása és index átnevezések után az F n.k = R ṇ JU J.K mátrixegyenletként is tudunk írni 5. Az F = R U felbontást egy elemi kocka deformációján a 6. ábra szemlélteti. U R 6. ábra. Elemi kocka alakváltozásának F = R U felbontása. Az ábrán jól látható, hogy az F = R U felbontás során el ször nyújtjuk az elemi kockát, majd utána merev test szer en elforgatjuk. Most vizsgáljuk meg a 34 poláris felbontást. Szorozzuk meg a 34 mindkét oldalát a dr vektorral jobbról. A 3 alapján az egyenlet mindkét oldala a d r vektort adja eredményül, de a jobb oldalon az R tenzorral történ szorzás után kapunk egy részeredményt. F dr = v R dr 36 d r } d r {{ } d r A d r vektor egy un. köztes kongurációban értelmezett vektor. Itt a korábbiakkal összevetve a v egyértelm en a pillanatnyi kongurációhoz kötött tenzort fog jelenteni. Ezért jelöltük már eleve kis bet vel. Írjuk fel a 36 egyenletet a megfelel bázisok feltüntetésével is: F.J g i i G J dr K GK dr i g i = v ị j g i g j R ḳ L g k G L dr M GM, } {{ d r k g k } dr i g i ahol F i J az... fejezet F = xl X J δ i l + x k Γ i kl gi G J képletének tömörebb F = F i J g i G J jelöléséb l származik. A g n n =,, 3 vektorokkal jobbról történ szorzás után az F n.kdr K = v ṇ jr j.m drm egyenletet kapjuk, amelyet a dr M illetve dr K koordináták elhagyása és index átnevezések után az F n.k = v ṇ jr j.k 5 Ha nem írjuk ki a tenzor bázisát, az alsó illetve fels indexnél érdemes jelölni, hogy melyik az els és melyik a második index. Ezt a második index elé írt ponttal tesszük meg. Ennek a mátrixok transzponálásának jelölésénél van szerepe, pl. F.J i T = F.i J.
mátrixegyenletként is tudunk írni. Az F = v R felbontást egy elemi kocka deformációján a 7. ábra szemlélteti. R v 7. ábra. Elemi kocka alakváltozásának F = v R felbontása. Az ábrán látható, hogy az F = v R felbontás során el ször merev test szer en elforgatjuk az elemi kockát, majd utána nyújtjuk..3.. A deformáció gradiens VR poláris felbontása A következ ekben bemutatjuk a poláris felbontás menetét, és az R forgató tenzor valamint az U és v jobb- és baloldali nyújtó tenzorok kiszámításának módszerét. Induljunk ki abból, hogy csak az F tenzort ismerjük. Szorozzuk meg az F deformáció gradienst jobbról a saját maga transzponáltjával, és alkalmazzuk még az F deformáció gradiens 34 poláris felbontását F F T = v R R T v T = v, 37 I ahol felhasználtuk hogy a v szimmetrikus. A v az v v T = v v szorzást jelöli. A v birtokában meg kellene határoznunk a v tenzort, vagyis az v tenzoron egy gyökvonást kellene elvégeznünk. Egy tenzorból gyököt vonni nem tartozik az egyszer m veletek közé, azonban ha diagonizáljuk a tenzort, azaz áttranszformáljuk egy olyan alakba, hogy csak a tenzor mátrixának f átlójában maradjon nullától különböz elem, a gyökvonás a f átlóban álló elemeken elvégzett gyökvonással lesz egyenérték. A tenzor mátrixának diagonizálását a sajátérték feladat megoldásán keresztül oldhatjuk meg. Keressük meg azokat a λ i skalár számokat és a hozzájuk tartozó e i vektorokat, amelyekre igaz a következ egyenlet: v e i = λ i e i. 38 Az elkövetkez számítások során továbbra is alkalmazzuk az Einstein-féle összegzési konvenciót, de a λ i sajátértékek indexére nem végzünk el összegzést, és az index értéke mindig meg fog egyezni a mellette álló mennyiség i indexével. Ezt úgy fogjuk jelölni, hogy a λ i sajátérték indexe álló bet vel lesz jelölve, a másik mennyiség indexe pedig d lt bet vel lásd a 38 egyenlet. Rendezzük át a 38 egyenletet felhasználva az e i = I e i összefüggést. v λ i I e i = 0 39 Ez tulajdonképpen egy homogén, lineáris, algebrai egyenletrendszer, amelynek csak akkor van triviálistól különböz megoldása, ha a zárójelben álló együttható mátrix determinánsa nulla, azaz det v λ i I = 0. 40 A determináns kiszámításához szükség van a v tenzor koordinátáira. Írjuk fel ezeket a g i g j bázisban. v = v v T = v ị j g i g j v.k l g l g k = v ị j v l.k g i g j g l g k = g jl = v ị jv.k l g jl g i g k = v ị jv jk g i g k = v ị jv jk g i g l g lk = v ị jv j.l g i g l = v i.l g i g l 4 Mivel az F, és ezen keresztül a v is adott, csak a λ i értékének megfelel megválasztásával érhet el a 40 egyenl ség teljesülése. A 40 egyenletben szerepl determináns kifejtése után az ún. karakterisztikus egyenletet kapjuk. λ 6 i v I λ4 i + v II λ i v = 0, 4 III
ahol v, v és v a v tenzor els, második és harmadik skalár invariánsait jelentik. Az egyes skalár I II III invariánsokra a következ kifejezések adódnak: v I = tr v, ahol a tr v trace - nyom a v tenzor mátrixának f átlójában álló elemek összegét jelenti. Az invariáns kifejezés itt azt jelenti, hogy a bázis megválasztásától függetlenül mindig ugyan azt az összeget fogjuk kapni. A második skalár invariánst a v II = tr v tr v v összefüggéssel számíthatjuk ki. A harmadik skalárinvariánsra a v determinánsát kapjuk 6. v III = det v. A 4 karakterisztikus egyenlet a λ i -re nézve egy harmadfokú algebrai egyenlet, amelynek mindig van három nem feltétlenül különböz megoldása. Mivel a v tenzor szimmetrikus és pozitív denit, a megoldások mindig valósak lesznek és értékük mindig nullánál nagyobbra adódik. A 4 karakterisztikus egyenlet λ i i =,, 3 megoldásai a v tenzor sajátértékei lesznek. Minden egyes λ i sajátértékhez létezik egy e i sajátvektor, amelyet a 39 homogén, lineáris, algebrai egyenletrendszerbe történ visszahelyettesítéssel kapunk meg. Mivel az egyenletrendszer homogén, a megoldásai, amik az e i vektor koordinátáit jelentik, csak egy konstans erejéig határozottak. Többszörös multiplicitású gyökök esetén több konstans is megjelenik, ahol a konstansok értéke szabadon megválasztható. Végezzük el a sajátvektorok egyre normálását. A normált sajátvektorokat jelölje n i. n i = e i e i 43 Könnyen belátható, hogy igaz lesz az v n i = λ i n i 44 egyenlet is. Igazolható, hogy a sajátvektorok az e i és az n i is mer legesek egymásra. Szorozzuk meg a 44 egyenletet balról az n j i j sajátvektorral, majd ezután szorozzuk meg a j-edik sajátértékre felírt sajátérték egyenletet balról az n i i j sajátvektorral. és Vonjuk ki egymásból a 45 és 46 egyenleteket. n j v n i = λ i n j n i, 45 n i v n j = λ j n i n j. 46 n j v n i n i v n j = λ i λ j nj n i Mivel a v tenzor szimmetrikus, az egyenlet bal oldala mindig null értéket vesz fel. Az i j feltétel miatt az elfajuló esetekt l eltekintve igaz az λ i λ j feltétel is, vagyis a jobb oldal csak akkor lesz nulla, ha n i n j = 0, azaz a sajátvektorok mer legesek egymásra. Ezt általánosan, a 43 egyenletet is gyelembe véve az { ha i = j, n i n j = 47 0 ha i j. egyenl séggel is kifejezhetjük. Az n i sajátvektorok reciprok vektorait az képletekkel számíthatjuk. Tömören írható a n = n n 3, n = n 3 n és n 3 = n n 6 Általánosan mondhatjuk, hogy egy A tenzor skalár invariánsai az A I = tr n k = ε ijk n i n j 48 A tr A A és A III = A, AII = tr det A összefüggésekkel számíthatók. De ez csak egy lehetséges választás, mivel a skalár invariánsok skalár-skalár függvényei is skalár invariánsok lesznek. 3
összefüggés, ahol az i, j és k páros permutációi esetén, ha i j k i, ε ijk = az i, j és k páratlan permutációi esetén, ha i j k i, 0 ha i = j vagy j = k vagy k = i. az un. Levi-Civita-szimbólum. Szorozzuk meg a 48 egyenletet jobbról az n p sajátvektorral skalárisan. A normált sajátvektorok ortogonális tulajdonsága miatt ahol Ekkor a reciprok vektorra érvényes n k n p = ε ijk n i n j n p 49 ε ijp = n i n j n p, az i, j és p páros permutációi esetén, ha i j p i, ε ijp = az i, j és p páratlan permutációi esetén, ha i j p i, 0 ha i = j vagy j = p vagy p = i. n k n p = ε ijk ε ijp = δ k p 50 összefüggést kapjuk, amely tulajdonképpen a reciprok vektor deníciója. Összevetve ezt a 47 egyenlettel következik, hogy az n i sajátvektor azonosan egyenl a saját maga reciprok vektorával, azaz az n i vektorral. A v diagonizálásához szorozzuk meg a 44 egyenletet balról az n j sajátvektorral skalárisan majd szorozzuk meg az egyenletet balról g j -vel és jobbról g i -vel diadikusan. n j v n i = λ i n j n i = λ i δ j i, 5 g j n j v n i g i = λ i δ j i g j g i 5 Könnyen belátható, hogy a bal oldalt balról szorzó g j n j tenzor inverze a bal oldalt jobbról szorzó n i g i tenzornak. Szorozzuk össze az említett két tenzort. gj n j n i g i = g j n j n i g i = δ j i g j g i = g i g i = I, vagyis mivel a szorzatuk az egységtenzor, tényleg egymás inverzei. Vezessük be a és valamint az δ j i Q = n i g i 53 Q = g j n j, 54 Λ = Λ Λ = λ i δ j i g j g i jelöléseket. Ez utóbbi tenzor mátrixa a g j g i bázisban diagonális lesz, azaz csak a f átlóban lesznek nullától különböz elemek, amik nevezetesen a v tenzor sajátértékei [ Λ ] = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ 3 Amennyiben a g i egy ortonormált bázis, akkor Q tenzor g j g i bázisban felírt mátrixának egyes oszlopaiban a n i sajátvektorok helyezkednek el. Ekkor a Q inverzére a Q = Q T összefüggést kapjuk, vagyis ortonormált bázis esetén a Q egy ortogonális transzformációt elforgatást jelent. Az 5 egyenletet a fenti jelölésekkel a tömörebb. Q v Q = Λ, 55 4
ortonormált g i bázis esetén Q T v Q = Λ alakban is írhatjuk. Ezzel tulajdonképpen a v tenzort, és vele együtt az n i sajátvektorait transzformáljuk át úgy, hogy a tenzor diagonális legyen a g j g i bázisban. Hogy ezt jobban lássuk, az indexátnevezések után helyettesítsük be a v tenzor 4 alakját az 5 képletbe. g j n j v ḳ lv ḷ m g k g m n i g i = λ i δ j i g j g i ahol és nj g k v ḳ lv ḷ m g m n i g j g i = λ i δ j i g j g i Q ṃ i Q j.k Q j.k vḳ lv ḷ mq ṃ i g j g i = λ i δ j i g j g i, Q ṃ i = g m n j g j g i = g m n j g j g i δ j i = g m n i, Q j =.k gj g i n i g k = g j g i n i g k = nj g k. Az n i és n j sajátvektorok és reciprok sajátvektorok ismeretében az 53 és 54 összefüggésekkel a Q és Q kiszámítható, majd a Λ meghatározható. A Λ -b l a Λ gyökvonás útján állítható el Λ = δ j i Λ. A gyökvonást a g j g i bázisban úgy tudjuk elvégezni, hogy a f átlóban álló elemekb l külön-külön gyököt vonunk [ ] [ ] λ 0 0 Λ = Λ = 0 λ 0 = λ 0 0 0 λ 0. 0 0 λ 3 0 0 λ 3 A Λ és a Λ tenzorok ugyan abban a koordinátarendszerben diagonálisak, ezért a sajátvektor rendszerük is megegyezik. Ha a Λ tenzort el állítottuk, akkor az inverz transzformációval, azaz a Λ tenzort balról Q-val és jobbról Q tenzorral szorozva a v baloldali nyújtó tenzor el állítható Q Λ Q = v. Ebb l következik, hogy v és v sajátvektorai is megegyeznek. A v diagonizálásának lehetséges egy másik megközelítése is. Az 5 egyenletet szorozzuk balról az n j és jobbról az n i vektorokkal diadikusan. n j n j I v n i n i = λ i δ j i n j n i 56 I Mivel az n i n i szorzat az egységtenzorral egyenl, tulajdonképpen nem csináltunk semmit a v tenzorral, a sajátvektorai változatlanok maradtak, de kicseréltük a bázisát g j g i -r l n j n i -re. A v tenzor viszont a sajátvektorainak a bázisában diagonális, és ahogy a jobb oldalból látszik a f átlóban a sajátértékek vannak. Helyettesítsük be a 4 összefüggést az 56 képletbe. n j n j v ḳ lv ḷ m g k g m n i n i = λ i δ j i n j n i nj g k v ḳ l v ḷ m gm n i n j n i = λ i δ j i n j n i 5
Q j.k vḳ lv ḷ mq ṃ i n j n i = λ i δ j i n j n i Sokszor el nyös a v tenzort a sajátvektorainak a koordinátarendszerében felírni v = λ i n i n i. 57 Az F deformáció gradiens poláris felbontásából csak az R forgató tenzor el állítása van hátra. Szorozzuk be a 34 egyenletet balról a v tenzor inverzével. R = v F Ezzel a v baloldali nyújtó és R forgató tenzorok is el álltak, vagyis elvégeztük az F deformáció gradiens F = v R poláris felbontását..3.. A deformáció gradiens RU poláris felbontása A következ kben a deformáció gradiens F = R U poláris felbontását végezzük el. Mivel a poláris felbontás gondolatmenete nagyon hasonló mint a F = v R felbontás esete, a felbontást csak vázlatosan, a különbségeket kiemelve végezzük el. Szorozzuk meg az F deformáció gradienst balról a saját maga transzponáltjával. F T F = U T R T R U = U, 58 I ahol felhasználtuk, hogy az U tenzor szimmetrikus. Az U az U T U = U U szorzást jelöli. A U birtokában meg kellene határoznunk a v tenzort, vagyis az v tenzoron egy gyökvonást kellene elvégeznünk. Ehhez végezzük el az U diagonizálását. Els lépésként oldjuk meg az U E I = λ I E I sajátérték feladatot, azaz keressük meg azokat a λ I sajátértékeket, amelyek mellett az E I vektorok koordinátái meghatározhatóak az U λ I I E I = 0 homogén, lineáris, algebrai egyenletrendszerb l. Ez az egyenletrendszer csak akkor oldható meg, ha det U λ I I = 0. A determináns részletes kifejtéséhez szükség van az U koordinátáira a G I G J bázisban. U = U T U = U J.I G J G I U Ḳ LG K G L = U J.I U Ḳ LG J G I } {{ G K G } L = G IK = U.I J U Ḳ LG IK G J G L = U JK U Ḳ L G J G L = U JK U Ḳ L G I G L G IJ = U Ị KU Ḳ L G I G L = U I.L G I G L 59 A determináns kifejtése után a λ 6 I U I λ4 I + U II λ I U III = 0 karakterisztikus egyenletet kapjuk, amely egy harmadfokú algebrai egyenletet jelent a λ I sajátértékekre. A karakterisztikus egyenletben az egyes skalárinvariánsokra az U I = tr U, U II = tr U tr U U és U III = det U 6
mennyiségek adódnak. Az egyenletrendszer megoldásaként a λ I sajátértékeket és az E I sajátvektorokat kapjuk. Az egyre normált sajátvektorokat jelölje N I. E N I = I E 60 I Könnyen belátható, hogy igaz lesz az U N I = λ I N I 6 egyenlet is. A korábbiakhoz hasonlóan igazolható, hogy a sajátvektorok az E I és az N I is mer legesek egymásra. Ezt általánosan, a 60 egyenletet is gyelembe véve az { N I N ha I = J, J = 6 0 ha I J. egyenl séggel is kifejezhetjük. Az N I sajátvektorok reciprok vektorait az képletekkel számíthatjuk. Tömören írható a N = N N 3, N = N 3 N és N 3 = N N N K = ε IJK NI N J 63 összefüggés is. Szorozzuk meg ezt az egyenletet jobbról az N P sajátvektorral skalárisan. N K N P = ε IJK NI N J N P 64 A normált sajátvektorok ortogonális tulajdonsága miatt ε IJP = NI N J N P. Ekkor a reciprok vektorra érvényes N K N P = ε IJK ε IJP = δ K P 65 összefüggést kapjuk, amely tulajdonképpen a reciprok vektor deníciója. Összevetve ezt a 6 egyenlettel következik, hogy az N I sajátvektor azonosan egyenl a saját maga reciprok vektorával, azaz az N I vektorral. Az U diagonizálásához szorozzuk meg a 6 egyenletet balról az N J sajátvektorral skalárisan N J U N I = λ I N J N I = λ I δ J I, 66 majd szorozzuk meg az egyenletet balról G J -vel és jobbról G I -vel diadikusan. G J N J U N I G I = λ I δ J I G J G I 67 Könnyen belátható, hogy a bal oldalt balról szorzó G J N J tenzor inverze a bal oldalt jobbról szorzó N I G I tenzornak. Szorozzuk össze az említett két tenzort. GJ N J NI G I = G J N J } {{ N I G } I = δi J G J G I = G I G I = I, δi J vagyis mivel a szorzatuk az egységtenzor, tényleg egymás inverzei. Vezessük be a Q = N I G I 68 és valamint az Q = G J N J, 69 Λ = Λ Λ = λ I δ J I G J G I 7
jelöléseket. Ez utóbbi tenzor mátrixa a G J G I bázisban diagonális lesz, azaz csak a f átlóban lesznek nullától különböz elemek, amik nevezetesen az U tenzor sajátértékei [ Λ ] = λ 0 0 0 λ 0. 0 0 λ 3 Amennyiben a G I egy ortonormált bázis, akkor Q tenzor G J G I bázisban felírt mátrixának egyes oszlopaiban a N I sajátvektorok helyezkednek el. Ekkor a Q inverzére a Q = Q T összefüggést kapjuk, vagyis ortonormált bázis esetén a Q egy ortogonális transzformációt elforgatást jelent. A 67 egyenletet a fenti jelölésekkel a tömörebb Q U Q = Λ, 70 ortonormált G I bázis esetén Q T U Q = Λ alakban is írhatjuk. Ezzel tulajdonképpen az U tenzort, és vele együtt az N I sajátvektorait transzformáljuk át úgy, hogy a tenzor diagonális legyen a G J G I bázisban. Hogy ezt jobban lássuk, az indexátnevezések után helyettesítsük be az U tenzor 59 alakját a 67 képletbe. G J N J U Ḳ LU Ḷ M G K G M N I G I = λ I δi J G J G I ahol és N J G K U Ḳ LU Ḷ GM M N I G J G I = λ I δi J G J G I Q J Q Ṃ I.K Q J.K U Ḳ LU Ḷ Q M Ṃ I G J G I = λ I δi J G J G I, Q Ṃ I = G M NJ G J G I = GM N J Q J.K GJ G I = G M N I, δi J = G J GI N I G K = GJ G I N I G K = N J G K. δi J Az N I és N J sajátvektorok és reciprok sajátvektorok ismeretében a 68 és 69 összefüggésekkel a Q és kiszámítható, majd a Λ meghatározható. A Λ -b l a Λ gyökvonás útján állítható el Λ = Λ. Q A gyökvonást a G J G I bázisban úgy tudjuk elvégezni, hogy a f átlóban álló elemekb l külön-külön gyököt vonunk [ Λ] ] λ = [ Λ 0 0 λ 0 0 = 0 λ 0 = 0 λ 0. 0 0 λ 3 0 0 λ 3 A Λ és a Λ tenzorok ugyan abban a koordinátarendszerben diagonálisak, ezért a sajátvektor rendszerük is megegyezik. Ha a Λ tenzort el állítottuk, akkor az inverz transzformációval, azaz a Λ tenzort balról Q-val és jobbról Q tenzorral szorozva az U jobboldali nyújtó tenzor el állítható Q Λ Q = U. 8