A Borda-szavazás Nash-implementálható értelmezési tartományai Tasnádi Attila 2007. június 8.
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ).
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza.
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza.
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza. L(x, ) = {y X x y}, ahol x X és P X.
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza. L(x, ) = {y X x y}, ahol x X és P X. rk[x, ] = i, ha x X az i-edik P X szerint.
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza. L(x, ) = {y X x y}, ahol x X és P X. rk[x, ] = i, ha x X az i-edik P X szerint. Definíció: az f : n=1 Pn 2 X \ { }
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza. L(x, ) = {y X x y}, ahol x X és P X. rk[x, ] = i, ha x X az i-edik P X szerint. Definíció: az f : n=1 Pn 2 X \ { } egy társadalmi választási szabály (TVSZ).
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza. L(x, ) = {y X x y}, ahol x X és P X. rk[x, ] = i, ha x X az i-edik P X szerint. Definíció: az f : n=1 Pn 2 X \ { } egy társadalmi választási szabály (TVSZ). Definíció: az f TVSZ monoton,
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza. L(x, ) = {y X x y}, ahol x X és P X. rk[x, ] = i, ha x X az i-edik P X szerint. Definíció: az f : n=1 Pn 2 X \ { } egy társadalmi választási szabály (TVSZ). Definíció: az f TVSZ monoton, ha i {1,..., n} : x f( 1,..., n ), L(x, i ) L(x, i)
Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). P X az X feletti lineáris rendezések halmaza. P P X a megengedett lineáris rendezések halmaza. L(x, ) = {y X x y}, ahol x X és P X. rk[x, ] = i, ha x X az i-edik P X szerint. Definíció: az f : n=1 Pn 2 X \ { } egy társadalmi választási szabály (TVSZ). Definíció: az f TVSZ monoton, ha i {1,..., n} : x f( 1,..., n ), L(x, i ) L(x, i) x f( 1,..., n).
Borda-szavazás Definíció: az f B TVSZ a Borda-szavazáshoz tartozó,
Borda-szavazás Definíció: az f B TVSZ a Borda-szavazáshoz tartozó, ha x X : n N : x f B ( 1,..., n ) n rk[x, i ] n rk[y, i ] y X. i=1 i=1
Borda-szavazás Definíció: az f B TVSZ a Borda-szavazáshoz tartozó, ha x X : n N : x f B ( 1,..., n ) n rk[x, i ] n rk[y, i ] y X. i=1 i=1 Megjegyzés: f B nem monoton P X -en.
Borda-szavazás Definíció: az f B TVSZ a Borda-szavazáshoz tartozó, ha x X : n N : x f B ( 1,..., n ) n rk[x, i ] n rk[y, i ] y X. i=1 i=1 Megjegyzés: f B nem monoton P X -en. 1 2 3 a b d b d b c a a d c c
Monotonitás jelentősége Tétel: Ha az f TVSZ Nash-implementálható P-n, akkor monoton P-n.
Monotonitás jelentősége Tétel: Ha az f TVSZ Nash-implementálható P-n, akkor monoton P-n. Tétel: Ha az f TVSZ monoton és vétó-mentes P-n, akkor Nash-implementálható P-n.
Monotonitás jelentősége Tétel: Ha az f TVSZ Nash-implementálható P-n, akkor monoton P-n. Tétel: Ha az f TVSZ monoton és vétó-mentes P-n, akkor Nash-implementálható P-n. Megjegyzés: f B vétómentes bármely P-n, ha a szavazók száma eléri az alternatívák számát.
CNP értelmezési tartományok Definíció: Legyen P X rögzített. Ekkor a ciklikus permutációit tartalmazó P = Z( ) tartomány egy ciklikus permutációs tartomány. a b c b c a c a b
CNP értelmezési tartományok Definíció: Legyen P X rögzített. Ekkor a ciklikus permutációit tartalmazó P = Z( ) tartomány egy ciklikus permutációs tartomány. a b c b c a c a b
CNP értelmezési tartományok Definíció: Legyen P X rögzített. Ekkor a ciklikus permutációit tartalmazó P = Z( ) tartomány egy ciklikus permutációs tartomány. a b c b c a c a b d e e d
CNP értelmezési tartományok Definíció: Legyen P X rögzített. Ekkor a ciklikus permutációit tartalmazó P = Z( ) tartomány egy ciklikus permutációs tartomány. a b c b c a c a b d e e d d e e d d e e d f
CNP értelmezési tartományok Definíció: Legyen P X rögzített. Ekkor a ciklikus permutációit tartalmazó P = Z( ) tartomány egy ciklikus permutációs tartomány. a b c b c a c a b d e f g e d g f f g d e g f e d d e f g e d g f
CNP értelmezési tartományok Definíció: Legyen P X rögzített. Ekkor a ciklikus permutációit tartalmazó P = Z( ) tartomány egy ciklikus permutációs tartomány. a b c b c a c a b d e f g h i e d g f i h f g h i d e g f i h e d h i d e f g i h e d g f
CNP értelmezési tartományok Definíció: Legyen P X rögzített. Ekkor a ciklikus permutációit tartalmazó P = Z( ) tartomány egy ciklikus permutációs tartomány. a b c b c a c a b d e f g h i e d g f i h f g h i d e g f i h e d h i d e f g i h e d g f Az elemek négyzetes mátrixokra cserélésével újabb és újabb CNP tartományok nyerhetők.
CNP értelmezési tartományok (2) Probléma: a b c b c a c a b
CNP értelmezési tartományok (2) Probléma: a b c b c a c a b c d f e i h d c e f h i e f i h d c f e h i c d h i c d e f i h d c f e
CNP értelmezési tartományok (2) Probléma: a b c b c a c a b c d f e i h d c e f h i e f i h d c f e h i c d h i c d e f i h d c f e i megkötések szükségesek a helyettesítések elvégzése során!
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok.
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk.
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...},
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója,
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n.
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i),
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést,
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést, és induljunk ki Z( )-ből.
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést, és induljunk ki Z( )-ből. Egy Z( )-ből q/q n rendezést nyerünk az alábbiak szerint:
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést, és induljunk ki Z( )-ből. Egy Z( )-ből q/q n rendezést nyerünk az alábbiak szerint: Ha P = { 1,..., q/q n } P X, akkor P X i = P i.
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést, és induljunk ki Z( )-ből. Egy Z( )-ből q/q n rendezést nyerünk az alábbiak szerint: Ha P = { 1,..., q/q n } P X, akkor P X i = P i. X i X j x X i : y X j : k {1,..., q/q n } : x k y.
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést, és induljunk ki Z( )-ből. Egy Z( )-ből q/q n rendezést nyerünk az alábbiak szerint: Ha P = { 1,..., q/q n } P X, akkor P X i = P i. X i X j x X i : y X j : k {1,..., q/q n } : x k y. ϕ i,j : X i X j bijekciók,
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést, és induljunk ki Z( )-ből. Egy Z( )-ből q/q n rendezést nyerünk az alábbiak szerint: Ha P = { 1,..., q/q n } P X, akkor P X i = P i. X i X j x X i : y X j : k {1,..., q/q n } : x k y. ϕ i,j : X i X j bijekciók, melyekre x X i :, P:
CNP értelmezési tartományok (3) Definíció: A CP tartományok 1 mélységű CNP tartományok. T.f.h. az n 1 mélységű CNP tartományokat már definiáltuk. Legyen q = n i=1 q i, ahol q 1,..., q n {2, 3,...}, és X 1,..., X qn az X egy olyan partíciója, melyre X i = q/q n. Vegyük a P 1 P X1,..., P qn P CNP tartományokat ( n 1 Xq n i=1 q i), egy a P X lineáris rendezést, és induljunk ki Z( )-ből. Egy Z( )-ből q/q n rendezést nyerünk az alábbiak szerint: Ha P = { 1,..., q/q n } P X, akkor P X i = P i. X i X j x X i : y X j : k {1,..., q/q n } : x k y. ϕ i,j : X i X j bijekciók, melyekre x X i :, P: x y = ϕ i,j (x) x y rk[x, ] rk[y, ] = rk[x, ] rk[y, ].
Fő eredmény Definíció: P gazdag, ha x X :, P : rk[x, ] = 1 és rk[x, ] = q.
Fő eredmény Definíció: P gazdag, ha x X :, P : rk[x, ] = 1 és rk[x, ] = q. Tétel: P CNP P gazdag és Borda-monoton.
Irodalom Teljes értelmezési tartományon lehetetlenségi tételek (Arrow, Gibbard-Satterthwaite).
Irodalom Teljes értelmezési tartományon lehetetlenségi tételek (Arrow, Gibbard-Satterthwaite). Értelmezési tartományok megszorításának vizsgálata az Arrow-i feltételekre, illetve a csalásbiztosságra korlátozódtak.
Irodalom Teljes értelmezési tartományon lehetetlenségi tételek (Arrow, Gibbard-Satterthwaite). Értelmezési tartományok megszorításának vizsgálata az Arrow-i feltételekre, illetve a csalásbiztosságra korlátozódtak. Maskin (1977/1999) eredménye megnyitotta az utat a Nash-implementálhatóság vizsgálata előtt.
Irodalom Teljes értelmezési tartományon lehetetlenségi tételek (Arrow, Gibbard-Satterthwaite). Értelmezési tartományok megszorításának vizsgálata az Arrow-i feltételekre, illetve a csalásbiztosságra korlátozódtak. Maskin (1977/1999) eredménye megnyitotta az utat a Nash-implementálhatóság vizsgálata előtt. Konkrét szavazási eljárás Nash-implementálható értelmezési tartományának meghatározását illetően valószínűleg az első a jelen dolgozat.
Irodalom Teljes értelmezési tartományon lehetetlenségi tételek (Arrow, Gibbard-Satterthwaite). Értelmezési tartományok megszorításának vizsgálata az Arrow-i feltételekre, illetve a csalásbiztosságra korlátozódtak. Maskin (1977/1999) eredménye megnyitotta az utat a Nash-implementálhatóság vizsgálata előtt. Konkrét szavazási eljárás Nash-implementálható értelmezési tartományának meghatározását illetően valószínűleg az első a jelen dolgozat. Sanver (2007) hasonló vizsgálatot végzett a többségi szavazásra vonatkozóan.