Vektorok (folyttás)
Vektor szorzás számml (sklárrl)
Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl megegyező, k < 0 esetén irányávl ellentétes. k 0 esetén nullvektort kpunk.
Műveletek vektorokkl Sklárrl vló szorzás 3-3 ( 1, 2 ) Két vektor skláris szorzt A végeredmény itt vlós szám (sklár) Pl.: fizikábn, erő elmozdulás, munk b b cosα b 1 b 1 2 b 2 Ahol α két vektor bezárt szöge. 0 α π
Vektorok skláris szorzt (belsőszorzt) A skláris szorzt, más néven belsőszorzt lineáris lgebrábn egy vektortér két vektorához hozzárendelt sklár. Jelölése: b, b, (,b) vgy <,b>. Műveletnek csk nnyibn nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel. Áltlábn két értelmezés hsználtos, z egyik z euklideszi térben levővektorokr, másik áltlánosbb, bármely vektortérre vontkozik. Két geometrii vektor skláris szorztát megkpjuk, h összeszorozzuk bszolútértéküket(hosszukt) és z áltluk közbezárt szög koszinuszát.
Skláris szorzt (folyt.) Két vektor skláris szorztánk előjelét meghtározz közrezárt szögük. H ez hegyesszög, kkor szorzt pozitív, h tompszög, kkor negtív. H két vektor merőleges egymásr, kkor skláris szorztuk 0. Az állítás megfordíthtó, h sklárszorzt null, kkor merőleges két vektor ( zérusvektort minden vektorr merőlegesnek tekintjük).
Két tetszőleges [ 1, 2,..., n ] és b [b 1, b 2,..., b n ] vektor skláris szorzt ltt következőt értjük: hol Σz összegzést és n vektortér dimenzióját jelöli.
Skláris szorzt (folyt.) Háromdimenziós vektorok esetén, h vektorok derékszögűkoordinátáivl számolunk, következőképp kpjuk meg: Ez kárhány dimenziór áltlánosíthtó
Skláris szorzt (folyt.) 2 dimenzióbn, z [,b] és [c,d] vektorok skláris szorzt c bd. Hsonlón 3 dimenzióbn: z [,b,c] és [d,e,f] skláris szorzt d be cf. Például két konkrét vektorrl:
Skláris szorzt Két vektor skláris szorztánk nevezzük két vektor bszolút értékéből és z áltluk bezárt szög koszinuszából képzett szorztot. Vektorok áltl bezárt szögön 0 és πközéesőszöget értjük. Az és b vektorok skláris szorztánk jele bvgy bvgy (,b) b b cosϕ A skláris szorzt eredménye skláris mennyiség
Skláris szorzt tuljdonsági 1. Kommuttív: b b 2. A skláris szorzás egy cskláris tényezővel sszocitív: c( b)(c)b 3. Disztributív: (bc) b c
A továbbikbn síkbeli vektorokt 2 komponensű, térbelieket 3 komponensű, z n koordinátávl jellemzett vektorokt pedig n komponensű vektoroknk nevezzük. 3 komponensű: szemléltetés térben, műveleteket 3 koordinátávl végezzük n komponensű: vektorokt és műveleteiket már nem szemléltethetjük, de n koordinátávl fentiekhez hsonlón definiálhtjuk vektorokt és elvégezhetjük műveleteket 2 féle írásmód: oszlopvektoros: 1 2... n sorvektoros: * [,,... ] 1 2 n
Példák vektorokkl 1. Adott két vektor. Számítsuk ki következőket: b; b; vektor hosszát vlmint 3-t, *b! 2 1 0 2 3 6 3 0 6 2 0 b 0 1 b 4 1 0 3 2 0 0 1 *b [ 2,1,0, 2] 2 2 2 2 ( 2) 1 0 2 3 4 0 0 2 6
N dimenziós vektor gykorltbn 1. Vlmely válllt 5 különbözőterméket állít elő. Az egy év ltt megtermelt termékek mennyiségét rendre 1, 2, 3, 4, 5 szimbólumokkl jelölve, válllt évi termelését z [ 1, 2, 3, 4, 5 ] * termelési vektor muttj termékenkénti bontásbn. Az egyes termékek egységár, megfelelősorrendben b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, vgyis z ún. árvektor b[b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 ] * lkú. Az dott termelés és egységárk mellett, válllt évi termeléséből dódó bevételt z 1 b 1 2 b 2 3 b 3 4 b 4 5 b 5 összeg muttj. H termékek mennyiségét tonnábn, z egységárkt Ft/tonnábn dtuk meg bevételt forintbn kpjuk meg.
Speciális vektorok Nullvektor: 0 0. 0.. 0 Egységvektor: e 2 0 1... 0 i 0 k 1 i 0, hol i k Összegző vektor: 1 1. b.. 1 Elnevezés ok: *b 1 2... n H *b 0 két vektort ortogonálisnk nevezzük.
0 ) ( ) ( 0 0 c) (b c b) ( b b,b,c R R n µ λ,, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b b µ λ λµ µ λ µ λ λ λ λ Műveleti zonosságok
Vektorok vektoriális szorzt c x b b sinϕ c x b b h és b ortogonálisk
Cuchy-Schwrz-Bunykovszkij egyenlőtlenség Fejezzük ki skláris szorztból két vektor bezárt szögét (n dimenzióbn szöget pont ez z összefüggés definiálj): cos α *b b α *b b Mivel cos 1 ebből következik, mit koordinátákr átírv Cuchy-Schwrz-Bunykovszkij egyenlőtlenséget kpjuk: ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 b b b... b b b... n 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2... Vektor bszolút értéke áltlánosn: 2 2 2 1... n 2
Két vektor skláris szorztánk kommuttvitás vet b cosφ ϕ cosφ b bvet b A kommuttivitás követezik skláris szorzt definíciójából vgy z ábrán látott két háromszög hsonlóság lpján, cosφ b mivel b hol, vet b vet bvektor vetülete z vektorr, és úgyhogy, vet b cosφ bb
Ebben fejezetben vlós euklideszi tér (eddigi tnulmányinkból már 2, 3 dimenzióbn ismert) foglmit htározzuk meg z áltlános vektortérben megismert definíciók segítségével. Sklárszorzt Legyen e 1, e 2, e n rögzített bázis V-n. Ekkor z dott bázis szerint vett sklárszorzton (skláris szorzton, belső szorzton) z S: VxV R függvényt értjük, mely két vektorhoz koordináták szorztösszegét rendeli. [ ] n j n n j j n n z x z x z x z x z z x x S 1 2 2 1 1 1 1......... * ), ( z x z x A vlós euklideszi tér
A sklárszorzt egy szimmetrikus bilineáris függvény, kvdrtikus lkj pozitív definit. S ( x, x ) n i 1 2 x i Euklideszi téren egy sklárszozttl ellátott vektorteret értünk. Az euklideszi térben z x vektor hosszán (, vgy bszolut értékén) z önmgávl vett sklárszorztánk négyzetgyökét értjük. x x*x n 2 x i i 1
Altér Egy Ftest feletti Vvektortér egy nemüres W V részhlmzát ltérnek nevezzük V-ben, h Wmg is vektortér ugynzon F test felett ugynzokr V- beli vektorműveletekre. Jelölése W V. Tuljdonságok: 1. u, v W uv W 2. v W, λ F λv W 3. W ltér nulleleme megegyezik V nullelemével. Pl. -triviális lterek: 0vektorból állóltér - egy rögzített veltor összes sklárszorzti
Lineáris lgebr A lineáris lgebr mtemtik (konkrétn z lgebr) egyik tudományág, mely jelentős geometrii, fiziki és mérnöki lklmzásokkl rendelkezik (pl. társdlomtudományokbn is A modern közgzdság-tudomány elképzelhetetlen lenne lineáris lgebr nélkül). Tárgy vektorok, vektorterek vgy lineáris terek, és lineáris leképezések vizsgált.
Lineáris lgebr A lineáris lgebr lineáris terekvgy vektorterek lgebráj. A megszokott vlós számok körében mrdv, egy változókt is trtlmzóbetűkifejezéskkor lineáris, h változóknk egymássl csk z lgebri összege(összedás/kivonás) szerepel: szorzás nem (tehát: változó konkrét számml vló szorzás megengedett, de változóvl vlószorzás nem; ide értve z önmgávl vlószorzást is). Tehát például, h xés y vlós számok hlmzán értelmezett változók, kkor (3/4)xés 3x4ylineáris betűkifejezései ezen változóknk, míg x 2 xxés xynem. Lineáris kifejezés például 2x14x25x3, viszont nem lineáris következő: 2x 12 4x 2 5x 3, Mivel z elsőváltozónégyzetre vn emelve, holott mindegyik változó csk 0 vgy z 1 htványon szerepelhet.
Az lgebr részterülei Az elemi lgebr vlós és komplex számokon értelmezett műveleteket vizsgálj konstnsok és változók segítségével, vlmint ezek szerepét mtemtiki kifejezésekben és egyenletekben. Az bsztrkt lgebrábnolyn foglmk kerülnek xiomtikus definiálásr, mint csoport, gyűrűés test. Néh modern lgebránk is nevezik. A lineáris lgebrfogllkozik vektorterekkel, zok tuljdonságivl. Ide trtozik mátrixok, lineáris leképezések vizsgált is. Az univerzális lgebrz bsztrkt lgebr kibővítése, z lgebri leképezések, struktúrák invriánsit vizsgálj. Az lgebri számelmélet számelméleti foglmkt vizsgálj z lgebrábn, míg z lgebri geometriés z lgebri kombintorikhsonlóképpen geometri és kombintorik lgebri vontkozásit trtlmzz