iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Statika (Oktatási segédlet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére) Késítette: Sirbik Sándor, Nándori riges ½usaki echanikai Intéet iskolc, 014.
1. eveetés Een kéirat a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére késült kivonatos anag, amel a ½usaki echanikai Intéet által gondoott Statika (GEET01L) el½oadások alapján lett össeállítva és a tárg alapsint½u elsajátításában nújt segítséget. mechanika tárga, alapfogalmak Koordináta-rendser: tárg keretében eg, a,, egségvektorok által kijelölt deréksög½u Descartes-féle koordináta-rendsert hasnálunk vonatkotatási alapként, amelben a tér bármel pontja a = + + helvektor által megadható. Néhán alkalmaásra kerül½o test modell: erev test olan idealiált test, mel alakját er½o hatására nem váltotatja, aa bármel két tets½oleges pontjának távolsága állandó marad. Silárd test olan idealiált test, mel alakváltoásra képes, tehát pontjainak távolsága er½o hatására a pontok relatív rendeettségének megmaradása mellett megváltohat. er½ot testek kölcsönhatásának mértékeként értelmeük. er½o iránított menniség, aa vektor. koncentrált er½o jele a és mértékegsége a N [Newton]. P = + + er½ovektort jellemi: ² nagsága (mér½osáma és mértékegsége) j j q e = = + + r, P ² hatásvonala (egenes, mel megmutatja a er½ovektor helét a térben), ² iránítása (hatásvonal menti két irán köül a egiket jelöli ki). hatásvonal Ha 1 és er½ok egserre lépnek fel eg adott testen, akkor bel½olük a = 1 + ered½o képehet½o. Két egmással párhuamos, aonos nagságú, de ellentétes iránú és nem köös hatásvonalú er½o er½opárt alkot. er½opárnak 0 a ered½oje, követkeésképp können beláthatjuk at, hog míg egetlen er½o eltolni és forgatni igeksik a testet, addig a er½opár kiárólag forgató hatást, aa nomatékot fejt ki rá. er½opárból sármaó nomatékvektor a test minden pontjában aonosnak adódik. További fontos ésrevétel a, hog a er½o hatásvonala mentén eltolható anélkül, hog a adott pontra vonatkoó nomatéka megváltona. nomaték is vektormenniség, jele a, mértékegsége pedig a Nm [Newtonméter]. Egetlen koncentrált er½onek a test adott pontjára gakorolt nomatéka a = képlet alapján sámítható, ahol nomatékvektor mer½oleges a és vektorok által kifesített síkra. nomaték össetev½oi értelmehet½ok úg is, mint egetlen koncentrált er½o által kifejtett forgató hatás eg olan csapágaott vég½u tengelre, mel a adott pontban a testhe mereven rögített és valamel koordináta-tengellel párhuamos. P r P P r P r P e e e e e r P P r P r P 1 = + + nomatékvektor, és koordinátái a, és tengelekre vett nomatéknak neveük.
Ha 1 és er½ok egserre támadnak eg adott testen, akkor a pontra vett nomaték a 1 és er½ok adott pontra vett nomatékainak össege les. ered½o és a nomaték ismeretében pedig a adott test tets½oleges pontjára a = + össefüggés solgáltatja a nomatékot, ahol a pontból pontba mutató helvektort jelöli. Síkbeli er½onek síkra mer½oleges tengelre vett P k a nak) és a er½o j j nagságának = j j soratából adódik. odelleés során a visgált testet (alkatrést, stb.) elválastjuk valamenni rá hatást kifejt½o testt½ol, majd eek hatását felületen megosló, pontbeli, stb. er½okkel váltjuk ki. küls½o er½ok berajolásakor megkülönbötethetünk testre terhelésként ható ismert er½oket és a támasoknál fellép½o ismeretlen támastóer½oket. Támasok: okat a gépelemeket, felületeket, stb, amelekre a adott test felfeksik (támaskodik) támasnak neveük. ábrákon a legegser½usítések után a síkbeli modelleésben hasnálatos pontbeli er½oátadást bitosító támasok köül a ún. görg½os, rudas, illetve csuklós megtámastásokat, valamint a befalaást láthatjuk. Eek a támasok mindig pontbeliek és kétiránúak, aa a test nem válhat el a megtámastásától. támasok sematikus jelölése alatt a általuk a megtámastott testre kifejtett támastóer½o poitív el½ojel½unek, aa tengeliránúnak válastott és koordi- nátáit, valamint a befalaásnál fellép½o a síkra mer½oleges jel½u támastónomaték síkban berajolt forgatási értelmét láthatjuk. Ha rudas támas helett kötél vag lánc kerül alkalmaásra, akkor gelni kell arra, hog eek a elemek csak húóer½ot képesek átvinni! mechanika, mint a ika eg területe felbontható dinamikára és kinematikára. Dinamika a mogó testekre ható er½ok tana, kinematika pedig a mogástan. dinamikán belül a statika a a résterület, mel a er½ok egensúlát visgálja, miköben a visgált testek relatív nugalomban vannak. statika felostható merev test statikájára és a alakváltoásra képes test statikájára, aa a silárdságtanra.. erev test statikája merev test statikájának feladata általában a merev testek támastóer½o rendserének meghatároása. Tartós nugalom feltételei tartós nugalom sükséges feltétele a merev testre ható küls½o er½orendser egensúlának megléte: = 0 és = 0 aa a testre ható küls½o er½orendser ered½oje és eg tets½oleges pontra sámított nomatéka érus. elégséges feltétel pedig, hog a megtámastások a test össes merevtestser½u mogását gátolják, aa a test nem modulhat el. Síkbeli feladatok Síkbeli feladatok esetén a nugalomban lév½o test egensúlát 3 darab független skaláregenlet írja le. Eek lehetnek például a síkot kijelöl½o két tengel iránába vett vetületi egenletek és a sík eg tets½oleges pontján Q R d a nomatéka sámítható a er½o j j nagságának és a er½okarnak (a tengel adott síkkal vett jel½u döféspontjának a er½o hatásvonalától mért távolságának) el½ojeles soroatából. nomaték el½ojele a válastott forgatási értelemt½ol függ, a ábrán váolt esetben poitív el½ojel½unek a -b½ol -ba történ½o forgatást tekintjük, aa =. Íg = j j. Eg er½opár nomatéka pedig a er½opár távolságának (két hatásvonal mer½oleges távolságá
áthaladó, síkra mer½oleges tengelre vett nomatéki egenlet. Eges esetekben aonban célser½ubb vetületi egenletek helett inkább a megfelel½o tengelekre felírt nomatéki egenleteket hasnálni, mivel eek segítségével válik lehet½ové a példamegoldás. Ha a támastóer½orendser ismeretleneinek sáma megegeik a statikai egenletek sámával és eekb½ol a feladat ismeretlenei egértelm½uen meghatárohatók, aa a egmástól független statikai egenletek sáma egeik a ismeretlenek sámával, akkor a feladat statikailag határoott les. Két er½o síkbeli egensúla: merev testre ható két er½ob½ol álló küls½o er½orendser egensúli, ha a er½ok nagsága aonos, hatásvonal köös és iránításuk ellentétes. (E áll fenn támastórúd esetén is.) Példa három er½o síkbeli egensúlára: ábrán látható síkbeli keretserkeetet saját síkjában eg koncentrált = 7 kn er½o terheli. pontban csuklós, míg -ben eg a függ½olegessel 45 söget beáró ferde görg½os megtámastás van kialakítva. Itt is felhívjuk a gelmet arra, hog a görg½os támas csak a görg½ofelületre mer½oleges hatásvonalú támastóer½ot tud kifejteni. Határouk meg a és támastóer½oket serkestéssel és sámítással is! m o 1.5m m o 1.5m 3 1.5m 1.5m 45 o 1.5m 1.5m 45 o feladat megoldása a, és er½ok síkbeli egensúla alapján történik. E at jelenti, hog e három küls½o er½ovel támadott síkbeli serkeet egensúla bitosított, ha a er½ok hatásvonalának van köös metséspontja és o a er½ovektorok alkotta árt vektorháromsögben a nílfolam foltonos. Els½oként a jobboldali heletábrán a és er½ok hatásvonalának ismeretében a köös metséspont megkere- sése történik. egensúl érdekében a er½o hatásvonalának is át kell haladnia een a köös metsésponton, íg a támastóer½ok hatásvonalai (kék sínnel), valamint a terhel½o er½o hatásvonala (piros sínnel) berajolásra kerül. Íg a els½o feltétel teljesült a hatásvonalak köös 1kN pontban mets½odnek. Eg lépték válastása után a ismert er½ovektort eg ked½opontból kiindulva, léptékhelesen felmérjük a er½oábrán. íg kapott vektor végpontjaiból párhuamost húunk a és hatásvonalaival. kiserketett vektorok iránát pedig a folamatos, áródó nílfolamnak megfelel½oen berajoljuk. feladat sámítással történ½o megoldására solgáló egenleteket a 1kN = 0 = 0 7 + + = 0 + = 0 7 + 3 5 = 0 vetületi egenletek és a síkot pontban mer½olegesen döf½o tengelre vett nomatéki egenlet, valamint a er½ok össetev½oi köti kapcsolatot adó, a és hatásvonalainak ismeretén alapuló j j j j = 1 5 vag j j = j j
4 képletek képik. és támastóer½ok keresett,,, és komponensei ebb½ol a nég független egenletb½ol meghatárohatóak: aa = = 3 kn = és = = ( 4 + 3 ) kn = (4 + 4 ) kn egjegés: Termésetesen három párhuamos er½o is egensúlban lehet, de most eel külön nem foglalkounk. Példa síkbeli köös pontban támadó er½ok egensúlára: Eg = = 1500 10 = 15000 N = 15 kn súlú testet a ábrán látható módon súltalannak tekinthet½o kötelek segítségével függestjük fel. = 45 ± ; = 30 ±. Határouk meg a kötélágakban m½uköd½o 1 és er½oket a serkeet tartós nugalma esetén! 1 1 3 G 1 1 G síkban visgált serkeet 1, és 3 jel½u kötélágaiban fellép½o er½ok hatásvonalai eg köös pontban mets½odnek. ismeretlen 1 és kötéler½ok meghatároására a köös pontban támadó er½orendser egensúlából adódó = 0 egenlet hasnálható fel. feladat jelöléseivel e a 1 + + = 0 vektoregenlet les, amel síkban db skalár egenletre esik. ontsuk fel tehát a ismeretlen er½oket síkban a ábrán berajolt módon tengelek iránba es½o össetev½okre: 1 = 1 + 1 = + E nég ismeretlen tengelekre es½o vetületet, aa 1, 1,, er½okoordinátát eredméne. igelni kell a felbontás során a el½ojelekre is, mivel például a 1 = 1 + 1 vektor a és egségvektorok által kijelölt tengelekre vett felbontásában a 1 és ellentétes iránítású és et el½ojel jeli a képletben: 1 = 1. ismeretlenek sáma csökkenthet½o, mivel a serkeeti ábra alapján a 1 és er½ok hatásvonala ismert. Íg a kötéler½ok felbontása a er½ok 1 = 1 és = hossainak és a kötött hatásvonalak vísintes tengellel beárt és sögeinek felhasnálásával is megadható: 1 = ( 1 cos ) + ( 1 sin ) = 1 [( cos ) + (sin ) ] = ( cos ) + ( sin ) = [(cos ) + (sin ) ] Et kell alkalmanunk, mivel íg a er½ok egensúlát kifeje½o egenletben történ½o behelettesítéskor csak a 1 és jelenik meg ismeretlenként két ismeretlen, két skaláregenletre es½o vektoregenlet: 1 [( cos ) + (sin ) ] + [(cos ) + (sin ) ] = 0
egségvektorral sorova a el½o½o egenletet a 1 cos + cos = 0 iránú vetületi egenletet nerjük, amelb½ol például a cos = 1 cos = cos 45 ± 1 cos 30 ± = 0 8165 1 kifejehet½o, majd et a iránú vetületi egenletbe helettesítve 1 sin + sin = 0 1 sin 45 ± + 0 8165 1 sin 30 ± 15 = 0 és et megoldva a 1 = 13 449 kn eredménre jutunk. Ennek ismeretéb½ol a = 0 8165 1 = 10 981 kn adódik. 1 = 1 [( cos 45 ± ) + (sin 45 ± ) ] = ( 9 5099 + 9 5099 ) kn = [(cos 30 ± ) + (sin 30 ± ) ] = (9 5099 + 5 4901 ) kn = ( 15 ) kn vissahelettesítés után a er½ok egensúla könnedén ellen½orihet½o, mivel jól látsik a, hog a iránban a er½okoordináták el½ojelkülönbsége, a iránban pedig a 1 + = 15 össeg és a függ½oleges terhelés egütt tesi nullává a ered½ot. egjegés: feladat megoldható a hatásvonalak ismeretében felírható 1 1 = = össefüggések helettesítésével is. Példa térbeli köös pontban támadó er½ok egensúlára: alábbi serkeet D gerendája a, illetve pontoknál rögített kötelek segítségével eg = 960 kg tömeg½u terhet tart. teher súlát a súlpontjáho kötött = = 960 10 = 9600 N = 9 6 kn nagságú er½oként vessük gelembe, amel a célser½uen megválastott koordináta-rendserben = ( 9 6 ) kn er½ovektor les. teher súla mellett a gerenda súla elhanagolható, íg a gerendát eg súltalan rúddal modelleük, továbbá a köteleket is ideálisnak tételeük fel. feladat egser½usített vonalas ábráját elkésítjük, ahol a berajolt egenes sakasok egben a ébred½o bels½o er½ok, a ( = 1 4) kötéler½ok hatásvonalait is jelölik (termésetesen 4 = ). adott KR-ben a vonatkoó pontok helét a = 0; = ( + 4 ) m; = (3 + 4 ) m és = (6 ) m helvektorok jelölik! 5 D r D r D 3 r D 1 4 D G G eltételeés serint a serkeet tartós nugalomban van. köös ponton támadó er½orendsert, aa a D pont
6 egensúlát visgálva megállapíthatjuk at, hog a ismeretlen ( = 1 3) kötéler½ok meghatároására solgáló statikai egenlet köül csak a = 0 marad, mert a másik a = 0 identikusan teljesül D-ben. feladat jelöléseivel a vonatkoó egenlet a 1 + + 3 + = 0 alakban írható fel, amel 3 db skalár egenletet is jelent. megoldást a továbbiakban a = alakban keressük, ahol a er½o iránát kijelöl½o iránvektor, pedig a vonatkoó skalár soró les. iránvektorok legegser½ubben a helvektorokból állíthatók el½o. E úg történik például a 1 -re bemutatva, hog a 1 er½o hatásvonalán rajta lév½o = = 6 0 = (6 ) m helvektort dimeniótlanítjuk, aa a mértékegséget elhagjuk, íg 1 = 6 les. Et elvégeve a másik kett½ore is a = = ( + 6 4 ) m! = + 6 4 = = ( 3 + 6 4 ) m! 3 = 3 + 6 4 jutunk. Eek birtokában, valamint a ismert er½o jobboldalra történ½o átvitele után kapjuk a vektoregenletet. vektoregenletb½ol felírhatjuk a vonatkoó 1 1 + + 3 3 = 3 3 = 0 6 1 + 6 + 6 3 = 0 4 4 3 = 9 6 skaláregenletekb½ol álló egenletrendsert, amit a lineáris algebrában megsokott módon a tömörebb 4 0 1 3 3 6 6 6 5 4 3 1 5 = 4 0 3 0 5 0 4 4 3 9 6 alakban is meg lehet adni. kapott egenletrendser nem bonolult és mérete is kicsi íg megoldása a skaláregenletekb½ol is egser½uen megkapható például a követke½o módon: els½o skaláregenletb½ol kiindulva a = 3 3 össefüggés egb½ol adódik. Et behelettesítve a harmadik egenletbe juthatunk a 4 4 3 = 9 6 : ( 4) {} + 3 = 4 3 3 alakra ahonnan a 3 = 4 = 0 6 adódik és íg = 3 ( 0 6) = 1 8 is ismert les. második 4 egenletet el½osör 6-al végig ostva, majd a -t és 3 -t behelettesítve adódik a egenletet, melb½ol jutunk a 1 = 4 eredménre. megoldás ismeretében pedig les a végeredmén. 1 1 8 0 6 = 0 1 = 1 1 = 4 6 = (14 4 ) kn = = 1 8 ( + 6 4 ) = ( 1 8 10 8 + 7 ) kn 3 = 3 3 = 0 6 ( 3 + 6 4 ) = (1 8 3 6 + 4 ) kn
7 egjegés: Jól látsik a ábrán, hog a pont egensúlban van, a és 3 jel½u köteleket = p 1 8 + 10 8 + 7 ' 13 10 kn illetve 3 = p 1 8 + 3 6 + 4 ' 4 69 kn nagságú er½ok húák, míg a 1 jel½u rudat 1 = 14 nagságú er½o nomja. eg gelhet½o továbbá a, hog a jel½u rögítési helen a támast nomja a gerenda, míg a és jel½u felfüggestési pontokat a kötelek le akarják sakítani. 1 3 G D 1 3 Példa síkbeli megtámastásra: alábbi ábrán váolt ún. háromrudas megtámastású síkbeli alakatot a = 80 N er½o terheli. csuklókban vég½od½o támastó rudak csak rúdiránú er½oket vesnek fel. rudak köül kett½o egmással párhuamos, tehát a és er½ok hatásvonalai nem mets½odnek a végesben. Határouk meg a alakatot egensúloó és er½oket! 30 30 0 0 o o 0 0 D 0 0 E rudas támasokat helettesít½o poitívnak (tengeliránúnak) feltételeett er½ok és eek hatásvonalai (kék sínnel) berajolásra kerültek a jobboldali ábrán. ábrán látható, hog a hatásvonalaknak metséspontja van a és pontokban. d e feladat megoldása a ún. Ritter-sámítás alapján történik, amel serint ha a feladatbeli ismeret- o len =, = és = er½ok D d e köül kett½o hatásvonala köös pontban mets½odik, E akkor a harmadik er½ot meg lehet meghatároni eg nomatéki egenletb½ol, mivel a metsésponton áthaladó, síkra mer½oleges tengelre vett egenletben D csak eg ismeretlen (a harmadik) er½okomponens jelenik meg. Ha pedig két er½o párhuamos, akkor a harmadik er½o meghatároására a megfelel½o vetületi egenlet felírása solgál.
8 = er½o sámítása a elmondottak alapján a ponton áthaladó tengelre vett nomatéki egenletb½ol történik, ahol a poitív forgást ( -b½ol -ba) a egenl½oségjel feletti simbólum jelöli. Termésetesen a ellentétes iránú forgást is lehet poitívnak válastani, mivel a egenlet jobboldalán 0 áll. feladat adatainak felhasnálásával felírt egenlet: 40 + 30 j j = 0 40 + 30 80 = 0 Et megoldva a = 60 N eredménre jutunk. iránát eredetileg iránúnak (") tételetük fel, mivel a kapott eredmén negatív sám lett, eért a er½o lefele (#) mutat. Ennek mintájára a = sámítása a ponton áthaladó tengelre vett nomatéki egenletb½ol történik. Innen: 40 + 30 j j = 0 40 + 30 80 = 0 Végül a = 60 N eredmént kapjuk. ivel eredménünk poitív sám lett, eért a er½o a el½oetes feltételeésünknek megfelel½oen felfele (") mutat. és er½ok hatásvonalai párhuamosak, aa végesben nem mets½odnek, íg a 60 N = 0 vetületi egenlet felírása veet eredménre, aa síkbeli alakatra ható er½ok iránú össetev½oinek össege nugalom esetén érus les. egenletbe a iránú össetev½ok poitív, a vele ellentétes iránúak pedig negatív el½ojellel kerülnek behelettesítésre. Eek alapján a 0 80 N 80 = 0 egenletb½ol a = 80 N, aa er½ovektor jobbra (!) mutat. feladat megoldása során a fel nem hasnált iránú? = 0 vetületi egenlet ellen½orésre hasnálható. kapott eredméneknek a feladat ábrájára történ½o vissarajolása után jól látható a egensúl teljesülése. 60 N 0 80 N 0 30 Síkbeli vonalmentén megosló terhelés Er½ohatás két test köött nem csak koncentráltan eg pontban, hanem felület és vonalmentén is átadódhat. Ismeretesek továbbá térfogaton megosló er½orendserek is. említettek köül a vonalmentén megoslóval foglalkounk röviden. vonalmenti konstans megosló terhelés jó mechanikai modelleés abban a esetben, ha eg gerenda, vag acélselvén önsúlát is gelembe akarjuk venni, de termésetesen terhelést is lehet íg megadni. alábbi ábrán eg U acélból késült, jobbvégénél befalaott tartó látható, amel eg felületmentén megosló konstans terhelésnek van kitéve. p b L
serkeet egser½usített síkbeli mechanikai modelljét elkésítve beveetjük a vonalmentén megosló terhelés s½ur½uségvektorát, amelnek mértékegsége N/m. 9 L/ L f a e f b p L vonalmentén megosló terhelés s½ur½uségvektorának irána de niálja a ½ot helettesít½o ered½o iránát is. ered½o nagságát pedig integrálás vag egser½u területsámítás útján nerjük. konstans megosló terhelés ered½oje és nomatéka a pontra a Z Z = d = és = d = j j { } = = formulákból sámítható, aa nomatékot integrálás mellett a megosló terhelés ered½ojét beveetve egser½ubben is sámíthatunk. Példa kéttámasú tartóra: tartóserkeetek valamilen sálanagból, vag acélselvénb½ol késülhetnek. Statikai feladatok megoldása során a tartó kerestmetsete és anaga nem játsik serepet, eért köépvonalával (vonalas ábrával) helettesítjük. tartók (gerendák), olan mechanikai modellek, ameleket tengeliránba és rá mer½olegesen is terhelésnek lehet kitenni, aa igénbevenni. eladat a alább váolt tartó és támastóer½oinek meghatároása les. tartó ismert küls½o terheléseit a ábrán piros sínnel jelöltük. Els½o lépésben a kénsereket a megfelel½o er½okomponensekkel (kék sín) helettesítjük. vonalmentén megosló terhelés helett a sakas fele½opontjában vett 8 kn nagságú koncentrált er½ovel sámolunk és a 1 nagságú koncentrált er½ot pedig a köépvonalon lév½o csatlakoási pontba redukáljuk. 1 m 1 m kn/m 4 m 1m 8 kn 1 m m m rra töreksünk, hog olan egenleteket írjuk fel, amelek egmástól függetlenek és eg ismeretlen er½okoordinátát tartalmanak: és a er½ok hatásvonalai a pontban mets½odnek, eért a meghatároása érdekében tengelre vett nomatéki egenletet írunk fel: egenletbe helettesítéskor gelni kell a tengel körüli forgatási iránra és arra, hog a ponton áthaladó hatásvonalú er½ok a tengelre nem adnak nomatékot. terhelésként megjelen½o nomaték forgatási értelme ellentétes a válastott poitív forgással, íg annak el½ojele negatív. vonatkoó 6 14 8 = 0
10 egenletb½ol a = 5 kn (") eredménre jutunk. és er½ok hatásvonalai a pontban metsik egmást, eért a meghatároása érdekében tengelre vett nomatéki egenletet írunk fel. Ekkor 6 + 4 8 14 = 0 a vonatkoó egenlet, ebb½ol a = 3 kn (") eredmén adódik. Ellen½orésre a fel nem hasnált P vetületi egenlet solgál. meghatároása pedig a = 0 vetületi egenletb½ol történik, mivel és hatásvonala egmással párhuamos. Innen 14 = 0 tehát a = 1 (!) eredmén adódik. Íg a tartó támastóer½oi: eredménül kapott támastóer½oket ábráoljuk: 1 = (5 + 14 ) kn és = (3 ) kn 1m 8 kn 1 5 kn m m m 3 kn Követke½o példában eg gerenda jobboldali vége sima (súrlódásmentes, ) felülettel van megtámastva. Követkeésképpen a pontban ébred½o támastóer½o hatásvonala mer½oleges erre a felületre, és abból csak kifelé mutathat. 3kN/m m 1 m 1 knm 30 o 3 m 1 m 6 kn 1 m 1 m 1 knm 3 m ivel a és er½ok hatásvonala köös, íg a függ½oleges és össetev½ok meghatároására nomatéki egenletek írhatók fel. Íg a és er½ok köös hatásvonala valamint a er½o hatásvonala a pontban mets½odik, eért a meghatároása érdekében a tengelre felírt: 4 5 6 1 = 0 nomatéki egenletb½ol a = 10 5 kn (") eredménre jutunk. tengelre vett nomatéki egenletet írunk fel. Ekkor meghatároása céljából a 1 6 1 4 = 0
a vonatkoó egenlet, amelb½ol a = 4 5 kn (#) les a eredmén. sámítást a P vetületi egenlettel ellen½oriük. támastóer½ok és össetev½oinek sámításánál kihasnáljuk at a körülmént, hog a hatásvonala valamint a és össetev½ok nagsága és irána ismert. elírhatjuk a er½o két komponense köötti 30 = j 30 j o! j j = 30 j j j j» = 6 kn 30 o össefüggést, melb½ol a» = 6 kn (Ã ) eredménre jutunk, mivel hatásvonala adott és = 4 5 kn (#) lefele mutat. ismertté vált komponens birtokában a P vetületi egenletb½ol sámíthatóvá válik a : 6 = 0 tehát = 6 kn (!). tartó támastóer½oi: = (10 5 + 6 ) kn és = ( 4 5 6 ) kn Példa befalaott tartóra: alább váolt jobbvégén ( kerestmetseténél) befalaott tartó támastóer½orendserét, aa a -ben ébred½o er½ot és nomatékot keressük. tartón piros sínnel jelöltük a küls½o terheléseket. Els½o lépésben a kénsereket helettesítjük a nekik megfelel½o er½okomponensekkel (kék sín) és a vonalmentén megosló kn/m intenitású er½ot helettesítjük 8 kn nagságú ered½ojével. 11 3 kn kn/m 1 m 3 m 3 kn 1 m 1 m 8 kn m és támastóer½o komponensek hatásvonalai a jel½u pontban mets½odnek, íg a támastónomaték a tengelre vett nomatéki egenletb½ol adódó 4 3 8 + össefüggésb½ol = 8 knm les. másik két ismeretlent, a és er½okomponenseket a és iránú vetületi egenletekb½ol sámítjuk, aa a = 0 vetületi egenletbe helettesítve felírt egenletb½ol a megoldás = 1 kn ("). 4 8 = 0 = 0 3 + = 0
1 egenletb½ol a = 3 kn (!) adódik. támastóer½orendser tehát a = (1 + 3 ) kn és = 15 knm er½ob½ol és nomatékból áll. eredménül kapott össetev½oket ábráoljuk: 8 kn 8 knm 3 kn 3 kn 1 m 1 m m 1 kn Össetett serkeetek statikája 1. Példa: Ismeretes a ábrán váolt háromcsuklós ív terhelése. Határouk meg sámítással a ábrán váolt rúdserkeet és támastóer½oit, valamint a 1-es rúdról a -es rúdra ható 1 bels½oer½ot! 3 m m 1 7 knm 1,5 m 1,5 m kn/m 3 m m 1 7 knm 1,5 m 1,5 m,5 m,5 m 10 kn els½o lépésben a konstans megosló terhelést a általa terhelt sakas fele½opontjában eg koncentrált er½ovel helettesítjük. és jel½u csuklókban ébred½o támastó er½okoordinátákat pedig koordinátatengel iránúnak feltételeve kék sínnel berajoljuk. Vegük ésre, hog a és ismeretlen er½okomponenesek hatásvonala egbees½o itt e a tengel. E at eredménei, hog és támastó er½o
koordináták pontban síkra mer½oleges, illetve pontban mer½oleges tengelekre vett, a teljes serkeetre felírt nomatéki egenletekb½ol adódnak, aa 7 0 5 10 + 3 = 0 a egik vonatkoó össefüggés, ahonnan = ("). Ehhe hasonlóan a ponton átmen½o tengelre vett 7 + 5 10 3 = 0 nomatéki egenlet adja a = 6 kn (") megoldást. Ismertté vált minden iránú támastó er½okomponens, íg a fel nem hasnált P? vetületi egenlettel akár ellen½orihetünk is. teljes serkeetre néve független egenletetek a, meghatároására már nem írhatók fel, mivel és párhuamos er½okomponenesek nem mets½odnek a végesben, a P vetületi egenlet pedig két ismeretlent tartalma (, ). továbblépéshe a teljes serkeet egensúla után a résserkeetek egensúlát kell kihasnálni. serkeet résekre történ½o bontását a csuklópontban célser½u megtenni, mivel a ott kapcsolódó rések (ívek) köött csak 1 = 1 er½o átadás van tudni illik a csukló nomatékot nem vis át. 13 3 m 1 1 1,5 m,5 m 10 kn Et gelembe véve rajolható fel a 1 jel½u rés egensúla, ahol pontban megjelennek a rés hatását a 1 jel½u ívre átadó 1 és 1 bels½o er½okoordináták is. visgált résen a ismeretlenek sáma íg össesen 3 les, mivel a = (") már ismert. Eképpen a résserkeeten minden ismeretlen er½okomponenes kisámíthatóvá válik. Kiárólag csak a 1 jel½u résen m½uköd½o er½orendsert tekintve a els½oként vett m 6 kn 5 4 + 3 5 10 = 0 nomatéki egenletb½ol a = 1 _6 kn (!) eredménre jutunk, míg a legegser½ubben a = 0 = 0 7 knm 1,5 m 5 3 + 1 = 0 4 10 + 1 = 0 vetületi egenletekb½ol sámíthatók a 1 = 1 _6 kn (Ã) és 1 = 6 kn (") bels½o er½okomponensek. Íg a 1 = 1 = 1 _6 kn (!) és 1 = 1 = 6 kn (#) valamint a már ismert = 6 kn (") er½okoordinátákat a jel½u 1,6 kn 1,5 m 6 kn
14 serkeeti résre a már korábbról ismert er½oket berajolva látható hog a iránú er½ok egensúla teljesül. iránba es½o pedig a = 0 vetületi, vag a síkot pontban mer½olegesen döf½o tengelre vett 7 + 6 + 3 = 0 nomatéki egenletb½ol adódóan = 1 _6 kn (Ã) les. Utóbbi két egenlet a jel½u résre vonatkoik. Sámításaink ellen½orésére a teljes serkeetre vonatkoó, fel nem hasnált vetületi egenletek solgálnak. Eek köül most a iránú? = 0 + = 0 vetületi egenlet teljesülése jelenti a végs½o ellen½orést. Gerber-tartó: nag hossúságú, egenes köépvonalú tartókat érdemes több helen is alátámastani, mivel íg a lehajlás és a sükséges kerestmetset mérete csökken. tartó további támasokkal történ½o megfogása at eredménei, hog a serkeet statikailag határoatlanná válik, eért a statikai határoottság érdekében a tartót résekre ostó köbens½o csuklót kell alkalmani. Eek a ún. Gerber-tartók tehát két, vag több köös köépvonalú tartórésb½ol, a réseket össeköt½o köbens½o csuklókból, valamint a megfelel½oen elheleett és kialakított támasokból állnak, mivel csak ilen kialakítás mellett lehetséges e többtámasú tartók támastóer½orendserét tistán statikai egenletek felhasnálásával meghatároni. síkbeli nugalomban lév½o, össetett serkeet egensúlára három, egmástól független skaláregenlet írható fel. Gerber-tartók támastóer½orendserében megjelen½o ismeretlenek sáma aonban mindig több les ennél, íg els½o lépésben a köbens½o csuklóknál kell résserkeetekre bontani a tartót, majd pedig a kapott rések egensúlát visgálni. Példa: alábbi ábrán látható, két résb½ol álló Gerber-tartó támastóer½orendserét, aa a támasoknál megjelen½o, és er½okoordinátákat, valamint a támastónomatékot kell meghatároni. knm 3 kn kn/m 1 1 m 1 m m 1 m 3 m csuklónál (a pontban) elválastott résserkeetek egensúlát a pontban megjelen½o 1 és 1 bels½o er½ok bitosítják, melekre a kölcsönhatás miatt a 1 = 1 teljesül. résserkeeteken (a 1 és jel½u réseken) ébred½o, poitívnak feltételeett ismeretleneket berajoltuk. Zöld sín jelöli a bels½o er½ok össetev½oit, míg kék sín a támastóer½orendser ismeretleneit (a bels½o er½oknél még nem vettük gelembe a kölcsönhatást): 3 kn knm kn/m 1 1 kn/m 1 m 1 1 1 m m 1 m 1 3 m Vegük ésre at, hog a 1 jel½u résen három darab ismeretlen jelenik meg, aa a feladat megoldását a 1 jel½u tartórés egensúlából kiindulva kedjük meg. korábbiakban bemutatott Ritter-sámítást végeük
el, aa meghatároása a ponton átmen½o tengelre felírt nomatéki egenletb½ol történik, amelb½ol 15 + 4 3 3 0 5 = 0 a vonatkoó össefüggés, ahonnan = 3 kn ("). Ehhe hasonlóan a ponton átmen½o tengelre vett + 3 1 + 3 5 4 1 = 0 nomatéki egenlet adja a 1 = kn (") megoldást. iránú vetületi egenletb½ol pedig követkeik, hog 1 = (!). Követkeésképp a 1 jel½u rés teljes er½ojátékát sikerült tistáni. Kihasnálva at a körülmént, hog a 1 = 1 = kn (#) és 1 = 1 = (Ã ) össefüggések érvénesek, a jel½u résen a eredetileg öt ismeretlenb½ol csak három marad. támastónomaték a tengelre vett nomatéki egenletb½ol adódó 3 6 1 5 + össefüggésb½ol = 15 knm nagságú les. és iránú vetületi egenletekb½ol követkeik, hog = 8 kn ("), valamint = (!). támastóer½orendser tehát a = 3 kn és = (8 + 4 ) kn er½okb½ol és = 15 knm nomatékból áll. 1 = ( 4 ) kn pedig a pontban a 1 jel½u résr½ol a jel½u résre átadódó bels½o er½o. kapott eredméneket a serkeetre berajolva semléltetjük: knm 3kN 3 kn kn/m 1 m 1 m m 1 m 3 m 1 8 kn 15 knm teljes serkeet egensúlát nem hasnáltuk fel, íg a vetületi egenletek ellen½orésre alkalmasak, aa a? = 0? = 0 3 4 + + = 0 4 + = 0 egenletekbe történ½o behelettesítés igaolja, hog jól sámoltunk.
16 suklós rúdláncnak neveük a egmásho csuklóval csatlakotatott, súltalannak tekintett rudakból álló labilis serkeetet. Példa: ábrán látható serkeet egensúli heletét két er½o bitosítja: a pontban ható 6 kn nagságú ismert és eg másik, -ben lefele mutató ismeretlen nagságú er½o. Határouk meg a er½ot! 1.5 m 1 1.5 m 6 kn.5 m D 3 1.5 m 1 m feladatban serepl½o rúdlánc csak a csuklópontokban terhelt, követkeésképp 1, és 3 jel½u rudakban csak rúdiránú er½o (rúder½o) ébredhet. rúder½ot poitívnak tekintjük ha a adott rúdcsonkból kifele mutat, aa a rúd húott. Ellenke½o esetben a rúd nomott les. poitív el½ojel½unek feltételeett rúder½oket berajolva a és csomópontok egensúlát visgáljuk: N 1 N 1 N 3 N 3 N 1 N N D 6 kn N 3 élser½u a koordináta-tengelekkel nem párhuamos N 1 és N 3 rúder½ot a és tengellel párhuamos össetev½okre bontani. csomópont egensúlát néve egértelm½u, hog N 1 = 6 kn ("). Kihasnálva a fennálló hasonlóságot: jn 1 j jn 1 j = 1 5 1 5 =) jn 1 j = jn 1 j = 6 kn kapott N 1 = 6 kn (Ã ) eredmént felhasnálva a iránú N 1 + N = 0 vetületi egenletben, adódik hog a jel½u rúd húott N = 6 kn. N = 6 kn birtokában a pont egensúlából követkeik, hog N 3 = 6 kn (!). hasonlóságot ismételten felhasnálva kapjuk, hog jn 3 j jn 3 j = 1 1 5 =) jn 3 j = 1 1 5 jn 3 j = aa a 3 jel½u rúd is húott: q N 3 = (N 3 ) + (N 3 ) = p 6 + 4» = 7 1 kn iránú er½ok egensúlából felírt N 3 = 0 egenletb½ol kapjuk, hog a ábrán váolt helet el½oáll, ha = ( 4 ) kn.
Rácsos serkeet, olan mechanikai modell, melben a egmásho csuklók segítségével csatlakoó, súltalannak tekintett, egenes rudak stabil serkeetet alkotnak. serkeetre ható küls½o er½ok a csuklópontokban m½uködnek, íg a serkeet össes rúdjában kiárólag rúdiránú bels½o er½o ébred. Példa: eladat a ábrán látható serkeet kijelölt rúdjaiban ébred½o rúdiránú er½ok (rúder½ok) meghatároása les. 4 m 1 4 8 3 5 7 9 11 6 10 4 m 4 m 3 m 17 feladat végrehajtása során kétféle technikát alkalmaunk a ún. csomóponti, valamint a átmets½o-módsert. els½oben vetületi egenleteket írunk fel, míg a másodikban nomatéki egenleteket is hasnálunk. Els½oként a 1 és jel½u rudakban ébred½o rúder½ok meghatároását végeük el a csomóponti módser segítségével. Itt a megfelel½o csomópont (ahová mindkét jelett rúd befut) egensúlát írjuk fel. csomópontban a nagságú er½onek, valamint a N 1 és N rúder½oknek (ameleket úgis fel lehet fogni, mint a elhagott rések hatását) kell egensúlban lenni. ismeretlen rúder½oket érdemes a kirajolt csomópont ábráján a húott rúdnak megfelel½oen a rudak csonkjaiból kifele mutatónak felvenni. vetületi egenletek miatt célser½u a koordináta-tengelekkel nem párhuamos N rúder½ot a és tengellel párhuamos össetev½oire, aa a N és N jel½u er½okre bontani. ábrán jól látsik, hog iránba csak eg ismeretlen les, eért a iránú = 0 4 N = 0 vetületi egenletet képeük, ahonnan N = (") les. kapott sám negatív, követkeésképp a N iránát fordítva tételetük fel. N össetev½o iránának váltoása miatt a N is el½ojelet vált, aa N 0, tehát a jel½u rúd nomott les. N nagságát a hasonló háromsögek tételéb½ol sámíthatjuk. ivel N rúdiránú, eért N és N össetev½oi sükségképpen aránosak a jel½u rúd és vetületeivel, vag még egser½ubben a 1, és 3 jel½u rudak alkotta háromsög megfelel½o oldalainak nagságával, tehát jn j jn j = 4 1 =) jn j = 4 1 jn j = 16 kn N iránát a el½obb meghatárotuk, íg N = 16 kn (Ã ). két össetev½o birtokában pedig q p N = (N ) + (N ) = 16 + 4» = 16 49 kn ismertté vált. ivel N nagsága és irána tistáott a = 0 vetületi egenletb½ol behelettesítés után nert N 1 + N = 0 N 1 16 = 0 egenletb½ol a N 1 = 16 kn adódik, aa a 1-es rúd húott. átmets½o-módser segítségével meghatárouk a 8, 9 és 10 jel½u rudakban ébred½o rúder½ot. Ehhe a serkeet 8, 9 és 10 jel½u rúdjánál úg metsük át a tartót, hog a két különálló résre esik. 1 N N 1 N N
18 jobboldali rést elhagjuk és a fennmaradó résre berajoljuk a N 8, N 9 és N 10 rúder½oket. résserkeeten a három rúder½o les a ismeretlen, eért a korábbiak alapján itt is megfelel½o helre felírt nomatéki egenletekkel érdemes dolgoni. ivel N 9 és N 10 hatásvonala nem párhuamos, eért N 8 sámítása a metsésponton áthaladó síkra mer½oleges tengelre felírt egenletb½ol történik, ahonnan 3 N 8 4 4 4 8 4 1 = 0 Íg N 8 = 3 kn eredmén adódik, aa a 8-as rúd húott. N 8 és N 9 hatásvonala a ábrán látható módon a pontban mets½odik a ide felírt 4 m 4 m 4 m egenletb½ol elvileg a N 10 sámítható. N 10 aonban nem párhuamos valamel koordináta-tengellel, eért a rúder½o felbontásra kerül. Kihasnálva at, hog a er½o hatásvonala mentén eltolható anélkül, hog nomatéka a adott pontra váltona, a N 10 er½ot a pont alatti csomópontban bontjuk fel. Ebb½ol követkeik a, hog a N 10 hatásvonala áthalad a ponton, íg a tengelre csak a N 10 ad nomatékot. adódó 4 m 3 1 4 8 3 6 5 7 10 4 m 4 m 6 5 7 N 10 N 10 9 N 8 N 9 N 10 1 4 8 N 8 N 10 9 N 9 10 3 m 3 m N 10 4 4 4 8 = 0 egenletb½ol pedig kapjuk, hog N 10 = (Ã ). N 10 er½okomponens el½oállítása úg is történhet, hog a N 10 er½ot hatásvonala mentén most a ponttal eg magasságba toljuk fel, de eljárhatunk a hasonlóságot kihasnálva is, aa jn 10 j jn 10 j = 1 4 =) jn 10 j = 1 4 jn 10 j = 6 kn N 10 irána felfele mutat, mivel N 10 iránát ellentétesen válastottuk meg, aa N 10 = 6 kn ("). Innen q p N 10 = (N 10 ) + (N 10 ) = 4 + 6» = 4 7 les, aa a 10-es rúd nomott. N 9 rúder½o sámítása kétféle módon is történhet. ivel a N 8 és a N 10 rúder½ok már ismertek íg csak N 9 két össetev½oje marad ismeretlen a résserkeeten, eért N 9 össetev½oit vetületi egenletek felírásából is meg lehet határoni, ámbár ebben a esetben a ellen½orési lehet½oségünk is elvés. N 10 sámításánál bemutatott technikát követve pedig a keresett N 9 rúder½ot a pontba tolva felbontjuk és a N 8, N 10 rúder½ok hatásvonalának metséspontján áthaladó tengelre vett nomatéki egenletet írjuk fel.
19 D 3 5 6 4 m N 9 N 8 N 9 1 4 8 N 9 7 9 10 4 m 4 m N 10 3 m íg nert 8 N 9 + 4 4 + 4 8 = 0 egenletb½ol a N 9 = 6 kn (") adódik. Követkeésképp a N 9 és N 9 is el½ojelet, aa iránt vált. Hasonlóságot gelembevéve kapjuk, hog jn 9 j jn 9 j = 4 =) jn 9 j = 4 3 3 jn 9 j = 8 kn és N 9 = 8 kn (Ã ). két össetev½o birtokában pedig a 9 jel½u rúd eg q N 9 = (N 9 ) + (N 9 ) = p 6 + 8 = 10 kn nagságú er½ovel nomott rúd les. sámítások ellen½orése pedig a résserkeet egensúlát kifeje½o vetületi egenletekkel lehetséges. 1 4 8 N 8 4 m 3 5 6 N 10 7 9 N N 10 9 N 10 10 4 m 4 m N 9 N 9 3 m vonatkoó egenletek a? = 0 és? = 0 N 8 + N 9 + N 10 = 0 és 4 4 4 N 9 N 10 = 0 amelekbe helettesítve kapjuk, hog 3 8 4 = 0 és 4 4 4 + 6 + 6 = 0 serkeet többi rúdjában ébred½o rúder½o a bemutatott módserekkel sámítható. egjegés: El½ofordul, hog nem sikerül sétválastani a serkeetet úg, hog a sétes½o réseken a ismeretlen rúder½ok sáma kett½o vag három legen. Ilenkor a megoldás érdekében a el½obbi technikákat vegítve kell alkalmani.
0 Síkidom súlpontja síkbeli felületek súlpontjának meghatároását a alábbi példán mutatjuk be (a méretek mm-ben értend½ok!): r=10 1 3 15 30 r S S 15 S 1 S 3 35 0 S 0 0 10 10 felületet egser½ubb alakatokra bontjuk, amelek súlpontja (köéppontja) már jól ismert. Eek területei 1 = 30 40 = 100 mm = 0 0 = 400 mm és 3 = 0 = 100 mm» = 314 16 mm 4 nagságúak, valamint súlpontjaiknak 1 = (0 ) mm = (30 5 ) mm és 3 = (0 ) mm a helvektora a koordináta-rendserben. megadott alakat tehát két darab (kék sín½u) négsög össegéb½ol és a ebb½ol kivont (piros) körb½ol áll össe. területek és súlpontok helvektorait felhasnálva a S = 1 1 + 3 3 = 100 (0 ) + 400 (30 5 ) 314 16 (0 )»= 1 + 3 185 84»= (3 11 7 77 ) mm képlet serint sámítjuk a origóból a alakat S súlpontjába mutató S helvektort. egjegés: sámítás általánosítható simmetrikus résekb½ol felépül½o térfogatra, homogén testre és rúdra is. Súrlódás Nugalomban lév½o, érdes felület½u testek érintkeésekor mindig a oulomb-féle súrlódási törvént ( nugvásbeli súrlódási téne½ot) alkalmauk a általunk visgált statikai feladatokban, ahol a érintke½o testek deformációja elhanagolhatóan kicsi. átadódó er½ok a testek köös érintkeési síkjába es½o komponense és e köös síkra mer½oleges komponens köött fennáll a össefüggés, ahol 0 Ha a érintke½o felületek simák (), akkor a testek köt átadódó er½ok a köös érintkeési síkra mindig mer½olegesek.
1 Egmásra támaskodó testek Példa: Két hengert a ábrán váolt módon helenek egmásra eg vájatban. Határouk meg a támastóer½oket, aa sámítsuk ki sámser½uen a, és er½oket! érintke½o felületek simák! S 0,6 m D S 0,6 m 10 N 10 N S 1 0,4 m 80 N 0,6 m S 1 0,4 m 80 N 0,4 m 0,8 m 0,3 m Sima falho támaskodó hengerek esetén és a hengereket egüttesen keelve a adott falsakasra mer½oleges, és össetev½ok maradnak meg ismeretlenként a, és jel½u támastóer½okben. Eeket a össetev½oket hatásvonalaikkal egütt (kék sínnel) bejelöltük a jobboldali ábrán. Egser½u geometriai össefüggések által a hatásvonalak egmástól mért távolsága können meghatároható. három ismeretlen meghatároásakor elegend½o a teljes serkeet (két henger egüttes) egensúlát visgálni. Egetlen merev test esetén alkalmaott eljárás itt is érvénes, tehát a és a hatásvonalának metséspontjára vett 1 = 0 nomatéki egenlet kerül felírásra, aa 0 3 10 + 0 4 = 0 Eredménül a = 90 N (Ã ) kapjuk. Ehhe hasonlóan a és hatásvonalának metséspontjára vett S 0.6 m 10 N 90 N nomatéki egenletb½ol sármatatott 0 3 10 0 4 = 0 egenletb½ol adódik a = 90 N (!) eredmén. komponens sámítása pedig a = 0 80 10 + = 0 vetületi egenletb½ol történik. Íg = 00 N (") sámítások helességének ellen½orésére a fel nem hasnált P egenlet solgál, tehát megg½o½odhetünk a iránú er½okomponensek egensúláról a itt érvénes +? = 0 90 N 00 N S 1 0.4 m 80 N 0.3 m egenletet véve alapul. Végeredménül kapjuk, hog = (90 ) N = (00 ) N és = ( 90 ) N 0.4 m
Rudak igénbevétele továbbiakban primatikus rudak, aa egenes köépvonallal és állandó kerestmetsettel bíró rudak, igénbevételeit visgáljuk meg. visgált tartót eg tets½oleges kerestmetsetben átvágjuk és a egik rését elhagjuk. elhagott rés hatása a megtartott résre a kerestmetset felületén megosló bels½o er½orendserként jelentkeik. bels½o er½orendsernek a kerestmetset súlpontjába redukált ered½ojének és nomatékának koordinátáit értjük a kerestmetset igénbevétele alatt. Igénbevételek el½ojelsabála ered½onek kerestmetset síkjába es½o koordinátája a jel½u níróer½o, a síkra mer½oleges pedig a rúder½o les. nomatékvektor síkba es½o össetev½oje a hajlítónomaték, a síkra mer½oleges pedig a csavarónomaték. egállapodás serint a ábrákon rögített el½ojelsabálok alapján állapítjuk meg a feladatokban el½oforduló igénbevételek el½ojelét: N > 0 T > 0 h > 0 c > 0 N < 0 T < 0 h < 0 c < 0 egenes köépvonalú tartók egensúli egenletei ábrán látható kéttámasú tartó eg hossúságú sakasának egensúlát visgáljuk: f k f k T h f() Q h + h T + T sakas egensúlát a kétvégén berajolásra került bels½o er½orendser bitosítja. eltételeésünk serint eek poitív igénbevételeket jelentenek. iránba vett vetületi egenletb½ol a össefüggésre. + ( + ) = 0 = lim határátmenet képésével jutunk a!0 d d = ( )
3 sakas jobboldali végén kijelölt ponton áthaladó síkra mer½oleges tengelre vett nomatéki egenletb½ol a + ( ) + + = 0 lim!0 határátmenet képésével a = ( + ( )) d = d össefüggés adódik. Eeket a egenleteket, a egensúli egenlet di erenciális alakjait, a tartó tengele mentén 0 és köött integrálva nerjük a Z Z ( ) = ( )d és ( ) = ( )d =0 össefüggéseket, aa a egensúli egenlet integrálalakjait. Eek ismerete módot ad igénbevételi ábrák rajolására. Igénbevételi ábrák ábrarajolás bemutatásra kiválastott kéttámasú tartó támastóer½oi már ismertek és kék sínnel berajolásra kerültek a alábbi ábrán. =0 kn 1 kn/m D 8 knm m 3 kn 4 m 5 kn m Síkbeli, tengel½u, egenes vonalú tartók igénbevételi ábráinak serkestése a igénbevételek el½ojelsabálainak gelembevételével történik. gerendán balról jobbra, tengel mentén haladunk és köben sakasonként visgáljuk a igénbevételeket. tartó iránú (rúdiránú) er½okkel terhelt, eért a rúder½o ábra rajolással kedünk. ² kerestmetset és a kerstmetset ( ponttól eg kicsit balra lév½o kerestmetset) köött nincs rúder½o, eért een a sakason a ( ) függvén érus érték½u les. ² pontban a tengeliránnal ellentétes iránba mutató nagságú koncentrált er½o van, amel a rúd jobb végén, a kerestmetsetben ható, vele ellentétes iránú, sintén nagságú er½ovel tart egensúlt. koncentrált er½o a ( ) ábrán mindig sakadást oko. Eért a kerestmetsetnél -ra, -ben pedig vissa 0-ra ugrik a függvén. sakast a két er½o húa, eért a rúder½o állandó = nagságú les een a sakason. N 4 [kn] - D tartót rá mer½oleges er½ok is terhelik, eért ( ) níróer½o ábra rajolható. Ismét a gerenda balvégét½ol, a pontból kiindulva kedjük meg a ( ) függvén ábráolását. ² iránú koncentrált er½ok a ábráolt ( ) függvén sakadását idéik el½o, eért a pontban jelentke½o kn (") er½o miatt a kerestmetsetnél a induló 0 érték½u függvén kn-ra ugrik.
4 + és kerestmetsetek köötti rúdsakas függ½olegesen terheletlen, eért a + sakason a függvénváltoás értéke nulla, tehát ott a függvénérték állandó kn les. T [kn] 1-1 E D 8 knm ² pontban ható 3 kn (#) támastóer½o komponens miatt ismét ugrunk a függvénértékkel 1 knra. + sakason 1 kn/m (#) intenitású megosló er½o van. sakas hossa 4 m, íg 4 ( 1) = a váltoás mértéke. -ben a függvén 1 kn érték½u a 4 m hossúságú + sakason a váltoás, eért -ban a níróer½o 5 kn les. ² pontbeli 5 kn (") nagságú támastóer½ovel vissatérünk a nullába. + és kerestmetsetek köött nem találhatók függ½oleges hatásvonalú er½ok, eért a + sakason a függvénváltoás értéke nulla, tehát ott a függvén állandó érus érték½u les. ábrán megjelenik még a kerestmetsetben a 8 knm nagságú nomatékból sármaó területvektort. területvektor iránát a ½ot helettesít½o er½opár baloldali er½ovektorának irána solgáltatja. ( vonatkoó er½opár a els½o ábrán berajolásra került!) hajlítónomatéki ábra serkestése követlenül a níróer½o ábrából lehetséges. egensúli egenletnek megfelel½oen a ( ) foltonos függvén adott sakason történ½o váltoása a adott sakasra vonatkoó ( ) függvén alatti terület mínus egseres nagságával (adott sakason vett határoott integráljával) les egenl½o. Ha a tartó balvégén nincs terhelésként el½oírt nomaték, akkor a függvén nullából indul, majd a gerenda végén oda is tér vissa. ² m hossúságú sakason vett ( ) függvénérték állandó ( kn), íg a sakason vett ( ) függvén alatti (ábrán besrafoott) terület = m nagságú. E terület a tengel feletti (poitív), eért negatív megváltoást ( m) oko a sakason lineáris függvénben. Íg ( ) = 0 m = m. h 8 [knm] - -4 D E ² sakason lineáris ( ) okán a függvén parabolát ír le e sakas felett. E parabolát három pont és három érint½o segítségével lehet megadni, eért a serkestés a ún. területkiegenlítés elve serint történik: sakast megfeleük ( pont) és a sakas ked½o- és végpontjánál lév½o ( ) = 1 kn és ( ) = 5 kn függvénértékeknél eg-eg vísintest húunk. el½oálló és a ábrán besrafoott negatív területnek sámító téglalapok 1 = knm és 5 = 10 knm nagságúak. rajolását foltonos vonallal a ( ) = knm függvénértéknél foltatjuk a követke½ok serint. sakason knm a függvén váltoásának mértéke, aa pontnál knm-nél jelet tesünk és et össekötve vékon saggatott vonallal a pontbeli függvénértékkel megkapjuk a pontbeli érint½ot. függvén megváltoása 10 knm a sakason, íg ( ) = 8 knm. Össekötve eg vékon saggatott vonallal a -nél rajolt jelet a pontban vett függvénértékeket ismét nerünk eg parabolaérint½ot -ben. harmadik pont és érint½o
5 úg áll el½o, hog a ( ) = knm és ( ) = 8 knm függvénértékeket össeköt½o vonal és a sakasfele½o metséspontjánál leolvasott knm-ból levonom a pontnál vett knm, aa ( ) = 0 a függvénérték a érint½o pedig párhuamos a el½obbi össeköt½ovonallal. ² sakason nincs tengeliránra mer½oleges er½o tehát a függvén váltoás nulla, tehát 8 knmnél vísintes vonalat húok -ig. -nél megjelen½o nomatékból sármaó területvektor miatt a nomatéki ábrában sakadás les. területvektor felfele mutat, eért negatív váltoást oko és íg a tartóvégén vissatértünk 0-ba. Egser½u terhelésekhe tartoó igénbevételi ábrák a a a b b a+b a a+b T T h h a a+b b a+b f a ab a+b h/ h fh h/ a b fh fh a+b a+b T T fh h fh a+b h a a+b a+b fh 8 b a+b
6 a b T h b a a+b a b a b a b T h a a a a h T h h h h h T h fh fh fh fh f fh fh fh 8