{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

Hasonló dokumentumok
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Matematika A1a Analízis

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Valasek Gábor

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

17. előadás: Vektorok a térben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája

Többváltozós, valós értékű függvények

Matematika III előadás

Haladó lineáris algebra

Matematika (mesterképzés)

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

Mátrixok 2017 Mátrixok

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

2014. november Dr. Vincze Szilvia

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Többváltozós, valós értékű függvények

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

Lineáris egyenletrendszerek

1. Algebra Elemek Műveletek. Tenzor algebra és analízis Einstein-féle konvencióval

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Néhány szó a mátrixokról

Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

A fontosabb definíciók

Matematika III előadás

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

1. Transzformációk mátrixa

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Mátrixok, mátrixműveletek

Boros Zoltán február

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

Lineáris algebra (10A103)

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Matematika A1a Analízis

1. zárthelyi,

Lineáris algebra mérnököknek

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Lineáris algebra mérnököknek

Serret-Frenet képletek

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

n m db. szám a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) a ib j

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

Lineáris algebra mérnököknek

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Gyakorló feladatok I.

5. előadás. Skaláris szorzás

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Átírás:

1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és az irányával; nem tekintünk különbözőnek két vektort, ha azok párhuzamos eltolással átvihetők egymásba. A vektor kezdőés végpontjának távolságát a vektor szolút értékének (hosszának, nagyságának) nevezzük. Jelölése: a. Ha a vektor hossza egységnyi, akkor a vektort egységvektornak, ha nulla, akkor nullvektornak nevezzük. etszőleges a, b, c vektorok esetén különböző jelölésmódokat alkalmazva az a= a, a, a ; b=b i+ b j+ bk; c=c e +c e + ce összefüggések állhatnak fenn. { } x x x y y z y z z 1.1.1. Skaláris szorzás a b= x x + y y + z z = b a a b = b a (a szorzás eredménye: skalár) (kommutatív) 1.1.2. Vektoriális szorzás i j k a b= a a a = i j+ k ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) y z z y x z z x x y y x b b b a b = b a (nem kommutatív) 1.1.3. Általános (diadikus) szorzás ax x x x y x z = a b = = a y bx by bz = y x y y y z a z z x z y z z a b b a (nem kommutatív) b a = (transzponált tenzor) (a szorzás eredménye: mátrix) 1

1.1.4. Kétszeres vektorszorzat kifejtési tétele a ( b c) = b( a c) c( a b) ( a b) c = b( a c) a( b c) ahol a, b, c vektor tetszőleges vektorok. A szorzás nem asszociatív művelet! 1.1.5. Diád skaláris szorzása vektorral ( a b) c = a( b c) a ( b c) = ( a b) c ahol a, b, c vektor tetszőleges vektorok. Mivel így a ( bc) = ( a b) c = c( a b) = c( b a) = ( cb) a, a b c = a = c b a= a ( ) ( ) 1.2. Műveletek a differenciáloperátorokkal DDKR-ben Legyen adott DDKR-ben: 0. méretű objektum (skalár) 1. méretű objektum (vektor) 2. méretű objektum (tenzor) S( rt, ) = S( xyzt,,, ) - tetszőleges skalár-vektor függvény. V rt V xyzt i V xyzt j V xyzt k - (, ) = (,,, ) + (,,, ) + (,,, ) tetszőleges, vektor-vektor függvény. rt (, ) 11 12 13 = = 21 22 23 31 32 33 ahol = ( xyzt,,, ), ( i 1, 2,3; j 1, 2,3) ij ij - tetszőleges tenzor-vektor függvény, = =. 2

1.2.1. Műveletek operátorral = i + j + k (vektor differenciáloperátor) a) Skaláris szorzás Legalább 1 méretű objektumra (legalább vektorra) értelmezett. Új méret = Régi méret 1 Speciális esetek: x y V = divv = + + z (eredmény: skalár) 11 12 x 13 = Div = 21 22 23 (eredmény: vektor) y 31 32 33 Kifejtve a sor oszlop kombinációval: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = + + i + + + j + + + k b) Vektoriális szorzás Legalább 1 méretű objektumra értelmezett. Új méret = Régi méret i j k z y V x z y x V = rot V = = i j + k y x x y V V V c) Általános (diadikus) szorzás Nincs méretbeli korlátozás Új méret = Régi méret + 1 Speciális esetek: S S S S = grad S = i + j + k (eredmény: vektor) 3

V x x x z z z y y y = = DV ( ) (eredmény: mátrix) DV ( ) : a V derivált tenzora. A tenzorok transzponáltját a tenzor főátlóra való tükrözésével határozhatjuk meg: V = D V ( ) 1.2.2. Műveletek Laplace ( ) operátorral 2 = = = + + (másodrendű skalár differenciáloperátor) Speciális esetek: S S S S = + + (eredmény: skalár) V= Vi+ V j+ Vk= Vx Vx V Vy V x y V y Vz Vz Vz = + + + + + + + + i j k (eredmény: vektor) 1.3. Műveletek a differenciál operátorokkal HKR-ben 1 = er + eϕ + ez r r ϕ Alkalmazások: S 1 S S - S=grad S = er + eϕ + ez (eredménye: vektor) r r ϕ 1 1 ϕ z divv = V = r + + = V (eredménye: skalár) r r r ϕ - ( rv ) - 1 1 S r = + + r r r r ϕ 2 2 S S S (eredménye: skalár) 4

1.4. Függvények teljes differenciálhányadosa 1.4.1. Skalár tér- és időfüggvény teljes differenciálhányadosa S S S S S ds = + dx+ dy+ dz = + ( dr ) S S ds = + ( dr ) S teljes differenciál Figyelembe véve, hogy d r = v (sebességvektor), így ds S = + ( v ) S Lokális Konvektív megváltozás 1.4.2. Vektor tér- és időfüggvény teljes differenciálhányadosa dv = + ( dr ) V dv = + ( v ) V Speciális eset: V = v sebességvektor gyorsulás vektor ( a ) dv v a = = + ( v ) v ahol v : lokális megváltozásból származó tag. v v : konvektív megváltozásból származó tag. ( ) dr v = 1.5. Integrál-átalakítási tételek 1.5.1. Gauss Osztogradszkij tétel enzor esetén: da= Div dv ( A) ( V), 5

ahol Div =, rt, - V -ben folytonosan differenciálható, ( ) (V) egyszeresen összefüggő tartomány, az ( A ) zárt felülettel határolt véges térfogat, da= dan felületelem-vektor és a vizsgált térrészből kifelé mutat. Megjegyzés: ha helyett alacsonyb méretű objektum is állhat, amely (V)-ben folytonosan differenciálható. Vektor esetén: Skalár esetén: V da= div V dv ( A) ( V) Mivel SdA= ( A) ( V) grad SdV = SI, Div( SI) = ( SI) = ( I ) S = grad S = S 1.5.2. Stokes tétel V dr = rot v da ( L) ( A) Feltételek: v( rt, ) az (A) mentén folytonosan differenciálható, (A) folytonos görbületű felület, ( L ) az (A) felületet határoló rektifikálható 1 zárt görbe, da - felületvektor (A)-ra merőleges. ( L irányítása da -val szembenézve pozitív körüljárású, vagyis az óramutató járásával ellentétes.) 1 Rektifikálható- kifejthető: létezik az ív hossza. 6

1.6. érfogati integrál idő szerinti totális deriváltja vagy ahol: F( rt, ) d F F ( r, t) dv dv F v da = + ( Vsyst ) ( CV ) ( A) ( ) d df F ( r, t) dv Fdivv dv = + ( V syst ) ( CV ) t= Vsyst = CV 0 ban, ( ) ( ) - vektor vektor vagy skalár vektor függvény, ( V ) -ben folytonos és legalább egyszer differenciálható, v rt, sebességtérben mozgó ugyanazon a folyadékrészecskék a ( syst ) V -t a ( ) alkotják, ( ) CV a ( syst ) V -el t = 0 -ban egybeeső, de időben és térben rögzített térfogat, az úgynevezett ellenőrző térfogat, ( A ) a ( ) d CV -t határoló zárt felület, totális vagy teljes derivált (szubsztanciális derivált). 7