Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Rendszer és irányításelmélet Rendszerek idő és frekvencia tartományi vizsgálata Irányítástechnika Budapest, 29 2

Az előadás felépítése 1. 2. 3. 4. 5. Irányítástechnika Budapest, 29 3

Súlyfüggvény Átmeneti függvény Súlyfüggvény és átmeneti függvény számítása Irányítástechnika Budapest, 29 4

Súlyfüggvény Súlyfüggvény Átmeneti függvény Súlyfüggvény és átmeneti függvény számítása A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk: δ(t) = {, ha t =,, ha t. A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t δ(τ)u(t τ)dτ. Irányítástechnika Budapest, 29 5

Átmeneti függvény Súlyfüggvény Átmeneti függvény Súlyfüggvény és átmeneti függvény számítása A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk: 1(t) = { 1, ha t >,, ha t <. Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t 1(τ)u(t τ)dτ. Irányítástechnika Budapest, 29 6

Súlyfüggvény és átmeneti függvény számítása Súlyfüggvény Átmeneti függvény Súlyfüggvény és átmeneti függvény számítása A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény (u(t) = δ(t)) Laplace transzformáltja: U(s) = 1. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = G(s). y(t) = L 1 [G(s)] Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény (u(t) = 1(t)) Laplace transzformáltja: U(s) = 1 s. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = 1 s G(s). y(t) = L 1 [ 1 s G(s) ] Irányítástechnika Budapest, 29 7

Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Irányítástechnika Budapest, 29 8

Két rugó és csillapítás Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Tekintsük az ábrán látható két rugóból és csillapító kamrából álló rendszert. Adatok: k = 1 Ns m, c 1 = 3 N m, c 2 = 2 N m. z. y k c 2 c 1. u G = kc 1 s + c 1 c 2 ks(c 1 + c 2 ) + c 1 c 2 = 1 + 5s 1 + 25 3 s Irányítástechnika Budapest, 29 9

Átmeneti függvény számítása Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Y = 1 s G = 1 + 5s s(1 + 25 3 s) Az átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával: v = lim s 1 + 5s s s(1 + 25 + lim (s + 3 3 s)est s 3 25 ) 1 + 5s 25 s( 3 + 25 3 25 s)est = 1.4 e.12t 1 Átmeneti függvény.95.9.85.8.75.7.65.6 1 2 3 4 5 Time [sec] Irányítástechnika Budapest, 29 1

Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét. k. m y c. u Átviteli függvény Laplace transzformációval: ms 2 y + ksy + cy = cu G = c ms 2 + ks + c = c m s 2 + k m s + c m Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: p 1,2 = k ± k 2 c. 2m 4m 2 m Irányítástechnika Budapest, 29 11

Súlyfüggvény számítása Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény w(t) = lim (s p 1 ) s p1 (s p 1 )(s p 2 ) est c m c m + lim (s p 2 ) s p2 (s p 1 )(s p 2 ) est, c c m = e p1t m e p2t. p 1 p 2 p 1 p 2 Komplex pólusok esetén (p 1 = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: w(t) = c m 2iβ eαt (e iβt e iβt ) = c mβ eαt sin(βt) Kihasználtuk a szögre vonatkozó e φt = cosφ + isinφ Euler összefüggést. Irányítástechnika Budapest, 29 12

Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Átmeneti függvény számítása v(t) = lim s s 1 s + lim s p1 (s p 1 ) 1 s c m (s p 1 )(s p 2 ) est c m (s p 1 )(s p 2 ) est c m + lim (s p 2 ) 1 s p2 s (s p 1 )(s p 2 ) est c c m m = + p 1 p 2 p 1 (p 1 p 2 ) ep 1t c m p 2 (p 1 p 2 ) ep 2t Komplex pólusok esetén (p 1 = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: v(t) = = c m α 2 + β + 2 c m α 2 + β 2 c m 2iβ(α + iβ) eαt e iβt c m α 2 + β 2 eαt cosβt + c m 2iβ(α iβ) eαt e iβt c m α α 2 + β 2 β eαt sinβt. Irányítástechnika Budapest, 29 13

Komplex pólusok esete Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Adatok: m = 1kg, k = 1 Ns m, c = 3 N. Két komplex konjugált pólus m van: a p 1 =.5 + 1.65i és p 2 =.5 1.65i. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w = 1.818e.5t sin(1.65t) v = 1.3e.5t sin(1.65t) e.5t cos(1.65t) 1.2 Súlyfüggvény 1.4 Átmeneti függvény 1 1.2.8 1.6.4.8.2.6.4 -.2 -.4.2 -.6 2 4 6 8 1 12 sec 2 4 6 8 1 12 sec Irányítástechnika Budapest, 29 14

Valós pólusok esete Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Adatok: m = 1kg, k = 4 Ns m, c = 3 N. Valós pólusai vannak: m p 1 = 3 és p 2 = 1. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w = 1.5e t 1.5e 3t v = 1 1.5e t +.5e 3t.7 Súlyfüggvény 1 Átmeneti függvény.6.9.8.5.7.4.6.5.3.4.2.3.2.1.1 1 2 3 4 5 6 sec 1 2 3 4 5 6 sec Irányítástechnika Budapest, 29 15

Egy gerenda vizsgálata Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény A gerenda végpontjain lengések alakulnak ki a középpontjában ható u elmozdulás hatására. Adatok: k 11 = 2N/m, k 12 = 3N/m, k 21 = 3N/m és k 22 = 2N/m. Határozzuk meg az ismeretlen b csillapító komponens értékekét, ha egységugrás bemenőjelre 2 sec múlva a két oldal középpontja azonos magasságba kerül.... u y 1 k 11... k 12 b k 21 y 2... k 22 Írjuk fel a bal és jobb oldalra az erőegyensúly egyenleteit: k 11 (u y 1 ) + b 1 ( u ẏ 1 ) = k 12 y 1 k 21 (u y 2 ) = k 22 y 2 Irányítástechnika Budapest, 29 16

Átmeneti függvény Két rugó és csillapítás Átmeneti függvény számítása Tömeg, rugó, csillapítás Súlyfüggvény számítása Átmeneti függvény számítása Valós pólusok esete Egy gerenda vizsgálata Átmeneti függvény Az eredő átviteli függvény: G = G b G j = 2bs 5 5(bs + 5) Az átmeneti függvény inverz Laplace transzformációval: v = 1 5 + 3 5 e 5 b t A példa szerint az átmeneti függvény értéke 2s múlva v =, ezért t = 2 helyettesítéssel:.4.2 Átmeneti függvény adódik. b = 9.1 Ns m -.2 2 4 6 8 1 [sec] Irányítástechnika Budapest, 29 17

Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) Irányítástechnika Budapest, 29 18

Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) Egy bonyolult, összetett rendszer bemenő és kimenőjelei közötti kapcsolatának vizsgálatához a teljes rendszer átviteli függvényét kell meghatározni. A blokkok közötti alapvető kapcsolatok az alábbiak: Soros kapcsolás: Az eredő rendszer átviteli függvénye a tagok átviteli függvényeinek szorzata. G = N i=1 G i Párhuzamos kapcsolás: Az eredő rendszer átviteli függvénye a tagok átviteli függvényeinek összege. G = N G i i=1 Irányítástechnika Budapest, 29 19

Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) A blokkok közötti alapvető kapcsolatok (folytatás): Visszacsatolás eredő rendszerének átviteli függvénye: G = G e 1 + G H ahol G e az előrevezető ágon levő komponensek eredő átviteli függvénye, míg G H a hurokban lévő komponensek eredő átviteli függvénye. Irányítástechnika Budapest, 29 2

Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) Példa: Írjuk fel az alábbi hatásvázlattal adott rendszer átviteli függvényét. A tagok: G 1 = 5, G 2 = 3 s+1, G 3 = 1 s, G 4 = 3, G 5 = 2, G 6 = 1 s. u a b c d G 1 + G 6 G 2 G 4 G 3 e y G 5 Megoldás: A G 2 és G 4 negatív visszacsatolása: G A = G 2 1+G 2 G 4 = 3 s+1. A G A és G 3 soros kapcsolata: G B = G A G 3 = 3 s(s+1). Irányítástechnika Budapest, 29 21

Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) Megoldás: A G B és G 6 párhuzamos kapcsolata: G C = G B + G 6 = s+13 s(s+1). A G C és G 5 negatív kapcsolata: G D = G C 1+G C G 5 = s+13 s 2 +12s+26. A bemenő és kimenő jelek közötti kapcsolat (G D és G 1 soros kapcsolata): G = G 1 G D = 5s+65 s 2 +12s+26. e G 6 u a b c d + y G 1 + + G 2 G 3 + G 4 G 5 Irányítástechnika Budapest, 29 22

2. feladat Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) Példa: Írjuk fel az alábbi hatásvázlattal adott rendszer átviteli függvényét. A tagok: G 1 = 5, G 2 = 3 s+1, G 3 = 1 s, G 4 = 3, G 5 = 2, G 6 = 1 s u a b c d G 1 + + G 6 G 2 G 4 G 3 + e + y G 5 A megoldás nehézségét az okozza, hogy a G 6 tag nem a G 2 és G 4 által meghatározott belső hurkon kívülről, hanem a hurok egy belső b jeléről van gerjesztve. Irányítástechnika Budapest, 29 23

2. feladat Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) Fejezzük ki y jelet: y = e + d = G 6 b + G 3 c = (G 6 + G 2 G 3 )b Kihasználva b = a G 4 c = a G 4 G 2 b, azaz b = 1 1+G 2 G 4 a összefüggést: y = G A a = G 6 + G 2 G 3 1 + G 2 G 4 a e G 6 u a b c d + y G 1 + + G 2 G 3 + G 4 G 5 Irányítástechnika Budapest, 29 24

2. feladat (folyt.) Blokkdiagram vizsgálata Blokkdiagram vizsgálata (folyt.) 2. feladat 2. feladat 2. feladat (folyt.) A megoldás következő lépéseiben már az egyes rendszerelemeket összevonhatjuk. A G A és G 5 negatív visszacsatolásával: G B = G A G 1+G A G 5 = 6 +G 2 G 3 A G B és G 1 soros kapcsolata: G C = G 1 G B = 5s+2 s 2 +12s+8. 1+G 2 G 4 +G 5 G 6 +G 2 G 3 G 5 = s+4 s 2 +12s+8. u G 1 + a G A G 5 y Irányítástechnika Budapest, 29 25

Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Irányítástechnika Budapest, 29 26

Szinuszos bemenőjel Egy rendszer frekvencia függvényének a rendszernek szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia u(t) = sin ωt G(iω) y(t) = A(ω) sin(ωt + φ(ω)) Itt a bemenőjel egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel, amelynek körfrekvenciája ω. A kimenőjel: u = sin(ωt). y = A(ω)sin(ωt + ϕ(ω)). Irányítástechnika Budapest, 29 27

Amplitúdó és fázis Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Az A(ω) függvényt amplitudó függvénynek, a bemenőjel és a kinenőjel közötti fáziseltolást jelentő ϕ(ω) függvényt pedig fázisfüggvénynek nevezzük, mindkettő a bemenőjel ω körfrekvenciájától függ. Az amplitudó függvény a G(iω) függvény abszolút értékeként kapható: A(ω) = G(iω), a fázisfüggvény pedig G(iω) fázisént: ϕ(ω) = arctan ImG(iω) ReG(iω). Irányítástechnika Budapest, 29 28

Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Legyen egy rendszer átviteli függvénye: G(s) = b s + a A rendszer bemenete egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel ω körfrekvenciával: u(t) = 1 sin(ωt). A L-transzformáció alkalmazásával vizsgáljuk meg a rendszer kimenőjelét. Y (s) = G(s)U(s) = Időtartományba transzformálva: y(t) = lim s a b s + a ω s 2 + ω 2 bω (s + a) (s + a)(s 2 + ω 2 ) est bω + lim (s + iω)( s iω (s + a)(s + iω)(s iω) est bω + lim (s iω) s iω (s + a)(s + iω)(s iω) est. Irányítástechnika Budapest, 29 29

Frekvenciafüggvény (folyt.) Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Elvégezve a megfelelő határértékképzéseket: y(t) = bω a 2 + ω 2 e at + bω a + iω a 2 + ω 2 2iω e iωt + bω a iω a 2 + ω 2 2iω eiωt Megjegyzés: Egy z = a + ib komplex szám exponenciális alakja z = Ae iφ ahol A = a 2 + b 2 és φ = arctan b a. Alkalmazva: a + iω = a 2 + ω 2 e iϕ(ω), a iω = a 2 + ω 2 e iϕ(ω), ahol ϕ(ω) = arctan ω a. y(t) = bω a 2 + ω 2 e at + bω 1 a2 + ω 2 2iω ( e i[ωt ϕ(ω)] e i[ωt ϕ(ω)]) majd felhasználva az Euler-összefüggést (e iφ e iφ = 2i sin φ): Irányítástechnika Budapest, 29 3

Frekvenciafüggvény (folyt.) Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia A kimenőjel: y(t) = bω a 2 + ω 2 e at + b sin[ωt ϕ(ω)] a2 + ω2 A kimenőjel első tagja a tranziens időtartamában exponenciálisan nullához tart. Az állandósult állapotot a második tag határozza meg. Az állandósult állapotra azt kapjuk, hogy y(t) = A(ω) sin(ωt ϕ(ω)), ahol A(ω) = b a. 2 +ω 2 Állandósult állapotban tehát a rendszer egy adott körfrekvenciájú szinuszos lefolyású bemenőjelre egy szinuszos lefolyású kimenőjellel válaszol, amelynek amplitúdóját az A(ω) függvény, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást pedig a ϕ(ω) függvény méri. Irányítástechnika Budapest, 29 31

Nyquist diagram Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia A frekvencia függvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitudó függvényt mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó ϕ(ω) függvény segítségével, ahol az A(ω) hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge épp a ϕ(ω) szög. A frekvencia függvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist - diagramnak nevezzük. Irányítástechnika Budapest, 29 32

Bode diagram Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia A frekvencia egy másik ábrázolásmódja az, amikor az A(ω) amplitúdó függvényt a log ω függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen G(iω) db = 2 log A(ω) szerepel. Ebben az esetben a ϕ(ω) fázisfüggvényt külön diagramban, a log ω függvényében ábrázoljuk. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode - diagramjának nevezzük. Irányítástechnika Budapest, 29 33

Arányos tag (TP) Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Im G(iω) = A 1 Nyquist diagram -1 1 2 3 4 Re db 2 1 Amplitudó 1-1 1 rad/sec 1 1 Fázis 1-1 1-1 1 rad/sec 1 1 Az arányos tag jellegörbéje egyetlen pont a Nyquist diagramon. Az amplitúdó minden frekvencián 2 log 1 (A) értékű, azaz vízszintes egyenes, fáziseltolás szöge zérus. deg Irányítástechnika Budapest, 29 34

1TP tag Nyquist Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia G(iω) = A 1 + iωt Írjuk fel az egytárolós arányos tag (1TP) frekvenciafüggvényét valós és képzetes részre bontott alakban: 1 iωt G(iω) = A (1 + iωt )(1 iωt ) = A 1 iωt 1 + ω 2 T 2 A = 1 + ω 2 T 2 iωat 1 + ω 2 T 2 ω = 1 T frekvencián az abszolút érték A 2 2, a fázisszög 45 (az imaginárius rész maximális). Ezt a frekvenciát sarokkörfrekvenciának nevezzük. [Im] -.1 -.2 -.3 -.4 -.5 -.6 -.7 -.8 -.9 φ(ω) A(ω) 9-1.5 1 1.5 2 [Re] Irányítástechnika Budapest, 29 35

1TP tag Bode Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Írjuk fel a frekvenciafüggvény amplitúdó függvényét db skálán: G(iω) db = 2 log A 2 log 1 + iωt = 2 log A 2 log 1 + ω 2 T 2. Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét: G(iω) Kis körfrekvenciákra a függvény aszimptotája a 2 log A egyenes, míg nagy körfrekvenciákra a egy olyan 2dB/dekád { 2 log A, ha ω 2 log (ωt ), ha ω. meredekségű egyenes, amely az ω = 1/T pontban metszi a 2 log A vízszintes aszimptotát. db deg 2-2 -4 1-2 1-1 1 1 1 1 2 [rad/sec] -45-9 1-2 1-1 1 1 1 1 2 [rad/sec] -2 db Irányítástechnika Budapest, 29 36

2TP tag Nyquist G(iω) = 1 (1 + iωt 1 )(1 + iωt 2 ) = 1 1 + iωt 1 1 1 + iωt 2 Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia [Im] -.1 -.2 -.3 -.4 -.5 -.6 -.2.2.4.6.8 [Re] A kéttárolós arányos tag (2TP) Nyquist diagramját a két különböző időállandójú egytárolós tag Nyquist diagramjának összeszorzásával kapjuk. (Az eredő vektor abszolút értéke a két vektor abszolút értékeinek szorzata, fázisszöge a két vektor fázisszögének összege.) Irányítástechnika Budapest, 29 37

2TP tag Bode G(iω) = 1 1 + iω2ξt + (iω) 2 T 2 = 1 1 + iωt 1 1 1 + iωt 2 Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia ξ > 1 eset (valós pólusok): G(iω) db = 2 log G 1 (iω)g 2 (iω) = 2 log G 1 (iω) + 2 log G 2 (iω) = G 1 (iω) db + G 2 (iω) db φ(ω) = φ 1 (ω) + φ 2 (ω) A frekvenciafüggvény két egytárolós tag frekvencia függvényének szorzataként írható fel. Mivel logaritmikus síkon a szorzásnak összeadás felel meg, a két egytárolós tag Bode diagramját összegezve kapjuk az eredő Bode diagramot. db db -4 Amplitudó függvény -8 1-2 1-1 1 1 1 1 2-9 Fázis függvény -18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency [rad/sec] Irányítástechnika Budapest, 29 38

Komplex pólusok esete Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia ξ < 1 eset (komplex pólusok): G(iω) db = 2 log 1 1 + iω2ξt + (iω) 2 T 2 = 2 1 + iω2ξt + (iω) 2 T 2 = 2 (1 ω 2 T 2 ) 2 + (2ξT ω) 2 db Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét: db, ha ω 1 T G(iω) 2 4ξ 2 = 2log2ξ db, ha ω 1 T 2 (ω 4 T 4 ) = 4logωT db, ha ω 1 T. Ha ξ >.5 a pontos görbe a közelítő egyenesek alatt fut, ha ξ <.5 a pontos görbe az egyenesek fölött halad, míg ξ =.5 esetén a pontos és a közelítő érték ω = 1/T -nél megegyezik. Irányítástechnika Budapest, 29 39

Komplex pólusok esete (folyt.) Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia ξ < 1 eset (komplex pólusok): A fázis görbe alakja ugyancsak a ξ-től függ: φ(ω), ha ω 1 T 9, ha ω 1 T 18, ha ω 1 T. db db 4-4 Amplitudó függvény -8 1-2 1-1 1 1 1 1 2-9 Fázis függvény -18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency [rad/sec] Irányítástechnika Budapest, 29 4

ξ változó értékének hatása Az amplitúdó és fázisgörbe lefutását a ξ határozza meg. Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia 3 15-15 1-1 1 1 1-9 ξ ξ -18 1-1 1 1 1 ξ Irányítástechnika Budapest, 29 41

Integráló tag Nyquist Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia G(iω) = 1 T iω = i 1 T ω A Nyquist diagram jelleggörbéje a negatív imaginárius tengelyre esik. ω értéken (kis frekvenciákon) jωból indul és a komplex számísik kezdőpontjába fut be ω értéken Im -1 Nyquist diagram (nagy frekvenciákon). -.5.5 Re Irányítástechnika Budapest, 29 42

Integráló tag Bode Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia G(iω) = 1 T iω Az amplitúdó jelleggörbe: G(iω) = 2log 1 T ω Az amplitúdó jelleggörbe 2db/dek meredekségű egyenes. Az egyenes ω = 1 T -nél metszi a db tengelyt. A fázis jelleggörbe értéke minden frekvencián 9. = 2log(T ω) db deg 2-2 Amplitúdó függvény -4 1-1 1 1 1 rad/sec Fázis függvény -8-9 -1 1-1 1 rad/sec 1 1 Irányítástechnika Budapest, 29 43

Egytárolós integráló tag frekvencia G(iω) = 1 T I iω A 1 + iωt P Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Im -2-4 -6-8 Nyquist diagram -1 -.5 -.4 -.3 -.2 -.1 Re db deg 5-5 -1 1-2 1-1 1 rad/sec 1 1 1 2 Fázis -9-135 Amplitudó -18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 rad/sec A Nyquist diagramot megkapjuk, ha a két tényező Nyquist jelleggörbéit összeszorozzuk. A tag frekvenciafüggvénye a két alaptag szorzatából áll, ezért az eredő Bode diagram a két tag Bode diagramjának összegeként adódik. Irányítástechnika Budapest, 29 44

Differenciáló tag Nyquist G(iω) = T iω Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia A Nyquist diagram jelleggörbéje az imaginárius tengelyre esik. ω értéken (kis frekvenciákon) az origóból indul és ω értéken (nagy frekvenciákon) tart. +jω-hez Im 1 Nyquist diagram -.5.5 Re Megjegyzés: Tiszta differenciáló tag a gyakorlatban nem fordul elő (nem kauzális rendszer), a differenciáló hatás időtároló taggal együtt jelentkezik. Irányítástechnika Budapest, 29 45

Differenciáló tag Bode Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia G(iω) = T iω Az amplitúdó jelleggörbe: G(iω) = 2logT ω Az amplitúdó jelleggörbe 2db/dek meredekségű egyenes. Az egyenes ω = 1 T -nél metszi a db tengelyt. A fázis jelleggörbe értéke minden frekvencián 9. db deg 4 2 Amplitúdó függvény -2 1-1 1 rad/sec 1 1 Fázis függvény 1 9 8 1-1 1 rad/sec 1 1 Irányítástechnika Budapest, 29 46

Egytárolós differenciáló tag frekvencia G(iω) = T D iω A 1 + iωt P Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Im 1.8.6.4.2 Nyquist diagram.5 1 1.5 2 Re db deg 5 Amplitudó -5 1-2 1-1 1 rad/sec 1 1 1 2 Fázis 8 6 4 2 1-2 1-1 1 1 1 rad/sec 1 2 A Nyquist diagramból látható, hogy kis frekvenbcián az amplitúdó zérus, de ω növelésével a kimenőjel véges értékhez tart. Az ω növelésével a fáziseltolási szög 9 -tól -ig változik. Irányítástechnika Budapest, 29 47

Holtidős tag frekvencia Szinuszos bemenőjel Amplitúdó és fázis Példa a frekvenciafüggvény kiszámítására Nyquist diagram Bode diagram Arányos tag (TP) 1TP tag Nyquist 1TP tag Bode 2TP tag Nyquist 2TP tag Bode (folyt.) ξ változó értékének hatása Integráló tag Nyquist Integráló tag Bode Egytárolós integráló tag frekvencia Differenciáló tag Nyquist Differenciáló tag Bode Egytárolós differenciáló tag frekvencia Holtidős tag frekvencia Holtidős tagoknak nevezzük azokat a tagokat, amelyek egy tiszta T H időkésleltést hoznak létre. Ez az időkésleltetés megjelenhet bármelyik alaptagban. Például a nullatárolós holtidős (TH) tag egyenlete y(t) = u(t T H ), ahol T H a holtidő. Egy t H holtidős tag frekvenciafüggvénye Példa: A = 2, t H = 3; G H (iω) = 2e 3ωi. Az alaptag A(ω) = 2 amplitúdójú G H (iω) = Ae iωt H. -1 minden frekvencián, és fázisszöge a frekvenciával lineáris: ϕ(ω) = -2 t H ω = 3ω. -2-1 1 Re 2 Im 2 1 ω=2π/t H ω= Irányítástechnika Budapest, 29 48

Fáziskésleltető tag Fázissiettető tag Tömeg, rugó és csillapító Frekvencia diagramok valós pólusok esetén Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén Irányítástechnika Budapest, 29 49

Fáziskésleltető tag Vizsgáljuk meg az alábbi átviteli függvény Bode és Nyquist diagramját: G = 1 + T 1iω 1 + T 2 iω = 1 +.25iω 1 +.375iω Fáziskésleltető tag Fázissiettető tag Tömeg, rugó és csillapító Frekvencia diagramok valós pólusok esetén Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén.4.3.2 Nyquist diagram db db -1-2 Amplitudó függvény.1-3 [Im] -.1 -.2 -.3 -.4 -.5.2.4.6.8 1 [Re] deg -4 1-2 1-1 1 1 1 1 2-5 -1-15 Fázis függvény -2 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency [rad/sec] Megjegyzés: T 2 > T 1 eset fáziskésleltető tag, mivel szinuszos bemenőjelre a kimenőjel fázisban késik a bemenőjelhez képest. Irányítástechnika Budapest, 29 5

Fázissiettető tag Vizsgáljuk meg az alábbi átviteli függvény Bode és Nyquist diagramját: G = 1 + T 1iω 1 + T 2 iω = 1 +.375iω 1 +.25iω Fáziskésleltető tag Fázissiettető tag Tömeg, rugó és csillapító Frekvencia diagramok valós pólusok esetén Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén.8.6 Nyquist diagram db 4 3 2 Amplitudó függvény.4 1.2 1-2 1-1 1 1 1 1 2 [Im] 15 Fázis függvény -.2 1 deg -.4 5 -.6.5 1 1.5 [Re] 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency [rad/sec] Megjegyzés: T 1 > T 2 eset fázissiettető tag, mivel szinuszos bemenőjelre a kimenőjel fázisban siet a bemenőjelhez képest. Irányítástechnika Budapest, 29 51

Tömeg, rugó és csillapító Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer frekvencia függvényét. Fáziskésleltető tag Fázissiettető tag Tömeg, rugó és csillapító Frekvencia diagramok valós pólusok esetén Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén k. m y c. u A frekvencia függvény: G(iω) = c m(iω) 2 + k(iω) + c Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: p 1,2 = k ± 2m k 2 4m 2 c m. Irányítástechnika Budapest, 29 52

Frekvencia diagramok valós pólusok esetén Fáziskésleltető tag Fázissiettető tag Tömeg, rugó és csillapító Frekvencia diagramok valós pólusok esetén Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén Adatok: m = 1kg, k = 4 Ns m, c = 3 N m. G(iω) = 3 (iω + 1)(iω + 3) = 1 iω + 1 1 1 3 iω + 1 Valós pólusai vannak: p 1 = 3 és p 2 = 1. Időállandók: T 1 = 1 és T 2 = 1 3. Amplitudó függvény Nyquist diagram db db -4-8 1-2 1-1 1 1 1 1 2-9 Fázis függvény -18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency [rad/sec] [Im] -.1 -.2 -.3 -.4 -.5 -.6 -.2.2.4.6.8 [Re] Irányítástechnika Budapest, 29 53

Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén Fáziskésleltető tag Fázissiettető tag Tömeg, rugó és csillapító Frekvencia diagramok valós pólusok esetén Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén Adatok: m = 1kg, k = 1 Ns m, c = 3 N m. 1 G(iω) = 1 + iω2ξt + (iω) 2 T 2 = 1 1 + 1 3 iω + 1 3 (iω)2 3 = (iω +.5 + 1.65i)(iω +.5 1.65i) Két komplex konjugált pólus van: a p 1 =.5 ± 1.65i. Időállandó és a csillapítási együttható: T = 1 3.57s és ξ = 1 6.16s. 4 Amplitudó függvény Nyquist diagram db -4 -.5-8 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Fázis függvény [Im] -1 db -9-1.5-18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency [rad/sec] -2-1 -.5.5 1 1.5 [Re] Irányítástechnika Budapest, 29 54