A geodéza tárgya, felosztása, alapfogalmak NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Erdőmérök Szak Dr. Bácsatya László GEODÉZIA I. Kézrat Sopro, 00.
. A geodéza tárgya, felosztása, alapfogalmak A gyűjtögető, vadászó-halászó természet épek élelemszerző útjako bejárták lakóhelyük köryékét. A bejárt területeket homokba ágakkal mtázták meg, megjelölték az út- és tereprészeket a fotos vagy veszélyes helyeket kődarabokkal aak érdekébe, hogy jobba emlékezetükbe véssék, ll. átadhassák tapasztalatakat a köryezetükbe élőkek. A agy felfedezések törtéetéből számtala példát olvashatuk az így készült vázlatok felhaszálásáról. Ha valak hosszabb deg él, vagy dolgozk ugyaazo a területe, természetes, hogy maga elé tudja képzel azt, összes fotos terepvoalával együtt. A ma élő ember a földterületek ksebb-agyobb darabjat a legkülöbözőbb célokra haszálja fel. Redkívül fotos tehát, hogy a földdarabok és jellemző potjak helyét megállapítsa, maradadóa feljegyezze, vagys szükség eseté a kérdéses potot vagy helyet feljegyzése alapjá smét felkereshesse. A földterülettel törtéő gazdálkodás sorá, legye az lakóterület, par-, vagy mezőgazdaság terület ahol az elvégzedő mukálatok lehető legjobb megtervezése szükséges elegedhetetle feltétel, hogy a szakember tökéletese smerje a kezelésére bízott területet, aak mde részletét, adatat, méretet. Ha megfelelő térkép va a területről, csupá a térkép voalat kell azoosíta a természetbe meglévőkkel, s köye oda tudjuk képzel a számukra fotos természetes, vagy mesterséges tereptárgyakat (az erdész a telepítedő erdőket, erdőrészleteket, erde utakat, szállítópályákat, az erdő jólét létesítméyet, a köryezetmérök a emzet parkokat, a lakott területek pheésre kjelöledő övezetet, esetleg a hulladék-feldolgozót, a vadgazda az adott területre tervezett magasleseket, etetőket, stb.). Így bármemű gazdálkodással kapcsolatos tervezést kellő potossággal végezhet el. A fet vázlatos áttektésből s vlágos, hogy a terület, a terep megsmeréséek legfotosabb segédeszköze és mde tervezés alapja a térkép. A térkép olya adathordozó, amely egy hosszú, elmélet és gyakorlat tevékeységeket egyarát magába foglaló folyamat végterméke. A folyamat elmélet része elsősorba a Föld alakjáak és méreteek meghatározására ráyul, ebbe kell majd belleszteük szűkebb köryezetüket. A Föld alakjá tt em a fzka földfelszít, a szárazföldeket, tegereket értjük, haem egy dealzált földfelületet, amely em tartalmazza a Föld redkívül változatos kemelkedéset, bemélyedéset, ll. ezek változásat. Az elmélet részhez tartozak azok az elmélet smeretek s, amelyek az űrbe kergő mesterséges holdak segítségével teszk lehetővé a föld potok helyéek meghatározását. A folyamat gyakorlat része elsősorba a Föld fzka felszíé, esetleg a felszí alatt lévő természetes és mesterséges alakzatok jellemző potja helyéek, méreteek, alakjáak meghatározására, térkép ábrázolására, a potok helyzetbel változásaak, ll. mde olya tevékeység térkép rögzítésére szolgál, amely valamlye szempotból fotos a társadalom számára (műszak, jog, gazdaság, hovédelm és egyéb). Az elmélet és a gyakorlat rész átfed egymást. Egyrészt a Föld dealzált alakjáak és méreteek meghatározásakor gyakorlat feladatokat s meg kell oldauk. Ezek a feladatok részbe fzka, részbe geometra meységek mérését foglalják magukba. Másrészt vszot a tsztá gyakorlat feladatok végzéséhez szükségesek olya elmélet vzsgálatok, amelyek élkül em képzelhető el a gyakorlat feladatok megoldásáak fejlődése, korszerűsítése.
A geodéza felosztása Napjakba a geodéza szervese smul bele és legfotosabb alapja a már vlágszerte elfogadottá vált geomatka evű szakterületek, amely, mt a föld geodézát, térképészetet, fotogrammetrát, távérzékelést, formatkát és a földrajz formácós redszereket (GIS) magába foglaló szakterület, hatékoya segít mdazo feladatok megoldását, amelyekbe a földrajz helyhez kötött formácók beszerzése, tárolása, elemzése és felhaszálása élkülözhetetle. Ebbe a szellembe a mérés ú. elsődleges adatgyűjtés. Ha az adatokat em mérésből, haem meglévő térképekből dgtalzálással yerjük, másodlagos adatgyűjtésről beszélük. A mérések sorá adott helye található állapotot, vagy állapotváltozást rögzítük. A külöböző létesítméyek tervezésekor szükség va a terepre képzelt, tervezett létesítméyek terepe való megjeleítésére, elhelyezésére. Ekkor a méréshez képest fordított feladatot olduk meg: adott méreteket helyezük el a terepe, ktűzést végzük. Az eddg smeretek brtokába tatárgyuk léyegét az alábbakba foglalhatjuk össze: A geodéza a Föld alakjáak és méreteek, a Föld fzka felszíé, ll. a felszí alatt lévő természetes és mesterséges alakzatok geometra méreteek és helyéek meghatározásával (adatgyűjtéssel és adatfeldolgozással) és térkép ábrázolásával (a feldolgozott adatok grafkus és/vagy számítógépes formába való megjeleítésével), továbbá a fordított feladattal, létesítméyek tervezett helyéek terep megjelölésével ktűzésével foglalkozó tudomáy. A meghatározás és a térkép ábrázolás ugyaazo területre voatkozó megsmétlésével két statkus állapot között külöbséget s tuduk rögzíte, ezek a feladatok a geodamka vzsgálatok körébe tartozak. Rövde: a geodéza a föld helymeghatározás tudomáya. A geodéza görög eredetű szó, Arsztotelésztől származk, jeletése szó szert: földosztás. A geodéza tartalmát, léyegét aak dejé a geometra (földmérés) szó fedte, a geodéza (földosztás) ma aak csupá egy ks fejezete lee, mégs geodéza elevezéssel jelöljük a apjakba hatalmasa kterebélyesedett, tartalmlag a földmérést (geometrát) meghaladó öállóvá vált smeretkör egészét... A geodéza felosztása A geodézát hagyomáyosa felső-geodézára és alsó-geodézára osztjuk. A felsőgeodéza feladata a Föld, ll. a Föld alakját helyettesítő geometra alakzatok (ellpszod, gömb) alakjáak és méreteek, valamt a köztük lévő eltérésekek a meghatározása. A felső-geodéza művelése sorá egy olya voatkozás redszert választuk, amely lehetővé tesz a Föld agyobb felületdarabjaak (országaak) a Földö való elhelyezését, ll. olya mérés és számítás módszerek kdolgozását és végrehajtását, amelyek az elhelyezést bztosító, a Föld felületé létesített potok koordátáak a választott koordátaredszerbe való meghatározására szolgálak. Az alsó-geodéza azo mérés és számítás eljárások kdolgozásával és végrehajtásával foglalkozk, amelyek segítségével, a felső-geodéza módszerevel létrehozott potokra, mt vázra támaszkodva, a felszíe és a felszí alatt lévő természetes és mesterséges alakzatok geometra mérete és helye meghatározhatók és ábrázolhatók. Az alsó-geodéza feladata a ktűzés s. A felső-geodéza és alsó-geodéza fogalma összhagba va a geodéza előző részbe megadott defícójával, vagys a felső-geodéza a defícó első részét, a Föld alakjáak és méreteek meghatározását, az alsó-geodéza pedg a defícó maradék részét fed le. A helymeghatározás sorá ráyokat és távolságokat mérük. Az ráyok és távolságok mdg két pot között értelmezhetők. Jó közelítéssel a felső- és az alsó-geodéza határát ott jelölhetjük k, ahol a mérés tárgyát képező terep voal két végpotja között egy dealzált
A geodéza felosztása 3 földfelszíe (pld. a gömbö) értelmezett ív és a tartozó értő hossza közt külöbség (... ábra) olya csekély, hogy yugodta elhayagolhatjuk, mvel a geodéza mérésekél előforduló, ll. a térkép ábrázolást terhelő hbák ezt a külöbséget meghaladják. Ebből következk, hogy az alsó-geodéza méréseél és számításaál a Földet síkkal helyettesítjük. K Értő sík d s Az... ábrá a Föld felszíét gömbbel helyettesítjük. A földgömb R sugara mtegy 6380 km. A γ az s gömb hosszhoz tartozó középpot szög. A gömb s hosszak az értősíkra, más szóval, a K pot vízsztes síkjára vetített értéke legye d. A kettő külöbsége az s hossz torzulásáak mértéke: Vízsztes felület R γ s = d s = R tgγ s, s s = R tg s, (..) R s s = 6380 tg s. 6380... ábra: A földfelszí helyettesítése síkkal A s értéke az s hossz értékétől függ. Legye pld. s = 50 km, ekkor s = 0,00 km = m. A készítedő térképe a földfelszít mdg adott kcsyítéssel ábrázoljuk. Pld. 0000-szeres kcsyítésél a földfelszí m a térképe 0, mm-ek felel meg, am em haladja meg az ábrázolás élességét, vagys ez esetbe a Föld felszíét még síkak tekthetjük. Az s = 3 km mellett s = 0,000 km = 0, m, am vszot 000-szeres kcsyítésél jelet 0, mm ábrázolás élességet. Az elektroka és számítástechka utóbb évtzedekbe bekövetkezett redkívül gyors fejlődése a geodézába a térképezés teljes mértékű automatzálását lehetővé tevő mérés és számítás eszközök és módszerek kfejlődéséhez vezetett: a mérés eredméyek rögzítése automatkusa, számítógépes adathordozó megy végbe, az eredméyek matematka feldolgozásához ma már megfelelő számítógépes hardver- és szoftver háttér áll redelkezésre. Az egész folyamat, a terep méréstől a végeredméyg, a számítógépes (dgtáls) térképg, automatzált. A számítógépes térkép elemehez tetszőleges meységű, agyszámú ú. rétegbe (fedvéybe) szervezhető attrbútum, szöveges formácó redelhető: ez teremt meg az alapját a számítástechka ma már Magyarországo s széleskörűe smert és haszált lehetőségéek, a Földrajz Iformácós Redszerek (FIR, agol rövdítéssel: GIS Geographcal Iformato System) kalakításáak. A Föld körül térség ember által való meghódítása és Föld körül pályára helymeghatározás céllal felbocsátott mesterséges holdak megjeleése tette lehetővé azt, hogy a föld potok helyét a mesterséges holdakról sugárzott kódolt elektromágeses jelek vételére alkalmas vevő készülékekkel határozhassuk meg (GPS - Global Postog System: globáls helymeghatározó redszer). A geodézáak azt az ágát, amelybe a térkép a Föld felszíé közvetleül végzett mérések helyett a terepről a légkörből, vagy föld álláspotból készült féyképeke végzett mérések alapjá készül, fotogrammetráak evezzük. Utóbbval a sokkal átfogóbb smereteket s tárgyaló távérzékeléssel együtt külö tatárgyba smerkedük meg. A fotogrammetrát a cetráls perspektívára épülő elmélete, műszere, külöleges smeretayaga matt külö tudomáyágkét s számo tartják. A távérzékelés (a fotogrammetrához tartozó fototerpretácóval együtt) sorá az űrből Földük felszíéről az elektromágeses spektrum
4 Mértékegységek ktütetett tartomáyaba készített felvételek elsősorba mőség, s csak másodsorba meység jellemzők meghatározására ráyulak. A geodézához tartozk még a mérök-geodéza. Utóbbt az építőpar külöleges körülméye között alkalmazzák, s k kell elégítee az építőpar külöleges potosság követelméyet. A mérök-geodéza feladatat - a agy potosság géyek matt öálló, ú. hely redszerbe oldják meg. A mérök-geodéza külöleges eljárásaval taulmáyak sorá em találkozuk. A geodézáak szerves része még a kegyelítő számítás, a vetületta és a kozmkus (űr-) geodéza. Ezekből, a felsőgeodéza alapsmeretekkel együtt, csak a legszükségesebb smereteket tárgyaljuk. Részletesebbe foglalkozuk a geodéza mérőeszközevel és műszerevel, az alappothálózatokkal, az alsó-geodéza mérés és számítás eljárásokkal. Megsmerkedük a domborzat domaval, a domborzatábrázolás elvevel, a térképek szerkesztésével, alapvető haszálat lehetőségevel, utalva utóbbakak a GIS ráyába törtéő kterjesztésére. Taulmáyakat a ktűzés módszerekkel, valamt a földredezés alapvető fogalmaval zárjuk. Taulmáyak sorá felhaszáljuk azokat az alapvető smereteket, amelyeket a matematka, s eze belül elsősorba a legksebb égyzetek elve, a középskola trgoometra, ll. - a fotogrammetrába a cetráls perspektíva yújt számukra. Ige fotos külööse a számítógépes térképezésél a számítástechkával való szoros kapcsolat. A korszerű mérőműszerek és mérés techológák tárgyalásakor elegedhetetleek a fzka alapfokú optka, elektroka, fom-mechaka smerete. A geodéza két fő felhaszáló erdészet szakága az erdőredezés, ll. az erde út-, és vízépítés. Közvetve azoba az erdészet tudomáyok szte mde ágába haszosíthatjuk a geodéza eredméyet, ugyas a távérzékelés és a GIS a meység jellemzők mellett mőség paraméterek meghatározására s lehetőséget adak (erdővédelem, erdőművelés, erdőtelepítés, vadgazdálkodás). A geodéza művelése sorá az élet szte mde területé fotos következtetéseket vohatuk le és elsősorba a GIS lehetősége keresztül kterjedt elemzéseket végezhetük a természetet, s bee az embert feyegető legkülöbözőbb károk terjedéséek, terjedés sebességéek és veszélyeek felderítésébe, ll. eek következtébe a baj dőbe való megelőzése érdekébe... Mértékegységek A mérések eredméyet az U = N u (..) összefüggéssel, a mérés alapegyeletével írhatjuk fel, ahol U - a mérés eredméye, N - dmezó élkül szorzó, u - a mérés mértékegysége. A mértékegységeket az alább legfotosabb szempotok alapjá választják meg: - Az egész vlágo egységesek legyeek (SI redszer). - A mérések végzésére szolgáló mérőeszközök és műszerek htelesítettek (komparáltak) legyeek. A htelesítéshez egyszerűe megválasztható, s a htelesítedő mérőeszközök megbízhatóságáál megbízhatóbb mértékegységekre, az ú. etalookra va szükség. - A mértékegységek természetes mértékegységek legyeek, vagys valamely, a természet által kjelölhető méretből egyértelműe levezethetők legyeek. A mérések megbízhatóságát behatárolja, hogy a mértékegységet mlye megbízhatósággal határoztuk meg. A geodézába elsősorba a hosszak (távolságok), a
Mértékegységek 5 szögek és a területek meghatározására va szükség. Az alábbakba ezek mértékegységet foglaljuk össze. A hosszmérés mértékegysége az SI redszerbe a méter, jelölése m. Kötelező haszálatát hazákba 876-ba redelték el. A méter hosszáak megállapításakor abból dultak k, hogy az a Föld egy délköre (merdája) egyedéek, az ú. merdákvadrásak 0000000-od része legye. A merdákvadrás meghatározása céljából az 790-be Párzsba megalakult Méterbzottság, ú. fokmérések segítségével vezette le a méter hosszát. A levezetett hosszat platarúdo jelölték meg. Az 870-be Párzsba összeült emzetköz bzottság e hosszat tektette és fogadtatta el általáosa emzetköz méterek. A méter egységéek megőrzésére a bzottság plata-rídum másolatokat készítetett és azokat a bzottság tagjaak megküldte. E példáyok lettek az egyes országokba a hosszmérés etaloja. Magyarországak a sorsolás alapjá a 4. sz. méteretalo jutott. Az ebbe a formába defált méter em természetes mértékegység. A méter változatla hosszát később az elektromágeses eergák sugárzás hullámhosszúságaak mérésével bztosították. A méter eek megfelelő defícója az alább: A hosszmérés mértékegysége a 86-os tömegszámú krptoatom p 0 és 5 d 5 eergasztje között átmeetek megfelelő sugárzás vákuumba való hullámhosszúságáak 650763,73-szorosa. A méterredszer bevezetése előtt a hazákba alkalmazott mértékegység a bécs ölredszere alapuló öl (a széttárt karok ujjvége között távolság) volt. A bécs öl továbbosztása a 6-os redszerbe törték: öl = 6 láb láb = hüvelyk hüvelyk = voal. A magyarország kataszter felmérésbe az öl tört részet em hüvelykkel és voallal, haem az öl tízes aláosztásával fejezték k. A bécs ölredszer és a méterredszer között átszámítás az alább összefüggések alapjá törték: öl =,8964838 m m = 0,5796 öl. A terület mértékegysége a égyzetméter ( m ) smert 00-as többszöröset és törtrészet haszálják. A leggyakorbbak: ha (hektár) = 0 4 m km = 0 6 m. A bécs ölredszer haszálatos területmértéke: égyszögöl = öl kataszter hold = 600 öl égyzetmérföld = 4000 öl * 4000 öl = 0000 kataszter hold, a földterületek kfejezésére eek A két terület redszer között átszámítás összefüggése: öl = 3,596650 m A fokmérés sorá a merdáív egy szakaszát, valamt az ív két végpotjáak földrajz szélességét határozták meg felsőredű mérésekkel. A szakasz s hosszából és a két szélesség ( Φ,Φ ) fokértékbe adott Φ külöbségéből - a Föld alakját ellpszodak feltételezve - határozták meg a merdáív hosszát.
6 Mértékegységek m = 0,780364 öl kataszter hold = 5754, 64 m ha =,73778 kataszter hold. A szögmérés mértékegysége az SI redszerbe természetes mértékegység. Ez az aaltkus szögegység, a radás. Egy radás az a szögérték, amelyél az s ívhossz és az r sugár egyelő, tehát γ =, ha s = r. A radással kfejezett bármely szöget, azaz a szöghöz tartozó körív és a sugár r s háyadosát radáak evezzük. A teljes körek megfelelő szög s r π aaltkus mérőszáma = = π radá. r r A geodéza szögmérőműszerek fokredszerű beosztásúak. A geodéza szögmérőműszerekbe kétfajta fokredszer, a hatvaas (sexagezmáls) és a százas (cetezmáls) haszálatos. A hatvaas redszer aláosztása: 0 teljes kör = 360 0 = 60 = 60. A hatvaas redszerbe a szöget a következő két alakba írhatjuk fel: 63 o 4 5, vagy 63-4 -5. A százas redszer aláosztása: teljes kör = 400 g (grádus, vagy újfok) g c = 00 c cc = 60. A szög felírása ebbe a redszerbe s kétféleképpe lehetséges: g c cc 5 8 89 = 5,889. Magyarországo a hatvaas redszerű szögmérőműszerek terjedtek el. Az aaltkus szögegységről a fokredszerre, vagy fordítva törtéő áttéréskor smerük kell az aaltkus szögegység értékét a fokredszerbe. A geodézába a radás o értékét a hatvaas fokosztásba ρ - kel, percbe ρ -cel, másodpercbe ρ -cel, a százas g fokosztásba ρ - kel, cetezmáls percbe ρ c -vel, cetezmáls másodpercbe ρ cc -vel jelöljük, aszert, hogy fokokat, perceket, vagy másodperceket kell átszámítauk. A ρ o, ρ és a ρ értéket az alább aráyosságokból számíthatjuk: o ρ ρ : ρ : : 360 o o = : π ρ = 57,9578 o ( 360 60 ) = : π ρ = 3437,747 o ( 360 60 60 ) = : π ρ = 0664,8. o (..)
A Föld alakja 7.3. A Föld alakja.3.. A ehézség erőtér és a sztfelületek A Föld fzka felszíe szabálytala dom. Ezért e helyett szabályos, matematkalag leírható és a Föld fzka alakját a lehető legjobba megközelítő felületet kell választauk. Mt a bevezetésbe már ktértük rá, ezt a felületet olya testkét képzelhetjük el, amely metes a fzka földfelszí redkívül változatosságától, a ksebb-agyobb kemelkedésektől vagy bemélyedésektől és a Föld egészére érvéyes tulajdoságokkal bír. Nyugalomba lévő agy vízfelületek, tavak, tegerek szemlélésekor ez az elképzelésük valósággá válk. Tektettel arra, hogy az óceáok és a tegerek felszíe a Földfelszí közel 4/5-e, természetes, hogy ez a felület a yugalomba lévő tegerszt felülete, amelyet godolatba meghosszabbítuk a fzka földfelszí, a szárazföldek alatt úgy, hogy az a Föld egészére kterjedő, folyamatos felületet alkosso. Ezt a felületet (.3.. ábra) Lstg émet fzkus 873-ba geodak evezte el. Fzka földfelszí A yugalomba lévő tegerek felszíét a ehézség erő alakítja. A ehézség erő az az erő, amely mde testet a Földhöz voz. A óceá ehézség erő a szabado eső testre ható geod ehézség gyorsulással mérhető..3.. ábra: A földfelszí és a geod Az egységy tömegre ható ehézség erő számértékbe megegyezk a ehézség gyorsulással, ezért e két fogalom között általába em teszek külöbséget. Az SI redszerbe a ehézség erő egysége az erőegység, N (Newto), átlagos értéke pedg : kg m = 9,8 N = 9,8 0 gal kg s g. Feltételezve, hogy a Földük felszíe közelébe a kozmkus sugárzásból, lletve a Nap, a Hold, a bolygók tömegvozásából adódó erőhatások elhayagolhatók, a yugalomba lévő testre ható ehézség erőt két erő eredőjekét határozhatjuk meg (.3.. ábra): A ehézség gyorsulás egysége a gal: - m gal = 0. s É.3.. ábra: A ehézség erő - A Föld Newto-féle tömegvozása (f), - A Föld tegely körül forgásából származó cetrfugáls erő (k), amelyek ráya mde potba merőleges a Föld forgástegelyére: C g = f + k (.3.) A cetrfugáls erő agysága az egyelítőtől a sarkok felé csökke, am a tömegvozás erővel elletétes ráyú hatás és a Föld lapultsága következtébe - azt jelet, hogy a ehézség erő értéke az egyelítőtől a sarkok felé ő. f g P k
8 A ehézség erőtér és a sztfelületek Mt mde erő, a ehézség erő s vektormeység. A ehézség erőtér, tetszőleges más erőtérhez hasolóa megadható erővoalaval, azaz az erőtér mde potjába smer kell a ehézség erővektor ráyát és agyságát. A ehézség erőtér kezelése egyszerűbbé válk, ha bevezetjük a potecál, mt skalárs meység fogalmát. A g ehézség erő potecáljá olya W skalár meységet értük, amelyek egy r elmozdulás vektor szert első derváltja a ehézség erő vektora: Az (.3.) alapjá az elem potecál: dw g =. (.3.) dr dw = g dr. (.3.3) Az (.3.3) kfejezés két vektor skalárs szorzata. A skalárs szorzat smert meghatározása szert: dw ( g,d r ) = g dr cos( g,d ) = g dr = g d r cos r, (.3.4) r ahol g = g a ehézség erő vektor, d r = dr az elmozdulás vektor abszolút értéke, g = g cos( g, dr) a g erővektor elmozdulás ráyú kompoese, ( g dr) r vektor által közbezárt szöget jelöljük. A ( g, dr) szög értékére válasszuk két szélső esetet: o o. ( g, dr) = 90 és. (, dr) = 0 g. o Az. ( g, dr) = 90 esetbe cos (,dr) = 0, - rel pedg a két g, s így d W = g dr = 0. Feltételezve, hogy g értéke álladó, a potecált az alább összefüggés szolgáltatja: W = d W = g dr = g r = cost. (.3.5) -g g W=cost..3.3. ábra: A ehézségerő-vektor ráya merőleges a sztfelületre Az (.3.5) összefüggés az azoos potecálú potok mérta helyét fejez k, azaz egy olya felületet, amelyek mde potjába a dr elmozdulás vektor ráya merőleges a ehézség erő vektoráak ráyára. A ehézség erő ráya az adott potba mdg merőleges erre a felületre (.3.3. ábra). E felület eve sztfelület, vagy egyelő potecálú, ekvpotecáls felület. Ugyacsak eze összefüggés szert a W potecál, mt erőek és útak a szorzata, muka jellegű meység. Eszert, ha a W = cost. potecálú felülete egy tömeget mozgatuk, em végzük mukát a ehézség erő elleébe.
A magasság és a magasságkülöbség 9 A W = cost. potecálértékek egy sztfelület-sereget határozak meg. A geod egy ktütetett sztfelület, a közepes tegerszt megválasztásától függőe országokét változk..3.. A magasság és a magasságkülöbség o A. ( ) vagys cos ( g,dr) = g, dr = 0 esetbe a dr elmozdulás-vektor ráya azoos a g vektor ráyával,, ahoa az (.3.4) képletből következk, hogy dw = g dr. (.3.6) Képezzük most az (.3.6) határozott tegrálját a W 0 potecál értékű geod és egy tetszőleges W P potecálú sztfelület között (.3.4. ábra). P 0 d W = P 0 g dr = g P 0 dr, és P W p W0 = g rp r0 ) ( = g m. (.3.7) P függővoal Az rp r0 = mp érték a P sztfelülete bárhol lévő P potak a geod, vagy a tegerszt felett abszolút magassága. Az m P előtt egatív előjel arra utal, hogy míg a ehézség erő a Föld belseje felé mutat, addg a magasságot fordítva, a középtegerszttől felfelé értelmezzük poztívak. 0 geod.3.4. ábra: A tegerszt felett magasság a függővoal meté értelmezett távolság Az (.3.7) összefüggés levezetésekor feltételeztük, hogy a két sztfelület között a ehézség erő sem agyságát, sem ráyát em változtatja. Mvel ez valójába cs így, a magasságot szgorú értelembe véve em egyees, haem egy ú. kettős csavarodású térbel görbe voal, a függővoal meté kell értelmezük. Köye belátható, hogy a függővoal tetszőleges potjába húzott értő megadja ehézség erő ráyát. Tektsük a továbbakba két szomszédos sztfelületet! Mvel mdkét sztfelület mde potjához ugyaazo potecál tartozk, ylvávaló, hogy a két sztfelület között W potecálkülöbség álladó, azaz a P-vel és Q-val jelzett tetszőleges sztfelületre az (.3.7) összefüggés szert Q P ( W W ) ( W W ) W = W W =. (.3.8) Q A sztfelületek közt távolságot jelöljük m = m Q mp -vel, ekkor az (.3.5. ábra) alapjá: W = g m. (.3.9) A m = m Q mp érték két tetszőleges sztfelületek vagy a P, vagy a Q poto átmeő függőleges meté vett távolsága. Közel P és Q potok eseté a két érték eltérése elhayagolható. A m érték ekkor a külöböző sztfelületeke lévő P és Q potok magasságkülöbsége (relatív magassága). Hagyomáyosa mdg két pot között magasságkülöbséget mérük. 0 P 0 g
0 A magasság és a magasságkülöbség W Q W P W 0 m Q m m P Q sztfelülete P sztfelülete geod.3.5. ábra: A magasságkülöbség értelmezése Ha smerjük az egyk sztfelülete (pld. P) lévő pot abszolút magasságát, akkor a másk (pld. Q) sztfelülete lévő pot abszolút magassága m Q = m P + m. (.3.0) Mvel a ehézség erő értéke az egyelítőtől a sarkok felé ő, azaz g >, vszot W álladó, ez csak úgy pol. g ekv. képzelhető el, hogy a két sztfelület között m távolságokra mekv. > mpol. áll fe, azaz a sztfelületek em párhuzamosak egymással, haem a sarkok felé összehajlaak (.3.6. ábra), ugyas W = g mekv = g m. ekv.. pol. pol. g pol. m pol. W P W Q Egyelítő m ekv. g ekv..3.6. ábra: A sztfelületek a sarkok felé összehajlaak m m A geodo g ekv. 9,78, g pol. 9,83. Ha a m agysága az Egyelítő pld. 00 s s m, úgy 9,78 00 m m pol. = 99,5 m, 9,83 azaz mtegy 0,5 m-rel ksebb. Alsó-geodéza mérésekbe a sztfelületek em párhuzamos voltától éppúgy, mt a függővoal görbeségétől általába eltekthetük. Írjuk fel végül az (.3.6) összefüggést dw d r = (.3.) g alakba. A g értéke véges meység, dw értéke pedg em zérus, tehát dr semmlye körülméyek között em lehet zérus. Ez azt jelet, hogy a sztfelületek soha em metszhetk egymást. Tetszőleges P földfelszí pot helyzetét egy, a Földhöz kapcsolt koordátaredszerbe az m abszolút magasságával, aφ sztfelület földrajz szélességével és a Λ sztfelület földrajz hosszúságával adják meg (.3.7. ábra).
A geodot helyettesítő felületek A Föld forgástegelye függővoal sztfelület ormáls W 0 W P P' P ( Φ, Λ, m ) m a P pot sztfelülete geod C' Λ Φ Egyelítő síkja.3.7. ábra: Földfelszí pot sztfelület koordátá.3.3. A geodot helyettesítő felületek Bár a geodéza célú mesterséges holdak segítségével kapott eredméyek brtokába sok új formácót yertük Földük felszíéek és belsejéek tömegeloszlásáról, a geod felülete egyszerű matematka eszközökkel em írható le, így em alkalmas arra, hogy rá, mt alapfelületre támaszkodva, rajta egyszerű módo geodéza méréseket értelmezzük, számításokat végezzük és egy ország térképredszerét létrehozzuk. Ezért olya helyettesítő felületeket választuk, amelyek vszoylag egyszerűek, zárt alakba leírhatók, s az adott ország köryezetébe a lehető legjobba smulak a geodhoz. Ilye felületek a föld ellpszod és a földgömb. kotes geod ( föld ellpszod.3.8. ábra: A föld ellpszod elhelyezkedése A föld ellpszod ú. forgás ellpszod, ksebb-agyobb mértékbe eltér a geodtól. Kotesekél általába a geod alatt, a tegerekél pedg a geod felett halad (.3.8. ábra). Ha a forgás ellpszodot a forgástegelyé áthaladó síkkal elmetsszük, az ú. merdáellpszshez jutuk. A forgás ellpszodot fél agytegelyével, a - val és fél kstegelyével, b - vel adják meg. A féltegelyekből származtatott éháy fotosabb segédmeység:
A geodot helyettesítő felületek a b Lapultság: α = ; a (.3.) Első umerkus excetrctás: e = a b ; a (.3.3) Másodk umerkus excetrctás: e = a - b ; b (.3.4) Az ellpszod harátgörbület sugara: R N = a. -e s Φ (.3.5) Tetszőleges P földfelszí pot helyzetét egy, az ellpszodhoz kapcsolt koordátaredszerbe a H ellpszod felett magasságával, a Φ ellpszod földrajz szélességével és a Λ ellpszod földrajz hosszúságával adják meg (.3.9. ábra). Z θ ellpszod ormáls sztfelület ormáls P ( Φ, Λ, H ) H Greewch- ellpszod merdá b A P pot ellpszod merdája C Λ Φ a Y X (Greewch) Ellpszod egyelítő síkja.3.9. ábra: Pot helyzete az ellpszodo A geod és a föld ellpszod eltéréset az alább fogalmakkal rögzítjük: Függővoalelhajlás (a sztfelület és az ellpszod ormáls által bezárt szög): Geodudulácó: Θ = ( Φ - Φ ) + ( Λ - Λ ) cos Φ. (.3.6) N = H m. (.3.7) A függővoal-elhajlás a gyakorlat esetek többségébe elhayagolható, a függővoalak ekkor az ellpszod ormálsa. Ha a GPS mérésekből tegerszt felett magasságot akaruk meghatároz, a geodudulácó értékét s smerük kell. Néháy evezetes, Magyarországo s haszálatos föld ellpszod paraméteret az.. táblázatba foglaljuk össze.
A geodot helyettesítő felületek 3 Az ellpszod Közléséek a (m) b (m) α eve éve Bessel 84 6377397,55 6356078,963 :99,53 Kraszovszkj 940 637845 6356863,09 :98,3 IUGG/967 967 637860 6356774,56 :98,47 WGS84 984 637837 635675,34 :98,57.. táblázat: Magyarországo s haszálatos ellpszodok mérete Magyarországo a polgár célú geodéza mukákál és térképekél a Bessel-féle ellpszodot haszálták, 975-től, az Egységes Országos Térképredszerre törtéő áttéréskor a Nemzetköz Geodéza és Geofzka Uó által 967-be elfogadott IUGG/967 ellpszodot vezették be. A GPS mérések eredméye a WGS84 ellpszodra voatkozak. A volt szocalsta országok, így Magyarország s, a Varsó Szerződés kereté belül katoa térképeket a Kraszovszkj-féle ellpszodra voatkoztatták. Ksebb (éháy száz km sugarú) terület eseté a geod gömbbel s helyettesíthető. Az egyetle meghatározó paraméter a gömb R sugara. A geodot gömbbel helyettesítjük külöböző redukcók számításakor (pld.... ábra), ll. az ellpszodról a síkra törtéő áttéréskor, a vetületek tárgyalásaál. Utóbb esetbe a Gauss-gömb elevezést fogjuk haszál.
4 A Föld felszíétől a térkép síkjág. A Föld felszíétől a térkép síkjág.. Mérés eredméyek Mt láttuk, a geodéza célja a föld helymeghatározás, vagys a föld potok helyéek meghatározása valamlye koordátaredszerbe, s azokak a későbbekbe térképe törtéő ábrázolása. E célból a Földö (a felszíe, a felszí alatt, ll. felett) geodéza méréseket végzük. A geodéza mérésekhez tartozóak tektjük a levegőből repülőgépekről, ll. a műholdakról készült felvételeke végzett méréseket és kértékeléseket s. A geodéza méréseket a mérések eredméyevel dokumetáljuk. Az eredméyek rögzítése törtéhet aalóg (mérés jegyzőköyv), vagy dgtáls (adatrögzítő) formába, ll. (aalóg, vagy dgtáls) féyképe. A geodéza mérések eredméye külöböző dmezójúak. A hagyomáyos (a műholdakat em haszáló) geodéza mukába a mérések eredméye szög, ll. távolságértékek. A szögek elhelyezkedhetek a vízsztes, ll. a függőleges síkba, evük eek megfelelőe vízsztes, ll. magasság (vagy zet) szög (... ábra). A távolságok elhelyezkedhetek vízsztes, ferde és függőleges síkba, evük ezért vízsztes távolság, ferde távolság, valamt magasság, ll. magasságkülöbség. A vízsztes távolságok lehetek sík derékszögű koordáták, ll. koordátakülöbségek s. O(álláspot) η ζ (hely függőleges) Z α ξ d f d v β P m P' η ξ (kezdőráy)... ábra: Mérés eredméyek a hagyomáyos geodéza mukába A... ábrá a föld mérés eredméyeket foglaljuk össze a geodéza műszerek koordáta redszerébe (műszer-, vagy hely koordátaredszer). A... ábra jelölése: β - vízsztes szög, d v - vízsztes távolság, d f - ferde távolság, α - magasság szög, Z - zetszög, m - magasságkülöbség. A kezdőráytól függőe a β vízsztes szögek külöböző elevezéseket adhatuk, a leggyakorbb esetbe a kezdőráy a szögmérő műszer (teodolt) 0 osztása, lyekor az ráyérték elevezést fogjuk haszál. A magasság és a zetszög egymást 90 o -ra egészítk k. A η, ξ, ζ hely (álláspot, műszer-) koordáták em közvetleül mért, haem levezetett értékek. A GPS (Globáls Helymeghatározó Redszer) vevőkkel egy földfelszí álláspotba kapott mérés eredméyek távolságok (4... fejezet). Az álláspotak X, Y, Z térbel derékszögű koordátá a mérés eredméyekből levezetett értékek a WGS84 ellpszod derékszögű koordáta redszerébe (...a. ábra). E koordátaredszer XZ síkja átmegy a greewch- ellpszod kezdőmerdáo. A WGS84 ellpszodo értelmezett koordáták (...b. ábra) a derékszögű koordátákkal szgorú függvéykapcsolatba lévő Φ ellpszod
Mérés eredméyek 5 földrajz szélesség és a Λ ellpszod földrajz hosszúság, ll. a H ellpszod magasság (.3.9. ábra). ω Z (az ellpszod forgástegelye) ω Z - ellpszod ormáls P P H b r Z Greewch- ellpszod merdá b P' A P pot ellpszod merdája C Y a X Y C Λ Φ a Y Ellpszod egyelítő síkja Ellpszod egyelítő síkja X (Greewch) X (Greewch) a) b)... ábra: GPS mérésekből levezetett eredméyek Az ellpszod térbel derékszögű koordáták és az ellpszod földrajz koordáták között zárt összefüggéseket a 4..4.. fejezetbe smertetjük ((4..) és (4..3) képletek). A GPS vevők mdkét típusú koordátahármast opcoálsa szolgáltatják. A Földö (a felszíe, a felszí alatt, ll. felett) végzett és matematkalag feldolgozott geodéza méréseket részbe a dokumetálás, részbe a később redkívül sokrétű felhaszálás céljából térképe ábrázoljuk. A térkép a három dmezós teret a síkba ábrázolja, vagys síkbel alkotás. Sem a... ábra koordátaredszerébe szereplő hagyomáyos geodéza mérés eredméyek, sem a... ábra koordátaredszerebe regsztráló GPS vevők mérés eredméye em alkalmasak arra, hogy azokat változtatás élkül a térképeke ábrázolhassuk. Md a klasszkus geodéza, md a GPS vevők mérés eredméyet úgy kell átalakítauk, hogy azok egy erre a célra kdolgozott külöleges sík, derékszögű koordátaredszerbe legyeek lleszthetők úgy, hogy eközbe a mérés eredméyek a lehető legksebb mértékbe módosuljaak, torzuljaak. A térkép ábrázolás megköyítése végett a földfelszí potok térbe elfoglalt helyét a mérés eredméyek mlyeségétől függetleül - két részre botjuk: természetes szemléletmódukak megfelelőe az ábrázoladó potokat - vízsztes és - függőleges (magasság) helyzetükkel adjuk meg (..3. ábra). A fzka földfelszí potjat először a vízsztes felületre (a geodra) vetítjük, egy vetítés voal, a függővoal meté. Az.3.. potba a pot vízsztes helyzetét két adattal, a pot Φ sztfelület földrajz szélességével és Λ sztfelület földrajz hosszúságával, a függőleges helyzetét egy adattal (a geod, vagy tegerszt felett magassággal) jellemeztük. A vízsztesbe lévő P potok összessége adja a földfelszí síkrajzát, a P P szakaszok összessége a földfelszí magasság helyzetét jellemző domborzatrajzát.
P e, P e, P e,3 6 Mérés eredméyek P P függővoal A Föld fzka felszíe P P 3 P P Vízsztes felület (geod) 3 Magasság helyzet Hagyomáyos mérések GPS a b voatkozás ellpszod +x P(y,x) Vetület sík K +y Vízsztes helyzet..3. ábra: A föld potok helyzetéek megadása A klasszkus geodéza mérések, mérőműszerek természete olya, hogy a vízsztesbe lévő P potok helyzetéek és a függőlegesbe lévő P P görbe voalú szakaszok hosszáak meghatározása két részre választható szét és mdkét rész külö kezelhető. Hagyomáyosa a geodéza mérés eredméyet egy háromlépcsős folyamat első két lépcsőjekét előbb a vízsztes felületre (középtegerszt, vagy geod), majd a forgás ellpszodra kell átszámítauk. A globáls helymeghatározás (GPS) földfelszíe végzett méréseből egy lépcsőbe az ellpszodo értelmezett ellpszod koordátákat kapuk (... ábra), tehát ott erre az átszámításra cs szükség. Ha a föld ellpszodo Φ földrajz szélességével és Λ földrajz hosszúságával megaduk egy kezdőpotot, megadjuk a függővoalelhajlás kompoeset, valamt a magasság eltérést ebbe a potba (a geodudulácót, (.3.7) képlet), akkor a geodhoz rögzített hely voatkozás, vagy refereca ellpszodhoz jutuk, amelyre méréseket és térképeket a továbbakba voatkoztatjuk. A voatkozás redszerek országokét külöbözőek, de még ugyaazo országo így Magyarországo - belül s a külöböző dőszakokba változtak. A voatkozás redszer elevezés helyett - külööse külföldö - haszálják a geodéza dátum elevezést s.
Geodéza vetületek 7.. Geodéza vetületek A földfelszí potok vízsztes helyzetét egy térkép koordátaredszer síkjába adjuk meg. Ez a koordátaredszer a voatkozás ellpszodo lévő potok vetítése útjá jö létre, ezért vetület koordátaredszerek evezzük. Elegedőe ks területe - az alsógeodéza mérések sorá - a mérés eredméyeket köye számítható redukcók fgyelembevételével közvetleül a vetület koordátaredszerbe értelmezzük. A K pot a vetület koordátaredszer kezdőpotja, a tetszőleges P pot koordátá y és x. Mt a..3. ábrá, a megszokott matematka koordátaredszerrel szembe tt s az y tegelyt az x tegelytől az óramutató járásáak megfelelő 90 0 -os elforgatással yerjük. A voatkozás ellpszodot alapfelületek, a vetület koordátaredszer síkját képfelületek, vagy vetületek s evezzük. A vetület lehet sík, vagy síkba fejthető felület: heger, vagy kúp. Az alapfelületről a képfelületre vetítés a vetület egyeletek segítségével törték. Utóbbak az y és x vetület koordátákat fejezk k az ellpszod földrajz Φ szélesség és a Λ ellpszod földrajz hosszúság (.3.9. és... ábra) függvéyébe. Szmbolkus jelöléssel: y = x = f y x ( Φ, Λ), f ( Φ, Λ). (..a) Fordítva, kfejezhetjük a koordáták függvéyébe: Φ és Λ ellpszod földrajz koordátákat a vetület Φ = f Λ = f Φ Λ ( y, x), ( y, x). (..b) Utóbbak az ú. verz vetület egyeletek. A fetek szert tehát a térkép és a vetület koordátaredszere ugyaaz. Ebből következk, hogy a térkép méretaráy a térképe és a vetületbe megfelelő távolságok alább háyadosa: térkép hossz M = térkép méretaráy =. (..) vetület hossz Az ellpszod, mt térbel görbe felület torzulások élkül em vetíthető, ll. fejthető síkba. A térképalkotás sorá arra kell törekedük, hogy a síkrajzot alkotó objektumokat lehetőleg valód alakjukba, vagy ahhoz mél közelebb mutassuk be. Mél agyobb a térképe (a vetületbe) ábrázol kívát földfelszí, aál agyobb torzulásokat szevedek az objektumokat jellemző hosszak, szögek, ll. területek. Mél ksebb az ábrázol kívát földfelület, aál ksebbek a torzulások, míg végül eljutuk egy akkora felülethez, amelyek vetület ábrázolásakor a torzulások mértéke már elhayagolható. E felület agysága a térkép ábrázolás élességétől függ (... ábra), s ematt relatív. A torzulások matt a vetületbe az alapfelület domok szöge, hossza és területe s torzulak. A torzulások szempotjából megkülöböztetjük az alább vetületeket: - szögtartó (koform) az alap- és képfelület szögek megegyezek, - területtartó (ekvvales) az alap- és képfelület területek megegyezek, - általáos torzulású md a képfelület szögek, md a területek torzulak a megfelelő alapfelület elemhez képest.
8 Geodéza vetületek Olya vetület, amely mde hosszat helyese tuda rögzíte, vagys hossztartó (ekvdsztás) vetület cs, vszot vetületekét változóa - létezk hossz-, vagy távolságtartó pot, ll. voal. E pot köryezetébe a hosszak kevéssé, a hossztartó voal meté egyáltalá em torzulak. A pot a vetület kezdőpotja, a voal pedg a vetület valamelyk koordátategelye. A vetület egyk legfotosabb sajátossága a hossztorzulás mértéke. A hossztorzulás mértékét a hossztorzulás téyezővel fejezzük k: Írjuk fel a..3. összefüggést a d képfelület hossz h = =. (..3) s alapfelület hossz d h = = h0 + U (..4) s alakba. A (..4) képletbe h 0 egy előre megválasztott kostas érték, a redukálás mértéke, az U érték pedg a hossztorzulás. A h 0 értéke általába (cs redukálás), ekkor értő, a h 0 < esetbe pedg metsző, vagy süllyesztett vetületről beszélük. Utóbbra példát a..3.3. és a..3.5. potokba látuk. A kép- és alapfelület hosszak külöbségét hosszredukcóak evezzük és a következőképpe defáljuk: s = d s = képfelület hossz alapfelület hossz. (..5) A továbbakba a (..4) összefüggésből ( h U ) A (..6) fgyelembe vételével a h 0 = eseté: d = s 0 +. (..6) ( + U ) s = s + s U s = U s s = d s = s, (..7a) A h 0 <, azaz süllyesztett vetület eseté: ( h + U ) s = s h ) s = d s = s +. (..7b) 0 ( 0 U A hosszredukcóval redukált távolság a h 0 = eseté: d = s + s = s + U s. (..8a) Végül, a hosszredukcóval redukált távolság a h 0 < eseté: d = s + s = s + s( h 0 + U ). (..8b) A földmérés és topográfa alaptérképek agy méretaráya (5.. fejezet) matt még a ksebb országok, mt pl. Magyarország, esetébe s kezelhetetle agyságú térképlapokat kapák. Ematt a geodéza felmérés eredméyet több, egymáshoz csatlakozó térképlapo,
Vetület koordátaredszerek 9 más éve szelvéye, vagy szelvéylapo ábrázoljuk. Abból a célból, hogy a vetület koordátaredszerbe a szelvéyek összefüggését bztosítsuk, azokat egy szelvéyhálózatba helyezzük el úgy, hogy a csatlakozó hálózat voalak meté az ábrázolás az egyes szelvéylapoko átfedés és hézagmetes legye. Az egyes szelvéylapokat számozzák, egymástól való elkülöítésük, haszálatuk, kkeresésük megköyítése, lletve egyáltalá, lehetővé tétele matt. Az egyes térképlapoko a köyebb elgazodás érdekébe a ktütetett koordátájú voalakat s feltütetk (koordáta-hálózat). Ezek a más éve szelvéyhálózat voalak a vetület típusától függőe vagy párhuzamosak, vagy összetartaak.... Vetület koordátaredszerek A továbbakba a koordátákat y, x sorredbe haszáljuk majd. A vetület koordátaredszerek x tegelye a vetület K kezdőpotjá áthaladó alapfelület merdá képe, az y tegely erre merőleges. Az x tegely poztív ága (a +x tegely ) a régebb vetületekél dél, az újabbakál észak felé mutat. Dél felé mutató +x tegely mellett délyugat tájékozású, észak felé mutató +x tegely mellett északkelet tájékozású vetület koordátaredszerről beszélük (a +y tegely yugat, ll. kelet felé mutat). A vetület koordátaredszerbe a pot helyét y és x derékszögű koordátával adjuk meg. A..a). ábrá délyugat, a..b). ábrá északkelet tájékozású koordátaredszer látható. +x É f É t É f É t +y P K µ P A PQ Q µ Q δ QP A QP A QP δ PQ A PQ δ QP Q µ P µ Q a) K δ PQ P +y b) D f D t D f D t +x... ábra: Vetület koordátaredszerek Az x tegely kvételével az összes alapfelület merdá képe az x tegely észak ága felé hajló görbe voal. Az alapfelület merdá képéhez egy adott potba (ábráko P és Q) húzott értőt földrajz délek (D f ), ll. földrajz északak (É f ), az x tegellyel párhuzamos egyeeseket térkép délek (D t ), ll. térkép északak (É t ) evezzük, attól függőe, hogy délyugat, vagy északkelet koordátaredszerbe vagyuk. A két ráy által bezárt szöget vetület merdákovergecáak evezzük és µ-vel jelöljük. A vetület koordátaredszerbe az y tegely meté az x tegely felé haladva, a µ vetület merdákovergeca értéke csökke. A..a). ábrá vázolt helyzetbe a merdákovergecát egatívak, a..b). ábrá vázolt helyzetbe pedg poztívak tektjük, vagys, dél-yugat tájékozású vetület koordátaredszerbe a merdákovergeca előjele elletétes az y koordáta előjelével, észak-kelet tájékozású vetület koordátaredszerbe vszot megegyezk.
0 A geodéza főfeladata a vetület koordátaredszerbe A földrajz déltől, lletve a földrajz északtól az óramutató járásáak megfelelő ráyba a PQ, ll. a QP ráyal bezárt szöget földrajz azmutak evezzük és a továbbakba A-val jelöljük. Szögtartó vetületekél ez a szög megegyezk az alapfelület megfelelőjével. A... ábrából láthatóa a földrajz azmut (A), az ráyszög (δ) és a vetület merdákovergeca (µ) között az alább összefüggés érvéyes: δ = A. (..9a) PQ PQ µ P A (..9a) összefüggés alapjá adódk a vetület merdákovergeca meghatározásáak egy kézefekvő módja: ha a vetület koordátaredszerbe adott két pot a vetület koordátával, akkor számítható a δ ráyszög (... fejezet, (..a) képlet). Ha smerjük, vagy mérjük a földrajz azmutot, úgy a vetület merdákovergeca értéke a (..9a) képlet alapjá µ = A δ. (..9b) A δ PQ 0 QP = δ PQ ± 80 - ra gaz, hogy P PQ 0 < 360 PQ 0 0 < δ PQ. A..3. ábrából az s látszk, hogy 0 0 δ, attól függőe, hogy δ PQ 80, vagy δ PQ 80. Az ráyszöggel 0 elletétbe, a földrajz azmutra általába A QP = APQ ± 80 em teljesül, hsze µ P µ Q. Az AQP -t az APQ -hoz képest elleazmutak s evezk.... A geodéza főfeladata a vetület koordátaredszerbe A geodéza két főfeladatát a... ábrá foglaljuk össze. + x y P x PQ y P P K y PQ δ PQ d PQ x P Q x Q δ QP + y Első geodéza főfeladat: Egy vetület koordátaredszerbe adott pot derékszögű koordátából és egy másk pot felé meő egyees szakasz δ ráyszögéből és d hosszából meghatározzuk a másk pot vetület koordátát. Adottak: y P, x P a P pot vetület koordátá, δ PQ a P potról a Q potra mutató ráy ráyszöge, d PQ a P és Q potok távolsága a vetület koordátaredszerbe.... ábra: A geodéza főfeladata a Keressük: A Q pot y Q, x Q vetület koordátát. síko A... ábrá folyamatos voallal jelzett háromszögből ezért y PQ x PQ = d = d PQ PQ sδ PQ cosδ PQ, (..0a)
Magyarország vetületek és szelvéyhálózatok y x Q Q = y = x P P + d + d PQ PQ sδ cosδ PQ PQ. (..0b) Az első geodéza főfeladat egybe a polárs potmeghatározás elve s. Másodk geodéza főfeladat: Valamely vetület koordátaredszerbe adott két pot derékszögű koordátából meghatározzuk a két pot között egyees szakasz d hosszát (a két pot távolságát) és az egyees szakasz δ ráyszögét. Adottak: y P, x P, y Q, x Q a P és Q potok vetület koordátá, Keressük: δ PQ a P potról a Q potra mutató ráy ráyszögét, d PQ a P és Q potok távolságát a vetület koordátaredszerbe. Ugyacsak a fet háromszögből lletve δ d PQ PQ = = y x PQ PQ y d PQ PQ y = arcta x + x y = sδ PQ PQ PQ Q Q = y x vagy P P ( y y ) + ( x x ) Q d PQ P x = cosδ PQ PQ Q P, (..a). (..b) A δ QP re gaz, hogy y y 0 P Q δ QP = δ PQ ± 80 = arcta. (..) xp xq y= - x=+ 0 0 (+ x) Q IV IV. I. y=+ x=+ 70 0 (- y) 90 0 (+ y) Q III II. δ PQ y=+ y= - x= - x= - III. II. Q II 80 0 (- x)..3. ábra: Az ráyszög előjele Q I 0 0 Mvel 0 <δ PQ < 360, ezért cosδ PQ és sδ PQ, s így a (..0a) mdkét kfejezése előjeles meység, attól függőe, hogy az ráyszög melyk (I., II., III., IV.) szög egyedbe esk. A szög egyedek értelmezését és a koordátakülöbségek ( y, x PQ PQ ) előjelet a..3. ábrá szemléltetjük...3. Magyarország vetületek és szelvéyhálózatok Magyarország vetületek alatt a magyarország földmérés és topográfa térképekhez tartozó vetületeket értjük. A vetületek szögtartóak, és mdegykük létrehozásáál törekedtek arra, hogy az U hossztorzulás (..4) összefüggés szert mértéke az /0000 értéket e haladja meg. Ez a feltétel, természetese, korlátozza a vetületek terület kterjedését, s éppe
A magyarország sztereografkus vetület ematt, a vetületek többségéél em skerült teljese megvalósíta. A képfelületek vagy értk, vagy metszk az alapfelületet. Mt már említettük, az előbb esetbe értő, az utóbb esetbe süllyesztett, vagy metsző vetületekről beszélük. Az alábbakba először keletkezésük sorredjébe a kfejezette a magyarország sajátosságokat tükröző, a magyarország térképezés céljára létrehozott vetületeket, majd a emzetköz szte alkalmazott, de Magyarországo s adaptált vetületekre térük rá. Eek megfelelőe a vetületeket, ll. a hozzájuk tartozó szelvéyhálózatokat a következő sorredbe tektjük át: - Sztereografkus vetület - Ferdetegelyű hegervetületek - Egységes Országos Vetület - Gauss-Krüger vetület - UTM vetület. A sztereografkus és a ferdetegelyű hegervetületek a törtéelm Magyarország vetülete, kalakításukál az ország akkor területéből dultak k. Mdkettő voatkozás ellpszodja a Bessel-ellpszod (84). E két vetület, az Egységes Országos Vetülettel (EOV) együtt, ú. kettős vetítésű, am azt jelet, hogy a vetítést két lépésbe hajtják végre: az ellpszodról először egy, az ellpszodot helyettesítő gömbre, az ú. Gauss-gömbre vetíteek, s csak utáa a síkra, ll. hegerre, mt síkba fejthető felületre. Az egyes szelvéyhálózat voalak párhuzamosak. Az EOV voatkozás ellpszodja az IUGG/967 elevezésű ellpszod. A Gauss-Krüger, ll. az UTM vetületekél az ellpszodról közvetleül térek át egy ellpszod (ellpszs keresztmetszetű) hegerre, az egyes szelvéyhálózat (koordáta-) voalak em párhuzamosak, haem észak felé összetartaak. A Gauss-Krüger vetület voatkozás ellpszodja a Kraszovszkj-ellpszod (94). Az UTM vetületet a GPS mérésekél a WGS84 (984) voatkozás redszerbe értelmezk...3.. A magyarország sztereografkus vetület A magyarország sztereografkus vetület az első matematka értelembe szgorúa kdolgozott vetület, keletkezéséek dőpotja az 870-es évekre tehető. A vetület másodk lépcsőjét, a Gauss-gömbről egy vízsztes értő síkra törtéő vetítést a..4. ábrá mutatjuk be. A sztereografkus vetület képfelülete egy Gauss-gömb merdáo a vetület K kezdőpotjáak választott pothoz tartozó értősík. A törtéelm Magyarország területét három sztereografkus vetülettel fedték le:. A budapest redszer. Kezdőpotja a Gellérthegy evű felsőredű alappot.. A marosvásárhely redszer. Kezdőpotja a Kesztejhegy evű felsőredű alappot. 3. Az vac redszer. Kezdőpotja Ivac zárdatoroy. A sztereografkus vetület koordáták ma a budapest redszerbe értelmezettek.
A magyarország sztereografkus vetület 3 C +y É K O +x S Gömb egyelítő Kezdőpot gömb merdája D..4. ábra: A sztereografkus vetület Az x tegely a kezdőpoto áthaladó gömb merdá vetületbe egyeeskét jeletkező képe, poztív ága mdhárom redszerbe dél felé mutat, a vetület koordátaredszerek tehát délyugat tájékozásúak. Az y tegely a kezdőpotba a merdára merőleges gömb főkör vetületbe szté egyeeskét jeletkező képe. A vetítés a merdá K kezdőpotjával elletétes, az értő gömb körö lévő C potjából cetrálsa törték. A sztereografkus vetület értő, tehát h 0 =. A K vetület kezdőpotba hossztorzulás cs, a hossztorzulás ettől távolodva ő. Az egyelő hossztorzulású potok mérta helye a K pot körül kocetrkus körök. A sztereografkus vetület hossztorzulása a kezdőpottól 7 km-es sugárral húzott körö elér a megegedett /0000 értéket, vetületek elvleg e körö belül haszálható, bár a gyakorlatba agyobb területe alkalmazták. A vetület kezdőpotba U = 0, vagys hossztorzulás cs. A sztereografkus vetület szelvéyhálózata A budapest sztereografkus redszer szelvéyhálózata öl, lletve méter redszerű. Nevezk rég és új sztereografkus szelvéyhálózatak s. A délyugat tájékozású koordátaredszerbe az x tegellyel párhuzamosa helyezkedek el az oszlopok, az y tegellyel párhuzamosa a rétegek (..5. ábra). Az öl redszerű szelvéyhálózat beosztásáak alapja a égyzetmérföld (.. fejezet). Egy égyzetmérföld 0 szelvéyre oszlk, az egyes szelvéyek y tegellyel párhuzamos oldala 000 öl, x tegellyel párhuzamos oldala 800 öl. Egy, a..5. ábrá sötétítéssel jelölt 000 öl * 800 öl méretű szelvéy méretaráya :880. Ezt az ú. kataszter méretaráyt úgy választották meg, hogy a térképe ábrázolt hüvelyk ek kataszter hold felelje meg. Mvel hüvelyk = /7 öl és hold = 600 öl = 40 öl, s a kettő aráya adja a méretaráyt: öl: 40 öl 7 = : (7 40) = : 880. A..5.b) ábrá látható :880 méretaráyú 000 öl * 800 öl agyságú területet ábrázoló kataszter térkép méteres redszerbe kfejezett mérete: - az y tegellyel párhuzamosa: ( 000 öl : 880),89648 66 cm - az x tegellyel párhuzamosa: ( 800 öl : 880),89648 53 cm,, amely még vszoylag köye kteríthető, lletve haszálható papírlap méret.
4 A magyarország sztereografkus vetület II. I. I. II. 3. N.o. K.o. (yugat (kelet oszlop) oszlop) 000 öl 66 cm 3. K 4000 öl 800 öl 53 cm +y N.o.I.34.b.h. 33. 4000 öl M = :880 34. d c b e f g h a b) +x a)..5. ábra: A sztereografkus vetület öl redszerű szelvéyhálózata Az egyes kataszter szelvéyek számozását a..5. ábrá követhetjük végg. A budapest redszerbe a számozás a yugat oszlopba keletről yugat, a kelet oszlopba yugatról kelet felé az a, b, c, d betűkkel és mde egyedbe északról délre az e, f, g, h, betűkkel törték. A sötétítéssel jelölt szelvéy száma: N.o.I..34.b.h., vagys a szelvéy a yugat I. oszlop és 34. réteg találkozásáál lévő 4000 öl * 4000 öl méretű szelvéy b. oszlopába és h. sorába található. Megjegyezzük, hogy a rétegek számozását a törtéelm Magyarország felső, vac redszerétől, lletve aak észak szélétől kell érte. A méteres redszerbe a szelvéybeosztás az ú. szelvéycsoportoko alapszk (..6. ábra). Egy-egy, az oszlopok és rétegek határvoalaval kmetszett szelvéycsoport mérete 7 8000 m * 6000 m, területe 4,8 0 m = 4800 ha (hektár).. II. I. I. II. 600 m =80 cm e d c b a a b c d e. ÉNY ÉK K 8000 m 00m =60 cm +y DK.II..d.h.. 6000 m DNY DK M = :000. k h g f e d c b a a b c d e f g h k k h g f f g h k b) +x a)..6. ábra: A sztereografkus vetület méter redszerű szelvéyhálózata Az egyes szelvéycsoportok helyét az oszlopokba yugatra és keletre s róma, a rétegekbe arab számokkal jelöljük. A számozás mdkét esetbe a budapest redszer koordáta-tegelyetől kdulva övekszk. Egy-egy szelvéycsoport 5 db 600m * 00m :000 méretaráyú szelvéyből áll. Az egyes térképlapok cm-be kfejezett mérete: - az y tegellyel párhuzamosa: 600 m : 000 = 0,8 m = 80 cm, - az x tegellyel párhuzamosa: 00 m : 000 = 0,6 m = 60 cm.