11. előadás: Az ellipszoid vetületei 11. előadás: Az ellipszoid vetületei Vetítés ellipszoidról a gömbre A vetítés általáos szempotjai Ha forgási ellipszoiddal helyettesítjük a Földet, de a felszíét gömbö (földgömbö) kívájuk ábrázoli, akkor az ellipszoido elképzelt alakzatokat az ellipszoidról gömbre kell vetítei. Ugyacsak gömbre kell vetítei akkor is, amikor a Földet ellipszoiddal helyettesítjük, de a síko olya ábrázolási módot alkalmazuk, amelyek vetületi egyeletei a sík és a gömb között közvetíteek. Ilyekor először az ellipszoid felszíéről a gömb felszíére, majd arról a síkra vetítük. Az ellipszoidról a gömbre törtéő vetítések csak akkor va gyakorlati értelme, ha feltételek kikötjük, hogy az ellipszoid paralelköreiek a gömbö is paralelkörök, illetve meridiáok feleljeek meg, továbbá, hogy az ellipszoid paralelköreiek gömbi képé az ellipszoid meridiájaiak képe által határolt ívdarabok aráyosak legyeek a megfelelő ellipszoidi ívdarabokkal, vagyis a gömbö a meridiáképek a megfelelő meridiáok földrajzi hosszúságkülöbségével aráyos hosszúsági ívdarabokra osszák a paralelkörök képét. Tekitettel arra, hogy az ellipszoidról a gömbre törtéő vetítés sorá, mid az alapfelülete, mid pedig a képfelülete földrajzi koordiátákkal számoluk, az ellipszoidra és a gömbre voatkozó földrajzi koordiáták megkülöböztetése végett az ellipszoid földrajzi koordiátáit görög agybetűkkel ( Φ) ϕ = f. Azt a követelméyt pedig, hogy a gömbi paralelköröket a gömbi meridiáok ugyaolya aráyba osszák, mit a paralelköröket a megfelelő meridiáok az ellipszoido, a λ = Λ feltétellel fejezhetjük ki, amelybe az egy aráyszám és Λ = Λ Λ O, ahol Λ O a kezdőmeridiá ellipszoidi földrajzi hosszúsága. A földgömbö való ábrázoláshoz, és általába a gömbre törtéő földrajzi célú vetítéskor megköveteljük, hogy az ellipszoid egyelítőjéek a képfelületi gömbö is egyelítő felelje meg, vagyis Φ = 0 -hoz ϕ = 0 tartozzo. Megköveteljük továbbá azt is, hogy az ellipszoid teljes felületét ábrázolhassuk a gömbö, és eek megfelelőe a gömbi paralelkörök teljes képei legyeek az ellipszoid paralelköreiek. Ebbe az esetbe a λ = Λ -be kifejezett feltétel csak akkor teljesülhet, ha = 1. A geodéziai ábrázolás ettől eltérőe csak kisebb területre terjed ki, és ilyekor azt sem követeljük meg, hogy az ellipszoid egyelítőjéek képe a gömb egyelítője legye, sem 11-1
Óravázlat a Vetületta előadásaihoz pedig azt, hogy a gömbi paralelkörök az ellipszoid paralelköreiek egészét ábrázolják. A geodéziai ábrázolásba tehát sem a egyik feltételt sem kötjük ki. A továbbiakba csak a számukra fotosabb geodéziai célú vetítésekkel foglalkozuk részletese. Lieármodulusok a vetületi főiráyokba Mivel a fokhálózati voalak úgy az ellipszoido, mit a gömbö derékszögű voalredszert alkotak, a vetületi főiráyok: a meridiá és a paralelkör iráya. Az 1. ábra alapjá a meridiá iráyú lieármodulus: 1. ábra: Fokhálózati voalak elemi ívdarabjai ellipszoido és képük gömbö l m d t = d s m m R dϕ =, M dφ ahol R a gömb sugara, M pedig az ellipszoid meridiá iráyú görbületi sugara a vizsgált potba. A paralelkör iráyú lieármodulus pedig: l p d t = d s p p R cosϕ dλ =, N cos Φ dλ ahol N az ellipszoid harátgörbületi sugara a vizsgált potba. Mivel d λ = dλ a paralelkör iráyú lieármodulus képletéek végleges alakja: l p R cosϕ dλ =. N cos Φ dλ A paralelkörök az azoos torzulású voalak. A Gauss-féle ige kis hossztorzulású szögtartó gömbi vetület A vetületi egyeletek Ha a vetület szögtartó, akkor a meridiá és a paralelkör iráyú lieármodulusokak egymással egyelőek kell leiük: 11-
11. előadás: Az ellipszoid vetületei R dϕ R cosϕ =. M dφ N cos Φ Az egyeletet redezve: dϕ M dφ =. cosϕ N cos Φ tehát M N 1 ε 1 ε si =, Φ dϕ 1 ε = cosϕ 1 ε si Φ dφ. cos Φ A bal oldalt ϕ, a jobb oldalt Φ szerit itegrálva: ε ϕ 1 si l ta 45 l Φ ε Φ + = ta 45 + + l k, 1 + ε si Φ ahol k itegrálási álladó, ε pedig az ellipszoid első umerikus excetricitása. A umerusokra áttérve az ellipszoid szögtartó gömbi vetületéek a földrajzi szélességre voatkozó egyeletét kapjuk: ϕ Φ 1 ε si Φ ta 45 + = k ta 45 +. 1 + ε si Φ A földrajzi hosszúságra voatkozó vetületi egyelet pedig λ = Λ. A k-t és -et az ellipszoid és a gömb kölcsöös helyzetéből lehet meghatározi. A vetület követelméyei és álladóiak meghatározása A Gauss-féle ige kis hossztorzulású gömbi vetülettel szembe támasztott követelméyek a következők: 1. Már ismert feltétel: a vetület szögtartó legye.. Már szité ismert feltétel: az ellipszoid paralelköreiek és meridiájaiak képe a gömbö is paralelkör, illetve meridiá legye, és a gömbi paralelkörökek a meridiáokkal határolt ívdarabjai aráyosak legyeek az ellipszoid megfelelő paralelköreiek a megfelelő meridiáokkal határolt ívdarabjaival. 3. Valamely egyszer és midekorra megválasztott paralelkör, a ormálparalelkör torzulásmetes legye. 4. A lieármodulus bármely potba az egységtől legfeljebb csak harmadredű kis meyiséggel külöbözzö. (Ez azt jeleti, hogy a lieármodulus függvéyét a ormálparalelkörél sorbafejtve, a sor azo tagjai, amelyek az első, illetve a második differeciálháyadost tartalmazzák, zérusok legyeek. Ez pedig csak úgy lehetséges, ha maguk ezek a differeciálháyadosok is egyelő zérussal.) ε 11-3
Óravázlat a Vetületta előadásaihoz Az 1. és. követelméyt a vetületi egyeletekkel már kielégítettük. A 3. és 4. követelméyt ad módot arra, hogy az és a k álladót, valamit a gömb sugarát meghatározzuk. A 4. feltételből kiidulva a következő három egyelőséghez jutuk (a ormálparalelkörre voatkozó adatokat idexszel jelölve): siϕ = si Φ, (6.5) V taϕ = ta Φ, (6.6) R = M N. (6.7) Az egyeletekbe R a gömb sugara, M és N az ellipszoid meridiá iráyú és harátgörbületi sugara a ormálparalelkörél, V pedig az ismert ellipszoidi segédmeyiség a ormálparalelkörre voatkoztatva: V = 1+ ε ' cos Φ, ahol ε az ellipszoid második umerikus excetricitása. Az ellipszoidi és a gömbi ormálparalelkör összetartozó értékei a (6.6)-ból határozhatók meg. Ha a ormálparalelkör földrajzi szélességét az ellipszoido választjuk meg, akkor a megfelelő gömbi szélesség közvetleül számítható. Ha azoba a megválasztás a gömbö törtéik, akkor az ellipszoidra voatkozó földrajzi szélességet csak fokozatos közelítéssel számíthatjuk. A ormálparalelkör összetartozó Φ és a ϕ földrajzi szélessége ismeretébe (6.5)- ből meghatározható az álladó értéke, a (6.7)-ből pedig az ellipszoid ormálparaleköréhez tartozó közepes sugarú gömb sugara. Végül a k álladót a földrajzi szélességre voatkozó (6.) vetületi egyeletből számítjuk úgy, hogy a Φ és a ϕ összetartozó értékpárt, valamit a már meghatározott álladót helyettesítjük. Így az egyeletből a k, mit egyetle ismeretle egyértelműe meghatározható. Mivel a vetületet K. F. Gauss alakította ki, a (6.7) képlettel meghatározott sugarú gömböt a szakirodalom Gauss-gömbek is evezi. Lieármodulus és hossztorzulási téyező Lieármodulus az ellipszoid szögtartó gömbi vetületé: V és l η η 3 1 Φ. 3 = ta Φ ϕ = 1 ta Φ 4 3V 3V η ellipszoidi segédmeyiségek, az idex a ormálparalelkörre utal, továbbá Φ = Φ Φ, illetve ϕ = ϕ ϕ. A hossztorzulási téyezőt a lieármodulusból számíthatjuk: s 1 m = = ( l1 + 4lk + l ). S 6 11-4
11. előadás: Az ellipszoid vetületei S a geodéziai voaldarab hossza az ellipszoido, s a gömbre vetített legagyobb gömbi körív hossza, l 1 és l a lieármodulus a voaldarab két végpotjá, l k pedig a voaldarab közepé. Azimutredukció Ha az ellipszoid két felületi potjáak gömbi képe között meghúzzuk a legagyobb gömbi körívet, az általába em azoos az ellipszoid geodéziai voaldarabjáak potokét vetített valódi képével. Mivel a vetítés szögtartó módo törtéik, az α 1 és α szögek megegyezek az ellipszoidi azimutokkal, míg az α 1 és α szögek a gömbi azimutok. A megfelelő szögek külöbségei az ú. azimutredukciók, 1 = α1 α1, 1 = α α melyekek fogalma léyegébe hasoló a gömb vagy az ellipszoid síkvetületei második iráyredukciójáak fogalmához. Az azimutredukció előjelét úgy értelmezzük, hogy a redukciót előjelhelyese hozzáadva az ellipszoidi azimuthoz, a gömbi azimutot kapjuk. Az azimutredukció a meridiá iráyába zérus, és amikor az iráy midkét végpotja ugyaazo a paralelkörö va, akkor maximális. A 19. századi kettős vetítésél az azimutredukció szélső esetbe 50 km-es hosszál is csak 0,007 volt, az új kettős vetítésél pedig még eél is kisebb, így hazákba még az elsőredű háromszögelési hálózatba sem vették soha figyelembe. Gyakorlatilag az ellipszoidi azimutokat gömbi azimutokak tekitjük. A kettős vetítés elve és alkalmazása a magyar geodéziába A geodéziai ábrázolásba általába ellipszoid az alapfelület. A vetítés az ellipszoidról síkra, illetve síkba fejthető felületre törtéhet közvetleül, vagy közvetve is úgy, hogy az ellipszoidról először gömbre vetítük szögtartó módo, majd a gömbről térük át a síkra, illetve a síkba fejthető felületre, tehát kettős vetítést végzük. Kisebb területű országba, az ellipszoid és az ország közepe tájá az ellipszoidhoz számított simulógömb felszíe csak olya kis mértékbe tér el egymástól, hogy a felsőgeodéziai mérések agy része is megegedi az ellipszoid felületéek gömbbel való helyettesítését. Ez a körülméy külööse akkor jeletett agy mukamegtakarítást, amikor a számításokat logaritmussal, később mechaikus számológéppel végezték. A gömb és a sík közötti matematikai összefüggések ugyais jóval egyszerűbbek, mit az ellipszoid és a sík közötti egyszerű vetítéskor. Ma már em jelet ehézséget az ellipszoidról a síkra törtéő közvetle átszámítás sem. A kettős vetítés elvét a Gauss-féle ige kis hossztorzulású szögtartó gömbi vetület felhaszálásával világviszoylatba Magyarországo alkalmazták először (1857). A háromszögelésbe a mért iráyértékeket ellipszoidiak tekitették, de a gömbre való áttéréskor azimutredukciót em alkalmaztak. Még a törtéelmi Magyarország észak-déli kiterjedésébe sem volt szükséges azimutredukciót számítai, mert értéke 50 kilométeres hosszo is szélső esetbe csak 0,008 volt, ami csupá ± mm lieáris igadozásak felel meg. A lieármodulus eltérése az egységtől pedig mitegy 1/4 millió volt. Magyarország mai területé ezek az értékek léyegese kisebbek. 11-5
Óravázlat a Vetületta előadásaihoz A korábbi magyarországi gömbi vetület alapfelülete a Bessel ellipszoid. A képfelületet az ú. régi magyarországi Gauss-gömb szolgáltatja. Ez utóbbi ormálparalelköréek földrajzi szélességét választották meg kerek értékűek: ϕ = 46 o 30 0,000 00. Ehhez a Bessel ellipszoido a Φ = 46 o 3 43,410 41 földrajzi szélesség tartozik. A régi magyarországi gömbi vetület álladói: R = 6 378 51,966 m, k = 1,003 016 135 133, = 1,000 751 489 594. A régi Gauss-gömbről a síkra 1908-ig sztereografikus vetülettel tértek át, azóta pedig emellett még három ferdetegelyű éritő szögtartó hegervetületet is haszálak. Az új magyarországi gömbi vetület alapfelülete az IUGG1967 ellipszoid. A képfelületet az ú. új magyarországi Gauss-gömb adja. Az ellipszoid ormálparalelköréek földrajzi szélességét választották meg kerek értékűek: Φ = 47 o 10 0,000 00. Ehhez az új gömbö a ϕ = 47 o 07 0,057 80 földrajzi szélesség tartozik. Az új magyarországi gömbi vetület álladói: R = 6 379 743,001 m, k = 1,003 110 0083, = 1,000 719 7049. Az új Gauss-gömbről a síkra egyetle ferdetegelyű redukált szögtartó hegervetülettel térük át. A földrajzi hosszúságot a régi és az új gömbö egyarát a gellérthegyi meridiá gömbi megfelelőjétől számítjuk. 11-6
11. előadás: Az ellipszoid vetületei Földrajzi koordiáták átszámítása az ellipszoid és a gömb között A Gauss-féle ige kis hossztorzulású szögtartó gömbi vetület vetületi egyeletei a következők: ϕ Φ 1 ε si Φ ta 45 + = k ta 45 +, (6.35) 1+ ε si Φ λ = Λ. (6.36) A vetület álladóiak és az ellipszoidi földrajzi szélességek az ismeretébe a gömbi földrajzi szélesség (6.35)-ből egyszerűe számítható. A fordított művelet csak fokozatos közelítéssel végezhető el, mert Φ és a siφ is szerepel a képletbe. Korábba, amikor a számításokat logaritmussal, vagy szögfüggvéytáblázattal és mechaikus számológéppel végezték, a (6.35) vetületi egyelet megoldása meglehetőse ehézkes volt. Az átszámítások megköyítésére a Bessel ellipszoidról a régi magyarországi Gauss-gömbre törtéő átszámításhoz Marek Jáos (1834-1900) és Hoffma Ferec (188-1900) készítettek táblázatot. A táblázat a ϕ gömbi földrajzi szélesség mide kerek 10 -ére megadja a Φ - ϕ külöbséget. Az adatok között iterpoláli kell. ε 11-7
Óravázlat a Vetületta előadásaihoz Mivel a (6.35) megoldása számítógéppel em jelet ehézséget, az IUGG1967 és az új magyarországi Gauss-gömb közötti földrajzi szélesség átszámítás céljára táblázatot em készítettek. Az ellipszoid és a gömb közötti vetítést megkíváó feladatok Az ellipszoidról a gömbre vagy a gömbről az ellipszoidra való geodéziai célból végzett átszámításra általába a következő feladatok sorá lehet szükség: 1. Ha az országos elsőredű háromszögelési hálózat kiegyelítése az ellipszoido törtéik, és kiszámítjuk azo a potok ellipszoidi koordiátáit (Φ, Λ ), akkor az elsőredű háromszögelési hálózat potjait a további geodéziai mukálatok céljaira abba az esetbe, ha ezekbe a mukálatokba gömb alapfelülethez tartozó síkvetületet alkalmazuk -, a gömbre, majd a síkra kell vetítei.. Ha az országos elsőredű háromszögelési hálózat kiegyelítése a gömbö vagy az egyik olya síkvetülete törtéik, amelyek alapfelülete gömb, akkor vissza kell térük az ellipszoidra, hogy a függővoal elhajlások megállapítása céljából az ellipszoidi koordiátákat összehasolíthassuk a földrajzi helymeghatározás adataival. 3. Ha egymástól agyo távol levő potok összekötő iráyát kell a terepe kijelölük olya háromszögelési hálózat alapjá, amelyek síkvetületi redszere gömb alapfelülethez tartozik, és a potok koordiátái csak az ellipszoido adottak. Az ellipszoid valós síkvetületei A hegervetületekről a gömb hegervetületeiek tárgyalása sorá általáosságba modottak az ellipszoid hegervetületeire is voatkozak, de itt gyakorlati értelme csak a ormális és az egyelítői hegervetületek va. Az utóbb említett elhelyezés mellett is általába csak a szögtartó hegervetület egyik változatát haszálják geodéziai célra. Az ellipszoid valós hegervetületei is lehetek szögtartók, területtartók és olyaok, amelyeke a meridiáok hossztartók. A heger elhelyezhető éritő és redukált helyzetbe, és teljesíthetők midazok a feltételek, amelyeket a gömb valós hegervetületeivel kapcsolatba tárgyaltuk. Így például kiköthető, hogy az ábrázoladó terület határparalelkörei egyelő legye a hossztorzulás. A kíváalmak léyegébe ugyaúgy teljesíthetők matematikailag, mit a gömb hegervetületeire, de természetese az ellipszoid boyolultabb matematikai viszoyaiak megfelelőe boyolultabb matematikai levezetésekkel és képletekkel. Hegerre a vetítés az ellipszoidról is törtéhet perspektív módo, de ezeket a vetületeket a gyakorlatba csak ritká haszálják. A kúpvetületről a gömb valós kúpvetületeiek tárgyalása sorá általáosságba modottak az ellipszoid kúpvetületeire is érvéyesek, de itt gyakorlati értelme csupá a ormális elhelyezésű kúpvetületek va. Egyébkét midaz, amit az előbbiekbe az ellipszoid hegervetületeire megjegyeztük, értelemszerűe az ellipszoid kúpvetületeire is voatkozik. Megemlítjük még, hogy az ellipszoidak közvetle síkvetületei is vaak, így pl. sztereografikus vetülete is va. 11-8