GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II. REGULARIZÁCIÓS MÓDSZEREK

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS HANKA LÁSZLÓ GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS A tényleges és a méréssel kapott gamma-spektrum kapcsolatát egy lneárs egyenletrendszerrel írhatjuk le Ennek az egyenletrendszernek a megoldása amelyet dekonvolúcónak nevezünk, egy összetett probléma, ugyans a megoldás a mérés hbák következtében nstabls, a megoldás nagyon érzékeny a hbákra Matematka szempontból a problémát a mátrx szngulartása, az együtthatómátrx kcs sajátértéke jelentk A mérés hbák létezése és a rendszer együtthatómátrxának szngulartása jelentős mértékben befolyásolja az alkalmazható dekonvolúcós módszerek hatékonyságát A klasszkus egyenletrendszer megoldás módszerek nem eléggé hatékonyak, stabls, a hbákra kevésbé érzékeny megoldás előállításához regularzácós módszereket kell alkalmazn Ez azt jelent, hogy az eredet problémát lletve annak megoldását egy olyan problémával lletve annak megoldásával közelítjük, amely számottevően kevésbé érzékeny a hbákra Ebben a dolgozatban néhány hatékony regularzácós módszert mutatunk be Gamma spektrum, dekonvolúcó, rosszul ktűzött problémák, rosszul kondíconált problémák, általánosított nverz, szngulárs felbontás, regularzácó, paraméterválastás szabályok, csonkított szngulárs felbontás, Tyhonov-féle regularzácó The relatonshp between ncdent and observed spectrum can be descrbed by a lnear equaton system The soluton of ths system (called deconvoluton), s generally a complex problem, because the soluton s unstable wth respect to the measurement error, the equaton system s extremely senstve to errors n the measured data From mathematcal pont of vew the man problem s the sngularty of response matrx, the exstence of very small egenvalues The exstence of error and the sngularty of the system-matrx affects the process of deconvoluton, and can lead to dffcultes n solvng the equaton system Classcal methods for solvng 33

TERMÉSZETTUDOMÁNY equaton systems are not effcent enough, therefore, n order to fnd stable soluton the method of regularzaton must be appled Ths means, that the orgnal problem s replaced by an approxmate one, the solutons of whch are sgnfcantly less senstve to errors n the data Ths work presents some effectve regularsaton technques Gamma-ray sopectra, deconvoluton, ll-posed problems, ll-condtoned problems, generalzed nverse, sngular value decomposton, regularzaton, parameter choce rule, truncated sngular value decomposton, Tkhonov-type regularzaton 34 Egy egyszerű regularzácós eljárás Egy gamma spektrum meghatározása a mérés adatok alapján lényegében egy lneárs egyenletrendszer megoldását jelent Ha y R m az m-csatornás spektrométerrel mért spektrum, x R n a valós spektrum, az R R m n mátrx pedg a detektor válaszfüggvénye (Response functon), akkor a megoldandó probléma y = Rx alakban írható fel [3] Az egyenletrendszer R = [R j ] R m n együtthatómátrxának R j eleme annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a j-edk energatartományba eső γ-foton az -edk csatornában lesz detektálva Az alábbakban az R mátrxot smertnek tételezzük fel Tegyük fel, ahogyan az a gyakorlatban teljesül, hogy m > n, am azt jelent, hogy egy túlhatározott egyenletrendszer megoldása szolgáltatja az x spektrumot, azaz nagyobb az egyenletek száma mnt az smeretleneké Ebben a ckkben ezen egyenletrendszer megoldásának, az ún dekonvolúcónak, regularzácós módszerevel foglalkozunk Mvel ez a dolgozat az [] ckk közvetlen folytatása, ezért erre a munkára a tárgyalás során többször s hvatkozunk majd Léteznek az []-ben részletesen elemzett klasszkus algortmusoknál sokkal hatékonyabb módszerek Ezeket az eljárásokat regularzácós módszereknek nevezzük A klasszkus módszerek vzsgálata során kderült, hogy a megoldás során a legtöbb problémát a kcs, nullához közel sajátértékek okozzák A regularzácó során az A szmmetrkus poztív szemdefnt mátrxot úgy közelítjük mátrxok seregével, hogy a közelítő mátrxok sajátértéke távol maradjanak a zérustól A 4 pontban részletesebben és általánosabban vzsgáljuk majd a problémát Most az alapgondolat megvlágításaként egy egyszerű esetet tárgyalunk Legyen A Rn n, és α >, valós szám Defnáljuk közelítő mátrxok Aα seregét az alább módon:

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS Aα = A + α E, ahol E Rn n az egységmátrx Ha α, akkor nylván teljesül, hogy Aα A Ha az A mátrx sajátértéke a λ valós számok, akkor Aα sajátértéke a λ + α valós értékek, ugyans: Aαu = (A + α E)u = Au + α Eu = λu + αu = (λ + α)u Ebből a számításból az s kderült, hogy Aα sajátvektora megegyeznek az A sajátvektoraval Tegyük fel smét, hogy A regulárs Ekkor x = A y és xα = Aα y Így a közelítő megoldás és az elmélet pontos megoldás eltérése (az [] dolgozatban részletesen tárgyalt és többször alkalmazott összefüggés szernt): () n n α x x α λ λ α u u y u u y λ λ α A sajátvektor rendszer ortogonaltása matt, ha λmn a legksebb sajátérték, akkor az eltérés normája: α x xα λ λ α y mn x xα Ha α vlágos, hogy Vegyük most fgyelembe, hogy a mérés adatoknak van hbája, y a mérés eredménye Ebből meghatározva a megoldást az xα = Aα y összefüggést kapjuk Mnt korábban, most s y y teljesül, hogy Ugyancsak a () összefüggés felhasználásával, a hbás adatból kapott közelítő megoldás és az elméletleg pontos közelítő megoldás eltérése és az eltérés normája a következő: n λ α uu y y x α xα x α x α, valamnt λ mn α Becsüljük most meg a hbás adat alapján a közelítő mátrx segítségével meghatározott megoldás és az elmélet pontos megoldás eltérését! A háromszög egyenlőtlenség alkalmazásával adódk, hogy mn 35

TERMÉSZETTUDOMÁNY α x x x x x x α α α α y λ mn λ mn α λ mn α Mvel az y egzaktul nem smert, ebben a formában a becslés nem használható De az y y egyenlőtlenségből azonnal adódk, hogy y y Így arra az eredményre jutunk, hogy α x x y α λmn λmn α λ mn α Vegyük észre, hogy a két hbatag ellentétes módon vselkedk Az tag α esetén csökkenő módon tart a -hoz, a másodk tag azonban α esetén növekszk Feladat megtaláln azt az α paramétert, amely mnmalzálja a két hbatag összegét Ezt az eljárást nevezzük paraméterválasztásnak Mnt látszk, az α paraméter két változótól függ Egyrészt a hbakorláttól (zajsznttől), másrészt az y zajos adattól Az α paraméter választására elméletleg három lehetőségünk van ( parameter choce rule ): a-pror paraméterválastásról beszélünk, ha α csak a -tól függ: α = α(); a-posteror a paraméterezés, ha α mnkét változótól függ: α = α(, y ); 3 végül fennáll a lehetősége annak s, hogy α csak az y függvénye legyen: α = α( y ) Kmutatható, hogy az általunk vzsgált rosszul ktűzött ( ll-posed ) problémák megoldása csak az vagy a módszerrel hajtható végre, a 3 módszer lyen esetekben nem vezet célra 36 Általánosított nverz Általánosítsuk most az Ax = y egyenletrendszert téglalap alakú együtthatómátrxok esetére, tehát tegyük fel, hogy A R m n, x R n, y R m Megállapodásank szernt m > n, tehát az egyenletrendszer túlhatározott Legyen ρ = rang(a) az A mátrx rangja, és tegyük fel, hogy ρ < n Célunk a regulárs mátrxok esetében megsmert nverz-fogalom általánosítása A mondott feltevések mellett az Ax = y egyenletrendszernek nncs megoldása tetszőleges y R m esetén Célszerű ezért a jelölést s módosíta-

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS n Használjuk mostantól az Ax y jelölést ezen tulajdonság hangsúlyozására! Mvel egzakt megoldás nem létezk tetszőleges jobboldal esetén, meg kell állapodnunk abban, hogy mlyen értelemben keressük az egyenletrendszer megoldását Ésszerűnek tűnk azt az x R n megoldást megkeresn, amelyre az Ax R m vektor az y-hoz a legközelebb van Mvel a rangra tett feltevések matt az A mátrx N(A) magtere nem trváls, így a megoldás nem egyértelmű Ennek fényében az s logkus követelmény lehet, hogy válasszuk k ezek közül a mnmáls normájú megoldást y R(A) = N(A + ) y R(A) y ábra Az Ax y egyenlet legjobban közelítő megoldásának nevezzük (legksebb négyzetek feladata!) az x R n vektort, ha () Ax y = nf { Az y z R n } 37

TERMÉSZETTUDOMÁNY Mvel a magtér nem trváls, általában végtelen sok olyan x van, amelyre Ax a legjobb közelítés Az x R n vektor mnmáls normájú megoldás, ha () x = nf { z z R n legjobban közelítő megoldás} Ha a () értelemben létezk megoldás, akkor a () megoldás egyértelmű, hszen egy szgorúan konvex, másodfokú függvény mnmumhelye egy lneárs altéren Ha y R m olyan vektor, hogy az Ax y egyenletrendszernek létezk megoldása a () értelemben, akkor ezt a Moore-Penrose féle általánosított nverz ( pszeudonverz ) segítségével lehet előállítan Ehhez a következő módon jutunk el [4] Legyen A: R n R m lneárs transzformácó Legyen N(A) az A magterének ortogonáls komplementere, és jelölje A az A transzformácó leszűkítését az N(A) altérre: A : N(A) R(A) Ez a leszűkítés regulárs, tehát nvertálható, A létezk Ebben az esetben az általánosított nverz, amnek a jele A +, az A kterjesztése az R(A) R(A) halmazra, ahol defnícó szernt R(A) = N(A + ) Ezzel a defnícóval valóban kterjesztést határoztunk meg, ugyans ha y R(A) R(A), akkor az y = y + y felbontás egyértelmű és A + y = A + y + A + y = A y + = A y Az általánosított nverz nem teljesít a regulárs mátrxokra gaz A + A = E, AA + = E összefüggéseket, ehelyett eleget tesz az ún Moore-Penrose féle egyenleteknek: AA + A = A, A + AA + = A +, A + A = E P, AA + = P R(A) R(A) ahol P : R n N(A), P : R m R(A) ortogonáls projekcók Az általánosított nverz segítségével azonnal előállítható az Ax y egyenlet mnmáls normájú megoldása Igaz ugyans, hogy tetszőleges y R(A) R(A) esetén az Ax y egyenletnek egyértelműen létezk mnmáls normájú megoldása, és ezt az x + = A + y formula szolgáltatja (Ezt a 3 pontban bebzonyítjuk) Az összes legjobban közelítő megoldást az {x + } + N(A) alakú összegvektorok szolgáltatják Ha tehát x N(A) tetszőleges, akkor az x = x + + x alakú vektorok mndannyan rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy az 38

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS Ax = A(x + + x ) a legközelebb van y-hoz Ilyen értelemben végtelen sok megoldása létezk a legksebb négyzetek feladatának Ezek között mnmáls normájú az x + megoldás Hangsúlyozzuk azonban, hogy az R m lneárs térben, adott y esetén R(A)-ban egyértelműen létezk olyan y, melyre az y y norma mnmáls Szemléletesen ez az y R(A) nem más, mnt az y R m vektor R(A) altérre vonatkozó ortogonáls vetülete Ebből következk az y y R(A), vagy másképpen az y = y y R(A) nylvánvaló összefüggés ( ábra) Legyen most y az y legjobb közelítése Ekkor tetszőleges z R(A) esetén teljesül, hogy <z, y y > = Mvel z, y R(A), ezért rendre létezk olyan x, x + R n, hogy z = Ax, y = Ax + Ezért <Ax, y Ax + > = Azt kapjuk tehát, hogy <x, A y A Ax + > = tetszőleges x R n esetén Ez pedg pontosan azt jelent, hogy adott y R(A) R(A) esetén az x + R n vektor akkor és csak akkor a legjobban közelítő megoldás, ha kelégít az A Ax = A y Gauss-féle normálegyenleteket Ha ezt az eredményt összevetjük a az [] dolgozat (4) egyenletével, látható, hogy az általánosított nverz valóban az eredetleg ktűzött probléma megoldását adja általános feltételek mellett Ha még teljesül az a feltétel s, hogy az A A mátrx regulárs (ez akkor gaz, ha ρ = n), akkor a Moore-Penrose féle általánosított nverz az alább alakban írható fel: 3) A + = (A A) A 3 Szngulárs felbontás (Sngular Value Decomposton, SVD) Az általánosított nverz fogalmát a pontban elméletleg leírtuk Az A + konkrét előállítása azonban csak abban az esetben adható meg az egyszerű (3) formulával, ha az A A mátrx regulárs, mnt ahogyan azt már említettük Ha azonban az Ax y egyenletet A R m n (m > n), x R n, y R m, ρ = rang(a) < n feltételek mellett akarjuk megoldan, méghozzá a legjobban 39

TERMÉSZETTUDOMÁNY közelítő értelemben, akkor szükséges az általánosított nverz előállítása ebben a legáltalánosabb esetben Ehhez nélkülözhetetlen apparátus a mátrxok szngulárs értékekre történő felbontásának módszere Rendkívül elmélet és gyakorlat jelentősége matt ezt a konstrukcót részletesebben tárgyaljuk [8] Legyen A R m n (m > n) Ekkor léteznek olyan U R m m, S R m n, V R n n, mátrxok, hogy az A mátrx előáll (3) A = USV alakban az alábbak szernt Mvel A A R n n poztív szemdefnt, kvadratkus mátrx, létezk olyan V R n n ortogonáls mátrx, amellyel A A dagonalzálható Vezessük be az A A R n n mátrx sajátértékenek jelölésére a szmbólumot ( =,,, n) Ekkor V (A A)V = <,, 3,, n > A V oszlopvektora köztudottan az A A mátrx sajátvektora Ha nem létezk n db lneársan független sajátvektor, mert ρ < n, akkor Gram Schmdt-féle ortogonalzácóval kegészítjük n db vektorból álló rtonormált rendszerré Ezzel megkaptuk a V = [ v, v, v 3,, v n ] R n n ortogonáls mátrx előállítását, melyre ematt teljesül a V V = E R n n összefüggés, ugyans az ortogonaltás matt V - = V Az általános ρ < n esetet vzsgálva bontsuk fel V-t blokkokra az alább módon: V = (V, V ), V R n ρ, V R n (n-ρ), ahol a V mátrx oszlopa az A mátrx N(A) magterének, a V oszlopa pedg az N(A) ortogonáls komplementer ortonormált bázsát alkotják A konstrukcóból adódóan V nem egyértelműen meghatározott A bevezetett jelölésekkel (3) V (A A)V = <,, 3,, ρ > R ρ ρ, másrésztv (A A)V = R n ρ n ρ, amből következk, hogy AV = R n (n-ρ) Ezekből már meg lehet konstruáln az U R m m mátrxot s Legyen U = AV = <,, 3,, ρ > R m ρ, Ekkor (3) matt U U = E R ρ ρ, tehát U s ortogonáls mátrx U oszlopvektora az A mátrx R(A) képterének ortonormált bázsát alkotják Egészítsük k az U = [ u, u, u 3,, u ρ ] R m ρ mátrx ortonormált oszlopvektor rendszerét tovább m ρ db ortonormált oszloppal a Gram-Schmdt ortogonalzácós eljárást alkalmazva Ha ezeket a vektorokat az U mátrxban foglaljuk öszsze, ahol tehát U oszlopa az R(A) altér ortonormált bázsát alkotják, akkor kapjuk az U blokkokra történő U = (U, U ) felbontását U a konstruk- 4

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS cóból adódóan szntén ortogonáls: U U = E R m m Mellesleg megemlítjük, hogy az U mátrx oszlopa az AA R m m mátrx ortonormált sajátvektora A V-hez hasonlóan az U sem egyértelmű A bevezetett jelölésekkel, felhasználva a fent összefüggéseket, az alábbt kapjuk: U U AV A V U U AV V ρ U AV U AV U U U AV U U ρ Az egyenlet jobboldalát jelölje S R m n Ha az egyenletet rendezzük A-ra, épp a szngulárs felbontást kapjuk A számításokból kderült az S mátrx S konkrét formája s: S Blokkokra bontott alakja S, ahol S = R m S n n, S R n n pedg olyan dagonáls mátrx, melynek főátlójában a,, 3,, ρ értékek, és n ρ db zérus található: S A valós számokat az A mátrx szngulárs értékenek nevezzük A szngulárs értékek a fentek szernt éppen az A A mátrx sajátértékenek négyzetgyöke:{ } = {λ j (A A)} Ha a legnagyobb szngulárs érték, akkor Euklídesz norma esetén teljesül, hogy λ (A max A) A Abban a különleges esetben, amkor A szmmetrkus, poztív szemdefnt mátrx, a szngulárs értékek éppen az A sajátértéke: = λ (A) A szngulárs felbontás nagyon hatékony elmélet eszköz rosszul kondíconált, rosszul ktűzött ( ll-posed ) feladatok megoldása esetében Megmutatjuk, hogy alkalmazásával a legksebb négyzetek feladatának ρ ρ 4

TERMÉSZETTUDOMÁNY megoldását, tehát az Ax y egyenlet legjobban közelítő, mnmáls normájú megoldását kapjuk Tűzzük k feladatként az Ax = y egyenlet egzakt megoldását Ha az A mátrx felbontása A = USV, akkor az Ax = y egyenlet az USV x = y alakot ölt Ha bevezetjük a V x = x és az U y = y jelöléseket, akkor USx = y, lletve Sx = U y = y, tehát végül az Sx = y egyenlet adódk Az S alakjára tekntve nnen vlágos, hogy az Ax = y pontosan akkor oldható meg, ha mnden olyan ndexre, melyre =, teljesül hogy y =, ezekre az ndexekre a x komponensek tetszőlegesek, továbbá > n esetén y = Az Ax y egyenlet mnmáls normájú x R n megoldásának meghatározása, a V ortogonaltása matt egyenértékű a mnmáls normájú V x = x előállításával, hszen ortogonáls V mátrxra teljesül, hogy x Vx Alkalmazzuk a megoldás előállítása érdekében a következő defnícót: ha j és s j különben és értelmezzük az S + R n m mátrxot az S + = (s + j) módon, továbbá legyen x = S + y, valamnt A + = VS + U Ekkor (34) x = A + y = VS + U y a keresett legksebb normájú megoldás Valóban, a bevezetett jelölésekkel: ρ Ax y USV x y SV x U y Sx' y' 4 m y' ρ x' y' y' Egyenlőség akkor van, ha x' ( =,,, ρ) A több x tetszőleges Ha > ρ estén x =, akkor x normája mnmáls Ekkor pedg az előbbek szernt éppen x = S + y, és ekkor a V ortogonaltása matt mnmáls a (34) szernt x = Vx = VS + y = VS + U y normája s! Könnyen ellenőrzhető, hogy a (33) összefüggéssel értelmezett A + R n m mátrxra teljesülnek a Moore Penrose-féle egyenletek, am azt jelent, hogy A + nem más, mnt a Moore Penrose-féle általánosított nverz a legáltalánosabb esetben Az általánosított nverz előállításához szükség volt a szngulárs felbontásra Összefoglalva a mondottakat: az Ax y egyenlet mnmáls normájú megoldását a x = A + y vektor szolgáltatja Vzsgáljuk meg, mt mondhatunk ebben az esetben a megoldás hbájáról! Mvel általában az Ax = y egyenlet nem megoldható a mondottak szernt

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS 43 az általánosított nverz a legjobban közelítő megoldások közül a mnmáls normájút adja, helyette az Ax = y y egyenletet tekntjük, ahol y = y Ax, az y legjobb közelítésének és y-nak az eltérése (tt a pont jelöléset alkalmaztuk) Most x = A + y és x + x = A + (y + y) A [] dolgozat (3) összefüggésének levezetésénél alkalmazott gondolatmenetet értelemszerű módosításokkal smételve azt kapjuk, hogy az általános esetben a relatív hba a következő egyenlőtlenséggel becsülhető: y y y κ x x ahol κ = mn max A A az Ax y feladat kondícószáma Mnt látható az általános esetben a sajátértékek szerepét átveszk a szngulárs értékek, de a tény, hogy a kondícószám a legnagyobb és a legksebb szngulárs érték hányadosa, továbbra s fennáll A megoldás relatív hbája most a y eltérés és az y y különbség által van meghatározva A hba nagysága tt tehát a kondícószám mellett attól s függ, hogy mekkora az y y különbség Mnél nagyobb ez az eltérés, a megoldás annál pontosabb Gondoljuk meg smét, hogy Ax az y R m ortogonáls projekcója az R(A) altérre, és y ennek a két vektornak a különbsége A hba annál ksebb mnél ksebb ez az eltérés Mnél jobban összemérhető y normája az y vektor normájával, a helyzet annál roszszabb Az alkalmazások kedvéért felírjuk a szngulárs felbontást más alakban s: x v x v x v u u u x v x v x v S U x v v v S U x USV Ax n ρ m n n

TERMÉSZETTUDOMÁNY 44 v x ρ v, x u vn x vx u u ρuρ Az A + nverz mátrxra, az előző gondolatmenet és a (34) összefüggés alkalmazásával, az ρ (35) A y u, y v előállítás adódk 4 A regularzácó általános fogalma Az pontban már említettük, hogy a megoldás során a legtöbb problémát a kcs, nullához közel sajátértékek okozzák A regularzácó során az A mátrxot úgy közelítjük mátrxok seregével, hogy a közelítő mátrxok sajátértéke távol maradjanak a zérustól Az pontban egy egyszerű sztuácóban vzsgáltuk ennek a módszernek a kvtelezhetőségét Most általános formában írjuk le a módszer lényegét [3] Az I R ntervallum legyen olyan tulajdonságú ndexhalmaz, hogy létezk benne legalább egy olyan (α n ) (n N) ndexsorozat, amelyre teljesül, hogy lm(α n ) = Adott α I regularzácós paraméter esetén legyen R α : R m R n olyan lneárs operátor, amelytől megköveteljük, hogy α esetén, tetszőleges y R(A) R(A) mellett teljesüljön az R α y A + y konvergenca feltétel A hbáról a korábbakkal összhangban feltesszük, hogy y y Az α regularzácós paraméter természetesen függ a zajsznttől (a-pror paraméterezés), de függhet az y mérés adatoktól s (a-posteror paraméterezés) Mndkét esetben megköveteljük azonban, hogy esetén s teljesüljön az Rαy A+y konvergencafeltétel Folytonos lneárs operátorok egy {R α } (α I) halmazát az A + operátor regularzácójának nevezzük, ha tetszőleges y R(A) R(A) esetén léte-

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS zk egy olyan α : R + R m I paraméterfüggvény ( α = α (, y ), a- posteror paraméterezés), hogy a (4) lm sup R y A y y R m ; y α y = α valamnt a (4) lm sup α, y y R m ; y y = feltételek teljesülnek Ha (4) és (4) egyaránt teljesül egy rögzített y R(A) R(A) esetén, akkor az (R α, α) rendezett párt az Ax y egyenlet konvergens regularzácójának nevezzük Felmerül a kérdés, mlyen szükséges lletve elégséges feltételek teljesülése esetén állíthatjuk bzonyos operátorokról, hogy azok serege az A + mátrxnak lletve az Ax y egyenletnek (konvergens) regularzácója Az alábbakban erre a kérdésre válaszolunk az egyszerűbb a-pror esetre vonatkozólag, egyben általános elv alapokat adunk konkrét konvergens regularzácó előállítására Legyen A R m n, R α R n m, α R +, és tegyük fel, hogy α esetén R α A + teljesül pontonként az R(A) R(A) lneárs térben Ez azt jelent, hogy tetszőlegesen rögzített y R(A) R(A) és tetszőleges > esetén létezk olyan β() >, hogy ha α < β(), akkor R α y A y ε Ebben az esetben az {R α } mátrxsereg az A + mátrx egy regularzácója Ilyen feltételekkel létezk a-pror α = α () paraméterezés, amellyel (R α, α) az Ax y egyenlet konvergens regularzácója Egyszerűbben fogalmazva ez azt jelent, hogy {R α } mátrxok tetszőleges olyan serege, amely pontonként tart az A + általánosított nverz mátrxhoz, defnál egy konvergens regularzácót Megfordítva, (4) és (4) szernt teljesül, hogy lm R y α A y és így, ha α = α () a -nak folytonos függvénye, azt kapjuk, hogy lm R y α A y tehát, ha az a-pror paraméterezést egy folytonos függvénnyel α adjuk meg, akkor a konvergens regularzácó bztosítja a regularzácós operátorok pontonként konvergencáját 45

TERMÉSZETTUDOMÁNY Befejezésül, az a-pror paraméterezés jellemzésére megadjuk még az alább, nagyon jól használható szükséges és elégséges feltételt: Legyen A R m n adott mátrx, és R α R n m regularzácós operátorok serege α = α () a-pror paraméterezéssel Ebben az esetben (R α, α) akkor és csak akkor konvergens regularzácó, ha a (43) lm α és lm R α feltételek teljesülnek Ez a tétel nagyon egyszerű és átlátható módon tesz lehetővé regularzácós operátorok defnálását Ezt tesszük a következő pontban 46 5 Konkrét regularzácós módszerek A szngulárs felbontás tárgyalása során kderült, hogy az Ax y egyenlet megoldása során a fő problémát a nagy κ kondícószám, lletve a nagyon kcs szngulárs értékek létezése okozza Kézenfekvő tehát olyan regularzácós operátorokat defnáln, melyekkel módosítan tudjuk a legksebb szngulárs értékeket [3, 9] Felhasználva az általánosított nverzre a szngulárs felbontás alapján kapott (35) ρ A y u, y v előállítást, az R α regularzácós operátort ρ R α y fα u, y v alakban keressük, ahol f α : R + R + olyan függvény, melyre tetszőleges > és α esetén teljesül, hogy f α () Tegyük fel, hogy fα korlátos s, azaz létezk olyan K α R +, hogy tetszőleges R + esetén f α () K α Ekkor ugyans teljesül, hogy R αy fα ( ) u, y Kα u, y Kα y

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS Ez pedg pontosan azt jelent, hogy K α az R α normájának egy felső korlátja Ebből következk, hogy (5) lm Kα azaz lm R α, tehát a (43) feltételek teljesülnek Ez pedg azt jelent, hogy f α konvergencájából következk R α pontonként konvergencája A + -hoz, másképpen fogalmazva az említett feltételekkel konstruált (R α, α) regularzácó az Ax y egyenlet konvergens regularzácója Az f α függvény konkrét alakjától függően számos lehetőség kínálkozk egy konvergens regularzácó defnálására Az alábbakban három konkrét példát mutatunk ennek megvalósítására 5 Csonkított szngulárs felbontás (Truncated Sngular Value Decomposton) Induljunk k smét az A mátrx szngulárs felbontásából A κ kondícószám csökkentésére a gyakorlatban a következő lehet tenn Ha néhány szngulárs érték nagyon kcs a számítógép relatív pontosságának nagyságrendjébe esk, akkor választunk egy α >, poztív számot és elhanyagoljuk mndazokat a szngulárs értékeket, amelyek α-nál nem nagyobbak [8] Ez azért hasznos, mert a nagyon kcs szngulárs értékeknek rosszabb hatása van a megoldásra, mnt a értékeknek Ezzel a csonkítás eljárással, a feladat kondícója jobb lesz Legyen ha j és α s j különben és defnáljuk az S mátrxot a következő módon: S s j Ezzel a defnícóval A = V S U, és κ κa α Ennek a módosításnak a hatása a legjobban közelítő megoldásra vonatkozólag a következő: Ha α, = k +,, n, k ρ esetén, akkor y =, ha = k +,, n, y = S y Így a közelítő megoldás y-tól való eltérésének normájára az 47

TERMÉSZETTUDOMÁNY m m Ax y y' egyenlőség helyett az Ax y y' egyenlőség ρ k adódk A norma tehát nem csökkenhet, rosszabb esetben növekszk Ebben az esetben az A y megoldást kell elfogadnunk A + y helyett A kettő között eltérés jelentős mértékű s lehet Ezért az eljárás ebben a helyzetben az, hogy több, különböző α paraméterrel megoldjuk az egyenletrendszert, és a kapott megoldások közül választjuk k a legmegfelelőbbet Vegyük észre, hogy a csonkított szngulárs felbontás egy konvergens regularzácó Módosítva ugyans a fent jelöléseket az 5 pontnak megfelelően, legyen ha α f α () ha α Vlágos, hogy ebben az esetben K α = a felső korlát, és a módszer konvergens regularzácót szolgáltat, ha α esetén teljesül A regularzált megoldás alakja tetszőleges y R m esetén: α x α R α y α u, y v 5 Lavrentyev-féle regularzácó A Lavrentyevtől származó módszer lényege az, hogy mnden szngulárs értéket megnövelünk α-val Ebben az esetben tehát a regularzácós függvény defnícója: f α α Ekkor a regularzált megoldás alakja: x α R α y u, y v α 48

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS Vegyük észre, hogy ez éppen az (A + α E) x α = y egyenlet megoldása Ha vsszatekntünk az pontban mondottakra, akkor vlágos, hogy ott ntutív úton éppen a Lavrentyev-féle regularzácós eljárást elemeztük Mvel ezért teljesül, hogy K α az f α () felső korlátja Így α α α (5) alapján a konvergenca feltétele smét az, hogy esetén α teljesüljön 53 Tyhonov-féle regularzácó Defnáljuk a regularzácós függvényt a következő módon [3, 9]: fα α Ekkor a regularzált megoldás a következő formában adható meg: (53) x α R α y u, y v α Tegyük fel, hogy a poztív α regularzácós paraméter teljesít az α feltételt Ezt megkövetelhetjük, hszen α határátmenetet vzsgálunk Mvel α és poztívak ez egyenértékű a α lletve a α egyenlőtlenséggel Ez utóbbt négyzetre emelve és rendezve kapjuk a α α feltételt Ebből smételt rendezéssel adódk, hogy α α Ez pedg azt jelent, hogy f α () Kα, tehát a regularzácós függvény felülről korlátos A regularzácó konvergencájának feltétele az, hogy α esetén teljesüljön α 49

5 TERMÉSZETTUDOMÁNY Könnyen látható, hogy a Tyhonov-féle regularzácó a Lavrentyev-féle regularzácó általánosítása Az utóbb, poztív szemdefnt A mátrx esetén regularzálja az Ax = y egyenletet Ha mármost A tetszőleges mátrx, és alkalmazzuk a Lavrentyev-regulatzácót az Ax = y helyett az A Ax = A y Gauss-féle normálegyenletre, akkor az (53) (A A + αe) = A y regularzált alakot kapjuk Az (53) formula éppen ennek a regularzált egyenletnek a megoldását szolgáltatja A Tyhonov-féle eljárás szoros rokonságban van az általánosított nverz által előállított legjobban közelítő megoldással Megmutatjuk, hogy a Tyhonov-féle módszerrel kapott megoldás s rendelkezk extremáls tulajdonsággal Ehhez, az eddgekkel összhangban Euklídesz norma alkalmazásával vzsgáljuk meg az (533) Ax y α x mn n xr optmalzálás problémát Mvel a norma skalárs szorzatból származk, ez az összeg az alább formában s írható: Ax y, Ax y α x, x Ax, Ax Ax, y y, y α A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy az x-változó szernt első dervált zérus legyen Elvégezve a derválást, a következő adódk: A,Ax Ax, A A, y α, x A, Ax α,x A, y ahol R n jelent azt a vektort, amelynek mnden komponense az R valós szám Rendezve az egyenletet, azt kapjuk, hogy: E, A Ax α, x E, A y Ez utóbb egyenlet pedg egyenértékű az (53) egyenlettel Mvel pedg a mnmalzálandó (533) függvény szgorúan konvex, ezért a staconárus megoldás egyben a szélsőérték probléma mnmumát szolgáltatja Ez azt jelent, hogy a Tyhonov-féle regularzácó által szolgáltatott megoldás, adott α regularzácós paraméter esetén, mnmalzálja az Ax vektor y -tól való eltérésének és az x vektor α-val súlyozott normájának összegét Mvel a regularzácó során α, ezért látható, hogy a x, x

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS regularzált megoldások végül s az általánosított nverz által adott megoldáshoz konvergálnak Annak érdekében, hogy érzékeltetn tudjuk a regularzácó hatását a (35) megoldásra, alakítsuk át a regularzált megoldás (53) alakját a következő módon: x α u, y v α Innen vlágosan látszk, hogy regularzácó a (35) megoldást az r α faktorral módosítja, ez a függvény egyfajta szűrőként vselkedk Nylvánvaló, hogy ha α, akkor r( ), tehát a hatás eltűnk Rögzített α esetén a regularzálás hatása a ábrán látható, ahol az r() függvényt ábrázoltuk függvényében, különböző, rögzített α paraméterek esetén: ábra 5

TERMÉSZETTUDOMÁNY A grafkon alapján nylvánvaló, hogy az α-hoz képest kcs értékeket a regularzácó kszűr, az α-hoz képest nagy szngulárs értékekkel pedg gyakorlatlag nem történk változás, hszen az r() függvény növekedésével -hez tart 5

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI II MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION II REGULATING METHODS Felhasznált rodalom Hanka L Vncze Á: Gamma-spektrumok kértékelésének matematka módszere I A klasszkus van Cttert-féle és a Gold-féle terácó Bolya Szemle, 8/I L Bouchet: A Comparatve study of deconvoluton methods for gamma-ray spectra Astronomy & Astrophyscs Supplement Seres Ser 3, pp67-83 3 MMandel, M Morhac, J Klman, L Krupa, V Matousek, JH Hamlton, AV Ramayya: Decomposton of contnuum gamma-ray spectra usng sytheszed response matrx Nuclear Instruments and Methods n Physcs Research A 56 (4) pp7-83 4 M Morhac: Deconvoluton methods and ther applcatons n the analyss of gamma-ray spectra Nuclear Instruments and Methods n Physcs Research A 559 (6) pp9-3 5 PH Van Cttert, Z Phys 69 (93) pp98 6 Stoyan Gsbert Takó Galna: Numerkus módszerek Typotex, 6 7 http://wwwsamsnfo/talks/nverse/inverse-vogelpdf 8 http://wwwfzykaumkpl/nrbook/bookcpdfhtml 9 http://wwwmathaucklandacnz/~phy77/notes/ 53

54 TERMÉSZETTUDOMÁNY