Jelek és rendszerek - 7.előadás

Jelek és rendszerek - 7.előadás A Laplace-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 1 / 45

Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés 1 Ismétlés Fourier-transzformáció és tételei A spektrum Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 2 / 45

Vázlat II.rész: A Laplace-transzformáció és alkalmazása A Laplace-transzformáció és alkalmazása 2 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace-transzformáció tételei FI jelek Laplace-transzformáltja Átviteli függvény 3 A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja 4 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés 5 Rendszeregyenlet operátoros megoldása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 3 / 45

Összefoglalás Vázlat III.rész: Összefoglalás 6 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 4 / 45

A Fourier-transzformáció Ismétlés Fourier-transzformáció néhány tulajdonsága Az alábbi összefüggéssel definiált Fourier-transzformáció S(jω) = F {s(t)} = a következő fontos tulajdonságokkal rendelkezik s(t)e jωt dt, s(t) valós valós és páros valós és páratlan S(jω) komplex valós és páros képzetes és páratlan Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 5 / 45

Ismétlés A Fourier-transzformáció (folyt.) Az energiaspektrum és a Parseval-tétel Ha az s(t) jel négyzetesen integrálható, akkor a jel energiája az alábbi módon számítható E s = s(t) 2 dt. A jel energiája a spektrum ismeretében is meghatározható 1 E s = s(t) S(jω)e jωt dω dt = 1 S(jω) 2π 2π = 1 2π S(jω)S (jω) dω = 1 2π S(jω) 2 dω. s(t)e jωt dt dω Tétel (Parseval) E s = s(t) 2 dt = 1 S(jω) 2 dω. 2π Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 6 / 45

Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei Fourier-transzformáció és tételei Tétel (Linearitás) Tetszőleges C 1, C 2 konstansok esetén F {C 1 s 1 (t) + C 2 s 2 (t)} = C 1 F {s 1 (t)} + C 2 F {s 2 (t)}, F 1 {C 1 S 1 (jω) + C 2 S 2 (jω)} = C 1 F 1 {S 1 (jω)} + C 2 F 1 {S 2 (jω)}. vagy általánosabban tetszőleges C i konstansokra, n-tagú összegre { n } n F C i s i (t) = C i F {s i (t)}, i=1 { n } F 1 C i S i (jω) = i=1 i=1 i=1 n C i F 1 {S i (jω)}. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 7 / 45

Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei Fourier-transzformáció és tételei Tétel (Eltolási tétel) Ha az s(t) jel spektruma S(jω), akkor az s(t τ) eltolt jelre F {s(t τ)} = e jωτ S(jω), azaz az időbeli eltolás τ-val, e jωτ -val való szorzást, azaz ωτ értékű fázisforgatást jelent a spektrumban. Tétel (Konvolúció spektruma) Az időtartományban végzett konvolúció y(t) = w(t) s(t) = a frekvenciatartományban szorzássá egyszerűsödik Y(jω) = W(jω)S(jω). s(t)w(t τ) dτ, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 8 / 45

Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei Fourier-transzformáció és tételei Tétel (Derivált jel spektruma) Ha az s(t) jel spektruma S(jω), akkor az s (t) derivált jelre F {s (t)} = jωs(jω), tehát az időtartománybeli deriválás jω-val való szorzást, azaz az eredeti amplitúdóspektrum ω-val szorzását és a fázisspektrum π/2-vel való forgatását jelenti. A fenti tétel általánosítható magasabb rendű deriváltakra is { } F s (n) (t) = (jω) n S(jω). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 9 / 45

Ismétlés Fourier-transzformáció és tételei A Fourier-transzformáció tételei Tétel (Modulációs tétel (eltolás a frekvenciatartományban)) szinuszos jellel való szorzás esetén F { s(t)e jω 0t } = S(j(ω ω 0 )), F {s(t)cosω 0 t} = 1 2 [S(j(ω ω 0)) + S(j(ω + ω 0 ))], azaz az eredeti S(jω) spektrum az ω 0 és a ω 0 körfrekvenciákon jelenik meg az eredeti amplitúdó felével.! Nagyon fontos gyakorlati alkalmazások. (pl. távközlésben) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 10 / 45

Ismétlés A Fourier-transzformáció (folyt.) Fourier-transzformáció és tételei Az átviteli karakterisztika meghatározása A derivált jel spektrumára vonatkozó F { s (n) (t) } = (jω) n S(jω) összefüggést alkalmazva az állapotváltozós leírásra vagy a rendszeregyenletre, W(jω) = F {y(t)} F {s(t)} = Y(jω) S(jω) Az átviteli karakterisztika tehát tetszőleges gerjesztés, és a rá adott válasz spektrumából meghatározható. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 11 / 45

Ismétlés Fontosabb FI jelek spektruma A spektrum Szimmetrikus négyszögjel spektruma sin ωt F {h T (t) = ε(t + T) ε(t + T)} = 2T ωt Dirac-impulzus(δ(t)) spektruma F {δ(t)} = 1 Egységugrás(ε(t)) spektruma F {ε(t)} = πδ(ω) + 1 jω Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 12 / 45

Alakhű jelátvitel Ismétlés A spektrum Pl.1 Legyen egy rendszer átviteli karakterisztikája és gerjesztése az alábbi W(jω) = valamint legyen ǫ = 0.1, η = 1/ 2. 1, s(t) = ε(t + T) ε(t T), 1 + 0.1jω Határozzuk meg milyen széles impulzusok mellett alakhű az átvitel (T =?)! 2 A jel spektruma S(ω), b S (ω) 1.5 1 0.5 0 20 10 0 10 20 ω sin ωt S(jω) = 2T ωt S(jω) = 2T sinωt ωt, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 13 / 45

A Laplace-transzformáció A Laplace transzformáció Definíció A Laplace transzformáció során olyan esetekkel foglalkozunk, ahol a FI rendszer bemenetére t = 0 időpontban egy olyan s(t) gerjesztést kapcsolunk, amely értéke nulla t < 0 időpontokban. A gerjesztés tehát belépő, így a kauzalitás miatt a válaszjel is belépő lesz. Ezen válaszjel számítására FI rendszerek esetén alkalmas a Laplace transzformáció. A Laplace transzformációt a Fourier transzformáció felől közeĺıtjük meg, mely során a transzformálandó függvényről feltételeztük az abszolút integrálhatóságot, azaz eleget tesz a következő feltételnek: + s(t) dt < K, K R,, tehát integrálja korlátos. Így nem Fourier transzformálható tehát az ε(t) egységugrás gerjesztés, mivel az abszolút integrálja nem korlátos. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 14 / 45

A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace transzformáció Az abszolút integrálhatóság erősen leszűkíti az alkalmazási lehetőségeket. Laplace (francia matematikus, 1749-1827) javaslata alapján a függvények konvergenciára kényszeríthetők, ha azokat t 0 esetén erősen nullához tartó e σt függvénnyel szorozzuk, így: + s(t)e σt dt < K, K R, teljesül. Ha a jel belépő, akkor tetszőleges pozitív értékű σ választható az abszolút integrálhatóság biztosításásra. Az ε(t) egységugrás esetén tetszőleges σ > 0, exponenciálisan növekvő ε(t)e αt, α > 0 jel esetén σ > α érték választható. Abban az esetben, ha nem találunk alkalmas σ értéket az abszolút integrálhatóság biztosítására a Laplace transzformáció nem alkalmazható, azonban ilyen jelekkel nem foglalkozunk (pl. ε(t)e (αt)2 ). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 15 / 45

A Laplace-transzformáció A Laplace transzformáció Definíció Az előző ε(t)e σt, α > 0 belépő szorzatfüggvény egyoldalas Fourier transzformáltját képezve: F { ε(t)s(t)e σt} = 0 s(t)e σt e jωt dt. Definíció (Laplace transzformáció) bevezetve az s = σ + jω jelölést, egy s(t) jel Laplace transzformáltja alatt a következő összefüggést értjük: L{s(t)} = S(s) = 0 s(t)e st dt Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 16 / 45

A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace transzformáció A Laplace transzformáció során: s az un. komplex frekvencia, az integrálás alsó határa 0, vagyis a kezdeti értékek (s( 0), s ( 0)), illetve a δ(t) impulzusfüggvény is figyelembe vehető. A transzformáció során az un. komplex frekvenciatartományba térünk át, A L{.} a Laplace, az L 1 {.} az inverz Laplace transzformáció jelölése. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 17 / 45

Linearitás tétele A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Mivel a Laplace transzformáció egy lineáris operátor, ezért bármely C 1,C 2 konstans esetén: L{C 1 f(t) + C 2 g(t)} = C 1 L{f(t)} + C 2 L{g(t)} = C 1 F(s) + C 2 G(s) L 1 {C 1 F(s) + C 2 G(s)} = C 1 L 1 {F(s)} + C 2 L 1 {G(s)} Valamint: L{as(t)} = al{s(t)}, { n } n L C i s i (t) = C i L{s i (t)}, i=1 { n } L 1 C i S i (s) = i=1 i=1 i=1 n C i L 1 {S i (s)}. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 18 / 45

Eltolási tétel A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Ha a ε(t)s(t) belépő jelet τ > 0 idővel eltoltjuk, a ε(t τ)s(t τ) jelet kapjuk, melynek Laplace transzformáltja a következőképpen adódik: L{ε(t τ)s(t τ)} = s(t τ)e st dt = τ 0 τ 0 Bevezetve p = t τ változót, (dp = dt (τ konstans!)) adódik: s(t τ)e s(t τ) e sτ dt L{ε(t τ)s(t τ)} = e sτ 0 s(p)e sp dp = e sτ S(s). Vagyis az időbeli τ > 0 eltolás komplex frekvenciatartományban e sτ exponenciális függvénnyel való szorzásnak felel meg. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 19 / 45

Deriválás A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Elsőrendű derivált Laplace transzformáltja Ha s(t) jel szakaszonként folytonos és differenciálható, és létezik S(s) Laplace transzformáltja, akkor s (t) Laplace transzformáltja: L{s (t)} = ss(s) s( 0), mivel: L{s (t)} = 0 s (t)e st dt = [ s(t)e st] 0 s(t)( s)e st dt 0 = (0 s( 0)) + s 0 s(t)e st dt = ss(s) s( 0). A fenti levezetésre felhasználtuk a parciális integrálás szabályát, miszerint u v = [uv] uv. Helyesen választva u = s (t) u = s(t) és v = e st v = se st. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 20 / 45

A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Deriválás (folyt.) Másodrendű derivált Laplace transzformáltja L{s"(t)} = s [S(s) s( 0)] s ( 0) = s 2 S(s) ss( 0) s ( 0). Általánosítva n 1 L{s n (t)} = s n S(s) s i s (n 1 i) ( 0). i=0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 21 / 45

Integrálás tétele A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Ha létezik ε(t)s(t) jel S(s) Laplace transzformáltja, akkor a jel integráljának Laplace transzformáltja: { t } L s(τ)dτ = 1 0 s S(s). mivel (parciális integrálást felhasználva): + 1 s 0 { t } L s(τ)dτ = 0 { 0 s(t)e st dt = e s { t } s(τ)dτ e st dt = 0 0 s(τ)dτ + e 0 s 0 0 t [ e st s(τ)dτ s } 0 ] s(τ)dτ 0 + 1 s S(s) = 1 s S(s). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 22 / 45

Következtetés A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Fontos! Mivel a differenciálásnak illetve integrálásnak s-el való szorzás illetve osztás felel meg, a differenciál egyenletek helyébe a transzformált tartományban algebrai egyenletek lépnek. Így a feladatok megoldása lényegesen egyszerűsödik. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 23 / 45

Csillapítási tétel A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Egy belépő és Laplace transzformálható s(t) jel és egy exponenciálisan csökkenő e αt, α > 0 jel szorzatának Laplace transzformáltja: L { s(t)e αt} dt = S(s + α). Mivel: s(t)e αt e st dt = 0 0 s(t)e (α+s)t dt = S(s + α). Megjegyzés: A csillapítási tétel a Fourier transzformációnál tárgyalt modulációs tétellel analóg. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 24 / 45

A Laplace-transzformáció Kezdeti és végérték tétel A Laplace-transzformáció tételei Ezeket az un. végérték tételeket akkor érdemes alkalmazni, ha ismert a Laplace transzformált, és az időfüggvény határértéke a kérdés, vagyis s(t) jel kezdeti értéke t = +0-ban (s(+0)) és végértéke t -ben: s(+0) = lim ss(s), s(t ) = lim ss(s). s s 0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 25 / 45

A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Fourier és a Laplace transzformáció kapcsolata Ha s(t) belépő és abszolút integrálható, akkor a jel S(jω) spektruma meghatározható: S(jω) = S(s) s=jω Ha a jel korlátos és véges tartójú, vagy ha a jel belépő, korlátos, t esetén exponenciálisan 0-hoz tart. megj: ε(t)-re nyilván nem alkalmazható, mert F {ε(t)} = 1 jω + πδ(ω) GV stabilis kauzális rendszer esetén: W(jω) = W(s) s=jω Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 26 / 45

A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t) egységugrás Laplace transzformáltja L{ε(t)} = +0 [ e e st st dt = s ] +0 = 0 1 s = 1 s megjegyzés: Mivel ε(t) belépő jel, ε( 0) = 0, így elég +0-tól integrálni. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 27 / 45

A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t)t sebességugrás Laplace transzformáltja L{ε(t)t} = 0 te st dt = ] [t e st + 1 e st dt = 1 1 s 0 s 0 s s = 1 s 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 28 / 45

A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja δ(t) impulzus Laplace transzformáltja Az integrálási határokat megfelelően megválasztva: L{δ(t)} = +0 δ(t)e s0 dt = +0 0 0 δ(t)dt = 1 Másképpen, a ε(t) egységugrásból levezetve: L{δ(t)} = sl{ε (t)} = s 1 s Eltolt impulzus Laplace transzformáltja: L{δ(t τ)} = e st Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 29 / 45

A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja Csillapított egységugrás Laplace transzformáltja Az e αt (α > 0) szigorúan monoton csökkenő függvény nem egyoldalas, ezért beszorozva az ε(t) egységugrás függvénnyel, mint ablakfügvénnyel az transzformáció elvégezhető: L { ε(t)e αt} = e αt e st dt = 0 0 [ e e (α+s)t (α+s)t dt = (α + s) ] 0 = 1 s + α Csillapítási tételt felhasználva: L { ε(t)e αt} = 1 s s s+α = 1 s + α Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 30 / 45

A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t)e jωt,ε(t) cos(ωt) és ε(t) sin(ωt) Laplace transzformáltja A csillapított egységugrás számítása alapján α = jω helyettesítéssel: L { ε(t)e jωt} = 1 s + jω Az Euler relációt felhasználva: L{ε(t)cos(ωt)} = L {ε(t) ejωt + e jωt } = 1 1 2 2 s jω + 1 1 2 s + jω = s s 2 + ω 2 L{ε(t)sin(ωt)} = L {ε(t) ejωt e jωt } = 1 1 2j 2j s jω 1 1 2j s + jω = ω s 2 + ω 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 31 / 45

A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja Példa feladatok Laplace transzformációhoz 1. 1. Példa, L{ε(t)te αt } Már számítottuk, hogy L{ε(t)t} = 1 s 2, illetve a csillapítási tételt felhasználva, miszerint L{s(t)e αt } dt = S(s + α) L { ε(t)te αt} = 1 (s + α) 2 2. Példa, L{ε(t)e αt cos(ωt)} Hasonlóan a csillapítási tételt felhasználva: L { ε(t)te αt cos(ωt) } = s + α (s + α) 2 + ω 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 32 / 45

A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja Példa feladatok Laplace transzformációhoz 2. 3. példa T szélességű impulzus Laplace transzformáltja A T szélességű impulzus feĺırható eltolt egységugrások összegeként: s(t) = ε(t) ε(t T) Ebből: L{ε(t) ε(t T)} = L{ε(t)} L{ε(t T)} = 1 s 1 s e st 4. példa δ(t) integráljának Laplace transzformáltja { +0 L δ(t)dt = 1 1 s = 1 s. 0 } Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 33 / 45

A Laplace-transzformáció Átviteli függvény Konvolúció komplex frekvenciatartományban Időtartományban a konvolúcióval számított válasz y(t) = w(t) s(t). Komplex frekvenciatartományban a konvolúció egyszerű szorzássá egyszerűsödik: Y(s) = W(s)S(s), ahol S(s) a gerjesztés-, Y(s) a válasz Laplace transzformáltja, W(s) az un. átviteli függvény, amely a lineáris rendszer leírására szolgál komplex frekvenciatartományban, másrészt a w(t) impulzusválasz Laplace transzformáltja. Definíció Egy lineáris rendszer átviteli függvénye a kimenet és bemenet Laplace transzformáltjának a hányadosa, azaz: W(s) = Y(s) S(s). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 34 / 45

A Laplace-transzformáció Átviteli függvény Impulzusválasz és az átviteli függvény kapcsolata 1. konvolúció s(t) = e st nem belépő gerjesztés esetén y(t) = 0 w(τ)s(t τ)dτ = 0 w(τ)e s(t τ) dτ = e st 0 w(τ)e sτ dτ A fenti összefüggésben az integrált w(t) impulzusválasz Laplace transzformáltjának, vagy másképpen átviteli függvényének nevezzük: W(s) = 0 w(t)e st dt. A rendszer válasza így: y(t) = W(s)e st. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 35 / 45

A Laplace-transzformáció Átviteli függvény Impulzusválasz és az átviteli függvény kapcsolata 2. Dirac-impulzus gerjesztés esetén L{δ(t)} = 1, így az átviteli függvény: W(s) = Y(s) 1 = Y(s). Tétel Az impulzusválasz Laplace transzformáltja az átviteli függvény, illetve az átviteli függvény inverz Laplace transzformáltja az impulzusválasz. W(s) = L{w(t)}, w(t) = L 1 {W(s)}. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 36 / 45

A Laplace-transzformáció Átviteli függvény A rendszeregyenlet és az átviteli fv. kapcsolata A rendszeregyenlet: n n y (n) (t) + a i y (n i) (t) = b i s (n i) (t), i=1 i=0 amely Laplace transzformáltja 0 kezdeti feltételek esetén: ( ) n n Y(s) s n + a i s n i = S(s) b i s n i, i=1 i=0 amelyből: W(s) = Y(s) S(s) = n i=0 b is n i s n + n i=1 a is n i Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 37 / 45

A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja A válaszjel Laplace-transzfomáltjának meghatározása A gerjesztés Laplace transzformáltja általában egy tört, mely számlálója konstans, nevezője egy polinom s-ben, illetve időben eltolt jelek esetében megjelenhet az e sτ tényező is, W(s) két polinom hányadosa, így Y(s) a két tört szoztata, két polinom hányadosa. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 38 / 45

Az inverz Laplace-transzformáció Az inverz Laplace transzformáció Az inverz Fourier transzformáció oldaláról megközeĺıtve: ε(t)s(t)e σt = 1 S(σ + jω)e jωt dω 2π ε(t)s(t) = 1 S(σ + jω)e (σ+jω)t dω 2π Mivel s = σ + jω ds = j dω dω = ds j, így: ε(t)s(t) = 1 σ+j S(s)e st ds = L 1 {S(s)}. 2πj σ j megj: A fenti összefüggés az un. inverz Laplace transzformáció.integrálási határokat szintén s szerint kell értelmeznünk. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 39 / 45

Az inverz Laplace-transzformáció Az inverz Laplace transzformáció gyakorlatban Gyakorlatban az integrál kiértékelésére nincs szükségünk, helyette az un. kifejtési tételt alkalmazzuk, mellyel a két polinom hányadosából álló Laplace transzformáltat törtfüggvényekre bontjuk. Törtfüggvények lehetnek: Valódi törtfüggvények,ha deg(p nom ) < deg(p den ). Ezek lehetnek: 1 egyszeres pólusúak, 2 többszörös pólusúak, 3 szerepel benne exponenciális szorzótényező. Nem valódi törtfüggvények, ha deg(p nom ) deg(p den ) az un. polinomosztással visszavezethető az előzőre. Ha deg(p nom ) < deg(p den ) akkor: lim X(s) <. s Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 40 / 45

Pólus-zérus elrendezés Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Mint láttuk W(s) két polinom hányadosa, amely gyöktényzős alakban: W(s) = b 0s n + b 1 s n 1 + + b n s n + a 1 s n 1 + + a n = K (s z 1)(s z 2 )...(s z n ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ). A számláló gyökei az un. zérushelyek, a nevező gyökeit pólusoknak nevezzük (W(s) itt 0 illetve értéket vesz fel). Az időtartomány beli sajátértékek megegyeznek W(s) pólusaival, így a stabilitás feltétele: R{p i } < 0, i = 1...n. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 41 / 45

Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Pólus-zérus elrendezés W(S) = 1 s + 0.5, p 1 = 0.5 Impulzusválasz transmission zeros and poles 1.0 1.5 0.9 0.8 1.0 0.5 w(t) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 imag. axis 0.0 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Ugrásválasz 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 v(t) 1.0 0.8 0.6 1.5 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Poles real axis 0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 42 / 45

Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Pólus-zérus elrendezés W(S) = s + 0.5 (s + 0.3)(s + 0.2), z 1 = 0.5 p 1 = 0.3 p 2 = 0.2 Impulzusválasz transmission zeros and poles 1.0 1.5 0.9 0.8 1.0 0.5 w(t) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 imag. axis 0.0 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Ugrásválasz 7 6 5 1.0 v(t) 4 3 2 1.5 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Ο Zeros Poles real axis 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 43 / 45

Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Pólus-zérus elrendezés W(S) = s + 0.5 (s ( 1 + j))(s ( 1 j)), z 1 = 0.5 p 1 = 1 + j p 2 = 1 j Impulzusválasz transmission zeros and poles 1.0 1.5 0.8 0.6 1.0 w(t) 0.4 0.2 0.5 0.0 imag. axis 0.0 0.5 1.0 v(t) 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 t Ugrásválasz 1.5 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Ο Zeros Poles real axis 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 44 / 45

Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 45 / 45