Az SI rendszer alapmenniségei. Síkszög, térszög. Prefixumok. Mértékegségek átváltása. Fizika K1A zh1 anag 014 Adatok: fénsebesség, Föld sugara, Nap-Föld távolság, Föld-Hold távolság, a Föld és a Hold keringési és forgási ideje. Fogalmak, definíciók: kinematika, dinamika, tömegpont, helvektor, pála, út, elmozdulás, vonatkoztatási rendszer, sebesség, gorsulás, homogén, stacionárius, determinisztikus, inerciarendszer, erő, tömeg, mozgásegenlet, szögsebesség, szöggorsulás, körfrekvencia, frekvencia, amplitúdó. Elméleti kérdések (megfelelő képlettel, ill. rajzzal) Tömegpont kinematikája Tömegpont mozgásának leírása: helvektor, vonatkoztatási rendszer, pála, út, elmozdulás. Sebesség, gorsulás. A helvektor, a sebességvektor és a gorsulásvektor irána, nagsága. Egenesvonalú mozgás; egenletes mozgás, egenletesen változó mozgás. Körmozgás. Egenletes és egenletesen változó körmozgás. Szögsebesség, szöggorsulás. A gorsulás tangenciális és centripetális komponense. Harmonikus rezgőmozgás. Periódusidő, frekvencia, körfrekvencia, amplitúdó. Rezgések összetétele: azonos periódusidejű, eltérő fázisállandójú rezgések összege; lebegés. Tömegpont dinamikájának alapjai A mechanika axiómái. Inerciarendszer. Erő, erőtér. Tömeg. Dinamikai és sztatikai erő- és tömegmérés. Mozgásegenlet. Kezdeti feltételek. Erőtörvének: földi nehézségi erőtér, általános gravitációs erő, súrlódási erők, kénszererők (felület, kötél, rúd), lineáris rugalmas erő, közegellenállási erő: nagságok és iránok. Mozgás homogén erőtérben, hajítások. Koordinátarendszerek (Descartes-koordinátarendszer, síkbeli polárkoordináta-rendszer). Vektor komponensei, abszolút értéke. Műveletek vektorokkal. Egségvektor. Skalárszorzat, vektoriális szorzat. Egségvektor deriváltja. Időfüggő menniség megváltozása. Átlagos változási sebesség, (pillanatni) változási sebesség. Differenciálás, integrálás; a differenciálás és integrálás grafikus jelentése: irántangens, görbe alatti terület. Hatván, szinusz/koszinusz függvén, konstansszoros, összeg, szorzat, összetett függvén differenciálása. A régebbi zárthelikből (ld. a honlapon) a következő feladatok/kérdések tartoznak az anagba: 010 zh1 1,,3A,3C,4,5 011 zh1 1,,3,4,5,6 01 zh1 1,,3,4,5,7 013 zh1 1,,3,4,5,6 010 zh 1,3,4,5 011 zh 1, 013 zh3 1, 1
Fizika K1A zh1 anag 014 KÉRDÉSEK, FELADATOK RÉGI ZÁRTHELYIKBŐL: Az alábbi állítások közül melek azok, - amelek általános esetben érvénesek; - amelek soha nem igazak; - amelek csak eges speciális esetekben érvénesek (mikor)? <1> A gorsulás koordinátája egenlő a sebesség koordinátájának idő szerinti deriváltjával. <> Polárkoordináta-rendszerben eg adott pontban az e r és e ϕ egségvektorok által bezárt szög függ a pont helétől. <3> A gorsulás idő szerinti deriváltja egenlő a helvektor idő szerinti integráljával. <4> Ha két test sebességvektora minden időben megegezik, akkor megegezik a helvektoruk is. <5> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. <6> Ferde hajításnál a függőleges sebességkomponens állandó. <7> Csak eg inerciarendszer létezik. <8> Ha inerciarendszerben eg test sebessége állandó, akkor nem hathat rá erő. <1> Igaz; Descartes-koordinátarendszerben uganis v(t) = v x (t)i+ v (t)j+v z (t)k, a = v& = v & xi + v& j + v& zk = a xi + a j + a zk, azaz a = v& <> Nem igaz; az e r és e ϕ egségvektorok által bezárt szög mindig derékszög <3> Nem igaz; a helvektor deriváltja egenlő a gorsulás integráljával (megfelelő kezdeti feltételekkel) <4> Csak abban a speciális esetben igaz, ha tudjuk, hog eg időben megegezett a helvektoruk ekkor igaz, hog bármel más időben is megegezik (megfelelő kiindulási feltétel esetén igaz) <5> Igaz, mert vízszintes iránban a gorsulás zérus. (((feltéve, hog a közegellenállás elhanagolható))) <6> Nem igaz, a g gorsulás miatt a sebesség v z = v z0 gt. (((Illetve lehet igaz, ha figelembe vesszük a közegellenállást, akkor kialakulhat eg stacionárius sebesség))) <7> Nem igaz; eg inerciarendszerhez képest egenes vonalú egenletes transzlációt végző vonatkozatási rendszer is inerciarendszer (azaz végtelen sok inerciarendszer létezik) <8> Nem igaz; az erők eredője zérus Igaz-e, hog <1> az út-idő görbének lehet vízszintes érintője? Ha igen, mit jelent az? <> görbe vonalú mozgásnál a sebesség nagsága mindig változik? Minden válaszhoz indoklást is kérünk! <1> IGEN, ekkor a sebesség zérus <> NEM IGAZ, a sebesség nagsága lehet állandó (az irána változik, és íg a sebességvektor is)
Fizika K1A zh1 anag 014 Az alábbi állításokról döntse el, hog lehet-e igaz! Indokolja! <1> Eg tömegpont sebességvektora időben változik, de uganakkor a sebességének nagsága állandó. <> Eg tömegpont sebességének nagsága időben változik, de uganakkor a sebességvektora állandó. <3> Eg tömegpont átlagsebessége a [0; 0 s] időintervallumban nem zérus, de a [0; 60 s] időintervallumban zérus. <4> Eg tömegpont átlagsebessége a [0; 60 s] időintervallumban zérus, de a [0; 0 s] időintervallumban nem zérus. <5> Tömegpont mozog az x tengel mentén. A sebessége pozitív és a gorsulása negatív. <6> Tömegpont mozog az x tengel mentén. A sebessége negatív és a gorsulása pozitív. <1> Igaz lehet, ha a vektor irána változik. <> Nem lehet igaz. Két vektor akkor egenlő, ha nagságuk és iránuk megegezik. <3-4> Ez a két kérdés uganaz. Mivel az átlagsebesség az elmozdulásvektor és az eltelt idő hánadosa, igaz lehet az állítás, ha a [0; 60 s] intervallumban a tömegpont visszatér a kiindulópontba, ahol t = 0-ban volt. <5-6> Ezekre a kérdésekre bármi lehet igaz. A gorsulás a sebesség deriváltja, de nincs semmi megkötés arra, hog ha az egik pozitív/negatív, milen kell legen a másik előjele. (Az viszont itt mindkét esetben igaz, hog a sebesség abszolút értéke csökken.) Írjon fel 3 példát erőtörvénre! Írja le, melik mire, mikor érvénes! Az egikhez írja fel a mozgásegenletet is! Az erőtörvének azt adják meg, hog mitől, hogan függ az erő eg adott kölcsönhatás esetén. Példák: Földi nehézségi erőtér G = mg = -mgk A Földfelszín közelében lévő testekre hat. Irána függőleges, a Föld középpontja felé mutat; g a gravitációs gorsulás. m1 m r Általános gravitációs erőtörvén F = γ r r Bármel két test között fellépő vonzóerő. m 1, m a testek tömege, r az egik testtől a másik felé mutató vektor, γ univerzális fizikai állandó (gravitációs állandó). Csúszási súrlódási erő F = µn Ha eg test eg szilárd felületen mozog, akkor rá a mozgásiránnal ellentétes csúszási súrlódási erő hat; µ a csúszási súrlódási ténező, N a nomóerő. Tapadási súrlódási erő Az az erő, amelet a felület fejt ki a (felülethez képest nugalomban lévő) testre, ha a testet más erő mozgásba kívánja hozni. A tapadási súrlódási erő maximális értéke F kr = µ t N. Gördülő ellenállás F = µ g N Henger, gömb, kerekek gördülésénél fellépő fékező erő. Lineáris rugalmas erőtörvén 3
Fizika K1A zh1 anag 014 Egik végén rögzített rugó a rugó megnúlásával arános erőt fejt ki: F = k (l-l 0 ) l a rugó hossza, l 0 a rugó hossza megnújtatlan állapotban, k a rugóállandó. (Rugalmas: az erő csak a pillanatni kitéréstől függ, lineáris: az erő arános a kitéréssel.) Közegellenállási erő Foladékban vag gázban mozgó szilárd testre ható, a sebességével ellentétes iránú fékező erő. Kis sebességnél a sebességgel F = - k v, nagobb sebességnél a sebesség négzetével arános: F = - k v v Mozgásegenlet: (a II. axiómába behelettesítjük az aktuális erőtörvént, és a gorsulást a helvektor második deriváltjaként írjuk fel) pl. m& r = mgk Adjuk meg a következő menniségeket: a) A Föld sugara mm-ben: b) m = 0 g, a = 6480 km/h. Adjuk meg a testre ható erő nagságát N-ban! c) A Föld keringési ideje percben: a) 6,37 10 9 mm b) a = 6480 km/h 1000m = 6480 (3600s) c) 365 4 60 5,6 10 5 min = 0,5 m/s, F = ma = 0,0 0,5 = 0,01 N Az E épület liftje induláskor 0,5 s alatt gorsít fel (állandó nagságú gorsulással) az 1,5 m/s-os állandó sebességére, fékezéskor ugancsak 0,5 s alatt fékez le álló helzetbe. A lift az 1. emeletről meg le a földszintre, ehhez a liftnek 4,5 m-t kell ereszkednie. Ábrázoljuk (megfelelően beskálázott koordinátarendszerekben) az idő függvénében - a lift gorsulását, - a lift sebességét, - a lift által megtett utat! a = v / t = 1,5 / 0,5 = 3 m/s az út - a gorsuló részen: s 1 (t) = ½ a t = 1,5 t, t 1 = 0,5 s-nál az addig megtett út s 1v = 0,375 m - a lassuló részen s 3 (t) = s v + vt ½ at = s v +1,5t 1,5t, t 3 = 0,5 s alatt a lassulva megtett út s 3v = s v + 0,375 [m] - az állandó sebességű részen s v = 4,5-0,375 = 3,75 m-t kell megtennie, az ehhez szükséges idő t = s v / v = 3,75/1,5 =,5 s és itt az út-idő függvén s (t) = s 1v + vt = 0,375 + 1,5 t 4
Fizika K1A zh1 anag 014 Eg tömegpont harmonikus rezgőmozgást végez az x tengel mentén: A/ x(t) = x* cos (ω t + π), ahol x* = m, ω = π/5 s -1 B/ x(t) = x* cos (ω t π/), ahol x* =,4 m, ω = π/ s -1 a) Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] időintervallumban! (Menni a T periódusidő? Mekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s-ban?) b) Menni a sebesség átlagértéke eg teljes periódusra? c) Menni a sebesség nagságának átlagértéke eg teljes periódusra? a) A/ T = π / ω = 5 s, A = * x = m, x(0) = cos(ω 0+π) = m B/ T = π / ω = 4 s, A = * x =,4 m, x(0) =,4 cos(ω 0 π/) = 0 b) Mivel eg teljes periódus alatt a tömegpont visszatér a kiindulási helzetébe, az elmozdulás zérus, vagis a sebesség átlagértéke zérus. c) Eg teljes periódus alatt a tömegpont kétszer meg ki a szélső helzetébe és meg vissza az origóba, azaz a megtett út 4-szerese az amplitúdónak, a sebesség nagságának átlaga v átl = 4A / T, azaz A/ v átl = 4 /5 = 1,6 m/s, B/ v átl = 4,4/4 =,4 m/s. 50 m/s kezdősebességgel függőlegesen felfelé hajítunk eg követ. Uganakkor eg 50 m magas toronból szabadeséssel leesik eg másik kő. a) Melik pillanatban vannak azonos magasságban? b) Mekkora ekkor az egik ill. másik sebessége? a) Fölfelé mutató z tengelt használva a feldobott kő z koordinátája z 1 = 50 t ½gt, a leesőé z = 50 ½gt. z 1 = z : 50 t ½gt = 50 ½gt t = 1 s. b) v = v 0 gt: v 1 = 50 10 1 = 40 m/s, v = 10 1 = -10 m/s. 5
Fizika K1A zh1 anag 014 790 m magasságban állandó, 960 km/h vízszintes sebességgel haladó repülőgépről leesett az egik ajtó. Szupermen is azon a repülőgépen utazott, de éppen aludt. 10 s-ig tartott, amíg felébresztették és elmondták neki, mi történt. Ekkor azonnal (0 s alatt) odaszaladt az ajtó helén tátongó lukhoz és a) függőlegesen lefelé v 0 kezdősebességgel elrugaszkodva utánaugrott az ajtónak. Mekkora kezdősebességgel ugrott ki Szupermen, ha 3 s alatt érte utol az ajtót? b) zérus kezdősebességgel, de különleges képességeit felhasználva állandó nagságú, függőleges gorsulással indult az ajtó után (ez a gorsulás hozzáadódik a nehézségi erőből eredő gorsulásához). Legalább mekkorának kellett lenni ennek a gorsulásnak, hog még a levegőben elérje az ajtót? A g értékét vegük 9,9 m/s -nek. A légellenállást hanagoljuk el! Ha a légellenállást elhanagolhatjuk, akkor a leesett ajtóra nem hat vízszintes iránú erő, megtartja a repülőgép sebességével megegező vízszintes sebességkomponensét, mindig a repülőgép alatt lesz. A feladat megoldásához elég a z koordinátát felírni. a) 10+3 s alatt az ajtó s = ½ 9,9 13 = 836,55 m -t zuhant. Szupermen t S = 3 s alatt v 0 kezdősebességről indulva tesz meg ekkora utat: s = v 0 t S + ½ g t S v 0 = (s ½ g t S )/ t S = 64 m/s. b) Az ajtó h = 790 m magasságból t a = h / g = 40 s alatt ér földet. Ennél 10 s -mal kevesebb idő alatt kell Szupermennek földet érnie, ha még a levegőben el akarja kapni az ajtót. s = ½ (g+a)t a = s/t g 790/(40 10) 9,9 = 7,7 m/s. Eg fekete autó 84 km/h sebességről 10 km/h sebességre gorsít fel 4 s alatt állandó gorsulással, eg fehér autó pedig 48 km/h-ról 84 km/h-ra ugancsak 4 s alatt szintén állandó gorsulással A: egenes úton, B: R = 150 m sugarú köríven. A két autó tömege egenlő. Igaz-e, hog a) a fekete autó gorsulása nagobb? b) a fekete autó nagobb utat tesz meg eközben? a) A: nem B: igen Egenes úton a fekete és a fehér autó gorsulása megegezik, mert a sebességváltozás és az eltelt megegezik (tehát nem igaz, hog a fekete autó gorsulása nagobb) Köríven viszont a fenti gorsulás még csak az érintőiránú (tangenciális) gorsuláskomponens (ami a sebesség nagságának változását okozza), itt viszont figelembe kell venni a (sebességvektor iránának változását okozó) centripetális gorsuláskomponenst is, ami v -tel arános, tehát a fekete autónál nagobb. Az eredő gorsulás a = a t + a, tehát köríven igaz, hog a fekete autó gorsulása nagobb. cp 6
Fizika K1A zh1 anag 014 b) A: igen B: igen A megtett út s = v 0 t + ½at. A kezdősebességet, v 0 -at kivéve minden megegezik, tehát az az autó, amelik nagobb sebességről indult, nagobb utat tesz meg, akár egenesen, akár köríven halad. Eg fekete autó egenes úton, eg fehér autó pedig R = 40 m sugarú köríven 108 km/h sebességről 16 km/h sebességre gorsít fel 5 s alatt állandó kerületi gorsulással. a) Igaz-e, hog fehér autó gorsulása nagobb? b) Írjuk fel a fehér autó szögsebességét az idő függvénében! a) Igaz, mert a kerületi/tangenciális gorsulásuk azonos: v 1 = 108/3,6 = 30 m/s, v = 16/3,6 = 35 m/s, a t = v/ t = (35 30)/5 = 1 m/s ; de a fehér autónak a körpála miatt centripetális gorsulása is van, íg annak gorsulása t a + a cp > a t b) ω 1 = v 1 /R = 30/40 = 0,75 s -1, ω = v /R = 35/40 = 0,875 s -1, β = ω/ t = (0,875 0,75)/5 = 0,05 s, (vag: β = a t / R = 1/40 = 0,05 s - ), azaz ω = ω 1 + βt = 0,75 + 0,05 t (s -1 ) Eg m tömegű tömegpont gorsulása a. A tömegpontra két erő hat, az egik erő (F 1 ) ismert. Határozzuk meg képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik erőt (F )! 7