Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló

Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló Eger, 2012

Tartalomjegyzék Jelölések 2 1. Összefoglaló 4 1.1. Eloszlások geerálása........................... 4 1.1.1. Egyeletes eloszlásból származtatott eloszlások......... 4 1.1.2. Normális eloszlásból származtatott eloszlások......... 5 1.2. Grafikus illeszkedésvizsgálat....................... 5 1.3. Itervallumbecslések........................... 6 1.4. Paraméteres hipotézisvizsgálatok.................... 7 1.5. Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok.................. 10 1.6. Regressziószámítás............................ 13 1.7. Excel függvéyek............................. 16 1.7.1. Logikai függvéyek........................ 17 1.7.2. Elemi függvéyek......................... 17 1.7.3. Mátrixok.............................. 18 1.7.4. Kombiatorika.......................... 18 1.7.5. Pszeudo-véletle szám geerálása................ 18 1.7.6. Statisztikák............................ 18 1.7.7. Eloszlások............................. 20 1.7.8. Eloszlásfüggvéyek........................ 20 1.7.9. Sűrűségfüggvéyek........................ 21 1.7.10. Iverz eloszlásfüggvéyek..................... 21 1.7.11. Grafikus illeszkedésvizsgálat................... 22 1.7.12. Itervallumbecslés........................ 22 1.7.13. Paraméteres hipotézisvizsgálatok................ 22 1.7.14. Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok.............. 23 1.7.15. Regressziószámítás........................ 23 1

Jelölések Általáos N R R R + (a, b) [x] f 1 A A 1 a pozitív egész számok halmaza a valós számok halmaza R-ek ömagával vett -szeres Descartes-szorzata a pozitív valós számok halmaza redezett elempár vagy yílt itervallum közelítőleg egyelő az x valós szám egész része az f függvéy iverze az A mátrix traszpoáltja az A mátrix iverze Valószíűségszámítás P(A) E ξ D ξ, D 2 ξ cov(ξ, η) corr(ξ, η) ϕ Φ I A Bi(r; p) Exp(λ) Norm(m; σ) Norm d (m; A) Gamma(r; λ) Khi(s) az A eseméy valószíűsége ξ várható értéke ξ szórása illetve szóráségyzete kovariacia korrelációs együttható a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéye a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye az A eseméy idikátorváltozója az r-edredű p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változók halmaza a λ paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változók halmaza az m várható értékű és σ szórású ormális eloszlású valószíűségi változók halmaza az m és A paraméterű d-dimeziós ormális eloszlású valószíűségi változók halmaza az r-edredű λ paraméterű gamma-eloszlású valószíűségi változók halmaza az s szabadsági fokú khi-égyzet eloszlású valószíűségi változók halmaza 2

t(s) F(s 1 ; s 2 ) F V az s szabadsági fokú t-eloszlású valószíűségi változók halmaza az s 1 és s 2 szabadsági fokú F-eloszlású valószíűségi változók halmaza Ha ξ valószíűségi változó, és V a ξ-vel azoos eloszlású valószíűségi változók halmaza, akkor ez azt jelöli, hogy F a V-beli valószíűségi változók közös eloszlásfüggvéye. Például Φ Norm(0; 1). Matematikai statisztika F ξ S, S 2 S ξ,, Sξ, 2 S, S 2 Sξ,, S 2 ξ, ξ1,..., ξ Cov (ξ, η) Corr (ξ, η) ϑ H 0, H 1 tapasztalati eloszlásfüggvéy a ξ-re voatkozó mita átlaga (mitaátlag) tapasztalati szórás illetve szóráségyzet ξ-re voatkozó tapasztalati szórás illetve szóráségyzet korrigált tapasztalati szórás illetve szóráségyzet ξ-re voatkozó korrigált tapasztalati szórás illetve szóráségyzet redezett mita tapasztalati kovariacia tapasztalati korrelációs együttható a ϑ paraméter becslése ullhipotézis, ellehipotézis 3

1. Összefoglaló 1.1. Eloszlások geerálása 1.1.1. Egyeletes eloszlásból származtatott eloszlások Itt az η, η 0, η 1, η 2,... függetle, a [0, 1] itervallumo egyeletes eloszlású valószíűségi változókat jelet. Diszkrét egyeletes eloszlás Ha m N, akkor [mη] + 1 diszkrét egyeletes eloszlású az { 1,..., m } halmazo. Karakterisztikus eloszlás Ha 0 < p < 1, akkor I η<p karakterisztikus eloszlású p paraméterrel. Biomiális eloszlás Ha r N és 0 < p < 1, akkor r i=1 I η i <p r-edredű p paraméterű biomiális eloszlású. Hipergeometrikus eloszlás Legye r, M, N N, M < N, továbbá r mi{ M, N M }. Ekkor ξ i 1 + 1, ξ 0 0, ξ i := ξ i 1, ha η i < M ξ i 1 N i+1, külöbe, (i = 1,..., r) jelöléssel P(ξ r = k) = ( M )( N M ) k r k ( N ) (k = 0,..., r), r azaz ξ r hipergeometrikus eloszlású N, M, r paraméterekkel. Poisso-eloszlás Ha λ > 0, akkor { mi s : Poisso-eloszlású λ paraméterrel. Geometriai eloszlás s } η i < e λ i=0 Ha 0 < p < 1, akkor mi { s : η s < p } geometriai eloszlású p paraméterrel. 4

Folytoos egyeletes eloszlás Ha a, b R, a < b, akkor a + (b a)η az [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású. Expoeciális eloszlás Ha λ > 0, akkor l η λ Gamma-eloszlás expoeciális eloszlású λ paraméterrel. Ha λ > 0 és r N, akkor 1 λ r i=1 l η i r-edredű λ paraméterű gammaeloszlású. Normális eloszlás Ha m R és σ > 0, akkor m + σ 2 l η 1 cos(2πη 2 ) ormális eloszlású m várható értékkel és σ szórással. 1.1.2. Normális eloszlásból származtatott eloszlások Itt az η, η i (i N) függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változókat jelet. Khi-égyzet eloszlás Ha s N, akkor s i=1 η2 i khi-égyzet eloszlású s szabadsági fokkal. t-eloszlás Ha s N, akkor η s s i=1 η2 i t-eloszlású s szabadsági fokkal. Cauchy-eloszlás η 1 η 2 Cauchy-eloszlású. F-eloszlás Ha s 1, s 2 N, akkor s 2 s1 i=1 η 2 i s 1 s1 +s 2 i=s 1 +1 η2 i F-eloszlású s 1 és s 2 szabadsági fokkal. 1.2. Grafikus illeszkedésvizsgálat Legye x 1,..., x r R és x 1 < x 2 < < x r. Jelölje a mitarealizáció elemeiek a számát és k i az x i -él kisebb elemek számát a mitarealizációba. 5

Normalitásvizsgálat Ha teljesül, hogy a vizsgált valószíűségi változó ormális eloszlású m várható értékkel és σ szórással, akkor y i := Φ 1 ki ( ) jelöléssel az (x i, y i ) (i = = 1,..., r) koordiátájú potok körülbelül egy olya egyeesre esek, melyek 1 σ a meredeksége és m σ Expoecialitásvizsgálat értékél metszi a függőleges tegelyt. Ha teljesül, hogy a vizsgált valószíűségi változó expoeciális eloszlású λ paraméterrel, akkor y i := l 1 k ) ( i jelöléssel az (x i, y i ) (i = 1,..., r) koordiátájú potok körülbelül egy olya egyeesre esek, melyek λ a meredeksége és átmegy az origó. 1.3. Itervallumbecslések Legye a ξ valószíűségi változóra voatkozó mita ξ 1,..., ξ, és 1 α a becsüledő paraméterre voatkozó [τ 1, τ 2 ] kofideciaitervallum biztosági szitje. ξ Norm(m; σ) m az ismeretle becsüledő paraméter, σ ismert τ 1 = ξ σ Φ ( ) 1 1 α 2 τ 2 = ξ + σ Φ ( ) 1 1 α 2 ξ Norm(m; σ) m ismert, σ az ismeretle becsüledő paraméter F Khi() τ 1 = τ 2 = i=1 (ξ i m) 2 F 1 (1 α 2 ) i=1 (ξ i m) 2 F 1 ( α 2 ) ξ Norm(m; σ) m ismeretle, σ az ismeretle becsüledő paraméter 2, F Khi( 1) τ 1 = S F 1 (1 α 2 ) τ 2 = S F 1 ( α 2 ) ξ Norm(m; σ) m az ismeretle becsüledő paraméter, σ ismeretle 6

2, F t( 1) τ 1 = ξ S F ( ) 1 1 α 2 τ 2 = ξ + S F ( ) 1 1 α 2 ξ Exp(λ) λ az ismeretle becsüledő paraméter F Gamma(; 1) τ 1 = 1 ξ F ( ) 1 α 2 τ 2 = 1 ξ F ( ) 1 1 α 2 ξ Bi(1; p) p az ismeretle { becsüledő paraméter τ 1 = 1 max z N : z ( } i i=0 i) ξ (1 ξ) i < α 2 { τ 2 = 1 mi z N : z ( } i i=0 i) ξ (1 ξ) i 1 α 2 Nagy -re: c = Φ ( ) 1 1 α 2 τ 1 = ξ + c2 c 2 ξ(1 ξ) + c2 4 ξ c ξ(1 ξ) 1 + c2 τ 2 = ξ + c2 + c 2 ξ(1 ξ) + c2 4 1 + c2 ξ + ξ az [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású c ξ(1 ξ) a ismert, b az ismeretle becsüledő paraméter F Gamma(; 1), c 1 = F ( ) 1 α 2, c2 = F ( ) 1 1 α 2 τ 1 = a + ( e c 1 i=1 (ξ i a) ) 1 τ 2 = a + ( e c 2 i=1 (ξ i a) ) 1 1.4. Paraméteres hipotézisvizsgálatok A következőkbe 1 α a próba szitjét jeleti. Egymitás u-próba ξ Norm(m; σ), m ismeretle, σ ismert, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita, m 0 R rögzített. H 0 : m = m 0 u = ξ m 0 σ 7

H 1 m m 0 m < m 0 m > m 0 kritikus tartomáy 2 2Φ( u ) < α Φ(u) < α 1 Φ(u) < α Kétmitás u-próba ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2 ismeretleek, σ 1, σ 2 ismertek, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita. H 0 : m 1 = m 2 u = ξ η σ1 2 1 + σ2 2 2 H 1 kritikus tartomáy m 1 m 2 m 1 < m 2 m 1 > m 2 2 2Φ( u ) < α Φ(u) < α 1 Φ(u) < α Egymitás t-próba ξ Norm(m; σ), m, σ ismeretleek, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita, 2, m 0 R rögzített. H 0 : m = m 0 t = ξ m 0 S és F t( 1) H 1 kritikus tartomáy m m 0 m < m 0 m > m 0 2 2F ( t ) < α F (t) < α 1 F (t) < α Kétmitás t-próba ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretleek, σ 1 = σ 2, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, illetve η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita, 1 2, 2 2. H 0 : m 1 = m 2 t = ξ η 1 Sξ, 2 + 2 S 2 1 η, 2 1 2 ( 1 + 2 2) 1 + 2 és F t( 1 + 2 2) 8

H 1 m 1 m 2 m 1 < m 2 m 1 > m 2 kritikus tartomáy 2 2F ( t ) < α F (t) < α 1 F (t) < α Scheffé-módszer ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretleek, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, illetve η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita, 2 1 2. H 0 : m 1 = m 2 ζ i = ξ i 1 2 η i + 1 1 2 1 k=1 η k η (i = 1,..., 1 ) ( 1 = 2 eseté ζ i = ξ i η i ) t = ζ S ζ, 1 1 és F t( 1 1) H 1 kritikus tartomáy m 1 m 2 2 2F ( t ) < α m 1 < m 2 F (t) < α m 1 > m 2 1 F (t) < α 1 = 2 eseté a módszer akkor is alkalmazható, ha a miták em függetleek, de csak akkor, ha ξ η ormális eloszlású. F-próba ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretleek, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, illetve η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita ( 1 2, 2 2). H 0 : σ 1 = σ 2 F = S 2 ξ, 1 S 2 η, 2 és F F( 1 1; 2 1) H 1 kritikus tartomáy σ 1 σ 2 σ 1 < σ 2 σ 1 > σ 2 2 mi{ F (F),1 F (F) } < α F (F) < α 1 F (F) < α Khi-égyzet próba ξ Norm(m; σ), m, σ ismeretleek, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita ( 2). H 0 : σ = σ 0 9

χ 2 = S2 és F Khi( 1) σ0 2 H 1 kritikus tartomáy σ σ 0 σ < σ 0 σ > σ 0 2 mi{ F (χ 2 ),1 F (χ 2 ) } < α F (χ 2 ) < α 1 F (χ 2 ) < α Statisztikai próba az expoeciális eloszlás paraméterére ξ Exp(λ), λ ismeretle, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita, λ 0 R + rögzített. H 0 : λ = λ 0 γ = λ 0 ξ és F Gamma(; 1) H 1 kritikus tartomáy λ λ 0 λ < λ 0 λ > λ 0 2 mi{ F (γ),1 F (γ) } < α 1 F (γ) < α F (γ) < α Statisztikai próba valószíűségre ξ Bi(1; p), p ismeretle, 0 < p 0 < 1 rögzített és ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita. H 0 : p = p 0 F 1 (x) = mi { z N : z ( ) i=0 i p i 0 (1 p 0 ) i x } mi{ p 0, (1 p 0 ) } 10 eseté F 1 (x) p 0 1 2 + p 0 (1 p 0 )Φ 1 (x) H 1 kritikus tartomáy p p 0 ξ < F ( ) ( ) 1 α 2 vagy ξ > F 1 1 α 2 p < p 0 ξ < F 1 (α) p > p 0 ξ > F 1 (1 α) feltétel p p 0 1 F ( ) 1 α 2 < p0 < F ( ) 1 1 α 2 1 p < p 0 1 F 1 (α) < p 0 p > p 0 p 0 < F 1 (1 α) 1 1.5. Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok A következőkbe 1 α a próba szitjét jeleti. 10

Tiszta illeszkedésvizsgálat valószíűségre A 1,..., A r teljes eseméyredszer, p 1,..., p r R +, p 1 + + p r = 1. H 0 : P(A i ) = p i i, ahol P a valódi valószíűség ϱ i ( 10) az A i gyakorisága kísérlet utá r χ 2 (ϱ i p i ) 2 = és F Khi(r 1) p i i=1 Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Tiszta illeszkedésvizsgálat eloszlásfüggvéyre ξ-re voatkozó mita ξ 1,..., ξ H 0 : ξ eloszlásfüggvéye F 0 a 0 = < a 1 < a 2 < < a r 1 < a r = ϱ i = I ξz [ai 1,a i ) 10 z=1 p i = P(a i 1 ξ < a i ) = F 0 (a i ) F 0 (a i 1 ), azaz P P H0 r χ 2 (ϱ i p i ) 2 = és F Khi(r 1) p i i=1 Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Becsléses illeszkedésvizsgálat ξ-re voatkozó mita ξ 1,..., ξ F ϑ eloszlásfüggvéy mide ϑ = (ϑ 1,..., ϑ v ) Θ R v eseté. H 0 : ξ eloszlásfüggvéye F ϑ valamely ϑ Θ eseté a 0 = < a 1 < a 2 < < a r 1 < a r = ϱ i = I ξz [ai 1,a i ) 10 z=1 ϑ i a ϑ i maximum likelihood becslése H 0 feltételezésével p i = P ( ϑ1,..., ϑ (a v) i 1 ξ < a i ) = F ( ϑ1,..., ϑ (a v) i) F ( ϑ1,..., ϑ (a v) i 1) r χ 2 (ϱ i p i ) 2 = és F Khi(r 1 v) p i i=1 Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Függetleségvizsgálat eseméyredszerekre A 1,..., A r és B 1,..., B s két teljes eseméyredszer. H 0 : P(A i B j ) = P(A i ) P(B j ) i, j, ahol P a valódi valószíűség. A kotigecia táblázat 11

B 1 B 2... B s A 1 ϱ 11 ϱ 12... ϱ 1s k 1 A 2 ϱ 21 ϱ 22... ϱ 2s k 2........ A r ϱ r1 ϱ r2... ϱ rs k r l 1 l 2... l s ϱ ij 10 mide i, j eseté r s χ 2 (ϱ ij 1 = il j ) 2 1 i=1 j=1 il j és F Khi((r 1)(s 1)) Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Függetleségvizsgálat valószíűségi változókra (ξ, η)-ra voatkozó mita (ξ 1, η 1 ),..., (ξ, η ) H 0 : ξ és η függetle a 0 = < a 1 < a 2 < < a r 1 < a r = b 0 = < b 1 < b 2 < < b s 1 < a s = k i = I ξz [ai 1,a i ) l j = ϱ ij = z=1 z=1 I ηz [b j 1,b j ) I ξz [ai 1,a i ) I ηz [bj 1,b j ) 10 z=1 r s χ 2 (ϱ ij 1 = k il j ) 2 1 k és F Khi((r 1)(s 1)) i=1 j=1 il j Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Homogeitásvizsgálat ξ és η függetle valószíűségi változók, az ezekre voatkozó miták ξ 1,..., ξ 1 illetve η 1,..., η 2. H 0 : ξ és η azoos eloszlású c 0 = < c 1 < c 2 < < c r 1 < c r = k i = I ξz [ci 1,c i ) 10 l j = I ηz [cj 1,c j ) 10 z=1 χ 2 = 1 2 r i=1 ( k i 1 l i 2 ) 2 z=1 k i + l i és F Khi(r 1) Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Kétmitás előjelpróba (ξ, η)-ra voatkozó mita (ξ 1, η 1 ),..., (ξ, η ) 12

H 0 : P(ξ > η) = 1 2 B = I ξi >η i i=1 F 1 (x) = mi { z N : z ( ) i=0 i ( 1 2 ) x } 20 eseté F 1 (x) 1 ( 1 + Φ 1 (x)) 2 H 1 kritikus tartomáy P(ξ > η) 1 2 B < F ( ) ( ) 1 α 2 vagy B > F 1 1 α 2 P(ξ > η) < 1 2 B < F 1 (α) P(ξ > η) > 1 2 B > F 1 (1 α) Kolmogorov Szmirov-féle kétmitás próba ξ és η folytoos eloszlásfüggvéyű függetle valószíűségi változók, az ezekre voatkozó miták ξ 1,..., ξ illetve η 1,..., η ( > 30) H 0 : ξ és η azoos eloszlású ξ-re illetve η-ra voatkozó mitákhoz tartozó tapasztalati eloszlásfüggvéyek F illetve G D = 2 max i=1,...,2 F (x i ) G (x i ), ahol x 1 = ξ 1,..., x = ξ, x +1 = η 1,..., x 2 = η K(z) = 1 + 2 i=1 ( 1)i e 2i2 z 2 Kritikus tartomáy: K(D) 1 α Kolmogorov Szmirov-féle egymitás próba ξ folytoos eloszlásfüggvéyű valószíűségi változó, az erre voatkozó mita ξ 1,..., ξ ( > 30) H 0 : ξ eloszlásfüggvéye F F a tapasztalati eloszlásfüggvéy F (x) = 1 k=1 I ξ k x D = max i=1,..., max{ F(x i ) F (x i ), F (x i ) F (x i ) } K(z) = 1 + 2 i=1 ( 1)i e 2i2 z 2 Kritikus tartomáy: K(D) 1 α 1.6. Regressziószámítás Az η, ξ 1,..., ξ k valószíűségi változókra adjuk meg azt az η g(ξ 1,..., ξ k ) közelítést adó g függvéyt, melyre E ( η g(ξ 1,..., ξ k ) ) 2 miimális. Az ilye tulajdoságú g függvéyt (regressziós függvéy) a gyakorlatba csak becsüli tudjuk az 13

(η, ξ 1,..., ξ k ) valószíűségi vektorváltozóra voatkozó (η i, ξ i1,..., ξ ik ), i = 1,..., mita alapjá. Legye ez a becslés ĝ. Ezutá az η ĝ(ξ 1,..., ξ k ) közelítést fogjuk haszáli. Lieáris regresszió A regressziós függvéyt csak a g(x 1,..., x k ) = a 0 + a 1 x 1 + + a k x k (a 0,..., a k R) alakú függvéyek között keressük. Ekkor az η â 0 + â 1 ξ 1 + + â k ξ k közelítést fogjuk haszáli, ahol â 0,..., â k redre a 0,..., a k becslései. Fixpotos lieáris regresszió Legyeek t 0,..., t k R rögzített kostasok. A regressziós függvéyt g(x 1,..., x k ) = t 0 + a 1 (x 1 t 1 ) + + a k (x k t k ) (a 1,..., a k R) alakba keressük. Ekkor az η t 0 + â 1 (ξ 1 t 1 ) + + â k (ξ k t k ) közelítést fogjuk haszáli, ahol â 1,..., â k redre a 1,..., a k becslései. A (t 1,..., t k, t 0 ) potot fixpotak evezzük, mert a kapott g biztosa ráilleszkedik. Poliomos regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a r x r (a 0,..., a r R + ) között vég- alakba keressük. Az a 0,..., a r együtthatókat az η, ξ 1, ξ1, 2..., ξ1 r rehajtott lieáris regresszió adja. 14

Hatváykitevős regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = ax b (a R +, b R) alakba keressük. Ez azzal ekvivales, hogy l y = l a + b l x, így ekkor l η és l ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a kapott a 0, a 1 együtthatókra teljesül, hogy a = e a 0, b = a 1. Expoeciális regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = ab x (a, b R + ) alakba keressük. Ez azzal ekvivales, hogy l y = l a + (l b)x, így ekkor l η és ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a kapott a 0, a 1 együtthatókra teljesül, hogy a = e a 0, b = e a 1. Logaritmikus regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = a + b l x (a, b R) alakba keressük. Így ekkor η és l ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a = a 0, b = a 1. 15

Hiperbolikus regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = 1 a + bx (a, b R) alakba keressük. Ez azzal ekvivales, hogy y 1 = a + bx, így ekkor η 1 és ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a = a 0, b = a 1. 1.7. Excel függvéyek Képlet bevitele Mide képletet = jellel kell kezdei. Ha a képlet egyértékű eredméyt ad, akkor yomjo Eter-t. Tömbképlet bevitele Ha a képlet eredméye tömb (például egy mátrix iverze), akkor először jelölje ki a megfelelő méretű tömböt, gépelje be a képletet (előtte =), majd yomjo Ctrl+Shift+Eter-t. Tömbképlet javítása Ha egy tömbképletet javítai akar, akkor jelölje ki a tömbképletre voatkozó tömböt, F2, javítás, majd Ctrl+Shift+Eter. Műveletek + összeadás - kivoás * szorzás / osztás ^ hatváyozás Relációk = egyelő < kisebb > agyobb <= kisebb vagy egyelő 16

>= agyobb vagy egyelő <> em egyelő Kostasok e = KITEVŐ(1) π = PI() 1.7.1. Logikai függvéyek HA(feltétel;ha igaz;ha hamis) ÉS(feltétel1;feltétel2;...) VAGY(feltétel1;feltétel2;...) 1.7.2. Elemi függvéyek x = ABS(x) x R [x] = INT(x) x R sig x = ELŐJEL(x) x R l x = LN(x) x > 0 log a x = LOG(x;a) x > 0, a > 0, a 1 x = GYÖK(x) x 0 x a = HATVÁNY(x;a) = x^a e x = KITEVŐ(x) x R si x = SIN(x) x R cos x = COS(x) x R tg x = TAN(x) x R, x k π, ahol k páratla egész 2 arcsi x = ARCSIN(x) x [ 1, 1] arccos x = ARCCOS(x) x [ 1, 1] arctg x = ARCTAN(x) x R r i=0 a ix k+im = SERIESSUM(x;k;m;A:A), ahol az A oszlopba vaak az a 0,..., a r valós számok (x R, k, m N) 1 l ( 1+x 2 1 x) = FISHER(x) 1 < x < 1 e 2x 1 = INVERZ.FISHER(x) x R e 2x +1 l Γ(x) = l u x 1 e u du = GAMMALN(x) x > 0 0 0 Γ(x) = u x 1 e u du = KITEVŐ(GAMMALN(x)) x > 0 17

1.7.3. Mátrixok MDETERM(tömb) A tömb-be található típusú mátrix determiása TRANSZPONÁLÁS(tömb) A tömb-be található m típusú mátrix traszpoáltja, mely egy m méretű tömbbe helyezkedik el (tömbképlet!). INVERZ.MÁTRIX(tömb) A tömb-be található típusú mátrix iverze, mely egy méretű tömbbe helyezkedik el (tömbképlet!). MSZORZAT(tömb1;tömb2) A tömb1-be található m típusú mátrix és a tömb2- be található k típusú mátrix szorzata, mely egy m k méretű tömbbe helyezkedik el (tömbképlet!). 1.7.4. Kombiatorika m! = FACT(m) m N m!! = FACTDOUBLE(m) m N (m!! az ú. szemifaktoriális, amely 1 3... m, ha m páratla, illetve 2 4... m, ha m páros.) ( m ) k = KOMBINÁCIÓK(m;k) m N, k = 0,..., m m! = VARIÁCIÓK(m;k) m N, k = 0,..., m (m k)! (k 1 +k 2 + +k r)! k 1! k 2!... k r! = MULTINOMIAL(k 1 ;k 2 ;...;k r ) k 1, k 2,..., k r N 1.7.5. Pszeudo-véletle szám geerálása VÉL() [0, 1) itervallumo egyeletes eloszlású pszeudo-véletle szám RANDBETWEEN(a;b) (a, b N, a < b) diszkrét egyeletes eloszlású pszeudo-véletle szám az { a, a + 1,..., b } halmazo 1.7.6. Statisztikák Legye a ξ valószíűségi változóra voatkozó x 1,..., x mitarealizáció az A oszlopba. Jelölje x 1,..., x a redezett mitarealizációt. Ekkor x 1 = MIN(A:A) x = MAX(A:A) x k x k = KICSI(A:A;k) k = 1,..., = NAGY(A:A;k + 1) k = 0,..., 1 mi{ k : x k = x i } = SORSZÁM(x i ;A:A;1) i = 1,..., mi{ k : x k = x i } + 1 = SORSZÁM(x i ;A:A;0) i = 1,..., = DARAB(A:A) ξ = ÁTLAG(A:A) 18

S = SZÓRÁSP(A:A) S 2 = VARP(A:A) S = SZÓRÁS(A:A) S 2 = VAR(A:A) tapasztalati mediá = MEDIÁN(A:A) tapasztalati módusz = MÓDUSZ(A:A) 100t%-os tapasztalati kvatilis = PERCENTILIS(A:A;t) 0 t 1 tapasztalati alsó kvartilis = KVARTILIS(A:A;1) tapasztalati felső kvartilis = KVARTILIS(A:A;3) tapasztalati ferdeség = FERDESÉG(A:A) tapasztalati lapultság (csúcsosság) = CSÚCSOSSÁG(A:A) i=1 x i = SZUM(A:A) i=1 x2 i = NÉGYZETÖSSZEG(A:A) i=1 (x i ξ) 2 = SQ(A:A) 1 i=1 x i ξ = ÁTL.ELTÉRÉS(A:A) i=1 x i = SZORZAT(A:A) i=1 x i = MÉRTANI.KÖZÉP(A:A) x i > 0 (i = 1,..., ) ( 1 i=1 ) 1 1 x i = HARM.KÖZÉP(A:A) xi > 0 (i = 1,..., ) x i <a x i = SZUMHA(A:A;"<a") a R a<x i b x i = SZUMHATÖBB(A:A;A:A;">a";A:A;"<=b") a, b R 1 1 x i <a x i = ÁTLAGHA(A:A;"<a") a R a<x i b x i = ÁTLAGHATÖBB(A:A;A:A;">a";A:A;"<=b") a, b R i=1 I x i <a = DARABTELI(A:A;"<a") a R i=1 I a<x i b = DARABHATÖBB(A:A;">a";A:A;"<=b") a, b R Legye a (ξ, η) kétdimeziós valószíűségi vektorváltozóra voatkozó mitarealizáció (x 1, y 1 ),..., (x, y ). Az A oszlop i-edik sorába legye x i, illetve a B oszlop i-edik sorába legye y i. Ekkor Cov (ξ, η) = KOVAR(A:A;B:B) Corr (ξ, η) = KORREL(A:A;B:B) i=1 x iy i = SZORZATÖSSZEG(A:A;B:B) i=1 (x i y i ) 2 = SZUMXBŐLY2(A:A;B:B) i=1 (x2 i y 2 i ) = SZUMX2BŐLY2(A:A;B:B) i=1 (x2 i + y 2 i ) = SZUMX2MEGY2(A:A;B:B) 19

1.7.7. Eloszlások Biomiális eloszlás (r-edredű p paraméterű) ( r ) k p k (1 p) r k = BINOM.ELOSZLÁS(k;r;p;HAMIS) r N, k = 0,..., r, 0 < p < 1 Hipergeometrikus eloszlás ( M k )( N M r k ) = HIPERGEOM.ELOSZLÁS(k;r;M;N) ( N r ) r, M, N N, M < N, r mi{ M, N M }, k = 0,..., r Poisso-eloszlás (λ paraméterű) λ k k! e λ = POISSON(k;λ;HAMIS) λ > 0, k = 0, 1,... 1.7.8. Eloszlásfüggvéyek Biomiális eloszlás (r-edredű p paraméterű) ) p i (1 p) r i = BINOM.ELOSZLÁS(k;r;p;IGAZ) k ( r i=0 i r N, k = 0,..., r, 0 < p < 1 Poisso-eloszlás (λ paraméterű) k i=0 λ i i! e λ = POISSON(k;λ;IGAZ) λ > 0, k = 0, 1,... Expoeciális eloszlás (λ paraméterű) F (x) = 1 e λx = EXP.ELOSZLÁS(x;λ;IGAZ) λ > 0, x 0 Gamma-eloszlás (r-edredű λ paraméterű) F (x) = GAMMA.ELOSZLÁS(x;r;1/λ;IGAZ) r, λ > 0, x 0 Stadard ormális eloszlás x Φ(x) = 1 2π e t2 2 dt = STNORMELOSZL(x) x R Normális eloszlás (m és σ paraméterű) F (x) = Φ ( ) x m σ = NORM.ELOSZL(x;m;σ;IGAZ) m, x R, σ > 0 Khi-égyzet eloszlás (s szabadsági fokú) F (x) = 1-KHI.ELOSZLÁS(x;s) s N, x 0 t-eloszlás (s szabadsági fokú) F (x) = 1-T.ELOSZLÁS(x;s;1) s N, x 0 F (x) = T.ELOSZLÁS( x;s;1) s N, x < 0 P( ξ > x) = 2 2F (x) = T.ELOSZLÁS(x;s;2) s N, x 0 20

F-eloszlás (s 1 és s 2 szabadsági fokú) F (x) = 1-F.ELOSZLÁS(x;s 1 ;s 2 ) s 1, s 2 N, x 0 1.7.9. Sűrűségfüggvéyek Expoeciális eloszlás (λ paraméterű) f(x) = λe λx = EXP.ELOSZLÁS(x;λ;HAMIS) λ > 0, x 0 Gamma-eloszlás (r-edredű λ paraméterű) f(x) = GAMMA.ELOSZLÁS(x;r;1/λ;HAMIS) r, λ > 0, x 0 Khi-égyzet eloszlás (s szabadsági fokú) f(x) = GAMMA.ELOSZLÁS(x;s/2;2;HAMIS) x 0 Stadard ormális eloszlás ϕ(x) = 1 2π e x2 2 = NORM.ELOSZL(x;0;1;HAMIS) x R Normális eloszlás (m és σ paraméterű) f(x) = 1 ϕ ( ) x m σ σ = NORM.ELOSZL(x;m;σ;HAMIS) m, x R, σ > 0 1.7.10. Iverz eloszlásfüggvéyek Normális eloszlás (m és σ paraméterű) F 1 (x) = INVERZ.NORM(x;m;σ) m R, σ > 0, 0 < x < 1 Stadard ormális eloszlás Φ 1 (x) = INVERZ.STNORM(x) 0 < x < 1 Khi-égyzet eloszlás (s szabadsági fokú) F 1 (x) = INVERZ.KHI(1 x;s) s N, 0 < x < 1 t-eloszlás (s szabadsági fokú) F 1 (x) = -INVERZ.T(2x;s) s N, 0 < x < 0,5 F 1 (x) = INVERZ.T(2 2x;s) s N, 0,5 x < 1 Gamma-eloszlás (r-edredű λ paraméterű) F 1 (x) = INVERZ.GAMMA(x;r;1/λ) r, λ > 0, 0 < x < 1 F-eloszlás (s 1 és s 2 szabadsági fokú) F 1 (x) = INVERZ.F(1 x;s 1 ;s 2 ) s 1, s 2 N, 0 < x < 1 21

1.7.11. Grafikus illeszkedésvizsgálat MEREDEKSÉG(tömb_y i ;tömb_x i ) Az (x i, y i ), i = 1,..., r potokra illesztett lieáris tredvoal meredeksége. METSZ(tömb_y i ;tömb_x i ) Az (x i, y i ), i = 1,..., r potokra illesztett lieáris tredvoal függőleges tegelymetszete. 1.7.12. Itervallumbecslés σ Φ ( ) 1 1 α 2 = MEGBÍZHATÓSÁG(α;σ;) 0 < α < 1, σ > 0, N S F 1 ( 1 α 2 ) MEGBÍZHATÓSÁG(α;S ;) F t( 1), 0 < α < 1, σ > 0, N. A becslés aál potosabb, miél agyobb az. mi { c N : c i=0 ( i) p i (1 p) i x } = KRITBINOM(;p;x) N, 0 < p < < 1, 0 < x < 1 1.7.13. Paraméteres hipotézisvizsgálatok A ξ-re illetve η-ra voatkozó mitarealizációk az A illetve B oszlopokba vaak. Egymitás u-próba 1 Φ(u) = Z.PRÓBA(A:A;m 0 ;σ) 2 2Φ( u ) = 2*MIN(Z.PRÓBA(A:A;m 0 ;σ);1-z.próba(a:a;m 0 ;σ)) Egymitás t-próba A ξ-re voatkozó mitarealizáció mide tagja mellett szerepelje m 0 értéke a B oszlopba. 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(A:A;B:B;2;1) F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ m 0 1 F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ m 0 F-próba 2 mi{ F (F),1 F (F) } = F.PRÓBA(A:A;B:B) F (F) = F.PRÓBA(A:A;B:B)/2, ha S 2 ξ, 1 S 2 η, 2 1 F (F) = F.PRÓBA(A:A;B:B)/2, ha S 2 ξ, 1 S 2 η, 2 Kétmitás t-próba 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(A:A;B:B;2;2) F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;2) ha ξ η 1 F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;2) ha ξ η 22

Scheffé-módszer azoos mitaelemszámra 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(A:A;B:B;2;1) F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ η 1 F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ η Scheffé-módszer külöböző mitaelemszámra Az ζ-ra voatkozó mitarealizáció a C oszlopba va, és mide tagja mellett szerepelje 0 a D oszlopba. 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(C:C;D:D;2;1) F (t) = T.PRÓBA(C:C;D:D;1;1) ha ξ η 1 F (t) = T.PRÓBA(C:C;D:D;1;1) ha ξ η Statisztikai próba az expoeciális eloszlás paraméterére F (γ) = GAMMA.ELOSZLÁS(λ 0 *SZUM(A:A);DARAB(A:A);1;IGAZ) Statisztikai próba valószíűségre mi { z N : z i=0 ( i) p i 0 (1 p 0 ) i x } = KRITBINOM(;p 0 ;x) 1.7.14. Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok Tiszta illeszkedésvizsgálat 1 F (χ 2 ) = KHI.PRÓBA(ϱ i tartomáya;p i tartomáya) Becsléses illeszkedésvizsgálat Σ i := (ϱ i p i ) 2 p i 1 F (χ 2 ) = =KHI.ELOSZLÁS(SZUM(Σ i tartomáya);r 1 v) Függetleségvizsgálat 1 F (χ 2 ) = KHI.PRÓBA(ϱ ij tartomáya;k i l j / tartomáya) Homogeitásvizsgálat ν ij := (k i+l i ) j 1 + 2 1 F (χ 2 ) = KHI.PRÓBA(k i, l j tartomáya;ν ij tartomáya) Kétmitás előjelpróba F 1 (x) = KRITBINOM(;1/2;x) 1.7.15. Regressziószámítás Lieáris regresszió eta: η-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. 23

xi: (ξ 1,..., ξ k )-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó k méretű tömb. x: x 1,..., x k számokat tartalmazó 1 k méretű tömb. (â k, â k 1,..., â 0 ) = LIN.ILL(eta;xi) (1 (k + 1) méretű tömbképlet!) â 0 + â 1 x 1 + + â k x k = TREND(eta;xi;x) Fixpotos lieáris regresszió eta-t: (η t 0 )-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. xi-t: (ξ 1 t 1,..., ξ k t k )-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó k méretű tömb. x-t: x 1 t 1,..., x k t k számokat tartalmazó 1 k méretű tömb. (â k, â k 1,..., â 1 ) = LIN.ILL(eta-t;xi-t;HAMIS) (1 k méretű tömbképlet!) â 1 (x 1 t 1 ) + + â k (x k t k ) = TREND(eta-t;xi-t;x-t;HAMIS) Expoeciális regresszió eta: η-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. xi: ξ 1 -re voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. ( b, â) = LOG.ILL(eta;xi) (1 2 méretű tömbképlet!) â b x = NÖV(eta;xi;x) 24