A Rabin-féle méltányossági egyensúly kritikája

A Rabin-féle méltányossági egyensúly kritikája Miklós Rozália Budapesti Corvinus Egyetem Tartalomjegyzék 1. A Rabin-féle méltányossági egyensúly 1.1. Rabin törekvése és a pszichológiai játékok.................. 1.. Rabin méltányossági modellje......................... 4 1.3. Példák...................................... 6 1.4. A kedvesség függvény és a méltányossági egyensúly tulajdonságai..... 7 1.5. A méltányossági egyensúly és a Nash-egyensúly............... 8. Kritikai észrevételek 10.1. A stratégiai interakció kiiktatása....................... 10.. A vélekedésekről................................. 10.3. Az új vélekedésfogalom, mint a stratégiai interakció kiiktatásának oka... 1.4. A méltányossági egyensúly és a Nash-egyensúly új megközelítésben..... 13 Hivatkozások Függelék i ii A. A kedvesség függvény vizsgálata ii B. Az 1. 1. tétel bizonyítása iii C. Az 1.. tétel bizonyítása v

Absztrakt Dolgozatomban Rabin (1993) cikkét és az azzal kapcsolatos kritikai észrevételeimet mutatom be. Először kifejtem, hogy mit ért pontosan Rabin a méltányosság fogalma alatt, és miért nem tartja lehetségesnek annak megjelenítését a hagyományos játékelmélet keretei között. Ezután röviden megemlítem Geanakoplos, Pearce és Stacchetti (1989) modelljét, amelyben a szerzőhármas bevezeti a pszichológiai játékok fogalmát, és amelynek egyik legismertebb alkalmazása Rabin méltányossági modellje. Részletesen bemutatom Rabin modelljét, valamint az a méltányossági egyensúllyal kapcsolatos tételeket, majd megmutatom, hogy bár a cikk címe "A méltányosság beépítése a közgazdaságtanba és a játékelméletbe", a modellből hiányzik a játékelmélet legfontosabb eleme: a stratégiai interakció, így valójában Rabin nem építi be a méltányosságot a játékelméletbe. Ezt a fontos problémát vizsgálva megmutatom, hogy a Rabin által bevezetett új vélekedésfogalom különbözik a hagyományos játékelmélet vélekedésfogalmától, és éppen ennek az új fogalomnak a bevezetése vonja maga után a stratégiai interakció kiiktatásának szükségességét. Végül a fenti eredményekből kiindulva megmutatom, hogy a méltányossági egyensúly és a Nashegyensúly mind tartalmilag, mind kialakulásukat tekintve teljesen különböző fogalmak. 1

1. A Rabin-féle méltányossági egyensúly 1.1. Rabin törekvése és a pszichológiai játékok Rabin cikkének célja, amint azt a címe is mutatja, a méltányosság, mint az egyéni döntéseket motiváló tényező beépítése a játékelméletbe és a közgazdaságtanba. Természetesen ahhoz, hogy méltányossági motivációkkal rendelkező döntéshozókat megjeleníthessen, szükség van arra, hogy pontosan definiálja a méltányosság fogalmát. Rabin megfogalmaz három olyan stilizált tényt, amelyek pszichológiai kutatások alapján alapvetően jellemzik a méltányosság mibenlétét, és amelyeket egy - a méltányosságot tárgyaló - modellnek feltétlenül meg kell jelenítenie. 1. Az emberek hajlandóak feláldozni a materiális jólétüket, hogy viszonozzák mások kedvességét. Az emberek hajlandóak feláldozni a materiális jólétüket, hogy viszonozzák mások rosszindulatát 3. Ezeknek a motivációknak nő a viselkedésre gyakorolt hatásuk, ha a materiális áldozat költsége csökken. 1 Rabin érvelése szerint a hagyományos játékelméleti modell segítségével ábrázolva ilyen méltányossági motivációkkal rendelkező döntéshozókat, ellentmondásba ütközünk. Tekintsük ehhez Rabin példáját, az 1. táblázatban leírt nemek harca játékot, melyben 1 a sorjátékos, pedig az oszlopjátékos, és X > 0. 1 Opera Boksz Opera X, X 0, 0 Boksz 0, 0 X, X 1. táblázat. A nemek harca játék Ebben a játékban a kifizetések csak a stratégiáktól függnek. Tegyük azonban fel, hogy 1 nemcsak a saját kifizetésével törődik, hanem motivációitól függően kifizetésével is. Ha azt hiszi, hogy szándékosan segíteni, vagy ártani akar neki, akkor a stilizált tényeknek megfelelően igyekszik viszonozni azt. Tegyük fel ekkor, hogy 1 Nelson (001) Rabin cikkéhez fűzött kommentárjában amellett érvel, hogy nagyon nagy materiális jólét esetén újra megnő a méltányossági motivációk viselkedésre gyakorolt hatása. Szerinte, amennyiben a materiális jólétet tekintjük jövedelemnek, a méltányosságot pedig olyan jószágnak, aminek a materiális áldozat a költsége, a méltányosság a nagyon nagy materiális jólét tartományban normál jószágként viselkedik, így a méltányosság Engel görbéje a materiális jólét függvényében csökkenő görbe helyett alakú. Ezt alátámasztandó, Nelson példaként említi, hogy a nagyon nagy jövedelmű emberek jövedelmük nagyobb százalékát fordítják jótékony célokra.

1. 1 azt hiszi, hogy Bokszot játszik. 1 azt hiszi, hogy azt hiszi, hogy 1 Bokszot játszik Ezek alapján a vélekedések alapján 1 arra a következtetésre jut, hogy olyan stratégiát választ, amely vélekedése szerint mindkettejük kifizetését maximalizálja, azaz nem segít és nem is árt szándékosan 1-nek, így 1 sem kíván segíteni vagy ártani -nek; a Boksz stratégiát választja, amellyel vélekedése szerint a saját kifizetését maximalizálja. Amennyiben vélekedései és motivációi megegyeznek 1 vélekedéseivel és motivációival, a (Boksz, Boksz) stratégia pár egyensúlyi, abban az értelemben, hogy senkinek nem éri meg tőle egyoldalúan eltérni. Tegyük most fel, hogy 1. 1 azt hiszi, hogy Bokszot játszik. 1 azt hiszi, hogy azt hiszi, hogy 1 Operát játszik Ezek alapján a vélekedések alapján 1 már más következtetésre jut, ugyanis, ha valóban azt hinné, hogy 1 Operát játszik, akkor a saját kifizetését maximalizáló stratégiája az Opera lenne. Ha ennek ellenére valóban Bokszot játszik, az azt jelenti, hogy saját kifizetését feláldozva, szándékosan árt 1-nek. Mivel ekkor 1 viszonozni akarja a rosszindulatot, ha ez a motivációja kellően erős, akkor ő is saját kifizetését feláldozva, szándékosan ártani kíván -nek, és Operát játszik. Ha vélekedése szerint 1 Operát játszik, és vélekedése szerint 1 szerint Bokszot játszik, valamint a viszonzási motivációk elég erősek, akkor az (Opera, Boksz) is egyensúlyi stratégia pár. Vegyük észre hogy 1 hasznossága, és így a döntése is, függ a motivációiról és stratégiájáról alkotott vélekedésétől. Lehetne-e ezt a hagyományos keretben az eredeti kifizetések módosításával modellezni? Rabin válasza: nem, hiszen ekkor ellentmondásba ütköznénk. Mivel mindkét egyensúly szigorú, a (Boksz, Boksz) egyensúlyban 1 szigorúan preferálja a Boksz-ot, míg az (Opera, Boksz) egyensúlyban 1 szigorúan preferálja az Operát. Bármilyen kifizető függvényeket választunk, ha a kifizetések csak a stratégiáktól függnének, ez logikai ellentmondást jelentene. Rabin szerint tehát a méltányosság bevezetéséhez olyan formális keretre van szükség, amelyben a játékosok kifizetéseinek argumentumaként nem csak a stratégiák szerepelnek. Így a méltányossági motivációk formalizálásához Rabin a Geanakoplos, Pearce és Stacchetti (1989) (a továbbiakban GPS) cikkében bevezetett normál formájú pszichológiai játékokat használja, amelyben explicit módon, a hasznosság függvény argumentumaként szerepelnek a stratégiákon kívül a játékosok vélekedései is. Egy pszichológiai játékban egy játékos kifizetése nem csak attól függ, hogy a játékosok valójában mit csinálnak, hanem 3

attól is, hogy az adott játékos vélekedése szerint a többiek mit csinálnak; hogy vélekedése szerint a többiek vélekedése szerint ki mit csinál, és így tovább. Így az általuk bevezetett formális keret lehetővé teszi, hogy olyan vélekedés-függő érzelmeket modellezzenek, mint például a bűntudat, a harag, a meglepetés, vagy éppen a méltányosság. 1.. Rabin méltányossági modellje GPS modelljét kétszer kettes normál formájú játékokra alkalmazva és a pszichológiai játékokat hagyományos játékokból származtatva, Rabin a következőképpen formalizálja méltányossági modelljét: Tekintsünk egy két szereplős, szimultán, normál formájú játékot; S 1 és S legyenek a játékosok véges, A 1 és A akcióhalmazaiból származó, (tiszta) 3 stratégia halmazai, π i : S 1 S R pedig a játékosok kifizető függvényei. Jelölje a 1 S 1 és a S a játékosok által választott stratégiákat. Jelölje b 1 S 1 és b S vélekedését arról, hogy 1 melyik stratégiát választja, illetve 1 vélekedését arról, hogy melyik stratégiát választja. Végül jelölje c 1 S 1 és c S 1 vélekedését arról, hogy vélekedése szerint 1 melyik stratégiát választja, illetve vélekedését arról, hogy 1 vélekedése szerint melyik stratégiát választja. A származtatott pszichológiai játékban i hasznossága U i U i (a i, b j, c i ), tehát függ a saját stratégiájától, a j stratégiájáról alkotott vélekedésétől, és az arról való vélekedésétől, hogy j szerint ő, azaz i melyik stratégiát választja. A modell formális leírásához először definiáljuk az f i (a i, b j ) kedvesség függvényt, amely azt hivatott megfogalmazni, hogy i mennyire kedves j-hez, amennyiben az a i stratégiát választja, feltéve, hogy vélekedése szerint j a b j stratégiát választja. Ehhez vegyük észre, hogy azáltal, hogy b j vélekedés mellett i az a i stratégiát választja, a Π(b j ) {(π i (a, b j ), π j (b j, a)), a S i } halmazból kiválasztja a (π i (a i, b j ), π j (b j, a i )) kifizetés párt, tehát vélekedése szerint magának a π i (a i, b j ), j-nek pedig a π j (b j, a i ) kifizetést juttatja. A kedvességet Rabin modelljében az fejezi ki, hogy az i által vélt, j-nek juttatott π j (b j, a i ) kifizetés hol helyezkedik el a Π j (b j ) {π j (b j, a)), a S i } halmazban. Legyen π h j (b j ) a legmagasabb kifizetés Π j (b j )-ben, és legyen π l j(b j ) a legalacsonyabb olyan kifizetés Π j (b j )- ben, amelyre a kifizetéspár Pareto-hatékony pontja Π(b j )-nek. Nevezzük ekkor méltányos kifizetésnek a πj(b e j ) = [πj h (b j ) + πj(b l j )]/ kifizetést. Legyen végül πj min (b j ) a legalacsonyabb kifizetés Π j (b j )-ben. Ezek alapján Rabin a következőképpen difiniálja a kedvesség Bár GPS nem hangsúlyozza, nagyon fontos megemlíteni, hogy itt a priori vélekedésekről van szó. Ezek nem azonosak azokkal a vélekedésekkel, amelyeket a hagyományos elmélet szerint a játékosok a stratégiai interakció során formálnak egymás stratégiájáról. 3 Bár a formális definíciók, és a cikkben szereplő tételek bizonyításai alkalmazhatóak kevert stratégia halmazokra is, Rabin a tiszta stratégiákra helyezi hangsúlyt. Azzal érvel, hogy a pszichológiai játékok esetében a kevert stratégia kétféleképpen értelmezhető: egyrészt szó szerint, mint az adott játékos szándékos keverése, másrészt mint a többi játékos vélekedéseiben megjelenő bizonytalanság. 4

(kindness) függvényt: 1. 1. Definíció (i kedvessége j-hez). f i (a i, b j ) = π j(b j, a i ) π e j(b j ) π h j (b j) π min j (b j ) Ha π h j (b j ) π min j (b j ) = 0, akkor legyen f i (a i, b j ) = 0 Az i játékos kedvessége j-hez tehát azt jelenti, hogy a méltányos kifizetéshez képest mennyivel vél többet, vagy kevesebbet juttatni j-nek. Vizsgáljuk meg, hogy az f i függvény mikor vesz fel pozitív, negatív, illetve nulla értéket. Akkor és csak akkor lesz f i = 0, ha i éppen a b j melletti méltányos kifizetést juttatja j- nek, hiszen ha π j (b j, a i ) π e j(b j ) = 0, akkor π j (b j, a i ) éppen a méltányos kifizetés, ha pedig πj h (b j ) πj min (b j ) = 0, akkor a Π j (b j ) halmaz egyetlen pontból áll, ami így szintén maga a méltányos kifizetés. f i < 0 két esetben lehetséges: ha i a Π(b j ) halmaz Pareto-hatékony pontjai közül olyat választ, amire π j (b j, a i ) < π e j(b j ), és így a méltányosnál kevesebbet juttat j-nek, illetve ha i nem hatékony pontot választ Π(b j )-ben. Végül f i > 0 akkor és csak akkor, ha i a b j melletti méltányos kifizetésnél többet juttat j-nek. Ez megfelel a kedvességgel kapcsolatos intuícióinknak, hiszen a hétköznapi felfogásunk szerint is az számít kedves gesztusnak, ha a másiknak az őt átlagosan megilletőnél többet adunk, nagyobb hasznosságot okozunk. Most definiáljuk az f j (b j, c i ) függvényt, ami azt fejezi ki, hogy i vélekedése szerint j mennyire kedves hozzá, azaz i-hez. Az eddig leírtakkal analóg módon ez attól függ, hogy mi i vélekedése arról, hogy egyrészt j szerint i melyik stratégiát választja, másrészt j melyik stratégiát választja. 1.. Definíció (i vélekedése arról, hogy j mennyire kedves i-hez). f j (b j, c i ) = π i(c i, b j ) π e i (c i ) π h i (c i) π min i (c i ) ha π h i (c i ) π min i (c i ) = 0, akkor legyen f j (b j, c i ) = 0 A bevezetett függvények segítségével most már kifejezhetjük az i játékos teljes hasznosságát. 4 U i (a i, b j, c i ) = π i (a i, b j ) + f j (b j, c i ) [1 + f i (a i, b j )] 4 Rabin azért választja ezt a formát az U i (a i, b j, c i ) = π i (a i, b j ) + f j (b j, c i ) f i (a i, b j ) helyett, hogy kifejezze azt az emberi tulajdonságot, miszerint ha egy játékos azt véli, hogy a másik rosszindulatúan viselkedik vele, akkor ez rossz érzést kelt benne, így a teljes hasznossága alacsonyabb, mint ha csak a materiális hasznosságát tekintjük. Ezt a hasznosságveszteséget pedig csak részlegesen pótolja a bosszú, azaz hogy a rosszindulatot rosszindulattal viszonozhatja. 5

Nevezzük π i (a i, b j )-t materiális, f j (b j, c i ) [1 + f i (a i, b j )]-t pedig pszichológiai hasznosságnak, Rabin megfogalmazása szerint az előbbi fejezi ki a materiális hasznosságot, míg az utóbbi a méltányossági megfontolásokat. Vegyük észre, hogy ez a függvény valóban kifejezi a három stilizált tényt. 1. Ha i vélekedése szerint j kedves i-hez, azaz f j (b j, c i ) > 0, akkor i azáltal tudja növelni a saját pszichológiai hasznosságát, hogy ő is kedves j-hez, tehát olyan a i -t választ, amelyre f i (a i, b j )minél nagyobb.. Ha i vélekedése szerint j nem kedves i-hez, azaz f j (b j, c i ) < 0, akkor i azáltal tudja növelni a saját pszichológiai hasznosságát, hogy ő sem kedves j-hez, tehát, olyan a i -t választ, amelyre f i (a i, b j ) minél kisebb, vagy negatív. Ha i nagyobb pszichológiai hasznosság növekedést tud elérni, mint amennyivel csökken a materiális hasznossága, akkor valóban hajlandó lesz feláldozni a materiális hasznosságának egy részét, hogy viszonozza j kedvességét, illetve rosszindulatát. 3. Mivel a pszichológiai hasznosság függvény korlátos, míg a materiális hasznosság függvény nem az, a méltányosság hatása valóban erősebb lesz kisebb materiális hasznosság esetén. A GPS által bevezetett pszichológiai Nash-egyensúly mintájára Rabin a következőképpen definiálja modelljének egyensúlyfogalmát, a méltányossági egyensúlyt. 1. 3. Definíció (Méltányossági egyensúly). (a 1, a ) S 1 S stratégia párt méltányossági egyensúlynak (fairness equilibrium) nevezzük, ha i = 1,, j i esetén 1. a i argmax a Si U i (a, b j, c i ). c i = b i = a i GPS csak folytonos u i függvények esetén bizonyítja a pszichológiai Nash-egyensúly létezését. Mivel a Rabin által bevezetett kedvesség függvény nem minden esetben eredményez olyan u i függvényeket, amelyek minden pontban folytonosak, ez a bizonyítás nem alkalmazható. Rabin, bár ellenpéldát nem talál, nem bizonyítja, hogy mindig létezik méltányossági egyensúly. 1.3. Példák Rabin cikkében több példát hoz annak bemutatására, hogy hogyan alkalmazható, és milyen egyensúlyhoz vezet ez a modell egyes konkrét hagyományos játékokból származtatott pszichológiai játékok esetében. Tekintsük most az 1. táblázatban megadott nemek harca 6

játékot, és vizsgáljuk meg, hogy az ebből származtatott pszichológiai játékban valóban lehet-e egyensúlyi az (Opera, Boksz) kimenetel. Tegyük fel, hogy a kezdeti vélekedések b 1 = c 1 = Opera, és b = c = Boksz. Ekkor a 1 = Opera, és a = Boksz esetén 1 materiális kifizetése 0, valamint f 1 (Opera, Boksz) = 1, és f (Boksz, Opera) = 1, így 1 teljes hasznossága U 1 (Opera, Boksz, Opera) = 0 + ( 1) (1 + 1) = 0. Ha azonban 1 egyoldalúan eltérne az (Opera, Boksz) stratégia pártól, és Bokszot játszana, akkor, bár f változatlan maradna, 1 materiális kifizetése X-re, f 1 pedig f 1 (Boksz, Boksz) = 0-ra változna. Ekkor 1 teljes hasznossága U 1 (Boksz, Boksz, Opera) = X + ( 1) (1 + 0) = X 1. Akkor nem éri meg tehát 1-nek egyoldalúan eltérni, ha 0 > X 1, azaz ha X < 1. Ugyanezt a gondolatmenetet végigvezetve esetében, azt kapjuk hogy X < 1 esetén az (Opera, Boksz) valóban méltányossági egyensúly. Megmutatható továbbá, hogy az (Opera, Opera) és a (Boksz, Boksz) Nash-egyensúlyi kimenetelek minden X érték mellett méltányossági egyensúlyi kimenetelek is. Rabin egyéb példákban megmutatja, hogy a fogolydilemma esetében megfelelő X érték, és megfelelő kezdeti vélekedések mellett méltányossági egyensúly a (kooperál, kooperál); valamint, hogy a gyáva nyúl játékban megfelelő X értékválasztással sem a (kitér, nem tér ki), sem a (nem tér ki, kitér) hagyományos játékbeli Nash-egyensúly nem méltányossági egyensúly. 1.4. A kedvesség függvény és a méltányossági egyensúly tulajdonságai Azt már láttuk, hogy a kedvesség függvény mikor vehet fel pozitív, negatív, illetve nulla értékeket. Belátható továbbá, hogy az f i (a i, b j ) és f j (b j, c i ) kedvesség függvények értékkészlete a { 1, 1, 0, 1} halmaz. Az f j (b j, c i ) [1 + f i (a i, b j )] pszichológiai kifizetés függvény értékkészlete így a { 3, 1, 3, 1, 1, 0, 1, 1, 3} 4 4 4 4 halmaz.5 Rabin a fenti f i kedvesség függvények felvett értékeinek előjeleitől függően a következő módon definiálja egy kimenetel milyenségét. 1. 4. Definíció. Egy kimenetel szigorúan pozitív, ha i = 1, -re f i > 0; gyengén pozitív, ha i = 1, -re f i 0; szigorúan negatív, ha i = 1, -re f i < 0; gyengén negatív, ha i = 1, - re f i 0; semleges, ha i = 1, -re f i = 0; és végül vegyes, ha i = 1,, j i, f i f j < 0. 5 A kedvesség függvény vizsgálata a függelék A pontjában található. 7

A következő, Rabin által megfogalmazott és bizonyított tétel azt fejezi ki a fenti definíciók segítségével, hogy nem lehetséges olyan méltányossági egyensúlyi kimenetel, amelyben az egyik játékos kifejezetten kedves a másikhoz, míg az rosszindulatú vagy semlegesen viselkedik. 1. 1. Tétel. Egy méltányossági egyensúlyi kimenetel szigorúan pozitív, vagy gyengén negatív. Rabin csak a bizonyítás gondolatmenetének vázát írja le. Én a bizonyítás hosszadalmasabb, ám szemléletesebb leírását választom, melyet a Függelék B pontjában fejtek ki. A bizonyítás gondolatmenete a következőt mutatja: azért szigorúan pozitív vagy gyengén negatív minden méltányossági egyensúlyi kimenetel, mert minden játékosnak megéri egyoldalúan eltérni egy olyan kimeneteltől, amelyben az ő kedvességét a másik játékos rosszindulattal, vagy semlegességgel viszonozza. Ez azt jelenti, hogy nem lehet méltányossági egyensúlyi olyan kimenetel, amely nem felel meg a méltányosságot megtestesítő stilizált tényeknek. 1.5. A méltányossági egyensúly és a Nash-egyensúly Annak ellenére, hogy Rabin a pszichológiai játékokat hagyományos játékokból származtatja, a hagyományos játék Nash-egyensúlyi kimeneteleinek halmaza és a származtatott pszichológiai játék méltányossági egyensúlyi kimeneteleinek halmaza között nincs tartalmazási kapcsolat: általában egyik sem részhalmaza a másiknak. Rabin mégis több tételt megfogalmaz, illetve bizonyít, melyek a két egyensúlyfogalomnak megfelelő egyensúlyi kimenetelek közötti összefüggéseket írják le. A kapcsolatot leíró tételek megfogalmazásához Rabin először definiál egy fontos tulajdonság párt, amely bizonyos kimeneteleket jellemez. 1. 5. Definíció. Egy (a 1, a ) stratégia pár kölcsönösen maximalizáló (mutual-max) kimenetel, ha i = 1,, j i, a i argmax a Si π j (a, a j ). Egy (a 1, a ) stratégia pár kölcsönösen minimalizáló (mutual-min) kimenetel, ha i = 1,, j i, a i argmin a Si π j (a, a j ) Az ilyen tulajdonságú Nash-egyensúlyi kimenetelek halmazára már teljesül, hogy egyben méltányossági egyensúlyi kimenetelek is a származtatott játékban. 1.. Tétel. Tegyük fel, hogy (a 1, a ) Nash-egyensúlyi, és kölcsönösen maximalizáló vagy kölcsönösen minimalizáló kimenetel. Ekkor (a 1, a ) méltányossági egyensúlyi kimenetel. Rabin újfent csak a tétel vázlatos bizonyítását közli, én azonban a szemléletesség kedvéért továbbra is a gondolatmenet részletes leírását választom, melyet a Függelék C 8

pontjában fejtek ki. Rabin további eredményei olyan játékokra vonatkoznak, ahol a materiális kifizetések tetszőlegesen nagyok, vagy tetszőlegesen kicsik. Ehhez olyan játék csoportokat tekint, amelyben a játékok csak a materiális kifizetések arányában különböznek. Amennyiben adottak az S 1 S stratégiaprofil halmaz, és (u 1 (a 1, a ); u (a 1, a )) kifizető függvények, legyen G az S 1 S stratégiaprfil halmazzal és minden X > 0 esetén (X u 1 (a 1, a ); X u (a 1, a )) kifizető függvényekkel megadott játékok halmaza. Ekkor G(X) G jelölje az X értékhez tartozó játékot. Rabin a következő tételeket fogalmazza meg és bizonyítja: 1. 3. Tétel. Ha (a 1, a ) szigorúan pozitív, kölcsönösen maximalizáló kimenetel, vagy szigorúan negatív, kölcsönösen minimalizáló kimenetel, akkor létezik olyan X, amelyre minden X (0, X) esetén (a 1, a ) méltányossági egyensúlyi kimenetel G(X)-ben. 1. 4. Tétel. Ha (a 1, a ) nem kölcsönösen maximalizáló, vagy kölcsönösen minimalizáló kimenetel, valamint nem olyan Nash-egyensúlyi kimenetel, amelyben egyik játékos sem tudja csökkenteni a másik kifizetését, akkor létezik X, amelyre minden X (0, X) esetén (a 1, a ) nem méltányossági egyensúlyi kimenetel G(X)-ben. 1. 5. Tétel. Ha (a 1, a ) minden G-beli játékban szigorú Nash-egyensúlyi kimenetel, akkor létezik olyan X, amelyre minden X > X esetén (a 1, a ) méltányossági egyensúlyi kimenetel G(X)-ben. Ha (a 1, a ) nem Nash-egyensúlyi kimenetel a G-beli játékokban, akkor létezik X, amelyre minden X > X esetén (a 1, a ) nem méltányossági egyensúlyi kimenetel G(X)-ben. Rabin a fenti három tételt a következőképpen foglalja össze: nagy X értékek esetén egy kimenetel nagyjából pontosan akkor méltányossági egyensúlyi, ha Nash-egyensúlyi; míg kis X értékek esetén egy kimenetel nagyjából pontosan akkor méltányossági egyensúlyi, ha kölcsönösen maximalizáló, vagy ha kölcsönösen minimalizáló. 9

. Kritikai észrevételek.1. A stratégiai interakció kiiktatása Az eddigiekben láttuk, hogy Rabin modellje valóban sikeresen megjeleníti a meghatározott méltányosság fogalmat. Ezt mutatják az alkalmazott hasznosság függvény tulajdonságai, valamint a Rabin által megfogalmazott 1. 1. tétel, miszerint méltányossági egyensúlyban a játékosok viszonozzák egymás kedvességét, illetve rosszindulatát. 6 Rabinnak tehát valóban sikerül megjelenítenie a méltányosságot. Emlékezzünk azonban vissza cikkének címére: "A méltányosság beépítése a közgazdaságtanba és a játékelméletbe". Tehát nem egyszerűen a méltányosság megjelenítése egy modell segítségével, hanem annak beépítése a játékelméletbe. Tegyük fel a kérdést: valóban beépíti Rabin a méltányosságot a játékelméletbe? Megválaszolásához elég a modellben alkalmazott hasznosság függvényt vizsgálnunk: U i (a i, b j, c i ) = π i (a i, b j ) + f j (b j, c i ) [1 + f i (a i, b j )] A függvény argumentumaként három paraméter szerepel: a i, b j és c i, azaz i saját stratégiája, i-nek j stratégiájáról való vélekedése, valamint i-nek arról való vélekedése, hogy j mit vél i stratégiájának. Tehát az i játékos hasznossága nem függ a j játékos által választott stratégiától, hiszen azt csak saját stratégiája és vélekedései határozzák meg. Vegyük észre, hogy ily módon Rabin teljesen kizárja a stratégiai interakciót a modellből. A játékosok döntéseinek kifizetésben megjelenő következménye nem függ a másik játékos stratégiájától. Sőt, adott vélekedések mellett a játékosok egy egyszerű döntési szituációval állnak szemben: a két lehetséges stratégiájukat behelyettesítve a hasznosság függvényükbe, egy nagyobb és egy kisebb szám közül kell választaniuk, a másik játékostól függetlenül. Ezt figyelembe véve tehát nem állíthatjuk, hogy Rabin beépíti a méltányosságot a játékelméletbe, hiszen, miközben megjeleníti a méltányosságot, éppen a játék legfontosabb elemét, a stratégiai interakciót iktatja ki a modellből... A vélekedésekről Ahhoz, hogy megtaláljuk ennek az alapvető problémának az okát, térjünk vissza a vélekedések fogalmához. A GPS által bevezetett és Rabin által alkalmazott modell legalapvetőbb 6 Fontos látnunk, hogy Rabin modelljében a méltányosság nem az allokációs méltányosság fogalmát jelenti. Vagyis a modell nem akkor jeleníti meg helyesen a stilizált tények által megadott méltányosság fogalmat, ha minden egyensúlyi kimentel esetén a játékosok kifizetései elegendően közel vannak egymáshoz, hanem ha egyensúlyban a játékosok - a stilizált tényeknek megfelelően - viszonozzák egymás jóindulatát, illetve rosszindulatát. 10

fogalma a vélekedés. Ez a vélekedésfogalom azonban egészen mást jelent, mint a hagyományos játékelmélet keretei között. Gondoljuk meg először, mit jelent a vélekedés fogalma a hagyományos keretben. A hagyományos játékelmélet alapköve a stratégiai interakció, melynek lényege, hogy egy játékos döntésének kimenetele a többi játékos döntésétől is függ. Ennek megfelelően, amikor egy játékos maximalizálni akarja a saját hasznosságát, számolnia kell a többiek stratégiáival is, amelyeket persze nem ismer, csak vélekedéseket formálhat róluk. Így a stratégiai interakció során a köztudottan racionális játékosok vélekedéseket formálnak arról, hogy a többi játékos melyik stratégiát fogja alkalmazni (ezáltal maximalizálva saját hasznosságát), és ennek fényében választják meg saját stratégiájukat. Ezek a vélekedések a játékosok információin alapulnak, hiszen a stratégia halmazokról és a kifizető függvényekről való információik alapján tudják a játékosok meggondolni, hogy mi lesz a többiek számára a hasznosságukat maximalizáló magatartás. Egy teljes információs játékban a játék megadása köztudott tudás, tehát a játékosok ismerik egymás stratégia halmazát és kifizető függvényeit. Ezeket az információkat és a játékosok racionalitását alapul véve tudnak a játékosok racionális gondolatmenet folyamán arra következtetni, hogy melyik stratégiájukra melyik játékosnak mi a legjobb válasza, és fordítva: mi a saját legjobb válaszuk a többiek egyes stratégiáira. Így találják meg azokat a stratégia profilokat, amelyek kölcsönösen a legjobb válaszokat tartalmazzák, és amelyektől így egyik játékosnak sem éri meg egyoldalúan eltérni. A hagyományos játékelméletben tehát a vélekedések formálása maga a Nash-egyensúly kialakulásához vezető út. Rabin modelljében azonban a játékosok b i és c i vélekedései nem képezik a játékosok választásának tárgyát, ugyanakkor a hasznosság függvényen keresztül befolyásolják a játékosok viselkedését. Így a játékosok szempontjából ezek a vélekedések a priori adottnak tekinthetők. Elég csak arra gondolnunk, hogyan vezeti le Rabin egy-egy konkrét játék méltányossági egyensúlyát: felteszi, hogy adott vélekedések állnak fenn, ezek mellett megvizsgálja a játékosok preferenciáit, és megkeresi azt az egyensúlyi stratégia párt, amelytől a játékosoknak az adott vélekedések mellett nem éri meg egyoldalúan eltérni. Egy pszichológiai játékban tehát a játékosok szempontjából a vélekedések a priori adottak, nem a játék megadásáról birtokolt információkon alapulnak, és nem logikai folyamat eredményei. Egy pszichológiai játékban a vélekedések nem racionális gondolatmenet során jönnek létre, és nem képezik a stratégiai interakció részét. Olyan értelemben persze ezek a vélekedések is meghatározzák az egyensúlyt, hogy pszichológiai Nash-egyensúly csak az a kimenetel lehet, ahol a megvalósult stratégiák megegyeznek a vélekedésekkel. Az elkülönítés megkönnyítése végett nevezzük mostantól a hagyományos, stratégiai interakció során létrejövő vélekedéseket stratégiai vélekedéseknek, a pszichológiai játékokban meghatározó szerepet játszó, a priori adott vélekedéseket pedig a priori vélekedéseknek. 11

Fontos megjegyeznünk, hogy az a priori, és a stratégiai vélekedések definíció szerint, logikailag kizárják egymást. Ennek meggondolásához tegyük fel, hogy j játékos A és B stratégiák között választhat, illetve i játékos a priori vélekedése szerint j az A stratégiát játssza. Mivel i-nek j stratégiájáról alkotott a priori vélekedéséről nem i dönt, i szempontjából ezt adottnak kell tekintenünk. Ekkor a két játékos közötti stratégiai interakció során i-nek fel kellene tennie magában a kérdést: Vajon j melyik stratégiát fogja választani, A-t vagy B-t? Végig kellene gondolnia a lehetőségeket, és az egymás stratégiáira adott legjobb válaszokat. A kérdésre adott racionális válasz lenne i stratégiai vélekedése arra vonatkozólag, hogy j melyik stratégiát választja. De miért tenné fel i a fenti kérdést, ha már a priori, mindentől függetlenül van egy vélekedése arról, hogy j mit fog játszani? Ha feltenné, akkor a kérdés megválaszolásának gondolatmenete során meg kellene fontolnia azt a lehetőséget is, hogy j a B stratégiát választja, ami ellentmond az a priori vélekedésének, mely egyértelműen meghatározza, hogy szerinte j az A-t játssza. Amennyiben egy adott játékos vélekedése a másik játékos stratégiájáról egyértelmű kell, hogy legyen, a két fogalom kizárja egymást. A stratégiákra és a vélekedésekre vonatkozó stratégiai vélekedések figyelembe vétele esetén nem lehetnek egy játékosnak a stratégiákra és a vélekedésekre vonatkozó más típusú, eleve adott vélekedései, hiszen az ellentmondásra adna lehetőséget..3. Az új vélekedésfogalom, mint a stratégiai interakció kiiktatásának oka A hagyományos keretben tehát a stratégiai interakció során jelennek meg a stratégiai vélekedések. Ezek definíció szerint csak implicit módon, a stratégiákon keresztül határozzák meg a hasznosságot, a következő gondolatmenet által: a játékos azért választ egy adott stratégiát, mert a többiek stratégiáiról és stratégiai vélekedéseiről alkotott stratégiai vélekedései arra engednek következtetni, hogy ezáltal maximalizálhatja hasznosságát. Így a hasznosság függvénynek a racionális vélekedések nem közvetlen argumentumai, a modellben csak implicit vannak jelen. GPS és Rabin azonban úgy vélik, hogy az általuk vélekedés-függőnek (belief-dependent) nevezett érzelmek és megfontolások - mint például a méltányosság - explicite, közvetlenül függnek a vélekedésektől. Ezt a szempontot szem előtt tartva egy olyan modellt hoztak létre, amely lehetővé teszi, hogy a vélekedések explicit formában is megjelenhessenek, és közvetlenül meghatározzák a játékosok hasznosság függvényeinek értékét. A cél elérése érdekében azonban megváltoztatták magának a vélekedés fogalmának a jelentését. A stratégiai vélekedéseket nyilván nem lett volna lehetséges a hasznosság függvények argumentumaként megjeleníteni, hiszen ezek a véle- 1

kedések éppen a hasznosság függvényekről birtokolt információk nyomán alakulnak ki. Így, míg a hagyományos modellben a stratégiai vélekedések játszanak implicit szerepet, a pszichológiai játékokban az a priori vélekedések jelennek meg explicit módon. Ez nem egyszerű szemléletváltást, a vélekedések előtérbe helyezését jelenti, hanem egy új fogalom bevezetését, és annak beépítését a rendszerbe. Azonban, mint láttuk, a két vélekedésfogalom kizárja egymást, így az a priori vélekedések beépítése a modellbe csak a már meglévő stratégiai vélekedés fogalmának kiiktatásával egyidejűleg lehetséges. Mivel a stratégiai interakció definíció szerint magában foglalja a stratégiai vélekedések kialakulását, egy az a priori vélekedéseket tartalmazó modellben nem szerepelhet stratégiai interakció. Rabin tehát, bár az a priori vélekedések fogalmának segítségével sikeresen megjeleníti a méltányosságot, ugyanakkor éppen az új vélekedésfogalom beiktatása miatt eliminálja a modellből a stratégiai vélekedéseket és velük együtt a stratégiai interakciót, így a játékelmélet keretein kívülre helyezi a modellt..4. A méltányossági egyensúly és a Nash-egyensúly új megközelítésben Figyelembe véve és hangsúlyozva, hogy Rabin méltányossági modelljében tehát a játékosok között nincsen stratégiai interakció, térjünk most vissza a méltányossági egyensúly és a Nash-egyensúly kapcsolatának vizsgálatához. Láttuk, hogy Rabin méltányossági modelljében a játékosok hasznosság függvényeinek argumentumaként csak az adott játékos stratégiája és vélekedései szerepelnek. Láttuk továbbá, hogy ekkor a játékosok között nincsen stratégiai interakció, így a játék adott vélekedések mellett a két játékos két különálló döntési szituációjára egyszerűsödik. Beszélhetünk-e ekkor egyáltalán egy ilyen játék méltányossági egyensúlya és a Nash-egyensúly közötti kapcsolatról? A méltányossági egyensúly és a Nash-egyensúly tartalmilag teljesen különböző fogalmak. Míg a Nash-egyensúlyi stratégia pár stratégiai interakció során jön létre, a méltányossági egyensúly két olyan stratégiából álló stratégia pár, amelyek adott vélekedések mellett külön-külön maximalizálják a játékosok hasznosságát a különálló döntési helyzeteikben. Így, míg a Nash-egyensúlyi stratégia pártól egyik játékosnak sem éri meg egyoldalúan eltérni, feltéve, hogy a másik játékos az egyensúlyi stratégiáját játssza; addig a méltányossági egyensúlyi stratégia pártól egyik játékosnak sem éri meg egyoldalúan eltérni, a másik játékos stratégiájától függetlenül. Szemléltetendő az egyensúlyfogalmak közötti tartalmi különbséget, vizsgáljuk újra a (Boksz, Boksz) kimenetelt a hagyományos nemek harca játékban, illetve a belőle származtatott pszichológiai játékban. b 1 = b = c 1 = c = Boksz esetén a származtatott pszichológiai játék teljes hasznosságokat tartalmazó mátrixa pontosan megegyezik a hagyományos nemek harca játék 1. 13

táblázatban megadott mátrixával, mivel f (Boksz, Boksz) = f 1 (Boksz, Boksz) = 0 miatt a pszichológiai hasznosságok értéke 0. Továbbá láttuk, hogy a hagyományos nemek harca játékban Nash-egyensúlyi, a származtatott játékban pedig méltányossági egyensúlyi kimenetel a (Boksz, Boksz). Maga a származtatott pszichológiai játék és annak méltányossági egyensúlya azonban koránt sem egyezik meg a hagyományos nemek harca játékkal és annak egyensúlyával. Ugyanis míg a hagyományos játékban a játékosok stratégiai interakció során jutnak el a (Boksz, Boksz) Nash-egyensúlyhoz, addig a származtatott játékban a játékosok a b 1 = b = c 1 = c = Boksz a priori vélekedések mellett két külön döntési szituációban vannak, mivel az adott vélekedések mellett csak saját stratégiájuk befolyásolja hasznosságuk értékét. Jól szemlélteti a különbséget, hogy a származtatott játékot a. táblázat segítségével is megadhatnánk: Ekkor az 1. játékos, stratégiáját 1 Opera 0 Boksz X Opera 0 Boksz X. táblázat. figyelmen kívül hagyva, egyszerű döntési szituációban van: a 0, és az X kifizetések közül kell kiválasztania a számára kedvezőbbet. Ugyanekkor a. játékos 1 stratégiáját figyelmen kívül hagyva választ 0 és X közül. Mivel X > 0, nyilván az X-et, illetve a X-et fogják választani, ezért lesz a méltányossági egyensúly a (Boksz, Boksz). Ekkor a (Boksz, Boksz) méltányossági egyensúlytól egyik játékosnak sem éri meg eltérni, a másik játékos stratégiájától függetlenül, hiszen döntésük nem is függött a másik játékos stratégiájától. A hagyományos nemek harca játékban a (Boksz, Boksz) Nash-egyensúly egymás stratégiájának figyelembe vételével alakul ki, és így akkor nem éri meg egyoldalúan eltérni tőle, ha feltesszük, hogy a másik játékos a Nash-egyensúlyi stratégiáját játssza. Egy adott kimenetelnek: a (Boksz, Boksz)-nak tehát két különálló tulajdonsága, hogy Nash-egyensúlyi kimenetel a hagyományos játékban, és megfelelő a priori vélekedések mellett méltányossági egyensúlyi kimenetel a származtatott játékban; ez azonban semmilyen kapcsolatot nem feltételez a két egyensúlyfogalom között. Tekintsük most újra Rabin azon állításait, amelyekkel a 1.5. fejezetben foglalkoztunk. Fontos hangsúlyozni, hogy a 1.., 1. 3., 1. 4. és 1. 5. tételekben a Nash-egyensúlyi és a méltányossági egyensúlyi kimenetelek közötti kapcsolatról, és nem az egyensúlyfogalmak között kapcsolatról van szó. Ennek figyelmen kívül hagyása esetleg azt a hamis látszatot keltheti, hogy a két egyensúlyfogalom között tartalmi kapcsolat van, holott az előbbiekben láttuk, tartalmilag mennyire különböző ez a két fogalom. Például a 1.. tétel a következőt fogalmazza meg: Ha egy kimenetelre igaz A és B 14

tulajdonság (nevezetesen, hogy Nash-egyensúlyi és kölcsönösen maximalizáló, vagy minimalizáló), akkor igaz rá C is (nevezetesen, hogy méltányossági egyensúlyi). Ez az állítás kimenetelek tulajdonságairól szól, és semmiképp nem azt jelenti, hogy a méltányossági egyensúly egy olyan fogalom, ami magában foglalja a Nash-egyensúly és a kölcsönösség fogalmát is. Nem arról van szó, hogy a Nash-egyensúly és a méltányossági egyensúly fogalmai között bármilyen tartalmazási kapcsolat lenne, vagy létezne metszetük, azaz az olyan egyensúlyok halmaza, amely mindkettő egyszerre. Sőt, mint láttuk, a méltányossági egyensúly és a Nash-egyensúly mind kialakulásukat, mind tartalmukat tekintve teljesen különböző fogalmak. 15

Hivatkozások 1. Geanakoplos, J., Pearce, D., és Stacchetti, E. (1989). Psychological Games and Sequential Rationality. Games and Economic Behavior, 1(1) : 60 79.. Nelson, W. R. Jr. (001). Incorporating Fairness into Game Theory and Economics: Comment. American Economic Review, 91(4) : 1180 1183. 3. Rabin, M. (1993). Incorporating Fairness into Game Theory and Economics. The American Economic Review, 83(5) : 181 130. i

Függelék A. A kedvesség függvény vizsgálata A 3. táblázat által megadott normál formájú pszichológiai játékban legyen 1 a sorjátékos, és az oszlopjátékos. Milyen értékeket vehet fel ekkor f 1 (a 1, b )? Tegyük fel, hogy a 1 = A 1 C D A X 1, X Y 1, Y B Z 1, Z W 1, W 3. táblázat. Egy normál formájú pszichológiai játék és b = C, azaz 1 A-t játszik, és 1 vélekedése szerint C-t játszik. Ekkor Π(C) = {(π 1 (A, C), π (C, A)); (π 1 (B, C), π (C, B))} = {(X 1, X ), (Z 1, Z )} és f 1 (A, C) = π (C, A) π(c) e π h (C) π min (C) = X π(c) e π h (C) π min (C). Mivel a Π(C) halmaz csak két stratégia profilból áll, (A, C) és (B, C) közül legalább az egyiknek Pareto-hatékonynak kell lennie. Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor mindkét stratégia profil Pareto-hatékony. 1.. 3. X > Z esetén f 1 (A, C) = X X +Z = 1 X Z X < Z esetén f 1 (A, C) = X Z +X = 1 Z X X = Z esetén X = Z = π h (C) = π min (C) miatt f 1 (A, C) = 0 Vegyük észre, hogy ha a két stratgia profil közül csak (A, C) Pareto-hatékony, akkor X Z és π e (C) = X miatt f 1 (A, C) mindig 0. Hátra van még az az eset, amikor csak (B, C) Pareto-hatékony. Ekkor X Z 1.. X < Z esetén f 1 (A, C) = X Z +Z Z X X = Z esetén f 1 (A, C) = 0 = 1 ii

Az f 1 (A, C) függvény értékkészlete tehát a { 1, 1, 0, 1 } halmaz. A szimmetria miatt minden f i (a i, b j ) függvénynek ez a halmaz az értékkészlete, sőt, mivel a f j (b j, c i ) függvények az f i (a i, b j ) függvények értékeiről alkotott vélekedések, a f j (b j, c i ) függvények értékkészlete is a fenti halmaz. Az f j (b j, c i ) [1+f i (a i, b j )] pszichológiai kifizetés függvény értékkészlete így a { 3, 1, 3 4, 1, 1 4, 0, 1 4, 1, 3 4 } halmaz. B. Az 1. 1. tétel bizonyítása A tétel bizonyításához lássuk be, hogy nem lehet méltányossági egyensúly az a kimentel, amelyben f i > 0 és f j 0. Tekintsük az (A, C) stratégia párt. Lehetséges-e, hogy f 1 (A, C) > 0 és f (C, A) < 0, illetve f (C, A) = 0 esetén (A, C) méltányossági egyenúly? Feltehető, hogy b 1 = c 1 = A és b = c = C, hiszen ezen feltételek teljesülése nélkül az (A, C) pár nem lehetne méltányossági egyensúly. A kedvesség függvény vizsgálatakor láttuk, hogy f 1 (A, C) > 0 akkor és csak akkor áll fenn, ha (A, C) és (B, C) is Paretohatékony stratégia párok, valamint X > Z. Ekkor f 1 (A, C) = 1. f (C, A) < 0 két esetben állhat fenn: 1. (A, C) és (A, D) stratégia párok Pareto-hatékonyak, és X 1 < Y 1 ; f (C, A) = 1. (A, C) és (A, D) közül csak (A, D) Pareto-hatékony, és X 1 < Y 1 ; f (C, A) = 1. Tehát f 1 (A, C) > 0 és f (C, A) < 0 az alábbi két esetben áll fenn. Viszgáljuk meg ezt a két esetet, és lássuk be, hogy 1-nek mindig megéri egyoldalúan eltérnie az (A, C) stratégia profiltól. 1. Az (A, C) és (B, C)stratégia párok Pareto-hatékonyak Π(C)-ben, és (A, C) és (A, D) Pareto-hatékonyak Π(A)-ban; továbbá X > Z, és X 1 < Y 1. Ekkor ( U 1 (A, C, A) = X 1 + 1 ) ( U 1 (B, C, A) = Z 1 + 1 ) [ 1 + 1 ] = X 1 3 4, és [ 1 1 ] = Z 1 1 4. Abban az esetben nem érné meg 1-nek egyoldalúan eltérnie az (A, C) stratégia profiltól, ha X 1 Z 1 + 1, mert ekkor nem tudnáezáltal növelni a teljes kifizetését. Ez a feltétel azonban ellentmondásba ütközik a kezdeti feltevéseinkkel, hiszen X 1 Z 1 + 1 miatt X 1 > Z 1, így (X 1, X ) > (Z 1, Z ), tehát (B, C) nem lehet Paretohatékony Π(C)-ben. Ez azt jelenti, hogy az 1-es játékosnak mindenképp megéri iii

egyoldalúan eltérni attól az (A, C) stratégia profiltól, amelyben ő kedves -höz, de rosszindulatú hozzá. Formálisan A argmax a S1 U 1 (a, C, A), vagyis (A, C) nem lehet méltányossági egyensúly.. Az (A, C) és (B, C)stratégia párok Pareto-hatékonyak Π(C)-ben, de (A, C) és (A, D) közül csak (A, D) Pareto-hatékony Π(A)-ban, továbbá X > Z, és X 1 < Y 1. Ekkor [ U 1 (A, C, A) = X 1 + ( 1) 1 + 1 ] = X 1 3, és [ U 1 (B, C, A) = Z 1 + ( 1) 1 1 ] = Z 1 1. 1-nek ekkor X 1 Z 1 + 1 esetén nem érné meg egyoldalúan eltérni, amely feltétel szintén ellentmondana a kezdeti feltevéseknek, hiszen az előző esethez hasonlóan (X 1, X ) > (Z 1, Z )-t implikálja. Így a fenti gondolatmenetet követve ekkor sem lehet (A, C) méltányossági egyensúly. Beláttuk tehát, hogy (A, C) nem lehet méltányossági egyensúly, amennyiben f 1 (A, C) > 0 és f (A, C) < 0. Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor f 1 (A, C) > 0 és f (C, A) = 0. Láttuk, hogy f 1 (A, C) > 0 akkor és csak akkor áll fenn, ha (A, C) és (B, C) is Paretohatékony stratégia párok, valamint X > Z. Ekkor f 1 (A, C) = 1. f (C, A) = 0 esetén a vélekedések egyezése miatt f (C, A) = 0. Legyenek (A, C) és (B, C) Pareto-hatékonyak Π(C)-ben, és legyen f (C, A) = 0. Ekkor U 1 (A, C, A) = X 1 + 0, és U 1 (B, C, A) = Z 1 + 0. Tehát abban az esetben érné meg 1-nek egyoldalúan eltérni ha X 1 Z 1, ami a fentiekhez hasonlóan ellentmond a feltevéseknek. Megint arra az eredményre jutottunk, hogy 1-nek minden esetben megéri egyoldalúan eltérni egy olyan (A, C) stratégia profiltól, amelyben ő kedves -höz, de nem kedves hozzá, bár nem is kifejezetten rosszindulatú. Összefoglalva a fentieket: f 1 (A, C) > 0 és f (C, A) 0 együttes fennállása esetén (A, C) nem lehet méltányossági egyenúly. A szimmetria miatt ekkor b i, c i S i vélekedések mellett a i S i, f i (a i, b j ) > 0 és f j (b j, a i ) 0, esetén (a 1, a ) nem lehet méltányossági egyensúly, tehát valóban minden egyensúlyi kimenetel szigorúan pozitív, vagy gyengén negatív. A bizonyításból továbbá az is látszik, hogy azért nem lehetséges ettől eltérő egyensúlyi kimenetel, mert semelyik játékosnak nem éri meg a rosszindulatot, illetve semlegességet kedvességgel viszonozni. Ez a megfontolás közel áll a fairségről, méltányosságról iv

alkotott hétköznapi intuícióinkhoz. C. Az 1.. tétel bizonyítása A bizonyításhoz tegyük fel, hogy (A, C) stratégia pár Nash-egyensúlyi, és kölcsönösen maximalizáló kimenetel, valamint b 1 = c 1 = A és b = c = C. Ekkor a Nashegyensúlyiság miatt egyik játékosnak sem éri meg egyoldalúan eltérni (A, C)-től, így X 1 Z 1 és X Y, továbbá a kölcsönös maximalizálás miatt X 1 Y 1 és X Z. Ekkor vagy X i = Y i = Z i, i = 1,, vagy (Y 1, Y ) és (Z 1, Z ) nem Pareto-hatékony kifizetéspárok. Mindkét esetben f i = f i = 0, i = 1,. Az (A, C) stratégia pártól egyoldalúan eltérve mindkét játékos materiális hasznossága csökkenne vagy nem változna, pszichológiai hasznossága pedig 0 maradna f i = 0, i = 1, miatt. Tehát egyik játékosnak sem éri meg egyoldalúan eltérni; így (A, C) méltányossági egyensúly. Tegyük most fel, hogy (A, C) stratégia pár Nash-egyensúlyi és kölcsönösen minimalizáló kimenetel, valamint b 1 = c 1 = A és b = c = C. Ekkor továbbra is X 1 Z 1 és X Y, valamint a kölcsönös minimalizálás miatt X 1 Y 1 és X Z. fi, i = 1, ekkor 0, vagy negatív, attól függően, hogy az egyenlőségek hogyan alakulnak. Amennyiben valamelyik játékos egyoldalúan eltérne az (A, C) stratégia pártól, a materiális kifizetése csökkenne vagy nem változna, a kedvesség-függvényének értéke pedig nőne, így f i 0, i = 1, miatt pszichológiai hasznossága is csökkenne vagy nem változna. Tehát egyik játékosnak sem éri meg egyoldalúan eltérni; így (A, C) méltányossági egyensúly. A szimmetria miatt a bizonyítás általánosítható; minden Nash-egyensúlyi és kölcsönösen maximalizáló vagy minimalizáló kimenetel méltányossági egyensúlyi kimenetel is. v