A2 jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás

A jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás Simon Károly 7.4.4

BA.. Többváltozós valósértékű függvények integrálása... Normáltartományok Normáltartományok síkban A normáltartományok pontosan azok a tartományok, amelyeken könnyű integrálni. Mivel a síkban az és y tengelyek szerepe azonos, ezért két fajta normál tartományt különböztetünk meg: { { a b c y d : u () y u () ; : v (y) v (y) Vagyis: = {(, y) a b és u () y u ()} = {(, y) c y d és v (y) v (y)} y y = u () d y = v(y) = v(y) a y = u () b c. ábra. = {(, y) : a b és u () y u ()} továbbá = {(, y) : c y d és v (y) v (y)}. A esetében az -szel futunk az a -tól a b -ig, és egy ilyen felett akkor vagyunk a -ben, amikor u () y u ().. PÉLA: (a) u () = ; u () = és (L.. ábra) {, ha (b) u () = ; u () =, ha < és (L. 3. ábra)

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA3.8.6.4. y = y =..4.6.8. ábra. Az y = és y = közötti terület. y y = u y =.8.6.4...4.6.8 u 3. ábra. Az y = és az egységkör első negyedbe eső darabjának metszete.

4 BA Normáltartományok térben Egy tartomány akkor normált tartomány a térben, ha olyan mint egy krumpli. z E z = z (, y) z = z (, y) y = y() b a y y = y () E y 4. ábra. A deformált gömb szerű tartomány "egyenlítője" az E. A test felületének az E görbe feletti része a z = z (, y) és az E alatti része a z = z (, y) felületek. Az E görbe vetülete az y síkra (ugyanaz mint a vetülete) az E y görbe. Ennek (az tengely szempontjából) "alsó" része az y = y (, y), felső része pedig az y = y (, y) görbék. : a b y () y y () z (, y) z z (, y) (L. 4. ábra.). PÉLA: Az origó középpontú, R sugarú gömb: R R : R y R R y z R y (L. 5. ábra) 3. PÉLA: Legyen a z = + y kúp, és a z = 4 y forgási paraboloid által határolt korlátos tartomány. : 4 y 4 (L. 6. ábra) + y z 4 y

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 z z = y y = R y y = R E = E y z = y 5. ábra. Gömb mint normáltartomány.

6 BA 4 z z = 4 y y = 4 y = 4 y z = + y 6. ábra. Felül gömb alul kúp.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA7... f : R R függvény Riemann integrálja normáltartományon Legyen egy síkbeli normáltartomány. Legyen f egy olyan korlátos függvény, amely értelmezve van és folytonos a majdnem minden pontjában. Ez biztosan teljesül, ha a rossz pontok (vagyis ahol f nincs is értelmezve vagy ha értelmezve van akkor nem folytonos), lefedhetőek véges sok egyenessel. Vegyünk egy tetszőleges n N számot, és tekintsük az oldalú négyzetrácsot. Legyen {K,...,K m } azon négyzetek a fenti négyzetrácsból, me- n lyeknek van közös pontja -vel. Legyen u i egy tetszőleges eleme a K i halmaznak. (L. 7. ábra.) Ekkor : terület(k i ) f (u i ) = f (u n i ) az f függvény által meghatározott felület K i feletti, és a felület alatti rész térfogatával. Az f felület alatti térfogat közel egyenlő, ha ezen kis térfogatok összegével. Azaz m f (u n i ) az f (, y) alatti térfogat. Tehát az f (, y) alatti i= térfogatot mint a f (, y)ddy = lim n n m f (u i ) határértékkel (ami belátható, hogy létezik) értelmezzük.. EFINÍCIÓ: A fenti határértéket azf függvény tartományra vonatkozó kettős integráljának nevezzük. Néha pedig mint az f Riemann integrálját a -n emlegetjük. Tehát a f (, y)ddy az f függvény grafikonja alatti térfogat a tartományon. Fontos speciális eset: Mivel f (, y) konstans függvény alatti térfogat a tartományon értelemszerűen a tartomány területe kell legyen, ezért: terület() = ddy. Mivel az m f (, y)ddy = lim f (u n n i ), (ahol {K,...,K m } az -es n i= négyzetrács azon négyzetei, melyek metszik -t és u i K i ) ezért az integrál, mint terület() (az f értékeinek átlaga -n) kifejezéssel szemléltethető. Ez nem pontos matematikai kifejezés, csak szemléltetés. Tehát az integrál tulajdonságai az átlag tulajdonságaiból jönnek. i=

8 BA y u i n 7. ábra. Az u i a K i négyzet egy tetszőleges pontja.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA9 A Riemann integrál tulajdonságai. Cf (, y)ddy = C f (, y)ddy, C R. [f (, y) + g (, y)]ddy = f (, y)ddy + g (, y)ddy 3. = továbbá =, akkor f (, y)ddy = f (, y)ddy+ f (, y)ddy 4. Ha p f (, y) q, (, y), akkor területp () f (, y)ddy q terület() 5. Integrálszámítás középérték tétele: Ha f folytonos a egy összefüggő korlátos tartomány, akkor minden pontjában, úgy (u, v), hogy f (, y)ddy = terület () f (u, v), összefüggő. Az integrálszámítás középérték tétele szerint tehát ha f folytonos, akkor olyan (u, v), hogy a alapú f (u, v) magasságú test térfogata éppen f (, y) ddy-nal egyenlő. Az f (, y)ddy szemléletesen azt jelenti, hogyha van egy sziget a tengerben, melynek alapja, és a tengerszint feletti magasságot az (, y) pontban az f (, y) adja meg, akkor ha egy nagy buldózerrel ezt a szigetet teljesen símára gyaluljuk (azaz minden pont tengerszint feletti magassága ugyanaz az M szám), akkor f (, y)ddy = M terület(). A Riemann integrál kiszámítása normáltartományon. TÉTEL: f (, y)ddy = b =a u () y=u () f (, y)dy d,

BA { } a b ha : és az f a minden (kivéve esetleg véges sok) pontjában értelmezett korlátos függvény, amely a minden u () y u () (kivéve esetleg véges sok) { pontjában folytonos. c y d Megjegyzés: Ha :=, akkor f (, y)ddy = v (y) v (y) ( ) d v () f (, y)d dy. y=c =v () Tehát ha = [a, b] [c, d] téglalap (L. 8. ábra): y d c a b 8. ábra. Téglalap mint két intervallum szorzata. ( ) ( b d d b ) f (, y)ddy = f (, y)dy d = f (, y)d dy. Vagyis az integrálás sorrendje felcserélhető mert függetlenek a =a y=c y=c =a határai. 4. PÉLA: Legyen = [, 3] [, ] téglalap. Mivel egyenlő ( + 8y)ddy? Megoldás: ( ) 3 3 ( + 8y)ddy = ( + 8y)dy d = [y + 4y ] y= d = = y= = 3 3 ( + 6 4) d = ( + )d = [ + 6 ] 3 = 57. = = 5. PÉLA: Legyen f : R R egy tetszőleges folytonos függvény és legyen a 9. ábrán látható tartomány. Feladat: határozzuk meg az integrálás határait az alábbi kettes integrálban: f(, y)ddy =?

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA Megoldás: Látható, hogy egy normál tartomány, ahol és egy ilyen -re y +. Tehát + f(, y)ddy = d = y= f(, y)dy 6. PÉLA: Legyen f : R R egy tetszőleges folytonos függvény és legyen a. ábrán látható tartomány. Feladat: határozzuk meg az integrálás határait az alábbi kettes integrálban: f(, y)ddy =? Megoldás: Az alsó kör egyenlete: + y =. A felső kör egyenlete: + (y ) =. A két kör metszéspontjainak koordinátái: 3 ; 3. Tehát egy 3 3 -re y. Vagyis: f(, y)ddy = 3 = 3 y= f(, y)dy d. 7. PÉLA: Legyen f : R R egy tetszőleges folytonos függvény és legyen a. ábrán látható tartomány. Feladat: határozzuk meg az integrálás határait az alábbi kettes integrálban: f(, y)ddy =? Megoldás: Noha a tartomány nem normáltartomány, de előáll mint a és a normáltartományok diszjunkt uniója. Ezért f(, y)ddy = f(, y)ddy + f(, y)ddy. Tehát elég a jobb oldalon alló két integrált kiszámítani. = + y=+ d = f(, y)ddy = f(, y)dy + y= f(, y)dy d

BA Továbbá: f(, y)ddy = = y= f(, y)dy d+ = + y= + f(, y)dy d. 8. PÉLA: Határozzuk meg az + y + z = 4 sík alatti trérfogatot az y síkbeli R = [, ] [, ] téglalap feletti részen. (L.. ábra) = Megoldás: térf ogat = (8 )d = = = ( y= (4 y)dy ) d = (6 ) d = [6 ] = 5. = [ 4y y y ] d = 9. PÉLA: Mivel egyenlő az yddy, ha R az a korlátos tartomány, R amit az y = ; y = ; = ; = 4 határolnak? (L. 3. ábra.) Megoldás: ( ) 4 4 [ ] y yddy = ydy d = 4 ( ) = 3 d = R = y= = y= 8 = [ ] 4 3 4 =. 6 3 6. PÉLA: Legyen f : R R tetszőleges függvény, amely integrálható az ábrán látható tartományon. Irjuk fel az integrálási határokat:

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA3 5 y 4 y = + y = y 3 3 9. ábra. az ábrán jelölt tartomány.

4 BA y. ábra. az ábrán jelölt tartomány.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 y y = + y = y = y = + y = y = y = + y = + =. ábra. = az integrálási tartomány.

3.5.5.5 6 BA z 4 z = 4 y y. ábra. Test melyet alúról a [, ] [, ] téglalap, felűről pedig az +y+z = 4 sík határol. y = R y = y = 3 5 6 4 3. ábra. Az y =, és az = görbék által határolt R tartomány

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA7..3. Helyettesítéses integrál f : R R függvényekre Gyakran előfordul, hogy az integrálás határai már önmagukban is olyan komplikált függvények, hogy emiatt az integrál kiszámítása a fenti módon túl sok munkát igényelne. Sokat egyszerűsödhet a dolog, ha megfelelő helyettesítést vezetünk be melynek hatására az ingrálási tartomány egy téglalap, vagy egy háromszög lesz. Az új változók helyettesítésének szabályait mutatja a következő tétel, melynek talán ilyesztően általános fogalmazását ellensúlyozza, a sok példa, amelyek a tétel alkalmazását mutatják be. R f G f R T G (, y) (u, v) Γ 4. ábra. T f(, y)ddy = Γ f(g(u, v)) det (G (u, v)) dudv. TÉTEL: Legyen f : R R integrálható a T R tartományon, továbbá legyen G : Γ T - értelmű és folytonosan differenciálható, ahol

8 BA Γ R. Ekkor f (, y)ddy = T Γ f (G (u, v)) det (G (u, v)) }{{} dudv () Jacobi determináns Leggyakrabban az ún. polárkoordinátás helyettesítést használjuk. Itt a tételbeli u, v szerepét az r (origótól vett távolság) és a ϕ (az tengely pozitív felével, az óramutató járásával ellentétes irányban felmért szög). A polár koordinátás helyettsítés estén: G(r, ϕ) = r cos(ϕ), r sin(ϕ) és det (G (r, ϕ)) = r. }{{}}{{} y. PÉLA: Írjuk fel poolárkoordinátassan az (5, ) középpontú és R = 4 egységsugarú zárt körlemezt! Megoldás: = 5 + r cos(ϕ) y = + r sin(ϕ), ahol ϕ π és r 4. Tehát a paraméter tartomány az r, ϕ síkon egy téglalap: [, 4] [, π].. PÉLA: Írjuk fel poolárkoordinátassan az ( 4) + 9 (y 7) 4 egyenlettel meghatározott zárt ellipszis lemezt. Megoldás: Az ellipszis középpontja: P = (4, 7), az tengellyel párhuzamos tengelyének hossza: a = 3 az y tengellyel párhuzamos tengely hossza b =. Ezért: = 4 + ar cos(ϕ) y = 7 + br sin(ϕ), ahol r és ϕ π. 3. PÉLA: Legyen f (, y) = y és legyen T a 5. ábrán látható negyedkör lemez tartomány. Mivel egyenlő f (, y)ddy? T =

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA9.8.6.4 T...4.6.8 5. ábra. A T tartomány

BA Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ }{{}}{{} }{{} polárkoordinátás helyettesítés Ekkor a G a Γ-t - értelműen képezi a T-re, és G folytonosan differenciálható. Ezért a tétel [ feltételei teljesülnek. ] cosϕ r sin ϕ G (r, ϕ) = det (G sin ϕ r cosϕ (r, ϕ)) = r det (G (r, ϕ)) = r. Tehát T f (, y)ddy = = Γ r= = π y f(g(r,ϕ)), és Γ = { (r, ϕ) r ; ϕ π }. (r cosϕ) (r sin ϕ) r }{{}}{{} drdϕ det(g (r,ϕ)) ( π ϕ= r rdϕ dr [ ( r )3 3 ] r= 4. PÉLA: Legyen A = {(, y) + y 4, y }. Mivel egyenlő ( + y + ) ddy? A }{{} f(,y) Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ és Γ = {(r, ϕ) r ; ϕ π}. }{{}}{{} y G : Γ A - értelmű folytonosan differenciálható. ) = π 6 ( + y + ) ddy = A }{{} Γ (r cosϕ) + (r sin ϕ) + }{{} r f r } {{} f(g(r,ϕ)) ( π ) π [ ] π (r 3 + r)drdϕ = (r r + r)dr dϕ = 4 + r dϕ = 4 Γ π6. ϕ= r= ϕ= }{{} det(g (r,ϕ)) ϕ= drdϕ = ( 6 4 + ) dϕ =

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA 5. PÉLA: Legyen A = {(, y) ; y { } } és B = (, y) ; y 4. Kérdés: ddy =? y Megoldás: Először megkeressük a megfelelő helyettesítést. t = y } u = y. Innen: = y és = y. A második egyenletet elosztva t u az elsővel kapjuk, hogy: 3 = t, vagyis = 3u u t 3. Ebből és a fenti első egyenletből: y = t = t 4 3u 3. Vagyis Könnyen látható, hogy A B G (t, u) = t t 3, t 3 }{{ u }}{{ u ; } y { Γ := u } 4 t det(g (t, u)) = 6 9 tu, továbbá: y = u. Vagyis a keresett integrál: 3 u= t= 4 u tu dtdu = 3 u= 4 u 3 t= tdt = 5. Az () egyenletben szereplő f(g(u, v)) det(g (u, v)) kiejezés értékének kiszámításában segít a következő Maple parancs: > with(student): > changevar({=t^(/3)*u^(-/3),y=t^(4/3)*u^(-/3)}, oubleint(^/y,,y),[t,u] ); /3 t u dt du u

BA { } 6. PÉLA: Legyen M = (, y) :, y 4 és M = { (, y) : >, < y < } 4. Mivel egyenlő sin(y) ddy? y (L. 6. ábra.) M M 5 y y = y = 4 y = 4 y = 4 y 3 M M M M M M 3 4 6. ábra. Az M és M tartományok metszete. Megoldás: Először megfelelő helyettesítést keresünk. (L. 7. ábra) 5 y y = t y = u 4 3 3 4 7. ábra. A t u paraméterek jelentése.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA3 t = y u = y } = u 3t 3 y = u 3t 3 ; vagyis és Γ := 4 t u 4 G (t, u) = u 3 t 3 }{{}, u 3 t 3 }{{} y A [ G (t, u) = u 3t 4 3 3 u 3t 3 3 f(,y) {}}{ sin y ddy = y Γ 3 t= 4 t dt 4 u= f(g(t,u)) {}}{ sin (u) t 3t 3 u 3 3t 3 u 3 det(g (t,u)) {}}{ ] det (G (t, u)) = 3t. 3t dudt = 3 t= 4 ( 4 ) sin (u) du dt = t u= sin (u) du Ez innen egyszerű számolással befejezhető. Az () egyenletben szereplő f(g(u, v)) det(g (u, v)) kiejezés értékének kiszámításában segít a következő Maple parancs: > with(student): > changevar({=t^(-/3)*u^(/3),y=t^(/3)*u^(/3)}, oubleint((^/y)*sin(**y),,y),[t,u] ); 7. PÉLA: Az L y= Megoldás: y= y== ( ( R ) e 3y d dy = = /3 sin (u)cos (u) dtdu t t e 3y ddy mivel egyenlő? e 3y d = L y= ) dy = lim L R [ e 3y] R dy L y= ( R ) e 3y d dy = =

4 BA L y= ( e R 3y + e 3y) dy = [ 6 e R 3y e 3y] L = ( 6 6 e R 3L e 3L) ( ) ( 6 e R e ). Tehát ( ) 6 } e R {{} e = e 6. y== e 3y ddy = lim L 6 R 8. PÉLA: Mivel egyenlő az I = e ( +y )? Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ ; }{{}}{{} y + y = r cos ϕ + r sin ϕ = r. I = lim e (+y ) ddy; R R e R L }{{} R = { (, y), y, + y R } e 3L }{{} és Γ R = { (r, ϕ) r R, ϕ π } ; G : Γ R R. y R R R 8. ábra. A R tartomány.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 I = lim ( lim R π 4 = y= R R r= e R }{{} ( π ) e r rdϕ dr = lim ϕ= ) = π 4. = R π R r= y= π R e r rdr = lim Tehát e ( +y ) ddy = π e d e y dy = π. Tehát 4 4 ( ) [ ] R e r = e d = π Vagyis e d = π = (ez használható a normális eloszlás sűrűség függvényével kapcsolatban). e d nem adható meg zárt alakban, ezért fontos a fenti eredmény. 9. PÉLA: Mivel egyenlő az I = R y +y ddy? y r = ( + cos(ϕ)) R ± ± 3 4 ± ± 9. ábra. A kardioid és kör által közrezárt tartomány fele.

6 BA Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ és y }{{}}{{} = r sinϕ +y r = sin ϕ (= f (G (r, ϕ))), y Γ = { ( (r, ϕ) r ) ( + cosϕ) ; ϕ } π, G : Γ R. Tehát I = π π π (+cos ϕ) [ ] (+cos ϕ) [( sin ϕrdr dϕ = sin ϕ dϕ = ( + cosϕ) sin ϕ sin ϕ )] dϕ ϕ= r= ϕ= [ ( + 3 cosϕ)3 + cos ϕ ] π = [ ( )] 5 3 3 = 8. 3 r ϕ=. PÉLA: Határozzuk meg a háromlevelű lóhere területét, melynek egyenlete: r = sin 3ϕ. (L.. ábra.) Megoldás: terület (R) = ddy. R { (r, ϕ) ϕ π 3 r sin 3ϕ G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ, Γ = }{{}}{{} y G : Γ R. Így a keresett egy lóhere területe: ( ) π π 3 sin3ϕ 3 terület (R) = rdr dϕ = sin 3ϕdϕ = 4 ϕ= r= [ 4 ϕ 4 sin 6ϕ] π 3 = π 3 4 = π. ϕ= π 3 ϕ= } és ( cos 6ϕ)dϕ =. PÉLA: Határozzuk meg az R sugarú gömb térfogatát! Megoldás: Elég meghatározni a felső félgömb {(, y, z) + y + z = R, z } V térfogatát.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA7 V = R y ddy, ahol = {(, y) + y R }. G (r, ϕ) = { r cosϕ, r sin ϕ, Γ = (r, ϕ) r R, }, G : Γ. Tehát }{{}}{{} ϕ π y V = R = π π r }{{} r=ϕ= det(g (r,ϕ)) ( ) R ( = (π) = πr3 3 r= ) 3 R r dϕdr ( r) R r dr [ (R r ) 3 ] R ez a félgömb térfogata, így az R sugarú gömb térfogata: 4πR3 3.

8 BA ϕ = π 3 y.4. R ±.8 ±.6 ±.4 ±...4.6.8 ±. ±.4 ±.6 ±.8 ±. ábra. Háromlevelű lóhere.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA9..4. f : R 3 R függvény Riemann integrálja normáltartományon Az ilyen függvények integrálját az. efinícióban (7. oldalon) az f : R R estére leírtak mintájára definiáljuk. Az eltérés csak annyi, hogy itt minden négyzet helyett kockát kell mondani. A hármas integrál tulajdonságai ugyanazok mint a 9. oldalon leírt kettes integrál tulajdonságai. Legfőképpen az. tétel analógiájára teljesül, hogy: 3. TÉTEL: Legyen egy normál tartomány, a következő határokkal: a b := y () y y (). (L. 4. ábra.) z (, y) z z (, y) Ekkor b y () z (,y) f(, y, z)ddydz = f(, y, z)dz dy d. =a y=y () z=z (,y). PÉLA: Legyen az a tetraéder, melynek csúcsa az origó és az (,, ), (,, ), (,, ) pontok. Kérdés: ddydz ( + + y + z) 3 =? Megoldás: Vegyük észre, hogy egy normál tartomány a következő határokkal: = y. z y Tehát I := f(, y, z)ddydz = = y y= ( + + y + z) 3dz dy d. z= }{{} I }{{} I

3 BA Most kiszámoljuk az I -et. Ezt úgy kapjuk meg, hogy csak a z-t tekintjük változónak, az -et és az y-t viszont konstansnak tekintjük az I kiszámolásakor: I = y z= ( + + y + z) 3dz = [( + + y + z) ] y z= = 4 + ( + + y). A z változót tehát kiküszöböltük. Most az I kiszámolásához csak az y-t tekintjük változónak az -et konstansnak tekintjük: I = y= ( 8 + ) ( + + y) = 3 8 + 8 + +. Tehát a keresett hármas integrál: I = = 3 8 + 8 + + d = 5 6 + ln().34. Vagyis a normál tartományon vett hármas integrál kiszámítását a tartomány határai által meghatározott három darab egyváltozós függvény integrálására vezettük vissza.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA3..5. Helyettesítéses integrál f : R 3 R függvényekre R f G f R 3 T G (, y, z) (u, v, w) Γ. ábra. f(, y, z)ddydz = det (G (u, v, w)) dudvdw T Γ f(g(u, v, w)) 4. TÉTEL: Legyen f : R 3 R integrálható a T R 3 tartományon, továbbá legyen G : Γ T - értelmű és folytonosan differenciálható, ahol Γ R 3. Ekkor f (, y, z)ddydz = f (G (u, v, w)) det (G (u, v, w)) }{{} dudvdw. T Γ Jacobi determináns

3 BA Leggyakrabban használt változó transzformációk Hengerkoordinátás helyettesítés (L.. ábra) z P = (, y, z) z y ϕ r P = (, y, ). ábra. Hengerkoordinátás helyettesítés = r cosϕ y = rsin(ϕ) z = z

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA33 Vagyis a fenti jelölésekkel: G(r, ϕ, z) = (r cosϕ, r sin ϕ, z). A hengerkoordinátás helyettesítés Jacobi determinánsának abszolút értéke (meg kell tanulni fejből): det (G(r, ϕ, z)) = det cosϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r. 3. PÉLA: Legyen S az a test, melyet alulról a z = y elliptikus paraboloid határol és amelyet felülről a z = + y elliptikus paraboloid határol. Kérdés: ( + )ddydz =? + y S Megoldás: { z (, y) = + y z (, y) = y } Most megkeressük azt a kört amiben a két parabola metszi egymást, vagyis ahol z (, y) = z (, y): + y = y + y =. Ezt vissza helyettesítve akár a z akár a z képletébe kapjuk, hogy a z (, y) és a z (, y) felületek egy olyan / sugarú körben metszik egymást, melynek síkja az y síkkal párhuzamosan annál /-el magasabban halad. A hengerkoordinátás helyettesítést alkalmazzuk és felhasználjuk, hogy ekkor = r cosϕ és + y = r.

34 BA Ezzel ( ) + ddydz = + y S = π ϕ= π ϕ= / r= r ( + r cosϕ ) rdz dr dϕ r z=r } {{} ( r )(+cos(ϕ))r ( + cosϕ)dϕ / r= ( r )rdr = π 4.

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA35 Gömbkoordinátás helyettesítés (L. 3. ábra) z P = (, y, z) u r u y v rsin u P = (, y, ) 3. ábra. Gömbkoordinátás helyettesítés Vagyis a fenti jelölésekkel: = r sin u cosv y = r sin u sin v z = r cosu () G(r, u, v) = (r sin u cosv, r sin u sin v, r cos u). (3) Egyszerű számolás mutatja, hogy a Jacobi mátri abszolút értéke: det (G (r, u, v)) = r sin u.

36 BA 4. PÉLA: Legyen S az +y +z 9 gömbnek az I. térnyolcadba eső darabja. Vagyis:, y, z. Kérdés + y + z ddydz =? S Megoldás: A gömbkoordinátás helyettesítést alkalmazzuk. Ekkor + y + z = r. Továbbá vegyük észre, hogy a () jelöléseivel: Tehát S = u π/ v π/ r 3. + y + z ddydz = S = π/ π/ 3 v= u= r= π/ dv }{{} r (r sin u) }{{} +y +z Jacobi det. π/ r 3 dr sin udu 3 drdudv v= = π 3 r= r 3 dr π/ u= sin udu r= = π 8 4 = 8π 8. u= 5. PÉLA: Számítsuk ki az R sugarú gömb térfogatát gömbkoordinátás helyettesítéssel!

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA37 Megoldás: Legyen G az origó középpontú R sugarú gömb. Ekkor π π R térfogat(g) = ddydz = r sin(u)dr du dv G = π π v= u= R sin(u)du r dr r= u= } {{ } r= = π R3 3 = 4 3 R3 π }{{} R 3 3 A fentiektől különböző változó transzformációk: 6. PÉLA: Határozzuk meg az ellipszoid térfogatát. + y + 4 z Általánosságban egy H R 3 halmaz térfogata: térfogat(h) = ddydz. (4) Megoldás: Általánosságban az H a + y b + z c = ellipszoid esetén a következő változó transzformációt alkalmazzuk: = ar sin u cosv y = br sin u sin v z = cr cosu (5) Vagyis ahol G(r, u, v) = (ar sin u cosv, br sin u sin v, cr cosu), u π, v π, r.

38 BA Ebben az esetben könnyű számolással kapjuk, hogy: det (G (r, u, v)) = abcr sin u. A fenti példa esetén: a =, b =, c =. Tehát a Jacobi determináns abszolút értéke a példában: r sin u. térfogat(ellipszoid) = = π π v= u= r= π π dv r } {{ sin u} Jacobi det. sin udu dudv r dr v= u= = π 3 = 8π 3. r= Alkalmazások Legyen T egy test, melynek az (, y, z) T pontban a sűrűsége a ρ(, y, z) függvénnyel adott.. Ekkor a T test M tömegét kiszámolhatjuk: M = ρ(, y, z)ddydz. T. A T test S = (s, s, s 3 ) súlypontjának koordinátái: i ρ(,, 3 )d d d 3 T s i =, i =,, 3. M 3. A z koordináta tengelyre vonatkozó impulzus momentum: I z = ( + y )ρ(, y, z)ddydz. T 7. PÉLA: Legyen G egy csonkakúp, melynek alsó és felső fedőlapjának sugara: és 4, magassága pedig. A csonkakúp helyezzük el úgy, hogy

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA39 alapköre az y síkon legyen és alapkörének középpontja az origó. Felezzük meg a csonkakúpoz. Vagyis vágjuk szét két egybevágó darabra az z koordináta síkkal. Az így kapott testet nevezzük T-nek. (L. 4. ábra.) Tegyük fel, hogy T sűrűsége egyenlő -el a T minden pontjában. Határozzuk meg a T súlypontjának koordinátáit.

4 BA 8 z 6 4 5 4-5 6 y 8-4. ábra. Félbevágott csonka kúp

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA4 Megoldás: T-t hengerkoordináta rendszerben megadhatjuk: r z/ T = ϕ π. z Használva, hogy a hengerkoordinátás helyettesítésnél a Jacobi determináns abszolút értéke r-el egyenlő kapjuk, hogy a T térfogata (és így tömege hiszen a sűrűség egyenlő eggyel:) M = ddydz = z/ π rdϕdrdz = 3π. T z= r= ϕ= Legyen a súlypont S = (s, s, s 3 ). Szimmetriai okokból azonnal látható, hogy s =. Az s meghatározásához használjuk, hogy a tömeg M = 3π és hogy y = r sin ϕ továbbá a Jacobi determináns abszolút értéke r-el egyenlő a hengerkoordinátás helyettesítésnél: s = yddydz T = 3π z/ r drdz z= π z/ r= π ϕ= sin ϕdϕ (r sin ϕ) }{{}}{{} r y Jacobi det. 3π dϕdrdz z= r= ϕ= }{{}}{{} 64 = 3π = 64 3π = 46 39π = 3.3368753. Az utolsó előtti lépésben a z= r drdz = 64 számolását megkaphatjuk a következő Maple sorral is: z/ r= int((int(r^,r=..-z/)),z=..); 64

4 BA Most kiszámoljuk az s 3 -at. s 3 = zddydz z= T = 3π z/ z rdrdz z/ r= π dϕ π ϕ= z }{{} r Jacobi det. 3π dϕdrdz = z= r= } {{ } 368 3π = 57 3 = 4.38465385. ϕ= }{{} π Az utolsó előtti lépést a következő Maple sorral számoltuk ki: > int((int(r*z,r=..-z/)),z=..); Tehát a súlypont koordinátái: 368 S = (, 3.3, 4.38) [ 8. PÉLA: Határozzuk meg a konstans ρ sűrűségű (tehát homogén) T := a, ] [ a b, ] [ b c, c ] téglatestnek az -tengelyre vonatkozó impulzus momentumát! Megoldás: I = (y + z ) ρddydz. Szimmetriai okokból ha T T + = [, a ] [, b ] [, c ], akkor I = 8 (y + z ) ρddydz. T +

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA43 I = 8ρ c/ b/ a/ (y + z )ddydz = 8 a c/ b/ ρ (y + z )dydz = 4aρ c/ = 4aρ = 4aρ [ y 3 3 + z y c/( b 3 4 + z b ( ) b 3 c 48 + c3 b 48 ] y=b/ y= ) dz dz = abc (b + c ) = M (b + c ). 9. PÉLA: Egy -sugarú gömböt átfúrunk úgy, hogy a fúró középpontja a gömb középpontjától egy egység távolságra halad el. Mekkora a keletkezett test térfogata, ha a fúró keresztmetszetének átmérője? Megoldás: Helyezzük a koordináta rendszer origóját a gömb középpontjába és válasszuk meg a koordináta tengelyeket úgy, hogy a fúró tengelye párhuzamos legyen a z tengellyel és a fúró az y sík P = (, ) középpontú egység sugarú kör lemezére (jelelöljök ezt a körlemezt -vel) merőlegesen halad. A feladatot úgy oldjuk meg, hogy a gömb térfogatából kivonjuk a fúróval eltávolított rész térfogatát. térfogat gömb = 4 3 3 π = 3π 3. (6) Most tehát ki kell számolni a fúróval eltávolított térfogatot. Ehhez integrálni kell a z = 4 y függvényt a körlemez felett. Jelöljük ezt az integrált I-vel. A kifúrt térfogat nyilván I-vel egyenlő. I = ( 4 y )ddy. Áttérve polár koordinátákra: I = π π cos ϕ ( 4 r ) rdrdϕ

44 BA A kettes integrál kiszámítása normáltartományon fejezetben tanult módszerrel a π cos ϕ ( 4 r ) rdrdϕ = 8 3 π 3 9. (7) π Ezt leellenőrizhetjük, ha a Maple-be a következő kódot beírjuk: > int((int(r*sqrt(4-r^),r=..*cos(phi))),phi=-pi/..pi/); 8 3 π 3 9 A gömb térfogata ezen érték duplájával csökken: térfogat(kifúrt gömb) = 3π 3 ( 8 3 π 3 9 ) = 6 3 π + 64 9. 3. PÉLA: Számítsuk ki a következő felület által bezárt térrész térfogatát (l. 5. ábra)! z = ( + y + z ) (8) Megoldás: Nevezzük a fenti térrészt T-nek. helyettesítésnél + y + z = r Mivel a gömbkoordinátás és mivel a feladatban adott felület egyenletének jobb oldalán éppen ez a képlet szerepel kézenfekvő, hogy gömbkoordinátás helyettesítéssel (l. 35. oldal) próbálkozunk. A gömbkoordinátás helyettesítésnél (3) egyenletben vagyis G(r, u, v) = (r} sin{{ u cosv}, } r sin{{ u sinv}, } r cosu {{}). y z A (8) egyenlet gömb koordinátásan: r cos(u) }{{} z = ( r }{{} +y +z ) = r 4. Vagyis ha r : r = 3 cos(u). (9)

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA45,8,6 z,4, -,8,8,4 y,4 -,4,8 -,8 -,4 5. ábra. z = ( + y + z ) Itt felhasználtuk, hogy (8)-ből következően z tehát u π. Vegyük észre, hogy (9) azt is eredményezi, hogy minden origóból induló félegyenesen egyetlen pontban metszi a T testet határoló (8) egyenlettel adott felületet.

46 BA A gömbkoordinátás helyettesítésnél az yz koordináta rendszerbeli T tartománynak megfelelő Γ térrész (l.. ábra): v π Γ = u π r 3 cos(u) A T térfogatának meghatározásához tehát gömbkoordinátás helyettesítést kell alkalmazni az I = térfogat(t) = ddydz hármas integrálban. Vagyis f(, y, z) = függvényre alkalmazni kell a f (, y, z)ddydz = f (G (u, v, w)) det (G (u, v, w)) }{{} dudvdw. T Γ T Jacobi determináns szabályt. Emlékezzünk, hogy gömbkoordinátás helyettesítés esetén a Jacobi determináns: r sin(u). Ezzel I = ddydz = r sin(u) drdudv }{{} T Γ Jacobi determináns 3 π π/ cos(u) = r sin(u)dr du dv = = π 3. v= u= r= A fenti integrálást a következő Maple kód azonnal elvégzi: > int((int((int(r^*sin(u),r=..(cos(u))^(/3))),u=..pi/)),v=..*pi); π 3 3. PÉLA: Számítsuk ki a következő felület által határolt test térfogatát! (L. 6. ábra.) ( + y ) + z 4 = y. ()

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA47,5 z -,5 -,5 -,5,8,6,4 y, - 6. ábra. ( + y ) + z 4 = y Megoldás: Megintcsak nevezzük a felület által határolt testet T-nek és megintcsak gömbkoordinátákra célszerű áttérni. Ekkor ugyanis ( + y ) + z 4 = r 4 (sin 4 (u) + cos 4 (u)), y = r sin(u) sin(v).

48 BA Vagyis Innen r 4 (sin 4 (u) + cos 4 (u)) = r sin(u) sin(v). () sin(u) sin(v) r = 3 sin 4 (u) + cos 4 (u). () Vegyük észre () egyenletből, hogy y mindig teljesül, ami gömbkoordináták esetén azt jelenti, hogy v π. Tehát a gömbkoordinátás helyettesítésnél a T tartomány átmegy a Γ = v π u π r 3 sin(u)sin(v) sin 4 (u)+cos 4 (u). A T térfogatának meghatározásához tehát gömbkoordinátás helyettesítést kell alkalmazni az I = térfogat(t) = ddydz hármas integrálban. Vagyis f(, y, z) = függvényre alkalmazni kell a f (, y, z)ddydz = f (G (u, v, w)) det (G (u, v, w)) }{{} dudvdw. T Γ T Jacobi determináns szabályt. Emlékezzünk, hogy gömbkoordinátás helyettesítés esetén a Jacobi determináns: r sin(u). Az egyszerűbb jelölések érdekében írjunk: sin(u) sin(v) ϕ(u, v) := 3 sin 4 (u) + cos 4 (u). Ezzel I = π π ϕ(u,v) r sin(u)dr du dv. v= u= r=

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA49 Ezt kibontva kapjuk, hogy I = 3 π v= sin(v)dv } {{ } Ugyanis Maple használatával: π sin (u) sin 4 (u) + cos 4 (u) du. }{{} π u= > int((sin(u))^/((sin(u))^4+(cos(u))^4),u=..pi); Tehát a keresett térfogat: π. π I =. 3 3. PÉLA: Határozzuk meg annak a térrésznek a térfogatát, melyet a következő három felület határol (l. 7. ábra): + y = z, 4 + y 4 = + y, z =. Megoldás: Nevezzük a fent leírt testet megint T-nek. T térfogatát nyílván a térfogat(t) = ddydz formulával igyekszünk meghatározni. Ehhez használjunk hengerkoordinátás helyettesítést! Vagyis most G(r, ϕ, z) = (r cosϕ, r sin ϕ, z). }{{}}{{} y és a Jacobi determináns abszolút értéke r, továbbá r = + y. Először felírjuk az y síkon az 4 + y 4 = + y görbét polárkoordinátásan: r 4 (cos 4 (ϕ) + sin 4 (ϕ)) = r, T vagyis: r = cos 4 (ϕ) + sin 4 (ϕ). (3)

5 BA,5 z,5 - - y - - 7. ábra. + y = z, 4 + y 4 = + y, z =. Az egyszerűbb írásmód kedvéért vezessük be a g(ϕ) := cos 4 (ϕ) + sin 4 (ϕ)

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 jelölést. Ekkor tehát a T test a hengerkoordinátás helyettesítésnél átmegy a v π Γ = r g(ϕ) z r. A legutolsó határ abból származik, hogy minden, y-ra a z a és az +y = r között fut. Vagyis a T test térfogata: ddydz = rdrdϕdz T = Γ π g(ϕ) r rdz dr dϕ ϕ= r= = 3 π. 4 Ezt Maple-el a következő kóddal kapjuk: z= > g:=t->/(sqrt((cos(t))^4+(sin(t))^4)): > int((int((int(r,z=..r^)),r=..g(t))),t=..*pi); 33. PÉLA: Határozzuk meg a 3 π 4 ( π z = cos ) ( π + y, z =, y = tg, y = tg 7) felületek által közrezárt tartomány (l. 9. ábra) térfogatát! Megoldás: Vegyük észre először is, hogy R 3 -ban az ( ( ) π 3π y = tg, y = tg 7) 7 ( ) 3π 7 egyenletek olyan síkokat határoznak meg, melyek merőlegesek az y síkra. Ugyanis az mindenkinek világos, hogy az y síkban ezen egyenletek origón

5 BA 8. ábra. z = cos( π + y ), z =, y = tg ( ( π 7), y = tg 3π ) 7 átmenő egyeneseket adnak. Az R 3 -ban viszont ez azt jelenti, hogy mivel ezen egyenletekben nincs feltétel (vagyis megszorítás) a z változóra ezért a fenti egyenletek által az y síkban adott egyenesek "felett" minden pont megfelel így ezen egyenletek a R 3 -ban síkokat határoznak meg. A 9. ábrán zöld

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA53 színnel van rajzolva az y = tg ( ) ( ) π 7 síknak a z = és z = cos π + y felületek közötti részének pozitív térnyolcadba eső része. Az ábráról látszik, hogy a T testnek az y síkba eső része az origó középpontú egység sugarú körnek az y = tg ( ( π 7), y = tg 3π ) 7 egyenesek ( közé eső körcikke. Az π egység kör úgy jelenik meg, hogy a z = cos ) + y = az egységkörön. Tehát hengerkoordinátás helyettesítést alkalmazva a T tartománynak megfelel: π ϕ 3π 7 7 Γ = r ( π z cos ) + y. Mivel a Jacobi determináns abszolút értéke hengerkoordinátás helyettesítésnél r ezért térfogat(t) = ddydz = T = π 7 Γ r= rdzdrdϕ = 3π 7 ϕ= π 7 r= r cos(r π/)dr = } {{ } (π ) π cos(r π/) z= 4(π ). 7π r }{{} Jacobi det. dz dr dϕ Ez utóbbi integrál kiszámítása A-be tartozó tananyag (parciális integrálás). Az eredményt a következő Maple kód is megadja: > int(*cos(*pi/),=..); (π ) π 34. PÉLA: Határozzuk meg a 9. ábrán látható kereszt térfogatát. A keresztet alkotó, egymást merőlegesen metsző rudak olyan tömör hengerek, amelyek alapkörének sugara és magasságuk 8 egység.

54 BA -4-4 -4-4,5 -,5-9. ábra. A kereszt mindkét rúdjának sugara és hossza 8. Megoldás: Mindegyik rúd térfogata külön-külön 8π Tehát térfogat(kereszt) = 8π térfogat(rudak metszete), (4) hiszen a 6π-ben a rudak metszetét mindegyik rúdban figyelembe vettük ezért ezt le kell vonni. A továbbiakban tehát azt a kérdést válaszoljuk meg,

.. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA55 hogy térfogat(rudak metszete) =? Vegyük fel a koordináta rendszerünket úgy, hogy annak origója a kereszt centruma legyen, az és az y koordináta tengelyek pedig a kereszt rúdjainak közép vonalai. Vegyük észre, hogy minden < z < -re a rudak metszetének a z = z síkkal vett metszete egy négyzet, melynek oldala (Pitagorasz tétel miatt) z. Tehát ezen szám négyzete: 4( z ) lesz a rudak metszetének z = z síkba eső részének területe. Így ezt a 4( z ) értéket kell integrálni amint z fut -től -ig, hogy megkapjuk a rudak metszetének térfogatát: térfogat(rudak metszete) = 4( z )dz z= = 6 3. Ezt a nagyon könnyű integrált a következő Maple kód is megadja: > int(4*(-z^),z=-..); Tehát 6 3 térfogat(kereszt) = 8π 6 3 = 9.799479.