Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t) gerjesztése és egyetlen y = y(t) válasza van. A rendszeregyenlet explicit alakja megadja y(t) kifejezését y(τ),u(τ), τ t segítségével. Továbbá kauzális rendszerekre szorítkozunk, vagyis ekkor csak τ t időbeni értékek fordulhatnak elő. A rendszerünk invariáns, vagyis a rendszeregyenlet állandó együtthatós, tehát ezen együtthatók nem függenek a t időtől. Ez azt jelenti, hogy a válasz és a gerjesztés késleltetett értékei nem fordulhatnak elő a rendszeregyenletben. Bevezetve az u gerjesztésű y válaszú, folytonos idejű (FI) invariáns, kauzális, lineáris rendszer rendszeregyenletét y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = b 0 u (m) (t) + b 1 u (m 1) (t) + + b m 1 u (1) (t) + b m u(t). A választ a t (0, ) intervallumban keressük, amely kiszámításához az n. rendű rendszeregyenleten kívül n darab y(+0), y (1) (+0),...,y (n 1) (+0) kezdeti értéket is ismernünk kell. Ezeket összefoglaló néven kezdeti feltételeknek nevezzük. megj: x (i) (t) = di x(t) dt i y (i) (+0) = di y(t) dt i t=+0 (1) i [0, n 1] Fentiekből következik, ha a gerjesztés belépő, vagyis u(t) = 0, t (,0), akkor y() = 0,...,y (n) = 0, vagyis minden kiindulási érték nulla. Általánosan elmondható, ha az u(t) gerjesztés, illetve valamennyi u i deriváltja véges a t = 0 helyen (itt nem tartalmaznak δ(t) összetevőt), akkor a kezdeti értékek megegyeznek a kiindulási értékekkel Ennek belátására későbbiekben kerül sor. y (i) (+0) = y (i) (), i [0,n 1]. (2) 2. FI rendszeregyenlet megoldása Az (1) rendszeregyenlet megoldásakor az y válasz egy y sz szabad, és y g gerjesztett összetevő összegeként adható meg y(t) = y sz + y g. (3) 1
A szabad válasz a gerjesztetlen rendszer válasza, vagyis ha u(t) = 0 t [0,+ ). Ez a válasz n darab állandót tartalmaz, amelyet a kezdeti értékek figyelembevételével később tudunk meghatározni. A gerjesztett összetevő a rendszeregyenlet egy megoldása, és nem elégíti ki a kezdeti feltételeket. 2.1. A szabad válasz Az előzőekből adódóan a szabad válasz esetén u(t) = 0 t [0,+ ), vagyis y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = 0. (4) Ennek megoldása t változó exponenciális függvényeinek összegéből adódik. y sz (t) = k 1 e λ1(t) + + k n e λn(t) (5) λ i kiszámításához (4) egyenlet alapján a karakterisztikus egyenletet felírva F(λ) = λ n + a 1 λ n 1 + + a n λ 1 + a n. (6) A (6) karakterisztikus egyenlet gyökeit a rendszeregyenlet sajátértékeinek nevezik. Nyilvánvaló, a sajátértékek száma a rendszeregyenlet fokszámából adódik. Valós együtthatók esetén a sajátértékek vagy valósak, vagy konjugált komplex gyökpárt alkotnak λ i = a i + b i j λ i+1 = a i b i j. (7) A rendszer úgynevezett τ i időállandói a λ i sajátértékekből adódnak τ i = 1 R(λ i ). (8) Továbbiakban olyan rendszeregyenletekkel foglalkozunk, ahol a sajátértékek egyszeres gyökök. 2.2. A gerjesztett válasz Előzőekből adódóan a gerjesztett válasz a rendszeregyenlet egy megoldása, amelynek nem kell kielégítenie a kezdeti feltételeket. Ennek meghatározásához tételezzük fel, hogy a gerjesztő jel t [0, + ) tartományban elemi függvény, vagyis pl. állandó, exponenciális, polinomiális függvény. Dirac δ(t) impulzus esetén (végtelen amplitúdójú)a gerjesztett válasz nulla. Az y g (t) gerjesztett válasz meghatározásához próbafüggvény módszert használjuk, miszerint ezen próbafüggvény hasonló az adott gerjesztéshez. A próbafüggvény felvétele után azt viszzahelyettesítjük a rendszeregyenletbe. Az (1) táblázat néhány FI próbafüggvényt tartalmaz. 2
u(t) C Ce αt (α λ i ) Ce λit (λ i r-szeres pólus) y g (t) A Ae αt At r e λit 1. táblázat. Próbafüggvények 2.3. Az FI válasz Eddigiekből kiderült, hogy y g (t) gerjesztett válasz megoldásával még nem jutunk el a válasz végső alakjáig, hiányzik még y sz (t) szabad válaszban szereplő n számú ismeretlen állandó meghatározása. Ezek a kezdeti feltételek segítségével, egy lineáris egyenletrendszer megoldásával határozhatóak meg y (i) (+0) = y (i) sz (+0) + y (i) g (+0), i = 0,1,...n 1. (9) 3. FI rendszerek stabilitásvizsgálata 3.1. Gerjesztés-válasz stabilitás Egy rendszer gerjesztés-válasz (GV) stabilis, ha bármely korlátos gerjesztéshez korlátos válasz tartozik. Egy lineáris FI invariáns rendszer csak akkor GV stabilis, ha impulusválasza abszolút integrálható + x(t) dt. (10) A szabad összetevőt vizsgálva FI rendszereknél belátható, hogy akkor korlátos, ha minden R(λ i ) < 0. A gerjesztett válasz viszont minden korlátos gerjesztésre korlátos (lásd próbafüggvények). Ha a λ i sajátértékeket általánosan komplex számoknak tekintjük, akkor a GV stabilitás feltétele, hogy a sajátértékek a komplex számsík bal félsíkján helyezkedjenek el. 3.2. Aszimptotikus stabilitás A lineáris, invariáns FI rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha minden állapotváltozója nullához tart, t esetén bármely kiindulási állapotra: x(t) 0,t,u(t) = 0,t [0, ). (11) Az aszimptotikus stabilitás feltétele FI rendszereknél, hogy R(λ i ) < 0. Ha R(λ i ) 0 feltétel teljesül, vagyis az egyszeres sajátértékek valós része 0, akkor az aszimptotikus stabilitás határhelyzetében van a rendszer. Ilyen válaszok a végtelenben egy periodikus jelhez tartanak. 3
4. Elsőrendű FI rendszeregyenletek megoldása Elsőként az elsőrendű rendszeregyenleteket tárgyaljuk, vagyis y (t) + a 1 y(t) = b 0 u (m) (t) + b 1 u (m 1) (t) + + b m 1 u (1) (t) + b m u(t). (12) 4.1. Feladatok 4.1.1. y (t) + 0.8y(t) = 2s(t) ; y() = 0 (1) s(t) = ε(t) (2) s(t) = δ(t) (3) s(t) = 2ε(t)e.2t Megoldás y(t) = y sz + y g λ 1 + 0.8 = 0 λ 1 =.8 y sz (t) = k 1 e.8t λ 1 =.8 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis. 1. s(t) = ε(t) Próbafüggvény : A A + 0.8A = 2 A = 2.5 y g (t) = 2.5 y(t) = k 1 e.8t + 2.5 y (t)dt + 0.8 ε(t)dt y(+0) y() + 0.8 0 = 2 0 y(+0) = y() = 0 t = +0 y(+0) = 0 = k 1 e 0 + 2.5 k 1 = 2.5 y(t) = 2.5e.8t + 2.5 2. s(t) = δ(t) y g (t) = 0 y(t) = k 1 e.8t y (t)dt + 0.8 δ(t)dt y(+0) y() + 0.8 0 = 2 1 y(+0) = y() + 2 = 2 t = +0 y(+0) = 2 = k 1 e 0 k 1 = 2 4
y(t) = 2e.8t 3. s(t) = 2ε(t)e.2t Próbafüggvény : Ae.2t (Ae.2t ) (t) + 0.8Ae.2t = 2 2ε(t)e.2t A = 20/3 y g (t) = 20 3 e.2t y(t) = k 1 e.8t + 20 3 e.2t y (t)dt + 0.8 2ε(t)e.2t dt y(+0) y() + 0.8 0 = 2 0 y(+0) = y() = 0 t = +0 y(+0) = 0 = k 1 e 0 + 20 3 e0 k 1 = 20 3 y(t) = 20 3 e.8t + 20 3 e.2t 4.1.2. y (1) (t) + 2y(t) = 0.5s(t) ; y() = 3 ; s(t) = 2ε(t) Megoldás y(t) = y sz + y g λ 1 + 2 = 0 λ 1 = 2 y sz (t) = k 1 e 2t λ 1 = 2 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis. Próbafüggvény : A A + 2A = 0.5 2 A = 0.5 y g (t) = 0.5 y(t) = k 1 e 2t + 0.5 y (t)dt + 2 y(t)dt = 0.5 2ε(t)dt y(+0) y() + 2 0 = 0.5 0 y(+0) = y() = 3 t = +0 y(+0) = 3 = k 1 e 0 + 0.5 k 1 = 2.5 y(t) = 2.5e 2t + 0.5 5
4.1.3. y (t) 3y(t) = 2s(t) ; y() = 1 ; s(t) = 5ε(t) Megoldás y(t) = y sz + y g λ 1 3 = 0 λ 1 = 3 y sz (t) = k 1 e 2t λ 1 = +3 > 0, így GV és aszimptotikusan instabil. Próbafüggvény : A A 3A = 2 5 A = 10/3 y g (t) = 10 3 y(t) = k 1 e 3t 10 3 y (t)dt 3 5ε(t)dt y(+0) y() 3 0 = 2 0 y(+0) = y() = 1 Gyakorló feladatok t = +0 y(+0) = 1 = k 1 e 0 10 3 k 1 = 13 3 y(t) = 13 3 e3t 10 3 1. Adja meg az alábbi rendszeregyenletek megoldását! (a) y (t) + 3y(t) = 2s(t), s(t) = ε(t),y() = 0 Megoldás: y(t) = 4 3 (1 e 3t ) (b) y (t)+3y (t)+2y(t) = 1 2 s(t), s(t) = 2e 3t,y() = 2,y () = 1 Megoldás: y(t) = 1 2 e t (8e t e 2t 11) (c) y (t) + 2y (t) + 4y(t) = s(t), Megoldás: y(t) = 1 3 e t (1 + 2cos( 3t)) s(t) = e t,y() = 1,y () = 1 6