EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK V A S B E T O N S Z E R K E Z E T E K II. STNB segédlet a PTE Polláck Mihál Műszaki Kar hallgatóinak Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése HEFOP/004/3.3./000.0
Összeállította: Orbán Zoltán és Kiss Rita. gakorlat Kiss Rita (előadások és többi gakorlat) Műszaki rajzoló: Szabó Imre Gábor ISBN szám: 978-963-798-4- Kézirat lezárva: 007. november 0. A tananagot e-példatárként, ingen bocsátjuk a hallgatók rendelkezésére.
Tartalomjegzék és ütemterv Hét Előadás anaga Gakorlat Oldal. Lemezek Bevezetés Egiránban teherviselő 5. Egiránban teherviselő lemezek lemezek. Rugalmas lemezelmélet Kétiránban teherviselő lemez 6. 3. Lemezrendszerek számítása. Lemez tervezési feladat 34. Oszlopokkal alátámasztott lemez 4. Vasbeton lemezek képléken Lemez tervezési feladat 35. teherbírása 5. Lemezek törőterhének Lemezek törőterhének 36. meghatározása meghatározása 6. Keretek definíció, közelítő Lemez tervezési feladat 44. számítás 7. Szünet Szünet 45. 8. Keretek számítása vízszintes Lemez tervezési feladat bevétele 46. teherre 9. Keret méretezése Keret igénbevételeinek 47. számítás vízszintes teherre 0. Oszlopok méretezése Keret tervezési feladat 53.. Rövid konzol és az erő bevezetés Oszlop méretezése 60. méretezése. Merevítő rendszer közelítő Keret tervezési feladat 64. számítása 3. Zártheli dolgozat írása Keret tervezési feladat 65. 4. Merevítő rendszer közelítő Tervezési feladat beadása 66. számítása Felkészülést segítő példák 67. Lemezszerkezetek 68. Keretszerkezetek 78. 3
Bevezetés Az oktatási segédlet a Pécsi Tudománegetem Polláck Mihál Műszaki KarÉpítőmérmöki alapképzésében oktatott Vasbetonszerkezetek II. tantárghoz készült. Az oktatási segédlet tartalmazza az előadások és a gakorlatok tematikáját, valamint az előadáson és gakorlaton bemutatott példákat részletesen. Az elméleti anagot részletesen Kiss Rita M.: Vasbetonszerkezetek II Lemez és keretszerkezetek című jegzet tartalmazza. Az oktatási segédlet végén a zártheli dolgozatra és a vizsgára való felkészüléshez példákat mutatunk be. 4
. hét. előadás: Lemezszerkezetek I. Tematikája: Definíciók: Lemez és osztálozása Anizotrópia-izotrópia Megtámasztás Teherviselés irána Egiránban teherviselő lemezek számítása Gerenda elmélet Tervezési szabálok Kétiránban teherviselő lemezek Hajlított lemez terheléstörténete Háttéranag: Jegzet és. fejezete (3-3.oldalig). gakorlat: Egiránban teherviselő lemez számítása Tematikája: Harántfalas épület lemezszerkezetének számítása, vasalása Gerenda modellezés Többtámaszú tartók igénbevétel számítása AXIS-sal Kéttámaszú tartók igénbevétel számítása Lemez vasalásának számítása és ellenőrzése Vasalási vázlat 5
6
TERVEZÉSI FELADAT: Harántfalas épület két- és többtámaszú monolit vasbeton födémlemezének tervezése kiadott feladatlap alapján. Feladatok:. Tervezzük meg a harántfalas épület egiránban teherhordó monolit vasbeton lemezfödémét!. Készítsünk vasalási vázlatot a lemezfödém vasalásáról! 3. Készítsük el a lemezfödém vasalási tervét!. Kiindulási adatok: Anagok, anagjellemzõk: Beton: C6/0 Betonacél: B60.50 f k : 500 N γ s :.5 f ck : 6 N γ c :.5 mm mm f ck f cd : f cd 0.7 N f k f d : f d 435 N γ c mm γ s mm f ctm :.9 N mm. Födém rétegerend:.3 Terhek: Válaszfalterhelés: g vf :.5 kn m Hasznos teher: q h :.0 kn m.4 Geometriai adatok: l n : 4.m l n :.4m b ger : 0.3m cm kerámia lapburkolat cm ágazó habarcs 6 cm simított aljzatbeton 4 cm Nikecell D táblás hõszigetelés 5 cm monolit vasbeton födémlemez cm vakolat Egszerűsítésképpen az egész alapterületen ezzel a rétegrenddel számolunk. Betonfedés: c min.dur : 5mm Körnezeti osztál: XC Kengelek, szerelõvasak: B38.4 f k.w : 40 N mm 0 mm-es fővas acélbetét átmérővel számolva: c min.b : 0mm c nom : 0mm + ma( c min.dur, c min.b, 0mm) c nom 30 mm 7
A tervezés menete:. Geometriai adatok kigûjtése a mellékelt tervrõl: Szabad nílás(a falak belsõ felületeinek távolsága): l n 4. m Feltámaszkodás hossza szélsõ falon: t : 0.3m Feltámaszkodás hossza közbensõ falon: t : 0.38m. Lemezvastagság közelítõ felvétele: v lemez : l n 30 v lemez 40 mm v min : 00mm.3 Elméleti támaszközök: Támaszvonal és a feltámaszkodás széle közötti távolságok: Szélen: v lemez t a : min, a 70 mm Középen: v lemez t a : min, a 70 mm Csak véletlen, hog a két távolság uganaz. Elméleti támaszközök: Szélsõ mezõ: l eff. : l n + a + a l eff. 4.34 m Közbensõ mezõ: l eff. : l n + a + a l eff. 4.34 m 3. A födémlemez méretezése: 3. Terhek: Állandó terhek: Súlelemzés: testsûrûség térfogatsúl vastagság súl kerámia lapburkolat ρ r : 00 kg m 3 γ r : kn m 3 v r : cm r : v r γ r r 0. kn m ágazó habarcs ρ r : 00 kg m 3 γ r : kn m 3 v r : cm r : v r γ r r 0.4 kn m simított aljzatbeton ρ r3 : 00 kg m 3 γ r3 : kn m 3 v r3 : 6cm r 3 : v r3 γ r3 r 3.3 kn m Nikecell D táblás hõszigetelés ρ r4 : 50 kg m 3 γ r4 : 0.5 kn m 3 v r4 : 4cm r 4 : v r4 γ r4 r 4 0.0 kn m 8
monolit vasbeton födémlemez ρ r5 : 500 kg m 3 γ r5 : 5 kn m 3 v r5 : 5cm r 5 : v r5 γ r5 r 5 3.75 kn m vakolat ρ r6 : 750 kg m 3 γ r6 : 7.5 kn m 3 v r6 : cm r 6 : γ r6 v r6 r 6 0.35 kn m g r : r + r + r 3 + r 4 + r 5 + r 6 g r 6.08 kn m A válaszfalteher vonalmenti teher, de a válaszfalak elhelezkedését nem ismerjük, ezért a válaszfalterhet "szétkenjük" és felületi megoszló teherként vesszük figelembe. g vf.5 kn m Állandó terhek biztonsági ténezõje: γ G :.35 Esetleges terhek: q h :.0 kn m Esetleges terhek biztonsági ténezõje: γ Q :.5 A födém súlának alapértéke: p F : g r p F 6.08 kn m 3. Mértékadó teher meghatározása: Teherbírási határállapotban: p M : ( g r + g vf ) γ G + q h γ Q p M 3.3 kn m 3.3 A lemez igénbevételeinek kiszámítása a többtámaszú szakaszokon: Statikai váz: 5 támaszú lemez. Elméleti támaszköz hossziránban: b ger b ger l.eff : l n + + l.eff.54 m Feltétel: l.eff.0 l eff. l.eff.659 >.0 Tehát a lemez egiránban l eff. teherhordó. 9
3.3. Terhelési esetek: I. terhelési eset: Hatásábra a szélsõ mezõközépi nomatékra: Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : HA E (W) :,7E-6 E (P) :,7E-6 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : PZ`` [m] M 0,7 0,05-0,867-0,046 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X Szabván : Eurocode Eset : H -3,3-3,3-6,08-6,08 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X 0
9,48 9,48,99 M [knm],85-6,8-4,9 -, II. terhelési eset: Hatásábra a második támasz feletti nomatékra Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : HA E (W) :,7E-6 E (P) :,7E-6 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : PZ`` [m] 0,446 M 0,34 0,030-0,093 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X
Mértékadó leterhelés: Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : H E (W) :,E-6 E (P) :,E-6 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : N [kn] -3,3-3,3-3,3-6,08 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X 8,50 0,09 0,58 M [knm] 0,64 -,5-8,50 -,87
III. terhelési eset: Hatásábra a bal oldali közbensõ födém mezõközépi nomatékra: Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : HA3 E (W) :,7E-6 E (P) :,7E-6 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : PZ`` [m] 0,64 M 0,39-0,045-0,75 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : H3 E (W) :,E-6 E (P) :,E-6 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : N [kn] -3,3-3,3-6,08-6,08 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X 3
9,48 9,48,99 M [knm],85-6,8-4,9 -, IV. terhelési eset: Hatásábra a harmadik támasz feletti nomatékra: Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : HA4 E (W) :,7E-6 E (P) :,7E-6 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : PZ`` [m] -0,9-0,9 0,37 0,37 M 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X 4
Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : H4 E (W) :,E-6 E (P) :,E-6 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : N [kn] -3,3-3,3-6,08-6,08 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X,6 7,08 7,08 M [knm] -6,9 -,30 -,30-6,9 5
V. terhelési eset: Totális leterhelés Szabván : Eurocode Eset : Totális -3,3-3,3-3,3-3,3 4,340 4,340 4,340 4,340 Z X 6,70 6,70 7,80 M [knm] -8,90-8,90-9, -9, 6
3.3. Nomatéki burkológörbe: Jelen esetben a maimális és a minimális értékeket is tartalmazza. 8,50 7,08,6 0,58 6,70 7,08 M [knm],85,85-6,8-6,8-4,9-4,9 -, -, 3.3.3 Mértékadó igénbevételek a többtámaszú szakaszokon: Mezõközép: M Ed. :.knm -es és a 4-es mezõ M Ed. : 4.9kNm -es és 3-as mezõ, itt mezõközépen felsõ vasalás is szükséges, mert M Ed..plusz :.65kNm Támaszok fölött: M Ed.3 : 8.50kNm -es és -es, valamint 3-as és 4-es mezõk közötti falakon M Ed.4 :.6kNm -es és 3-as mezõ közötti falon 7
3.4 A lemez igénbevételeinek kiszámítása a kéttámaszú szakaszokon: Statikai váz: Kéttámaszú lemez. Elméleti támaszköz: l n + a + a 4.34 m 4,340 m Terhelés: Szabván : Eurocode Lineáris számítás Eset : Gerenda teher E (W) : 8,54E-7 E (P) : 8,54E-7 E (ER) : 4,44E-6 Komp. : N [kn] -3,3 4,340 Z X 8
Igénbevételek kiszámítása: M [knm] -3,5 Mértékadó igénbevétel a kéttámaszú szakaszokon: M Ed.5 : 3.5kNm A maimális igénbevétel a lemezek kéttámaszú szakaszán adódik, ehhez a nomatékhoz határozom meg a mértékadó lemezvastagságot, szabad tervezéssel. 4. Lemezek méretezése: 4. Kéttámaszú szakaszok: Mértékadó igénbevétel: M Ed.5 3.5 knm ξ c : 0.3 b 5 : 000mm d 5 : M Ed.5 b 5 ξ c f cd ξ c d 5 07 mm c5 : ξ c d 5 c5 3. mm c5 b 5 f cd A s5 : f d A s5.alk : 808mm φ/40 A s5 788 mm φ 5.alk : mm 9
φ 5.alk a 5 : c nom + a 5 36 mm v 5 : a 5 + d 5 v 5 43 mm v 5.alk : 40mm Elosztó vasalás: A s5.elosztó : 0. A s5.alk A s5.elosztó 6.6 mm A s5.elosztó.alk 68mm : φ8/300 Vasmenniség ellenõrzése: b t5 : b 5 f ctm Minimális vasalás: A s.min : ma 0.6 b f t5 d 5, 0.003b t5 d 5 A s.min 39 mm k A fõvasalás és az elsztóvasalás is megfelel a minimális vasmenniség követelménének. A vasbeton lemezfödém egséges vastagsága: v lemez.alk : v 5.alk v lemez.alk 40 mm 4. Többtámaszú szakaszok: A további szakaszok vasalásának meghatározása kötött tervezéssel (mert v lemez -t már kiszámoltuk) történik. 4.. Szélsõ mezõk: Mértékadó igénbevétel: M Ed.. knm b : 000mm v lemez.alk 40 mm φ.alk : φ 5.alk φ.alk mm ( ) d : v lemez.alk c nom + φ.alk M Ed. ξ c : ξ c 0.46 b d f cd c : ξ c d c 4. mm b c f cd A s : A f s 59 mm d 0
A s.alk : 754mm a szerkesztési szabálok betartása: s ma 50mm φ/50 Alsó elosztó vasalás: A s.elosztó : 0. A s.alk A s.elosztó 50.8 mm A s.elosztó.alk 68mm : φ8/300 Vasmenniség ellenõrzése: b t : b f ctm Minimális vasalás: A s.min. : ma 0.6 b f t d, 0.003b t d A s.min. 7 mm k A fõvasalás és az elsztóvasalás is megfelel a minimális vasmenniség követelménének. 4.. Középsõ mezõk: Mértékadó igénbevétel: M Ed. 4.9 knm b : 000mm v lemez.alk 40 mm φ.alk : φ 5.alk φ.alk mm ( ) d : v lemez.alk c nom + φ.alk M Ed. ξ c : ξ c 0.58 b d f cd c : ξ c d c 5.5 mm b c f cd A s : A f s 380 mm d A s.alk : 754mm a szerkesztési szabálok betartása: s ma 50mm φ/50 Alsó elosztó vasalás: A s.elosztó : 0. A s.alk A s.elosztó 50.8 mm A s.elosztó.alk 68mm : φ8/300 Vasmenniség ellenõrzése: b t : b f ctm Minimális vasalás: A s.min. : ma 0.6 b f t d, 0.003b t d A s.min. 7 mm k
A fõvasalás és az elsztóvasalás is megfelel a minimális vasmenniség követelménének. 4..3 A -es és a 3-as mezõ mezõközépi plusz (felsõ oldal is bizonos mértékben húzott) vasalása: Mértékadó igénbevétel: M Ed..plusz.65 knm b 000 mm v lemez.alk 40 mm φ.p.alk : φ 5.alk φ.p.alk mm ( ) d.p : v lemez.alk c nom + φ.p.alk M Ed..plusz ξ c.p : ξ c.p 0.06 b d.p f cd c.p : ξ c.p d.p c.p.6 mm b c.p f cd A s.p : A f s.p 39 mm d A s.plusz.alk 377mm : φ/300 Felsõ elosztó vasalás: A s.plusz.elosztó : 0. A s.plusz.alk A s.plusz.elosztó 75.4 mm A s.plusz.elosztó.alk 94mm : φ6/300 Vasmenniség ellenõrzése: b t 000 mm Az alsó és a felsõ vasalás között a távolságot φ -es átmérõjû betonacélból hajlított támasztóbakokkal kell biztosítani. 4..4 -es és -es lemez közötti támasz fölötti vasalás: Mértékadó igénbevétel: M Ed.3 8.5 knm b 3 : 000mm v lemez.alk 40 mm φ 3.alk : φ 5.alk φ 3.alk mm ( ) d 3 : v lemez.alk c nom + φ 3.alk
M Ed.3 ξ c3 : ξ c3 0.334 b 3 d 3 f cd c3 : ξ c3 d 3 c3 3.7 mm b 3 c3 f cd A s3 : A f s3 803 mm d A s3.alk : 3mm A támasz mindkét oldaláról felhajlított acélbetétek futnak a támasz fölé, kialakítva a f/50 - es vasalási rendszert, ehhez adódik még a /300 - as plusz vasalás mel kiadja a szükséges acélmenniséget. Felso elosztó vasalás: A s3.elosztó : 0. A s3.alk A s3.elosztó 6. mm A s3.elosztó.alk 68mm : φ8/300 Vasmenniség ellenõrzése: b t3 : b 3 Minimális vasalás: f ctm A s.min.3 ma 0.6 b f t3 d 3, 0.003b t3 d 3 k A s.min.3 7 mm A fõvasalás és az elsztóvasalás is megfelel a minimális vasmenniség követelménének. 4..5 -es és 3-as mezõ közötti támasz fölötti vasalás: Mértékadó igénbevétel: M Ed.4.6 knm b 4 : 000mm v lemez.alk 40 mm φ 4.alk : φ 5.alk φ 4.alk mm ( ) d 4 : v lemez.alk c nom + φ 4.alk M Ed.4 ξ c4 : ξ c4 0.53 b 4 d 4 f cd c4 : ξ c4 d 4 c4 4.8 mm b 4 c4 f cd A s4 : A f s4 607 mm d A s4.alk 508mm : A támasz mindkét oldaláról felhajlított acélbetétek futnak a támasz fölé, kialakítva a f/50 - es vasalási rendszert, ehhez adódik még a /300 - as plusz vasalás mindkét mezőből, mel kiadja a szükséges acélmenniséget. Felso elosztó vasalás: 3
A s4.elosztó : 0. A s4.alk A s4.elosztó 30.6 mm A s4.elosztó.alk 68mm : φ8/300 Vasmenniség ellenõrzése: b t4 : b 4 f ctm Minimális vasalás: A s.min.4 : ma 0.6 b f t4 d 4, 0.003b t4 d 4 A s.min.4 7 mm k A fõvasalás és az elsztóvasalás is megfelel a minimális vasmenniség követelménének. 5. Vasalási vázlatok: Fõvasalás: /40 /50 /50 /300 /50 /50 /50 /50 /300 /50 /40 4
Felhajlított vasakkal: /40 /50 /50 /300 /50 /50 /50 /50 /300 /50 /40 Elosztó vasalás: 8/300 8/300 8/300 8/300 6/300 felső 8/300 8/300 6/450 felső 8/300 8/300 8/300 5
. hét. előadás: Lemezszerkezetek II. Tematikája: Rugalmas lemezelmélet Rugalmas lemez vizsgálata derékszögű koordináta-rendszerben Kirchoff-féle lemezegenlet felírása Peremfeltételek Speciális kérdések Lemezek pontos megoldása Lemezek közelítő számítása Tartókereszt-eljárás Marcus mószer Háttéranag: Jegzet 3.. fejezete (4-5.oldalig) 6
. gakorlat: Kétiránban teherviselő vasbeton lemezek közelítő számítása a rugalmasságtan szerint Határozza meg az jelű lemez maimális igénbevételeit sávmódszerrel és Marcus módszerrel! Geometria B A 4 4 A 3 3 4 4 B 3 4 szélső lemez belső lemez szélső lemez sarok lemez Terhek Egenletesen megoszló: állandó teher g 8,5 kn/m γ g,35 hasznos teher p 33,33 kn/m γ p,50 Sávmódszer Statikai váz A maimális nomatékok meghatározásához hatásábrák szerint kell terhelnünk. A legnagobb negatív nomatékot (lsd. előadás vázlat) a totális leterheléssel, a legnagobb pozitív nomatékot a sakktábla szerinti leterheléssel nerjük. Ezen értékek meghatározásához kétfajta statikai vázzal rendelkező lemez veendő figelembe. Negatív nomaték (támasznomaték) meghatározása, totális leterhelést alkalmazva, akkor három oldalán befogott lemezt veszünk figelembe. Ezt alkalmazzuk állandó (g) teherre és a hasznos (p) teher esetén is. 7
e a α α 384 p a l 4 E I e a 4 p' a l α α E I 384 Nomatékokat állandó (g) teherből totális leterhelésből Alapfeltevéseink: (lsd. előadás kiegészítő anaga) e e I. a a II. g g' + g' 4 g' *l α E * I α l ε ; l és g' *l E * I 4 α m α m g' 4 m + ε *g, és 4 ε g' 4 m + ε *g. Állandó (önsúl) teher: 0,5 g' *g 0,77 *,35*8,5 7,9 kn/m és 4 4 0,5 + 6 4 4 6 g' *g 0,83*,35*8,5 4 4 0,5 + 6 7,08 kn/m 8
Esetleges (hasznos) teher: 0,5 p' * p 0,77 *,50* 33,33 35,84 kn/m 4 4 0,5 + 6 4 4 6 p' * p 0,83*,50* 33,33 4,6 kn/m 4 4 0,5 + 6 A nomatékok az állandó teherből: + g' *l 7,08*36 m' g 0,6 knm/m 4 4 + g' *l 7,9 *6 m' g 7,9 knm/m (középen) 6 6 + 9 9 m gm *g' *l *7,9*6 0,6 knm/m 8 8 ( ) g' *l m g,4 knm/m ( ) g' *l m' g 35,84 knm/m 8 m' (-) g -,4 knm/m m + gma 0,6 knm/m m + g 7,9 knm/m A nomatékok az esetleges teherből: + p' *l 4,6*36 m' p,4 knm/m 4 4 + p' *l 35,84 *6 m' p 35,84 knm/m (középen) 6 6 + 9 9 m pm * p' *l *35,84*6 40,3 knm/m 8 8 m (-) g -35,84 knm/m m' + g 0,6 knm/m m m' ( ) p ( ) p p' *l p' *l 8 4,48 knm/m 7,68 knm/m m' (-) p -4,48 knm/m m + pma 40,3 knm/m m + p 35,84 knm/m m' + p,4 knm/m m (-) p -7,68 knm/m 9
Támasznomatékok mindkét terherből: (q g + p) m ( ) q m ( ) g + m ( ) p,4 4,48 63,7 knm/m m ( ) q m ( ) g + m ( ) p 35,84 7,68 07,5 knm/m A maimális mezőnomatékot úg kapjuk, hog önsúlból (előző részben) keletkező mezőnomatékhoz hozzáadjuk a hasznos teherrel mértékadóan leterhelt (sakktábla szerint) lemezrendszer nomatékait a következő elv szerint: q II. q/ q/ szélein megtámasztott lemezelemek I. q/ közbülső megtámasztásnál befogott lemez I. teherállás esetén a totális leterhelést kell alkalmazni, p * p/ 5 knm Az előző pont alapján: p * I 7,9 p * I 7,08 Nomatékok: m ( + ) P *I 8,63 knm/m m ( + ) P* I 5,4 knm/m (középen) m ( + ) P *I ma 7,5 knm/m 30
A II. teherállás esetén a statikai váz: Nég oldalon feltámaszkodó lemezt, a parciális sakktábla szerű leterhelésnél csak a hasznos teherből származó ma. mezőnomaték számításánál vesszük figelembe. l 4,00m e b α p' b l E I 4 e b α p' b l E I 4 α α 5 384 4 a ε ; m b és p II 6 b b * p' II * p 4 II 0,835* P 4 + 6 p' 4, kn/m II 5 kn/m 0,88 kn/m Nomatékok: ( + ) p' I*l m' 8 I 0,88*6 8 4,76 knm/m (középen) m' ( + ) p' I I *l 8 4,*36 8 8,54 knm/m Mezőnomatékok mindkét leterhelésből: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) m ser m + m + m 8,63 +,8+ 8,63 m g I II ( + ) + ( + ) ( + ) ser m g + m I + m II 5,4 + 8,84 + 5,4 30,07 knm/m 59,3 knm/m (középen) 3
Összesített ábra m (+) ma ~63,8 knm/m m (-) ma63,7 knm/m m (+) 59,3 knm/m m (+) 30,07 knm/m m (-) ma 07,5 knm/m Oldjuk meg uganezt a feladatot a Marcus féle módszerrel Marcus féle módosítás g g + g + g ahol g g " + g " g g' g" (g a csavarással egensúlozott teherrész Marcus szerint.) g" ( + ) 5 l m' * * * g' ; ahol 6 l m o m a sávmódszer alapján meghatározott érték, m o a kéttámaszú tartóból meghatározott érték: Jelen számpélda esetén: g *l 5*36 m o,5 knm/m 8 8 A módosított állandó terhek: 5 4 0,6 g" * * *7,08,5 kn/m megfelel a 8% os különbségnek! 6 6,5 g 7,00,5 5,75 kn/m g" ( + ) ma 5 l m' 5*6 * * * g' 6 l, ahol m o 50 knm/m m o 8 5 4 0,6 * * *7,9,68 kn/m megfelel 5% kal kisebbnek! g" 6 6 50 g 5,4 kn/m Nomatékok az állandó teherből: ( + ) g *l 5,75*36 m g 8,63 knm/m, 4 4 ( + ) g * l 5,4 *6 m g 5,4 knm/m 6 6 (középen), 3
( + ) 9 m g ma *g *l 7,5 knm/m. 8 Marcus féle módosítás a hasznos terhek esetén ( + ) 5 l m' 5 4 4,76 p" * * * p' I * * * 0,88 6,46 kn/m 6 l m o 6 6 50 p p' p" 0,88 6,46 4,4 kn/m I I I 5 6 8,54 p" I * * * 4,,7 kn/m 6 4,5 p 4,,7,85 kn/m I Nomatékok a hasznos teherből:,85*36 m ( + ) I,8 knm/m 8 4,4*6 m ( + ) I 8,84 knm/m 8 (középen) 33
3. hét 3. előadás: Lemezszerkezetek III. Tematikája: Vasbeton lemezrendszerek vizsgálata Definíció Közelítő számítás Bares-táblázatokkal Pontos számítás végeselem módszerrel Szerkesztési szabálok Oszlopokkal alátámasztott lemezek Háttéranag: Jegzet 3.. és 4. fejezete (5-39 oldalig) 3. gakorlat: Tervezési feladat Tematikája: Strobl András - Koris Kálmán Péczel Attila: Kétiránban teherviselő lemez tervezése. BME Hidak és Szerkezetek Tsz, 000. Tervezési segédlet alapján méretfelvétel, igénbevétel számítás. 34
4. hét 4. előadás: Lemezszerkezetek IV. Tematikája: Vasbeton lemezek képléken teherbírása Definíciók Számítási módszerek, főtételek Törésvonalak szerkesztése, meghatározása Külső és belső munkák felírása Virtuális munkatétel alkalmazása Háttéranag: Jegzet 5. fejezete (39-45 oldalig) 4. gakorlat: Tervezési feladat Tematikája: Strobl András - Koris Kálmán Péczel Attila: Kétiránban teherviselő lemez tervezése. BME Hidak és Szerkezetek Tsz, 000. Tervezési segédlet alapján igénbevételek számítása Bares-táblázatokkal, vasalás kialakítása, vasalási vázlat 35
5. hét 5. előadás: Lemezszerkezetek V. -Példamegoldás. példa: Egenletesen megoszló teherrel terhelt nég oldalon feltámaszkodó izotrop lemez tönkremenetelének meghatározása kinematikai módszerrel. Adott: Izotrop lemez: a határnomaték: m R m R m R m R,8 knm/m m R Keressük: a teher határértékét q s? m R q s? Kinematikai módszer lépési A megoldás lépései: (a kinetikai tétel értelmében): a.) a geometriai kerületi feltételeket kielégítő törési mechanizmus megválasztása; b.) az energia egensúl meghatározása a virtuális elmozdulások tételének felhasználásával, azaz a külső és belső munkák felírása: L k L b c.) a határ teher minimumának meghatározása. a) A törésmechanizmus felvétele /3 η / 4/l η η /l m R m R / ηl /3 36
b.) A külső munka felírása Általában: qwda * w qa * w F L i i i i k ( ) + + * * l η*l l * 4 3 * * l * ηl * 3 * l * η l q L R k ( ) + + + η 3 *l *l * q η η 3 *l *l * q *l *l η 3 l *l η 3 l *l η q R R R A belső munka felírása Általában: + t/ t/ i i i ij ij b * m s * dz * ε σ L ϕ + + R R R b ηl l * l l 4* * m * 4 ηl * l * m * l * *l m L A külső és belső munka egenlőségéből R R * η l l 4 * * η l l 6 * 3 * η l l 6 * * l m 8* q + c.) A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása) 0 η q R ; { } 0 ' ' v uv u ; ' v uv' v u' v u 4 3 η * η l l 0 + amiből + l l 3* * l l * η és számszerűen 37
η 0,33 Ezt visszahelettesítve a b pontban megadott teher függvénbe: m R q R 8* * (ami a teherintenzitás felső korlátja) l 4 η 3,8 q R 8* * 6,43 kn/m 4 * 0,33 3 A lemez ténleges határterhe 6,43 kn/m. példa: Két szomszédos peremén befogott, másik két peremén szabad lemez ellenőrzése Adatok m' - m' - m + m - m - α 8/30 8/30 m - 8/30 Állapítsuk meg a határteher intenzitást. 8/30 8/30 m 8/30 m m R támasznál: m 6,86 knm/m ' m ' νm R 3, knm/m + + m m m R 6,86 knm/m A lemezen két féle törésmechanizmus tud kialakulni. 38
I. törésmechanizmus a) A törésmechanizmus felvétel / αl /3 / α η / ηl /3 b.) Külső munka felírása L K q R ηl*αl * * * + 3 ( l ηl) *α *l Belső munka felírása L B m R * ν *αl * ηl + ν *l* αl + αl * η*l + ηl* m αl R α * ν * η + ν α + α η + η α Külső és belső munka egenlőségéből: L q K L B R 6* m l α R α * + να + η 3η η + νη c.) A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása) q R 0 η ( η + ν) * ( 3η η ) ( 3 η) * ( α + να + η + νη) 0 rendezés után: η * ( 3 + ν) + η* α * ( + ν) 3α * ( + ν) 0,8 behelettesítve: α 0,8 3,5 η + 0,758η,35 0 η 0,75,0 39
Törőteher értéke: 6 * 6,86 0,64 +,9+ 0,75 +,434 q R *,05 kn/m,8 0,75* 3 0,75 II. törésmechanizmus a.) A törésmechanizmus felvétele ( ) / αl α ν m ν m /l b.) Külső munka felírása q * l *αl L K * 3 Belső munka felírása L B l * ν * m * + αl αl * νm l c.) A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása). 6 m ν * ( α ) l α 6*,9* 6,86 ( ) q + q * + 0,8 6,50 kn/m,8 Tehát az I. típusú törésmechanizmus a mértékadó. ( q,05 < q 6,5 kn/m ) R 40
5. gakorlat: Törőteher meghatározása Három oldalán befogott lemez méretezése Adatok νm ν3m m t 0mm g 3,6 kn/m γ g,35 p 7,80 kn/m γ p,50 ν m g,35*3,5 +,5* 4,80 6, kn/m α ν3m A nomatékok aránait önkénesen vesszük fel, tekintettel a lemez méreteire. ν ; ν 5; ν 3 a) Törési mechanizmus felvétele 4 η η /3 α / ηl / αl /3 / b) A külső és belső munka felírása Általában L K p * w L B m * ϕ s 4
Külső munka felírása L q R * αl * ηl* * * * + 3 K η αl ( l l) * αl * q * * αηl + ( η) * Belső munka felírása L B m * αl * ν 3 * * + l * ν * + ηl* * + αl * ν * * ηl αl αl ηl α m * * *( ν + ν 3 ) + *( η + ν ) η α A külső és a belső munka egenlőségéből a határteher értéke m 3 + η + 5η q R * l,5η η A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása) dq R 0 dη d 3 + η + 5η 0 dη,5η η Csak a derivált számlálóját megtartva, kapjuk: 4η + 5 *,5η η 3 + η + 5η *,5 η ( ) ( ) ( ) ( ) 0 8η + 6η 4,5 0 η 0,463 (Ha η > lenne mint 0,5 akkor a feltételezett töréskép nem alakul ki.) Visszahelettesítve: m 3 + * 0,463 + 5* 0,463 * l,5* 0,463 0,463 azaz q 6,kN/m m R? q R * l 6,* 4 m R,789 knm/m 43, 43, q R m *43, l R 3 4
A nomatéki aránokkal a mértékadó nomatéki ábra: -7,96,799-8,995 3,598-7,96 knm/m 43
6. hét 6. előadás: Keretszerkezetek I. Tematikája: Keretek definíciója, osztálozása Keretek pontos számítása számítógépes programokkal. Keretek közelítő számítása függőleges teherre Háttéranag: Jegzet 6. fejezete (45-59. oldal) 6. gakorlat: Tervezési feladat Tematikája: Strobl András - Koris Kálmán Péczel Attila: Kétiránban teherviselő lemez tervezése. BME Hidak és Szerkezetek Tsz, 000. Tervezési segédlet alapján a lemez törőterhének meghatározása. 44
7. hét Oktatási szünet 45
8. hét 8. előadás: Keretszerkezetek II. Tematikája: Keretek közelítő számítása vízszintes teherre Gerendák méretezése Háttéranag: Jegzet 6. fejezete (59-67.oldal) 8. gakorlat: Tervezési feladat Tematikája: Lemez tervezési feladat beadása 46
9. hét 9. előadás: Keretszerkezetek III. Tematikája: Oszlop méretezése Véletlen eltérésből származó erők meghatározása Külpontosság és külpontosság növekmének számítása Oszlop vasalása, szerkesztési szabálok Keretsarok méretezése Keretsarok teherbírásának meghatározása Keretsarok vasalásának tervezése Háttéranag: Jegzet 7. fejezete (67-75. oldal) 47
9. gakorlat: Közelítő igénbevételi ábrák vízszintes teherre. példa: Határozza meg és alakheles ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet (közelítő) nomatéki ábráját! (Megjegzés: A közelítő számításnál vege figelembe, hog a keretgerendák sokkal merevebbek a keretoszlopnál, valamint, hog az oszlopok vízszintes teherből származó közvetlen hajlítástól eltekinthetünk.) I l g >> I l o o wd,,8 kn/m Megoldás: A tartó elmozdult alakja és a reakcióerők: wd,0,9 kn/m P P wd,,8 kn/m wd,0,9 kn/m 3 p p,8 + 0,9 *3 8,0 (,8 + 0,9) * 4,05 kn ( ) kn P,03,03,03,35,35,35,35,0,35,35,35,35,4,03 9,,03,03 9, 6,07 6,07,4,0 6,07 6,07 9, 9, 48
A nomatéki ábra:,03,03,4,03,0,0,0,0,03,03 9,,03 9,,03,4,03 9, 9, M [knm]. példa: Határozza meg az adott tartó (M) ábráját! [Az oszlopok merevsége jóval nagobb a gerendák merevségnél.] 3F Ig Ig Ig Io Io Io Io Ig Ig Ig F F 50 kn I o /lo >> Ig/l g 49
Megoldás: A tartó elmozdult alakja és a reakcióerők: 50 kn Ig Io Io Io Io Ig 50 kn 00 kn 00 kn 50 50 5 75 50 50 5 5 75 75 00 50 50 5 00 75 A nomatéki ábra: 5 50 5 5 50 75 50 50 5 50 75 50 75 75 5 5 50 5 50 M [knm] 5 50
3. példa: Határozza meg az alábbi keret nomatéki ábráját portál módszer alkalmazásával! 00 kn 60 kn 40 kn Megoldás: 00 kn 60 60 40 40 30 30 0 0 30 30 0 0 60 4 36 40 6 8 8 8 36 60 8 4 40 6 8 8 4 4 6 6 5
A nomatéki ábra: 60 00 40 4 40 60 00 40 6 84 56 84 56 60 40 60 40 4 40 6 4 6 4 6 M [knm] 5
0. hét 0. előadás: Oszlop méretezése Vasbetonszerkezet központosan nomott oszlopának ellenőrzése (ENV előírásaival a feladat megoldása a [Kollár L.: Vasbetonszerkezetek I. Vasbetonszilárdságtan az EUROCODE szerint. Műegetem Kiadó] jegzetben található). Az ábrán látható épület oszlopait a terv szerint központos normálerő terheli. N00 kn N00 kn 0,45 0,45 0,30 0,30 53
Ellenőrizzük az alsó oszlopszakasz teherbírását az EUROCODE szerint, ha a keresztmetszet vasalása: hosszvasak: 4 Φ 5, As 963 mm kengel: Φ / 300, betonfedés: 0 mm 0 beton: C5/0 fcd 3,3 N/mm,5 betonacél: S 500 B, d 45,5 mm 500 fd 435 N/mm,5 Megoldás: Igénbevételek: a) Függőleges teherből A keret oszlopában 000 kn nagságú nomóerő lép fel. b) Véletlen eltérésből származó vízszintes teher N i N i 000 N i 0 kn 00 00 Meghatározott vízszintes terhet és iránban is működtetni kell, de iránban a meghatározott terhet az alkalmazott merevítő rendszerre kell terhelni. Az oszlopok igénbevételei a H 0 kn nagságú vízszintes erőből (számítógéppel meghatározva): 0 kn 8,3,7 -,7 6,9 7,50 9,98 M [knm] 7,5 N [kn] -7,5 Kihajlási hossz meghatározása A keret iránban kilendülő, iránban nem kilendülő. a) irán: (nem kilendülő). oszlop k 0,, k lo 0,8* l 0,7 *350 45. oszlop k a k f l * l *300 300 o (nomás) 54
β β0,8 b) irán: (kilendülő). oszlop: I b 4 0,3 6 Icol 675*0 m 4 0,3* 0,45 78*0 k 0 4 6 m 4 k I l αi l col eff 675 675 + 3,5 3,0 78 * 6,0 col b,0 β ma 0*,0 + 0 * 0 +,0 lo,5 *3,50 5,3 m 0,0 + * + *,54,5 + 0 +,0 55
. oszlop: k a,0 675 3,0 k f 0,59 78 * 6,0 β ma,0 * 0,59 + 0 *,,0 + 0,59 lo, *3,00 6,60 m,0 0,59 + * +,8 +,0 + 0,59 A külpontosságok számítása: Az oszlop inerciasugara: 4 0,3 * 0,3 i 0,0866 m Karcsúságok: λ > 5, λ < 40,,45 3,00 λ o 8,9 λ o 34,6 0,0866 0,0866 5,3 6,60 λ o 6,43 λ o 76, 0,0866 0,0866 íg az oszlop karcsúnak tekintendő, íg alkalmazható az EUROCODE számítása. A külpontosságot az iránban az alábbiakban az. oszlopra határozzuk meg: Kezdeti külpontosság: 7,5 e o 0,0074 m 008 9,98 e o 0,0099 m 008 e o ma 0,6e o + 0,4e 0 0,0030 m 0,4e o 0,0040 m 56
Véletlen ferdeségből származó külpontossági növekmén: l0 5,3 ea 0,033 mm 400 400 Másodlagos hatásból származó külpontossági növekmén: k R * k f * r r k R k f N' u N N' N N' u 3,33* 300 + 963* 435 053,605 kn N Ed 008 kn r N 0,4*3,33* 300 u 0 Ed bal bal 480 kn 053,6 008 k R 0,664 053,6 480 3 0 εd 435/00*0 0,45d 0,45* 45,5,969*0 0,664**,969*0 r,3*0 e l0 5,3 * 0,03* r π π 0,0375 mm Teljes külpontosság: e tot e0 + ea + e 0,0040 + 0,033 + 0,0375 0,0548 mm m Az oszlop végén nem veszünk figelembe másodrendű hatásokból nomatékot. Ott a külpontosság két tagból számítható: e + e 0,0099 + 0,00 0,00 < e, o a tot vagis az oszlop közbenső keresztmetszete a mértékadó. 57
A külpontosságok számítását az alábbi táblázatban foglaltuk össze: l oszlop l oszlop irán irán irán irán kihajlási hossz: l o 5,3,45 6,60 3,00 karcsúság: λ 6,43 8,9 76, 34,6 e o -0,0074 0-0,0069 0 e o 0,0099 0 0,008 0 eo 0,0040 0 0,003 0 ea 0,033 0,0065 0,065 0,0075 k R 0,664 0,664 0,667 0,667 /r o,969*0 -,969*0 -,969*0 -,969*0 - /r,3*0-0,03 0,03 0,03 e 0,0375 0,00797 0,0578 0,096 e tot 0,0548 0,04 0,0775 0,095 Az oszlop mértékadó igénbevételei:. oszlop: N sd 007,5kN M sd 007,5* 0,0548 55,kNm M sd 007,5* 0,04 4, knm. oszlop: N sd 00,75 kn M sd 00,75* 0,0775 77,7kNm M sd 00,75* 0,095 9,55 knm A keresztmetszet ellenőrzése Számítógéppel meghatároztuk a keresztmetszet teherbírási vonalát. A határnomaték: N 007,5 kn esetén : M Rd 88,kNm N 00,75 kn esetén : M Rd 88,5 knm Az. oszlop ellenőrzése: 55, 4, + 0,79 < 88, 88, A. oszlop ellenőrzése: 77,7 9,55 +,09 > nem felel meg! 88,5 88,5 58
Teherbírási vonal 000 500 000 (Nsd,Msd) (Nsd,Msd) N [kn] 500 (Nsd,Msd) (Nsd,Msd) 0-500 -000 0 0 40 60 80 00 0 40 A második oszlop nem felel meg! M [knm] 0. gakorlat: Tervezési feladat Tematika: Ódor Péter-Kóris Kálmán: Vasbeton keretvázas épület erőtani számítása. BME Hidak és Szerkezetek Tsz. Tervezési segédlet alapján a méretek közelítő számítása 59
. hét. előadás: Keretszerkezetek IV. Tematikája: Rövid konzol méretezése Definíció Fővasalás számítása Kengelek számítása Koncentrált erő bevezetése Pecsétnomás Keresztiránú vasalás részleges terhelés alatt Háttéranag: Jegzet 8 és 9. fejezete (76-8. oldal) 60
. gakorlat: Oszlopok méretezése Vasbeton keret nomott és hajlított oszlopának ellenőrzése Ellenőrizzük a 0. előadáson bemutatott keret alsó oszlopát, ha a keret gerendáit p 00 kn/m nagságú megoszló teher terheli. (Ez a teher tartalmazza az önsúlt, a hasznos terhet és a biztonsági ténezőket.) (ENV előírásaival a feladat megoldása a [Kollár L.: Vasbetonszerkezetek I. Vasbetonszilárdságtan az EUROCODE szerint. Műegetem Kiadó] jegzetben található.) Megoldás: Keret igénbevételei A keret igénbevételei (kis elmozdulásokkal és rugalmas anagmodellel dolgozó) keretprogram alapján: p00 kn/m 8,40 p keretprogram alapján 7,80 73,90 53,90 M [knm] 37,5 Normálerő az alsó oszlopokban: N p *6 600 kn Az épület ferdeségéből: 600 H 3 kn nagságú vízszintes erő keletkezik. Az alsó oszlopban számítógéppel határozzuk meg az ebből a teherből szármató igénbevételeket: 3 kn 3 kn 4,70 4,70 5,8 M [knm] 5,8 3,06 N [kn] -3,06 (nomás) 6
Normálerő az alsó oszlopban (nomás): N 6*00 + 3,06 603 kn Nomatékok: 73,90 + 4,70 78,60 knm 37,5 5,8 43,07 knm A kihajlási hosszak: megegeznek az. Mintapéldában számítottakkal A külpontosságok számítása: irán: e o 43,07 0,074, 603 78,6 e o 0,303, 603 e o 0,6 *0,303 0,4 *0,074 0,0496 0,4 *0,303 0,05 A részletek mellőzésével: k e a 0,033 m,, k 0,9, f r r,969*0 0,8*0 r e 0,050 m e tot 0,05+ 0,033 + 0,050 0,74 m A számítás szerint e tot < e o. Ez azt jelenti, hog az oszlop eg közbenső keresztmetszetében a másodrendű hatásokat figelembe véve számított külpontosság kisebb, mint az oszlop végén számított külpontosság. Ekkor az oszlop végén fellépő külpontosságot kell figelembe venni, amel e o t és e a t tartalmaza: e 0,303 + 0,0 0,404 m. 6
irán: A részletek mellőzésével: e a 0,0065 m, k r 0,9, r 0,969*0 A mértékadó igénbevételek: 0,08 r e 0,00 m, e tot 0,07 m. N sd 603 kn M sd 603* 0,404 84,7 knm M sd 603* 0,07 0,3 knm A teherbírási vonal szerint az N 603 kn nomóerőhöz tartozó határnomaték M Rd 7, knm, íg 84,7 0,3 + 0,8 <, 7, 7, vagis a keresztmetszet megfelel. 63
. hét. előadás: Keretek merevítő rendszerének számítása Tematikája: Definíció Arános, el nem csavarodó (elmozduló) keretek számítása Háttéranag: Jegzet 0. fejezete (8-9. oldal). gakorlat: Keret tervezési feladat Tematikája: Ódor Péter-Kóris Kálmán: Vasbeton keretvázas épület erőtani számítása. BME Hidak és szerkezetek Tsz. Tervezési segédlet alapján a keret pontos számítása, gerenda, oszlop méretezése 64
3. hét 3. előadás: Zártheli dolgozat 3. gakorlat: Keret tervezési feladat Tematikája: Ódor Péter-Kóris Kálmán: Vasbeton keretvázas épület erőtani számítása. BME Hidak és szerkezetek Tsz. Tervezési segédlet alapján a keret vasalása 65
4. hét 4. előadás: Keretek merevítő rendszerének számítása Tematikája: Arános, elcsavarodó (elmozduló és elforduló) keretek számítása Háttéranag: Jegzet 0. fejezete (9-0. oldal) 4. gakorlat: Keret tervezési feladat beadása 66
F E L K É S Z Ü L É S T S E G Í T Ő P É L D Á K 67
Lemezszerkezetek Törőteher meghatározása Koris Kálmán gűjtése alapján 68
. Határozza meg az ábrán megadott, nég oldalán szabadon felfekvı izotróp vasbeton lemez törıterhét! A lemez fajlagos nomatéki teherbírása: m R m R 5 knm/m a 5 m a 5 m Megoldás: A lemez törésképe (középen egségni eltolódást feltételezve): pozitív törésvonal I /a /a /a /a /a /a a.) Egensúli módszer alkalmazása A külsı erık nomatéka az tengelre az I. lemezdarabon: M k p t a p t 3 ( ) a a a 3 4 p t A belsı erık nomatéka az tengelre az I. lemezdarabon: M b a m R 5 knm A külsı és belsı erık egensúla alapján: M k M b a 3 4 p t a m R 4 p t a m R a 3 4 kn m b.) Energia módszer alkalmazása A külsı erık által végzett munka a töréskép alapján: a L k ( p t ) a a p 3 t 3 p t - - 69
A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján: L b a m a R + a m a R 4 m R + 4 m R 00 kn A külsı és belsı munka egenlısége alapján: L k L b a 3 p t 4 m R + 4 m R p t 4 m R 4 3 ( + m R ) a 4 kn m. Határozza meg az ábrán látható, nég oldalán befogott izotróp vasbeton lemez törıterhét! A lemez fajlagos nomatéki teherbírása: - pozitív nomatékra: m R.p m R.p 5 knm/m - negatív nomatékra: m R.n m R.n 3 knm/m a 6 m a 6 m Megoldás: A lemez törésképe (középen egségni eltolódást feltételezve): pozitív törésvonal negatív törésvonal I /a /a /a /a /a /a a.) Egensúli módszer alkalmazása A külsı erık nomatéka az tengelre az I. lemezdarabon: M k p t a p t 3 ( ) a a a 3 4 p t A belsı erık nomatéka az tengelre az I. lemezdarabon: M b a m R.p + a m R.n 48 knm - - 70
A külsı és belsı erık egensúla alapján: M k M b a 3 4 p t 48kNm p t 48kNm 4 a 3 b.) Energia módszer alkalmazása A külsı erık által végzett munka a töréskép alapján: 5.33 kn m ( ) a a L k p t p 3 t a 3 p t A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján: L b a m a R.p + a m a R.p + a m a R.n + a m a R.n 4 m R.p + 4 m R.p + 4 m R.n + 4 m R.n 64 kn A külsı és belsı munka egenlısége alapján: L k L b a 3 p t 64kN p t 64kN 3 a 5.33 kn m 3. Határozza meg az ábrán látható, csuklós megtámasztású izotrop lemez koncentrált P t törıterhét! P t m m m R m R m R0 t 0.m ν 0. 4 knm m m 4 m Megoldás: A lemez törésképe: pozitív törésvonal II III I IV / / A koncentrált erı alatt egségni eltolódást veszünk fel. / / / /4-3 - 7
a.) Egensúli módszer alkalmazása Írjuk fel a nomatéki egensúli egenleteket az eges lemezdarabokra (a szimmetria miat a II. lemezdarabot nem szükséges vizsgálni)! A külsı és belsı erık egensúla az I. lemezdarabon: ξ P t m 6m m R0 A külsı és belsı erık egensúla a III. lemezdarabon: ζ P t m 4m m R0 A külsı és belsı erık egensúla a IV. lemezdarabon: χ P t 4m 4m m R0 Az eges lemezdarabokra mőködı rész-erık összegére vonatkozó feltétel: ξ P t + ζ P t + χ P t P t Összességében tehát van 4 db ismeretlenünk (ξ, ζ, χ, P t ) és hozzá 4 db egenletünk. Az ismeretlen P t törıteher az egenletrendszer megoldásából nerhetı: Az eges lemezdarabokra mőködı rész-erık: ξ P t ζ P t χ P t A törıteher: P t kn b.) Energia módszer alkalmazása A külsı erık által végzett munka a töréskép alapján: ( ) P t L k p t P t m A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján: L b m m R0 + m m R0 + m 4 m R0 + 4m m R0 36 knm A külsı és belsı munka egenlısége alapján: kn kn kn L k L b P t m 36kNm P t 36kNm m 36 kn - 4-7
4. Határozza meg az ábrán látható, két oldalán csuklós megtámasztású, két oldalán befogott vasbeton lemez koncentrált P t törıterhét! P t m m m R m R 6 knm m 8 knm m m 4 m Megoldás: A lemez törésképe: negatív törésvonal pozitív törésvonal II III I IV / / A koncentrált erı alatt egségni eltolódást veszünk fel. / a.) Egensúli módszer alkalmazása / / /4 Írjuk fel a nomatéki egensúli egenleteket az eges lemezdarabokra (a szimmetria miat a II. lemezdarabot nem szükséges vizsgálni)! A külsı és belsı erık egensúla az I. lemezdarabon: ξ P t m 6m m R A külsı és belsı erık egensúla a III. lemezdarabon: ζ P t m 4m m R + m R ( ) A külsı és belsı erık egensúla a IV. lemezdarabon: χ P t 4m 4m m R + m R ( ) Az eges lemezdarabokra mőködı rész-erık összegére vonatkozó feltétel: ξ P t + ζ P t + χ P t P t Összességében tehát van 4 db ismeretlenünk (ξ, ζ, χ, P t ) és hozzá 4 db egenletünk. Az ismeretlen P t törıteher az egenletrendszer megoldásából nerhetı: Az eges lemezdarabokra mőködı rész-erık: ξ P t ζ P t χ P t A törıteher: P t kn kn kn kn - 5-73
b.) Energia módszer alkalmazása A külsı erık által végzett munka a töréskép alapján: ( ) P t L k p t P t m A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján: L b m m R + m m R + 4m m R + m 4 m R + 4m m R + 4m 4 m R... L b 44 knm A külsı és belsı munka egenlısége alapján: L k L b P t m 44kNm P t 44kNm m 44 kn 5. Határozza meg az alábbi, három oldalán befogott, eg oldalán szabad peremmel rendelkezı négszög alakú vasbeton lemez megoszló törıterhét! A pozitív törésvonalak az ábrán látható módon futnak (a lehetséges negatív törésvonalakat az ábrán nem tüntettük fel). +m R0 -ν m R0 +m R0 -ν m R0 -ν m R0 3 m 5 m 3 m m 4 m m R0 8 knm m ν.785 ν 0.4 Megoldás: A lemez törésképe: negatív törésvonal I α pozitív törésvonal /4 /3 /3 /3 /3-6 - 74
a.) Egensúli módszer alkalmazása A külsı erık nomatéka az tengelre az I. lemezdarabon, figelembe véve a kiegensúlozatlan csavarónomatékokból származó erıt: α 3m atan 4m α 53.3 ( ) 3m 4 M k p t m 3m p 3 t + 3 m m R0 cot( α) A belsı erık nomatéka az tengelre az I. lemezdarabon: M b 4 m m R0 + 4 m ν m R0 45. knm A külsı és belsı erık egensúla alapján: M k M b p t 45.kNm 3 m m R0 3 m 4 m 3 m 3 cot( α) 4.5 kn m b.) Energia módszer alkalmazása A külsı erık által végzett munka a töréskép alapján: ( ) 3m 4 L k p t m m 3 + ( m 3m) 4m m A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján: p t L b 4m 3 ν m R0 + m 4 ν m R0 + 4m 3 m R0 + 3m 4 m R0 L b 8.35 knm A külsı és belsı munka egenlısége alapján: p t L b p t 4.5 kn 3 m 4 m m + ( m 3 m) 4 m m m 3-7 - 75
6. Határozza meg az alábbi ábrán látható, két oldalán befogott, két oldalán szabad peremmel rendelkezı négszög alakú vasbeton lemez megoszló törıterhét! A lemez fajlagos nomatéki teherbírása: - pozitív nomatékra: m R.p m R.p knm/m - negatív nomatékra: m R.n m R.n 5 knm/m m R m R 4 m szabad perem 5m Megoldás: A lemez törésképe: /4 II negatív törésvonal I pozitív törésvonal α /t t /t ctg α ctg t 4m o ( 80 α) t 4m a.) Egensúli módszer alkalmazása A külsı és belsı erık egensúla az tengelre az I. lemezdarabon: t 4m t t p 3 t + t m R.p 4m m 4m R.p + m R.n ( ) A külsı és belsı erık egensúla az elfordulási tengelre a II. lemezdarabon: t 4m 4m 4m t p 3 t + ( 5m t) 4m p t 4m m R.p 4m t m R.p + 5m m R.n - 8-76
A fenti két egenletben a t távolság és a p t törıteher ismeretlenek, melek értékét az egen letrendszer megoldásával számíthatjuk: kn t p t m b.) Energia módszer alkalmazása A külsı erık által végzett munka a töréskép alapján: ( ) t 4 L k t, p t m m 3 + ( 5m t) 4m m p t A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján: L b ( t) 4m m t m R.n + 5m 4 m R.n + 4m m m t R.p + t 4 m R.p A külsı és belsı munka egenlısége alapján a törıteher a t távolság függvénében: p t ( t) 4m m t m R.n + 5m 4 m R.n + 4m m m t R.p + t 4 m R.p t 4 m m 3 + ( 5 m t) 4 m m A fenti kifejezés minimumát deriválással kereshetjük meg: d t p t d ( t) 0 A deriváltra vonatkozó egenletbıl a t távolság értéke: t 3.64 m A törıteher t ismeretében számítható a külsı-belsı munka egenlıségébıl: p t ( t) 7.84 kn m - 9-77
Keretszerkezetek 78
K. példa Ellenőrizze az ábrán látható keretszerkezet K jelű keresztmetszetének teherbírását az alábbiak szerint: a.) Rajzolja fel a K keresztmetszetre vonatkozó alakheles nomatéki és normálerő hatásábrákat (η(mk), η(nk))! b.) Mutassa meg, hog milen teherelrendezés esetén lesz a nomaték értéke maimális a K keresztmetszetben! A mértékadó leterheléssel számítsa ki a közelítő modell alkalmazásával a K keresztmetszetben ébredő hajlítónomaték és (egidejű) normálerő értékét a keret síkjában! K Oszlopok Gerendák Terhek: g 0 kn/m, γ G,35 q 6 kn/m, γ Q,5 Oszlop km. hasznos magasság: d d 50 mm Megoldás: g 0 kn/m, γ q 6kN/m, γ G Q,35,5 79
K a.) nomatéki hatásábra normálerő hatásábra K K η (Mk) η (Nk) b.) p p p p K p p p p γ G * g + γ Q * q γ G * g (a tervezési feladat alapján),35*0 +,5*6 37,5 kn/m 3,5 kn/m 80
p 4 p 6 M,5 8 94,5 knm Merevségek: 3 I o 300 300 l 3000 l o I g l I g 3 300 500 6000 3 300 500 4000,5 0 5, 0 7,8 0 5 5 5 Nomatékkülönbség szétosztása az oszlopokra: I M oszlop o 5 lo,5 0 M 94,5 5 I i (,5 + 5,+ 7,8) 0 li es gerendára jutó nomaték:,4 knm I M * l Ii l 94,5* 7,8*0 7,5*0 5 M 5 Ii (,5 + 7,8+ 5,)0 li es gerendára jutó nomaték: Ig M * 5 l 94,5* 5,*0 M 5 Ii 7,5*0 l i i g 5 4, knm 7,5 0 5 8,0 knm 8
4, v 4,05,06 v 8,0 Egidejű normálerő: nomatékosztás előtt: 4, +,06 8,0 + 4,05 5,8 kn, V 7,0 kn 4 6 V N normálerő a nomatékosztás után: A gerenda reakcióerejét felhasználva: 4, +,06 8,0 + 4,05 V 5,8 kn, V 4 6 * l p * l p * l + + l + l + p * 5*5 p ( p ) 55 kn N e 55 + 5,8 7,0 63,78 kn 7,0 kn (a felső csomópont nomatékosztásától eltekintünk) 8
K. példa Határozza meg és alakheles ábrán ábrázolja az alábbi háromszintes keretszerkezet közelítő hajlítónomatéki (M) és normálerő (N) ábráit a portál módszer alkalmazásával! 45 kn 90 kn Megoldás: 45 kn,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 90 67,5 67,5 90 67,5 67,5,5,5,5,5 33,75 33,75 33,75 33,75 33,75 33,75 33,75 33,75 90 35 90 35 67,5 67,5 67,5 67,5 33,75 33,75 33,75 33,75 67,5 67,5 67,5 67,5 33,75 33,75 33,75 33,75 35 35 67,5 67,5 67,5 67,5 83
A nomatéki ábra:,5,5 45,5,5,5,5 67,5 35 67,5 45,5 90 35 35 90 90 90 67,5 67,5 35 35 35 67,5 67,5 67,5 35 67,5 M [knm] 33,75,5 7,5 67,5 7,5 +,5 + 30 30 + 45 45 84
K3. példa Határozza meg az alábbi tartó alakheles közelítő nomatéki ábráját a jellemző értékek feltüntetésével! P70 kn Ig Ig Ig Ig Io Io Io Io Io Ig Ig Ig Ig Merevségiviszonok : E * I o /lo << E * Ig/lg Megoldás: A tartó elmozdult alakja és a reakcióerők: P70 kn RA5,5 kn RB7,5 kn 70 6,5 8,75 8,75 8,75 6,5 6,5 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 6,5 8,75 8,75 8,75 39,38 39,38 39,38 39,38 3, 39,38 3, 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 3, 3, 3, 3, 3, 3, 6,4 3, 3, 3,3 3, 3, 3,3 39,38 M [knm] 85
K4. példa a.) Határozza meg és alakheles ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet közelítő nomatéki (M) ábráját Portál módszerrel! b.) Milen módon kell a keretgerendákat a q d hasznos födémteherrel leterhelni ahhoz, hog a K keresztmetszetben maimális legen a hajlítónomaték értéke? 0 kn 40 kn K Megoldás: a.) 0 kn 0 0 0 6,66 6,66 6,66 6,66 5 6,66 6,66 6,66 6,66 40 kn 0 0 0 6,66 6,66 6,66 6,66 30 6,66 6,66 6,66 6,66 0 5 0 0 K 0 0 K 0 6,66 6,66 6,66 6,66 30 5 6,66 6,66 6,66 6,66 0 0 0 A nomatéki ábra: 86
0 0 0 5 5 0 0 0 30 5 0 0 0 0 K 0 0 30 5 0 0 0 0 0 b.) Mértékadó leterhelés K 87
K5. példa Határozza meg az alábbi Vierendeel tartó nomatéki ábráját közelítő módszerrel! P 3P Ig Ig Ig Io Io Io Io Ig Ig Ig a 6 m k 4 m P 30 kn I o >> I g Megoldás: 30 kn 90 kn Ig Ig Ig Io Io Io Io Ig Ig Ig 50 kn 70 kn 5 30 kn 0 90 kn 35 5 5 0 0 35 35 5 0 35 50 kn 70 kn A nomatéki ábra: 88
75 75 05 30 30 05 75 05 75 75 05 75 30 05 30 75 05 05 75 05 M [knm] 89
K6. példa a.) Határozza meg és alakheles ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet közelítő nomatéki (M) ábráját! b.) Milen módon kell a keretgerendákat a q d hasznos födémteherrel leterhelni ahhoz, hog a K keresztmetszetben maimális legen a hajlítónomaték értéke? 40 kn K 00 kn Megoldás: 40 kn 30 30 0 0 0 0 00 50 00 kn 70 70 70 46,67 46,67 46,67 30 30 50 46,67 46,67 46,67,5 6,5 6,5 5,5 5,5 5,5 5,5 35 35 35 35 70 70 70 6,5 6,5 5,5 35 35 35 35 5,5 5,5 5,5 5,5 A nomatéki ábra: 90
30 30 70 70 70 30 K 30 50 00 30 30 50,5 70 6,5 5,5 5,5 5,5 5,5 6,5 70 70 70 6,5 6,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 M [knm] b.) Mértékadó leterhelés q d K K q d η (Mk) 9
K7. példa Határozza meg és alakheles ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet (közelítő) nomatéki ábráját! (Megjegzés: A közelítő számításnál vege figelembe, hog a keretgerendák sokkal merevebbek a keretoszlopoknál.) 50 kn 60 kn Megoldás: 50 kn 50 kn 60 kn 50 kn 75 75 75 50 50 50 37,5 50 50 50 60 kn 3,5 75 57,5 57,5 05 05 75 37,5 75 05 05 3,5 6,5 05 05 05 70 70 70 70 70 70 57,5 5,5 57,5 6,5 05 05 05 A nomatéki ábra: 9
75 75 75 75 37,5 37,5 75 75 57,5 75 57, 3,5 37,5 5,5 57,5 57,5 6,5 37,5 05 05 05 5,5 75 3,5 6,5 05 05 05 M [knm] 93
K8. példa Határozza meg az alábbi keret nomatéki ábráját közelítő módszerrel! P P Io Io Io Io Megoldás: 40 kn 6,66 53,33 3,33 6,66 3,33 6,66 8 6 6 6,66 4,66 6 3 3 53,33 4,66 4,66 8 6 6 80 kn 0 40 40 0 6 56 40 56 80 3 3 56 56 56 80 40 0 40 40 0 40 40 80 80 94
A nomatéki ábra: 6,66 53,33 6,66 53,33 6,66 4,66 6 3 3 53,33 4,66 4,66 3 40 80 80 40 6 3 3 56 56 56 56 56 40 40 80 80 40 95