44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy csúcsából kiinduló élek hosszát jelölje, b és c feltételezhetjük, hogy b c Ekkor lpátlók hossz b, c és b c, és ezek közül z b c mitt b leghosszbb A lpátlók áltl meghtározott háromszögben ezzel szemben lesz legngyobb szög Legyen ez A koszinusztétel szerint b c b c c b c cos Ebből cos c b c c b c b c c b c 9 Mivel legngyobb szöge is hegyesszög, ezért háromszög hegyesszögű Egy háromszögben AB = 8, = 7 és CA = 6 Mutssuk meg, hogy háromszög köré írt kör középpontj háromszög belsejében vn! Jelölje köré írt kör középpontjánk z AB, és CA oldlkr vontkozó tükörképét rendre E, F és G Számítsuk ki z AEBFCG htszög területét és kerületét! 6 pont A háromszög köré írt körének középpontj kkor és csk kkor vn háromszög belsejében, h háromszög hegyesszögű, zz legngyobb szög is hegyesszög A legngyobb szög z AB 8 oldlll 6 7 8 szemközti szög Az dtok lpján cos 9 6 7 84 4 A tükrözés mitt z ABO és ABE háromszögek egybevágók, tehát területük egyenlő Ugynígy O és F, illetve z ACO és ACG háromszögek is egybevágók, zz htszög területe háromszög területének éppen kétszerese, ugynis háromszög hegyesszögű volt mitt htszög konvex
T A 6 7 sin, 4 A htszög területe: 4 T 4,66 4 A htszög minden oldl egyenlő háromszög köré írt kör sugrávl, ezért kerülete 6R b c 6 7 8 6 Az A háromszög köré írt kör sugr R 4T 4 4 6 96 96 A htszög kerülete így K 6 4,79 Mennyi lehet z x vlós szám értéke, h lg sin x egyenlő lg sin x és lg cos x számtni közepével? lg sin x lgcos x A feltétel szerint lg sin x A logritmusfüggvény értelmezési trtomány mitt sin x és cosx, így k x k (k egész szám) Ekkor sinx is pozitív lg sin x lg sin x lg cos x lg sin x lg sin x lg cos x sin x sin x sin x sin x sin x sin x Mivel sinx nem lehet, ezért sin x x k x k 6 6 Az előzőekből következik, hogy x k x k A kikötések mitt megoldás: x n és z x n (k és n egész szám) sin pont 9 pont x sin x cos x 4 pont pont
4 Egy n oldlú szbályos sokszöget z egyik szimmetritengelye mentén két sokszögre bontunk A két sokszög átlói számánk összege éppen felennyi, mint z eredeti sokszög átlóink szám Mekkor z n? Mekkor n oldlú szbályos sokszög területe, h kerülete cm? 9 pont n n A n oldlú szbályos sokszög átlóink szám, szétvágássl drb egybevágó n oldlú konvex sokszög keletkezik, ezek átlói számánk összege n n n n A feltétel szerint Ez zt jelenti, hogy szbályos sokszög nyolcoldlú Mivel kerülete cm, így egy oldlánk hossz =, cm n 4 n n pont Mivel, tg,, ezért, 8 m m, tg, A m területe T 8 4 m 4,,8,8 Htározzuk meg z f x sin x sin x függvény legngyobb értékét ; intervllumon! Hol veszi fel ezt legngyobb értéket? f x sin x sin x sin x sin x 4 pont Mivel ; intervllumon sinx pozitív, és sinx minden vlós x-re pozitív, így lklmzhtjuk számtni és mértni közép közötti összefüggést: sin x sin x sin x sin x sin x sin x 7 pont Ez zt jelenti, hogy f legngyobb értéke, és ezt kkor veszi fel, h sin x sin x, zz x sin x x k, hol k egész szám
Az dott intervllumon x, így f x mximális értéke z dott intervllumbn f megoldás derivált függvény segítségével: f x sin x sin x f ' x cos x sin x cos x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x Mindkét esetben z dott intervllumon x A második derivált f " x sin x cos x, f ", hrmdik derivált f ''' x cos x 4sin x, f ''', IV IV negyedik derivált f x sin x 8cos x, f 6 Mivel negyedik derivált értéke z x pontbn negtív, ezért ebben pontbn z eredeti függvénynek helyi mximum vn, melynek értéke 6 Egy háromszög két csúcsánk koordinátái ;6 és B8;,, A két oldlhosszánk rány vlmint z A 6 Htározzuk meg hrmdik csúcs koordinátáit! Hsználjuk fel vektor hosszát, vlmint és vektorok skláris szorztát!
( 8;6) 6 8 6 8 6 x 8 y, mivel x 8; y () x 8 6y 6cos6 Helyettesítsük be ezt z () egyenletbe: x 8 y 6 x 6x 64 6 y Ebből z egyenletből 4 7 y x x 4x 7 6x 8 x 6x 6x 8 6x 89 x 9 8x 4 8 9 8 9 Ebből z egyenletből x 8,7 és x,48 9 9 Ezek felhsználásávl y,96 és y,6 Két megoldás dódik, mindkettő kielégíti feltételeket: 8 9 9 8 9 9 ; és ; C C Készítette: Szlovák Sándorné