Elméleti Mechanika "A" szintű kurzus az ELTE fizika BSc. másodéves hallgatói számára Györgyi Géza és Tél Tamás Kézirat alapján az anyag nagy részét L A TEX-be jegyezték és számos ábrát készítettek: Balogh Ferenc, Bíró Gábor, Fábián Gábor, Kálmán Dávid, Kukucska Gergő, Márkus Bence Gábor. 0.9x. verzió 2016. június 20.
Tartalomjegyzék 1. Előszó 14 2. Bevezetés 15 2.1. Nagyságrendek............................................. 15 2.2. A klasszikus mechanika érvényessége................................. 16 3. Newton törvényei 17 4. Galilei-féle relativitás 22 5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása 24 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer.................................... 24 5.2. Forgó rendszer azonos origóval.................................... 25 5.2.1. Vektorok transzformációja................................... 25 5.2.2. Időderivált átszámítása.................................... 27 5.2.3. Gyorsulások átszámítása kétszeres időderiválttal....................... 29 5.2.4. Kitérő I: A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén. 29 5.2.5. Kitérő II: Gyorsulások átszámítása forgásmátrixszal...................... 31 5.3. Forgás és transzlációs gyorsulás, tehetetlenségi erők......................... 32 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön..................................... 33 2
5.4.1. A Föld forgása......................................... 33 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése.................................. 34 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai..................................... 35 6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 39 6.1. A variációszámítás elemei....................................... 39 6.1.1. Funkcionálok.......................................... 39 6.1.2. A variációszámítás alapfeladata................................ 41 6.1.3. Stacionaritás.......................................... 42 6.1.4. Diszkretizáció, Euler Lagrange-egyenlet............................ 43 6.1.5. A stacionárius funkcionál mint a határok függvénye...................... 45 6.1.6. Stacionaritási feltétel nem rögzített határpontok mellett................... 46 6.1.7. A legrövidebb út a síkon.................................... 47 6.1.8. Funkcionális derivált és az Euler Lagrange-egyenlet diszkretizáció nélkül.......... 50 6.1.9. Speciális esetek........................................ 53 6.1.10. Példák............................................. 55 6.1.11. Értelmezés........................................... 59 6.1.12. Kiterjesztések......................................... 60 6.2. Lagrange-féle mechanika........................................ 68 6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok........................ 69 6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal........................... 72 6.2.3. Holonóm kényszerek és általános koordináták......................... 74 3
6.2.4. Hamilton-elv és mozgásegyenletek általános koordinátákkal.................. 77 6.2.5. A Hamilton-elv mellékfeltételekkel............................... 80 6.2.6. A mozgásegyenlet közvetlen transzformációja általános koordinátákra............ 82 6.2.7. Megmaradási tételek...................................... 86 6.2.8. Példák a Lagrange-féle mechanikára.............................. 89 7. Egydimenziós konzervatív rendszer 96 7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás................................ 96 7.2. A mozgásegyenlet formális megoldása................................. 98 7.3. Mozgás fordulópont közelében..................................... 99 7.4. A mozgásegyenlet megoldása..................................... 102 7.5. Mozgás gödör alján: a harmonikus oszcillátor............................. 104 7.5.1. Mozgásegyenlet........................................ 104 7.5.2. A mozgásegyenlet megoldása................................. 105 7.6. Fázistér I: pályák globális szemléltetése................................ 108 7.6.1. Harmonikus oszcillátor..................................... 108 7.6.2. Általános potenciál....................................... 110 7.7. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra................ 113 7.8. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis........... 115 7.8.1. Perturbált harmonikus potenciál................................ 115 7.8.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció............................ 117 7.8.3. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett.................. 119 4
7.8.4. Dimenzióanalízis: periódusidő tiszta hatvány potenciálban................... 123 7.9. Optimalizált perturbációszámítás................................... 124 7.9.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk..................... 124 7.9.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált............................ 125 7.9.3. A hiba minimalizálása..................................... 126 7.10. Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk................................ 128 7.10.1. Másod-negyedfokú potenciál.................................. 129 7.10.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció................................. 129 7.10.3. Első-harmadfokú potenciál................................... 131 7.10.4. Tangens bifurkáció....................................... 133 7.11. Síkinga................................................. 136 7.11.1. Mozgásegyenlet........................................ 136 7.11.2. Kis rezgések.......................................... 137 7.11.3. Fázistér szerkezete....................................... 137 7.11.4. Időfüggés............................................ 138 7.11.5. Lengések periódusideje..................................... 140 7.12. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel............................... 144 7.12.1. Harmonikus gerjesztés..................................... 145 7.12.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval................... 146 7.12.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel...................... 148 7.12.4. Rezonáns gerjesztés...................................... 151 5
7.13. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása....................... 153 7.13.1. Másod-harmadfokú potenciál................................. 153 7.13.2. Másod-negyedfokú potenciál.................................. 155 7.13.3. Általános perturbáló potenciál és a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel.. 158 8. Csillapított mozgások 161 8.1. Súrlódási erő sűrű közegben...................................... 161 8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus............... 162 8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal....................... 162 8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal........................ 163 8.2.3. Az energia megváltozása.................................... 166 8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor................................... 169 8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω 0 > α)................................. 170 8.3.2. Erős csillapítás (2ω 0 < α)................................... 172 8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω 0 = α).............................. 174 8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor............................. 175 8.4.1. Harmonikus gerjesztés..................................... 175 8.4.2. Általános gerjesztés...................................... 179 9. Síkmozgások 2D 182 9.1. Potenciálmozgás csillapítással..................................... 182 9.2. Lissajous-görbék............................................ 183 6
9.3. Anharmonikus potenciálok....................................... 187 10.Centrális mozgások 187 10.1. Alapok................................................. 187 10.2. Síkbeli mozgás............................................. 188 10.3. Hatvány potenciál........................................... 190 10.4. Kepler-mozgás............................................. 194 10.5. A pályák alakja............................................. 195 10.5.1. A pályák polárkoordinátás egyenlete.............................. 195 10.5.2. Derékszögű koordinátás egyenlet............................... 197 10.6. A pályák fajtái............................................. 199 10.7. Kepler törvényei............................................ 201 10.8. Ellipszispályák időfüggése....................................... 202 10.8.1. Egzaktul............................................ 202 10.8.2. Perturbációszámítással ǫ szerint................................ 203 10.8.3. Bolygók excentricitása..................................... 205 10.8.4. A Runge Lenz-vektor..................................... 205 10.9. Szórásszámítás............................................. 207 10.9.1. A V(r) = αm /r potenciál................................... 207 10.10.Hatáskeresztmetszet.......................................... 209 10.11.Rutherford-szórás........................................... 212 10.12.Fázistér................................................. 213 7
11.Fizikai dimenziók 216 11.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóság..................... 216 11.2. Dimenzióanalízis............................................ 217 12.Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek 219 12.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakor................ 219 12.2. Időeltolás................................................ 220 12.3. Koordinátatranszformációk....................................... 221 12.3.1. Térbeli eltolás......................................... 221 12.3.2. Térbeli forgatás........................................ 222 12.4. Általános szimmetria.......................................... 223 12.5. Összefoglalás............................................. 224 12.6. Kéttestprobléma............................................ 225 13.Kényszerek 227 13.1. Virtuális elmozdulások és a D Alembert-elv.............................. 227 13.1.1. Tömegpont.......................................... 227 13.1.2. Pontrendszer több kényszer hatása alatt........................... 229 13.2. Egyensúly................................................ 230 13.3. Kényszerek osztályozása........................................ 231 13.4. Lagrange-féle elsőfajú egyenletek................................... 232 13.5. Energiatétel kényszerek jelenlétében.................................. 233 8
14.Kényszerek általános koordinátákkal 233 14.1. Holonóm kényszerek.......................................... 233 14.2. Anholonóm kényszerek......................................... 235 14.3. Kényszermozgás görbén és felületen.................................. 238 15.Kis rezgések az egyensúly körül 241 15.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben......................... 241 16.A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus 247 16.1. Legendre-transzformáció egy változóban................................ 247 16.2. Legendre-transzformáció több változóban............................... 248 16.3. Paramétertől való függés........................................ 249 16.4. Hamilton-formalizmus potenciálmozgásokra.............................. 249 16.5. Időbeli változás a pálya mentén.................................... 251 16.6. Ciklikus koordináta........................................... 252 16.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény......................... 252 16.8. Kvadratikus kinetikus energia..................................... 254 16.9. Példák hamiltoni rendszerekre..................................... 255 16.9.1. 1D potenciálmozgás...................................... 255 16.9.2. Mozgás kúpfelületen...................................... 255 16.9.3. Csillapított rezgés Lagrange- és Hamilton-formalizmussal................... 256 16.9.4. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben...................... 257 9
17.Merev testek 260 17.1. Szögsebesség invarianciája....................................... 260 17.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor.................................... 261 17.3. Impulzusmomentum.......................................... 264 17.4. Mozgásegyenletek........................................... 265 17.4.1. Teljes impulzus......................................... 265 17.4.2. Teljes impulzusmomentum................................... 265 17.4.3. Energiamegmaradás...................................... 266 17.5. Lagrange-formalizmus......................................... 266 17.6. Erőmentes pörgettyűk......................................... 268 17.6.1. Gömbi pörgettyű........................................ 268 17.6.2. Rotátor............................................. 269 17.6.3. Szimmetrikus pörgettyű.................................... 269 17.7. Euler-egyenletek: mozgásegyenletek főtengelyrendszerben...................... 270 17.8. Súlyos pörgettyű............................................ 273 17.8.1. Euler-szögek.......................................... 273 17.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei.......................... 276 17.10.Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű.................................. 281 18.Egydimenziós rugalmas kontinuum 283 18.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek - 2D diszkrét modell és a húr mint határeset.......... 283 18.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikában............................... 286 10
18.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései................................ 287 18.3.1. Magasabb dimenziók...................................... 288 18.3.2. Magasabb deriváltak...................................... 288 18.4. A húr kis rezgései harmonikus közelítés............................... 289 18.5. Hullámegyenlet............................................. 290 18.5.1. Haladó megoldás........................................ 291 18.5.2. Szabad vég........................................... 292 18.5.3. Rögzített vég.......................................... 292 18.5.4. Megoldás Fourier-sorral rögzített végek mellett........................ 293 19.Vékony rudak hajlítása 297 19.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet........................ 297 19.2. Két végén feltámasztott előfeszítésmentes (F = 0) rúd hajlása.................... 299 19.3. Befogott rúd szabad végét húzzuk merőlegesen............................ 301 19.4. Hosszirányban összenyomott rúd................................... 302 20.Kétdimenziós kontinuum: membránok 303 20.1. Feszített membránok transzverzális rezgései.............................. 303 21.Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültség tenzora 305 21.1. A deformációtenzor definíciója..................................... 305 21.2. A deformációtenzor értelmezése.................................... 306 11
21.3. Rugalmas energia........................................... 307 21.4. Feszültségtenzor............................................ 309 21.5. Izotróp test mozgásegyenlete..................................... 313 22.Hullámok rugalmas testekben 319 22.1. Longitudinális hullám......................................... 319 22.2. Torziós hullám............................................. 320 22.3. Térbeli hullámegyenlet......................................... 320 22.4. Belső csillapodás............................................ 321 23.Áramló közegek alapfogalmak és mozgásegyenletek 324 23.1. Kontinuitás............................................... 324 23.2. Állapotegyenlet............................................. 325 23.3. Hidrodinamikai derivált........................................ 325 23.4. Feszültségtenzor............................................ 326 23.5. Navier Stokes-egyenlet......................................... 327 23.6. Összefoglalva.............................................. 327 24.Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék 329 24.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus................................... 329 24.2. Összenyomhatatlan.......................................... 329 24.3. Ideális, összenyomhatatlan....................................... 330 12
25.Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban 330 25.1. Stacionáris áramlás (v t = 0) konzervatív erőtérben:......................... 330 25.2. Összenyomhatatlan folyadék...................................... 331 25.3. Nyomási függvény........................................... 332 25.4. Bernoulli-törvény barotróp folyadékban................................ 333 25.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás?........................ 334 26.Örvényesség, cirkuláció 335 26.1. Örvényvektor.............................................. 335 26.2. Örvényvonal, cső és fonal..................................... 336 26.3. Thomson (Kelvin) örvénytétele.................................... 337 27.Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, stacionárius 338 27.1.z-től független síkmetszet...................................... 338 27.2. Komplex függvények.......................................... 339 27.3. Komplex sebesség........................................... 339 27.4. Példák................................................. 340 27.5. Cirkuláció............................................... 342 13
1. Előszó Az Elméleti Fizika kurzus sorozat első tantárgya az Elméleti Mechanika, az ELTE fizikus képzés része több, mint fél évszázada. Míg számos kiváló mechanika tankönyv létezik, az ELTE-n előadott Elméleti Mechanika anyagából eddig nem készült közreadható jegyzet. E hiányt igyekszünk most pótolni. Lelkes és felkészült hallgatók az anyag nagy részét L A TEX-be írták, melynek alapján készült a jelenlegi változat. A 2012. őszi félév diáit tartalmazza, nem olyan részletes, mint egy könyvszerű jegyzet, de törekedtünk arra, hogy önállóan használható legyen. A vizsgaanyag a tartalomjegyzék, ebből arányos terjedelmet választunk egy-egy vizsgázónak. A jegyzetet fejlesztjük, véleményeket, jelzéseket hibákról szívesen vesszük. A gyakorló feladatok nehézségi fokait [1-7] között számoztuk. Forrásaink és ajánlott irodalom: Nagy Károly: Elméleti Mechanika, Tankönyvkiadó 1985, 2002 Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó 1965 Landau-Lifsic: Elméleti Fizika I., Mechanika, Tankönyvkiadó 1974 Landau-Lifsic: Elméleti Fizika VI., Hidrodinamika, Tankönyvkiadó 1980 Landau-Lifsic: Elméleti Fizika VII., Rugalmasságtan, Tankönyvkiadó 1974 R. Feynman: Mai Fizika 1., 2., 7. kötet, Műszaki Kiadó 1968 Tél-Gruiz: Kaotikus Dinamika, 3. fejezet, Nemzeti Tankönyvkiadó 2002 Kecskés Lajos: Egy Ölnyi Végtelen, Nemzeti Tankönyvkiadó 2002 Wikipédia 14
2. Bevezetés 2.1. Nagyságrendek Röviden áttekintjük a távolság és idő nagyságrendjeit. Távolságok (m) Atommag sugara 10 15 (femto) Kvark 10 18 (atto) Fényév (kb. a Naprendszer gravitációs sugara) 10 16 (10 peta) Tejút átmérője 10 21 (zetta) Az Univerzum megfigyelhető átmérője 10 27 (100 G fényév) Ismeretterjesztő könyv: Ph. Morrison: "Powers of Ten". Fordítás: "A tizes hatalma" :? Idők (s) Elemi részecske élettartama 10 24 (jokto) Univerzum életkora 10 17 (100 peta) (14 Gév) Sebességek (m/s) c = 3 10 8 > v 15
2.2. A klasszikus mechanika érvényessége Közepes távolságok 10 6 m < l < 10 16 m Kvantummechanika Általános relativitáselmélet Közepes idők 10 6 s < t < 10 13 s Lassú (nemrelativisztikus) mozgás v < 10 5 m/s Folytonos mozgás ideája: t 0. A limesz absztrakció, a valóságban lim l t nem létezik [ t > 10 8 s] Fizikai mennyiség: Amelyet mérési utasítással definiálhatunk. A mechanika alapmennyiségei: távolság, idő, tömeg. Tapasztalatok összegzése: A tér euklideszi, 3 dimenziós, homogén, izotróp. Az idő 1 dimenziós, homogén, és független a tértől. 16
3. Newton törvényei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia [fizika] matematikai alapelvei) Nem az eredeti alakjukat adjuk meg. 1. ábra: Az első kiadás címlapja (1687) Definíció: Inercia (tehetetlenségi) rendszer az, amelyben minden magára hagyott test megőrzi sebességét. I. törvény: Létezik inerciarendszer. 17
A következő törvény inerciarendszerben érvényes. (A II. törvény inerciarendszerhez kötött, a III-IV. minden rendszerben fennáll.) II. törvény: gimnáziumban tanultuk F = ma = m d2 r dt = 2 m r (3.1) Csak akkor törvény, ha a benne szereplő mennyiségek definiáltak. Az r(t) trajektóriát kimérhetjük, ezért értjük, azonban mit jelent F, m? Newton: "A sebesség, amelyet egy adott erő létre tud hozni adott anyagon, egyenesen arányos az erővel és az idővel, és fordítottan arányos az anyaggal." v F t (3.2) m Hogyan definiáljuk F-et és m-et? Próbatest: az egységnyi tömegű etalon (m = 1) legyen 1l víz. Definíció: Az erő a próbatest gyorsulása F = a p Ennek alapján erőtörvények állapíthatók meg, pl. F(r, v, t), egyszerű esetben F(r), ez a sztatikus erőtér, ld. 2. ábra. Az erőmérést alakváltozásra is visszavezethetjük, ennek révén dinamométer kalibrálható, s más, akár nem sztatikus erőt is mérhetünk. 18
2. ábra: Sztatikus erőtér: adott helyen adott az erő. m m 1 m m 2 m m 3. ábra: Különböző tömegű testek gyorsulásai adott sztatikus erőtérben az 1 és 2 helyen (a jobb láthatóság kedvéért az azonos helyhez tartozó vektorokat elcsúsztatva ábrázoltuk). 19
Különböző testek: Bizonyosodjunk meg dinamométerrel arról, hogy a testekre azonos erők hatnak (pl. azonosan deformált rugók, azonosan feltöltött testek elektrosztatikus térben). A megfigyelések szerint azonos erővel hatva különböző testekre ezek azonos irányú de különböző nagyságú gyorsulást szenvednek, ld. 3. ábra. Az 1,2,... helyen ugyanazon anyagra (tömegpontra) F 1 a 1 = F 2 F 1 a 2 = = m, egy másik anyagi pontra: a 1 = F 2 a 2 = = m, etc. a testekre jellemző állandó. A II. törvény a tapasztalatot összegzi. Definíció: A tehetetlen tömeg= erő / gyorsulás. Az F és m ismeretében a gyorsulást megadó törvény, azaz mozgásegyenlet: F = ma. Ha az F(r,v,t) függvény ismert, akkor másodrendű differenciálegyenletet kapunk pontszerű testek r(t)-jére. Kezdeti feltételek (KF) r(0),v(0): általában szükséges, és elégséges a mozgás egyértelmű meghatározásához. Arisztotelésztől Keplerig: F v. Nem egyezett a tapasztalattal, ezért próbálkozások: F f(v). Ezzel elvi probléma: r(0) elég lenne a mozgás meghatározásához, ezért a ferde hajítás sokféle pályáját sem kapnánk meg. Newton deizmusa: Isten teremt és kezdeti feltételeket ad. Erre miért nem hivatkoznak a kreacionisták? Pedig tudós vallotta, ezért jó példa lehetne a hívő álláspontra, azaz a teremtésre melyet a fizika törvényeinek megfelelő mozgás követ. Azért nem idézik, mert a csillagok és naprendszerek keletkezésének elfogadott elmélete van, még ha a részleteken folyik is vita. N.B. Elvileg semmi sem zárja ki, hogy magasabb rendű differenciálegyenlet írja le a mozgást, a másodrendűt a tapasztalat választja ki. III. törvény Hatás-ellenhatás elve 20
A B 4. ábra: F AB = F BA Megfigyelés: Két kölcsönható test gyorsulásai ellentétes irányúak és nagyságuk fordítottan arányos a tömegeikkel. Erővel testek hatnak más testekre. A II. törvényben F egy kiszemelt testre ható erő, amely testnek a gyorsulását okozza. A III. törvény szerint ha két test hatott kölcsön, akkor megjelenik a másik testre ható F erő. IV. törvény: Ugyanazon testre ható erők vektoriálisan összeadódnak. Kettőnél több test páronkénti kölcsönhatásakor az egy testre ható erőket vektoriálisan összeadva kapjuk az erre ható teljes F erőt, mely a gyorsulását okozza. Ennek nem egy ellenereje van, hanem a III. törvény páronként érvényes, azaz a teljes F-et összetevő erők ellenerői mintegy szét vannak osztva a többi test között. Kiegészítésképpen idézzük fel, hogyan értjük a fizikai vektor fogalmát: annak komponensei valamely forgatáskor adott módon transzformálódnak. Két dimenzióban ϕ szöggel való forgatáskor x = xcosϕ+ysinϕ, y = xsinϕ+ycosϕ. (3.3) 21
y y r K x ϕ K x 5. ábra: Koordinátarendszer forgatása két dimenzióban, x,y a K, x,y a K -ben mért koordináták. A visszatranszformáció x = x cosϕ y sinϕ, y = x sinϕ+y cosϕ. (3.4) 4. Galilei-féle relativitás A K inerciarendszer, a K hozzá képest egyenletes v 0 sebességgel mozog: r 0 (t) = v 0 t (4.1) 22
K' K 6. ábra: A mozgást különböző koordinátarendszerekből írhatjuk le. Itt K egyenletes relatív sebességgel mozog K-hoz képest, nem fordul el. Mivel a gyorsulás a második derivált, ezért a második Newton-törvény alakja a két rendszerben azonos, tehát K is inerciarendszer. Megjegyzés: F nem függ a vonatkoztatási rendszertől, pl. alakváltozás méri. 23
Galilei-transzformáció r = r v 0 t, t = t, a = d2 r dt 2 = d dt ( r v 0 ) = r = a. (4.2) Mivel m a testre jellemző: Tehát ha K inerciarendszer, akkor K is az. F = ma = ma = F. (4.3) 5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása Ugyanazon fizikai hely K-ban r, K -ben r. 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer A K gyorsul, de nem forog K-hoz képest r = r 0 +r a = a 0 +a. (5.1) 24
5.2. Forgó rendszer azonos origóval 5.2.1. Vektorok transzformációja A K és K egymáshoz képest el van forgatva míg origóik egybeesnek, s ugyanazon hely mért komponenseiből áll az r ill. az r. Ezeket lineáris transzformáció köti össze r = Or, (5.2) ahol O valamely 3 3-as mátrix. Más szóval, az r és az r ugyanazon "fizikai" vektor K ill. K -beli reprezentációja, ld. 5. ábra. Megjegyzés: Ugyanezen O forgatja a K -t. A jelölés most kissé elbonyolódik, figyeljünk arra, hogy a vessző csupaszon vagy zárójelben áll. Vezessük be az r mellett az r [ ] vektort, e komponenseket a K-ban értjük. Rögzítsük r-et K-hoz és r [ ] -t a K -höz úgy, hogy az r [ ] a K -ben ugyanannak látszódjon, mint r a K-ban. Az r [ ] -nak a K -beli komponensei a konvenciónk szerint r [ ], a feltételünk tehát r = r [ ], A (5.2) jelöléssel az r [ ] vektor K és K -beli komponenseinek transzformációja r [ ] = Or [ ]. (5.3) Innen kapjuk r [ ] = Or. (5.4) 25
y K y ω x K x z z 7. ábra: K forog K-hoz képest az ω pillanatnyi szögsebesség vektor körül. Ez (5.2) megfordítottja, azaz a K -ben rögzített vektort ugyanazon O-val való forgatás állítja elő, amely adott vektor K -beli komponenseit K-belivé transzformálja. (Megjegyzés vége.) Feltétel a (5.2)-ban bevezetett O-ra: a koordinátarendszer elforgatása a hosszt és szögeket, azaz a skalárszorzatot invariánsan hagyja r 1 r 2 = Or 1 Or 2 = r 1 O T Or 2 = r 1 r 2 O T = O 1 ortogonális mátrix. (5.5) 26
5.2.2. Időderivált átszámítása Ha a forgatás időfüggő, akkor a sebesség K-beli komponensekkel írva (zárójeles kifejezés időderiváltját a jobb zárójel mellé-fölé tett pont jelöli) v = r = (Or ) = Or + Or = v ( ) + OO T r. (5.6) Az időderivált és az időfüggő forgatás természetesen nem felcserélhető. Az (5.6) egyenletben új jelölést vezettünk be: v ( ) = Or. (5.7) Ez (5.2) szerint a K -ben végzett időderivált, azaz az r sebesség a K-beli komponensekkel felírva. Szokásos jelölésünkkel a v ( ) K -beli komponenseket tartalmazó alakja r = v ( ). (Tankönyvekben előfordul (5.7)-ra a v jelölés, de az utóbbi nálunk a v vektor K -beli komponenseit jelenti.) Vizsgáljuk az (5.6) második tagját. Az ortogonalitás feltétele ahol ½ az egységmátrix, amelyből az idő szerinti deriválással kapjuk OO T = ½, (5.8) ( OO T ) = 0 OO T +O O T = OO T + ( OO T) T = 0. (5.9) 27
Felhasználtuk, hogy mátrixokra is alkalmazható a deriválás szorzatszabálya, valamint a deriválás és a transzponálás felcserélhető. Vezessük be az Ω = OO T (5.10) mátrixot, melyre (5.9) alapján nyerjük Ω = Ω T, (5.11) azaz az Ω mátrix antiszimmetrikus, részletesen Ω = 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1. (5.12) ω 2 ω 1 0 Visszatérve (5.6)-höz kapjuk v = v ( ) +Ωr = v ( ) +ω r (v 1 = v ( ) 1 +ω 2 r 3 ω 3 r 2, etc.) (5.13) A fenti egyenlet általános A vektorra is érvényes A = O A +ω A, (5.14) ugyanez magától értetődő jelöléssel V A = V ( ) A +ω A. (5.15) Mindkét oldalon K-ban mértük a koordinátákat. Ha A együtt forog K -vel, akkor nyilván da dt = ω A. Tankönyvekben elterjedt jelölés a V ( ) A d -re a A, nem igazán bevilágító. dt 28
5.2.3. Gyorsulások átszámítása kétszeres időderiválttal Először vizsgáljuk a szöggyorsulás vektorát β = ω = Oω +ω ω = Oω = β ( ), (5.16) tehát a K-beli és a K -beli szöggyorsulás ugyanazon fizikai vektor. A különböző koordinátarendszerekhez viszonyított gyorsulások összefüggéséhez az időderivált (5.15) transzformációját kétszer alkalmazzuk v = v ( ) +ω r, a = v = a ( ) +ω v ( ) + ω r +ω (v ( ) +ω r) = a ( ) +2ω v ( ) +β r +ω (ω r), (5.17) ahol felhasználtuk a szöggyorsulás (5.16) invarianciáját, és a ( ) -vel a forgó koordinátarendszerben észlelt gyorsulás K-beli előállítását jelöltük. Az a ( ) mellett az (5.17) jobboldalán tehetetlenségi gyorsulás tagok jelennek meg. 5.2.4. Kitérő I: A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén Az alábbiakban megvizsgáljuk a forgásmátrixot állandó szögsebesség mellett. Az (5.10) definíció szerint a forgásmátrix a következő differenciálegyenletnek tesz eleget O = ΩO. (5.18) 29
Ha Ω időben állandó, akkor az egyenlet megoldása O(t) = e Ωt O 0 = n=0 1 n! tn Ω n O 0, (5.19) erről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. Itt O 0 a KF, ha t = 0-ban a két koordinátarendszer egybeesik, akkor O 0 = ½. Vegyük észre, hogy a KF mátrixszal jobbról kell szorozni! Kétdimenziós eset: Ellenőrizzük, hogy az ismert O-t valóban megkapjuk-e exponenciális alakban. Ekkor ( ) ( ) 0 ω 0 1 Ω = = ωi,ahol I =. (5.20) ω 0 1 0 Az I hatványai: ½ ahol továbbra is az egységmátrix. Innen e Ωt 1 = n! tn ω n I n ½ = n=0 I 2 = ½ I 2k = ( 1) k ½, I 2k+1 = ( 1) k I, (5.21) k=0 ( 1) k (ωt) 2k +I 2k! = ½cosωt+Isinωt = ( 1) k (ωt) 2k+1 = (2k +1)! k=0 ) = O. ( cosωt sinωt sinωt cosωt Ez valóban az ismert forgásmátrix, melyet az O 0 = ½ KF mellett állítottunk elő. 30 (5.22)
5.1. Gyakorló feladat. Adjuk meg O-t három dimenzióban a z tengely körüli forgásra ω = ( 0,0,ω )! [1] 5.2.5. Kitérő II: Gyorsulások átszámítása forgásmátrixszal Az illusztráció kedvéért bemutatunk a forgásmátrixon közvetlenül végzett számítást, amely szintén a gyorsulás (5.17) transzformációjához vezet. A K rendszerbeli gyorsulás a = r = d2 = d dt 2Or dt (O r + Or ) = }{{} Or + }{{} 2Or + a ( ) 2Ωv ( ) }{{} Or, (5.23) OO T r ahol a K -beli gyorsulás K-beli reprezentációját a ( ) -vel jelöltük. Az (5.10) definíciót differenciálva nyerjük Ω = OO T + O O T, (5.24) melyből az ½ egységmátrix = O T O alakjának beillesztésével és azω(5.10) definíciójának majd antiszimmetriájának felhasználásával adódik OO T = Ω O O T = Ω OO T OO T = Ω ΩΩ T = Ω+Ω 2. (5.25) Ezt az (5.23)-ba helyettesítve a gyorsulás átszámításának képletéhez jutunk a = a ( ) +2Ωv ( ) + Ωr +Ω 2 r, (5.26) 31
melyet az Ωv ( ) = ω v ( ), azonosságok alapján vektor alakban írhatunk Ωr = β r, Ω 2 r = ω (ω r) (5.27) a = a ( ) +2ω v ( ) +β r +ω (ω r). (5.28) Ez a korábban kapott (5.17) eredménnyel azonos. 5.3. Forgás és transzlációs gyorsulás, tehetetlenségi erők Ha a K transzlációsan is gyorsul a 0 -lal K-hoz képest, akkor (5.28) kiegészül a = a ( ) +a 0 +2ω v ( ) +β r +ω (ω r). (5.29) Elnevezések: A centrifugális tagot kifejthetjük a 0 : transzlációs β r : Euler- 2ω v ( ) : Coriolisω (ω r) : centrifugális gyorsulás (5.30) Ω 2 r = ω (ω r) = ω(ω r) ω 2 r = (ω ω ω 2 ½)r, (5.31) 32
ahol a diadikus szorzat jelölése. A jobboldal ω 2 (r-nek az ω-ra merőleges vetülete), nagysága ω 2 ρ, ahol ρ a forgástengelytől mért távolság, a gimnáziumból ismert képlet. Az (5.29) alapján megadhatjuk a II. Newton-törvényt gyorsuló koordinátarendszerre. Felhasználva, hogy F = ma, a K -ben észlelt (tömeg gyorsulás)-ra kapjuk ma ( ) = F ma 0 2m(ω v ( ) ) m(β r) mω (ω r). (5.32) Eszerint az F-hez a tehetetlenségi erők adódnak. Emlékeztetünk arra, hogy minden tag komponenseit K-ban értettük. A II. Newton-törvény tehát gyorsuló koordinátarendszerben úgy egészítendő ki, hogy a valóságos erőkhöz a fenti tehetetlenségi erőket hozzáadjuk. Megjegyzés: Az F erő "fizikai" vektor, átszámítása K és K között a komponensek ortogonális transzformációjával történik. 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön 5.4.1. A Föld forgása A földi tehetetlenségi erők becsléséhez a szögsebesség és szöggyorsulás numerikus értékeire van szükségünk. A Föld szögsebessége ω F = 2π 24ó = 2π 86400s = 7,27 10 5 s 1. (5.33) 33
8. ábra: É D irányban mozgó tömegpont: milyen irányú a Coriolis gyorsulás? Elsősorban az árapály jelenség hatására a Föld forgása lassul, a szöggyorsulás átlagos értéke β F = 4,8 10 22 s 2 ω F (t) ω F (0)+β F t. (5.34) Százmillió évenként kb. 40 perccel hosszabbodik a nap, a hosszabbodás mértéke most 15 25µs/év. Jelentősek az ingadozások, például az eljegesedéskori jégsapkák leolvadását követően a kéreg emelkedett. Ezért az elmúlt tízezer évben a Föld lapultsága csökkent, ez a forgást gyorsító hatás. 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése A keringés hatása a forgáshoz képest elhanyagolható. Az egyenlítőn a legnagyobb a centrifugális gyorsulás. Nehézségi gyorsulás: 10m/s 2. 34
Centrifugális: ω 2 F R F sinϑ 0,034sinϑm/s 2, ahol ϑ-t a 8. ábra mutatja és R F = 6371km a Föld átlagos sugara. A Coriolis-gyorsulás É D irányú mozgás esetén (v = 10m/s-t véve): 2vω F cosϑ 14,5 10 4 cosϑm/s 2. Euler-gyorsulás: β F R F sinϑ 10 15 sinϑm/s 2. A Coriolis-gyorsulás okozta relatív hiba a gravitációs gyorsuláshoz képest: 15 10 4 /10 0,15 A Föld inerciarendszer 3 jegy pontosságig. Eötvös-effektus: NY K irányú mozgás hatására változik a súly. Értelmezések: (1) felszínre merőleges Corioliserő komponens; (2) a test szögsebessége módosult inerciarendszerből nézve ω F -hez képest. 5.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy forgó gömb felszínén a Coriolis-gyorsulás helyi vízszintes síkbeli vetületének nagysága mindig 2vω F cosϑ a sebesség irányától függetlenül! [3] 5.3. Gyakorló feladat. Keringési gyorsulások: Becsüljük meg azt a centrifugális tehetetlenségi gyorsulást, amely (a) a Földnek a Nap körüli, (b) a Földnek a Föld-Hold rendszer közös tömegközéppontja körüli, (c) a Napnak a Galaktika centruma körüli keringéséből származik! Miképpen módosul a (5.32) földi mozgásegyenlet, ha az a-b hatásokat figyelembe vesszük (árapály erők)? A szükséges adatoknak nézzenek utána.1 [5] 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai É D mozgás az É/D-i féltekén jobbra/balra tér el. Ez minden irányú mozgásra is érvényes! ( Vonat kerekei a jobb/bal oldalon erősebben kopnak.) A kádban lefolyó víz merre örvénylik? Északi féltekén balra? A Simpson család egyik epizódjában is előkerül: Ausztráliában fordítva? Ez legenda, a Coriolis-hatás csekély, más perturbáció határozza meg az örvénylés 35
irányát! 9. ábra: Különböző féltekéken mozgó test pályájának eltérülése; ciklonban és anticiklonban a levegő forgásiránya felülről nézve melyik féltekén? Ciklon: felfelé áramlás beszívja a felszíni levegőt, alacsony nyomású, páradús. Anticiklon: magas nyomású, száraz, ezért a felhőképen alig látszik. Különböző féltekéken ellenkező a forgásirány, melyet a Coriolis-eltérítés állít be. Passzát szelek (trade winds) 36
~30 Eq. 10. ábra: (a) Az egyenlítői felmelegedés hatására kialakuló feláramlás és a magasabb szélességeken zajló leáramlás következtében létrejövő légkörzés átlagos szerkezete a forgástengelyt tartalmazó sík metszetében. (A jelölt szögek földrajzi szélességek.) (b) A passzát és nyugati szelek iránya a Föld felületén a délre ill. északra áramló légtömegekre ható Coriolis-erő következménye. 37
11. ábra: Felhőképek 2012.09.18-ike 06:10 óra és 19-ike 00:10 óra között. Nagy ciklon látható a képek bal fölső részén és egy kisebb az első négy kép bal alsó felén. A jobb oldalon a száraz területek anticiklonálisak. 38
6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe A variációszámítás matematikai módszerének segítségével a XVIII. században a newtoni mechanika olyan átfogalmazása vált lehetővé, amely számos problémát könnyebben megfogalmazhatóvá és megoldhatóbbá tett. A variációs elvek fizikai tartalma ugyanaz, mint a Newton-egyenleteké, technikailag azonban gyakran kezelhetőbb alakúak. A XX. században a klasszikus mechanika variációs megfogalmazása a kvantummechanika leírásában kulcsszerepet játszott. A számítógépek elterjedésével külön jelentőségre tesz szert klasszikus mechanikai problémák variációs optimumfeladatként való megfogalmazása, amely a mozgásegyenletek hatékonyabb numerikus megoldását teheti lehetővé. Az alábbiakban először a variációszámítás módszerét vezetjük be, majd rátérünk mechanikai alkalmazására. 6.1. A variációszámítás elemei 6.1.1. Funkcionálok A legegyszerűbb funkcionál valós függvényekhez rendel valós számokat F : függvény szám, jelölése: s = F[y(x)]. (6.1) A funkcionál függvények terén értelmezett függvény. 39
Funkcionálokat korábban is ismertünk, ilyenek a határozott integrálok, például F[y(x)] = b y(x)dx, vagy F[y(x)] = b f(y(x),x)dx. (6.2) a a Az utóbbi esetben a kétváltozós f függvény megadása definiálja az F funkcionált. Általánosabb esetben az f függhet az y deriváltjaitól is, pl. F[y(x)] = b a f(y(x),y (x),y (x),x)dx. (6.3) A különféle deriváltak fellépése nem változtat azon, hogy a teljes kifejezés az y(x) függvény menetétől függ, ezért F argumentumába változatlanul y(x) írandó. A funkcionálban többszörös integrálok is szerepelhetnek, és esetleg nem is lép fel benne integrál. Utolsó példánk a Dirac-delta funkcionál amelyet ha integrálként értelmezünk, akkor használjuk a Dirac-delta függvényt F D [y(x)] = F D [y(x)] = y(0), (6.4) b a δ(x)y(x)dx, a < 0 < b. (6.5) 40
6.1.2. A variációszámítás alapfeladata Történetileg a variációszámítás problémáját először a következőképpen fogalmazták meg. Tekintsük az alábbi funkcionált x1 F[y(x)] = f (y(x),y (x),x) dx, (6.6) x 0 melyet egy adott f(u, v, w) háromváltozós függvény definiál. Ezután azt kérdezzük, milyen y(x) mellett van F-nek szélsőértéke (extrémuma), amennyiben a végpontokban az y(x 0 ) = y 0 és y(x 1 ) = y 1 értékeket rögzítjük. Itt nem vizsgáljuk, vajon az extrémum maximum-e vagy minimum, pusztán a szélsőérték szükséges feltételét keressük. A fenti funkcionál természetesen függ az integrálási tartománytól is, ezt nem szoktuk külön jelölni. 6.1.1. Példa. Görbe minimális hossza, mint variációs feladat. Természetesen tudjuk, hogy egyenes, de jól illusztrálja a variációszámítást. Az elemi hossz a 12. ábráról leolvashatóan dl = dx cosϕ = 1+ tg 2 ϕdx = 1+y 2 (x)dx, (6.7) innen adott P 0 = (x 0,y 0 ) és P 1 = (x 1,y 1 ) kezdő- és végpontok között a hossz az y(x) függvény funkcionálja F[y(x)] L[y(x)] = P1 P 0 dl = x1 x 0 1+y 2 (x)dx. (6.8) ϕ 12. ábra: A dl infinitezimális hossz. 41
Keressük azt az y(x) függvényt, amely minimalizálja a hosszt. A görbe végpontjainak rögzítése a megoldást egyértelművé teszi. 6.1.3. Stacionaritás Miként azt jól tudjuk, egy függvény deriváltja a megváltozás lineáris tagjának együtthatója f(x 0 +δx) = f(x 0 )+δf(x 0 ) f(x 0 )+f (x 0 )δx. (6.9) Ha a függvénynekx 0 lokális minimuma vagy maximuma, azaz extrémuma, akkor a δx eltérésben lineáris tag eltűnik, f (x 0 ) = 0. (Ez csak "belső" pontra érvényes, a függvény az értelmezési tartomány határán is felvehet szélsőértéket a derivált eltűnése nélkül.) A derivált eltűnéséből nem következik, hogy ott lokális extrémum található, a pont lehet inflexió is. Általában nevezhetjük a zérus deriváltú helyet stacionárius pontnak, ez arra utal, hogy a függvényérték eltérése a pont kis környezetében lineáris rendnél kisebb. Hasonlóan, valamely többváltozós f(x 1,...,x n ) függvény stacionárius pontjának nevezhetjük azt, amelyben a függvény minden argumetuma szerinti parciális deriváltak eltűnnek, f / x j = 0, j = 1,...,n. Lokális minimum és maximum ilyen, emellett nyeregpontok és inflexiók is lehetnek stacionáriusak. A variációszámítás előző pontbeli alapfeladatát általánosan is megfogalmazhatjuk, éspedig azt kérdezhetjük, milyen y(x) mellett lesz F[y(x)] stacionárius, azaz mely y(x) függvény körüli kis változásokra nem változik első rendben. A lokális extrémumok a stacionaritás speciális esetei. 42
6.1.4. Diszkretizáció, Euler Lagrange-egyenlet A 6.1.2-beli problémát diszkretizációval visszavezethetjük az ismert parciális deriválásra, majd folytonos határátmenettel kapjuk az eredeti, funkcionálokra vonatkozó probléma megoldását. Diszkretizáljuk az y(x) függvényt olymódon, hogy az x tengelyen bevezetjük az x (n) = x 0 +n x osztópontokat, melyek valamely kicsiny x távolságra vannak egymástól (a végpont x 1 = x 0 +N x). A keresett y(x) függvény értékei y (n) = y(x (n) ), a határokon y 0 = y (0) és y 1 = y (N). Ekkor (6.6) közelítőleg F [ N 1 ] y (0),y (1),...,y (N) ;x 0,x 1 = F[y(x);x 0,x 1 ] = n=0 x1 f (y (n), y(n+1) y (n),x ) x (n) x x 0 f (y(x),y (x),x) dx. (6.10) Vegyük észre, hogy az x 1 végpont nem szerepel a szumma utolsó, n = N 1 tagjában sem, mégis függ tőle F, hiszen adott x 0 és N esetén x 1 állítja be a x értékét. Itt jelöltük az F funkcionál függését a végpontoktól is. A stacionaritási feltétel minden n = 1,...,N 1 belső függvényértékre 0 = F[...] ( f = y (n) y 1 f n x y + 1 f n x y ) x, (6.11) n 1 ahol az y és y szerinti deriváltak argumentumait jelző n alsó index azt jelenti, hogy a (6.1.4) szumma n indexű tagjának argumentumait helyettesítjük be a deriváltakba. 43
A felbontás finomításával nyerjük az Euler Lagrange-egyenletet f y d f f ( ) f dx y y = 0. (6.12) y Ha tehát adott f esetén az y(x) megoldja az Euler Lagrange-egyenletet, akkor rá nézve az F[y(x)] funkcionál stacionárius, másszóval az y(x) stacionárius függvénye az F[y(x)]-nak. A fenti Euler Lagrange-egyenlet általában tartalmazza y (x)-et, ezért másodrendű differenciálegyenlet a stacionárius y(x)-re, melyet adott végpontokbeli y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1 (6.13) értékek mellett kell megoldanunk. Ezek határfeltételek, helyettük a differenciálegyenletnél szokásos KF-ek, például az x 0 pontban y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = v 0 is egyértelművé tehetik a megoldást. Megjegyzés: Az alapfeladat csak azt követeli meg, hogy y(x) legyen egyszer differenciálható, az Euler Lagrangeegyenlet megoldása azonban kétszeresen az. Ez nem ellentmondás, az F[y(x)] funkcionál stacionárius helye simább, mint egy általános argumentum. 6.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, ha a (6.1.4)-beli szummát szebb, szimmetrikus formulával definiáljuk, azaz N 1 ( ) y (n+1) +y (n) F [...] = f, y(n+1) y (n), x(n+1) +x (n) x, (6.14) 2 x 2 n=0 a folytonos határátmenetben akkor is a (6.32) feltétel adódik. [3] 44
6.1.5. A stacionárius funkcionál mint a határok függvénye Ha a szóban forgó (6.6) funkcionálba visszahelyettesítjük a (6.32) olyan y(x) megoldását, mely a végpontokban teljesíti a y(x 0 ) = y 0 ésy(x 1 ) = y 1 feltételeket, akkor a funkcionál stacionárius értékét mint a végpontok függvényét kapjuk (tömör jelöléssel utalunk arra, hogy F nem funkcionál, hanem függvény) F(...) = F(y 0,y 1 ;x 0,x 1 ) (6.15) Hasznos összefüggéseket állíthatunk fel ennek a határpontok szerinti deriváltjaira. A (6.1.4) kifejezésnek az y 1 = y (N) szerinti differenciálása adja, melyből a felbontás finomításával nyerjük F[...] = 1 f y (N) x y x F(...) = f N 1 y 1 y. (6.16) x1 A jobboldali eredménybe természetesen az y(x) megoldás-függvény helyettesítendő. Ha az x-beli tartomány x 1 végpontját egy kicsiny x hosszal megnöveljük, akkor a stacionárius funkcionál értéke (6.1.4) egy új, n = N indexű taggal növekszik F = f (y (N), y(n+1) y (N),x ) x (N) F = f x1 x (6.17) x E növekményt kapjuk vissza vezető rendben, ha (6.15) differenciálját képezzük a stacionárius y(x) megoldás mentén, 45
majd felhasználjuk a (6.16) eredményt F F(...) y 1 Ezt összevetve a (6.17) kifejezéssel nyerjük ( y 1 + F(...) f x x 1 F(...) x 1 = y y ( f f y y ) ) + F(...) x. (6.18) x1 x 1 x 1 (6.19) 6.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy F(...)-nek az y 0 és x 0 kezdőértékek szerinti deriváltjait ellentett előjelű formulák adják [3] F(...) = f ( F(...) y 0 y, = f + f y ). (6.20) x0 x 0 y x 0 6.1.6. Stacionaritási feltétel nem rögzített határpontok mellett A fenti relációk megengedik kiterjeszteni a variációs problémát olyan esetekre is, melyekben valamely végpont nincs rögzítve. Ilyenkor az F(y 0,y 1 ;x 0,x 1 ) függvényt még a szabad argumentuma szerint is stacionariussá kell tennünk. 46
Ha például az x 0,x 1 és y 0 adott, de megengedjük, hogy az y 1 végpont tetszőleges legyen, akkor a végpont rögzítése helyett a stacionaritás feltételét f y = 0 (6.21) x1 alakban a végpontra is kell alkalmaznunk. Másik példánkban csak az x 1 szabad, midőn x 0,y 0,y 1 rögzített. Ekkor a stacionaritás a ( f y f ) = 0 (6.22) y x 1 feltételt követeli meg. Az a kérdés, hogy az F(y 0,y 1 ;x 0,x 1 ) argumentumai közül hányat ill. melyeket vehetjük szabadnak úgy, hogy az eredeti variációs probléma értelmes maradjon, fontos és érdekes, de itt nem vizsgáljuk. 6.1.7. A legrövidebb út a síkon Természetesen tudjuk a választ, egyenes szakasz, mindazonáltal a feladat jó példa arra, hogy a variációszámítás módszerét tömören illusztráljuk. (a) Rögzített végpontok között 47
Az y(x) görbe menjen át a P 0 = (x 0,y 0 ) és P 1 = (x 1,y 1 ) rögzített végpontokon. Ekkor a minimalizálandó funkcionált (6.8) adja F[y(x)] L[y(x)] = P1 P 0 dl = x1 x 0 1+y 2 (x)dx Mivel az f nem függ expliciten az y-tól, ezért a (6.12) Euler Lagrange-egyenlet szerint f y = x1 x 0 f(y(x),y (x),x)dx (6.23) y 1+y 2 = áll. y = áll., (6.24) tehát a vonal egyenes, y(x) = αx+β. A határpontokhoz való illesztéssel kapjuk a feladat megoldását. 6.3. Gyakorló feladat. Végezzük el a határpontokhoz való illesztést, majd számítsuk ki a minimális hosszt (melyre természetesen az L(y 0,y 1 ;x 0,x 1 ) = (x 1 x 0 ) 2 +(y 1 y 0 ) 2 formulát kell kapnunk). [2] (b) Ha a függvény végpontja nem rögzített: szabad y 1 Ekkor a P 1 pont egy, az y tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P 0 fix. Minimalizálnunk kell az y 1 szerint is, tehát (6.16) alapján kapjuk L(...) y 1 = f y y = = 0 y (x 1 ) = 0. (6.25) x1 1+y 2 x1 48
Mivel y (x) állandó, ezért a megoldásgörbe az x tengellyel párhuzamos szakasz, éppen az, amelyet egy iskolás is megmondott volna. 6.4. Gyakorló feladat. Az előző gyakorló feladatban kérdezettl(y 0,y 1 ;x 0,x 1 ) deriváltjay 1 szerint valóban f / y x1? [1] 6.5. Gyakorló feladat. Legyen mindkét y 0,y 1 érték szabad. Ekkor mi a stacionaritás feltétele, s teljesíthető-e? [2] (c) Ha az integrálási tartomány végpontja nem rögzített: szabad x 1 Ekkor a P 1 pont egy, az x tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P 0 fix. Most minimalizálnunk kell az x 1 szerint, tehát (6.19) alapján kapjuk ( L(...) = f f y ) = x 1 y x 1 ( 1+y 2 y 2 1+y 2) x1 = 1 = 0 y (x 1 ) =. (6.26) 1+y 2 x1 Tehát a minimális úthossz az y tengellyel párhuzamos szakasz, miként azt előre ki is találhattuk. 6.6. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy az (a) alatti gyakorló feladatban expliciten felírtl(y 0,y 1 ;x 0,x 1 ) deriváltja x 1 szerint valóban az (6.19) szerint (6.26)-be írt kifejezés? [2] Megjegyzés Ezen az egyszerű példán könnyen átláthatjuk a teljesen szabad P 1 végpont esetét, éspedig a legrövidebb, zérus hosszat akkor kapjuk, amikor P 1 = P 0, azaz a határpontok egybeesnek. Ha azonban a (b) és (c) 49
feltételeket szemügyre vesszük, azonnal kitűnik, hogy egyszerre nem állhatnak fenn. Valóban, a határokra vonatkozó stacionaritási feltételek az L = 0 körül nem is teljesülhetnek, ugyanis a 6.3-ban szereplő formula nem analitikus P 1 = P 0 körül. Az L = 0 a globális minimum, de nem stacionárius, a koordináták kis kitéréseire nem másod-, hanem elsőrendűen kicsiny a növekménye. Mindezzel a szabad végpontokra formálisan alkalmazott stacionaritási feltételek buktatóira kívántuk felhívni a figyelmet. 6.1.8. Funkcionális derivált és az Euler Lagrange-egyenlet diszkretizáció nélkül A (6.6) kifejezéssel bevezetett F[y(x)] funkcionál stacionárius y(x) argumentum függvényét keressük: változtatjuk (variáljuk) az y(x)-et, s vizsgáljuk, mikor lesz az F[y(x)] funkcionál megváltozása vezető rendben zérus. Számítsuk ki az F funkcionál δf megváltozását, ha az argumentum függvényt módosítjuk ekképpen y(x) y(x)+δy(x). (6.27) A δy(x)-t a függvény variációjának nevezzük, melyre az alapfeladat keretében az alábbi feltételeket rójuk ki: y(x)-től függetlenül választjuk, legyen kicsi a variációban első rendig fejtünk sorba, δy(x 0 ) = δy(x 1 ) = 0 a végpontok rögzítettek, ott a variáció zérus. 50
A módosított funkcionál a (6.6) definíció alapján a következő F[y(x)+δy(x)] = F[y(x)]+δF[y(x)] = F[y(x)]+ x 1 x 0 [ ] f f δy + dx+..., (6.28) y y δy ahol csak a variációban lineáris tagokat tartottuk meg. (Az y és δy függvények x argumentumát gyakran nem írjuk ki.) A δf megváltozásra parciális integrálással nyerjük x 1 [ ( ) ] f f δf[y(x)] = y δydx+ f x 1 y y δy. (6.29) x 0 x 0 Elnevezés: funkcionál(is) vagy variációs derivált, amely az integrandusban δy-t szorozza x 1 δf f x 1 δf = δydx+ δy y δy, (6.30) x 0 x 0 tehát δf δy = f ( ) f y. (6.31) y Megjegyzés: A funkcionálderiváltat a közönséges derivált analógiájára vezettük be. Mindazonáltal a vizsgált funkcionál (6.29) megváltozásában δy(x) általános belső x pontban integrál alatt szerepel, ezért célszerű a funkcionálderiváltat az integrál alatt a δy(x)-et szorzó függvényként definiálni. 51
A stacionaritás feltétele (6.30) eltűnése. Mivel az integrandusban a δy(x) függvény belső pontjait a határoktól függetlenül variáljuk, azért a stacionaritás megköveteli külön az integrál és külön a határtagok eltűnését. Az első feltételből δf δy = f ( ) f y = 0, (6.32) y ez éppen (6.12) Euler Lagrange-egyenlet. A variáció alapfeladata szerint határokon a függvény δy variációja eltűnik, ez esetben (6.30) jobboldalán a határtagok is zérusak, így lineáris rendben a funkcionál δf variációja zérus. A stacionaritás feltételének kiterjesztését nem rögzített határpontok esetére vizsgáltuk a 6.1.6 részben. Az egyik eredmény a fentiekből azonnal leolvasható, éspedig, ha az y(x) értékét valamely x j (j = 0 vagy j = 1) végpontban nem rögzítjük, akkor (6.31) mellett (6.30) megfelelő határtagját tetszőleges δy j mellett is zérussá kell tennünk, amelyhez a f y = 0 (6.33) xj feltételt szükséges kirónunk. Ez j = 1 mellett azonos a (6.21) előírással. Azt, hogy a stacionárius y(x) vajon extrémum-e, s ha igen, maximum vagy minimum, globálisan vagy csak lokálisan, általában nem fogjuk vizsgálni. A kérdés megfordítottja is érdekes, éspedig vajon egy extrémum stacionárius-e, melyre ellenpéldát a végpont rögzítése nélküli minimális hossz problémájában láttunk. 52
6.1.9. Speciális esetek 1. f(y,y,x) = f(y,x). Ekkor az Euler Lagrange-egyenlet alakja δf δy = f y nem differenciálegyenlet, hanem implicit egyenlet y(x)-re. = 0, (6.34) 2. f(y,y,x) = f(y,x). Az Euler Lagrange-egyenlet ( ) δf f δy = = 0 y f = áll. y (6.35) Ez elsőrendű differenciálegyenlet y(x)-re. 3. f(y,y,x) = f(y,y ). Ekkor a stacionaritás feltétele elsőrendű differenciálegyenletként állítható elő. Tekintsük ugyanis az y(x) megoldás mentén az f-et mint x függvényét, melynek deriváltja [f(y(x),y (x))] = f y y + f ( ) f = y + f ( ) f = y y y y y y y. (6.36) A második egyenlőségben felhasználtuk a (6.12) egyenletet. Mindkét szélső formula teljes derivált x szerint, ezért a különbségük integrálja, az ún. Beltrami-függvény x-től nem függ, azaz B := f y y f = áll. (6.37) 53