Analízis deníciók és tételek gy jteménye

Analízis deníciók és tételek gy jteménye Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ez a jegyzet az Analízis el adásokon a két félév alatt elhangzott legfontosabb deníciókat és tételeket tartalmazza, vagyis nem minden elhangzott deníciót és tételt. Esetenként olyan fogalmakat is felhasználunk, melyek nincsenek benne ebben a jegyzetben. Az egymáshoz nagyon hasonló deníciók esetén (például alsó-fels korlát, monoton csökkenés-növekedés) általában csak az egyiket mondjuk ki. A jegyzetben lehetnek hibák és elgépelések, de erre nem hivatkozhatsz a vizsgán! Ha hibát találsz a dokumentumban, vagy új deníciókattételeket javasolnál a jegyzethez hozzávenni, kérlek, küldj egy üzenetet a kiss.daniel@nik.uni-obuda.hu címre. Utolsó módosítás: 2015. január 2. 13:47 1. Valós számok, nevezetes egyenl tlenségek Deníció. Jelölje R a valós számok halmazát. Ekkor R egy teljes rendezett test, azaz értelmezett rajta egy összeadás nev m velet, mely asszociatív, kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje (additív inverz) értelmezett rajta egy szorzás nev m velet, mely asszociatív és kommutatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik inverze (multiplikatív inverz) bármely a, b, c R esetén a(b + c) = ab + ac teljesül értelmezett rajta egy rendezési reláció, mely reexív, antiszimmetrikus, tranzitív és teljes, továbbá teljesül rá az összeadás és a szorzás monotonitása bármely nemüres, felülr l korlátos részhalmazának létezik egyértelm fels korlátja. Deníció. Egy A R számhalmazt felülr l korlátosnak nevezünk, ha van olyan K valós szám, hogy A minden a elemére a K teljesül. Deníció. Ha az L szám fels korlátja A-nak, de tetsz leges L < L már nem az, akkor L-et az A halmaz legkisebb fels korlátjának vagy szuprémumának nevezzük, és sup A-val jelöljük. Deníció. Az A R halmazt korlátosnak hívjuk, ha alulról és felülr l is korlátos. Tétel (Bernoulli-egyenl tlenség). Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a) n 1 + na. Tétel (Közepek közötti egyenl tlenség). Ha a 1, a 2,..., a n pozitív valós számok, akkor a 1 + a 2 +... + a n n n n a 1 a 2... a n 1 a 1 + 1 a 2 +... + 1, a n és egyenl ség pontosan akkor áll, ha a 1 = a 2 =... = a n. 1

2. Numerikus sorozatok Deníció. A Z + R függvényeket numerikus sorozatnak Deníció. Az (a n ) sorozatot felülr l korlátosnak nevezzük, ha van olyan K R szám, melynél a sorozatnak nincsen nagyobb eleme. Deníció. Az (a n ) sorozatot korlátosnak hívjuk, ha alulról és felülr l is korlátos. Deníció. Az (a n ) sorozat monoton növeked, ha minden n Z + esetén a n a n+1 teljesül. A sorozat szigorúan monoton növeked, ha az el bbi feltételben egyenl ség nem állhat. Deníció. Az (a n ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy annak bármely környezetében a sorozatnak majdnem minden eleme benne van. Tétel. Egy konvergens sorozat határértéke egyértelm. Tétel. Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is. Deníció. Egy sorozat elemei közül néhányat (esetleg végtelen sokat) elhagyva, mégis végtelen sokat megtartva az eredti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel. Egy konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens, és a részsorozat határétéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Tétel. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Tétel (BolzanoWeierstrass). Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Deníció. Az α R számot az (a n ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környeze a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. 3. Egyváltozós függvények tulajdonságai Deníció. Az f függvénynek lokális maximuma van az x 0 pontban, ha x 0 -nak létezik olyan környezete, hogy az ebbe es x D f pontokra f(x) f(x 0 ) teljesül. Szigorú lokális maximuma van, ha az el bbi feltételben egyenl ség nem állhat. Deníció. Az f függvény monoton növeked, ha bármely x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) f(x 2 ) teljesül. Szigorúan monoton növeked, ha az el z feltételben egyenl ség nem állhat. Deníció. Az f függvény konvexnek nevezzük, ha grakonjának bármely íve az ív végpontjait összeköt húr alatt vagy magán a húron van. Szigorúan konvex, ha a végpontoktól eltekintve az ív a húr alatt van. Deníció. Egy f függvénynek inexiós pontja van x 0 -ban, ha x 0 -nak létezik olyan bal és jobb oldali környezete, hogy az egyikben a függvény szigorúan konvex, a másikban szigorúan konkáv. Deníció. Az f függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden x D f esetén x D f teljesül, és f(x) = f( x). A függvény páratlan függvény, ha minden x D f esetén x D f és f(x) = f( x). Deníció. Az f függvény p szerint periodikus, ha van olyan p pozitív valós szám, hogy minden x D f esetén (x + kp) D f tetsz leges egész k esetén, továbbá f(x + p) = f(x). Deníció. Ha f egy bijektív függvény, akkor f jelöli azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya f értékkészlete, és minden x D f esetén teljesíti, hogy f ( f(x) ) = x. Az f függvényt f inverz függvényének Állítás. Szigorúan monoton függvénynek mindig létezik inverz függvénye. 2

4. Egyváltozós függvények folytonossága, határértéke Deníció. Legyen f az x 0 valamely pontozott környezetében értelmezve. Azt mondjuk, hogy az f határértéke x 0 -ban A, ha tetsz leges ε > 0 valós számhoz található olyan δ > 0, hogy f (x) A < ε, ha x x 0 < δ. Tétel. Az f függvénynek egy x 0 pontban pontosan akkor létezik határértéke, ha ott létezik jobb és bal oldali határértéke, és lim f(x) = lim f(x). x x + 0 x x 0 Deníció. Legyen f értelmezve x 0 valamely környezetében. Az f függvény folytonos x 0 -ban, ha tetsz leges ε > 0 valós számhoz található olyan δ > 0, hogy f (x) f (x 0 ) < ε, ha x x 0 < δ. Tétel. Az f függvény pontosan akkor folytonos egy x 0 pontban, ha ott balról és jobbról is folytonos. Tétel. Ha f és g folytonosak x 0 -ban, akkor ott az összeg-, különbség- és szorzatfüggvényük is folytonos. Ha g (x 0 ) 0, akkor az f/g függvény is folytonos x 0 -ban. Ha f folytonos g (x 0 )-ban is, akkor az f g, tehát az f (g (x 0 )) is folytonos x 0 -ban. Deníció. Az f függvény egyenletesen folytonos az I intervallumon, ha tetsz leges ε > 0 valós számhoz található egy közös, helyt l független δ > 0, hogy minden x 1, x 2 I és x 1 x 2 < δ esetén f (x 1 ) f (x 2 ) < ε teljesül. Tétel (Bolzano). Egy intervallumon értelmezett folytonos függvény az intervallum bármely két pontjában felvett értékei közé es bármely értéket felveszi a két hely között. Tétel (Weierstrass). Zárt intervallumon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát az intervallumon. 5. Egyváltozós függvények dierenciálszámítása és alkalmazásai Deníció. Legyen f értelmezve az x 0 valamely környezetében. Ha a f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 határérték létezik, akkor a függvényt x 0 -ban dierenciálhatónak nevezzük, és x 0 -beli dierenciálhányadosán (deriváltján) az el bbi határértéket értjük. Deníció. Az f függvény az x 0 helyen jobbról dierenciálható, ha f értelmezett x 0 jobb oldali környezetében, és létezik az x 0 helyhez tartozó dierenciahányados-függvénynek jobb oldali határértéke. Tétel. Az f (x 0 ) pontosan akkor létezik, ha f + (x 0 ) és f (x 0 ) is léteznek és egyenl ek. Ekkor f (x 0 ) = f + (x 0 ) = f (x 0 ) Deníció. Az f függvény dierenciálható az (a, b) nyílt intervallumon, ha az intervallum minden pontjában dierenciálható. Az f függvény dierenciálható az [a, b] zárt intervallumon, ha az intervallum minden bels pontjában, valamint a-ban jobbról, b-ben balról dierenciálható. Tétel. Ha f dierenciálható egy x 0 helyen, akkor ott folytonos is. Deníció. Azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya azon pontokból áll, ahol f dierenciálható, és ezeken a helyeken értéke f (x), az f függvény deriváltfüggvényének Tétel (Rolle). Ha f folytonos [a, b]-n és dierenciálható (a, b)-n, és f (a) = f (b), akkor létezik olyan ξ (a, b), melyre f (ξ) = 0. Tétel (Lagrange). Ha f folytonos [a, b]-n és dierenciálható (a, b)-n, akkor létezik olyan ξ (a, b), melyre f (ξ) = f (b) f (a). b a 3

Tétel (Cauchy). Ha f és g folytonosak [a, b]-n és dierenciálhatóak (a, b)-n, valamint tetsz leges x (a, b)-ra g (x) 0, akkor létezik olyan ξ (a, b), melyre f (ξ) f (b) f (a) g = (ξ) g (b) g (a). Tétel (L'Hospital-szabály). Legyen f és g dierenciálható α egy pontozott környezetében, és tegyük fel, hogy sem g, sem g nem vesz fel nullát ebben a környezetben, valamint teljesül a lim x α f (x) = = lim x α g (x) = 0, vagy a lim x α g (x) =. Ha lim x α f (x) g (x) = β, akkor lim x α f(x) g(x) = β. Tétel. Legyen f dierenciálható egy I nyílt intervallumon. Az f függvény pontosan akkor növeked I-n, ha f (x) 0 minden x I esetén. Tétel. Ha f dierenciálható x 0 -ban és ott lokális széls értéke van, akkor f (x 0 ) = 0. Tétel. Ha f dierenciálható x 0 egy környezetében, f (x 0 ) = 0 és f el jelet vált az x 0 -ban, akkor f-nek biztosan lokális széls értéke van x 0 -ban. Tétel. Legyen f dierenciálható az I intervallumon. Az f pontosan akkor konvex az I intervallumon, ha ott f monoton növeked. Tétel. Legyen f kétszer dierenciálható az x 0 f (x 0 ) = 0. helyen. Ha f-nek inexiós pontja van x 0 -ban, akkor Tétel. Legyen f kétszer dierenciálható az x 0 helyen. Ha f (x 0 ) = 0 és f el jelet vált x 0 -ban, akkor f-nek inexiós pontja van x 0 -ban. 6. Egyváltozós függvények Riemann-integrálja Deníció. Az [a, b] intervallum n részes felosztásának nevezünk egy n + 1 elem F n = {x 0, x 1,..., x n } ponthalmazt, ha a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b, ahol n Z +. Deníció. Az [a, b]-n értelmezett f függvénynek az [a, b] egy F n felosztásához tartozó Riemann-féle integrálközelít összegén értjük a összeget, ahol σ n = n f (ξ i ) (x i x i 1 ) i=1 ξ i [x i 1, x i ] (i = 1,..., n). Deníció. Az [a, b]-n értelmezett f függvény ezen az intervallumon Riemann-integrálható, ha minden normális felosztássorozat esetén a n lim f (ξ i ) (x i x i 1 ) n i=1 határérték létezik és véges. Ekkor a függvény fenti intervallumon vett Riemann-integrálján ezt a határértéket értjük. Tétel. Ha az f függvény [a, b] intervallumon integrálható, akkor korlátos ezen az intervallumon. Tétel. Ha f az [a, b] intervallumon értelmezett és korlátos függvény, akkor ezen az intervallumon pontosan akkor integrálható, ha [a, b] minden normális felosztássorozatához tartozó alsó és fels integrálközelít összegek sorozatai közös határértékhez konvergálnak. Deníció. Az f függvénynek az [a, b] intervallum valamely F n felosztásához tartozó oszcillációs összegén értjük az O n = S n s n = n (M i m i ) (x i x i 1 ) i=1 összeget, ahol s n és S n rendre az F n -hez tartozó alsó és fels közelít összegek, m i és M i pedig az egyes részintervallumok legkisebb és legnagyobb függvényértékei. Tétel. Az [a, b] intervallumon értelmezett és ott korlátos függvény pontosan akkor integrálható, ha tetsz leges normális felosztássorozathoz tartozó oszcillációs összegei 0-hoz tartanak. 4

Tétel. Ha f értelmezett, korlátos és monoton az [a, b] intervallumon, akkor ott integrálható is. Tétel. Ha f értelmezett és folytonos az [a, b] intervallumon, akkor ott integrálható is. Tétel. Ha f korlátos az [a, b] intervallumon, és ott szakadási pontjainak halmaza megszámlálható, akkor integrálható [a, b]-n. Deníció. Ha az f függvény egy véges vagy végtelen I intervallumon értelmezve van, és létezik olyan F függvény, amely I-n dierenciálható és minden x I-re F (x) = f(x), akkor F -et az f függvény I-hez tartozó primitív függvényének Tétel. Ha F primitív függvénye f-nek, akkor f minden primitív függvénye F +C alakú, ahol C konstans. Tétel (NewtonLeibniz-formula). Legyen f integrálható [a, b]-n. Ha f-nek létezik az F primitív függvénye [a, b]-n, akkor b a f = F (b) F (a) Deníció. Egy folytonos síkgörbét rektikálhatónak nevezünk, ha a görbéhez írt poligonok hosszának szuprémuma véges. Ha a görbe rektikálható, akkor ívhosszán éppen a fenti szuprémumot értjük. 7. Egyváltozós függvények improprius integrálja Tétel. Ha egy f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor értékét az intervallum véges sok pontjában megváltoztatva olyan g függvényt kapunk, amely szintén integrálható [a, b]-n, és b a g = b a f. Deníció. Legyen f értelmezett az [a, [ intervallumon és integrálható minden [a, ω] intervallumon (a < ω < ω). Ha a lim ω a f határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az f improprius integrál a konvergens, és értéke az el bbi határérték. Tétel. Ha az a f improprius integrál konvergens, akkor lim x f(x) = 0. Deníció. Legyen f értelmezett az ]a, b] intervallumon. Ha f nem korlátos az a pont környezetében, de b integrálható minden [a + ε, b] intervallumon, ahol 0 < ε < b a, továbbá a lim ε 0+ f határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy f az [a, b] intervallumon impropriusan integrálható, és improprius a+ε integráljának értéke az el bbi határérték. 8. Közönséges dierenciálegyenletek Deníció. Egy n-edrend dierenciálegyenlet általános megoldása az a függvény, amely deriváltjaival együtt azonosan kielégíti az egyenletet, és pontosan n darab független paramétert tartalmaz. Egy n- edrend dierenciálegyenlet partikuláris megoldása az a függvény, amely deriváltjaival együtt azonosan kielégíti az egyenletet, és legfeljebb n 1 darab független paramétert tartalmaz. Deníció. Ha egy dierenciálegyenlet megfelel rendezés után az y = f(x) g(y) alakra hozható (y, f, g egyváltozós valós függvények), akkor szétválasztható változójú (szeparábilis) dierenciálegyenletnek Deníció. Az y + g(x) y = h(x) alakú dierenciálegyenletet (y, g, h egyváltozós valós függvények) els rend lineáris egyenletnek Az egyenlet homogén, ha h(x) = 0, ellenkez esetben inhomogén. Amennyiben a g(x) konstans függvény, az egyenletet állandó együtthatójú els rend lineáris egyenletnek Tétel. Egy els rend lineáris inhomogén dierenciálegyenlet általános megoldását a hozzá rendelt homogén egyenlet általános megoldásának, valamint a dierenciálegyenlet egy partikuláris megoldásának az összege adja (y = y hom + y part ). Deníció. Legyenek y, p, q, h egyváltozós valós függvények. Ekkor az y +p(x) y +q(x) y = h(x) alakra rendezhet dierenciálegyenleteket másodrend lineáris egyenleteknek Amennyiben p(x) és q(x) konstans függvények, az egyenletet állandó együtthatójú másodrend lineáris egyenletnek Tétel. Ha egy másodrend lineáris homogén dierenciálegyenletnek megoldásai az y 1 és y 2 függvények, akkor tetsz leges c 1, c 2 R esetén az y = c 1 y 1 + c 2 y 2 függvény is megoldása az egyenletnek. 5

9. Laplace-transzformáció Deníció. Legyen f : [0, [ R. Az F (s) = 0 f(t) e st dt függvényt az f függvény Laplacetranszformáltjának nevezzük, ha a fenti improprius intergál valamilyen s R számokra konvergens. Tétel. A Laplace-integrál konvergenciájával kapcsolatban csak az alábbi három eset valamelyike fordulhat el. 1. Minden s R esetén konvergens. 2. Egyetlen s R esetén sem konvergens. 3. Létezik olyan a R szám, hogy s < a estén divergens, s > a esetén pedig konvergens. Tétel. Legyenek f 1 és f 2 olyan függvények, melyeknek Laplace-transzformáltja létezik. Ekkor létezik f 1 + f 2 Laplace-transzformáltja is, és L (c 1 f 1 + c 2 f 2 ) = c 1 L (f 1 ) + c 2 L (f 2 ). 10. Numerikus sorok Deníció. Legyen adott egy (a n ) numerikus sorozat. Az a 1 + a 2 +... + a n +... = szimbólummal adott végtelen sok tagból álló formális összeget numerikus sornak Deníció. A n=1 a n numerikus sor els k tagjának összegét a numerikus sor k-adik részletösszegének Deníció. Egy numerikus sor konvergens, ha a részletösszegeib l képzett sorozat konvergens. A részletösszegek sorozatának határértékét a numerikus sor összegének Deníció. Egy numerikus sor abszolút konvergens, ha a tagjainak abszolút értékeib l képzett sor konvergens. Deníció. Azokat a konvergens numerikus sorokat, melyek nem abszolút konvergensek, feltételesen konvergensnek hívjuk. Tétel. Ha egy numerikus sor abszolút konvergens, akkor konvergens is. Deníció. Egy numerikus sort korlátosnak hívunk, ha részletösszegeinek sorozata korlátos. Tétel. Egy konvergens numerikus sor korlátos. Tétel. Ha egy numerikus sor konvergens, akkor általános tagja nullához tart. Tétel. Ha egy konvergens numerikus sorból véges sok tagot elhagyunk, akkor a kapott sor is konvergens lesz. n=1 a n 11. Függvénysorok Deníció. Legyenek az f 1, f 2,..., f n,... függvények olyanok, hogy értelmezési tartományaik közös része nem üres. Ekkor az f 1 + f 2 +... + f n +... = szimbólummal adott végtelen sok tagból álló formális összeget függvénysornak Deníció. A k=n+1 f k összeget a függvénysor n-edik maradékösszegének Deníció. A n=1 f n függvénysor els k tagjának összegfüggvényét a függvénysor k-adik részletösszegének n=1 f n 6

Deníció. A H halamzon értelmezett n=1 f n függvénysor egy a H pontban konvergens, ha részletösszegeinek az a ponthoz tartozó sorozata konvergens. A függvénysor konvergens a H halmazon, ha annak minden pontjában konvergens. Deníció. A c n (x x 0 ) n függvénysort x 0 körüli hatványsornak nevezzük (c n és x 0 konstansok). n=0 Tétel. Ha a n=0 c nx n hatványsor az x 0 0 helyen konvergens, akkor létezik olyan origóra szimmetrikus intervallum, melynek bels pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens. Ha az intervallum korlátos, akkor a küls pontokban divergens a hatványsor. Deníció. Azt az origóra szimmetrikus nyílt ] r, r[ intervallumot, melyben egy origó középpontú hatványsor abszolút konvergens, a hatványsor konvergenciaintervallumának, r-et pedig konvergenciasugarának Tétel. Ha egy hatványsor r konvergenciasugara pozitív, akkor a hatványsor abszolút és egyenletesen konvergens minden olyan zárt intervallumban, amely teljesen a ] r, r[ nyílt intervallumban van. Deníció. Legyen az f függvény az x 0 pont egy környezetében akárhányszor dierenciálható. Ekkor a n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n hatványsort az f függvény x 0 pont körüli Taylor-sorának Az x 0 = 0 pont körüli Taylor-sort Maclaurin-sornak Deníció. Ha egy f függvény 2π szerint periodikus és integrálható egy [a, a + 2π] intervallumon, akkor f Fourier-során az a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) k=1 trigonometrikus sort értjük, ahol az a 0, a k, b k együtthatókat a függvény Fourier-együtthatóinak Tétel. Egy páros függvény Fourier-sora csak koszinuszos tagokat, egy páratlan függvény Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz. 7