Dr. Tarsoly Péter GEODÉZIA II

Dr. Tarsol Péter GEODÉZIA II Nugat-magarországi Egetem Geoiformatikai Kar Geodézia Taszék 03

Tartalomjegzék. A SOKSZÖGELÉS... 4. A SOKSZÖGVONALAK SZÁMÍTÁSA... 4.. Egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal... 5.. A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal... 6..3 A kétszerese csatlakozó és kétszerese tájékozott sokszögvoal... 8..4 A beillesztett sokszögvoal.....5 Zárt sokszögvoal.....6 A hossz- és keresztiráú záróhiba... 3. A SOKSZÖGVONALAK VEZETÉSE... 4.3 A MÉRÉSEKBEN ELKÖVETETT DURVA HIBA MEGKERESÉSE... 4. A SZINTEZÉS... 6. A MAGASSÁG FOGALMA, A MAGASSÁGMÉRÉS MÓDSZEREI... 6. A SZINTEZÉS ALAPELVE... 8.3 SZINTEZİMŐSZEREK ÉS TARTOZÉKAIK... 0.3. A libellás szitezımőszerek... 0.3. A kompezátoros szitezımőszerek....3.3 Digitális szitezımőszerek... 4.3.4 A szitezıfelszerelés... 6.4 A SZINTEZÉS SZABÁLYOS HIBAFORRÁSAI... 7.4. A mérımőszer hibái... 7.4. A mérıfelszerelés hibái... 7.4.3 A külsı körülméek okozta hibák... 8.5 A SZINTEZÉS VÉGREHAJTÁSÁNAK GYAKORLATI SZABÁLYAI... 30 3. A TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS... 33 3. A MAGASSÁGI SZÖG ÉS A ZENITSZÖG... 33 3. A MAGASSÁGI KÖR ÉS SZERKEZETE, KOMPENZÁTOROK, A MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS SZABÁLYOS HIBAFORRÁSAI... 34 3.. A magassági refrakció... 34 3.3 A TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS ALAPKÉPLETE... 38 3.3. A refrakció változása és aak hatása... 4 3.3. A trigoometriai magasságmérés számítási képletei... 4 3.3.. A szimultá mérések módszere... 4 3.3.. Trigoometriai szitezés... 43 3.3.3 Épületek magasságáak meghatározása... 44 3.3.4 Közelítı trigoometriai magasságmérési eljárások... 46 3.3.5 A trigoometriai magasságmérés megbízhatósága... 47 4. TÁVOLSÁGOK MÉRÉSE... 48 4. A HOSSZMÉRÉS... 48 4. A TÁVMÉRÉS... 5 4.. A geometriai-optikai távolság-meghatározás... 5 4.. A fizikai távmérés... 53 4... A távmérımőszerek általáos felépítése... 54 4... Az idıméréses távmérés... 56 4...3 A fázisméréses távmérés... 57 4..3 A légkör eergiacsökketı hatása... 59 4..4 Elektromágeses hullámok terjedési sebessége a légkörbe... 6 4..5 A távmérés hibaforrásai... 64 4..6 A távmérés redukciói... 69 4..7 A távmérés rövid törtéete... 69 5. ELEKTRONIKUS TEODOLITOK, TAHIMÉTEREK ÉS MÉRİÁLLOMÁSOK... 7 5. ELEKTRONIKUS KÖRLEOLVASÁS, ELEKTRONIKUS DİLÉSÉRZÉKELİK... 7 5. AZ ELEKTRONIKUS TAHIMÉTEREK ÉS MÉRİÁLLOMÁSOK KIALAKULÁSA... 73

5.3 A MÉRİÁLLOMÁSOK FONTOSABB BEÁLLÍTÁSAI ÉS BEÉPÍTETT PROGRAMJAI... 75 5.3. A mérıállomások általáos jellemzése... 75 5.3. A mérıállomások fotosabb beállításai... 78 5.3.3 A mérıállomások fotosabb programjai... 8 5.3.4 A gakoribb mérıállomás típusok adatformátuma... 97 5.3.5 Robot-mérıállomások... 00 5.4 MELLÉKLETEK... 0 6. SPECIÁLIS GEODÉZIAI MŐSZEREK... 07 6. TÁJOLÓ TEODOLITOK... 07 6.. Mágeses tájoló és busszola... 08 6.. Busszolás teodolitok... 09 6..3 Rátét busszolák... 0 6..4 Busszolás teodolitok haszálata... 0 6. GIROTEODOLITOK... 6.. A pörgettő... 6.. Külöféle pörgettők... 3 6... Szabad pörgettő... 3 6... Ikliációs pörgettő... 4 6...3 Dekliációs pörgettő... 5 6...4 A giroteodolitok általáos felépítése... 6 6.3 HIDROSZTATIKAI SZINTEZİMŐSZEREK... 8 6.4 SZABATOS OPTIKAI VETÍTİK... 9 7. HIBAELMÉLET... 0 7. A MÉRÉSI HIBÁK ÉS CSOPORTOSÍTÁSUK... 0 7.. A durva hiba és az álhiba... 0 7.. Szabálos és szabáltala hiba... 7..3 Hibaelméleti következtetések:... 7. A PONTOSSÁG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG MEGÁLLAPÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ MENNYISÉGEK... 3 7.. A potosság és megbízhatóság fogalma... 6 7.. Megbízhatósági mérıszámok... 6 7..3 A súl fogalma... 7 7..4 Közelítı súlok felvétele a gakorlatba gakrabba elıforduló mérésekhez... 9 7..5 Két változó kapcsolatáak jellemzése... 30 7..6 Mitapéldák lieáris regressziós egees paramétereiek meghatározására... 33 7.3 A HIBATERJEDÉS FOGALMA... 35 7.3. Hibaterjedés lieáris függvéek eseté... 35 7.3. Hibaterjedés em lieáris függvéek eseté... 37 7.3.3 Következtetések a hibaterjedés általáos képletébıl... 40 7.3.4 Példák a hibaterjedés alkalmazására... 40 7.4 A KIEGYENLÍTİ SZÁMÍTÁS ALAPELVE ÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE... 43 7.4. A Gauss-féle hibatörvé... 44 7.4. Eg ismeretlere végzett közvetle mérések kiegelítése... 45 7.4.3 Oda-vissza mérések kiegelítése... 48 7.4.4 Számolási példák az eg ismeretlere végzett közvetle mérések kiegelítésére... 48 Egség súlú mérések kiegelítése... 48 7.5 ZÁRÓHIBÁK ELOSZTÁSA... 50 7.6 A MÉRÉSEK MEGBÍZHATÓSÁGA ÉS A KÖZÉPHIBA, MINT A MEGFIGYELÉSEK SZÁMÁNAK FÜGGVÉNYE... 53 7.6. A mérések ismétléséek hatása összefüggések a súl és a középhiba között... 54 7.6. Számolási példák... 54 8. GYAKORLÓ PÉLDATÁR... 55 9. IRODALOMJEGYZÉK... 69 3

. A sokszögelés Tetszıleges számú pot relatív helzetét meghatározhatjuk, ha a potokat a vízszites vetületbe egees voalakkal összekötjük, és megmérjük a szomszédos potok vízszites távolságát, valamit az eges potokból kiiduló egeesek (valóságba szakaszok) egmással bezárt szögét. A potmeghatározásak ezt a módját evezik sokszögelések. A potokat összekötı törtvoalakat sokszögvoalak, az eges oldalakat sokszögoldalak, az oldalak egmással bezárt szögét pedig törésszögek evezzük (. ábra). A sokszögelés elméletébe a mért oldalakat t betővel szokták jelöli, alsó idebe aak a két potak a számát írva, amelek közé a mért távolság voatkozik; a törésszögeket pedig β-val szokták jelöli. Mivel mide szomszédos oldal két szöget zár be egmással (egmást 360 -ra egészítik ki), ezért megegezés alapjá törésszögek mide esetbe a haladási irá bal oldalára esı szöget szoktuk tekitei. Szabatos megfogalmazásba a törésszög az a szög, amelet a kezdı és végpot megválasztásával kijelölt haladási értelembe a megelızı sokszögoldal leír, ha geodéziai pozitív értelmő forgatással a követı oldalba forgatjuk.. ábra A sokszögvoal, a sokszögoldal és a törésszög értelmezése A sokszögvoal alakja szerit lehet ílt, amikor a kezdı és a végpotja két külöbözı pot, és lehet zárt, amikor a kezdı és a végpot ugaaz a pot. A geodéziába elsısorba a ílt sokszögvoalak fotosak; zárt sokszögvoalak, vag más éve zárt polgook csak speciális feladatokál fordulak elı (pl. föld alatti felmérések). A sokszögvoal csatlakozó, ha ismert koordiátájú alappotokhoz csatlakozik, és öálló, ha alappotokhoz em csatlakozik. Ha a sokszögvoalak csak a kezdıpotja ismert koordiátájú alappot, akkor a sokszögvoal egszerese csatlakozó; ha mid a két végpotja ismert, akkor kétszerese csatlakozó, vag más éve kapcsolt. Ha emcsak a sokszögvoal potjai mérjük a törésszögeket, haem a kezdı vag/és a végpoto is felálluk, és oa a sokszögoldalako kívül más ismert alappotokra is mérük, akkor a sokszögvoalat tájékozottak evezzük. Egszerese tájékozott, ha csak a kezdıpotjá végzük tájékozást, és kétszerese tájékozott, ha a kezdı-és a végpoto is tájékozuk.. A sokszögvoalak számítása A sokszögvoal eges potjaiak a számításáál az ismert alappotok koordiátáiak és a mért szögekek segítségével számítjuk az eges sokszögoldalak tájékozott iráértékeit, majd a távolság ismeretébe a haladási iráak megfelelıe a sokszögpotok koordiátáit. Abba az esetbe, ha a sokszögvoal mérése sorá fölös méréseket is végzük, a mérési hibák és a meglévı 4

alappotok kerethibái miatt a mérési eredméeik között elletmodások fogak fellépi. Lehetıségük lee ezekek az elletmodásokak a feloldására kiegelítı számítások alkalmazásával, azoba a kiegelítés folamatáak hosszadalmassága miatt ikább közelítı hibaelosztási eljárásokat alkalmazuk. Ezek a közelítı eljárások a gakorlati elvárásokak megfelelı megbízhatóságú adatokat fogak szolgáltati... Egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal Ebbe az esetbe az,,... sokszögpotok koordiátáiak meghatározásához mértük a közöttük lévı távolságokat, a törésszögeket; valamit a kezdıpoto a szomszédos sokszögpot mellett eg tájékozó potra is végeztük irámérést.. ábra Egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal Ha a redelkezésükre álló adatok alapjá ki tudjuk számítai az eges sokszögoldalak tájékozott iráértékét, akkor ezekek és a mért oldalhosszakak ismeretébe számíthatjuk polárisa egmás utá az eges sokszögpotok koordiátáit. Mivel a kezdıpoto mértük eg tájékozó irát, ezért az álláspot és a tájékozó pot koordiátáiból tudjuk számoli a δ KT irászöget. Ezutá δ δ β ' K KT K (.) képlettel tudjuk számítai az elsı sokszögoldal tájékozott iráértékét. Ha ezt az iráértéket 80 -al megfordítjuk, akkor tudjuk számoli -es sokszögpotról a kezdıpotra meı tájékozott iráértéket. Ha ehhez hozzáadjuk az elsı poto mért törésszöget, akkor megkapjuk az -es sokszögpotról a - es sokszögpotra meı tájékozott iráértéket. Tehát: δ ± ' ' ' o δk β δ K 80 β (.) Léegébe az.-es képlet tekithetı mide sokszögvoal számítás alapjáak. Az egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal számításáak lépéseit a következıkbe foglaljuk össze: 5

. A tájékozó irá irászögéek számítása a kezdıpot és a tájékozó pot koordiátáiból.. A sokszögoldalak tájékozott iráértékéek számítása az.-es képlet mitája alapjá. δ δ. δ ' K ' δ δ KT ' K β ± 80 β ' ', δ, ± 80 K β (.3) 3. A sokszögoldalak koordiátategelekre esı vetületeik számítása. ij ij t t ij ij siδ ' ij cosδ ' ij (.4) 4. A koordiáták számítása.. és. K K t t t t K t K t siδ siδ, cosδ, ' K ' cosδ siδ ' K ' ', cosδ K K ', K K Abba az esetbe, ha a kezdıpoto em eg, haem több tájékozó irát mérük, az eges tájékozó iráokhoz tartozó tájékozási szögekbıl kiszámíthatjuk a súlozott középtájékozási szöget, és ezutá a már megismert módo tudjuk képezi az elsı sokszögoldal tájékozott iráértékét. Ebbe az esetbe a levezetett tájékozott iráértéket fogjuk az elsı oldal törésszögéek tekitei, amel egüttese tükrözi a számításba bevot tájékozó iráok hatását (β K δ K). Eél a sokszögvoal típusál ics fölös mérés, a mérés jóságára ics elleırzésük. Az ile sokszögvoalat szabad sokszögvoalak evezzük. A számolás jóságára elleırzés lehet, ha a végé kiszámítjuk a kezdıés végpot koordiáta külöbségét, és eek meg kell egezie a megfelelı oldalvetületek összegével. A ílt, öálló sokszögvoalak számítása ago hasoló a szabad sokszögvoalhoz. Az öálló sokszögvoalál természetese em mértük a kezdıpoto tájékozó irát, és em ismerjük a kezdıpot koordiátáit sem. Ebbe az esetbe a kezdıpot koordiátáit és a kezdı oldal tájékozott iráértékét a feladat kíváalmaiak megfelelıe kell megválasztai... A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal abba külöbözik az egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoaltól, hog a végpotja is ismert koordiátájú pot (.3 ábra).,, (.5) 6

Ebbe az esetbe ismertek a kezdı- és végpot, továbbá a tájékozó-pot koordiátái. Mérési eredméeik a megfelelı távolságok és törésszögek. Ha a sokszögvoal darab sokszögpotból áll, akkor ebbe az esetbe darab távolság és törésszög mérhetı (az egszerese csatlakozó és.3 ábra Kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal egszerese tájékozott sokszögvoalál csak darab távolság és törésszög volt mérhetı). Miutá darab sokszögpot koordiátáiak meghatározásához elegedı darab távolság és törésszög, ezért va két fölös mérésük. A fölös mérések lehetıséget adak a méréseik elleırzésére. A sokszögoldalak koordiátategelekre esı vetülete összegéek abba az esetbe, ha kerethibák és mérési hibák em leéek meg kellee egezie a kezdı-és végpot megfelelı koordiáta külöbségeivel. i i i i ' t si δ ' t cosδ v v A mérési és a kerethibák miatt ezek a feltételek em leszek kielégítve, haem: ( ( V V K K ) ) ' t si δ ( i v k ) i ' t cosδ ( i v k ) i d d k k (.6) (.7) ahol a d és d meiségeket koordiáta záróhibáak evezzük. Ha a záróhiba kisebb, mit az ezzel a módszerrel meghatározadó alappotok jellegéek megfelelıe megállapított hibahatár, akkor a mérést jóak vehetjük, és a mérést kiegelíthetjük ola módo, hog a kiegelített értékekkel számítva ulla záróhibákat kapjuk. A kiegelítéskor em a hosszadalmas szigorú eljárást alkalmazzuk, haem csak eg közelítı kiegelítést. A mérési eredméekbıl számított oldalvetületeket csak elızetes értékek tekitjük, és kiszámítva a hosszegségre esı d t i i i d ; t (.8) i Megjegezzük, hog mivel d és d értékét (kell va) értelembe képezzük, ezért valójába em hiba, haem javítás. A hiba és a javítás azoos agságúak, de elletétes elıjelőek. A szakmai hagomáok alapjá evezzük d és d értékét záróhibáak. Hasoló példa lehete erre még a magasságmérésél megismert idehiba is. 7

záróhibákat, az eges oldalvetületeket megjavítjuk a mért oldalhosszak aráába. Például az - sokszögoldalra az elızetes és a javított oldalvetületek: és elılızet elılızet t t kiegelített kiegelített siδ ' cosδ ' elılızet elılızet d t t i i i i d t t A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal számításáak lépéseit a következıkbe foglaljuk össze:. A tájékozó irá irászögéek számítása.. A sokszögoldalak tájékozott iráértékéek számítása (.). 3. Az elızetes oldalvetültetek számítása (.4). 4. A koordiáta záróhibák és a hosszegségre jutó záróhibák számítása (.7;.8). 5. A kiegelített oldalvetületek számítása (.9). 6. A koordiáták számítása (.5). Abba az esetbe, ha a kezdıpoto em eg, haem több tájékozó irát mértük, a súlozott középtájékozási szög felhaszálásával kell a kezdı sokszögoldal tájékozott iráértékét levezeti (β K δ K)...3 A kétszerese csatlakozó és kétszerese tájékozott sokszögvoal A kétszerese csatlakozó és kétszerese tájékozott sokszögvoalat evezik egszerőe kétszerese tájékozott sokszögvoalak is. (.9) Abba külöbözik az elızıtıl, hog emcsak a kezdıpoto, haem a végpoto is mértük tájékozóirát. Adottak tehát a kezdı-és végpot, valamit a tájékozó-potok koordiátái. Mérési eredméek az darab távolság, valamit az darab törésszög. Eek megfelelıe három fölös mérésük va, tehát a mérési eredméekek három feltételt kell kielégíteiük..4 ábra A kétszerese tájékozott sokszögvoal 8

Két feltétel megegezik a kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoalál részletezett feltételekkel, a d és d koordiáta záróhibákkal. A kétszerese tájékozott sokszögvoalál ehhez eg harmadik feltétel csatlakozik, amel a tájékozó iráok irászögei és a mért törésszögek között fejez ki kapcsolatot. A kezdıpoto mért tájékozó irá irászögébıl kiidulva a törésszögek felhaszálásával levezethetı az utolsó sokszögoldal tájékozott iráértéke. Mivel a végpoto is mértük a β v törésszöget, ezért számíthatjuk a végpoto mért tájékozó irá δ VT tájékozott iráértékét: δ δ ± 80 β ' ' VT v v (.0) Kerethibáktól és mérési hibáktól metes hálózatot feltételezve az ile módo levezetett tájékozott iráértékek egelıek kellee leie a koordiátákból számítható irászöggel. Mivel a mérést hibák terhelik, ezért: dϕ δ δ (.) ' VT VT A dφ értéket szögszáróhibáak evezzük. A szögzáróhiba gakorlati kiszámításához em szükséges az eges oldalak tájékozott iráértékeiek számításá keresztül elıállítai a végpoto mért tájékozó irá tájékozott iráértékét. Elıállíthatjuk δ VT értékét a kezdıpoto a tájékozó-potra számított irászög és a mért törésszögek függvéekét is, ahol a sokszögpotok száma. A részletes bizoítás mellékelése élkül: Azaz i ' δ δ β ( ) 80 (.) VT KT i KT i i ) dϕ δ VT ( δ β ( ) 80 (.3) A szögzáróhiba eg más értelmezését mutatja be az.5 ábra..5 ábra A szögzáróhiba értelmezése N oldalú sokszög alapjá mert 80 360 (.4) 80 80 90 80 (.5) ahol N a töréspotok száma (N oldalú sokszög belsı szögeiek az összegéek mitájára), s a törésszögek száma. A szögzáróhibáak eg harmadik értelmezését mutatja be az.6 ábra. Ebbe az esetbe az eges szegmesekbe (zöld, sárga, kék, piros) lévı szögek összege 80. Ebbıl darab va, ha a sokszögpotok száma a kezdı- és végpot élkül, vag s-, ha s a törésszögek száma. 9

.6 ábra A szögzáróhiba értelmezése szegmesek alapjá Ekkor 80 80 80 (.6) Az.4 képletbe szereplı k értéke 0 vag, attól függıe, hog a sokszögvoal hoga áll a vetületi síko. Az.5 ábra alapjá k értéke 0, az.7 ábra alapjá k értéke. Figeljük meg a K és V pot helzetét és a sokszögvoal mérési és számítási haladási iráát..7 ábra A k értelmezése Ha a dφ szögzáróhiba abszolút értéke a megállapított hibahatárál em agobb, akkor a szögzáróhibát a törésszögekre egelıe osztjuk el. dϕ (.7) A törésszögek mért értékét ola módo számítjuk, hog az elızetes mért értékhez hozzáadjuk a javítást: kiegelített i β elılızet i dϕ β (.8) A számítást a kiegelített törésszögek ismeretébe már a kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoalál elmodottak szerit végezzük. A számítás meete a következı:. A tájékozó iráok irászögéek számítása.. A szögzáróhiba és a törésszögek javításáak számítása (.3;.4;.7). 3. A kiegelített törésszögek számítása (.8). 4. A sokszögoldalak tájékozott iráértékéek számítása (.). 0

5. Az elızetes oldalvetültetek számítása (.4). 6. A koordiáta záróhibák és a hosszegségre jutó záróhibák számítása (.7;.8). 7. A kiegelített oldalvetületek számítása (.9). 8. A koordiáták számítása (.5). Abba az esetbe, ha mid a kezdı-, mid a végpoto több tájékozó irát is mértük, a súlozott középtájékozási szög felhaszálásával számítjuk a kezdıpoto az elsı sokszögoldal tájékozott iráértékét δ K-et, a végpoto pedig az utolsó sokszögoldal tájékozott iráértékét δ v-t. Ilekor a kezdıpoto mért törésszögek magát a δ K értéket tekitjük: A végpoto mért törésszög: β ' β K δ K (.9) δ ' v 360 v (.0) Eek megfelelıe midkét végpoto a tegellel párhuzamos irát tekitjük tájékozó iráak, azaz: δ δ 0. (.) KT VT Több tájékozó irá mérése eseté leegszerősödik a szögzáróhiba számítása is; ha ugais a kezdıpotról az elsı sokszögpotra levezetett tájékozott iráértékhez (β k ) hozzáadjuk a sokszögvoalba mért törésszögeket, és az összegbıl levouk (s-) 80 fokot (s a törésszögek száma), akkor a szögzáróhibát kapjuk eredméül...4 A beillesztett sokszögvoal Ebbe az esetbe a sokszögvoal ismert alappotból idul, és ismert alappotba végzıdik, de tájékozó irát egik végpoto sem mérük (.8 ábra). A geodéziai gakorlatba beillesztett sokszögvoal elsısorba sőrő beépített városok szők utcáiba, vag ag kiterjedéső, zárt erdıkbe fordul elı..8 ábra A beillesztett sokszögvoal Adottak a kezdı-és végpot koordiátái; mért értékek pedig a távolságok és a törésszögek. A mérési eredmébıl koordiáta számítható, a fölös mérések száma eg. A beillesztett sokszögvoal számítását visszavezethetjük a kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal számítására. Tekitsük az.9 ábrát.

Számítsuk ki az.9 ábrá φ-el jelölet szöget. A φ kiszámításához vegük fel eg ola koordiátaredszert, melek kezdıpotja K, tegele pedig a K oldallal esik egbe. Ebbe az esetbe az eges sokszögoldalak tájékozott iráértékei: δ δ ' K ' δ ' V 0 δ δ ' K... ± 80 β ', ± 80 β (.) Ezekek a tájékozott iráértékekek és a mért távolságokak ismeretébe számíthatók a sokszögoldalak vetületei a segéd koordiáta-redszerbe. A végpotak számítjuk az elızetes koordiátáit (az.9 ábrá (V) jelöli az elızetes pothelet). Számítsuk ki mid az elızetes, mid a végleges V potra voatkozó irászögeket és távolságokat a K kezdıpottól. Ezutá számítsuk a φ elforgatási szöget valamit az m szorzótéezıt: ϕ δ δ t m t KV KV K ( V ) K ( V ) (.3) Ha a sokszögvoalat φ szöggel elforgatjuk, és m-értékkel újtjuk/zsugorítjuk, akkor a voal elızetes (V) végpotja a végleges helre kerül. A sokszögpot koordiátáiak kiszámításához mide oldal elızetes tájékozott iráértékét φ értékével meg kell változtati; hasolóa mide mért oldal hosszát az m-szeresére kell változtatuk. Kiszámítjuk a végleges oldalvetületeket, majd folamatos összegzéssel a végpot koordiátái. Eek meg kell egezie a végpot ismert koordiátájával (kerekítési hibáktól eltekitve). A gakorlati számítások sorá φ értékéek számítása utá képezzük mide oldal végleges tájékozott iráértékét, majd pedig a távolságok felhaszálásával, az m-szorzótéezı figelembe vétele élkül az elızetes oldalvetületeket. Ezekbıl képezzük a koordiáta záróhibákat, a hosszegségre jutó javításokat, majd a javításokat elosztjuk a távolságok aráába (.6-.9 képletek)..9 ábra Beillesztett sokszögvoal számítása a gakorlatba..5 Zárt sokszögvoal Ha a sokszögvoal kezdı-és végpotja azoos, akkor a sokszögvoalat zártak evezzük. A zárt sokszögvoalba a törésszögek összegéek elméleti értéke elıre ismeretes, hisze az oldalú zárt sokszög belsı szögeiek összege (-) 80, a külsı szögeké pedig () 80.

A zárt sokszögvoalakba midig felírható eg szögfeltételi egelet: I dϕ ( ) 80 β (.4) Mivel a kezdı és a végpot egbeesik, ezért számítható koordiáta záróhiba is: d d i i t si δ t cosδ i (.5) Látszólag a zárt sokszögvoal ugaola kedvezı mérési elleırzések szempotjából, mit a kétszerese tájékozott sokszögvoal, azoba ez csalóka. A zárt sokszögvoal hosszelleırzései érzéketleek a hosszak részaráos megváltoztatásai irát. Éppe ezért a geodéziába kerüljük a zárt sokszögvoalak vezetését...6 A hossz- és keresztiráú záróhiba A hossz- és keresztiráú záróhiba megértéséhez tekitsük az.7 ábrát. A d és d koordiáta záróhibák utá számítható a d voalas (lieáris) záróhiba. d d d (.6) A sokszögvoal d voalas záróhibájáak agsága a mérési hibák és a kerethibák egüttes hatásától függ. Az azoos agságú d voalas záróhiba d és d összetevıi attól is függek, hog a sokszögvoal mile irába halad a koordiáta-tegelekhez képest (.0 ábra). A d és d hibák agságából tehát em lehet következtetéseket levoi a mérési hibákra voatkozóa..0 ábra A voalas záróhiba, valamit a hossz-és keresztiráú záróhiba értelmezése Ha a d voalas záróhibát a kezdı- és végpot összekötı egeesével párhuzamos hossziráú, és erre merıleges keresztiráú összetevıre botjuk, és feltételezzük, hog a sokszögvoal ideálisa újtott (törésszögei közel 80 fokosak), akkor kerethibától metes alappotok esetébe a hossziráú záróhiba a távolság meghatározás potosságától, a keresztiráú záróhiba pedig a szögmérés potosságától függ. Ezt a két összetevıt külööse akkor ajálott kiszámítai, ha a d voalas záróhiba értéke a vártál agobbra adódik. A hossz- és keresztiráú záróhiba: 3

h h k k h k d si δ d cosδ KV KV d cosδ d si δ KV KV (.7) A gakorlati geodéziai mukák végrehajtása sorá a mérési eredméek miısítésére az ötödredő hosszú oldalú és rövid oldalú sokszögelésre voatkozó hibahatárokat szoktuk figelembe vei, és ameibe a szögzáróhiba és a voalas záróhiba kielégíti az. táblázatba lévı feltételeket, a mérést jóak szoktuk miısítei.. táblázat sokszögelés típusa szögzáróhiba ( ) voalas záróhiba (cm) ötödredő 8 00 t rövid oldalú szabatos 40 6.5 t belterületi 55.5 0.5 t külterületi 703 43.5 t a törésszögek száma t a sokszögvoal hossza kilométerbe. A sokszögvoalak vezetése A sokszögvoalakat lehetıség szerit úg kell vezeti, hog mid a két végükö adott alappothoz csatlakozzaak, és lehetıség szerit mid a két végpotál lehesse tájékozó irát méri. Tájékozó iráak 00 méterél rövidebb irát em szabad felhaszáli. Abba az esetbe, ha mégis mértük 00 méterél rövidebb tájékozó irát, azt a végleges tájékozásba em haszálhatjuk fel, csak a durva mérési hibák kiküszöbölésébe. A sokszögvoal hossza, azaz a sokszögoldalak összege e lege agobb 500 méterél. A sokszögoldalak átlagos hossza ideális esetbe 50-00 méter. 50 métere belül újabb sokszögpotot kijelöli csak a legszükségesebb esetbe lehet. Ugaabba a sokszögvoalba a sokszögoldalak közel egelı hosszúak legeek, mert az irámérésbe kedvezı, ha az elıre és a hátra irázást a parallais újból és újból való eltőtetése élkül tudjuk elvégezi. A sokszögvoal újtott lege, a törésszögek közel legeek a 80 fokhoz. Ismert koordiátájú alappot mellett elhaladi em szabad, ahhoz csatlakozi kell. Eek lehetséges megoldásaival késıbbi taulmáaik sorá foguk megismerkedi. A sokszögpotok heléek kiválasztásakor ügeli kell arra, hog a pot femaradása biztosított lege, a poto fel lehesse álli mőszerrel, a szomszédos potokra az irázást és a mérést akadáltalaul el tudjuk végezi; és ha a sokszögelés részletméréshez készül, akkor a sokszögpotról miél több részletpot lege látható. A sokszögvoalak em metszhetik egmást, csak úgevezett sokszögelési csomópotba találkozhatak, melek mérésével és számításával szité késıbbi taulmáaik sorá foguk találkozi..3 A mérésekbe elkövetett durva hiba megkeresése Ha valamelik sokszögpoto a szögmérésbe durva hibát követtük el, azt a potot, amelél a törésszög hibás, úg keressük meg, hog a sokszögvoalat a kezdı- és a végpotjáról is elkezdjük számítai. Amelik potra a két számításból közel egelı koordiátákat kapuk, aál a potál követtük el ag valószíőséggel a durva szögmérési hibát. A hosszmérésbe elkövetett durva mérési hiba eseté a hibása mért oldalt azok között az oldalak között kell keresi, amelek irászöge közelítıleg egezik (vag pot elletett irába mutat) a kapott - és a durva hiba miatt a megegedettél jóval agobb voalas záróhiba irááak az irászögével (. ábra). 4

. ábra A mérések közbe elkövetett durva hiba megkeresése A szögmérési hibák hatása a sokszögelésbe külööse kedvezıtle azért, mert bármel szög hibája tovább adódik, és ezzel meghamisítja a következı pot helét. A kedvezıtle hibaterjedés miatt a szögmérésre külöös godot kell fordítai, Ha a szögmérést godosa hajtjuk végre, akkor a legagobb hiba a mőszer és a prizma felállítási hibájából származik. Az ebbıl származó maimális szögmérési hibákat a. táblázatba foglaltuk össze, cetiméteres külpotosságot feltételezve (Sárd, 970):. táblázat t 0 m 06 0 m 03 30 m 69 50 m 4 00 m 50 m 4 300 m 7 A táblázat adatai szerit a felállításból származó hiba külööse rövid oldalak eseté okoz számottevı szögmérési hibát. Emiatt a sokszögelésbe a rövid oldalak kerüledıek. Rövid oldal fordul elı abba az esetbe, amikor kételeek vaguk valamile akadált kikerüli pl. épület, tó stb. A rövid oldal hatását godos potra állással csak csökkethetjük, ezért számítási módszerrel kell godoskoduk a hiba helhez kötésérıl és ezzel kiküszöbölésérıl. A legjobb megoldás az, ha a rövid sokszögoldal potjáról mérük valamile ismert koordiátájú alappotra, mert ebbe az esetbe a rövid oldal tájékozott iráértékét függetleítei tudjuk a rövid oldalo mért törésszögtıl. A köztes potokról ismert koordiátájú potokra való mérést haszáljuk hosszú sokszögvoalak megbízhatóságáak öveléséél is. Ha hálózat szemléletbe számítjuk a koordiátákat, úg a fölös mérések számát öveli eg-eg ismert koordiátájú pot mérésbe voása, ha kézi úto számítjuk, úg az ile mérésekek a hibák felderítésébe és kiküszöbölésébe vehetjük haszát. 5

. A szitezés A szitezés a magasság meghatározásáak egik legısibb módszere. Az alapelve a kezdetek óta szite semmit sem változott, és a techológiai fejlıdés is csak az 980-as évek elejé hozott áttörést a szitezés végrehajtásába és mőszereibe. Ebbe a fejezetbe megismerkedük az optikai és digitális szitezés eszközeivel, módszereivel és hibaforrásaival, valamit a szitezés végrehajtásáak gakorlati szabálaival. Mielıtt azoba rátérék a szitezés elméletéek tárgalására, meg kell ismerkedük a magasság értelmezésével.. A magasság fogalma, a magasságmérés módszerei A földi potok magasságát midig eg választott alapfelülethez viszoítva adjuk meg. Alapfelületek a geodéziába általába valamel középtegerszit magasságába kijelölt poto átmeı szitfelületet, a geoidot választjuk. Elıfordulhat azoba az is, hog alapfelületek em a geoidot választják, haem eg másik szitfelületet, vag valamile matematikai felületet. A külöbözı magasságfogalmak tárgalása elıtt ismerkedjük meg a magarországi magassági alapfelületek törtéetével. Magarországo a heli jellegő méröki mukákhoz, elsısorba a folószabálozásokhoz az 700-as évektıl kezdve végeztek szitezéssel törtéı ag tömegő magasságmeghatározást. A magarországi szitezések összekapcsolása az Adriai-teger szitjével Vásárheli Pál evéhez főzıdik, aki a Tisza és az Al-Dua szabálozásába egarát részt vett. Az Osztrák-Magar Moarchia elsı szitezési hálózatát a bécsi Katoai Földrajzi Itézet tervezte és kivitelezte 873 és 93 között. A Moarchia területére hét szitezési fıalappotot terveztek, ezek közül a mai Magarország területére csak egetle alappot esik, a Velecei-hegség gráit kibukkaásába telepített adapi szitezési ısjeg.(. ábra) A hét fıalappot magasságát és ezzel a hálózat magassági alapszitjét a trieszti Molo Sartorio mareográfjához (tegerszitmérı/regisztráló beredezés vag thalattográf) csatlakoztatták. 875-be kilec hóapig tartó megfigelésbıl meghatározták a móló mellett elhelezett tárcsa magasságát, majd az ebbıl vezetett szitezési voalak segítségével a hét fıalappot magasságát. A adapi szitezési ısjeg Adria feletti magassága 73.8385 méterre adódott. A Moarchia hálózatát súlos hibák terhelték. Az elsı világháború utá Magarország elvesztette kapcsolatát az Adriaitegerrel, ezért magarországi hálózat magassági alapfelületetéek azt az alapfelületet fogadták el, amel a adapi fıalappot alatt 73.8385 méterre húzódik. Ezzel létrejött a adapi magassági alapszit. A második országos szitezést 9 és 939 között végezték, és a második világháború utá tervezték kiegelítei. A háborúba a potok 60%-a elpusztult,. ábra A adapi szitezési emiatt új hálózatot kellett tervezi. fıalappot A harmadik országos szitezés 948-ba kezdıdött és 964-be fejezıdött be. A tervezésél felhaszálták a már meglévı alappotokat, és az ország területé olc fıalappotot létesítettek geológiailag ugodt körezetbe. A cél az volt, hog ola sőrőségő hálózatot hozzaak létre, hog mide településre jusso legalább eg alappot. 960-ba utasítás jelet meg, amel a balti alapszit haszálatát írta elı. A Balti-teger közepes tegerszitjéek magasságát a Krostadt város kikötıjébe található mareográf regisztrálja. Ezzel megváltozott mide alappot magassága eg álladóak tekitett értékkel. Ezt az álladót a adapi fıalappot esetébe vezették le; a adapi fıalappot adriai magasságából le kellett voi 0.6747 6

métert a balti magasságra való áttéréshez. A balti alapszit tehát magasabb, mit az adriai, azaz a potok balti magassága midig kisebb. Az 970-es évek végé dötés született az Egséges Országos Magassági Alappothálózat (EOMA) létrehozására. Az EOMA elsıredő potjai az 960-as évekbe létesült kéregmozgásvizsgálati potok lettek, majd az 980-as évekbe megkezdıdött a másod- és harmadredő hálózat sőrítése. Az EOMA az 990-es évek közepére miteg 60%-ba valósult meg, azoba em egségese az ország teljes területé. A Duátúlo például csak az elsıredő hálózat készült el. Jeleleg folik az EOMA elsıredő hálózat újramérése, és egbe az elpusztult potok pótlása. Az alapfelülethez viszoított magasságot alapfelület feletti, vag más éve abszolút magasságak evezzük. Ha az alapfelület a középtegerszit magasságába található, úg az abszolút magasság egbe a tegerszit feletti magasság is. Két pot magasságkülöbségé a potok abszolút magasságáak külöbségét értjük. Az egik pot másikra voatkoztatott magasságkülöbségét evezzük még relatív magasságak is. Attól függıe, hog mile felületet választuk alapfelületek, és hoga viszoítjuk ezt a potot az alapfelülethez, többféle magasság fogalom haszálatos. Valamel potak az alapul választott szitfelülettıl az illetı poto átmeı függıvoalo mért távolsága az úgevezett ortométeres magasság. A szitfelületek az egelítıtıl a sarkvidékek felé összetartaak, ezért az azoos ortométeres magasságú potok icseek ugaazo a szitfelülete, haem eg ola felülete, amel párhuzamos az alapfelülettel (tehát em szitfelület, mert a szitfelületek em párhuzamosak!). A szabatos felsıgeodéziai mérésekbe em lehet eltekitei attól, hog a szitfelületek em párhuzamosak, és attól, hog a függıvoal eg kettıs csavarodású térbeli görbe; az alsógeodéziába azoba megfelelı közelítéssel a szitfelületeket párhuzamosak tekitjük, a függıvoalat pedig eg függıleges egeesek. A felsıgeodéziába több magasság fogalom is haszálatos. A geopoteciális érték em hosszúság jellegő meiség, haem a vizsgálat poto átmeı szitfelülete és az alapfelülete mért poteciálértékek külöbsége. A diamikai magasságot úg kapjuk, hog a geopoteciális értéket elosztjuk a ormál ehézségi térerısség eg kiválasztott értékével, amel a ormál ellipszoidot a 45 -os szé lességi körö jellemzi. A diamikai magasság már hosszúság jellegő, és az azoos diamikai magasságú potok már eg szitfelülete vaak. A ormál magasságot megkapjuk, ha a geopoteciális értéket elosztjuk a ormál ehézségi térerısségek a vizsgált pot ormál ellipszoid feletti felezıpotjára kiszámított értékével. Az alsógeodéziai számítások sorá feltételezzük, hog az alapszitfelület a geoid. Ebbe az esetbe eg pot abszolút magasságá midig a pot tegerszit feletti magasságát fogjuk értei. Két pot magasságkülöbsége pedig mide esetbe a két pot tegerszit feletti magasságáak a külöbsége lesz (. ábra).. ábra Két pot magasságkülöbségéek értelmezése 7