Fogaskerék alapiseretek Alapfogalak: Fogszá (z) A fogaskerék kerületén levő fogak száa. Egész szá. Modul () Az osztókör átérője és a fogszá hányadosa. Egyszerűbben: a fog agasságával, éretével arányos érték, ely szabványosítva van. Például egy =3 odullal készült fogaskerék fogának agassága közelítőleg h==6. Csak azonos odulú fogaskerekek tudnak egyással kapsolódni. Osztókör (d 0) Elei és kopenzált fogazat esetén azonos a gördülőkörrel. A fogaskerék hajtás áttételét az osztókörök átérőinek viszonya határozza eg, intha ilyen átérőjű hengerek gördülnének le egyáson súszás nélkül. Ne érhető éret. Száítása: d 0= z Fejkör (d f) Mivel a fog fejagassága odulnyi, ezért a fejkör átérője odullal nagyobb az osztókör átérőjénél. Száítása: d f=(z+) Alapkör (d b) Elvi, ne érhető kör. A fogprofil generálásában van szerepe. Az evolvens fogprofil generáló egyenese ezen a körön gördül le. Száítása: d b=z os Alapprofilszög ( ) A fogprofilt generáló fésüskés oldalának hajlásszöge. A kapsolóvonal vízszintessel bezárt szöge. Általában 0 fok. Evolvens fogprofil Száraztatása: egyenes az alapkörön gördül le. Az e egyenes inden pontja evolvenst ír le. evolvens e e alapkör Fogaskerék áttétel Jele i. A hajtott kerék fogszáa osztva a hajtó kerék fogszáával. i=z /z Kapsolóvonal Az egyással kapsolódó fogak érintkezési pontjai ezen egyenes entén érintkeznek egyással, aíg kapsolatban vannak. Az alapkörök közös N N érintőjének a fejkörök által határolt AE szakasza. Az alsó kerék feje az A pontban lép kapsolatba és a lába az E pontban lép ki a kapsolódásból.
r b r 0 Nevezetes pontok a kapsolóvonalon A és E pont: a kapsolóvonal és a fejkörök etszéspontja. Itt lép be a kapsolódásba, illetve ki a kapsolódásból a fog. C: főpont. Az osztókörök (gördülőkörök, a kapsolóvonal és a középpontokat összekötő vonalak közös pontja. r f a 0 N A C E N Kapsolóvonal Kapsolószá A kapsolódás során vagy egy, vagy két fogpár kapsolódik egyással. A hajtás folytonossága érdekében egy fogpár addig ne léphet ki a kapsolatból, aíg egy ásik be ne lép. Ezért egy ideig két fogpár van kapsolatban. A kapsolatban lévő fogpárok átlagos értéke tehát egynél nagyobb, pl.,. Száítása: =AE/p b Osztás (p) Az osztókörön két szoszédos fog azonos pontjának távolsága. Száítása: p=. A fog vastagsága az osztás fele: s=p/ Alaposztás (p b) Az alapkörön, vagy a kapsolóvonalon ért osztás. Száítása: p b=os Foghézag Az érintkező fogak között iniális hézagot kell biztosítani egyrészt a gyártási pontatlanságokból és a hőtágulásból adódó befeszülés érdekében, valaint a kenőanyag száára szükséges rés biztosítsa iatt. Túl nagy ne lehet, ert irányváltáskor kopogást (holtjátékot) okoz. Profileltolás () Kopenzált fogazatnál a kiskeréknél a szerszá + értékkel sugárirányban ki van húzva, a nagykeréken ugyanennyivel be van tolva a középpont irányába. Hatására ódosul a fog alakja és fejkör átérője, de a gördülőkörök és a tengelytáv változatlan arad. Előnye, hogy a fogak súszása kiegyenlíthető a kis és nagykeréken, illetve 7 fognál kisebb fogszá is kialakítható aláetszés nélkül. A egváltozott fejkör átérők száítása: d f=(z +)+; d f=(z +)-.
Határkerék fogszáa Elei fogazat esetén eghatározható az a iniális fogszá, ai ég helyes kapsolódást biztosít. Tekintsük egy fogaskerék kapsolatát egy fogasléel. Mivel az evolvens fogprofil az alapkörből indul, ezért a fogaslé (fésüskés szerszá) fejvonala legfeljebb éppen átehet az N ponton. Ha beljebb haladna, akkor a szerszá P súspontja a ár elkészült evolvens darabba beleunkálna, ún. aláetszést okozna. O osztókör N =A Q C P alapkör E Az ábra OAC és QAC hároszögei hasonlóak. A hasonlóságot felírva OC AC AC QC A távolságokat a fogszáal és a odullal kifejezve, 0 fokos szokásos kapsolószöggel a határfogszá=7: z 0 z 0 sin z0 7 0 z 0 sin sin 0 sin Elei fogazattal tehát ne lehet 7 fognál kevesebbet egvalósítani. Ha a keréken pozitív + profileltolást alkalazunk (a fogaslé középvonalát értékkel elozdítjuk az osztókörhöz képest), O r f N =A Q C (-) osztókör osztóvonal középvonal E akkor a levezetésben QC=(-) értéket helyettesítve,
z z sin z sin ( ) z ( ) sin láthatóan kisebb z fogszá is egvalósítható. Adott z fogszához szükséges profileltolás tényező z 0 z z összefüggéssel száítható. Például, ha z = fogszáú fogaskereket szeretnénk készíteni, akkor 0 7 7 0,94 pozitív profileltolás tényező szükséges. Kopenzált fogazatnál a nagyobb fogszáú keréken ugyanekkora, de ellenkező előjelű profileltolást kell alkalazni. Tengelytáv A gördülőkör sugarak összege. Száítása: a 0=(z +z )/. A tengelytáv eléletileg ne lehet akárekkora, ivel z-k egész száok. Ha tetszőleges (vagy szabványos) tengelytávot kell biztosítani, akkor általános fogazatot kell alkalazni (az egyes kerekeken eltérő értékű profileltolással). Az evolvens fogprofil előnyös tulajdonsága, hogy kissé pontatlan tengelytávnál is hibátlanul űködik, sak kissé egváltozik a kapsolószög: r b+r b: a 0 os 0=a os O a 0 a 0 Kapsolószög változása Csúszás A fogak ne tisztán gördülnek, hane súsznak is egyáson. A súszást a kapsolóvonal E pontjában utatjuk be.
O r b r f N i i E N O Az érintkező fogak görbületi sugarai az E pontban és. Az O N B derékszögű hároszögből a görbületi sugár rf rb (z ) (z os ) Hasonlóan az O N B hároszögből rf rb (z ) (z os ) Egy rövid t idő alatt a kiskeréken i =r ívhossz, a nagykeréken i =r ívhossz gördül le. Az áttétel értelében a kerekek elfordulási szögének aránya = z /z, ezzel i =r z /z lesz. A relatív súszás az E pontban z i i z z z i z z z Hasonlóan száítható a relatív súszás az A pontban is. A két súszás általában különbözik egyástól. Profileltolással a fogak alakja, a fejkörök átérője és így a végpontokban a görbületi sugarak is ódosíthatók. Így elérhető, hogy a relatív súszás (és ezzel a kopás) a végpontokban azonos legyen. Foglenyesés Nagy terhelésű hajtásokban a fogak deforáiója iatt a hajtó kerék terhelt foga kissé hátra hajlik, a hajtott kerék foga előre hajlik. Ezért az újonnan kapsolatba lévő fogak az osztás egyenetlensége iatt ütközéssel lépnek kapsolatba, ai a fogfrekvenián jelentős gerjesztést (rezgést, zajt) okoz. Megoldást jelent, ha a fogak fejrészén a fog vastagságát sökkentik, például köszörüléssel. Fogerő Egyenes fogazat esetén a fogak között átadódó F erő F t érintő- és F r sugárirányú koponensekre bontható.
F F r C F t. r 0 r b Fogaskerék dinaika Hagyoányos esetben a fogaskerékhajtás int lengőrendszer egyetlen sajátfrekveniával rendelkezik, ha a sapágyak rugalasságától eltekintünk. A fogaskerekek fogai ne tökéletesen erevek, egy fogpár eredő rugóerevsége legyen. A forgó töegeket helyettesíthetjük haladó ozgást végző redukált töegükkel: =J /r b és =J /r b A töeg-rugó rendszer lengésekre képes, elynek sajátfrekveniáját egyszerűen lehet eghatározni. J r b.. r b J Az egyes töegekre felírhatjuk a ΣF=a ozgásegyenleteket: ( ) ( ) A deriváltak különbségét képezve ( ) ( ) Rendezés után ( ) ( ) 0 Bevezetve a töegek = - relatív elozdulását (a fogrugó hosszváltozását)
0 a haronikus rezgőozgás közisert differeniálegyenletét kapjuk 0 /( ) (rad/s) sajátfrekveniával (körfrekveniával). Ha a rendszert külső gerjesztések is érik (ingadozik a hajtó, vagy a terhelő nyoaték), és azok frekveniája 0 közelébe esik, akkor rezonania állhat elő. Megnövekszik a rezgés, zaj, akár tönkreenetel is bekövetkezhet. Hogy ez ritkán áll elő, annak az az oka, hogy a sajátfrekvenia általában igen nagy, a gerjesztések frekveniája jóval alatta arad. Fogaskerékhajtás paraetrikus gerjesztése Különösen nagyobb fordulatszáon űködő fogaskerekeknél (int a villaos autók otorjai) olyan lengésjelenségek jöhetnek létre, ellyel a szokásos fordulatszáokon üzeelő hajtásoknál ne találkozunk. Utóbbi idők kutatásai során figyelebe vették, hogy a fogrugó erevsége ne állandó. A kapsolódás során ugyanis vagy egy fogpár, vagy két fogpár kapsolódik egyással. Ez a periodikus jelenség önagában is gerjesztést jelent (ún. paraetrikus gerjesztés), függetlenül attól, hogy van-e vagy nins külső gerjesztés. A fogazat erevsége az ábrán látotthoz hasonlóan alakul: p (-)p b p t 0 t p b =r b z t p b =r b z t A fogerevség periodikusan váltakozik. Aennyiben idő függvényként szeretnénk leírni a fogerevség változását, annak frekveniája z= z, ivel inden fog belépése a kapsolódásba újabb periódust indít (ez az z fogfrekvenia) Periodikus függvényeket Fourier-sorukkal lehet egadni. Páros függvény esetén a Fourier-sor alakja: (t)= 0+ os( zt)+ os( zt)+. nos(n zt)+.. Itt 0 a függvény középértéke (integrálközepe: függvény alatti terület osztva a szélességgel), a i együtthatók a felharonikusok aplitúdói. Minél több tagot veszünk figyelebe, a függvény közelítése annál pontosabb. Egyszerűség kedvéért a Fourier-sornak sak az első két tagját vegyük figyelebe és helyettesítsük a ozgásegyenletbe: (0 os zt) 0 A Mathieu -féle periodikus együtthatós, nelineáris differeniálegyenlet egoldása bonyolult, nekünk elegendő eghatározni a rendszer sajátfrekveniáit. A egoldás eglepő eredénye, hogy a rendszernek ne supán egyetlen sajátfrekveniája van, hane végtelen sok. Az n-dik sajátfrekvenia az 0 főrezonania-frekvenia duplájának (a szuperharonikus frekveniának) az n-ed része: n= 0/n
Ezeken a frekveniákon ég külső gerjesztés nélkül is -a belső paraéterek (fogerevség, sillapítás) periodikus változása iatt- egnő a rezgésaplitúdó. Az aplitúdó növekedés értéke nuerikus sziuláióval elég könnyen eghatározható, értéke nagyban függ a kapsolószától, a rendszer sillapításától (anyag belső súrlódása, folyadékfil sillapítása a fogak között, súrlódás a fogak között, sapágy súrlódás, légellenállás), a indig eglévő foghézagtól. Az eredény pontossága nagyban függ a fogerevség változását leíró Fourier-sor figyelebe vett tagjainak száától. Jellegre helyesen az ábra utatja a rezonaniahelyeket és az A rezgésaplitúdó egy lehetséges eloszlását A/A 0 szubharonikus rezonaniák fõrezonania szuperharonikus rezonania z 0 /3 0 /4 0 0 Például ha a fogrugó átlagos fogerevsége 0=0 9 N/, a fogaskerekek tehetetlenségi nyoatékai J =0,0009 kg és J =0,044 kg, az alapkör sugarak r b=0,03 és r b=0,06, a hajtó kerék szögsebessége =400 rad/s és fogszáa z =7, akkor a főrezonania körfrekveniája 0 /( =35355 rad/s ) További rezonaniák várhatók a következő frekveniákon: n= 0/n=7070, 35355, 3570, 7677, 44,.(rad/s). A gerjesztés frekveniája (a fogfrekvenia) z= z =3800 rad/s. Látható, hogy a gerjesztés frekveniája szinte egybeesik az egyik szubharonikus frekveniával, ahol az ábra szerint eglehetősen nagy rezgésnövekedés, (és zaj) lép fel. A kedvezőtlen hatást többféleképpen lehet elkerülni: gyors áthaladás a rezonania frekvenián, a sajátfrekvenia elhangolása (töeg, erevség, fogszá változtatása), a sillapítás növelése, nelinearitás (pl. foghézag) növelése. Ferde fogazat alkalazása is javítja a helyzetet, ivel ott a fogerevség változása sokkal kisebb. Frekvenia oduláió A fogfrekvenia ne feltétlenül állandó, hane ingadozhat az átlagos arrier(vivő) frekvenia (pl. a otor átlagos szögsebessége) körül oduláiós frekveniával (például a tengely torziós rezgéseinek a frekveniája). A jelenség bekövetkezhet például a kiegyensúlyozatlan töegek (forgattyús hajtóű), vagy az időben periodikusan ingadozó külső terhelések következtében is. A jelenség a frekvenia oduláió, ely a híradástehnikából jól isert (FM rádió vétel). Az z(t)=sin( t+sin t)
eredő rezgés képe látható az alsó ábrán =0,75 és =,5 oduláiós inde, valaint =30 rad/s vivőfrekvenia és =8 rad/s oduláiós frekvenia esetén (Matlab sziuláió). Nagyobb oduláiós indenél a frekvenia ingadozás (a sűrűsödés és ritkulás) erőteljesebb. Frekvenia oduláió (FM) =0,75 és =,5 oduláiós inde esetén. A oduláiós inde nagyságától függően egy vagy több oldalsáv jelenik eg az FFT (Fast Fourier Transfor) frekvenia-spektruban. Első fajú Bessel-függvényekkel kiutatható, hogy ne supán és frekveniájú rezgések keletkeznek, hane ( + ), ( - ), ( + ),( - ),..frekveniájú és változatos aplitúdójú rezgések is! A kialakuló rezgések spektruai az ábrán láthatók és oduláiós inde esetén. A 0,98 0, 0, =0,5 - + A 0,94 0,4 0,4 0,03 0,03 =0,5 - - + + Oldalsávok a frekvenia spektruban Ha egy fogaskerékhajtás rezgés-, vagy zajviszonyain kell javítani, akkor a rezgés (zaj) spektruát frekvenia analizátorral lehet vizsgálni és a kiugróan agas aplitúdók okozóját azonosítani. A űszer a jel Fourier-transzforáltját (FFT) száítja, ai a felhasználó száára egutatja, hogy ekkora a rezgésaplitúdó az egyes frekveniákon. Az előbbiekben egisert frekvenia oduláió jelensége sajnos egnehezíti a spektru kiértékelését, ivel azon ne supán a fogfrekveniák, hane sok kobináiós (oldalsávi) frekvenia is egjelenik, bár azok aplitúdója kisebb. Ezen kívül a
spektruban torziós és hajlítási rezgések, sapágyak okozta rezgések, stb. és azok kobináiós frekveniái is egjelennek. A spektruban előforduló fogfrekveniák feliserését segíti a következő egfontolás: Vizsgáljuk egy kétfokozatú hajtóű fogfrekveniáit az ábra szerint! z z =z = z /z z 3 z =z 3 z z z 3 /z z z 4 Az ábra alapján az z és z fogfrekveniák egyszerűen száíthatók és a spektruban azonosíthatók. Kiugróan nagy aplitúdó esetén annak a fogaskerékkapsolatnak a hibáit kell elsősorban keresni (profilhiba, osztáshiba, többfogéret ingadozás, radiális ütés, sorja, fogbelépés-foglenyesés nélkül, súrlódó erő irányváltása a főpontban, stb.) A középső tengely rugalassága iatt itt is felléphetnek további kobináiós frekveniák. Illusztratív példa Adott egy végtelen nagy tehetetlenségi nyoatékú, ot=300 rad/s szögsebességgel forgó otor, elyhez t=56 N/rad torziós rugóerevségű tengely satlakozik. A tengely végén elhanyagolható töegű, z =0 fogszáú fogaskerék van, ely z =40 fogszáú fogaskerékkel kapsolódik. A hajtott fogaskerékhez ereven kapsolódik egy J =3 kg tehetetlenségi nyoatékú társa. Határozzuk eg azokat a frekveniákat, ahol rezgések kialakulására száíthatunk. (kis frekveniák, vagy ferde fogazat esetén eltekinthetünk a paraetrikus rezgésektől) t z J>>J red ot J z t J red Először a társát áthelyezzük a tengely végére. Mint iseretes, a tehetetlenségi nyoatékokat az áttétel négyzetével lehet redukálni ásik tengelyre. J red J i 3 0.75 kg
A tengely d=0 átérőjű, l= hosszú, anyagának súsztató rugalassági odulusza G=8 0 4 N/. A tengely torziós rugóerevsége t I p G l 4 0 80 3 000 4,56 0 6 N / rad 56 N / rad A töegből és rugóból álló lengőrendszer torziós sajátfrekveniája (haronikus rezgőozgás): J t red 56 0,75 40,9 rad /s Ez az frekvenia odulálja az ot frekveniát (a hajtó fogaskerék ne teljesen egyenletesen forog, hane szögsebessége kissé ingadozik, ivel a hosszú tengely torziós lengéseket végez). Ha eentriitás és/vagy kiegyensúlyozatlanság is van, akkor ezek a frekveniák is egjelennek a spektruban. Mivel inden fogbelépés gerjesztésként hat, ezen frekveniák z -szerese (int fogfrekvenia) is egjelenik a spektruban. A oduláiós inde értékét ne iserjük (ne tudjuk a tengely lengésaplitúdóját), de értékétől függően oldalsávok is egjelenhetnek. Továbbá, ivel a hajtott kerék fele akkora fordulatszáal forog, int a hajtó kerék, ennek frekveniái is jelen lehetnek a spektruban. Mint a példa utatja, ég ilyen egyszerű esetben is sok frekveniát tartalaz az FFT spektru. 4 300 80 6000 580 680 40 3000 Nyoatékösszegző Hibrid hajtásnál a belsőégésű otor és a villanyotor nyoatékát összegezni kell, ha a enetdinaika azt igényli. Száos egoldás közül az egyszerű fogaskerék áttétellel egvalósított nyoatékösszegzőt utatjuk be. Az ábrán egrajzoltuk a fogaskerekek free-body diagrajait. A fogerőnek sak az érintő irányú koponensét ábrázoltuk. z M Belsõégésû otor M M=M +M z /z F t =M /r r Villaos otor M r F t z M Aennyiben a fogaskerekek fogszáa egegyezik (z =z ), a két otor nyoatéka egyszerűen összeadódik (M=M +M ), iközben a otorok fordulatszáa azonos. Ha a villanyotor kis fordulatszáon kifejtett nagyobb nyoatékát szeretnénk kihasználni, akkor z >z választás kedvezőbb lehet, ugyanakkor a villanyotor nyoatékából sak M z /z jut a kienetre.
M M M = z /z