Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika Kedvezméyezett: Szegedi Tudomáyegyetem Cím: 670 Szeged, Dugoics tér 3. www.u-szeged.hu www.alyazat.gov.hu
Tartalomjegyzék. Kombiatorikai alafogalmak... 4.. Permutáció... 4... Ismétlés élküli ermutáció... 4.. Ismétléses ermutáció... 7.3. Variáció... 8.3.. Ismétlés élküli variáció... 8.3.. Ismétléses variáció... 9.4. Kombiáció...0.4.. Ismétlés élküli kombiáció...0.4.. Ismétléses kombiáció.... Valószíűségszámítás...8.. Eseméyalgebrai alaok, eseméy, eseméytér...8... Eseméy, eseméytér...8... Műveletek eseméyekkel...9..3. Műveleti tulajdoságok.....4. A valószíűség fogalma...4..5. Feltételes valószíűség...5..6. Eseméyek függetlesége, Teljes valószíűség, Bayes tétel; függetle eseméyek...5.. Valószíűségi változó...8... Diszkrét valószíűségi változó...8... Folytoos valószíűségi változók...3..3. Mediá, módusz, kvartilis...35..4. Nevezetes diszkrét eloszlások...35..5. Nevezetes folytoos eloszlások...4 3. Statisztika...56 3.. Mérés fogalma, mérési skálák...56 3... Névleges...56 3... Sorredi...56 3..3. Külöbségi...56 3..4. Aráy skálák...57 3.. Pouláció és mita fogalma...58 3.3. A statisztikai mita jellemzői és a mita ábrázolása...60 3.3.. Helyzeti mutatók...60
3.4. Statisztikai becslések...7 3.4.. Potbecslés...7 3.4.. Kofideciaitervallum...7 3.4.3. Statisztikai hiotézisek vizsgálata...80 3.4.4. Változók közötti kacsolat vizsgálata... 03 3.4.5. Variaciaaalízis... Hiba! A köyvjelző em létezik. 3
. Kombiatorikai alafogalmak A valószíűségszámítás és statisztika bevezetését kombiatorikai alafogalmakkal kezdjük. Eze belül tárgyaljuk a ermutáció a variáció és a kombiáció fogalmát, valamit ezek kacsolatát. A fogalmakat éldáko szemléltetjük. Mit mide további témába itt is bemutatjuk hogya tudjuk ezeket a fogalmakat Excelbe kezeli. Bár itt még egyszerű fogalmakkal báuk mégis haszos lehet a számítások gyorsasága érdekébe szoftveres alkalmazás ismertetése... Permutáció Permutációak evezzük adott elem összes lehetésges sorbaredezését.... Ismétlés élküli ermutáció Ha az adott elemek külöbözőek, akkor az összes lehetséges sorbaredezést ismétlés élküli ermutációak evezzük.. elem ismétlés élküli ermutációiak száma: P =! Az! jelölés olvasása: faktoriális A formula úgy adódik, hogy a sorbaredezés sorá az első helyre külöböző elemet választhatuk, a második helyre (-) elemet és így tovább, azaz: P =(-)(-) Az első természetes szám szorzatát evezzük faktoriálisak. Eek kiszámításáál segítségül hívhatjuk az Excel FAKT függvéyét. Az Excel meüsorába a Kéletek meüotot kiválasztva kajuk a függvéyek választásáak lehetőségét. 4
Itt a Matematikai függvéyek közül a kiválasztjuk a FAKT függvéyt. Ezzel vagy a SZORZAT függvéyel számíthatjuk ki egy szám faktoriálisát: A FAKT függvéyek egyetle argumetuma va, azt a számot kell beíri melyek faktoriálisát ki akarjuk számítai. A SZORZAT függvéy argumetumába az a tömbhivatkozás kerül mely elemeiek szorzatát akarjuk kiszámítai. A FAKT és a SZORZAT függvéy alkalmazása 5 elem ismétlés élküli ermutációjáak kiszámítására. 3 4 5 SZORZAT(A:A5) FAKT(5) 0 0 Megjegyzés: a matematikai függvéyek között szereel még a FAKTDUPLA függvéy, jelölésbe!! melyre ( )( 4) 4!! ( )( 4) 3 ha ha k k Eek megvalósítása Excelbe: 5
3 4 SZORZAT(B9;B;B3) FAKTDUPLA(5) 5 5 5 A SZORZAT függvéy egy másik tiusú felhaszálásával szité lehet a dula faktoriálist számítai, amikor egyedi cellahivatkozások kerülek a függvéy argumetumába, otosvessző elválasztással. Példa: az,,3 számokból háy háromjegyű szám alkotható úgy, hogy mide jegyet egyszer haszálhatuk fel? A lehetséges számok: 3,3,3,3,3,3 ezek száma 3!=6. Nyilvá a faktoriális formula rekurzív módo is számítható azaz:!= (-)!. 6
.. Ismétléses ermutáció Ha az adott elem között azoosak is vaak, akkor összes lehetséges sorbaredezést ismétléses ermutációak evezzük. Példa: Háy külöböző számot kéezhetük az,,,,,3,3,3,4,4 jegyekből? Ha mid külöbözőek leéek akkor ebből a 0 jegyből 0! számot kéezheték de mide sorrede belül az azoos számok tetszőleges sorredje eseté a kézett szám ugyaaz. Ezért a lehetőségek száma: 0! 3!!3!! Ezt általáosítva kajuk az ismétléses ermutáció formuláját: ha va redre,,, azoos elemük, és k... k akkor eze elem összes lehetséges sorredjeiek számát eze elem ismétléses ermutációiak evezzük és a következő formulával számítjuk: P,,..., k!!!... k! Excelbe a FAKT függvéy alkalmazásával oldjuk meg az ilye tiusú feladatokat. A feti feladat megoldása: FAKT(0)/(FAKT(3)*FAKT()*FAKT(3)*FAKT()) 7
.3. Variáció A ermutáció esetébe elem sorbaredezéseit számláltuk le. Most az a kérdés hogya oldjuk meg az olya feladatokat kombiatorikai leszámlálással, mit l. egy elemű halmazak háy k elemű részhalmaza va, vagy gyakorlati alkalmazásokál, l egy 30 fős osztályból háyféleké tudok egy kézilabdacsaatot kiállítai? Matematikailag azt a kérdést tesszük fel, hogy hogya lehet elemből k elemet kiválasztai? Ha a k elem kiválasztásáál a sorredet is figyelembe vesszük, akkor variáció ha em, akkor a kombiáció témaköréhez jutuk..3.. Ismétlés élküli variáció A fetebb említett kérdésre a sorred figyelembe vétele eseté a variáció adja meg a választ. Defiíció: külöböző elemből kiválasztuk k elemet, de bármely elemet legfeljebb egyszer, a kiválasztás sorredjéek figyelembe vételével, akkor az összes lehetséges kiválasztást elem k-ad osztályú variációiak evezzük. Itt most külöböző elemet veszük és egy elem csak egyszer fordulhat elő, így ismétlés élküli variációról beszélük. Ha a kiválasztás logikáját követjük akkor az első helyre az első helyre külöböző elemet választhatuk, a második helyre (-) elemet és így tovább, a k-adik helyre (-k+) elemet, így elem k-ad osztályú variációiak száma : V k! ( )...( k ) ( k)! Egy osztályba futóverseyt redeztek. 7 gyerekek va egyforma esélye arra, hogy dobogóra kerüljö. Háyféleké alakulhatak ki köztük a dobogós helyezések. A feladatra választ 7 elem 3-ad osztályú ismétlés élküli variációja adja: V 3 7 7! (7 3)! Excelbe a VARIÁCIÓK statisztikai függvéy segítségével oldjuk meg a feladatot. 8
VARIÁCIÓK(7;3) 0.3.. Ismétléses variáció Defiíció: Ismétléses variációról beszélük akkor ha a kiválasztott elemek között azoosak is lehetek. Akkor a kiválasztásál mide helyre lehetséges választásuk va így k,i k V. Ha az előbbi feladatot úgy módosítjuk, hogy három futóverseyt redezük ugyaazo 7 gyerek között és az a kérdés háyféleké jöhet ki a győztes, akkor yilvávaló, hogy akár ugyaazo gyerek megyerheti midhárom verseyt, így ismétléses variációval számítjuk a megoldást. A VARIÁCIÓK.ISM vagy ha ismerjük az ismétléses variációk formuláját akkor a HATVÁNY függvéy segítségével. VARIÁCIÓK.ISM(7;3) HATVÁNY(7;3) 343 343 9
.4. Kombiáció A fetebb említett kiválasztási feladatál sorred figyelembe vétele élküli esetbe a kombiáció adja meg a választ. Defiíció: külöböző elemből k elem összes lehetséges kiválasztását elem k-ad osztályú kombiációiak evezzük..4.. Ismétlés élküli kombiáció Ismétlés élküli kombiációról beszélük akkor, ha az külöböző elemből úgy választuk ki k-t, hogy egy elemet legfeljebb egyszer választuk ki. A feladat megoldását a variációból levezethetjük úgy, hogy mide kiválasztott k-as tetszőleges sorredje eseté ugyaaz a kiválasztás valósult meg, így elem k-ad osztályú kombiációiak száma. azaz C k k k V C k!! k!( k)! Erre alkalmazak a matematikába egy seciális jelölést: C k k és úgy olvassuk ki hogy alatt a k. Példa: Egy 30 fős osztályból háyféleké tudok összeválogati egy kézilabdacsaatot. Mivel a kézilabdacsaat 4 fős és a kiválasztás sorredje yilvá em számít így 30 elem 4-ed osztályú kombiációiak száma adja meg a választ: 30 4 C 4 30 30! 4! 6! 0
Ezt Excelbe a KOMBINÁCIÓK matematikai függvéyel számolhatjuk: KOMBINÁCIÓK(30;4) Itt fotos megjegyezi hogy egy halmaz k elemű részhalmazai és -k elemű részhalmazai között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés létesíthető A k esetbe az A A megfeleltetéssel. Így egy elemű halmazak ugyaayi k elemű részhalmaz va mit - k elemű, azaz : C k C k k k.4.. Ismétléses kombiáció Ismétléses kombiációról beszélük akkor, ha az külöböző elemből úgy választuk ki k-t, hogy egy elemet többször is kiválaszthatuk. elem k-ad osztályú ismétléses kombiációiak száma: C k, i ( k )! k!( )! k k Hasolókée átfogalmazva az előző fejezet feladatát mit a variációk esetébe ha egy 30 fős osztály számára 4 futóverseyt redezük. Háyféleké választható ki az első helyezett: KOMBINÁCIÓK.ISM(30;4)
Megjegyzés: természetese mid a FAKT mid a SZORZAT függvéy segítségével kiszámítható a formula ismeretébe mid a variáció mid a kombiáció bármely formája.
.5 Pascal háromszög A biomiális együtthatók között va egy alavető rekurzív összefüggés, azaz elem k-ad osztályú kombiációját - elem k-ad és k--ed osztályú kombiációjára visszavezető formula: k k k Ez az összefüggés lehetőséget ad arra, hogy a biomiális együtthatókat egy olya iramis formába redezzük melyél bármely elem a közvetle felső szomszédaiak összegekét számolható: 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 8 8 56 70 56 8 8... A Pascal háromszög -edik sorába a következő elemek állak: Ezek összege: 0 0,,,...,.... Azaz az -edik sor összege az --edik sor összegéek kétszerese. 3
4 A biomiális együtthatók összegére voatkozó formula a biomiális tételből következik. A biomiális tétel két tag összegére voatkozik: k k b b a k b a b a a b a...... 0 ) ( Az együtthatókat kombiációkkal törtéő meggodolással számítjuk így adódik a formula. Ha most a=b= értékekkel számoluk akkor: k...... 0 így adódik a Pascal háromszög sorösszegeire voatkozó összefüggés.
.6. Logikai szita formula Olya kérdésekre ad választ mit l: Egy osztályba tauló kézilabdázik, 6 tauló kosárlabdázik és 6-a midkét sortba résztveszek. Háy fős az osztály? Jelölje A a kézilabdázók halmazát, B a kosárlabdázók halmazát. Ekkor: A, B 6, A B 6; Az osztály létszáma: A B A B A B 6 6. Három sortra megfogalmazva: Egy osztály tagjai három sortágba sortolak kézilabda, kosárlabda, tollaslabda. Az alábbi résztvevő számok vaak az egyes sortágakba: Kézilabdázik Kosárlabdázik 5 Tollaslabdázik 9 Kézilabdázik és kosárlabdázik 7 Kézilabdázik és tollaslabdázik 5 Kosárlabdázik és tollaslabdázik 4 Midhárom sortba részt vesz 3 Háy fős az osztály? Jelölje A a kézilabdázók halmazát, B a kosárlabdázók halmazát, C a tollaslabdázók halmazát. A B C A B C A B AC B C A B C 5 9 7 5 4 3 3 5
Ábrázoljuk ezt a két feladatot: A= A B 6 B=6 C=9 AC 5 A= A B C 3 B C 4 A B 7 B=5 6
A logikai szita formula általáosa is kimodható tetszőleges véges számú halmazra. Legyeek A,..., A tetszőleges véges halmazok. i A i k ;{ k ( ) A A,,..., k } {,,..., }... A k A bizoyítást, melyet most em részletezük, a fetebb tárgyalt kombiatorikai eszközökkel végezzük. 7
. Valószíűségszámítás A valószíűségszámítás a véletle jeleségek matematikai leírásáak eszköze. Egy lejtő csúszó test mozgásáak leírásához a fizikába, vagy egy ferde hajítás leírásához, meg tudjuk adi azokat a aramétereket, amelyek alajá teljes otossággal leírhatjuk a folyamatot, megmodhatjuk otosa, hogy egy adott illaatba a a test ályájáak mely otjá va, milye sebességgel mozog. Egy kockadobásál vagy ézfeldobásál azoba más módszertat kell találi afolyamat leírásához mivel ilye modellt em tuduk felíri. Ha mégis meg tudák mide aramétert határozi, kérdéses, hogy érdemes-e ezzel a módszerrel megközelítei a feladat megoldását, mert ayi adatot kellee e legtöbb ilye esetbe beéítei a modellbe ami agyo ehézkessé teé a legegyszerűbb feladat megoldását is... Eseméyalgebrai alaok, eseméy, eseméytér Ebbe a fejezetbe a valószíűségszámítás alafogalmait tárgyaljuk.... Eseméy, eseméytér Egy véletle jeleség előidézését mit l kockadobás, vagy megfigyelését, véletle kisérletek evezzük. Defiíció:Egy kísérlet lehetséges kimeeteleit elemi eseméyek, az elemi eseméyek halmazát edig eseméytérek evezzük. Defiíció: Az eseméytér bármely részhalmazát eseméyek evezzük. Defiíció: Azt modjuk, hogy egy A eseméy bekövetkezik, ha a véletle kisérlet kimeetele olya elemi eseméy mely A-ak eleme. 8
Pl: kockadobás eseté P={,4,6} az az eseméy hogy árosat dobuk, ez akkor következik be, ha, 4,vagy 6 az az elemi eseméy mely a kockadobás kimeetele. Defiíció: Azt modjuk hogy egy A és B eseméy egyszerre következik be ha a véletle kisérlet kimeetele olya elemi eseméy mely A-ak is és B-ek is eleme. Defiíció: Egy eseméytér összes részhalmazait tekitve a két em valódi részhalmazak seciális jeletése va. Az és maga a teljes eseméytér. Halmazelméleti termiológiával élve, a olya eseméyt rerezetál melyek ics elemi eseméy eleme, ily módo sohasem következhet be, ezt lehetetle eseméyek evezzük. Másik maga az eseméytér mit eseméy mely midig bekövetkezik hisze mide elemi eseméyt tartalmaz, ezt biztos eseméyek evezzük (jelölésbe I vagy ).... Műveletek eseméyekkel Az eseméyek halmazrerezetációja kacsá felmerül aak igéye, hogy a halmazelméleti műveletekkel aalógiába tudák-e műveleteket értelmezi az eseméyeke. Mit alább láthatjuk az eseméyeke végzett műveletek megfogalmazásukba is tükrözik az aalóg halmazelméleti műveleteket. Defiíció: A B - azaz A és B eseméyek összege - az az eseméy mely akkor következik be ha A vagy B közül legalább egyik bekövetkezik. A B eseméy szemléltetése az alábbi ábrá. A sziezett eseméy jelöli az A B eseméyt. 9
A I A+B B Defiíció: A B - azaz A és B eseméyek szorzata - az az eseméy mely akkor következik be ha A és B is bekövetkezik. A B eseméy szemléltetése az alábbi ábrá. A sziezett eseméy jelöli az A B eseméyt. A I AB B Ha A, B két olya eseméy, amelyek em következhetek be egyszerre, akkor azt modjuk, hogy A és B kizáróak. Az alábbi ábra A és B eseméyei kizáróak. 0
A I B Ekkor A B a lehetetle eseméy. Az összeadás és szorzás műveleteit a biztos és lehetetle eseméyeke elvégezve igazak az alábbiak: A A I A A A A I I Defiíció: A - azaz komlemeter eseméy - az az eseméy mely akkor következik be, ha A em következik be. Az alábbi ábrá az eseméytérből a sziezetle résszel jelöltük A eseméyt és sziessel a komlemeterét. I A A
Megállaodás szerit legye: : I és I...3. Műveleti tulajdoságok Hasolóa a halmazelméleti, vagy a valós számok közötti műveletekhez itt is fotos vizsgáluk hogy az eseméyek közötti műveletek milye tulajdoságokkal redelkezek. Az eseméyek közötti műveletekre teljesülek a következők: Az összeadás és szorzás művelete kommutatív (a komoesek felcserélhetők), asszociatív (a komoesek csoortosíthatók) és a szorzás az összeadásra ézve valamit az összedás a szorzásra ézve disztributív, azaz a szorzás összege komoesekét végezhető és az összeadás szorzato komoesekét végezhető, azaz: A B = B A AB = BA ( A B) C = A (B C) ( AB) C = A (BC) A( B C) = AB + AC A BC = ( A B)( A C) A disztributivitásból következik a beolvasztási szabály: A AB A Eseméyalgebrába is teljesülek a logikából és a halmazelméletből jól ismert De-Morga azoosságok: A B AB AB A B A halmazelmélethez hasolóa értelmezzük az alábbi műveleteket: Defiíció: Kivoás A B AB. Defiíció: Szimmetrikus differecia A B ( A B) ( B A).
A szimmetrikus differeciára igazak az alábbi összefüggések: AA AB BA A A AB (A B) AB AI A A B (AB) AB Reláció eseméyek között: Defiíció: Ha az A eseméy bekövetkezése eseté midig bekövetkezik a B eseméy is akkor azt modjuk, hogy az A eseméy maga utá voja B eseméyt. Jelölés: AB A A I A A A B B C A C A B B A A B A B B A. Defiíció: ha A, A,, A eseméyekről azt modjuk, hogy teljes eseméyredszert alkotak, egyik sem a lehetetle eseméy, árokét kizáróak és összegük a teljes eseméy, azaz:. A k. A A i 3. A ( k,,, ) j i, j,,, A A I. Defiíció: Egy A eseméyt összetett eseméyek evezük, ha előállítható két A -tól külöböző eseméy összegekét, azaz: A B C ahol B A és C A. Ha egy eseméyalgebra elemeiek száma akkor az összes eseméyek száma egy halmaz összes részhalmazaiak számával aalóg módo- : 3
i0. i..4. A valószíűség fogalma A valószíűség axiomatikus megalaozásához a relatív gyakoriság tulajdoságaiból iduluk ki. Defiíció: Ha függetle kisérletet végzük egy A eseméy megfigyelésére és A k -szor következett be akkor k -t az A eseméy gyakoriságáak a gyakoriságáak evezzük és g -val jelöljük. A k / értéket edig A relatív A relatív gyakoriságra köye elleőrizhető, hogy igazak a következők:. 0 ga. Ha I a biztos eseméy akkor g I I 3. Ha A és B kizáró eseméyek akkor ga B ga gb. Ez utóbbit köye igazolhatjuk véges sok eseméyből álló halmazra is, akkor azt kell felteük, hogy árokét kizáró eseméyeik vaak. A valószíűség axiomatikus megalaozásakor a feti tulajdoságokból mit axiómákból iduluk ki:. Axióma Egy eseméyalgebra mide A eleméhez hozzá va redelve egy 0 P(A) szám, amely az A eseméy valószíűsége.. Axióma A biztos eseméy valószíűsége, azaz P ( I ). 3. Axióma AB eseté P( A B) P( A) P( B). A, A A 4. Axióma Ha,,, egymást árokét kizáró eseméyek, akkor 4
P ( i A ) i i P( A ) A 3.axiómát véges sok eseméyből álló halmazra is felírhatjuk a relatív gyakorisághoz hasolóa, azzal a feltevéssel, hogy hogy árokét kizáró eseméyeik vaak. i..5. Feltételes valószíűség Ha m kisérletet végzük B eseméy megfigyelésére, és otosa -szer fordult elő B és az k kisérletből k -szor az A eseméy is bekövetkezik akkor a háyadost az A eseméy B feltétel melletti feltételes relatív gyakoriságáak evezzük. A valószíűség defiíciójához P( AB) hasolóa ebből kiidulva a -t az A eseméy B feltétel melletti feltételes P( B) valószíűségéek evezzük, P ( B) 0 eseté. P( AB) Jelölésbe: P ( A B), azaz P( A B). P( B) Ezt felírhatjuk P(AB) P(A B)P(B) alakba. Ez a forma általáosítható tetszőleges véges számú eseméyre, eek a formuláak a eve: Szorzási szabály: P( A A A ) P( A ) P( A A ) P( A3 A A ) P( A A A A )..6. Eseméyek függetlesége, Teljes valószíűség, Bayes tétel; függetle eseméyek 5
Defiíció: Egy A és B eseméyt akkor tekitük sztochasztikus értelembe függetleek, ha az egyik eseméy bekövetkezése - a feltételes valószíűséggel az alábbi módo megfogalmazott értelembe - em függ a másik bekövetkezésétől, azaz : P(A) P(A B) Ekkor a feltételes valószíűség defiíciójából köye látható hogy: P(A)P(B) P(AB), mivel szimmetrikus reláció a két eseméy között így köye belátható hogy ekkor: P(B) P(B A). Felmerül aak kérdése hogy ez hogya defiiálható több eseméyre: Defiíció: Azt modjuk, hogy A, B,C eseméyek teljese függetleek árokét függetleek, midegyik eseméy függetle a másik kettő szorzateseméyétől. Vagyis ha teljesülek a következők: P( AB) P( A) P( B). P( AC) P( A) P( C). P( BC) P( B) P( C). P( ABC ) P( A) P( B) P( C). Ehhez hasolóa tetszőleges véges sok eseméyre: Defiíció: igaz: A, A,, A eseméyek teljese függetleek, ha bármely k,3,, esetére P(A i,a,,a ) P(A )P(A ) P(A i ik i i ik ), az {,,3,, } halmaz tetszőleges { i,i,,ik} k -elemű részhalmazára. Teljes valószíűség tétele: 6
Ahhoz hogy a tételt megfogalmazzuk először defiiáljuk a teljes eseméyredszer fogalmát. Defiíció: A, A,, A eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, ha árokét kizáróak és összegük a biztos eseméy, azaz: A A i j, ( i, j) : i j A A A I A teljes valószíűség tétele: Legye A, A,, A teljes eseméyredszer egy eseméytérbe. Legye B ugyaazo eseméytér egy tetszőleges eseméye. Akkor: P(B) P(B A )P(A ). i i i 7
.. Valószíűségi változó... Diszkrét valószíűségi változó Defiíció. Egy X valószíűségi változót diszkrétek evezük, ha legfeljebb megszámlálható értéket vehet fel. Azaz a lehetséges értékek halmaza véges vagy megszámlálható. Ilye diszkrét változó éldául a kockadobás valószíűségi változója vagy a ézfeldobás valószíűségi változója. Defiíció: Ha X lehetséges értékeiek halmaza: x, x,, x, akkor a P( X x ) i,, diszkrét függvéy a változó eloszlása. i i, Defiíció: F ( x) függvéy a változó eloszlásfüggvéye. xi x i Diszkrét valószíűségi változó eloszlásfüggvéye lécsős függvéy melyek azoko a helyeke va ugrása ahol a változó értéket vehet fel és az ugrás agysága az érték felvételéek valószíűsége. Erre a biomiális eloszlású valószíűségi változóál hozuk éldát.... Várható érték Defiíció: Ha egy X diszkrét valószíűségi változó értékeiek halmaza megszámlálható: x, x,, x, és ezeket az értékeket redre,,,, akkor az i i valószíűségekkel veszi fel M ( X ) i x sor összegét a változó várható értékéek evezzük, ha a sorösszeg véges. Ha véges sok értéket vesz fel a változó akkor a várható értéket az 8
M ( X ) formula adja. Kockadobás várható értéke: M ( X ) 3 6 3, 5 6 6 6 6 Igaz az alábbi állítás: Legyeek c,..., i, c c kostasok és X,X,..., X létezik a várható értéke, akkor: M( k c X ) k k k i x i olya valószíűségi változók amelyekek c k M(X k ). Várható értéket Excelbe csak véges értékű változóra tuduk számítai,kétféle módszerrel: Ha bármely változóérték felvételéek valószíűsége azoos: akkor az ÁTLAG függvéyek közül a megoldadó feladatra voatkozót kell alkalmazi. Ezek a függvéyek a statisztikai függvéyek közül választadók ki és átlagkét számtai közeet számolak mide esetbe. Egymástól abba külöbözek, hogy a szöveges illetve logikai változókat kezelik-e illetve bizoyos logikai szűrőfeltételek megfelelő cellákat választaak ki vagy mide cellát kezelek egy adott tartomáyba. Az ÁTLAG ÁTLAGA ÁTLAGHA illetve ÁTLAGHATÖBB függvéyek számolak átlagot. az ÁTLAG függvéy argumetumai átlagát számítja ki, az ÁTLAGA szöveg és logikai változót is kezel az ÁTLAGHA illetve ÁTLAGHATÖBB függvéyek esetébe feltételeket adhatuk meg, hogy mely cellákra számítso átlagot 9
Ha a változó az értékeit külöböző valószíűségekkel veszi fel, akkor : A valószíűségek és az értékek vektoráak skalárszorzatakét a SZORZATÖSSZEG függvéyel, melybe két argumetumkét a valószíűségek és az értékek tömbjét kell beíri.... Szórás Ömagába a várható érték em ad elegedő jellemzést az valószíűségi változóról, mert em modja meg hogy az értékei meyire vaak közel az átlaghoz, azaz az átlag valós jellemzője-e a változó értékeiek? Eek mértékét jellemezzük az átlagtól való átlagos eltéréssel, a szórással. Ez a két jellemző együtt már otosabb kéet az változó viselkedéséről. Legye X egy valószíűségi változó akkor az X M (X ) is egy valószíűségi változó így [ X M ( X )] is az. Eek várható értékét evezzük a változó szóráségyzetéek. Ebből a szórás: D ( X ) M ([ X M ( X )] ) D( X ) M ([ X M ( X )] ) Igaz az alábbi állítás: Legyeek akkor: c,...,, c c kostasok és X,X,..., X D ( k c X ) k k k árokét függetle valószíűségi változók c k D (X k ). Az D ( X ) M ([ X M ( X )] ) M ( X ) M ( X ) egyelőség köye igazolható és módot ad a szórás egyszerűbb kiszámítására. 30
A kockadobás változójáak szóráségyzete így kétféleké számítható: defiíció alajá: D ( X ) ( 3,5) ( 3,5) (3 3,5) (6 3,5) 6 6 6 6,9 vagy a defiícióból származtatott D ( X ) M ( X ) M ( X ) formula segítségével: D ( X ) ( 3 6 6 6 6 ) 3,5 6,9 Így a kockadobás változójáak szórása: D ( X ),9, 7. Ha véges sok értéket vesz fel a változó akkor a szórását a statisztikai SZÓRÁS függvéyek egyikével számoljuk aszerit, hogy statisztikai mita alajá aduk a sokaságbeli szórásra becslést vagy amit kezelük az teljes sokaság és eek szórását számoljuk. Eze belül az ÁTLAG függvéyek megfelelőe itt is abba tér el a kétféle SZÓRÁS függvéy, hogy a logikai és szöveges értékeket kezeli-e? Kockadobás esetébe éldául a SZÓRÁSPA függvéy a fetebb számítottakkal azoos eredméyt ad. Excelbe a SZÓR.M, SZÓR.S, SZÓRÁSA, SZÓRÁSPA függvéyekkel tuduk szórást számítai. a SZÓR.M és a SZÓRÁSA függvéyek mitáak tekitik az adatokat és a későbbi statisztikai fejezetbe a mita szórásáak tekitett formula alajá számít szórás értéket Sokaságak tekitik az adatokat és így számolak szórást a SZÓR.S és a SZÓRÁSPA függvéyek, a SZÓRÁSPA szöveg és logikai változókat is kezel. 3
... Folytoos valószíűségi változók... Eloszlásfüggvéy Defiíció: Legye X valószíűségi változó, az R -e értelmezett F( x) P( X x) valós függvéyt a változó eloszlásfüggvéyéek evezzük. Az eloszlásfüggvéy tulajdoságai: A defiíció alajá eloszlás függvéy értéke az x otba aak a valószíűsége, hogy a X változó értékei kisebbek mit x. Az eloszlásfüggvéyre a defiíció alajá teljesülek az alábbi tulajdoságok: F(x) 0 az eloszlásfüggvéy emegatív mooto övekvő, azaz x, y ra ha x y F(x) F(y) határértékek végtelebe: lim F(x) 0 x limf(x) x balról folytoos, azaz a R reha x y limf(x) F(a) xa Ezek a feltételek elegedőek is azaz ha egy F(x) függvéy eleget tesz az feti égy feltételek, akkor va olya folytoos valószíűségi változó melyek F(x) az eloszlásfüggvéye. Az alábbi ábrá szemléltetjük ezeket a tulajdoságokat: 3
Eloszlásfüggvéy 0,9 0,8 lim x F(x) 0 0,7 0,6 0,5 F(x ) (x ) 0,4 0,3 0, F Mootoitás lim x F(x) 0, 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 x x... Sűrűségfüggvéy Defiíció. Ha az X valószíűségi változó F(x) eloszlásfüggvéye folytoos, és véges számú ot kivételével a függvéy deriválható akkor az F' (x) deriváltfüggvéyt az X változó sűrűségfüggvéyéek evezzük és f (x) -szel jelöljük. Ekkor tehát F'(x) f (x) azaz f (x) az F(x) deriváltfügvéye. Ekkor az előzővel ekvivales állítást fogalmazuk meg F (x) fetebb említett tulajdoságai alajá: Ha létezik egy olya f (x) melyre F (x) x f (t)dt akkor f (x) függvéyt az X változó sűrűségfüggvéyéek evezzük. Ekkor F(x) a f (x) itegrálfüggvéye. A sűrűségfüggvéy tulajdoságai: f (x) 0 az sűrűségfüggvéy emegatív f (x)dx azaz a sűrűségfüggvéy itegrálja. 33
b f (x)dx P(a X b) a A Newto-Leibitz szabály miatt : b a f (x)dx F(b) F(a) Ha egy függvéy redelkezik az első két tulajdosággal akkor egy folytoos valószíűségi változó sűrűségfüggvéye. Ez azt jeleti hogy a P(a X b) valószíűséget a sűrűségfüggvéy függvéy alatti területtel méri az eloszlásfüggvéy edig függvéyértékek közötti külöbséggel.... Várható érték Defiíció: Egy X folytoos valószíűségi változó várható értéke... Szórás M (X) xf (x) dx Defiíció: Egy X folytoos valószíűségi változó szórása: D(X) (x M(X)) f (x) dx M(X) és M(X ) létezése szükséges és elegedő feltétel a D ( X ) létezéséhez, és így a szóráségyzetet felírhatjuk a következő formába: D (X) x f (x)dx ( xf (x)dx) 34
..3. Mediá, módusz, kvartilis Defiíció: Ha az X valószíűségi változó F(x) eloszlásfüggvéyére az F(x) egyeletek egyetle megoldása va akkor az az érték a változó mediája, ha egy itervallum akkor aak közéotja a mediá. Ha ics megoldás akkor a mediá az értékek felső határa. F(x) Defiíció: Egy X diszkrét valószíűségi változó értékeiek halmaza ezeket az értékeket redre x, x,, x, és,,,, valószíűségekkel veszi fel akkor eze valószíűségek maximum helyét a változó móduszáak evezzük. Defiíció: Folytoos valószíűségi változó módusza sűrűségfüggvéyéek maximumhelye. Egy változóak több módusza is lehetséges. Defiíció: Egy változó kvartilisé egy olya számot értük mely az eloszlást redre 3 :, 4 4 :, 4 4 3 : 4 4 aráyok valamelyikébe osztja. A közéső kvartilis a mediá. Az első kvartilist alsó kvartilisek a harmadikat felső kvartilisek hívjuk. A kvartilisekek dötő szeree va abba a később tárgyaladó témába mely a mita boxbajusz ábrázolásáról szól...4. Nevezetes diszkrét eloszlások..4.. Biomiális eloszlás 35
Végezzük függetle kisérletet egy A eseméy bekövetkezéséek megfigyelésére. Legye A bekövetkezési valószíűsége mide kisérlet eseté. Legye X valószíűségi változó értéke Abekövetkezéseiek száma. Ekkor X lehetséges értékei yilvá Legye jelölésbe P(X k). k,,, lehetek. Egy ilye kisérlet sorá yilvá A vagy A következik be. Vizsgáljuk az függetle kisérlet sorá egy olya hosszúságú sorozatot melybe k esetbe következett be Aés k esetbe következett be A. Az ilye sorozatok száma kombiatorikai megfotolások alajá. k Mivel feltettük hogy a kisérletek egymástól függetleek egy ilye sorozat valószíűségét az egyes kisérletekbe bekövetkező eseméyek valószíűségeiek szorzatából kajuk, azaz az eredméy P( A) P( A) P( A) P( A) P( A) P( A) ( ) k k Így aak valószíűsége hogy Aotosa k -szor következik be k k k k k k P(X k) ( ) Egy ilye valószíűségi változót biomiális eloszlásúak evezük. A biomiális eloszlás eseté mid a számításokba mid az eloszlás ábrázolásába segítségül hívhatjuk az Excelt. Egy rögzített araméterekkel megadott biomiális eloszlás értékeiek kiszámítása a Statisztikai függvéyek között található BINOM.ELOSZL függvéy segítségével törtéik. Eek fügvéyek mid a égy araméterét kötelező megadi. A araméterek jeletése: Sikeresek araméter a biomiális eloszlás k aramétere vagyis a megfigyelt kisérlet bekövetkezéseiek száma. 36
Kisérletek araméter a biomiális eloszlás aramétere vagyis a függetle kisérletek száma. Siker_valószíűsége araméter a biomiális eloszlás aramétere, a megfigyelt eseméy bekövetkezési valószíűsége. Eloszlásfv araméterrel azt állíthatjuk be, hogy a biomiális eloszlás eloszlásfüggvéyéek vagy sűrűségfüggvéyéek értékét számítjuk ki. Az eloszlás ábrázolásához haszálhatjuk az Excel előbb említett függvéyét: A függvéyt ekkor az ábrá látható araméterezéssel írtuk fel. 0, 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0 =0,5;=0 araméterű biomiális eloszlás 0 4 6 8 0 4 6 8 0 A biomiális eloszlás eseté egy adott (x,y) koordiátájú ot a diszkrét görbé a ( k,k ) ot. Sok olya feladat va, ahol aak valószíűségét kell meghatározi hogy egy biomiális eloszlású változó értéke [ k,m] itervallumra esik. Ekkor az a kérdés, hogy mekkora az alábbi valószíűség: P (k X m) m ik i ( ) i i 37
Ha ekkor k 0 akkor arra a kérdésre ad választ az így megszerkesztett kumulált eloszlásgörbe egy otját az alábbi módo írhatjuk fel: (k, Eek a otak az értelmezése az, hogy mi a valószíűsége aak hogy a változó értéke legfeljebb k. Az így kaott diszkrét függvéyt láthatjuk az alábbi ábrá. k i0 ) i, =0; =0,5 araméterű kumulált biomiális eloszlás 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Ebből köye megszerkeszthető a biomiális eloszlás eloszlásfüggvéye. Ahogya az eloszlásfüggvéyekél is említettük diszkrét eloszlás eloszlásfüggvéye lécsős függvéy, melyek egy adott otba akkora ugrása va amekkora az adott ot felvételéek valószíűsége. 38
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, =3;=0,5 araméterű biomiális eloszlású változó eloszlásfüggvéye [-;4] itervallumo 0 - -0,5 0 0,5,5,5 3 3,5 4 A biomiális eloszlású változó várható értéke: M(X). Ez a várható érték defiíciójából adódik, a következő formula matematikai redezéséből: M(X) k 0 k k k k k ( ) k 0 k Ezt redezve és a biomiális tételt kihaszálva kajuk az eredméyt. Szórása a várható értékhez hasolóa a szórás defiíciójából adódik: D (X) M(X ) M (X) D (X) k0 k k k ( ) k ( k0 k k k ( ) Eek redezéséből kajuk a D(X) ( ) formulát. k ) 39
..4.. Poisso eloszlás A Poisso eloszlás a biomiális eloszlás határértékekét számítható, ha álladó úgy, hogy. Ha ozitív álladó és X egy diszkrét valószíűségi változó, amelyek értékei 0,,,,, lehetek, akkor ha: k e P(X k) k! akkor X -et araméterű Poisso eloszlású valószíűségi változóak hívjuk. 0,4 λ=0 araméterű Poisso eloszlás 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0 0 5 0 5 0 40
, λ=0 araméterű kumulált Poisso eloszlás 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 5 0 5 0 A biomiális eloszláshoz hasolóa az így megszerkesztett kumulált eloszlásgörbe egy otját az alábbi módo írhatjuk fel: (k, Eek a otak az értelmezése az, hogy mi a valószíűsége aak hogy a változó értéke legfeljebb k. Az így kaott diszkrét függvéyt láthatjuk az feti ábrá. k i0 ) i Poisso eloszlás eseté M (X). D (X)...5. Nevezetes folytoos eloszlások..5.. Egyeletes eloszlás Defiíció: Az X valószíűségi változót egyeletes eloszlásúak evezzük az (a,b) itervallumo, ha sűrűségfüggvéye: 4
Eloszlásfüggvéye: f (x) F (x) b a 0 x a b a 0 ha a x b külöbe ha a x b ha x a ha b x Várható értéke: Szórása: a b M(X) b a D(X) Egyeletes eloszlás sűrűség és eloszlásfüggvéyét az alábbiakba ábrázoljuk: Egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-5 -3-3 5 4
Egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéye 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-5 -3-3 5..5.. Normális eloszlás Defiíció: Egy valószíűségi változó ormális eloszlású ha sűrűségfüggvéye a teljes valós számhalmazo értelmezett alábbi függvéy: f (x) e (xm) ahol m tetszőleges valós, edig ozitív valós. Ekkor a változó eloszlásfüggvéye a sűrűségfüggvéy itegrálfüggvéye. F(x) x f (t)dt x e (t m) dt Erre a változóra M(X) m és D (X). 43
Azt hogy X valószíűségi változó m várható értékű és szórású ormális eloszlású változó a következőkée jelöljük: X ~ N(m, ) Igaz a következő: X m Defiíció:Ha X ~ N(m, ) akkor a következőkée defiiált Y is valószíűségi változó és Y ~ N(0,) vagyis olya ormális eloszlású valószíűségi változó melyek várható értéke 0, szórása edig. Az ilye változót stadard ormális eloszlású változóak hívjuk. Sűrűségfüggvéyére és eloszlásfüggvéyére seciális jelölést alkalmazuk sűrűségfüggvéyét eloszlásfüggvéyét edig jelölje. A stadardizálással a következő függvéytraszformációkat hajtjuk végre: a sűrűségfüggvéy eseté: az eloszlásfüggvéyre edig: f x x m F x x m A stadard ormális eloszlású változó sűrűségfüggvéye : eloszlásfüggvéye edig: (x) e x (x) x f (t)dt x e t dt 44
A ormális eloszlás sűrűség és eloszlásfüggvéyét Excelbe tudjuk ábrázoli: Erre szolgál a NORM.ELOSZL függvéy. NORM.ELOSZL(x;Közéérték;Szórás;Eloszlásfüggvéy) X : Az az érték, amelyél az eloszlást kiszámítjuk Közéérték : Az eloszlás várható értéke Szórás : Az eloszlás szórása. Eloszlásfv : Ha IGAZ az eloszlásfüggvéyt ad vissza ha HAMIS, akkor sűrűségfüggvéyt Az alábbiakba egy N(0,) és egy N(7,4) változó sűrűségfüggvéyért láthatjuk. 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-0 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 N(0,) N(7,4) A ormális eloszlás sűrűség függvéyét haraggörbéek(vagy Gauss-féle haraggörbéek) hívjuk. A függvéy lefutásába agyo fortos szeree va a araméterekek. A függvéy szimmetrikus és maximuma m helye va. Az m illetve m x koordiátájú otokba edig iflexiós otja va. 45
Így a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyéek - és + otokba az N(7,4) sűrűségfüggvéyéek edig 3 és 0 otokba. Így azt láthatjuk hogy a szórás övelésével a görbe kisebb kisebb maximumú lesz és a függvéy alatti terület azoos %-át, l:95%-át agyobb itervallumo veszi fel. Ugyaeze változók eloszlásfüggvéyei az alábbiak: 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-0 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 N(0,) N(7,4) Látható hogy a szórás övelésével az eloszlásfüggvéy kevésbé lesz meredek. Fotos megjegyezi, hogy a sűrűségfüggvéy tegelyese szimmetrikus az az eloszlásfüggvéy edig közéotosa szimmetrikus az ( m;0,5) otra. A stadard ormális eloszlás szimmetriáját a következő formula írja le: x m egyeesre, ( x) ( x). 46
..5.3. Exoeciális eloszlás Exoeciális eloszlásúak evezük egy folytoos valószíűségi változót ha sűrűségfüggvéye a következő alakú: f (x) e 0 x ha x 0 külöbe Ebből kajuk az eloszlásfüggvéy alakját: F(x) e 0 x ha x 0 külöbe Ha X exoeciális eloszlású valószíűségi változó akkor és Megjegyzés: M (X) D (X). Exoeciális eloszlással jellemezzük a géalkatrészek időtartamát, készülékek élettartamát, villaykörték működési idejét, radioaktív bomlást. Az exoeciális eloszlás eloszlásfüggvéyéek matematikai alakja az örökifjú tulajdoságból levezethető. Az örökifjú tulajdoság azt jeleti, hogy, ha egy géalkatrész vagy készülék t időtartamot megélt, akkor aak valószíűsége hogy a következő üzembe helyezéskor a t időitervallum túlélési valószíűsége. Ez a következő feltételes valószíűséggel fogalmazható meg: t időitervallumot túléli ayi mit P(X t t X t) P(X t). 47
Exoeciális eloszlásfüggvéyek 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-3 - - 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 λ=0, λ=0,5 λ= λ= Exoeciális eloszlás sűrűségfüggvéyek,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0-3 - - 0 3 4 5 6 7 8 9 0 λ=0, λ=0,5 λ= λ= 48
..5.4. Gamma eloszlás A gamma eloszlás defiíciójához defiiáli kell a gamma függvéyt. Defiíció: Az x t ( x) t e dt (x 0) összefüggéssel megadott függvéyt gamma 0 függvéyek evezzük. Erre a függvéyre igazak az alábbiak: ( ) ( x) (x ) (x ) ( x ) tetszőleges természetes számra: ( ) ( )! Ezért ez a függvéy a faktoriális fogalom általáosításáak tekithető. Még egy evezetes összefügg és a gamma függvéyre: ( ) Defiíció: Gamma eloszlásúak evezük egy valószíűségi változót ha sűrűségfüggvéye: f (x) ( ) x x e ahol alakaraméter, skálaaraméter. Ha X gamma eloszlású valószíűségi változó, ahol alakaraméter, skálaaraméter, akkor: M (X) D (X) 49
Defiíció: A gamma eloszlás eloszlásfüggvéyéek meghatározásához defiiáljuk a em teljes gamma függvéyt: ( x, y) y 0 t x e t dt (x, y 0) Ekkor ha X gamma eloszlású valószíűségi változó, ahol alakaraméter, skálaaraméter, akkor eloszlásfüggvéye. F(x) x (, ) ( ) Az alábbi ábráko a gamma eloszlás eloszlás és sűrűségfüggvéyét ábrázoltuk külöböző alak és skálaaraméterek mellett. Korábba az exoeciális eloszlásál láttuk olya eloszlásdefiíciót mely csak ozitív értékeke em 0. Most csak ozitív étékekre ábrázoljuk mid az eloszlás mid a sűrűségfüggvéyt. 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Gamma eloszlás sűrűségfüggvéyek (alakaraméter;skálaaraméter) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 (,) (,) (,) (,5;3) 50
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Gamma eloszlás eloszlásfüggvéyek (alakaraméter;skálaaraméter) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 (,) (,) (,) (,5;3)..5.5. Khí égyzet eloszlás Defiíció: Az X valószíűségi változót szabadságfokú khi-égyzet eloszlásúak evezzük, ha sűrűségfüggvéye: x x e (x) ( ) 0 f ha x 0 külöbe Ezt az eloszlást jelölik illetve jelöléssel is. Ha az X valószíűségi változó szabadságfokú khi-égyzet eloszlású akkor eloszlásfüggvéye: F(x) x (, ) ( ) (x 0) 5
Az alábbi ábráko a khi-égyzet eloszlás eloszlás és sűrűségfüggvéyét ábrázoltuk külöböző alak és skálaaraméterek mellett. Korábba az exoeciális eloszlásál láttuk olya eloszlás defiíciót mely csak ozitív értékeke em 0. Most csak ozitív értékekre ábrázoljuk mid az eloszlás mid a sűrűségfüggvéyt. 0,6 Khí-égyzet eloszlás sűrűségfüggvéyek szabadságfokkal 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0 0 5 0 5 0 5 =5 =0 =5 5
Khí-égyzet eloszlás eloszlásfüggvéyek szabadságfokkal 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 5 0 5 0 5 =5 =0 =5..5.6. Studet féle t-eloszlás Defiíció: Az X valószíűségi változót szabadságfokú Studet eloszlásúak evezzük, ha sűrűségfüggvéye: f (x) x Ezt az eloszlást jelölik t illetve t jelöléssel is. A Studet eloszlás sűrűségfüggvéye a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyéhez hasolóa az y tegelyre szimmetrikus. A Studet féle eloszlás eloszlásfüggvéye: F(x) x t dt 53
=0 szabadságfokú t-eloszlás sűrűségfüggvéye 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 =0 szabadságfokú t-eloszlás eloszlásfüggvéye 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 54
Későbbi statisztikai alkalmazás szemotjából agyo fotos az alábbi állítás. Legyeek X stadard ormális eloszlású, Y edig khi-égyzet eloszlású szabadsági fokú valószíűségi változók. Legyeek továbbá X és Y függetleek. Ekkor a T X Y valószíűségi változó szabadságfokú t eloszlású valószíűségi változó lesz. 55
3. Statisztika A statisztika üzleti vagy gazdasági oblémákba széleskörűe alkalmazható. Alkalmazása em jelet mást, mit a matematikai statisztika módszereiek alkalmazását az üzleti, gazdasági életbe adódó roblémák megoldására. A statisztikai módszerek a valószíűségszámítás elméleti eredméyeire éülek. A statisztika alkalmazása az üzleti gazdasági folyamatokba felmerülő dötési helyzetek megoldásába segítik az üzleti gazdasági élet szakembereit. 3.. Mérés fogalma, mérési skálák 3... Névleges A statisztikai egyedekhez redelt egyedi azoosító értékek melyekek matematikai szemotból ics szeree. Pl: em(férfi-ő), egyéb demográfiai azoosítók mit l lakóhely tiusa, stb. Jelethet olya megkülöböztetést, hogy a vizsgálat szemotjából bizoyos egyedek azoos osztályba tartozak vagy em. A omiális adatokat kategórikus adatokak is hívjuk. 3... Sorredi Eek a hozzáredelések már va matematikai szeree, ez a hozzáredelés ragsorolást ad az egyedek között vagyis refereciát állít fel, de refereciaitezitást em mér azaz méri, hogy egy egyed agyobb vagy kisebb egy másikál de em méri hogy meyivel. Az iskolai osztályozás vagy egy verseybe a helyezések ilye skálát jeleteek. 3..3. Külöbségi 56
Az egyedek között úgy állít fel refereciát hogy a refereciaitezitást is méri tudjuk. Ezekek a skálákak a 0-otjuk általába ökéyes. Ilye a hőmérsékleti skála. A hőmérsékletet mérhetjük Celsiusba vagy Fahreheitbe ez azt jeleti hogy ugyaaak a hőmérsékletek más mérőszámot tulajdoítuk. vagyis a skála kiidulóotja lesz más. 3..4. Aráy skálák Olya skálákat evezük aráyskáláak ahol a hozzáredelt számértékek mérési értékek - háyadosáak is értelme va. Ilye éldául egy verseye az időeredméyek vagy lőtt - kaott gólok száma. Ekkor emcsak azt állaíthatjuk meg hogy valaki jobb mit a másik eddig ragsorolás, vagy, hogy meyivel jobb mit a másik eddig külöségi skála, haem azt is, hogy háyszorosa a hozzáredelt érték egy másik egyedhez redelt értékek. 57
3.. Pouláció és mita fogalma Statisztikai vizsgálatokat statisztikai egyedek meghatározott halmazá végzük. Vizsgálataik fókuszát ezekek az egyedekek a bizoyos adatai kéezik. Ebbe az esetbe tehát adott vizsgálatukhoz az egyedek bizoyos összessége és a egyedeket jellemző vizsgált adatok összessége. Az egyedekek ezt a halmazát evezzük statisztikai sokaságak vagy oulációak. Ez a halmaz általába agy elemszámú. Ilye lehet éldául a KSH foglalkoztatottsági statisztikai vizsgálataiba a mukakées korú magyar lakosság, vagy egy ártrefereciákat mérő közvéleméykutató szemotjából a szavazókées magyar lakosság. Vizsgálataik tárgyát kéezhetik egy cég termékei is, éldául miőségbiztosítási szemotok alajá. A statisztikai sokaságot külöböző szemotok alajá vizsgálhatjuk. Eek alajá lehet egy sokaság: Az egységek száma szerit: véges vagy végtele Az egységek időbeli viselkedése szerit: álló vagy mozgó Az egységek jellege alajá: diszkrét vagy folytoos. Poulációba általába az egyedekre voatkozó megfigyelésket em tudjuk elvégezi, vagy el tudák végezi de agyo költséges lee. Például ha ártrefereciákat szereték külöböző időotokba vizsgáli akkor mide vizsgáli kívát időotba választásokat kellee kiíri vagy midekihez eljuttati egy ártlistát és a válaszokat kiértékeli. Ehelyett választják a ártok közvéleméykutatók jóval kevésbé idő és költségigéyes statisztikai mitavételezése alauló vizsgálatait egy-két ezer fős mitavétel alajá. 58
Defiíció: A statisztikai sokaságból véletleszerűe (sokszor valamely módszerta alajá véletleszerűe) kiválasztott egyedeket statisztikai mitáak evezzük. A mita jeletősége abba áll, hogy a mita mide egyes egyedéél el tudjuk végezi a otos megfigyeléseket, mide az adott vizsgálat szemotjából fotos adatot meg tuduk állaítai és a statisztikai következtetések elméletébe alkalmazott módszertaok segítségével a mitabeli egyedek tulajdoságaiból a teljes sokaság tulajdoságaira tuduk következteti. 59
3.3. A statisztikai mita jellemzői és a mita ábrázolása Defiíció: Statisztikai mitáak evezük függetle, azoos eloszlású X,X,, X valószíűségi változót, amelyek közös eloszlása megegyezik a vizsgált X változó eloszlásával. A mita umerikus értékeit eze változók felvett értékeiek tekitjük. 3.3.. Helyzeti mutatók 3.3... Mitaátlag A fetiekbe említettek miatt a mitaátlagot illetve szórást is valószíűségi változókét kezelhetjük. X i i A mitaátlag X függetle, azoos eloszlású X,X,, X valószíűségi változó átlagából számítható valószíűségi változó lesz. 3.3... Mediá Az X mita mediájáak a redezett mita közéső értékét tekitjük ami a,x,, X mitához is tartozhat és mitá kívüli is lehet. Ha a mitaelemszám és k akkor a mediá: X. k Ha a mitaelemszámra k akkor a mediá: ( X X ) /. k k 3.3... Mitaterjedelem Ha X, X,, X * * * mita övekvő redezett sorredje, X,, X külöbséget a mita terjedelméek evezzük. X akkor az * X X * A redezett * * *, X,, X következő függvéy: X mita taasztalati (vagy emirikus) eloszlásfüggvéye a 60
0 F (x) k / ha ha ha X * k x X x X * X x * * k k,,..., Nagy miták eseté célszerű a következő közelítő taasztalati eloszlásfüggvéy haszálata: F (x) 0 i g i ha ha ha x k x x x x x r 0 x k k,,..., r melyél az ugrások agysága a g fi ahol f i az ( xi, xi ] i / itervallumba eső mitaelemek száma. Ahol X * * a, x,, xr, xr X osztóotokkal osztályokba soroljuk a mitaelemeket valamely osztálykézési módszerta szerit, és 3.3..3. Szórás A mita szórásá a következő formulát értjük: f az i-edik osztály, x ] ( X X ) ( X X ) ( X X ) i ( i i x gyakorisága. Ehelyett azoba techikai okok miatt a következő szórás formulát haszáljuk és ezt evezzük a továbbiakba a mita szórásáak: s (X X) (X X) (X X) Ezt szokták még a mita elemszámára is utalva s -el jelöli. 3.3..4. Mita kvartilisei Mita mediáját már meghatároztuk, most a mita kvartiliseit határozzuk meg. Defiíció: Általába kvatilisek evezük egy a övekvőe redezett mitát :(-) aráyba osztó otot. Ezek közül kiemelt szeree va a egyedelő otokak azaz a kvartilisekek. 6
Defiíció:Egy övekvőe redezett mita alsó kvartiliséek evezzük a övekvőe redezett mitát :3 aráyba osztó otot. Egy mita felső kvartiliséek evezzük a övekvőe redezett mitát 3: aráyba osztó otot. A kvartiliseket szerkesztésére a mediá defiíciójáak segítségével aduk meg módszert. A kvartilisek meghatározását többféleké is végzik így a külöböző módszertaok eltérő eredméyt adhatak. Alsó kvartilis: a övekvőe redezett mitába a mediáál kisebb mitaelemek mediája, áratla számú mitáál a mediát is beleértve. Felső kvartilis: a övekvőe redezett mitába a mediáál agyobb mitaelemek mediája, áratla számú mitáál a mediát is beleértve A felső kvartilis-alsó kvartilis külöbséget iterkvartilis tejedelemek evezzük. Excelbe ezt a következőké lehet megvalósítai. Kétféle KVARTILIS függvéy va a 00 vagy későbbi Excel verziókba. KVARTILIS.KIZÁR és KVARTILIS.TARTALMAZ Midkettő statisztikai függvéy, abba külöbözek, hogy az adatok kvartilisét számolják ki az értékek százalékosztálya alajá 0 és között a KIZÁR a végotok élkül, a TARTALMAZ a végotokkal. 6
9 8 4 6 0 8 7 5 9 7 8 0 6 4 4 8 7 0 9 6 8 0 3 0 7 6 4 9 3 4 8 4 0 8 7 5 0 0 5 5 9 3 4 5 5 5 9 7 7 4 5 0 MINIMUM KVARTILIS.TARTALMAZ($A$:$E$;A4) 6,75 ALSÓ KVARTILIS 0,5 MEDIÁN 3 5,5 FELSŐ KVARTILIS 4 0 MAXIMUM A bemutatott feladatba a VÉLETLEN.KÖZÖTT véletleszám geeráló függvéyel geerálva va egy soros és 5 oszloos táblázatba mita melyek értékei és 0 közé lettek beállítva. Ezekre az adatokra számol az Excel A KVARTILIS.TARTALMAZ függvéy segítségével értékeket. Ha a 0. kvartilist számíttatjuk aak értéke a mita miimuma lesz. Ha a 4. kvartilist számíttatjuk aak értéke a mita maximuma lesz. A KVARTILIS.KIZÁR em számol 0. és 4. kvartiliseket. A. kvartilis midkét függvéyél a mediá. Fotos megjegyezi, hogy az Excel kvartilis számító függvéye em a mediá feletti illetve alatti mediá módszertaával számol kvartilist, a em az adatsorba található kvartilis számok em számtai közé számítással adódak az adatokból, haem adatok közötti egyedelőot vételével. A mediá kiszámítására természetese külö statisztikai függvéy va az Excelbe, em szükséges a második kvartilis függvéy alkalmazása, közvetleül is kiszámítható. Nézzük meg mi a külöbség a kvartilisek a mediá alatti illetve mediá feletti adatok mediája defiíciója között és az Excel által alkalmazott defiíció között a feti adatsor eseté: 63
Mediá feletti adatok mediája: Excel függvéy 5 6 Mediá=(6+7)/ 6,5 6,75 ALSÓ KVARTILIS 6 7 Mediá 30 0 Mediá=(0+)/ 0,5 0,5 MEDIÁN 3 Mediá alatti adatok mediája: 45 5 Mediá=(5+6)/ 5,5 3 5,5 FELSŐ KVARTILIS 46 6 Látható hogy amit fetebb is megjegyeztük : az Excel függvéy a em az adatsorba található kvartilis számok eseté em számtai közé számítással dolgozik, haem egyedelőot vételével. Így az is látszik hogy ugyaazo mitabeli értékek tartozak az eredeti defiíció és az Excek által megállaított kvartilis értékek fölé illetve alá. 3.3..5. Mita Box-Bajusz ábrázolása (Box ad Whiskers lots) A mita eloszlásáak szemléltetésére haszáljuk. Fotos alkalmazásai területe még a kiugró illetve extrém adatok szemléltetése. Jelölés: KV(a): alsó kvartilis; KV(f) felső kvartilis; Me: mediá; Legye a övekvő sorredbe redezett mita: X. * * *, X,, X Szerkesztési módszere: Box: az alsó és felső kvartilis közti adatterjedelem. Ebbe ábrázoljuk a mediát is. A boxba az adatok 50%-a va. Iterkvartilis terjedelem(jelölje IKVT): felső kvartilis-alsó kvartilis. 64
Box-bajusz ábra alakostrukció: Alsó bajusz végot: Felső bajusz végot: Boksz-bajusz ábra bővített kostrukció: HA MAX (X *,KV(A),5[KV(F) KV(A)]) MIN (X *,KV(F),5[KV(F) KV(A)]) * MAX(X,KV(A),5[KV(F) KV(A)]) KV(A),5[KV(F) KV(A) akkor az újabb bajusz a következő: HA MAX (X *,KV(A),5[KV(F) KV(A)],5[KV(F) KV(A)]) * MIN(X,KV(F),5[KV(F) KV(A)]) KV(F),5[KV(F) KV(A) akkor az újabb bajusz a következő: MIN (X *,KV(F),5[KV(F) KV(A)],5[KV(F) KV(A)]). Ekkor az adatokat úgy osztályozzuk, hogy a második bajuszra eső adatok a kiugró adatok a második bajuszo kívülre eső adatokat extrém adatokak hívjuk. Box-bajusz ábra alakostukció: 65
Kiugró adatok Bajusz Box,5*(KV(f)-KV(a)) Felső kvartilis Mediá Alsó kvartilis,5*(kv(f)-kv(a)) Kiugró adatok Box-bajusz ábra bővített kostukció: 66
,5*(KV(f)-KV(a)) Extrém adatok Kiugró adatok Bajusz Box,5*(KV(f)-KV(a)) Felső kvartilis Mediá Alsó kvartilis,5*(kv(f)-kv(a)) Kiugró adatok,5*(kv(f)-kv(a)) Extrém adatok 3.3..6. Aszimmetria mutatószámai Egymóduszú eloszlások aszimmetriájára mutatószámot tuduk kostruáli. 67
Ez a mutatószám a mita eloszlásáak ferdeségét mutatja meg azaz, hogy milye távol va a szimmetrikustól az eloszlástól. A legklasszikusabb szimmetrikus eloszlás a ormális eloszlás. Az aszimmetria tiusáak meghatározására viszoya is alkalmas. a módusz, átlag és a mediá agyságredi Szimmetrikus eloszlás Mo=Me= Baloldali aszimmetria Mo<Me 68
Jobboldali aszimmetria e<mo Az aszimmetria mutatószámai közül az F-mutatót defiiáljuk. F (KV(f ) Me) (Me KV(a)) (KV(f ) Me) (Me KV(a)) A defiícióból látható, hogy F. Előjellel jelzi az aszimmetria iráyát. Baloldali aszimmetria: F 0. Jobboldali aszimmetria: F 0. Szimmetria: F 0. 3.3.. Mita átlagáak eloszlása Ahogya fetebb említettük, a mitaátlag: X i X i függetle, azoos eloszlású X valószíűségi változó átlagából számítható,x,, X valószíűségi változó lesz, amelyek közös eloszlása megegyezik a vizsgált X változó eloszlásával. 69
Ie számítható a mita várható értéke: M(X) M i X i M(X i ) M(X) M(X) Mivel a mita elemei függetle valószíűségi változók: D (X) D i X i D (X i ) D (X) D (X) ahoa: D(X) D(X) Ha X ~ N(m, ) X ~ Nm,. Ekkor a mita stadardizáltja a ormális eloszlásál említett stadardizálás traszformációval: Y X m stadard ormális eloszlású változó. 70
3.4. Statisztikai becslések A statisztikai becslések a statisztikai következtetések azo tiusát jeletik amikor mita elemeiek jellemzőiből ouláció jellemzőire következtetük. Ezeket leggyakrabba em otos becsléssel tudjuk meghatározi haem valamilye hibával, azaz közelítő értéket haszáluk a oulációbeli valószíűségeloszlások ismeretle aramétereiek a mitából való becslésére. A statisztikai becsléshez a mita elmeiek valamely függvéyét haszáljuk. A becsléshez úgyevezett statisztikát haszáluk ami a mita elemeiek egy függvéyét jeleti. 3.4.. Potbecslés Potbecslések evezzük, ha a mita valamely di ( X, X,..., X ) értéket mely a i ci araméterére a mitából számítuk egy c araméter becsléséek tekithető. Defiíció: Egy becslést torzítatlaak evezük ha a statisztika várható értéke a oulációbeli változó becsült araméteréek értékével egyelő. 3.4.. Kofideciaitervallum Legye X statisztikai mita X változó becsléséhez.,x,, X Defiíció: Legye egy 0-hoz közeli kicsiy valószíűség. megbízhatósági szitű kofidecia itervallumak evezük egy olya itervallumot melyek végotját a X mitaelemek függvéyéből számítjuk és amely valószíűséggel,x,, X tartalmazza az X változó becsüli kívát araméterét. 3.3... Várható érték becslése ismert szórás eseté Tegyük fel, hogy X ~ N(m, ) ahol ismert, m ismeretle. Legye X,X,, statisztikai mita X változóra. X 7