modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot h: meg tudj foglmn erőrendserek egenértékűségének meghtároását; fel tudj soroln két erőrendser egenértékűségének feltételet; meg tudj foglmn erőrendser egensúlánk meghtároását; fel tudj soroln erőrendser egensúlánk feltételet; sámítássl ellenőrn tudj két erőrendser egenértékűségét; sámítássl ellenőrn tudj hog eg erőrendser egensúlbn vn vg sem Idősükséglet: tnng elsjátításáho körülbelül 55 percre les süksége Kulcsfoglmk: egenértékűség erőrendserek egenértékűsége egensúl erőrendserek egensúl érus nomték vektortér 1 Erőrendserek egenértékűsége Tevékenség: lvss el bekedést! Tnulj meg két erőrendser egenértékűségének meghtároását! Gűjtse k két erőrendser egenértékűségének három feltételét! Veesse le három krtérum bonítását! Gűjtse k és tnulj meg krtérumokho trtoó sttk egenleteket! Önállón oldj meg gkorló feldtokt! Trtlom: ) egenértékűség értelmeése: Két erőrendser egmássl egenértékű h onos nomték vektorteret honk létre Jelölés: E E - erőrendserek köött egenlőség egk ER másk ER nomték tér vontkoásábn áll fenn két erőrendsernek tér mnden eges pontjár sámított nomték ugn vektor b) egenértékűség feltétele (krtérum): Két erőrendser egenértékűsége három egmástól független feltétel (rendser) teljesülése esetén áll fenn Eek köül bármelk feltétel teljesülése elegendő egenértékűség fennállásáho 1 F F pont tér eg tetsőleges rögített pontj
tér három nem eg egenesre eső (nem kolneárs) pontj 3 (=1 6) Ht tetsőleges de lneársn független tengelre sámított nomték egenlő lneárs függetlenség defnícóját később djuk meg Lneársn függetlenek például: - tetréder oldléle - háromsög lpú hsáb oldléle krtérumokt sokás sttk egenletenek s neven c) krtérumok bonítás: 1 krtérum: F F Kérdés: ebből két vektoregenletből követkeően fennáll-e tér bármel pontjár? onítás: F r F r F r 1 krtérumból: F F és vel tér bármel pontj lehet eért 1 krtérum egenletenek teljesülése elegendő egenértékűség btosításáho krtérum: Kérdés: ennek három vektoregenletnek teljesülése elegendő-e egenértékűséghe? onítás: F r F r F r F r egenleteket egmásból kvonv és krtérum egenletet fgelembe véve: 0 0 F F r 0 0 F F r F F r F F r vel r nem csk kkor lehet párhumos mndkettővel h érus vektor F F 0 F F Eel problémát vssveettük 1 krtérumr: F F r (mert pontok nem esnek eg egenesre) eért F F r r
1 krtérum elégséges voltát pedg előőekben bonítottuk 3 krtérum: (=1 6) Kérdés: fent ht sklár egenlet teljesülése btosítj-e erőrendserek egenértékűségét? onítás: Elősör átlkítjuk tengelre sámított nomték össefüggését jelű tengel egenlete: r b 0 (lásd 1 fejeetben tengel egenletének Plücker vektoros lkját) tengelre sámított nomték: e = = F r P r P F sklárs sorást elvégeve: 1 1 F r F b F ( r ) Eután térünk rá 3 krtérum bonításár ht tengel egenlete: r b 0 0 b 0 13456 ht tengelre sámított nomték: 1 b F 1 b F 3 krtérum: tengelre sámított nomtékokt behelettesítve és eg oldlr rendeve: b F F 0 árójelben álló mennségek koordnátánk jelölése: e e e F F F e F e F e jelölést behelettesítve eg oldlr rendeett krtérumb b F b F b F 0 1 1 1 1 1 1 b F b F b F 0 b F b F b F 0 3 3 3 3 3 3 b F b F b F 0 4 4 4 4 4 4 b F b F b F 0 5 5 5 5 5 5 6 b6 F b6 F b6 F 0 6 6 homogén lneárs lgebr egenletrendsert kpjuk F F F smeretlenekre Keressük F F F 0 megoldást ( trváls megoldást) b
trváls megoldás feltétele hog rendser egütthtóból képett determnánsnk érusnk kell lenne: b b b 1 1 1 1 1 1 b b b 3 3 3 b3 b3 b3 det 0 b b b 4 4 4 4 4 4 b b b 5 5 5 5 5 5 b b b 6 6 6 6 6 6 Eel feltétellel értelmeük ht tengel lneárs függetlenségét s Defnícó: Ht tengel lneársn független h Plücker vektornk koordnátát trtlmó determnáns nem érus homogén lneárs lgebr egenletrendser érus (trváls) megoldás esetén: 0 F F 0 F F Eel 3krtérumot s vssveettük 1krtérumr mt már bonítottunk d) sttk egenletek jellege: 1 krtérum: F F F F F F vetület egenletek krtérum: 3 krtérum: nomték egenletek 6 db független sklárs egenlet 9 db sklárs egenlet de ebből csk 6 db lneársn független 1 3 456 6 db független sklárs egenlet 1 Gkorló feldt: Erőrendserek egenértékűsége ( ER) P 3 ( ER) 3 F 4 r 3 r 1 r F P r 5 r 4 P 4 P 1 P 5 F 1 5
dott: r1 e e e r4 e e m r4 e e m r5 3e e e r3 5e 3e e m m m F4 (3e e 4 e) N F1 e e e N 5 3e 4e 4e Nm F e e N 3 3 e e 4e Nm Feldt: nnk eldöntése hog egenértékű-e ( ER) és ( ER) erőrendser Kdolgoás: eghtárouk mndkét erőrendser pontr sámított redukált vektorkettősét H megegenek kkor két erőrendser egenértékű ( ER) : F F1 F e e e e 3e 3e e 4e N r F r F r F 3 0 3 1 1 1 e e e r1 F1 e e e e e e 1 1 3e 6e Nm 1 r F e e e 3e 3e 6e e Nm e e e e e e e e e e e 4 3 6 3 6 4 3 Nm ( ER) : F F4 3e e 4e N ( F megegek F -vel) r F 5 4 4 e e e r4 F4 e e 3e e 4e 1 0 4e 8e e Nm 3 4 3e 4e 4e 4e 8e e e 4e 3e Nm ( megegek ( ER) és ( ER) erőrendser egenértékű -vel) Gkorló feldt: Tengelek lneárs függetlensége m dott: 1 6 tengel Feldt: 6 m ) tengelek) Plücker vektornk 5 meghtároás b) Lneársn függetlenek-e 1 6 tengelek? 1 4 c) 1 tengelek lneársn 3 4m függetlenek-e?
Kdolgoás: ) htásvonlk (tengelek) Plücker vektornk meghtároás: tengelek egenlete: r b 0 m tengelek ránvektor: 1 4e m 4 5 6 3 1 4m m 4e e m 3 e e m 4 e m 5 4e m 6 e m tengelek ránvektornk pontr sámított nomték: b r 1 1 1 0 b r 0 b3 r 3 3 e e e 4e m b4 r 4 4 e e 4e m b5 r5 5 e e 4e 8e 8e m b6 r6 6 4e 8e m b) 1 6 tengelek lneárs függetlenségének ellenőrése: lneársn függetlenség feltétele: b koordnátából képett determnáns nem egenlő nullávl 4 4 0 0 4 0 1 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 3 4 5 6 4 b b b b b b 1 3 4 5 6 b b b b b b 1 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 4 4 0 4 0 0 0 0 8 8 b1 b b3 b4 b5 b6 0 0 0 0 8 0 tengelek lneársn függetlenek c) 1 tengelek lneársn függetlenségének ellenőrése: tengelek nem lneársn függetlenek mert eg síkb esnek 1
Erőrendser egensúl Tevékenség: lvss el bekedést! Tnulj meg erőrendser egensúlánk meghtároását! defnícóját! Gűjtse k és tnulj meg egensúl feltételet! Önállón oldj meg gkorló feldtot! Trtlom: ) egensúl értelmeése: Eg erőrendser egensúl h érus nomték vektorteret ho létre E 0 erőrendsernek tér mnden eges pontjár sámított nomtékvektor érus b) egensúl feltétele (krtérum): Erőrendser egensúl három egmástól független feltétel (rendser) teljesülése esetén áll fenn Eek köül bármelk feltétel teljesülése elegendő egenértékűség fennállásáho 1 F 0 pont tér eg tetsőleges rögített pontj 0 0 0 tér három nem eg egenesre eső (nem kolneárs) pontj 0 3 0 (=1 6) Ht tetsőleges de lneársn független tengelre sámított nomték egenlő 1 Gkorló feldt: Erőrendser egensúl F 3 F 1 F 0 dott: F1 ( e 15 e) kn F (15 e 4 e) kn F3 ( e 4 e) kn 0 (1e 4e 6 e ) knm r (4 e ) m r (3 e ) m r (4 e ) m Feldt: nnk eldöntése hog egensúl-e három koncentrált erőből és eg koncentrált nomtékból álló erőrendser
Kdolgoás: pont eredő vektorkettős: 3 F F F1 F F3 ( e 15 e ) (15 e 4 e ) ( e 4 e ) 0 1 r F 0 1 3 r F1 (4 e ) ( e 15 e) ( 6 e ) r F (3 e) (15 e 4 e) ( 1 e) r F3 (4 e ) ( e 4 e ) (4 e) (1e 4e 6 e ) ( 6 e ) ( 1 e ) (4 e ) 0 erőrendser egensúl!