Fizik AE, 4. feltso Vi Gyögy József vigyogy@gmil.com. felt: Közös pontbn zonos hosszúságú szigetel fonlkon felfüggesztett egyfom, g s ség golyók függnek, minkett töltése q. A golyók közötti teet ε eltív pemittivitású, f s ség folyékkl töltjük ki, eközben fonlk közötti szög nem változik. Mekko golyók s sége? K α l K Utolsó móosítás: 05. febuá 8., 0:4 Min két esetben testek szimmetikusn helyezkenek el, így elég, h csk minig bl olli testet vizsgáljuk. Az els esetben Newton-tövény és y iánybn: 0 = K sin α F C, 0 = K cos α mg A másoik esetben 0 = K sin α F C, 0 = K cos α mg + F f } } F C, = mg tg α = V g g g tg α. -) F C, = mg F f ) tg α = V g g f )g tg α. -) A két összefüggésb l tg α kifejezve, mj zok egyenl vé téve, illetve Coulomb-e behelyettesítve: F C, V g g g = F C, V g g f )g F C, F C, = q ε 0 = ε q = g ε 0 ε -) g g f -4) ε g f -5) g = f ε. -6) F C, F C, F f F C, mg mg l K K α mg -A. áb F f F C, mg
Fizik AE, 4. feltso megolások ε. felt: Két páhuzmos, közöttük lév távolsághoz képest ngy kitejeés lemez egymástól = cm távolság helyezkeik el. Az egyik lemezen = 0 8 C/m, másikon = 0 8 C/m töltéss - ség. A közöttük lév teet ε = eltív pemittivitású közeg tölti ki. Htáozz meg z elektomos tée sség és z elektomos eltolás iányát és ngyságát lemezek között és lemezen kívül! D ) D ) E) -A. áb Azt tujuk koábból, hogy egy felületi töltéss séggel enelkez lp tée sségének ngyság E = ε 0 ε, mely lptól elfelé mutt. A ielektomos eltolás ngyság D = ε 0 ε E =, melynek iány megegyezik tée sség iányávl. Ezeket mennyiségeket felív z egyes ttományok, mj ezeket összev: { D ) = <, >, -) D ) = { <, >, -) <, = D ) + D ) = < <, E) = ε 0 ε ) = ε 0 <, -) <, ε 0 ε < <, ε 0-4) <. Az egyes mennyiségek el jele j meg zok iányát: pozitív el jel zt jelenti, hogy vekto + iányb mutt, negtív peig, hogy iányb.. felt: Egymástól 4 cm távolság lév fémsíkok között olyn ielektikum vn, melynek eltív pemittivitás lineáisn változik -t l -ig. A lemezek ellentétesen töltöttek, és töltéss ség bszolút étéke lemezeken = 4 0 8 C/m. Hogyn változik tée sség és z elektomos eltolás síkok között? El szö eltív ielektomos állnó helyfüggését kell függvény lkbn megnunk. Azt tujuk, hogy = -ben ε ) =, és = -ben ε ) =, és z kett között lineáisn változik. Ee két pont kell tehát egyenest illesztenünk. Az egyenes áltlános lkbn felít egyenlete: ε ) = A + B. Behelyettesítve ebbe két ismet pontot: = A } ) + B = A ) A = B = + B. -) A megfelel mennyiségeket felív z egyes ttományok: < ε ) = + < < > -)
Fizik AE, 4. feltso megolások E) = 0 < = < < 0 > ε 0 ε ) = 0 < ε 0 + < < 0 > -) -4) ε ) 4. felt: =0 cm és =0 cm sugú koncentikus ök közötti teet ε = eltív pemittivitású szigetel tölti ki. A bels e Q töltést viszünk fel. Mekko szigetel ben mimális tée sség? Hogyn változik z elektomos eltolás középponttól vló távolság függvényében? ε ) A Guss-tövényt felhsználv fogjuk meghtáozni z eltolásvekto sugáfüggését. A Guss-tövény: f = ρ) = Q in, 4-) V V E) hol bl ollon D ielektomos eltolás V téfogt htáá vett felületi integálj áll, míg jobb ollon z elektomos töltéss ség V téfogt vett téfogti integálj tlálhtó. Ahhoz, hogy fenti egyenletet ki tujuk étékelni, egy megfelel V Guss-téfogtot kell válsztni. Ahhoz peig, hogy ezt ügyesen válsszunk meg, éemes megnézni ensze szimmetiáit. Ételemsze en ensze szimmetikus. Ez súlyos következményekkel vn vontkozón, hogy milyen lkú lehet függvény. -A. áb ˆ H i kooinát-enszeben gonolkounk, kko D vekto z, ϑ és ϕ mennyiségekt l függhet. A szimmeti mitt zonbn minegy, hogy milyen szögnél nézzük ielektomos eltolást, így D vlójábn csk -t l függhet. ˆ Emellett peig enszenek minen olyn síkj tükösík, mely átmegy középponton. Ennek z következménye, hogy D csk sugáiányú lehet. Ez onnn látszik, hogy h nem sugáiányú lenne, kko vn olyn tükösík, melye nem esik á ez vekto. Ekko viszont vekto és tüköképe nem ugynz. De ez ellentmonás, hiszen h enszet tüközzük tükösíkjá, kko z eeeti enszet kell látnunk. Tehát vlójábn = e, hol e középpontjától elfelé muttó egységvekto. Ez lpján tehát éemes egy olyn sugú, lkú Guss-felületet válsztni, melynek közepe megegyezik ensze középpontjávl. Ekko ugynis Guss-felület minen pontjá me leges lesz D, illetve felületen D ngyság állnó lesz. A Guss-tövényt háom ttomány tujuk felíni. < : Ekko Guss-felület nem ttlmz töltést Q in = 0), így 0 = f = f = f = 4 π V V V 4-)
Fizik AE, 4. feltso megolások Q ε < < : = 0 4-) A Guss-ön belül Q töltés vn, így Q = 4 π = Q. 4-4) Q < : A fölelés mitt küls fémön felhlmozóott Q töltés, így Guss-ön belül Q Q = 0 töltés vn. Ekko szintén = 0. 4-5) Összefogllv: 0 <, = Q < <, 0 <, 4-6) E) honnn E) = ε 0 ε ) = 0 <, Q < <, ε 0 ε 0 <. 4-7) 4-A. áb 5. felt: Két koiális, igen hosszú fémhenge sugi = cm és = 8 cm. A közöttük lév teet kétféle szigetel nyg tölti ki úgy, hogy htáfelület fémhengeekkel koiális, = 4 cm sugú hengefelület. A bels szigetel eltív pemittivitás ε = 5, küls é ε =. A bels fémhengeen = 4 0 0 C/cm felületi töltéss ség vn. Mekko z elektomos eltolás vektoánk mimális étéke? Mekko mimális tée sség? A megoláshoz szintén Guss-tövényt fogjuk hsználni. Most nem vezetjük végig z el z feltbn észletesen bemuttott gonoltmenetet, e itt is hsonlón kell eljánunk. Ételemsze en ez felt hengeszimmetikus. Itt ielektomos eltolás minenhol hengeek tengelyée me leges és ttól elfelé mutt. A megfelel Guss-felület itt egy henge lesz, melynek sug négy ttomány eshet: < : Itt = 0. < < : Legyen l hosszú Guss-henge. Ez fels hengenek A = π l ngyságú felületét ttlmzz, vgyis Q in = A = π l. A D felületi integálj: f = f + f, 5-) henge hengeplást lplp hol z lplp vett integál null, hiszen ott felületvekto me leges D-e, így f = f = f 5-) henge hengeplást 4 hengeplást
Fizik AE, 4. feltso megolások = f = πl, 5-) hengeplást vgyis =. 5-4) < < : Mivel ezen ttományon is ugynnnyi töltést ttlmz Guss-felület, így megolás itt ugynz, mint z < < ttományon. ε ε < : A fölelés mitt küls fémhengeen negtív töltések hlmozónk fel. A felhlmozóott töltés mennyisége ugynkko lesz, mint bels hengeen emitt pesze töltéss ség nem lesz ugynkko). Így összességében Guss-felületen belül z össztöltés null lesz, tehát = 0-t kpunk. Összefogllv: honnn E) = 0 < = < < 0 < ε 0 ε ) = 0 < ε 0 ε < < ε 0 ε < < 0 < 5-5) 5-6) E) 5-A. áb 6. felt: Egy végtelen sík egyik ollán vákuum vn, másikon ε eltív ielektomos állnójú szigetel. A vákuumbn síktól távolság Q ponttöltést helyezünk. Milyen lesz z elektomos tée sség és z elektomos eltolás tében? A megolás. feltso 9. feltához hsonló lesz, itt is tükötöltések mószeét fogjuk hsználni, zonbn itt ezt min két téésze el kell végezni. A fémlp esetében htáfeltétel kielégítése zt jelentette, hogy tée sségek me legesnek kellett lennie. Dielektikum htáfelület esetében zt íhtjuk fel, hogy ielektomos eltolás me leges komponense ugynz felület két ollán, illetve tée sség páhuzmos komponense hl át változtlnul: E, E, E D, ε = D, D D, = D,, E, = E,. 6-) E, D, Ezt két egyenletet kell mj kielégítenünk feltételezett tükötöltésekkel. A vákuumbn lév teet fémlp esetéhez hsonlón póbáljuk meg megni z eeeti, = 0,0,) helyen lév, q ngyságú töltés és egy, = 0,0, ) helyen lév, q ngyságú töltés teének összegeként: E, E D, D ε > D vákuum ) = q ) + q ) 6-) 6-A. áb 5
= + Fizik AE, 4. feltso megolások q + y + z ) ),y,z ) q + y + z + ) ),y,z + ). 6-) A ielektikumból csk z eeeti töltés látszik, ott nem váhtunk tükötöltés megjelenését. Azonbn htáfelületen felhlmozóott töltések mitt zt meg kell engeni, hogy töltés étéke másnk látszójon: D iel ) = q ) 6-4) = q + y + z ) ),y,z ). 6-5) A ielektomos eltolás me leges z iányú) komponensének egyenl sége htáfelület z = 0) két ollán: q + y + ) [ Dvákuum ]z z = 0) = [ D iel ] ) + q z + y + ) = z = 0) 6-6) q + y + ) ) 6-7) q q = q. 6-8) Illetve tée sség páhuzmos iányú komponensének egyenl sége két téész htáán: q ε 0 + y + ) [ Evákuum ],y z = 0) = [ E iel ],y,y) + ε 0 q + y + ) z = 0) 6-9),y) = ε 0 ε q + y + ),y) 6-0) q + q = ε q. 6-) A 6-8) és 6-) egyenletekb l q és q meghtáozhtó: q = ε + ε q q = ε + ε q. 6-) Mivel tláltunk olyn q és q pméteeket, melyekkel htáfeltételek kielégíthet ek, így vlóbn felíhtó vákuum téészben tée sség úgy, mint két ponttöltés teének z összege, ielektikum téészében peig úgy, mint egy ponttöltés tee. 6
Fizik AE, 4. feltso megolások 7. felt: = 0 cm sugú téfogti töltéss sége = 00 C/m, eltív pemittivitás ε = 5. A öt köülveszi egy vele koncentikus fém héj, melynek sugi = 0 cm és = cm. Ábázolj tée sség változását középponttól mét távolság függvényében! A 4. felt gonoltmenetét itt is végigvezethetjük. A Guss- sug itt z lábbi ttományokb eshet: < : Itt Guss-tövény egyik és másik oll ) = = = 4 π, 7-) f = f = f 7-) Q Q ε ρ =, 7-) vgyis: =. 7-4) < < : Ezen ttományon Guss-felület z egész szigetel öt ttlmzz, vgyis Q in = 4 π= Q). A felületi integál z el z ttományhoz hsonlón számíthtó, így E) = 4 π 7-5) =. 7-6) < < : Ezen ttományon küls félhéj belsejében vgyunk. Az ieális fém belsejében tée sség és ielektomos eltolás null. Ennek következménye z, hogy héj belsejée Q töltésnek kell felhlmozóni, hiszen Guss-tövény csk így teljesül. Mivel fém nincs fölelve, így töltésmegmás mitt nnk külsején Q töltés hlmozóik fel. < : Itt is összesen Q + Q Q = Q töltés tlálhtó Guss-felületen belül, vgyis másoik ttományhoz hsonló megolást kpjuk. 7-A. áb Összegfogllv: honnn E) = < = < < 0 < < < ε 0 = ε 0 ε < ε 0 < < 0 < < < ε 0 7-7) 7-8) 7
Fizik AE, 4. feltso megolások 8. felt: = cm sugú végtelen hosszú köhenge homogén, ε = 5 eltív pemittivitású nygból készült. A hengeen belül = 5/ 0 C/m tétöltés, hengeen kívül vákuum vn. Mekko tée sség tengelyt l 0,5 cm és,5 cm távolságbn? ε Az 5. felthoz hsonlón itt is hengeszimmetikus poblémánk vn. A megfelel Guss-felület egy l hosszú, szigetel hengeel koiális henge lkú felület lesz. A henge sug két ttomány eshet: < : Itt Guss-tövény egyik és másik oll ) = = = πl, 8-) henge henge f = henge f + f = f henge plást = lplp } {{ } =0 henge 8-) f = πl, 8-) henge vgyis: E) =. 8-4) < : Ezen ttományon Guss-felület z egész szigetel henget ttlmzz, vgyis Q in = πl. A felületi integál z el z ttományhoz hsonlón számíthtó, így 8-A. áb πl = πl 8-5) =. 8-6) Összegfogllv: = { < < 8-7) honnn E) = ε 0 ε ) = { ε 0 ε ε 0 < < 8-8) A megfelel sugáétékek behelyettesítésével megkpjuk felt kéésée közvetlen válszt. 8
Fizik AE, 4. feltso megolások 9. felt: Két páhuzmos, egymástól = cm távolságbn lév végtelen síklp közötti ttományt = 0 5 C/m töltéss ség, ε = eltív pemittivitású nyg tölt ki. Az egyik síklptól másikkl ellentétes iánybn = 8 cm távolság egy, z el z ekkel páhuzmos fölelt fémlp helyezkeik el. Hogyn változik tée sség síklpok me leges tengely mentén vett helyzet függvényében? A ε ρ Számoljuk ki el szö szigetel ttomány ielektomos eltolását. Ehhez vegyünk fel egy A lpteület h mgs hsábot, melynek tengelye me leges ttomány felületée és z szimmetikusn helyezkeik el ttomány belsejében. Ennek plástjávl páhuzmos z eltolás, így felületi integál csk z lplpokon fog jáulékot ni. A Guss-tövény felív: h D iel ) h < : D iel h ) A + D iel h ) A = A h 9-) ) h D iel = h 9-) =. 9-) D lp ) < h: D iel ) =. 9-4) E) A fémlp teének meghtáozásához zt kell el szö meghtáozni, hogy z mennyie tölt ik fel. A töltéssemlegességet úgy tuj eléni, hogy felületée kko felületi töltéss séget hlmoz fel, mint mennyi töltés egy ugynkko felület szigetel bon vn. Így tehát lp =. Összefogllv < D iel ) = < < 9-5) < 9-A. áb + D lp ) = { < + + < 9-6) 0 < + ) = D iel ) + D lp ) = < < < < + 0 + < E) = ε 0 ε ) = 0 < ) ε 0 ε + < < ε 0 < < + 0 + <. 9-7) 9-8) 9
Fizik AE, 4. feltso megolások 0. felt: Egy sugú sugá függvényében lineáisn változó pemittivitású nygból készült. A eltív pemittivitás középen ε =, felületen peig ε =. A öt homogén töltéss séggel töltjük fel. Mekko z elektomos tée sség és z elektomos eltolás középponttól vló távolság függvényében, h ön kívül vákuum vn? E) El szö juk meg eltív ielektomos állnó sugáfüggését. A lineáis függvény legyen A + B, így } ε = A 0 + B A = ε ε B = ε ε = A + B, 0-) vgyis = ε ε + ε. 0-) A homogén móon töltött ielektomos eltolását 7. feltbn má kiszámítottuk: 0-A. áb melyb l tée sség: E) = = ε 0 = { < <, 0-) ε ε 0 ε < +ε ε 0 <. 0-4) 0