A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris lgebr: Komple számok Műveletek lgebri és trigoometrikus lkb Poliomok, gyöktéyezős lk, poiomok mrdékos osztás Műveletek síkbeli, térbeli és -dimeziós vektorokkl 3 Hjlásszög, vetületvektor, terület, térfogt számolás vektorműveletek segítségével 4 Néháy térgörbe és felület leírás vektorokkl 5 Determiások Műveletek mátriokkl, iverz mátri, sj'tvektorok 6 Lieáris egyeletredszerek megoldás Crmer- szbállyl, elimiációvl Számsoroztok, egyváltozós vlós függvéyek (f : R R): 7 Számsoroztok kovergeciáj Néháy evezetes htárérték 8 Foglmk egyváltozós vlós függvéy jellemzésére: ért t ért k, szimmetriák, mootoitás szélsőérték, koveitás ifleiós pot, korlátosság, szimptóták, folytoosság szkdási helyek Iverz függvéy 9 Htváy, epoeciális, logritmus és hiperbolikusz függvéyek 0 Trigoometrikus és rkusz függvéyek Differeciálszámítás (egyv vlós fgv): A differeciálháydos értelmezése, derivált foglm Alpfüggvéyek deriváltj Deriválási szbályok Sebesség, gyorsulás Síkgörbe éritője Tylor-poliom 3 Függvéyvizsgált: mootoitás-lokális szélsőérték, koveitás-ifleiós pot Ttárgyi követelméyek: A félév elismeréséek feltételei: Aláírás: két félévközi zárthelyi leglább elégséges szitű teljesítése 3 Sikeres vizsg Ajálott jegyzetek: () SZARKA ZOLTÁN RAISZ PÉTERNÉ: Mtemtik I, II, Miskolci Egyetemi Kidó, 998 () KÁLOVICS FERENC: Mtemtiki lízis mérökhllgtókk, Miskolci Egyetemi Kidó, 997 Az () ltti két jegyzetet midekiek, () ltti jegyzetet csk jó középiskoli háttérrel redelkező hllgtókk jáljuk
hét Komple számok Műveletek lgebri és trigoometrikus lkb Ismétlés: N, Z, Q, R, Műveletek lgebri lkb: Számolási szbály: mit többtgú kifejezésekkel, csk i i = i = Ábrázolás, elevezések: Re z, Im z, z, z Műveletek trigoometrikus lkb: Ábr, + bi = r(cosϕ+ isiϕ) Szorzás, osztás, htváyozás, gyökvoás trigoometrikus lkb (z első képlet levezetése) Feldtok Végezzük el lgebri lkb következő műveleteket: ( 3+ 5i)( i ), ( + 3i 3i) ( + i) +, + i + i 3 3 i +, ( + i), i Adj meg következő kifejezések értékeit lgebri lkb: Re( + 3i) Im( + i) +, i 3 i+ 4 3 Számítsuk ki következő értékeket lgebri vgy (és) trigoometrikus lkb : 6 3 ( i), ( + i)(cos π/ 3+ i si π/ 3), + i, 8i 4 Oldj meg következő egyeleteket C-be: z z + = 0, + = 0 5 3
hét Műveletek vektorokkl Elevezések: Síkbeli-térbeli vektorok, szbd vektor,, 0 egységvektor, ullvektor, hjlásszög Műveletek geom-i értelmezése térbeli vektorokr: Összedás: ábr, tuljdoságok: komm, sszoc, ivert Kivoás: b + b, ábr bc iv Szorzás számml: ábr, tuljdoságok: αβ ( ) = ( α β), α +β = ( α+ β), Skláris szorzt: ábr, tuljdoságok: komm, disztrib Vektoriális szorzt: ábr, tuljdoságok: b = (b ), disztrib Vegyesszorzt: bc ( b)c, tuljdoságok: = bc = cb, bc = bc Műveletek koordiátákkl dott térbeli vektorokkl: Ábr, OA = = i + j+ 3k = (,,3) ; =, 0 = + b = (,, 3) + (b, b, b3) = (i + j+ 3k) + (bi + b j+ b3k) = ( + b)i + = ( +,) b = λ = b = b = bc = Műveletek -dimeziós vektorokkl: Az első 4 művelet értelmezése Feldtok Legyeek, b, c egy térbeli háromszög csúcspotjihoz muttó helyvektorok Adj meg súlypothoz muttó helyvektort eze vektorok segítségével! Legye v = (3,, 3) Ábrázolj v t és v t! Számíts ki v t és 0 v 0 t! 3 Legye = i + j, b = (,,3), c = 3i + j+ k Számíts ki következőket: + b, b c, 5b,, b, c b, b, b, c, bc, bc, cb 4 Legye = (,,, 3), b = (,, 3, ) Számíts ki b ( + b) értékét! 3
3 hét Vektorok lklmzási I Erők eredője: Ábr, F = F + F Muk kiszámítás: Ábr, W = F s Ábr, W = F s Hjlásszög: b Ábrák, cos γ = b Vetületvektor: v = b 0 b Ábrák, ( ) 0, merőlegesség Prlelogrmm, háromszög területe: Ábrák, T pr = b, Thsz = b, párhuzmosság Prlelepipedo térfogt: Ábr, Vpl = A t m = b m = b c cos γ= bc, hol γ hegyesszög V bc Három vektor egy síkb pl = Feldtok Legye = i j k, b = j, c = (,0,) Mutss meg következő 3 tuljdoságot: c, z b és c vektorok párhuzmosk, továbbá z, b, (4,, 4) vektorok egy síkb vk! Legye = i j+ k, b = (,,) Számíts ki két vektor áltl meghtározott prlelogrmm területét és -k b -re eső merőleges vetületvektorát! 3 Legye = (3,0,3), b = i + 6 j+ k Számíts ki két vektor hjlásszögét és b -ek z -r eső merőleges vetületvektorát! 4 Legye = 3i + j+ k, b = (,3,), c = j k Számíts ki: és c hjlásszögét, z és b áltl meghtározott háromszög területét, z, b és c áltl meghtározott prlelepipedo térfogtát! 4
4 hét Vektorok lklmzási II Egyees egyelete: Ábr, r(t) = r0 + tv, prméteres egyeletredszer Csvrvol egyelete: Ábr, pl: r (t) = ( cos t, si t, t), t [ 0, π) Vivii-görbe egyelete: Ábr, pl: r (t) = ( + cos t, si t, t cos t ) = + cos t, si t, si, t [ 0, π) Sík egyelete: Ábr, r( α, β) = r0 +αu + βv, prméteres egyeletredszer Ábr, (r r0 ) = 0, A + By + Cz = D Hegerfelület egyelete: Ábr, r( α, β) = rvg ( α ) + β, hol Feldtok Adj meg P (,,0), P (,,3) potoko átmeő egyees és Q (,0,0), Q(0,3,0), Q3(0,0,4) potoko átmeő sík döféspotját! Adj meg P (,, ) és P (3,,) potoko átmeő egyees egyeletét! Adj meg z egyees döféspotjit koordiátsíkokkl, dj meg z egyees origótól mért távolságát! 3 Adj meg (0, 3, 0) középpotú, egység sugrú, z (, z) síkkl párhuzmos körvol potjihoz muttó helyvektort! Milye prméterértékél kpj meg (, 3, 0), (0, 3, ) ill (0, 3, -) potokt? 4 Adj meg (0, 3, 0) középpotú, egység sugrú, z (, z) síkkl párhuzmos körvol és z (0,,0) = vektor (lkotók iráyvektor) áltl meghtározott végtele hegerfelület potjihoz muttó helyvektort! Milye prméterértékekél kpj meg (, 7, 0), (0, 9, ) ill (0,, ) potokt? 5
5 hét Determiások Defiíció: A vlós vgy komple számokból (kifejezésekből) (defiíció első sor szeriti kifejtéssel) Tuljdoságok: () A defiíciób szereplő kifejtést z első sor helyett végezhetjük másik sor vgy oszlop szerit is, h figyelembe vesszük z előjelszbályt () H két sort felcserélük, kkor determiás értéke (-)-szeresre változik (3) A determiás értéke em változik, h vlmely sor (oszlop) számszorosát hozzádjuk egy másik sorhoz (oszlophoz) Elimiáció: A () és (3) tuljdoság felhszálásávl elérjük, hogy főátló ltt csup 0 legye Ekkor determiás értékét főátlób szereplő elemek szorzt dj meg Mátriok Defiíció: A vlós számokból (kifejezésekből) felépített Összedás:, tul: komm, sszoc, ivert; Kivoás:, tul: --- Szorzás számml:, tul: ( αβ )A =αβ ( A), λ(a + B) =λa + λb ; Szorzás:, tul: sszoc, disztrib Iverz mátri: + D D A =, det A 0, A = det A D ± D + D D ± D D D és D ij z ij hez Feldtok Számíts ki z lábbi determiások értékét defiíció lpjá (kifejtéssel) és elimiációvl is: i i i 3 5 3 4, i i i, hol i C, 7 4 9 i i i 6 0 7 4 5 3 6 A =, B =, C = ( A + B) A =? 4 0 3 0 5 3 A =, B 0 5, C = A B =? 4 3 = 9 6 0 4 Számítsuk ki z eredméyt! 3 4 A = =, B 3 mátriok iverzét, mjd elleőrizzük z 3 5 6
6 hét Lieáris egyeletredszerek Elevezések, megoldhtóság: + + + = b + + + = b ; k + k + + k = b k + y = 5 y = H b = b = = b k = 0, kkor Pl: + y = 5 + y = 6 + y = 5 + y = 0 Crmer-szbály: H k = és D = 0, kkor egyértelmű megoldás és : D = ; D D = D ; Elimiáció (Guss): k k b b k bk Megegedett átlkítások:, Cél: Feldtok Oldj meg z + y 3z = 4 y + z = 0 3 + y 5z = li e rsz-t Crmer-szbállyl és elimiációvl is! Oldj meg z + y 3u + 3v = 4 y + u v = 0 + 5y 9u + 6v = 6 3 + y 5u + v = li e rsz-t elimiációvl! 7
+ y + z = 3 A t prméter ( t R ) mely értékeire em oldhtó meg z + 3y + 6z = 3 + y + t z = t Milye t-re lesz egyértelmű megoldás, milye t-re kpuk végtele sok megoldást? egyeletredszer? 8
7 hét Számsorozt htárértéke Számsorozt foglm, megdás: Számsoroztról kkor beszélük, h Pl: + 4 6 00, N ;,,,,, + 3 4 5 6 03 (ábr), eplicit megdás; Pl: b = 0, b =, b = b + b, N, 3; 0,,, 3, 5,,, (ábr), implicit m Htárérték: Az számot z { } számsorozt htárértékéek Koverges, diverges számsorozt Nevezetes htárértékek: lim = 0, q < eseté lim q = 0, c > 0 eseté lim c =, lim =, lim + létezik, irrc szám, ezutá e vel jelöljük Műveletek számsoroztokkl, tétel: { } és { b } dott számsoroztok ugyoly ideezéssel A két sorozt összegé, külöbségé, H { } és { } b koverges számsoroztok, kkor lim (c ) = c lim ; lim ( ± b ) = lim ± lim b ; lim ( b ) = lim lim b ; lim lim =, felt h ev 0; lim k = k lim b lim b Feldtok Vizsgálj meg következő számsoroztokt kovergeci szempotjából: 4 + =, N ; ( ), N 3 + + Htározz meg következő értékeket z ismert evezetes htárértékek felhszálásávl: 3 0 5 lim, lim, lim, lim, lim + + + 05 k k + k 3 Milye htároztl lkok fordulk elő z lábbi htárértékek kiszámoláskor: + + + 4 lim, lim, lim 4 +, lim + 3 + 4 + +? 9
8 hét Foglmk egyváltozós vlós függvéyek jellemzésére H oly függvéy (egyértelmű hozzáredelés) dott, mely vlós számokhoz vlós számokt redel, kkor egyváltozós vlós függvéyről beszélük Jele: f : R R, f () = Értelmezési trtomáy, értékkészlet: Pl: f : R R, f () = + ; Ve-digrmm, ábrázolás, Domf = [, ), R f = [0, ) Szimmetri: Pl: f : R R, f () = ; f : R R, f () = si, (Páros, pártl, periodikus függvéyek) Mootoitás, szélsőérték: Pl: f : R R, f () = 4 Koveitás, ifleiós pot: Pl: f : R R, 3 f () = Korlátosság: Pl: f : R R, f () = 4 ; f : R R, f () = si, if f () =?, sup f () =? Aszimptót: Pl: f : R R, f () = / Htárérték, folytoosság, szkdási helyek: Pl: f () = +, = ; f () =, = ; f () = sg, = 0; f () =, = 0 lim f () = lim f () = f () +, lim f () = lim f () f () +, lim f () lim f () +, esetek Iverz függvéy: Pl: f : R R, f () = + 4 R R Feldtok Vázolj z lábbi egyváltozós vlós függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (ért t ért k, szimmetriák, mootoitás szélsőérték, koveitás ifleiós pot, korlátosság, szimptóták, folytoosság szkdási helyek) segítségével: g : f : R R, f () = 4, R R, g() = 4 Vázolj z lábbi egyváltozós vlós függvéyeket és jellemezze őket z = helye folytoosság, szkdási tuljdoság szerit: f () =, 4 f () =, f () = + sg ( ), f () = 3 V-e iverze z f : R R, f () = 4 ; g : R R, g() = / 9, 0 függvéyekek? H ige, kkor dj meg, mjd ábrázolj z eredeti és iverz függvéyt is 0
9 hét Nevezetes függvéytípusok, I Htváyfüggvéyek: k f : R R, f () =, hol k 0 A k=,, /, - esetekhez trtozó függvéyek ábráj Azoosságok: k k k k k u u (u + v) = u + uv + v, u v = (u v)(u + v), (uv) = u v, =, v k v Epoeciális függvéyek: f : R R, f () =, hol R, > 0, Az =, e, 0 esetekhez trtozó ábrák u u v u+ v u v u v u v Azoosságok: =, =, ( ) =, v Logritmusfüggvéyek: f : R R, f () = log, hol R, > 0, Az =, e, 0 esetekhez trtozó ábrák Azoosságok: u k log b u log (uv) = log u + log v, log = log u log v, log u = k log u, log u =, v log b Hiperbolikus függvéyek: f : R f : R e R, f () = e R, f () = e Azoosságok: ch u sh u =, e e + e = sh ; = th ; sh(u ± v) = shu chv± chu shv, e + e ábr f : R R, f () = = ch ; e + e ábr f : R R, f () = = cth ; e e ch(u ± v) = chu chv ± shu shu, ábr ábr sh =, ch = Feldtok Számíts ki z lábbi értékeket defiíciók lpjá: 4 8 3, 8 3, ( ), log 64, lg 00, l, log 4 8 log9 3, e Némelyik értéket elleőrizze zsebszámológép segítségével! sh(l ), ch(l 3) Vázolj z f : R R, f () = ch, g : R R, g() = sg(l ) függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (7 féle) segítségével! l 3 Igzolj z lg =, ch + sh = ch összefüggéseket defiíciók lpjá! l0
0 hét Nevezetes függvéytípusok, II Trigoometrikus függvéyek: Szögek mérése, szögfüggvéy defiíciók, evezetes szögfüggvéyértékek f : R R, f () = si ; ábr f : R R, f () = cos ; ábr f : R R, f () = tg ; ábr f : R R, f () = ctg ; ábr Azoosságok: si u + cos u =, si(u ± v) = si u cos v ± cos u si v, cos(u ± v) =, Arkusz-függvéyek: π π f :, [, ], f () = si ; g : π π = Ábrák, f : 0, π,, f () = cos [, ],, g() = rcsi, hol si(rcsi ) [ ] [ ] ; [, ] [ 0, π], g() = rccos, hol cos(rccos ) g : = Ábrák, π π f :, (, ), f () = tg ; π π g : (, ),, g() = rctg, hol tg(rctg ) = Ábrák, f : 0, π (, ), f () = ctg ( ) ;, ) ( 0, π), g() = rcctg, hol ctg(rcctg ) g : ( = Ábrák, Azoosságok: rccos u si u =, cos u = π π u = rcsi u, rcctg u = rctg u, rcsi u = rctg, u cos(rcsi u) = u, Feldtok Számíts ki z lábbi értékeket defiíciók lpjá: 3π π 3π π si, cos, tg, ctg, rcsi( ), rccos( 05), rctg, 6 4 3 π rccos cos 6 (Némelyik értéket elleőrizze zsebszámológép segítségével!) rcctg( ), rcsi si 5 6 Vázolj z f : R R, f () = cos( + π/ ), f : R R, f () =π rctg függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (7 féle) segítségével! 3 Igzolj si + cos = és rcsi = rctg, h < < zoosságokt! (Utóbbiál elég igzoli, hogy két oldl tgese megegyezik)
hét Egyváltozós vlós függvéy differeciálháydos, deriváltj Defiíció: Adott z f : R R, f () = függvéy és z = hely A f () f () lim értéket Jele: f (), df () d Azt függvéyt, mely Jele: f (részletesebbe : f : R R, f () = ), df d Az f függvéy deriváltját második deriváltk (jele f ), f derivátját hrmdik deriváltk (jele f ) Pl: f () =, = 5; f () = ( ) =?, f () = ( ) =? Alpfüggvéyek deriváltji ( képletek dom f domf hlmzo érvéyesek): (c) = 0; k ( ) = k =,,, / eseté : ( ) = =, e, 0 eseté : ( log ) = =, e, 0 eseté : Hiperbolikus fgv: Trigoometrikus fgv: Arkusz fgv : Deriválási szbályok: f () cf () =, f () ± g() =, f ()g() =, =, g() (Feltéve, hogy deriváltk létezek kérdéses itervllumoko) Pl: ' 5 ( ) ( ) ( ) ( f (g())) = f (g()) g () Feldtok f () = 3 + l, f () =?, f () =? f () =?, f (5) =? f () = si +, f () =?, f (0) =? f () =?, f (0) =? e 3 Deriválási feldtok: 0 3 5 + si5 3 (4) ((5 + ) ) ; ( l(3 + + 6) ) ; ( 3 + 3 ) ; ; ( lg3 rcsi ) ; ( ch4) ; 4 + e 6 6 cos rctg 6 6 (6) d d ( sh sh ) ; 6 6 ; ; ( 6 + ) ; ( ch( )); ( A si( ω t +α) ) l 6 π+ 4 d dt 3
hét A differeciálháydos lklmzási, I Sebesség, gyorsulás: s = s(t), t 0 dottk s s(t) s(t 0 ) v(t 0 ) = lim = lim = s(t 0 ), t t0 t t t0 t t 0 (t 0 ) = = s(t 0 ) Pl: s = gt ; s(t) = g t = gt = v; s(t) = g = Éritő meredeksége, egyelete: Kövessük egy ábrá, f () f (), f () f () f () f (), lim jeletését: Tylor - poliom: f : R R, f () =, = : f () c 0 + c ( ) + + c ( ) f () f () f () f () + ( ) + ( )!! f () f () f () = f () + ( ) + ( )!! ; f + + f + + () () ( )! () () ( )! = T (); (+ ) f ( ξ) + ( ) ( + )! + = T () + R (), Feldtok y Ábrázolj z + =, y 0 egyeletű görbét és dj meg z 9 4 éritőegyees egyeletét! = helyhez trtozó y Ábrázolj z + = egyeletű görbét és keresse meg zokt potokt, hol z éritőegyees 9 4 párhuzmos szögfelező egyeessel! 3 Tylor - poliom, hibkorlát: f () = si, = 0, π π T5 () =?, hibbecslés, re 4 4 4 Tylor - poliom, hibkorlát: f () = cos, = 0, π π T4 () =?, hibbecslés, re 4 4 4
3 hét A differeciálháydos lklmzási, II Mootoitás szélsőérték: Ábráról ill f () = f () + f ( ξ)( ) -ból: f () > 0 z (u, v) be f szig mo ő (u, v) be ; f () < 0 Ábráról ill z f () (u, v) be f szig mo csökk (u, v) be (Feltesszük, hogy ) = f () + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: f () = 0, f () > 0 f ek "" b lok mi v; f () = 0, f () < 0 f ek "" b lok m v (Feltesszük, hogy ) Koveitás ifleiós pot: Ábráról ill f () = f () + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: f () > 0 z (u, v) be f kove (u,v) be; f () < 0 z (u, v) be f kokáv (u, v) be Ábráról ill f () (Feltesszük, hogy ) 3 = f () + f ()( ) + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: 6 f () = 0, f () 0 f ek "" b ifl potj v (Feltesszük, hogy ) Feldtok 4 Keresse lokális szélsőértékeket és ifleiós potokt z f : R R, f () = függvéy eseté ( deriváltk felhszálásávl)! Keresse lokális szélsőértékeket és ifleiós potokt z f : R R, f () = e függvéy eseté ( deriváltk felhszálásávl)! 3 3 Ábrázolj z f : R R, f () = 3 függvéyt éháy tuljdoság (zérushelyek, szélsőértékhelyek, ifleiós potok, viselkedés ± -be) felhszálásávl! 4 Ábrázolj z f : R + potok, viselkedés ± -be) felhszálásávl! R, f () = függvéyt éháy tuljdoság (szélsőértékhelyek, ifleiós R, f () = függvéyt éháy tuljdoság (szkdási helyek, szélsőérték- 5 Ábrázolj z f : R + helyek, ifleiós potok, szimptóták) felhszálásávl! 5