I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) = x x 6x 9x (i) f(x) = 4x x 8 (j) f(x) = x 9x () Milyen típusú racionális törtek összegére bontaná az alábbbi törteket: (a) f(x) = (b) f(x) = x + x(x + 4) 9x + x (c) f(x) = 5x + (d) f(x) = x 7x x (x ) x(5x + ) f(x) = x 7x + x 4 x (f) f(x) = x(x ) (x + ) (x ) (x + 7) (x + ) () Bontsa fel az alábbi racionális törteket elemi törtek összegére: (a) f(x) = 6 (b) f(x) = x + x x(x + ) 50 (c) f(x) = (d) f(x) = 8x + 4 x(x 5) x + x 6x + 9 f(x) = (f) f(x) = 6x + 9x + 7x + 85 x + 6x + 9x (x + 5)(x + x 5) (g) f(x) = x4 + 6x + x + 8x + (h) f(x) = + 7x + x + 9x + 6x 4 4x 6 + 0x 5 + 8x 7 x 5 + x + x (x + ) (x + 4x + 4) (4) Határozza meg az alábbi integrálokat: (a) x + x dx (b) x + x x dx x + x + 6 (c) x + 4x + 8x dx (d) 4x + 6x + dx 6 + x x x + 50x + 49 dx (f) (x + )(x + ) 9x + 4x + 49x dx x 4 + x + x + x + x + 8x 9 (g) dx (h) dx x 5 + x x 4 8 (5) Határozza meg az alábbi integrálokat! (a) e x dx (b) + x dx (c) x sin( x) dx (g) e x sin(e x ) dx e x (i) e x + dx x + + (k) dx x + (m) x + x x dx e x dx (f) + ex x (d) dx (x ) 00 sin(ln x) dx (h) cos( x) dx x (j) 5 e x + dx x (l) x dx (n) sin( x ) dx
e x + e x 5e x 8e x (o) dx (p) e x + e x + 9e x 5 dx x 4 5x + (q) dx (r) dx 4x + x (s) (x ) 5x + dx (t) ( 5x) + x dx (u) sin( x + 5) dx (v) e 4 x dx (6) Határozza meg az alábbi improprius integrálokat! (a) (d) 0 0 e x dx x e 4x+ dx (b) e x dx x dx (c) (f) 0 (g) 5 7x dx (h) x dx (i) (j) x + 4 dx (k) e x dx (7) Határozza meg az alábbi improprius integrálokat! 0 (a) ln x dx (b) dx (x + ) (c) (g) (i) 0 0 5 4/ 0 5 0 dx (x + ) (d) dx x 4 (f) x e x dx dx (x 4) 4 5 (h) 5 0 5 5 dx (5 x) 5 x dx dx (x + ) 5 xe x dx 4x dx x ln x dx
II. feladatsor () Legyen a( ; ; 5), b(; 4; 0), c(; ; 7) és d(; 6; ). Határozd meg az alábbiakat: (a) a + b c (b) a b + d (c) a b + 4c d (d) a, b d, c (f) a + b c, c d (g) b d, a + b (h) b a, 4d (i) a + b + c, d (j) a b (k) c d (l) (a + b) d (m) (b a) c (n) a (b c) (o) a b a c (p) abc (q) cba (r) bca (s) abd (t) cbd (u) dbb () A fenti vektorokat használva válaszold meg az alábbiakat! Legyen továbbá e(; ; x)! (a) Mekkora szöget zár be a és b? (b) Mekkora szöget zár be a és d? (c) Mekkora az a és d vektorok által közrezárt szög koszinusza? (d) Bontsd fel a d vektort a-val párhuzamos és merőleges összetevőkre! Bontsd fel a d vektort b-vel párhuzamos és merőleges összetevőkre! (f) Bontsd fel a d vektort c-vel párhuzamos és merőleges összetevőkre! (g) Milyen x érték esetén lesz e merőleges a, b, c és d vektorokra? (külön-külön!) (h) Milyen x értékek esetén fog e és a tompaszöget bezárni? (i) Milyen x értékek esetén fog e és b tompaszöget bezárni? (j) Milyen x értékek esetén fog e és c hegyesszöget bezárni? (k) Milyen x értékek esetén fog e és d hegyesszöget bezárni? (l) Határozd meg az a, b, c és d vektorok irányába mutató egységvektorokat! () Van-e olyan vektor, mely az x, y, z koordinátatengelyek pozitív irányával rendre 45, 60, 0 szöget zár be? (4) Egy szabályos hatszög középpontja K(4; ; 4), két szomszédos csúcsa A(; ; 5) és B(; ; 4). Adjuk meg a többi négy csúcs koordinátáját! Igazoljuk, hogy a hatszög szabályos! (5) Mutassuk meg, hogy az a( ; ; 6), b(6; ; ) és c(; 6; ) vektorok kockát feszítenek ki! (6) Az ABC háromszög csúcsai A(; ; ), B( ; ; ) és C( ; 0; ). Mekkora a háromszög kerülete, területe és az C csúcshoz tartozó magassága? (7) Az ABCD tetraéder térfogata 5 egység. Mik a D csúcs koordinátái, ha a D csúcs az y tengelyen van, és a többi csúcs koordinátái: A(; ; ), B(; 0; ), C(; ; )? (8) Mekkorák az A(; ; ), B(5; 6; ), C(; ; ) csúcsú háromszög magasságvonalainak háromszögbe eső részeinek hossza? (9) Egy tetraéder csúcsai: A(; ; ), B(4; ; ), C(6; ; 7), D( 5; 4; 8). Mekkora a D-hez tartozó magasság? (0) Paralelepipedon egy csúcsából kiinduló élvektorok: a, b, c. Fejezzük ki ezek segítségével a lapátlóvektorokat és a testátlóvektorokat! () Legyen ABCD egy paralelogramma, O egy tetszőleges pont. Bizonyítsd be, hogy ekkor: OA + OC = OB + OD. () Legyen az ABC szabályos háromszög oldala egység hosszú. Mennyi AB, AC? () Egy kockát kifeszítő vektor közül kettő a(6; ; ) és b( ; 6; ). Határozzuk meg a harmadik vektort! (4) Mekkor az a( 9; 0; 9) és b(7; ; 5) vektorok által kifeszített paralelogramma területe?
III. feladatsor () Legyen A(,, ), B(, 4, 5), továbbá legyen e : x = y, z = egyenes, és x = 6 + t f : y = 7 + t t R z = t (a) Határozzuk meg az A-n és B átmenő egyenes mindkét(!) egyenletét! (b) Határozzuk meg az A-n átmenő v(, 0, ) irányvektorú egyenest! (c) Rajta van-e A vagy B e-n vagy f-en? (d) Határozzuk meg e paraméteres és f paraméter nélküli egyenletét, egy-egy pontját, és irányvektorá! Határozzuk meg az A-n átmenő e-re és f-re merőleg egyenset! (f) Határozzuk meg a B-n átmenő e-vel párhuzamos egyenset! (g) Van-e közös pontja e-nek és f-nek? () Legyen továbbá C(,, 0), S : x + y 4z =. (a) Határozzuk meg az A-n atmenő n(,, 0) normálvektorú sík egyenletét! (b) Határozzuk meg az A, B, C pontokat tartalmazó síkot! Legyen ez S! (c) Határozzuk meg az A-t, B-t és e-t tartalmó síkot! (d) Határozzuk meg az A-n átmenő e-vel és f-el párhuzamos síkot! Hol döfi e az S síkot? () Mi S és S : x + z = metszésvonala? (4) Mi S és az Y Z sík metszésvonala? (5) Milyen messze van A e-től? (6) Milyen messze van B e-től? (7) Milyen messze van C f-től? (8) Milyen messze van A S -től? (9) Milyen messze van B S -től? (0) Milyen messze van e S -től? () Milyen messze van e f-től? () Milyen messze van az XY síktól az f? () Milyen messze van 6x + y z = 9 S -től? (4) Milyen messze van az XY sík és z = 4-től? x = + t (5) Milyen messze van az XY síktól és y = 5 + 6t t R egyenes? z = 4 x = 5 + t (6) Milyen messze van S -től y = 9 t R? z = 6 + t x = 4 t (7) Milyen messze van f-től y = 7 t t R? z = t x = 6 + t (8) Mekkora szöget zár be f és y = 7 + t t R? z = 5t x = + t (9) Mekkora szöget zár be e és y = t t R? z = + t (0) Mekkora szöget zár be e és S? () Mekkora szöget zár be az XY sík és S? () Mekkora szöget zár be x + y z = és Y Z?
() Tekintsük at alábbi mátrixokat! A = [ 0 ] B = Végezze el a lehetséges műveleteket: IV. feladatsor 4 0 C = 0 7 D = [ 4 A + B, A, A T, A + C T, 4D D T, AB, BA, CC T, D, BC, DC, BD () Számoljuk ki az alábbi determinánsokat: det(a), det(bb T ), det(c), det(cc T ), det(cd) () Határozzuk meg az alábbi mátrixok sajátértékeit, sajátvektorait: A, AA T, D, D, AC, CA, B, B (4) Határozzuk meg az alábbi mátrixok inverzét: A, AA T, D, D, B (5) Adja meg az alábbi mátrix inverzét! A = 0 B = 0 4 8 (6) Legyen v = (,, 4), v = (4,, ), v = (,, 7). Lineárisan függetlenek-e? (7) Legyen v = (,, ), v = (,, ), v = (,, 7). Lineárisan függetlenek-e? (8) Számold ki a sajátértékeket és a sajátvektorokat! A = [ 7 9 5 ] B = 0 0 4 0 7 (9) Számold ki a sajátértékeket és a sajátvektorokat és az inverzet! [ ] [ ] 5 6 A = B = C = 5 5 5 0 (0) Oldd meg Gauss eliminációval: (a) (b) (c) x + y + z = 4 x 4y + 5z = 7 y z = 7 x + y + z = 4x + 5y + 6z = 6x + 9y + z = 4 x + y + z = 4 x + 4y + 8z = 4 x 4z = 6 ]
(d) (f) x + y + z + w = x + y + z + 4w = 0 x + y + z + w = y + w = x + y z = x + y + z = 4x y = x 7y + 5z = 7y + 6z = 4 9y + 8z = 6 (g) x 7y + 5z = x 7y + 6z = 4 x 4y + z = 6 (h) x 7y + 5z = x 7y + 6z = 4 x + z = 6 (i) (j) (k) x + y + z = 4 x y + z = 8 x + z = 6 x + y + z = 5 x + 4y + 5z = y + 4z = x + 4y z = 4 x + y + 5z = 4 4x + y + z = 6 () Számold ki a determinánst és az inverz mátrixot! Ellenőrizz! A = B = 0 C = 0 0
V. feladatsor () Határozzuk meg, és ábrázoljuk az alábbi függvények értelmezési tartományát! f(x, y) = x + 5y f(x, y) = ln(x + y ) f(x, y) = (x + y + )y f(x, y) = ln(x + y 0) f(x, y) = 00 x y f(x, y) = ln(x + (y ) ) f(x, y) = x + + y + ln x + y f(x, y) = ln(x + y 5) x + y + () Határozzuk meg az alábbi függvények szintvonalait! f(x, y) = x + y f(x, y) = xy + y f(x, y) = x + y f(x, y) = (x ) + (y 4) () Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények összes lehetséges elsőrendű és másodrendű parciális deriváltfüggvényét! (a) f(x, y) = x (b) f(x, y) = y (c) f(x, y) = x + y (d) f(x, y) = x y 4 f(x, y) = e (x +y ) (f) f(x, y) = x y (4) Mutassuk meg, hogy ha u(x, y) = ln(x + y ), illetve u(x, y) = arctg x y, akkor u := u(x, y) + u(x, y) = 0. (5) Írjuk fel az f(x, y) = x + x y + y függvény (, )-beli érintősíkjának egyenletét! (6) Alkalmas linearizáltat használva számoljuk ki közelítően ln(.0) + 8.0 értékét! (7) Határozzuk meg f(x, y)-t, ha: (a) f(x, y) = x + ln(y ) xy (b) f(x, y) = tgx + y + y 4 x (8) Határozzuk meg v f(x, y)-t, ha: (a) f(x, y) = x ln(y) + xy, v = (, 5) (b) f(x, y) = x 5 sin(x)y + y 4 x, v = (, ) (9) Határozzuk meg α f(x, y)-t, ha: (a) f(x, y) = x ln(y) + xy, α = π 4 (b) f(x, y) = x 5 sin(x)y + y 4 x, α = π 6 (0) Határozzuk meg f(, )-et, ha f(x, y) = x y + xy. () Határozzuk meg v f(, )-et, ha f(x, y) = x 6 + xy + y, v = (, ). () Határozzuk meg α f(, )-et, ha f(x, y) = xy + x e y, α = 4π. () Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = x + y xy; (b) f(x, y) = (x + )(y + y ); (c) f(x, y) = x 4 4xy + y 4 ; (d) f(x, y) = x 4 + y 4 x y ; f(x, y) = x 4 + y 4 x y ; (f) f(x, y) = x xy + y. e y
(4) Számítsuk ki az alábbi többdimenziós integrálokat! x (a) dx dy, ahol D = [, ] [0, ]; D + y (b) sin y dx dy, ahol D = [0, ] [, ]; D (c) ( x + y) dx dy, ahol D = [0, ] [0, ]; D (d) cos x cos y cos z dx dy dz, ahol D = [0, π/] [0, π/] [0, π/]; D cos(x + z) dx dy dz, ahol D = [0, π/] [0, π/] [0, π/]. D (5) Számítsuk ki N x f értékét, ha (a) f(x, y) =, N x := {(x, y) R : x [0, ], 0 y x }; (b) f(x, y) = xy, N x := {(x, y) R : 0 x, x y x}; (c) f(x, y) = y, N x := {(x, y) R : x [, ], 0 y ( x) }. (6) Számítsuk ki az f(x, y) = xy függvény integrálját az y = x és az y = x + görbék grafikonjai által határolt tartományon.