Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük β = ACB látószöget, vgyis zon szög ngyságát, mely ltt z szksz körpály tetszőleges C pontjából látszik. Megoldás Az elemi háromszögtn és z 1. ábr szerint: + β + δ + 90 = 180, innen: β = 90 δ. ( 1 ) Ismét z 1. ábr lpján: cos r cos tg δ = = r, r sin tehát: cos tg δ = r. ( )
Most ( ) - ből: ( ) rctg r δ =. Mjd ( 1 ) és ( 3 ) szerint: ( ) 90 rctg r β =. Ez keresett szög - összefüggés. A péld kedvéért felvesszük, hogy z ehhez trtozó függvény grfikonját. ábrán szemlélhetjük. r = ( 3 ) ( 4 ),15 ; 4,55 60 bét ( fok ) f(x)=90-x-tn((cos(x)-0.4757475)/(sin(x))) 50 40 30 0 10 lf ( fok ) -30-0 -10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 160 170 180-10 -0-30 -40-50. ábr A. ábr z : 0 ~ 180 fokos szögtrtományr muttj β szögek lkulását. Az : 0 ~ 180 fokos szögtrtományr β szögek z 1. ábr vízszintes tengelyére vló tükrözéssel dódnk. A. ábráról leolvshtjuk, hogy β szögnek ~ minimum vn = 0 és = 180 - os szögekre, hol β min = 0 ; z ábrát megjelenítő Grph progrmml pedig zt is, hogy
3 ~ mximum vn = 61.8015149 - nál, hol β mx = 8.1985. A minimumok és nnk értéke könnyen értelmezhető. A mximum meglétének ténye sem igzán meglepő, értéke zonbn már z lehet. Ennek tisztázásár elvégezzük ( 4 ) képlet szerinti függvény szélsőérték - számítását, leglábbis részben. Ezt dβ( ) = 0 ( 5 ) d feltétel lpján végezzük. Differenciálv ( 4 ) - et, ( 5 ) - tel kpjuk, hogy cos cos dβ( ) 1 r = 1 = d 1 r + cos + cos 1 = 1 r = 1 r + 1 cos 1 cos 1 = 1+ r = 1+ r = 1 r + cos + r 1 cos 1 cos = 1+ r = 1+ r = 0, + cos cos + 1 cos + tehát: 1 cos 1+ r = 0 ; 1 cos +
4 innen további átlkításokkl: 1 cos r = 1, 1 cos + 1 cos = 1 cos +, r cos = cos +, r cos =, cos =, r végül: = rccos. r A. ábrából tudjuk, hogy mximumról vn szó; ennek értéke ( 4 ) - gyel: ( ) 90, β = β = mjd ( 6 ) és ( 7 ) - tel: β = 90 rccos. r ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) A fenti dtokkl:,15 = rccos = 61,8015148, 4,55 β = 90 61,8015148 = 8,1984857. A ( 6 ) és ( 8 ) képletekkel számított eredmények megegyeznek grfikonról leolvsott megfelelő értékekkel. Ez zt jelenti, hogy vlószínűleg jól htároztuk meg mximum helyét és értékét. A némiképpen meglepő ( 6 ) és ( 8 ) eredményeket 3. ábrán szemléltetjük.
5 3. ábr Ezek szerint: h z szksz OB egyenesétől mérjük z keringési szöget, kkor z * 1 és z * szögeknél lesz β látószög lehető legngyobb, zz β* értékű. Ennek megszerkesztése is egyszerű: 3. ábr szerinti. Ami meglepő fejlemény, z z, hogy z ABC* háromszögek: derékszögű háromszögek. Bizony, én egy egyenlő szárú háromszögre tippeltem, munk elején 4.) ábr. Tévedni emberi dolog. 4. ábr Aztán felmerült még 4 b. ) ábr szerinti lehetőség is. Most ezeket vizsgáljuk meg. A 4.) ábráról leolvshtón: β sin = β = rcsin ; r r ( 9 )
6 z =,15, r = 4,55 dtokt ( 9 ) - be helyettesítve:,15 β = rcsin = 7,335481 < β = 8,1984857. 4,55 Látjuk, hogy 4.) ábr szerinti felvétellel nem kptunk ngyobb látószöget. Mjd 4 b.) ábráról: tg β " = β " = rctg ; ismét fenti dtokkl és ( 10 ) - zel:,15 β " = rctg = 5, 90116 < β = 8,1984857. 4,55 ( 10 ) Látjuk, hogy 4 b.) ábr szerinti felvétellel sem kptunk ngyobb látószöget, 3. ábr esetéhez képest. Az viszont figyelemre méltó tény, hogy példánkbn mennyire közel esnek egymáshoz fent kiszámított látószög értékek. Például β és β* fenti értékeit szerkesztési és leolvsási ponttlnságok mitt kár egyenlőnek is vélhetnénk. Szóvl, nem volt hiábvló munk, mit ebbe fektettünk. Megjegyzések: M1. A keresett β() függvényt először szinusz - és koszinusztétel lklmzásávl írtuk fel. Bár képlet elvileg rendben volt, Grph szoftver vlmiért nem szerette, így áttértünk könnyebben, gyorsbbn levezethető és ábrázolhtó ( 4 ) képletre. M. Az ( 1 ) képlet felíráskor már gynkodhttunk, hogy β kkor lesz legngyobb, h δ = 0. Ez később megerősítést nyert. M3. ( 6 ) és ( 7 ) lpján: h r, kkor * 0, β* 90. Jvsoljuk, hogy z Olvsó végezze el ( 4 ) lpján z / r = 1 eset vizsgáltát! M4. Bár feldtunk kiírásábn ez nem is szerepelt, mégis legtöbbet szélsőérték témájávl fogllkoztunk. Így megy ez M5. Eddig z / r < 1 esettel foglkoztunk részletesen, z / r = 1 esetre pedig csk utlást tettünk. Most vessünk egy pillntást z / r > 1 esetre is! Ehhez tekintsük z 5. ábrát is!
7 5. ábr Ez lpján: β = β + β ; 1 1 β = 90 ; cos cos r cos tg r rctg r β = = β = ; r cos ( ) 90 rctg r β = +, tehát: ( ) 90 rctg r β =. (! ) Ezek szerint ( 4 ) képlet / r minden értelmes értéke estén hsználhtó. Azonbn vn jelentős eltérés z előzőekhez képest: függvény szélsőérték - tuljdonsági lényegesen megváltoztk. Ehhez tekintsük 6. ábrát is, hol z / r = értékkel dolgoztunk! Erről jól láthtó, hogy függvénynek nincs helyi szélsőértéke: szélsőértékeit trtomány htárpontjibn veszi fel. A függvény lkulás szemlélettel egyező.
8 bét ( fok ) 180 170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10-80 -70-60 -50-40 -30-0 -10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 160 170 180 190 00 10 0 30 40 50 60 70 80 90 300 lf ( fok ) f(x)=90-x-tn((cos(x)-)/(sin(x))) -10 6. ábr Az körülmény, hogy itt nem lesz lokális mximum, ( 6 ) és ( 8 ) képletek lpján várhtó is volt, hiszen koszinusz - függvény bszolút értéke nem hldhtj meg z egységet. Sződliget, 013. jnuár 4. Összeállított: Glgóczi Gyul mérnöktnár