MSc izikai geodézia és gravietria / 6. BMEEOAML SEKTRÁLIS MÓDSZEREK A IZIKAI GEODÉZIÁBA. A fizikai geodéziában előforduló száos feladat egoldása egkívána nagyennyiségű adat elezését és felhasználását. Az T-n gyors ourier transzforáció angolul ast ourier Transfor alapuló úgynevezett spektrális ódszerek biztosíták ezeknek az adatoknak a hatékony kezelését. A spektrális ódszerek elteredését leginkább a száítási igények egnövekedése indokolta és az hogy ezek igen hatékonyan oldák eg az úgynevezett konvolúciós integrálok kiszáítását.. Konvolúciós integrálok a fizikai geodéziában A konvolúciós integrál egy saátos szerkezetű integrál aely ne csak a fizikai geodéziában de a földtudoányok a fizika a ateatika a elfeldolgozás de ás tudoányágak területén is igen gyakran előfordul. A konvolúciós integrál fogala a legegyszerűbben az alábbi egyváltozós probléán keresztül világosítható eg. A vonalenti töegeloszlás Ahhoz hogy egy a koordináta-rendszer x tengelye entén eloszló inhoogén sűrűségű vonalszerű töeg töegvonzási potenciálát kiszáíthassuk bontsuk fel a töegünket töegeleekre és vizsgáluk eg egyetlen ilyen töegele potenciálát. Ez az alábbi ábrán látható ahol a obb oldali ábrán az origóba helyezett egységnyi töegű töegpont által keltett potenciált láthatuk k a ewton-féle töegvonzási állandó. B szuperpozíció elve: A szuperpozíció elve alapán a testet töegpontok összegére bontuk és a teles töegvonzási potenciál kiszáításához az egyes különböző ρx sűrűségértékekhez tartozó ezért azzal arányosan különböző nagyságú töegpontok által keltett részpotenciálokat összegezzük. A folytonos esetre történő határátenettel az összegzés helyett integrálunk és egkapuk a töegvonzási potenciál konvolúciós integrálát ai a obb oldali ábrán látható:
Ha a konstanst elhagyuk és általánosítunk elutunk az alábbi egydienziós konvolúciós integrálhoz: V x ρ x h x ξ dξ. A fenti integrál integrandusában egy tetszőleges függvény a ρx függvén és az ún. agfüggvény a hx függvén eltolt és az origóra tükrözött változatának a hx ξ-nek a szorzata szerepel. Minden ilyen szerkezetű integrált egyváltozós konvolúciós integrálnak nevezünk. Ha vektorváltozókkal dolgozunk vagyis x helyett több független változónk van akkor többváltozós konvolúcióról beszélhetünk. Egy ilyenre példa két változó esetében a Stokes-integrál közelítő alaka ha azt vetületi síkkoordinátákkal íruk fel: x g x' y' Δ πγ / [ x x' + y y' ] dx' dy' illetve háro változó esetén példa lehet az alábbi térbeli konvolúció a ól isert ewton-integrál: V r k r öld ρ r' r' dv r x y z r x y z A továbbiakban a konvolúció elölésére az alábbi a szakirodaloban általánosan elteredt elölést foguk használni: V x u x h x u ξ h x ξ dξ.. ourier-sor a fizikai geodéziában A spektrális ódszerek alapgondolatának egértéséhez fel kell idéznünk a ateatikában egisert ourier-sor fogalát. Ezt a száunkra iserősebb göbfüggvénysor segítségével tesszük eg. A ourier-sorból tuduk ad levezetni a folytonos illetve diszkrét ourier-transzforációt és így értük ad eg a transzforáció űködését hatását.
Göbfüggvénysor A fizikai geodéziában ár sokszor találkoztunk göbfüggvénysorokkal. Ezek tuladonképpen speciális esetei az egyváltozós ourier-soroknak. Ezt az alábbiak szerint könnyen be is tuduk látni. Íruk fel a göbfüggvénysort egy göbfelületen adott tetszőleges f ϑ függvényre itt és a továbbiakban persze feltételezzük azt hogy a függvény göbfüggvénysorba fethető. Az összegzéseket felcserélhetük a sor tagainak átrendezésével és ekkor a következőt kapuk: ahol f ϑ n n A ϑ cos + B ϑsin A B n C C n n ϑ ϑ cos + S cos + S n n n n C cosϑ S sin sin n n n n cosϑ cosϑ a ϑ göbi pólustávolságtól a Legendre függvényektől és a C n S n konstansoktól függő együtthatók. Most ár világos hogy a göbfüggvénysorunk egy ourier-sor lett a változó szerint: A ϑ cos + B ϑ sin ϑ. f Ez az átalakítás ne csak azért volt hasznos ert beláttuk hogy a göbfüggvénysor igazából egyváltozós ourier-sor de azért is ert ez a felírása lehetőséget nyút ad a sor T-vel gyors ourier-transzforációval történő igen hatékony összegzésére. Az f ϑ függvényt ugyanis igen gyakran egy egyenlő osztásközű rács pontaiban szeretnénk előállítani. Az 5 5 -es osztásközű rács pontainak száa a teles földfelszínre: 9 33 a legúabb EGM8-as odell pedig 4 8 666 együtthatót tartalaz így könnyen belátható hogy T nélkül a göbfüggvénysor segítségével a függvény kiszáításához 45 3 szorzás és összeadás 45 TLOS kellene ai ég elenleg is csak szuperszáítógépek száára elérhető telesítényt elent. Általában véve egy tetszőleges bizonyos feltételeknek egfelelő ft periódikus függvény egyváltozós ourier-sorba fethető az a n és b n együtthatókkal: ahol f t a + an cosnω t + bn sin nωt n ω a körfrekvencia egysége lehet rad/sec ha a t időváltozó vagy rad/k ha t térváltozó és T a függvény periódusa. π T 3
Az egyszerűbb elölés érdekében a sor koplex alakban íruk fel. Mivel a ól inωt isert Euler összefüggés szerint e cosnωt + isin nωt azaz a koplex expon írható azért inω t f t c n e c ± n a ib d + T in t cn f t e T d n ω dt. A fenti ábra utata egy periódikus függvény és ourier-sor segítségével hozzá rendelhető koplex együttható-sorozat koplex aplitúdó spektru kapcsolatát. n 3. olytonos ourier-transzforáció CT A folytonos ourier-transzforációt a következő határátenettel kapuk eg a periódikus függvény ourier-sorából. Egy ft neperiódikus függvényből egy T szélességű az origóra szietrikus ablakkal vágunk ki egy részt és ezt a részt tegyük ellé indkét irányban végtelen sokszor. Így egy gt periódikus függvényt kapunk aelynek ourier-sorából a T határátenettel egkapuk az ábrán látható ódon az eredeti ft neperiódikus függvény ourier-transzforáltát. 4
A egfelelő határátenetet elvégezve a következő integrálokat kapuk a diszkrét frekvencia változóból folyaatos koplex ω körfrekvencia változó lesz a határátenet során: iωt ω f t e dt { f t } iωt f t ω e dω π { ω } Könnyen belátható az hogy egy páros ft függvény ω ouriertranszforálta valós lesz. Ezt illusztrála a következő ábra ahol az origóra szietrikus négyszögipulzus ourier-transzforáltát láthatuk ai egy csökkenő aplitúdóú szinuszhullá a sincω szinusz kardinálisz függvény. A ourier-transzforáció fontos tuladonságai Az alkalazások szepontából fontosak a ourier-transzforáció alábbi nevezetes tuladonságai: Linearitás { αf t + βg t } α{ f t } + β{ g t } α ω + βg ω Szavakban kifeezve ez azt elenti hogy a transzforáció a lineáris tér űveleteivel skalárral való szorzás és összeadás felcserélhető. Eltolás fázis változás iωt iωt { f t t } { f t } e ω e A tétel szerint a függvénynek az idő-tartoányban való eltolása a frekvencia tartoányban fázis változást indukál a koplex síkon inden vektor ugyanazzal a fázisszöggel fordul el. Konvolúciótétel g t f t h t f τ h t τ dτ iatt 5
tehát { gt } Gω fτ ht τdτ iωt fτ ht τdτ e dt iωt fτ ht τe dt dτ H ω f τ e iωτ dτ H ω ω { f t h t } ω H ω. Szavakban egfogalazva a konvolúció ourier-transzforálta a tényező függvények ourier-transzforáltainak szorzata. A i szepontunkból a transzforációnak ez a legfontosabb tuladonsága. Előnyére a következő analógia világít rá. Analógia: A szorzat logaritusa a tényezők logaritusainak összege. Egy költséges űveletet a szorzást így helyettesítünk egy olcsóbb űvelettel az öszszeadással feltéve hogy a logaritus és inverz logaritus eghatározása olcsó űveletnek száít például kikeresés a logaritus táblázatból. A konvolúció eghatározása ai drága űveletnek száít iért? visszavezethető egy olcsó űveletre két függvény szorzatára feltéve hogy a ouriertranszforáció és inverze is olcsó űveletnek száít. 4. Diszkrét ourier-transzforáció DT A valóságban sose rendelkezünk végtelen száú adattal így a transzforálandó adataink száa véges. Leggyakrabban az a helyzet hogy a érendő ennyiségből egyenlő közben elhelyezkedő abszcissza értékekben eghatározott ún. intavételezett függvénértékekkel rendelkezünk. A Mintavételezés hatása A intavételezés hatása az idő t tartoányban az ún Dirac-féle ipulzussorozattal való szorzásnak felel eg. Tehát a intavételezett függvény ourier-transzforálta az inverz konvolúció tétel az eredeti tétel egfordította szerint az eredeti folyto- 6
nos függvénynek az ipulzussorozat ourier-transzforáltával vett konvolúcióa lesz. Az ipulzussorozat ourier-transzforálta aga is egy ipulzussorozat ezért az ezzel vett konvolúció azt elenti hogy a folytonos függvény transzforáltainak átskálázott ásolatait a intavételezési körfrekvenciának egfelelő közönként egyás ellé helyezzük és összeaduk. Az ábrán látható hogy ennek a űveletnek a hatására a transzforált egyrészt aga is periódikus lesz ásrészt pedig az egyes ásolatok a széleken általában egyásba lógnak átlapolódnak és ezeken a helyeken a spektru torzulni fog. Az ábrát egszelélve rögtön látuk akkor nincsen spektruisétlésből adódó torzítás ún. aliasing vagy átlapolódás ha ásképpen ω ax π T π T in. ω Ez a T in az ún. yquist intervallu a neki egfelelő intavételezési körfrekvencia pedig az ω π / T yquist frekvencia. in Shannon-féle intavételezési tétel. A tétel kionda hogy a intavételezési frekvencia legalább kétszerese legyen a elben előforduló legnagyobb frekvenciának. Ekkor ω ásolatai elkülönülnek nincs spektruisétlésből adódó torzítás aliasing vagy átlapolódás és elég a ásolatokból csak eggyel foglalkozni ha azt T- vel átskálázzuk egszorozzuk. ax B Véges elsorozatok 7
A intáink térben korlátozott kiteredésűek ez egy levágó ablak alkalazásának felel eg. Ennek következénye az ábrán látható spektrális szivárgás ai zavaró felharonikusok egelenését elenti a transzforált elben. Tegyük fel hogy db intát veszünk ind az ft -ből ind az ω -ból intavételezés: { f } n n illetve { } k k Ekkor utunk el a diszkrét ourier transzforált pár DT felírásához: k n f n e inkδωt k Ez f n k e k inkδωt n db koplex szorzást és db. koplex összeadást elent. Gyors ourier-transzforáció T A DT űveletigényét csökkenteni lehet. Cooley és Tukey 965-ben publikálták ódszerüket aelyik bináris k alakú száú adatra hatványra db szorzás helyett k db. szorzást igényel ezenkívül k db. koplex összeadást. Eszerint a űveletigény -ről log -re csökkenthető. Ők szeizikus adatok idősoranalízisére használták ódszerüket. Cikkük adne el lett feletve. Később kiderült hogy korábban ár ások is felfedezték a gyors ourier-transzforációt így például Danielson és Lánczos 94 sőt aga Gauss is használta 85-ben aszteroida pályák interpolációára. Azóta az T ódszert kidolgozták ne csak bináris száú adatra ez az ún ixed-radix T és szinte inden tudoányágban alkalazzák így a fizikai geodéziában is. A különbség a DT és az T űveletigénye között óriási lehet. éldául 9 adat esetén egy ns ciklusideű GHz lebegőpontos sebességű processzorral felszerelt gép T-vel 45 ásodpercig száolna íg T nélkül DT-vel a száítás 63 év úlva feeződne csak be! 5. A gyors ourier-transzforáció T ódszerének alkalazási lehetőségei a fizikai geodéziában Az T első alkalazási területe konvolúciós integrálok hatékony száításához kötődik. Az egyik legfontosabb ilyen integrál a Stokes-integrál. Stokes-integrál száítása T-vel R Δg Q S ψ dσ Q 4πγ Q σ Kérdés hogyan lehet a fenti a σ egységgöb felszínére felírt Stokes-integrált dienziós konvolúciós integrál alakára hozni? Ennek egyik lehetősége a 8
A sík közelítés D sík T x Δg x l x ahol πγ l x / x + y aely azonnal kiszáítható gyors ourier-transzforáció segítségével: x { ΔG u v L u v }. πγ Ebben az összefüggésben L u v az úgynevezett agfüggvény ourier transzforálta Δ G u v pedig a nehézségi rendellenességek szabályos rácsra interpolált értékeit tartalazó átrix D ourier-transzforálta. A kezdőpontban x y a agfüggvény szinguláris ezért itt a egfelelő geoidunduláció-árulékot ásképpen kell száolni például a ΔxΔy δ x Δg x γ π összefüggés segítségével. Megegyezzük hogy a Stokes-integrál sík közelítése ne azt elenti hogy a göböt az érintősíkával helyettesítük. Ez az elgondolás azért téves ert a gyakorlatban indig vetületi síkkoordinátákkal dolgozunk és így a száítás sokkal pontosabb int az érintősíkkal történő közelítés esetében. B göbi Stokes-integrál göbi T A Stokes-integrált felírhatuk göbi koordinátákban az alábbiak szerint: R p Δg S p; cos dd 4πγ. σ A probléa az hogy a Stokes-függvény ne csak a pont és a futópont koordinátáinak a különbségétől függ. Ha ez lenne a helyzet akkor ez az integrál pontosan egy D konvolúció alakát öltené a göbi koordinátás felírásban éppúgy int a sík közelítésben. Egyenlőközű rácsra interpolált Δg adatok esetén a geoidundulációt a következő összeggel közelíthetük: M R l k Δg i cos S l k ; i ΔΔ. 4πγ i Mivel a Stokes-függvény is felírható a földrazi koordináták különbségei függvényeként az alábbiak szerint: s ψ Δ Δ Δ Δ sin sin + sin cos cos sin + sin cos S s 4 6s + s 3 6s ln s + s. s A agfüggvénynek ezzel a közelítésével a Stokes függvény végül is csak az alábbiaktól függ az s-en keresztül: 9
ψ i k l S S. A száítási terület közepes földrazi szélességével száolva így a Stokes integrál göbi koordinátákban is konvolúciós integrállá alakítható: { } { } { } cos 4 Δ πγ k l i k l S g R. Ezt nevezzük D göbi T-nek. Ha s száításánál ne alkalazunk közelítést a Stokes integrál Δ szerint akkor is D konvolúciós integrállá alakítható ivel ; ki l i k l S S Δ. elhasználva a ourier-transzforáció linearitását a következőt kapuk: { } { } cos 4 k l S g R Δ Δ πγ ΔΔ. Ezt nevezzük D szabatos göbi T-nek. A száítástechnika felődése következtében a pontosságra törekedve a ár kizárólag ezt az elárást alkalazzák a száítások során. Vening-Meinesz integrál száítása T-vel A Vening-Meinesz integrált felírhatuk göbi koordinátákban az alábbiak szerint: sin cos 4 Q d V Q g Q σ α α ψ Δ πγ η ξ σ továbbá sík közelítésben az alábbi D T-vel: { } / sin / cos r r g y x y x α α Δ πγ η ξ. Mologyenszki integrál száítása T-vel A Mologyenszki integrál a Stokes integrál inverze vagyis nehézségi rendellenességeket lehet száítani a segítségével geoidundulációkból. Erre például az altiéteres érések feldolgozása során lehet szükség aikor kobinálni szeretnénk az altiéteres éréseket a geoidszáításhoz használt földi nehézségi rendellenességekkel. A Mologyenszki integrál göbi koordinátákban így írható fel: [ ] σ ψ π γ γ Δ σ d Z R R g p p 4 +. Ez az integrál a Stokes integrálhoz hasonlóan a teles földfelszínre száítandó az ún. Mologyenszki-függvény segítségével:
ψ Z nn + n cosψ. 3 n 4sin ψ / A Mologyenszki integrál szintén kiszáítható T elárás segítségével. Most csak a sík közelítéses egoldását íruk le ide: R γ Δ g x x γ π [ { { x } { d x } x { {} { d x }] 3/ [ x x + y y ] d x. Megegyezzük továbbá hogy a gyors ourier-transzforáción alapuló ódszerek előnyösen alkalazhatók például a terepi korrekciók száítására is ahol különösen nagy ennyiségű adattal kell dolgozni. Az egyéb alkalazások között kell egelíteni a gyors göbfüggvénysorfetés száítást ivel az előző részekben ondottak szerint az alábbi ellegű szuák hatékonyan száíthatók ki az T ódszerrel: n A cos + B sin i c e. A fenti göbfelületre vett integrálok száításánál hallgatólagosan feltételeztük hogy adatainkat a teles földfelszínre iserük ivel a fizikai geodéziában előforduló integrálképletek esetében Stokes Vening-Meinesz Mologyenszki stb. a teles öld felszínére integrálnunk kell. A gyakorlatban ez a követelény ne telesül ezért az integrálási tartoány ne a teles öld. Az integrálási területen kívüli adatok hatását pedig szokás valailyen geopotenciál odell segítségével eghatározni. Ilyen korszerű odell például az EGM96 vagy a GM98C odell elynek göbfüggvény együtthatóit 36 ill. 8 fok- és rendszáig iserük. Ez esetben egy egyszerű száítási elárással figyelebe vehető a geopotenciál odell hatása aelyet először eltávolítunk az adatokból azután pedig visszaállítunk a száított ennyiségekben reove-restore. A Stokes integrál esetében az elárás így néz ki: Δ g Δg A Δg GM + c GM Δ g h + + ahol GM elöli a geopotenciális odell hatását c a terepi korrekció Δg a szabadlevegő nehézségi rendellenességeket ree-air h pedig az úgynevezett indirekt hatást elöli. Látható hogy az első lépésben eltávolítuk a Δg A szabadlevegő nehézségi rendellenességekből a geopotenciális odell Δg GM hatását és a c terepi korrekciót. A száításokhoz pedig az így redukált Δg nehézségi rendellenességeket használuk fel a következő ábrán látható séa szerint. Végül hozzáaduk a Stokes-integrállal száított Δg aradék geoidundulációhoz az eltávolított hatásokat -ben h az ún. indirekt hatás és ezzel előállítuk a gravietriai geoidegoldást. Megelítük ég azt hogy a reove-restore elárás alternatíváaként alkalazhatóak azok a ódszerek is aelyek keretében ne a nehézségi rendellenességeket ódosíták azzal hogy az integrálás előtt eltávolíták a nehézségi erőtér hosszú hulláú összetevőit hane az integrálás agfüggvényét ódosíták úgy hogy eltávolít-
ák belőle a hosszú hulláú tagokat. Egy ilyen gyakran alkalazott ódosítási elárás Mologyenszki nevéhez fűződik. Gyakorlati példák A következőkben beutatunk néhány példát a spektrális ódszerek alkalazására a fizikai geodéziában elsősorban a geoidszáítás területén. További példákat a fizikai geodéziában alkalazott szoftverek áttekintése keretében fogunk egiserni. EGG97 European Gravietric Geoid 997 Denker Behrend és Torge EGM 96 geopotenciál odell 36 fok- és rendszáig 3 68 együttható 3 sorból és 4 oszlopból álló x 5 szögperc osztásközű földrazi rácshálóra adott nehézségi rendellenességek 779 5 Δg adat száítási ódszer: D göbi szabatos T spektrális kobináció HGTUB98 HGTUB agyarországi gravietriai geoidegoldások Tóth és társai EGM 96 geopotenciál odell 36 fok- és rendszáig 3 68 együttható 4 sorból és 55 oszlopból álló 3 x 5 szögásodperc osztásközű földrazi rácshálóra adott nehézségi rendellenességek 65 Δg adat száítási ódszer: D göbi szabatos T reove-restore ill. spektrális kobináció necsak geoid hane függővonal elhalás összetevők száítása is történt Az OGS 38 szintezett pontán ellenőrizve a geoidegoldás 87 illetve c-es szórással egyezik.
3
46.5.5 39 49 46 45.5 43.5 4 4.5 38.5 38 48.5 43.5 43.5 4.5 4.5 4 43 4 48 43.5 39.5 47.5 47 47 46 45.5 45.5 43.5 43 4.5 4 4.5 4 4.5 4 4.5 45.5 4 4.5 43 46.5 43.5 46 46 45.5 43 4.5 43 45 45.5 43 43.5 6 7 8 9 A HGTUB98B egoldás izovonalköz: 5 Összeállította: Dr. Tóth Gyula BME Általános- és elsőgeodézia Tanszék Budapest. 4