Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha 1 szóba azoos betűk icseek? A) 4 B) 12 C) 16 D) 24 E) 36 2. Adott hat pot, amelyek közül semelyik három sics egy egyeese. Háy égyszöget határozak meg ezek a potok? A égyszögek midegyik csúcsát az adott hat potból választjuk ki.) A) 36 B) 30 C) 15 D) 6 E) Egyik sem. 3. Háy olya háromjegyű szám va, melybe a számjegyek csökkeő vagy övekvő sorredbe követik egymást? A) 120 B) 168 C) 204 D) 216 E) 240 4. Egy szöcske ugrál a számegyeese. Ugrásaiak hossza 1 egység. A számegyeese a 0-t jelölő potból a +5-öt jelölő potba 9 ugrással jutott el. Háyféleképpe tehette ezt meg? A) 18 B) 25 C) 36 D) 45 E) 72 5. Az ANGOL szó betűiek elkészítjük mid a 120 lehetséges sorredjét és ABC-redbe szedve egymás utá írjuk. Mi a 86. szó utolsó betűje ebbe a listába? A) A B) N C) G D) O E) L 6. Egy építőkészlet 96 köve kétféle ayagból készül műayag és fa), 3 méretbe kicsi, közepes és agy), 4 szíbe kék, piros, zöld, sárga) és 4 formába kör, hatszög, égyzet, háromszög). Háy olya kő va a készletbe, mely a,,műayag közepes agyságú piros kör -től potosa két tulajdoságba tér el? A) 29 B) 39 C) 48 D) 56 E) 62 7. Háy olya háromjegyű pozitív egész szám va, amelybe a számjegyek szorzata legfeljebb 5? Zríyi Iloa Matematikaversey országos dötője, 1998., 5. osztályosok verseye 8. A háromjegyű számok között melyikből va több, amelyikek mide számjegye páros, vagy amelyikek mide számjegye páratla? Miért? Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1996., 5. osztályosok verseye 9. Háy olya háromjegyű szám va, amelybe a páratla számjegyek száma páratla? Állításodat idokold! Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1993., 5. osztályosok verseye 10. Háyféleképpe választhatuk ki 1 és 20 között 2 egész számot úgy, hogy összegük páros legye? Kalmár László Matematikaversey országos dötője, 1994., 6. osztályosok verseye 11. Egy jégbarlag bejáratától öt úto juthatuk el az első terembe, ie hat út vezet a másodikba, majd ie három út a harmadikba. Háyféle úto juthatuk el az első teremből a harmadik terembe? A) 3 B) 5 C) 18 D) 30 E) 90 12. Háy egyees húzható egy kocka yolc csúcsá át úgy, hogy mide egyees két csúcsot tartalmazzo? A) 4 B) 12 C) 20 D) 24 E) 28 13. 4 fiú és 3 láy úgy ült le egy 7 személyes padra, hogy sem két láy, sem két fiú em ült egymás mellett. Háy ültetési sorred képzelhető el? A) 24 B) 30 C) 35 D) 21 E) 144 14. Háyféleképp tudsz sorbaraki 5 egybevágó háromszöglapot, melyek közül 2 piros és 3 kék? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 74 15. Háy olya háromjegyű szám va, amelyek egyik és csak az egyik számjegye a) 5-ös; b) 0? 16. Háy olya háromjegyű szám va, amely számba ics a) 5-ös; b) 0 számjegy? 17. Háy olya háromjegyű szám va, amely számba va a) 5-ös; b) 0 számjegy? 18. Háy olya égyjegyű pozitív egész szám va, amelybe szerepel a 0 számjegy? Zríyi Iloa Matematikaversey megyei fordulója, 1993., 5. osztályosok verseye 19. Háy olya hatjegyű pozitív egész szám va, amelybe a számjegyek összege 3? Zríyi Iloa Matematikaversey megyei fordulója, 1997., 6. osztályosok verseye
20. Háy olya háromjegyű pozitív egész szám va, melyek mide számjegye kisebb, mit 4? Zríyi Iloa Matematikaversey megyei fordulója, 1996., 5. osztályosok verseye 21. Adott a síko 10 pot úgy, hogy közülük semelyik három sics egy egyeese. Háy olya egyees va, amely az adott potok közül kettő átmegy? 22. Az 1, 2, 2, 3, 3, 3 számjegyek külöböző sorredjeivel háy a) 6-jegyű szám; b) 6-jegyű páros szám képezhető? 23. elem harmadosztályú ismétléses és ismétlés élküli variációi számáak külöbsége 65. Határozzuk meg értékét! 24. Adott a síko 20 pot, amelyek közül bármely három em illeszkedik egy egyeesre. Háy háromszöget határozak meg ezek a potok? 25. Egy 15 fős társaság tagjai között 5 külöböző köyvet sorsolak ki. Háyféleképp végződhet a sorsolás, ha a) egy személy csak egy köyvet yerhet; b) egy személy több köyvet is yerhet? 26. Egy csomag magyar kártyából kihúzuk 10 lapot. Háy esetbe lesz a kihúzott lapok között a) legalább 7 zöld; b) legfeljebb 7 zöld? 27. Az 5-ös lottó háy olya húzás lehetséges, amelybe a kihúzott számok között a) szerepel a 7 és a 13; b) em szerepel a 7 és a 13? 28. Számold össze, háy pozitív osztója va a 72-ek! 29. Számold össze, háy pozitív osztója va 16 200-ak! Kalmár László Matematikaversey országos dötője, 1991., 5. osztályosok verseye 30. Két párhuzamos egyees egyiké 5, a másiko 7 potot jelöltük meg. Háy olya háromszög va, amelyek csúcsai eze potok közül valók? 31. Adott a síko két párhuzamos egyees, az egyike 10, a másiko 20 pot. Háy olya háromszög va, amelyek csúcsai az adott potok közül kerülek ki? Kalmár László Matematikaversey országos dötője, 1995., 7. osztályosok verseye 32. Egy iskolai redezvéye 12 láy és 15 fiú vesz részt. Háyféleképpe választhatuk ki közülük égy tácoló párt? 33. 15 fiút és 15 láyt sorshúzással két azoos létszámú csoportba osztuk. Háyféle olya sorsolás lehet, amikor az egyik csoportba 5 fiú és 10 láy kerül? 34. Egy csomag magyar kártyából kihúzuk 5 lapot. Háyféleképp törtéhet ez, ha a kihúzott lapok között legalább 3 piros lap va? 35. A szultá születésapjá éháy rabot szabado akar bocsátai. A 100 cellás börtöbe 100 börtöőr va. Az 1. őr mide ajtót kiyit. A 2. őr mide 2. ajtót bezár. A 3. őr mide 3. ajtót kiyit, ha zárva volt, s bezár, ha yitva volt. Hasolóa yit-zár a többi őr is. Mely cellák ajtaja marad yitva? 36. Egy körmérkőzéses verseye mideki midekivel játszik) eddig 65 mérkőzést játszottak le és még midekiek 2 mérkőzése va hátra. Háya idultak a verseye? Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1992., 7. osztályosok verseye 37. Egy körmérkőzéses verseye mideki midekivel egy mérkőzést játszik eddig 25 mérkőzést játszottak le és még midekiek 4 mérkőzése va hátra. Háya idultak a verseye? 38. Egy körmérkőzéses verseye iduló játékosok közül kette lemodták a részvételüket, ezért 17-tel kevesebb mérkőzésre került sor. Háy játékos idult a bajokságo? 39. Egy körmérkőzéses asztaliteisz bajokság szervezői a mérkőzések számát ötveel kíváták csökketei, ezért 4 verseyzővel kevesebbet hívtak meg. Háya vettek részt a bajokságo? 40. A sakktáblára háyféleképpe lehet feltei 8 bástyát úgy, hogy e üssék egymást? 41. Melyek azok a háromjegyű számok, amelyekek potosa 5 pozitív osztója va? 42. Egy csomag magyar kártyából kihúzuk 10 lapot. Háy esetbe lesz a kihúzott lapok között a) potosa 2 zöld; b) potosa 2 zöld és 3 piros? 43. A 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37,... sorozatot úgy képezzük, hogy az utolsó szám számjegyeiek égyzetét összeadjuk, s ez lesz a következő elem a sorozatba. Például 16 utá 1 2 + 6 2 = 1 + 36 = 37 következik.) Melyik szám lesz a sorozat 100. eleme? 44. Egy számsorozat első tagja 2, második 3, további tagjait pedig úgy képezzük, hogy mide egyes tag 1-gyel kisebb legye, mit a két szomszédjáak szorzata. Mi lesz a sorozat 100. eleme?
45. Egy sorozat első eleme 2, a második 3. A következő elemet midig úgy számoljuk, hogy az utolsóból kivojuk az az előtti elemet. Így a harmadik elem: 3 2 = 1. Mi lesz a sorozat 100. eleme? 46. A 3, 6, 12, 5, 10, 1,... sorozat következő elemét úgy kapjuk az előzőből, hogy aak utolsó számjegyét megduplázzuk és ehhez hozzáadjuk az utolsó jegy elhagyásával kapott számot. Például 134 utá a 2 4 + 13 = 21 következe.) Mi lesz a megkezdett sorozat 100. eleme? 47. Valaki úgy megy fel a lépcső, hogy egy-egy lépésével vagy 1, vagy 2 lépcsőfokot lép át. Háyféleképpe juthat fel a 10. lépcsőfokra? 48. Háyféleképpe lehet egy 2 10-es téglalapot 2 1-es domiókkal kiraki? 49. Háy olya yolc számból álló, csak 0-t vagy 1-et tartalmazó sorozat va, amelybe em fordul elő két szomszédos 1-es? 50. Igazoljuk a Fiboacci-sorozat alábbi tulajdoságait. f 1 = f 2 = 1, f +2 = f +1 +f, = 1, 2, 3,... ) a) f 1 + f 2 + + f = f +2 1, = 1, 2, 3,... b) f 1 + f 3 + + f 2 1 = f 2, = 1, 2, 3,... c) f 2 + f 4 + + f 2 = f 2+1 1, = 1, 2, 3,... d) f 1 + 2f 2 + 3f 3 + + f = 1)f +2 f +1 + 2, = 1, 2, 3,... 51. Igazoljuk a következő oszthatóságokat. a) 4 7 + 3 +1, = 1, 2,..., f) 17 6 2 + 19 2 +1, = 1, 2,..., b) 9 7 + 3 1, = 1, 2,..., g) 9 3 + + 1) 3 + + 2) 3, = 1, 2,..., c) 7 5 9 1 + 2 4 3, = 1, 2,..., h) 7 3 2+1 + 2 +2, = 1, 2,..., d) 17 7 5 2 1 + 2 3+1, = 1, 2,..., i) 133 11 +2 + 12 2+1, = 0, 1,..., e) 19 5 2 3 2 + 3 3 1, = 1, 2,..., j) 16 3 2+2 + 8 9, = 1, 2,... 52. Tudjuk, hogy a 1 = 4, a +1 = 3a 2, = 1, 2, 3,... Mutassuk meg, hogy a = 3 + 1. 53. Tudjuk, hogy a 1 = 2, a 2 = 8, a +2 = 4a +1 3a, = 1, 2, 3,... Mutassuk meg, hogy a = 3 1. 54. Tudjuk, hogy a 1 = 1, a 2 = 5, a +2 = 5a +1 6a, = 1, 2, 3,... Mutassuk meg, hogy a = 3 2. 55. Tudjuk, hogy a 1 = 1, a 2 = 9, a +2 = 9a +1 20a, = 1, 2, 3,... Mutassuk meg, hogy a = 5 4. 56. Tudjuk, hogy a 1 = 3, a 2 = 15, a +2 = 5a +1 4a, = 1, 2, 3,... Mutassuk meg, hogy a = 4 1. 57. Tudjuk, hogy a 1 = 29, a 2 = 85, a +2 = 5a +1 6a, = 1, 2, 3,... Mutassuk meg, hogy a = 2 + 3 +2. 58. Tudjuk, hogy a 1 = 3, a 2 = 6, a +2 = 3a +1 2a 1, = 1, 2, 3,... Mutassuk meg, hogy a = 2 +. 59. Néháy egyees a síkot tartomáyokra botja. Mutassuk meg, hogy ezek a részek két szíel kiszíezhetők úgy, hogy az oldalszomszédos tartomáyok külöböző szíűek legyeek. 60. Mutassuk meg, hogy 1 + 2 + 3 + + ) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 3. 61. Mutassuk meg, hogy 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + + 1 +1) = +1. 62. Mutassuk meg, hogy egy égyzet feldarabolható db égyzetre, ahol 6. 63. Mutassuk meg, hogy egy háromszög feldarabolható db, hozzá hasoló háromszögre, ahol 6. 64. Mutassuk meg, hogy 1 + 2 + 3 + + = +1) 2. 65. Mutassuk meg, hogy 1 + x) 1 + x, ha N és x 1 Beroulli-egyelőtleség). 66. Igazoljuk, hogy 6 3, = 1, 2,... 67. Igazoljuk, hogy p p, ahol p prímszám, N kis Fermat-tétel). 68. Mutasd meg, hogy 2 100 + 3 100 < 4 100. 69. Mutassuk meg, hogy 2 > 2, ha > 4 egész szám. Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 2004., 7. osztályosok verseye 70. Hol a hiba a következő bizoyításba? Állítás: Bármely pozitív egészre a 1 = 1, ahol a > 0 tetszőleges szám. Bizoyítás: Ha = 1, akkor a 1 = a 1 1 = a 0 = 1. Ha feltesszük, hogy a tétel igaz az 1, 2,..., esetre, akkor azt kapjuk, hogy a +1) 1 = a = 1 a 1 a a = 1 1 2 1 = 1; tehát a tétel + 1) esetére is igaz.
71. A bal felső sarokból idulva előre, ill. lefele lépkedve háyféleképpe olvasható ki a KOMBINAT ORIKA szó? K O M B I N A T O O M B I N A T O R M B I N A T O R I B I N A T O R I K I N A T O R I K A 72. Háyféleképpe juthatuk el A-ból B-be, ha az X-el jelölt mezőkre em léphetük és lépi csak oldalszomszédos mezőre lehet jobbra vagy lefele? A X X X X B 73. Háyféleképpe olvashatja le Kriszta kedvec macskája evét az ábráról, ha csak jobbra vagy lefelé léphet? M A F A F F I A I A A 74. Háyféle úto olvasható ki az ABACUS szó az ábrá? A B B A A A C C C C U U U U U S S S S S S 75. A sorozatokba milye szám illik a kérdőjel helyére? a) 7, 11, 8, 12, 9, 13,?,... b) 17, 15, 20, 18, 23, 21,?,... c) 1, 2, 4, 5, 10, 11, 22,?,... d) 1, 2, 6, 12, 36, 72,?,... e) 4, 7, 21, 24, 72, 75,?,... f) 5, 2, 6, 2, 8, 3,?,... g) 1, 4, 9, 25,?, 49,... h) 100, 81, 64,?, 36, 25,... i) 2, 3, 5, 8, 12, 17,?,... j) 2, 3, 5, 8, 13, 21,?,... k) 1, 2, 6, 24, 120,?,... l) 100, 101, 103, 107, 115, 122,?,... m) 77, 49, 36, 18,?
76. Számolja ki a biomiális tétel segítségével! a) x 1) 3 ; b) a + 2) 4 ; c) 1, 02 4 ; d) 1, 01 5 ; e) 99 4 ; f) 999 3. 77. Bizoyítsa be a biomiális tétel segítségével a következő összefüggéseket! a) 0) + 1) + 2) + 3) + + ) = 2 ; b) 0) 1) + 2) ) 3 + + 1) ) = 0; c) 0) + 2 ) ) 1 + 2 2 ) 2 + 2 3 3 + + 2 ) = 3. 78. Igazolja az alábbi összefüggéseket! a) ) k = k) ; b) ) k + ) k+1 = +1 k+1) ; c) ) k = 1 k k 1) ; d) k k) s) = ) s s k s). 79. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük bármely kettőek az uiója kiadja az alaphalmazt. 80. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük semelyik kettőek se legye közös eleme. 81. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük bármely kettőek egy közös eleme legye. 82. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük bármely kettőek egy közös eleme legye, ám bármely három halmazak e legye közös eleme. 83. Adjuk meg az {1, 2, 3, 4, 5} halmazak miél több olya részhalmazát, hogy közülük egyik se tartalmazza részkét valamely másikat. 84. Egy iskolába 600 diák jár, mide osztályba 30-a. Mide diákak mideap 5, mide taárak mideap 4 órája va. Mide órá egy egész osztály és egy taár va együtt. Háy taára va az iskoláak? A) 20 B) 24 C) 25 D) 30 E) 32 85. Mutassuk meg, hogy egy 9 elemű halmaz bármely égy 7 elemű részhalmazáak közös része em üres. 86. Az A 1, A 2,..., A k halmazok végesek. Mutassuk meg, hogy A 1 A 2 A k 1 k A 1 + A 2 + + A k ). 87. Adjuk meg a természetes számokak három olya végtele részhalmazát úgy, hogy a részhalmazok közül bármely kettőek végtele sok közös eleme legye, ám a három részhalmazak e legye közös eleme. 88. Legalább mekkora létszámú az az osztály, ahol biztosa va két olya diák, akiek ugyaayi foga va? 89. Egy fiókba 10 fekete és 10 bara, ugyaolya méretű zoki va. Háy darabot kell találomra kivei, hogy biztosa legye köztük egy pár azoos szíű) zoki? 90. Egy zsákba 10 pár fekete és 10 pár bara, ugyaolya méretű kesztyű va. Háy darabot kell találomra kivei, hogy biztosa legye köztük egy pár azoos szíű) kesztyű? 91. Egy dobozba azoos méretű zokik vaak: összese öt párra való fehér, tíz párra való fekete és tizeöt párra való bara zoki. Háy darabot kell ezekből látatlaba kihúzi ahhoz, hogy biztosa legye közöttük egy pár? A jobb- és ballábas zokikat em külöböztetjük meg.) Zríyi Iloa Matematikaversey megyei fordulója 1991., 6. osztályosok verseye 92. Va 70 golyók, közülük 20 piros, 20 zöld, 20 sárga, és a maradék 10 közül éháy fekete, a többi fehér. Legkevesebb háy darabot kell kivei, hogy biztosa legye közte 10 azoos szíű golyó? 93. Egy átlátszatla zacskóba 18 db golyó va, 5 piros, 6 fehér és 7 zöld szíű. Háy darabot kell kivei közülük bekötött szemmel úgy, hogy biztosa legye a kivettek között a) midhárom szíű golyóból 3 darab; b) midhárom szíű golyóból; c) legye valamelyik szíből az összes golyó?
94. Leírtam az összes háromjegyű pozitív egész számot egy-egy kártyára, és egy üres kalapba tettem őket. Legkevesebb háy számkártyát kell becsukott szemmel kihúzi ahhoz, hogy biztosa legye közöttük kettő, melybe megegyezik a számjegyek összege? 95. Mutasd meg, hogy öt, 10-él agyobb prímszám közül midig kiválasztható kettő, melyek külöbsége osztható 10-zel! 96. Háy olya szám va az 1, 2, 3,..., 99, 100 számok között, amely a 2 és a 3 számok közül legalább az egyikkel osztható? 97. Háy olya szám va az 1, 2, 3,..., 99, 100 számok között, amely a 2 és a 3 számok közül csak az egyikkel osztható? 98. Háy olya szám va az 1, 2, 3,..., 99, 100 számok között, amely a 2, 3 és az 5 számok közül legalább az egyikkel osztható? 99. Háy olya szám va az 1, 2, 3,..., 99, 100 számok között, amely a 2, 3 és az 5 számok közül csak az egyikkel osztható? 100. Háy olya szám va az első 1995 pozitív egész szám között, amelyik a 3, 4 és 5 számok közül legfeljebb kettőek többszöröse? A) 33 B) 865 C) 1164 D) 1197 E) 1962 101. Az első 1000 természetes szám közül háy olya szám va, amely sem 2-vel, sem 3-mal em osztható? A) 166 B) 167 C) 333 D) 500 E) 833 102. Egy fordító asztalá lévő 12 db köyv közül 7 db em fracia yelvű és 4 db regéy. A regéyek közül 3 db em fracia yelvű. Háy olya köyv va, amely fracia yelvű, de em regéy? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 103. Háy olya pozitív egész szám va, amely osztója a 2000 vagy a 2005 számok valamelyikéek? 104. Egy zsákba 11 piros, 8 fehér és 6 fekete golyó va. Háy golyót kell kivei véletleszerűe, hogy biztosa legye közte a) fehér vagy fekete; b) fehér és fekete; c) két külöböző szí; d) valamelyik szíből mid; e) két szíből midegyik; f) valamelyik szíből három? 105. Egy szabályos egyelő oldalú) háromszög alakú céltábla oldala 1 m. A céltáblát 10 lövés eltalálta. Igazold, hogy va két olya találat, amelyek 34 cm-él közelebb vaak egymáshoz. Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1984., 5. osztályosok verseye 106. Egy 8 cm oldalú égyzetbe találomra berajzoluk 260 potot. Bizoyítsd be, hogy a potok között biztosa lesz kettő, amelyek egymástól mért távolsága 1 cm-él kisebb. Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1984., 7. osztályosok verseye 107. Egy 30 fős osztály taulói három yelvet taulak: agolt, émetet és fraciát. Mide diák legalább egy yelvet taul: agolt 14-e, émetet 15-e, fraciát 11-e, potosa két yelvet pedig összese 6-a. Háya taulják midhárom yelvet? A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 108. Egy osztály taulói három túrát terveztek. Midegyik túrá 15 tauló vett részt. Az első túra résztvevői közül hete metek el a másodikra, yolca pedig a harmadikra. A második túra öt résztvevője vett részt a harmadik túrá. Négy olya tauló volt, aki háromszor túrázott. Háy tauló volt jele a három túráak legalább az egyiké? A) 15 B) 21 C) 26 D) 29 E) 33 109. Hogya lehet egy 1 kg-os, egy 3 kg-os és egy 9 kg-os mérősúllyal kétkarú mérlege leméri 1 és 13 kg között mide lehetséges egész értéket beleértve az 1 és a 13 kg-ot is)?
110. Négy darab súllyal egy kétkarú mérlege végig lehet méri 1 és 40 kg között mide lehetséges egész értéket beleértve az 1 és a 40 kg-ot is). Melyik ez a égy súly? 111. Va egy 3 literes és egy 5 literes kaák. Hogya lehet ezekkel 4 liter vizet kimeri? 112. Hogy lehet potosa 6 liter vizet hozi a folyóból, ha egy 4 literes és egy 9 literes edéyük va? 113. Két emberek 8 liter bora va egy 8 literes edéybe. Hogya felezhetik meg ezt a bort, ha a 8 literes edéye kívül csak egy 5 literes és egy 3 literes edéy áll redelkezésükre? 114. Nagyapó em eszik meg akármit: a főtt tojást például potosa akkor, ha az se több se kevesebb, potosa 15 percig főtt. Egy ap téged kér meg, hogy készíts eki reggelit, s Te csak két időmérő eszközt találsz az egész házba: két homokórát. A agyobbikba 11 perc alatt pereg le a homok, a kisebbikbe 7 perc alatt. Hogya tudod leméri a 15 percet? 115. Pierre, a pék fraciakeyeret süt. Sajos elromlott az órája, és csak két homokórája va, amivel időt tud méri. Az egyik homokórával 15 percet, a másikkal 20 percet tud méri. A keyeret potosa 25 percig kell a kemecébe tartai. Hogya lehet ezt megtei? 116. Domokos szerete 13 percet leméri, azoba az idő méréséhez csak egy 5 és egy 7 perces homokórát tud felhaszáli. Hogya lehet az 5 és a 7 perces homokórával 13 percet méri? 117. Egy szobába 10 szék va sorba egymás mellett. A székek kezdetbe üresek. Időkét valaki bejö a szobába, leül egy üres székre, és ugyaekkor egyik szomszédja ha va) föláll és kimegy. Legfeljebb háy szék lehet foglalt egyszerre a szobába? Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1991., 7. osztályosok verseye 118. Egy fotos,,titkos jeletést 10 oldalra gépeltek le és az egyes oldalakat megkapta egy-egy ember és hazavitte. Mid a 10 emberek va telefoja. Hogya lehete miél kevesebb telefobeszélgetéssel megszervezi, hogy a jeletés teljes tartalmát mid a 10 ember megismerje? A telefobeszélgetéskor a két ember az összes redelkezésre álló iformációt kölcsööse kicseréli.) Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1993., 8. osztályosok verseye 119. Vérvizsgálat: Bergegócia harcba áll a szomszédos Burkusországgal. Bergegócia kis ország, szegéy ország, kicsi hadserege va. 128 fős a hadsereg. A kiváló hírszerzések köszöhetőe megtudják, hogy a burkusok alattomos módo megfertőzték az egyik bergegóc katoát egy agyo veszélyes vírussal. A vírus 10 api lappagás utá tovább fertőzi a vírushordozó katoával éritkezőket. Gyorsa cselekediük kell. Bármilye kiváló is a hírszerzés, em tudják, hogy melyik ez a fertőzött katoa. Ha megtalálják, akkor godos orvosi kezeléssel a fertőzés megállítható, és a katoa is meggyógyítható. Nem marad más számukra, mit hogy vért veszek a katoáktól, és a vérhez alkalmas reagest adva, kiderül, hogy va-e a vérbe vírus, vagy sem. Sajos ez lassú eljárás, 1 ap kell, mire vegyszer hatása értékelhető. Ez a vizsgálat, a reages vegyszer ráadásul agyo költséges. Ha egyesével mid a 128 katoá elvégzik a vizsgálatot, a hadsereg költségvetése csődbe jut. Hogya lehete a vizsgálatok számát jeletőse csökketei, akár 10-él kevesebb vizsgálattal megtaláli a fertőzött katoát? 120. A hamis mérleg: Egy iste háta mögötti helye, egy kis boltba vei szereték 1 kg lisztet. A boltba va kétkarú mérleg, vaak mérősúlyok, és va liszt is agyobb meyiségbe. Azoba, ha a mérleg midkét serpeyőjébe egy-egy 1 kg-os mérősúlyt teszük, a mérleg yelve ics egyesúlyba. Bárhogya is szereték, em tudjuk a mérleget hitelese beállítai, hamisa mér a mérleg. Hogya tuduk kiméri 1 kg lisztet? 121. 3 érme közül egy hamis, s ez köyebb, mit a másik kettő, amelyek egyelő súlyúak. Egy kétkarú mérlege súlyok felhaszálása élkül egy mérlegeléssel keresd ki közülük a hamis érmét. Hogya lehet ezt megtei? 122. 9 érme közül egy hamis, s ez köyebb, mit a többi a többi egyelő súlyú). Egy kétkarú mérlege súlyok felhaszálása élkül két mérlegeléssel keresd ki közülük a hamis érmét. Hogya lehet ezt megtei?
123. 27 érme közül egy hamis, s ez ehezebb, mit a többi a többi egyelő súlyú). Egy kétkarú mérlege súlyok felhaszálása élkül három mérlegeléssel keresd ki közülük a hamis érmét. Hogya lehet ezt megtei? 124. Va 10 db, párokét külöböző súlyú golyók és egy kétkarú mérlegük. Válaszd ki miél kevesebb mérlegeléssel a legköyebb golyót! 125. Va 8 külsőre egyforma, de csupa külöböző súlyú golyók. Adjo meg olya módszert, hogy egy kétkarú súlyok élküli) mérlege miél kevesebb méréssel ki tudjuk választai a legehezebb golyót! 126. Va 8 külsőre egyforma, de csupa külöböző súlyú golyók. Írj le olya módszert, hogy egy kétkarú súlyok élküli) mérlege miél kevesebb méréssel ki tudjuk választai eek alapjá a két legehezebb golyót! Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója, 1994., 7. osztályosok verseye 127. Egy üzletek 10 bőrödöt szállítottak és hozzájuk egy külö borítékba 10 kulcsot. Mide kulccsal csak egy bőröd yitható. Legkevesebb háy próbálkozással találhatjuk meg biztosa a 10 bőröd midegyikéhez a megfelelő kulcsot? A) 10 B) 45 C) 55 D) 90 E) 100 128. Hamis pézek: 10 láda péz között az egyik ládába csupa 11 grammos érme va, a többibe 10 grammosak az érmék. Okos Domokosak csak egyetle mérésre va lehetősége, s azutá tudia kell, hogy melyik a ehezebb érméket tartalmazó láda. A méréshez kap egy egykarú mérleget mérősúlyokkal. Hogya találja meg a ehezebb érméket tartalmazó ládát? 129. Az ötágú csillago megjelölt 10 köröcske közül miél többre helyezzük korogot. Korogot a következő módo lehet felraki: valamelyik üres köröcskébe teszük egyet, majd valamelyik szomszédos köröcskét átugorva midegy, hogy ott va korog vagy ics) és egy üres köröcskére érkezve, a korog ott marad. Ugrai csak valamelyik egyees voal meté lehet. 130. Három rabló: Két rabló, Tódor és Domokos úgy szokott megosztozi a zsákmáyo, hogy az egyik kétfelé osztja azt, és a másik azt a részt veszi el, amelyiket akarja. Ez így igazságos, mert midkettőek megva a lehetősége arra, hogy megszerezze a zsákmáy felét. Ez így met éveke át, amikor is befogadták maguk közé Jeromost, s ettől kezdve hármasba jártak fosztogati. A régi osztozkodási módszer helyett új eljárásra va szükség. Hogya osztozkodjo a három rabló, ha azt szereték biztosítai, hogy bármelyikük megkapja a zsákmáy harmadát, bármit is csiál a másik kettő? 131. Az euklideszi algoritmus segítségével határozza meg az alábbi számpárok legagyobb közös osztóját. a) 91, 169 b) 96, 320 c) 315, 2475 d) 802, 2005 e) 3737, 131313 132. Az alábbi öt rajz közül melyik az, amelyet em lehet úgy egyetle voallal megrajzoli, hogy közbe a ceruzát em emeljük fel, és egyetle szakaszo sem haladuk kétszer végig? 133. Adjo meg gráfot, amelyek a) 6 csúcsa va és midegyik harmadfokú; c) 6 csúcsa és 4 éle va. 134. Adjo meg olya 8 csúcsú összefüggő egyszerű gráfot, amelyek 16 éle va. 135. Adjo meg olya em összefüggő 6 csúcsú gráfot, amely gráf mide csúcsáak 2 a fokszáma. 136. Egy gráf csúcsai: 2, 3, 4, 6, 8, 9; kösd össze, ha va 1-él agyobb közös osztója. Va-e a gráfak teljes égyszöge? Va-e Euler-voala, Hamilto-köre a gráfak? 137. Adjo meg 6 csúcsú 3-adredű reguláris gráfot.
138. Adjo meg olya 4 csúcsú gráfot, amely izomorf a komplemeterével. 139. Rajzolja fel az összes 3 csúcsú párokét em izomorf egyszerű gráfot. 140. Háy éle va egy 8 csúcsú útak? Háy éle va egy 8 csúcsú körek? 141. Rajzoljo fel olya 5 csúcsú gráfot, amelybe ics háromszög, és ics 3 izolált pot. 142. Va-e Hamilto-kör a Peterse-gráfba? 143. Adott a síko 100 pot, amelyek között semelyik három ics egy egyeese. A potokat összekötő szakaszok midegyikét pirosra vagy kékre festjük. Igazold, hogy va a potok között legalább kettő olya, amelyből azoos számú piros szakasz idul ki! Varga Tamás Matematikaversey országos dötője, 1994/95., 7. osztályosok verseye 144. Egy társaságba émely emberek kezet fogtak egymással. Mutassuk meg, hogy biztosa va közöttük kettő, aki ugyaayi emberrel fogott kezet. 145. Mutassuk meg, hogy véges gráfba midig va két olya pot, amelyek fokszáma megegyezik. Ha megegedük többszörös éleket, akkor az állítás em igaz. Keressük ellepéldát.) 146. Egy terembe 30 ember gyűlt össze. Vaak közöttük olyaok, akik ismerik egymást, és olyaok is, akik em az ismeretség kölcsöös). Mutassuk meg, hogy a 30 ember között va 2 olya, akikek a terembe azoos számú ismerőse va! Kalmár László Matematikaversey országos dötője, 1998., 5. osztályosok verseye 147. a) Va-e olya 10 potú gráf, amelybe mide pot fokszáma 3? b) Va-e olya 11 potú gráf, amelybe mide pot fokszáma 3? 148. Adjo meg olya gráfot, amelyek 5 csúcsa va és midegyik harmadfokú. 149. a) Va-e olya 10 potú gráf, amelybe mide pot fokszáma 3? b) Va-e olya 11 potú gráf, amelybe mide pot fokszáma 3? 150. Egy 7 csúcsú gráfba az élek száma 15, és 6 csúcsáak a fokszámai redre: 3, 3, 4, 4, 5, 5. Meyi a hetedik csúcs fokszáma? 151. Felsorolom egy 5 csúcsú egyszerű gráf csúcsaiak fokszámait, öt külöböző esetet. Ezek közül az egyik kakukktojás, mert em létezik olya gráf. Melyik ez? A) 1, 1, 1, 1, 0 B) 2, 2, 2, 2, 2 C) 3, 3, 3, 3, 3 D) 2, 2, 3, 3, 4 E) 2, 2, 2, 4, 4 152. Késő este egy autóbuszo hete utaztak, mideki a végállomáso szállt le. A játékos kedvű sofőr midegyik utastól megkérdezte, háy embert ismer utastársai közül. Sorra a következő válaszokat kapta: 1, 2, 3, 6, 5, 3, 1. A sofőr rövid godolkodás utá rájött, valaki em modott igazat. Hogya okoskodott a sofőr? Az ismeretség kölcsöös!) Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1993., 7. osztályosok verseye 153. Bizoyítsuk be, ha egy gráfba mide pot foka legalább 2, akkor a gráfba va kör. 154. Egy gráf csúcsai: 2, 3, 4, 6, 8, 9; kösd össze, ha va 1-él agyobb közös osztója. Ez a gráf síkbarajzolható-e? Meyi a kromatikus száma? 155. Egy gráf csúcsai: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Két csúcsot kössö össze, ha a hozzájuk tartozó számok szorzata páros. A kapott gráf síkbarajzolható-e? Va-e Euler-voala? Va-e Hamilto-köre? Va-e teljes égyszöge? Meyi a kromatikus száma? Páros gráf-e? 156. Rajzoljo fel olya 6 csúcsú gráfot, amelyek kromatikus száma 2, ill. olyat, amelyek 3. 157. Rajzolja meg a 3 ház-3 kút gráf komplemeterét. A 3 ház 3 kút páros gráf-e? Miért? Meyi a kromatikus száma a 3 ház 3 kút gráfak? Va-e Euler voala a 3 ház-3 kút gráfak? Va-e Hamilto köre a 3 ház-3 kút gráfak? 158. Ha a teljes ötszög gráf egyik élét elhagyjuk, a kapott gráf síkbeli-e? 159. Bizoyítsuk be, hogy hattagú társaságak midig va vagy három olya tagja, akik egymással ismeretségbe vaak, vagy három olya tagja, akik között ics két ismeretségbe levő. 160. Rajzoljo egy 7 csúcsú, körmetes gráfot a lehető legtöbb éllel. 161. Legfeljebb háy éle va egy 10 csúcsú, háromszögmetes gráfak? 162. Legfeljebb háy éle va egy 12 csúcsú, égyszögmetes gráfak?