A3 minimumkérdések szóbelire 2016

A3 minimumkérdések szóbelire 2016 Vektoranalízis 1. 1. Duális tér V Hom(V, R), ahol (V, +, λ) vektortér, V elemei pedig ún. lineáris formák, azaz és v φ(v) φ(αv + βw) = αφ(v) + βφ(w) Megjegyzés: homomorfizmus alatt két algebrai struktúra közötti művelettartó leképezést értünk. Pl. ha az egyik struktúrában valamely elemek közt valamilyen reláció áll fenn, akkor ezen elemeiknek képei a másik struktúrában is ebben a relációban állnak. (Endomorfizmus: ha a képhalmaz részhalmaza az alaphalmaznak, pl. Z N) V halmazt természetes módon vektortérré tehetjük a következőképpen: (α + β)v = αv + βv, α, β V (ρ φ)v = ρ φ(v) ρ R, φ V Így (V, +, λ) már vektortér, amit V duális terének is nevezünk. Vektortér és duális terének dimenziója megegyezik. 2. Leképezés adjungáltja, szimmetrikus és antiszimmetrikus leképezés Legyen E = (V, < ; >) adott euklideszi tér (tehát egy olyan vektortér, amiben értelmezve van a skaláris szorzás), és φ: V V egy lineáris leképezés. Ekkor a φ : V V leképezést a φ leképezés adjungáltjának mondjuk, ha v 1, v 2 V esetén < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ (v 1 ) ; v 2 > Idempotens tulajdonság: adjungált adjungáltja az eredeti leképezés, azaz (φ ) = φ. Szimmetrikus leképezés: φ szimmetrikus leképezés, ha adjungáltja önmaga, azaz φ = φ, ekkor < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ(v 1 ) ; v 2 > v 1, v 2 V Antiszimmetrikus leképezés: φ antiszimmetrikus leképezés, ha φ = φ, ekkor < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ(v 1 ) ; v 2 > v 1, v 2 V 3. Mátrix vektorinvariánsa és nyoma (trace, spur) Tekintsük a következő, 3x3-as antiszimmetrikus mátrixnak és a w vektornak a szorzatát: 0 a 12 a 13 w 1 a 12 w 2 + a 13 w 3 [ a 12 0 a 23 ] [ w 2 ] = [ a 12 w 1 + a 23 w 3 ] a 13 a 23 0 w 3 a 13 w 1 a 23 w 2 Egy antiszimmetrikus lineáris transzformáció mindig leírható egy rögzített vektorral való vektoriális szorzatként. Ezt a vektort nevezzük a mátrix vektorinvariánsának. v 1 w 1 v 2 w 3 v 3 w 2 [ v 2 ] [ w 2 ] = [ v 3 w 1 v 1 w 3 ] v 3 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 A w = v w 1

w együtthatóinak meg kell egyeznie, tehát a vektorinvariáns: v 1 v 2 a 23 a 13 v [ ] = [ ] v 3 a 12 A vektorinvariáns csak ortogonális transzformációkkal szemben invariáns. Egy lineáris transzformáció mátrixának főátlójában lévő elemek összege minden KR-ben ugyanannyi, tehát a koordináta-transzformációkkal szemben invariáns. Ezt az összeget a lineáris transzformáció (V 1 = V 2 ) első skalárinvariánsának / nyomának / spurjának / tracejének nevezzük. (És ez a sajátértékek összege.) 4. Gradiens, divergencia, rotáció A gradiens csak skalármező (azaz skalár-vektor függvény) esetében értelmezhető. u: R 3 R grad u = u u u i + j + x y z k A gradienst tehát úgy kapjuk, hogy a skalármezőt az összes változója szerint, külön-külön (parciálisan) lederiváljuk, és egy oszlopvektorba rendezzük. u x u grad u = y u ( z) A gradiens tehát vektormennyiség. Ha bevezetjük az ún. nabla vektort: x = y ( z) Akkor grad u formálisan a nabla vektornak és az u skalármezőnek a szorzataként írható fel: grad u = u Megjegyzés: Skalármező gradiense, illetve vektormező divergenciája és rotációja független a koordinátarendszertől. A divergencia csak vektormező (azaz vektor-vektor függvény) esetében értelmezhető. Eredménye skalármennyiség. v: R 3 R 3 Definíció szerint div v = sp(j v ), tehát v Jakobi-mártixának a nyoma: div v = f 1 x + f 2 y + f 3 z Ahol f i a v vektormező i-edik komponensfüggvénye. Formálisan div v a nabla vektornak és a v vektormezőnek a (skaláris) szorzataként írható fel: div v = v(r) Ha div v = 0, akkor a vektormező forrásmentes. 2

A rotáció szintén csak vektormező (azaz vektor-vektor függvény) esetében értelmezhető. Eredménye viszont vektormennyiség. Definíció szerint 1 2 rotf = 1 2 (Df Df ), ahol Df a derivált mátrix (Jakobi-mátrix), aminek a soraiban az egyes komponensfüggvények gradiensei vannak. Df pedig Df transzponáltja. Formálisan rot v a nabla vektornak és a v vektormezőnek a vektoriális szorzataként írható fel: rot v = v(r) v: R 3 R 3 esetén rot v = f z y f y z f x z f z x f y ( x f x y ) Fontosabb azonosságok, ha x r = ( y) z div r = 3 rot r = 0 Illetve a zérus azonosságok: rotgrad u = 0 divrot v = 0 5. Nabla vektor x = y ( z) Igazából nem vektor, hanem operátor, de vektorként kezelve a legtöbb művelet könnyebben elvégezhető a segítségével. 6. Laplace operátor, harmonikus függvény A Laplace-operátor definíció szerint: = = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 Akkor harmonikus például az u skalár-vektor (R 3 R) függvény, ha u = 0 = u = grad u = divgrad u = 0 Tehát kielégíti az ún. Laplace-egyenletet. (Feltétel: legyen kétszeresen differenciálható az u függvény.) 3

Vektoranalízis 2. 1. Skalárpotenciálos vektormező Egy v: V V vektormező skalárpotenciálos, ha u: V R skalármező, hogy v = grad u. (Fizikai) erőtér esetén a vektortér más néven konzervatív, ha ez teljesül. Ekkor u-t v potenciálfüggvényének nevezzük. Feltétel: rot v = 0. (örvénymenteség) Megjegyzés: Ha egy vektormező előáll egy skalármező gradienseként, akkor a vektormező bármely görbe menti skalárértékű vonalintegrálja csak a kezdő- és a végponttól függ, tehát független az úttól. Egy vektortérnek végtelen sok skalárpotenciálja van (a konstans miatt). A skalárértékű vonalintegrál értéke (a munka) a potenciálkülönbséggel egyenlő: B < v(r(t)), r (t) > = u(b) u(a) A A potenciálfüggvénynek a vonalintegrállal kapcsolatban az a szerepe, mint egy egyváltozós függvény határozott integráljával kapcsolatban a primitív függvénynek. 2. Vektorpotenciálos vektormező Egy v: V V vektormező vektorpotenciálos, ha w: V V vektormező, hogy v = rot w, azaz előáll egy másikmező rotációjaként. (w vektor tetszőleges koordinátáját nullának választjuk a megoldás során.) Feltétele: div v = 0. (forrásmenteség) 3. Görbe Legyen I R egy nem feltétlenül korlátos intervallum. Ekkor az r: I R 3 leképezést reguláris görbének hívjuk, ha r immerzió, azaz a derivált leképezése injektív (a képek egyenlőségéből következik az ősképek egyenlősége: φ(a) = φ(b) a = b). 4. Görbe ívhossza A pályasebesség I fölötti integrálját a térgörbe ívhosszának nevezzük: (avagy a sebesség idő szerinti vonalintegrálját) L(r) = r (τ) dτ I Más definíció szerint, amikor egy tetszőleges síkgörbe ívhosszát olyan húrok összegével közelítjük, amik 0-hoz tartanak: Egy y = f(x) egyenlettel adott, szakaszonként sima görbe a x b határok közötti ívhossza: b s = ds = x=a 1 + y 2 A töröttvonalak hosszának az összege is az ívhossz, minden határon túli finomítás esetén: b x=a r(t i ) r(t i 1 ) i 5. Felület Legyen S R 3, ekkor S-t reguláris (szabályos) felületnek mondjuk, ha p S ponthoz létezik p-nek olyan V R 3 környezete, hogy a φ: U R 2 V S leképezés - differenciálható homeomorfizmus (diffeomorfizmus, azaz differenciálható bijekció) - és φ immerzió, azaz a φ q : R 2 R 3 (q pontban) injektív lineáris leképezés φ neve: parametrizáció dx p V S neve: p koordinátakörnyezete 4

6. Felszínszámítás Triangularizáció (felszín lefedése háromszögekkel) helyett kicsi, elemi, érintő paralelogrammákkal közelítjük a felszínt, amik már nem tudnak elválni a felülettől (ez az alapelve). Az ún. skaláris felületelem: ds = r u r v u v Ahol r r és a paramétervonalak P pontbeli érintővektorai. (A felületen a P pontot az u és v u v ún. paramétervonalak metszéseként vettük fel; r a P pontba mutató vektor) A skaláris felületelem a két differenciálvektor által kifeszített elemi paralelogramma területe. Amit, ha minden határon túl finomítunk, akkor a következő integrál megadja a teljes felszínt: S = ds = r u r v dudv T T 7. Stokes-tétel A görbe menti és a felületi integrálok közötti kapcsolatot írja le. Kétdimenziós Newton-Leibnizformulának is szokták nevezni. Legyen F: [a, b] [a, b] R 3 jobbkéz-szabály szerint irányított, parametrizált peremes felület. Továbbá, legyen v: R 3 R 3 legalább egyszer folytonosan differenciálható vektormező, ekkor: < v(r), ds > < rot v, df > G Tehát a G görbe menti vonalintegrál megegyezik az F felületen vett felületi integrállal. df = n Ezáltal is belátható, hogy ha a vektormező örvénymentes, akkor bármely zárt görbe menti integrálja zérus, hiszen, ha rot v = 0, akkor a skalárszorzat nulla a kettős integrálban. Megjegyzések: - kétoldalú, zárt felület legyen adott, amit egy zárt görbe határol - azonos peremmel rendelkező S 1 és S 2 felületek esetén az integrálok megegyeznek - perem nélküli felület esetén nulla a kettős integrál értéke - ha nem irányítható a felület, akkor felbontjuk irányítható részekre - fizikai alkalmazás pl. gerjesztési törvény 8. Gauss-Osztrogradszkij-tétel A felületi integrál és a térfogati integrál között teremt kapcsolatot. Szükséges egy korlátos, zárt felület és egy kifelé mutató normálvektor. Legyen V: [a, b] 3 R 3 irányított, paraméterezett elemi tértartomány és v: R 3 R 3 V-n legalább egyszer differenciálható vektormező, ekkor: F < v(r), df >= div (v(r)) dv F Ahol F a határfelülete V-nek. A tételből látható, hogy forrásmentes (div v = 0) vektortér zárt felületre vett integrálja (avagy átáramlási feleslege) nulla. 9. Green-tételek Legyenek φ, ψ: R 3 R kétszeresen folytonosan differenciálható skalármezők. A Gauss- Osztrogradszkij-tételben vegyük fel a v vektorteret v = φ gradψ alakban. Ekkor div v = v = (φ ψ) = φ ψ + φ ψ = gradφgradψ + φ ψ V 5

Ezt felhasználva kapjuk az első, ún. aszimmetrikus Green-tételt: < φ gradψ, df >= (gradφgradψ + φ ψ) dv F V Az első Green-tételben φ és ψ szerepét felcserélve, és az így kapott egyenletet kivonva az első tétel egyenletéből, a második, ún. szimmetrikus Green-tételt kapjuk: Differenciálegyenletek 1. < φ gradψ ψ gradφ, df > = (φ ψ ψ φ) dv F A differenciálegyenletek a természetben lejátszódó folyamatok, műszaki, fizika és kémiai problémák matematikai leírásának nélkülözhetetlen elemei. 1. Közönséges n-edrendű differenciálegyenlet Differenciálegyenletnek az olyan egyenletet nevezzük, melyben ismeretlen függvények, ezek deriváltjai, valamint független változó(k) fordul(nak) elő. Közönséges: csak egyetlen független (x) változó van benne (nem parciális, ahol több) Rend: az ismeretlen (y, y" ) legmagasabb fokszámú deriváltja V Definíció szerint Legyen y: R R n-szer folytonosan differenciálható függvény, y = y (0), y = y (1),, y (n) deriváltfüggvények szintén folytonosak és jelölje x a független változót! Ekkor az F(x, y, y, y",, y (n) ) = 0 egyenlet az y-ra vonatkozó, n-edrendű, közönséges differenciálegyenlet. (A fenti megadást implicit megadásnak is hívjuk, mivel a legmagasabb fokszámú derivált nem fejezhető ki egyértelműen, expliciten.) 2. Differenciálegyenlet megoldásának típusai (általános, partikuláris, szinguláris) Általános: amely kielégíti a differenciálegyenletet (DE-t) és pontosan annyi, egymástól független, tetszőleges konstanst tartalmaz, ahányad rendű a DE. Az általános megoldás a homogén és az inhomogén rész összege: y á = y H + y IH Partikuláris: amely az általános megoldásból úgy származtatható, hogy az abban szereplő konstansoknak meghatározott értéket adunk. (pl. Cauchy kezdetiérték-feladat) Általánosabban: partikuláris megoldás, ha a megoldásfüggvény legalább 1-gyel kevesebb egymástól független állandót tartalmaz, mint ahányad rendű a DE. Szinguláris: olyan megoldás, amely NEM kapható meg az általános megoldásból az állandók megfelelő választásával. (pl. szeparábilis DE esetén) 3. Cauchy-feladat Más néven kezdetiérték-feladat. Az n-edrendű DE olyan megoldását keressük, amely kielégíti az y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,, y (n 1) (x 0 ) = y 0 (n 1) kezdeti feltételt, ahol x 0, y 0, y 0,, y 0 (n 1) adott számok. Egy DE megoldása során meg van adva megfelelő számú peremfeltétel (PF), amikkel az integrálás során feltűnő állandók értéke meghatározható. Annyi PF kell, ahányad rendű a DE. 6

4. Lipschitz-feltétel Ha az f függvény teljesíti a Lipschitz-feltételt az adott tértartományon, akkor a megoldásgörbék nem metszik egymást (azaz létezik egyértelmű megoldás, egy ponton csak egy darab integrálgörbe halad át). Definíció: Az f függvény a D tartományon az y változóra nézve kielégíti a Lipschitz-feltételt, ha létezik M pozitív valós szám, hogy f(x, y 2 ) f(x, y 1 ) M y 2 y 1 (x, y 1 ), (x, y 2 ) D 5. Picard-Lindelöf tétel Ez egyben egzisztencia- és unicitástétel is. Legyen y = f(x, y) egy explicit alakban adott DE, és D = I 1 I 2 nyílt téglalap tartomány, ahol I 1, I 2 nyílt intervallumok és legyen (x 0, y 0 ) D, továbbá I. f folytonos mindkét változójában D-n II. f elégítse ki a Lipschitz-feltételt y változóra D-n. Ekkor: egyértelműen létezik φ: (x 0 ε, x 0 + ε) R függvény, melyre φ (x) = f(x, φ(x)) φ (x 0 ) = y 0 egyaránt teljesül, azaz a φ megoldás egyértelmű. Megjegyzések: - ha f függvényről csak a folytonosságot feltételezzük: Peano-feltétel - hasonlóan a Cauchy-feltételhez (ott I. feltétel ugyanaz, II. feltétel, hogy az f függvény y szerinti parciális deriváltja korlátos D-beli pontban), a Picard-Lindelöf tétel is erősebb, szigorúbb tétel. Hiszen, a tételben elegendő, de nem szükséges feltételek vannak, ezáltal lehet, hogy nem teljesül mindkét feltétel, mégis van egyértelmű megoldás! 6. Iránymező Az iránymező a differenciálegyenlet megoldásairól ad szemléletes képet. Az y = f(x, y) DE megoldása geometriailag a következőképpen szemléltethető. Az f függvény értelmezési tartományának minden egyes (x, y) pontjához rendeljük hozzá a rajta átmenő, y = f(x, y) iránytangensű (meredekségű) egyenesnek (megoldásgörbének) a pontot tartalmazó kicsiny szakaszát. E szakaszok összessége alkotja a differenciálegyenlet iránymezőjét; a szakaszokból elég sokat ábrázolva kapjuk a DE megoldásának geometriai képét. Tehát sok-sok pontban berajzoljuk az érintők egy kicsiny darabját, ezek lesznek a képen is látható vonalelemek, amik összessége az iránymező. Izoklina: az a görbe, amelynek pontjaihoz azonos irányú, vagyis párhuzamos vonalelemek tartoznak. 7

Differenciálegyenletek 2. 1. Szeparábilis és arra visszavezethető DE Definíció: Az olyan y = f(x, y) elsőrendű DE-et, amely y = h(x) g(y) alakra hozható, szeparábilis (változóiban szétválasztható) differenciálegyenletnek nevezzük. Feltesszük, hogy h és g valamely, alkalmas I és J intervallumon folytonosak. Megoldási módszer: dy dx = y = h(x) g(y) 1 dy = h(x)dx g(y) Szinguláris megoldás: ha g(y) = 0, amivel osztani kell Nem szinguláris megoldás: g(y) 0 Szeparábilis differenciálegyenletre visszavezethetőek más DE-ek is u helyettesítéssel, például: y = f(ax + by + c) u ax + by + c u = du dx = a + by = a + b f(u) Illetve y = f (1, y x ) u = y x u = du dx = y x y 1 x 2 = y x y y x 2 = y x x Továbbá, fontos még az is, hogy az elsőrendű, lineáris differenciálegyenleteknek a homogén része is szétválasztható DE-re vezethető vissza. 2. Bernoulli-féle DE Definíció: Az y + p(x) y = q(x) y n (n 0, n 1) alakú, elsőrendű, nemlineáris DE-et Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük, ahol p, q: I R R folytonos függvények. Megoldási módszer: Helyettesítéssel: z(x) = z = y 1 n. z = dz dx = (1 n) y n y ( ) Ahonnan az eredeti DE-et y n -nel leosztva, a ( ) egyenletet pedig (1 n)-nel leosztva és felhasználva a helyettesítést, azt kapjuk, hogy z + (1 n)p(x) z = (1 n)q(x) Ami már egy lineáris DE z-re nézve, tehát megoldható homogén-inhomogén módon. 3. Riccati-féle DE Definíció: Az a(x) y + b(x) y + c(x) y 2 = r(x) alakú elsőrendű, nemlineáris DE-et Riccatiféle differenciálegyenletnek nevezzük, ahol a, b, c, r: I R R folytonos függvények. Megoldási módszer: A Riccati-féle nemlineáris DE integrálással általában nem oldható meg. Akkor, és csak akkor tudjuk integrálással előállítani a megoldását, ha ismerjük egy partikuláris megoldását. Megjegyzések: - Ha r(x) = 0, akkor Bernoulli-féle DE-et kapunk - Ha c(x) = 0, akkor a DE lineáris 8

y(x) = 1 z(x) + y p(x) alakban bevezetett új függvény segítségével z-re már lineáris DE-et kapunk, Vagy y(x) = z(x) + y p (x) típusú helyettesítéssel Bernoulli-típusúra redukálható a Riccati-féle DE. Például: Helyettesítés: y = x + z y = 1 + z, amit visszaírva a DE-be, leegyszerűsödik Bernoulli-ra. 4. Egzakt DE Definíció: Egy P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 alakú DE-et, melyben P, Q: D R 2 R folytonos függvények, egzakt DE-nek nevezzük, ha P y = Q x folytonosak és egyenlők. Megoldási módszer: Létezik olyan F(x, y), hogy F F = P és x y = Q Ezért a DE megoldása F(x, y) = C alakú (a skalárpotenciál kereséséhez hasonló). Egzaktra visszavezethető: a P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 alakú DE általában nem egzakt (vagyis a bal oldala nem teljes differenciál), azaz P(x, y) Q(x, y) y x Ilyen esetben kísérletet tehetünk egy olyan M(x, y) 0 függvény megkeresésére, amellyel a differenciálegyenletet beszorozva az új DE már egzakt lesz: ln M(x) = P y Q x dx Q ln M(y) = Q x P y dy P Azt a multiplikátort kell használni, ami csak az egyik változótól függ (amit ki lehet integrálni). 5. Lineáris állandó együtthatós DE Lineáris: melyben az ismeretlen függvény és annak deriváltjai csak első hatványon szerepelnek és ezek szorzatai sem fordulnak elő az egyenletben. (Ellenkező esetben nemlineáris.) Definíció: Az a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0 DE-et, ahol a i R, i {0,1, n} n-edrendű (a n 0), állandó (konstans) együtthatós, lineáris differenciálegyenletnek hívjuk. Egy n-edrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet megoldásai n-dimenziós, valós vektorteret alkotnak a R fölött. Ezért elegendő n db lineárisan független megoldást megtalálni. Ezeket elemi megoldásoknak, más szóval alaprendszernek nevezzük. 6. Lineárisan független függvényrendszer Legyen y 1, y 2,, y n : (a, b) R; (a, b)-n (n 1)-szer folytonosan differenciálható függvényrendszer. Ez az n db függvény lineárisan független, ha c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x)+... +c n y n (x) 0 azonosság csakis a c 1 = c 2 =... = c n = 0 esetben áll fenn. Ellenkező esetben a függvények lineárisan függők. 9

7. Wronski-determináns A c i konstans értékek miatt végtelen sok megoldása (alaprendszere) létezne egy n-edrendű differenciálegyenletnek: y(x) = c i y i = c 1 y 1 + c 2 y 2 +... +c n y n A Wronski-determináns segítségével is meg tudjuk állapítani, hogy egy függvényrendszer lineárisan független-e. Az n db valós függvényt lineárisan függetlennek mondjuk, ha az ún. Wronski-determináns nem nulla, és lineárisan függőnek, ha nulla. y 1 y 2 y 3 y n y 1 y 2 y 3 y n.... det W =........ (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) y 1 y 2 y 3 y n Tehát ha adott a DE egy alaprendszere, akkor ezzel meg tudjuk határozni, hogy az alaprendszer és annak tetszőleges lineáris kombinációja megoldása-e a differenciálegyenletnek. (Visszafelé nem igaz, lehet, hogy a függvényrendszer lineárisan független, de det W = 0) 8. Differenciálegyenlet-rendszer A következő alakban adott egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer: y 1 = f 1 (x, y 1, y 2,, y n ) y { 2 = f 2 (x, y 1, y 2,, y n ) y n = f n (x, y 1, y 2,, y n ) Ahol y 1, y 2,, y n a keresendő függvények és x a független változó. Általános alak: x = A x x(t) x = [ y(t) ] nx1 Ahol A az együtthatómátrix és most t a független változó. Egy ilyen DE-rendszer megfeleltethető egy állandó együtthatós n-edrendű, lineáris DE-nek. Az alaphalmaz vagy ún. hipermátrix: Ahol λ n : A sajátértékei És s n : A sajátvektorai Példa X(t) = [e λ 1t s 1 e λ 2t s 2 e λ nt s n ] 1xn x(t) = [ C 1 e t + C 2 e 5t C 1 e t + 3C 2 e 5t] Ha a sajátértékek λ 1 = 5 és λ 2 = 1 És a sajátvektorok s 1 = [ 1 1 ] és s 2 = [ 1 3 ] Komplex sajátértékek esetén x(t) = C 1 [e λt cosβt v 1 e λt sinβt v 2 ] + C 2 [e λt cosβt v 2 e λt sinβt v 1 ] 10