ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.18. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG

Mérések és jelek x mért jellemző: időfüggvény - jel Jel: valamely fizikai jellemzőhöz tartozó, a konkrét fizikai megjelenésétől elvonatkoztatott időfüggvény x = f(t) - csak időbeli lefolyása érdekes x(t) általában folytonos idejű jel t (idő) valós paraméter függvénye 2

A jelek osztályozása Determinisztikus jelek X 1 (t) t x(t) x(t)=a(1-e -αt ) X 2 (t) t t meghatározott időfüggvénnyel leírhatók Sztochasztikus jelek X N (t) különböző realizációjuk különböző időfüggvényeket eredményez t 3

A jelek osztályozása Analóg jelek (folytonos idejű) x(t) t Digitális jelek (diszkrét idejű) x(t) t Mintavételezés + kvantálás AD konverzió 4

Determinisztikus jelek Determinisztikus jelek osztályozása Periodikus jelek Szinuszos jelek Komplex periodikus jelek (Fourier-sorok) Nem periodikus jelek Kváziperiodikus jelek ( távközléstechnika) Abszolút integrálható jelek (Fourier-transzformáció) Energiakorlátos jelek (négyzetesen integrálható jelek, Fourier-transzformáció kiterjesztése) Korlátos jelek (robusztus irányítások) 5

Periodikus jelek Periodikus jelek leírása: Fourier-sorok (Joseph Fourier (1768-1830)) x(t) t x t = a 0 + x t = k= k= a k cos T c k e i2πkt T 2π kt T + b ksin 2π kt T komplex alak f 0 = 1 T T periódusidő f 0 frekvencia valós alak kapcsolat: Euler reláció e i2πkt T = cos 2π kt T kt + isin 2π T 6

Periodikus jelek A periodikus jelek frekvenciatartománybeli leírása: x t = k= c k e i2πkf 0t c k együtthatók jelentése: milyen súllyal szerepelnek a harmonikus összetevők: e i2πkf 0t = cos 2πkf 0 t + isin 2πkf 0 t ábrázolás: abszolút érték és fázis X(f) vonalas spektrum arg(x(f)) f amplitúdó spektrum fázis spektrum f 0 f 7

Periodikus jelek A Fourier-együtthatók meghatározása: T a 0 = 1 x t dt T 0 k=0-ra, továbbá k>0-ra a k = 1 T 0 T x t cos T 2π kt T dt b k = 1 T 0 x t sin 2π kt T dt illetve komplex alakban c k = 1 T 0 T x t e 2πkt T dt k egész számokra Fourier-integrál 8

Periodikus jelek c k = 1 T 0 T x t e 2πkt T dt Fourier-integrál Egyszerű esetben analitikusan kiértékelhető, egyébként alkalmazzunk diszkrét közelítést. Mintavételezzük a teljes periódust N pontban: t = T N x l = x l T n l = 0,1,2,, N 1 c k 1 T T N 1 N l=0 x l e i2π T klt N N 1 c k 1 N l=0 x l e i2πkl N Alakilag azonos a diszkrét Fourier-transzformációval, hatékony számítási algoritmus: gyors Fourier-transzformáció (FFT) 9

Periodikus jelek Analitikus számítás: négyszögjel Fourier-sora 10

Periodikus jelek Analitikus számítás: négyszögjel Fourier-sora 11

Periodikus jelek Analitikus számítás: fűrészfog-jel Fourier-sora 12

Periodikus jelek Analitikus számítás: fűrészfog-jel Fourier-sora 13

Periodikus jelek A Fourier-sorok létezése, konvergenciája: Fourier konvergencia tétel: a matematika egy bonyolult problémája 14

Periodikus jelek Példák konvergenciára: négyszögjel Gibbs jelenség 15

Periodikus jelek Példák konvergenciára: Háromszög jel Kétutasan egyenirányított szinusz 16

Periodikus jelek A Fourier konvergencia tétel a Fourier-sorok létezésére, konvergenciájára nem ad kielégítő eredményt számos fontos függvényosztály esetében, pl. a négyzetesen integrálható periodikus függvények esetében: L 2 (0,T) jelek: T 0 x t 2 dt < l 2 sorozatok: n= c k 2 < L 2 (0,T) norma: T l 2 norma: x t L 2 0.T = 1 T x t 2 dt c l 2 = c k 2 0 n= A Fourier-sorok L 2 (0,T) normában való konvergenciája a XX. századi matematika egy bonyolult problémája volt, általános megoldás nem született rá, számos tétel került bizonyításra... 17

Periodikus jelek A talán legsikeresebb: Riesz-Fischer tétel Részletösszeg, Cesáro-közép: x t T szerint periodikus fv. S n x = n k= n c k e i2πkf 0t Ha x t L 2 0, T, akkor σ n x = S 0x + S 1 + + S N N + 1 lim x σ N x N L 2 0,T. szummációs eljárás Konvergencia szummációs eljárások révén teljesül. 18

Nem-periodikus jelek: jelterek Nincs általános elmélete a nem-periodikus jeleknek, osztályokba soroljuk őket egy-egy osztályon belül írjuk le közös tulajdonságaikat. Az osztályozás alapja: lineáris függvényterek olyan terek, amelyek elemei függvények, és amelyekben az összeadás és a számmal (skalárral) való szorzás műveletére fennáll a linearitás, azaz, ha f 1, f 2,, f n, elemei az L térnek, akkor f = k=1 α k f k L Végtelen dimenziós terek: a funkcionálanalízis foglalkozik velük. Jelterek: lineáris terek, amelyek elemei x(t) függvények Mi speciális jelterekkel foglalkozunk: Abszolút integrálható jelek tere Négyzetesen integrálható jelek tere Korlátos jelek tere 19

Nem-periodikus jelek: jelterek Abszolút integrálható jelek: az L 1 tér x t dt < egy norma: x L 1 = Ha egy térben létezik norma, normált térnek nevezzük. Ha egy normált térben minden normában konvergens sorozat a tér valamely eleméhez konvergál, Banach térnek nevezzük. x t dt Az L 1 tér normált tér, és Banach tér. 20

Nem-periodikus jelek: jelterek Négyzetesen integrálható jelek: az L 2 tér x t 2 dt < Nevezik még az energiakorlátos függvények terének. Miért? A négyzetes integrál kapcsolatba hozható a jel energiatartalmával: (villamos példa) P = IU = RI 2 E = R I t 2 dt Norma: x L 2 = x t 2 dt Az L 2 tér: normált tér és Banach tér 21

Nem-periodikus jelek: jelterek Az L 2 tér speciális tulajdonsága, hogy definiálhatunk benne belső szorzatot (skaláris szorzat). x, y L 2 x, y L 2 = x t y t dt A belső szorzat révén tudjuk definiálni az ortogonalitás fogalmát: x és y ortogonálisak egymással, ha x, y L 2 = 0. Az ortogonalitás révén felvehető koordináta rendszer, azaz definiálható bázis, amelyben tetszőleges térbeli függvény kifejezhető a bázis elemeinek lineáris kombinációjával. Az L2 tér bázisai végtelen sok elemet tartalmaznak. Ha egy térben létezik belső szorzat, belsőszorzat térnek nevezzük. Ha egy belsőszorzat térben minden normában konvergens sorozat a tér valamely eleméhez konvergál, Hilbert térnek nevezzük. Az L 2 tér Hilbert tér. 22

Nem-periodikus jelek: jelterek Korlátos jelek: az L tér max <x< x t < A függvényértékben (amplitúdóban) korlátos jelek. Norma: x L = max <x< x t sup mert nem biztos, hogy a függvény a maximumát felveszi Precízebben: x L = ess sup <x< x t ess bővebb függvényosztályra igaz, megszámlálhatóan sok elszigetelt szingularitás megengedett Az L tér Banach tér. 23

A Fourier transzformáció Egy x t L 1 jel Fourier-transzformáltja X ω = 1 2π x t e iωt dt ω = 2πf körfrekvencia A Fourier-transzformáció kiterjeszthető x t L 2 jelekre a δ t Dirac-delta fogalmával (Plancherel-féle elmélet). Ennek megfelelően: az x t L 2 Fourier-transzformáltja egy X ω L 2 függvény. létezik inverz transzformáció: x t = 1 2π X ω e iωt dω 24

A Fourier transzformáció A Fourier-transzformált jelentése: x t = Egy példa: 1 2π X ω egy súlyfüggvény: a különböző frekvenciájú sin és cos függvényekhez (periodikus komponensekhez) tartozó súlyok négyszögletes ablakfüggvény, vagy karakterisztikus függvény X ω e iωt dω e iωt = cos ωt + i sin ωt az Euler reláció (Páros függvény Fourier transzformáltja valós függvény) 25

A Fourier transzformált A Fourier-transzformált: valós változós komplex függvény X ω X ω = X ω Példa: csillapodó szinusz jel X ω amplitúdó spektrum: páros arg X ω fázis spektrum: páratlan 26

Sztochasztikus jelek X 1 (t) t t-ben (idő) paraméterezett valószínűségi változó-sokaság: X 2 (t) X N (t) t végtelen sok realizáció - x i minden realizáció különböző x(t) időfüggvény Középérték: N x t = 1 N i=1 x i t t lim x t = E x t =μ N x t várható érték, 1. momentum 27

Sztochasztikus jelek Sztochasztikus jelek analízise: Determinisztikus jellemzőket igyekszünk leszűrni belőlük. Példák: Valószínűségi eloszlás- ill. sűrűségfüggvények Várható értékek, momentumok Korrelációs-, és kovariancia függvények Spektrális függvények, stb. 28

Momentumok Momentumok: 1. momentum μ x t = E x t középérték 2. momentum ψ 2 x t = E x 2 t négyzetes közép k. momentum α k x t = E x k t Centrális momentumok: 2. centrális momentum σ 2 x t = E x t E x t 2 szórásnégyzet k. centrális momentum γ x k t = E x t E x t k 29

Momentumok Együttes momentumok: R x t, τ 1, τ 2,, τ k = E x t x t + τ 1 t + τ 2 t + τ k k. momentum C x t, τ 1,, τ k = E x t E x t x t + τ 1 E x t + τ 1 x t + τ k E x t + τ k k. centrális momentum Leggyakrabban alkalmazott együttes momentumok: 1. momentum: autokorreláció függvény R x t, τ = E x t x t + τ 1. centrális momentum: autokovariancia függvény C x t, τ = E x t E x t x t + τ E x t + τ 30

Sztochasztikus jelek Stacionaritás: Egy sztochasztikus jel akkor stacionárius, ha minden momentuma és együttes momentuma időtől független. Egy sztochasztikus folyamat valamilyen N rendben gyengén stacionárius, ha legalább az első N momentuma és együttes momentuma időtől független. Stacionárius jelekre: E x t 1 = lim T T Időátlag 0 T N 1 x t dt E x t = lim N N i=1 Összesség-átlag x i t 31

Sztochasztikus jelek Ergodicitás: E x t T 1 = lim T T 0 N 1 x t dt E x t = lim N N i=1 x i t Időátlag Összesség-átlag Egy stacionárius sztochasztikus jel ergodikus, ha az összesség- és az időátlagra képzett momentumai és együttes momentumai azonos értékűek. Az ergodicitás is lehet gyenge: csak valahányadik momentumig igaz. 32

Sztochasztikus jelek Sztochasztikus jelek szokásos osztályozása Stacionárius jelek Ergodikus jelek Nemergodikus jelek Instacionárius jelek Az ergodikus stacionárius jelek analízisére rendelkezünk általánosan használható eszközökkel. Nemergodikus és instacioner jelek speciális eseteire vannak analízis módszerek. 33

Sztochasztikus jelek Más szempontú osztályozás: valószínűségi eloszlás szerint Egyenletes eloszlású jelek Normális (Gauss) eloszlású jelek különböző más eloszlású jelek A normális (Gauss) eloszlású sztochasztikus jelek központi szerepet játszanak a jelfeldolgozásban. f x = 1 σ 2π e x m 2 2σ 2 Első és második momentumai teljesen leírják a folyamatot (μ,σ). A központi határeloszlás tétel szerint tetszőleges eloszlású folyamatok összege a normális eloszlású folyamathoz tart. 34

Korrelációanalízis Autokorreláció, autokovariancia Egy sztochasztikus folyamat különböző időpontokhoz tartozó értékei közti reláció mérésére: R x t, τ = E x t x t + τ C x t, τ = E x t E x t x t + τ E x t + τ Keresztkorreláció, keresztkovariancia Két sztochasztikus folyamat különböző időpontokhoz tartozó értékei közti reláció mérésére: R xy t, τ = E x t y t + τ C x t, τ = E x t E x t x t + τ E x t + τ 35

Korrelációanalízis Korreláció Két változó közti kapcsolat - reláció - mértéke. Önmagában nem jelent ok-okozati összefüggést. A korrelálatlanság nem feltétlenül jelent függetlenséget (statisztikai vagy köznapi értelemben sem) Igazak a következő állítások: Ha két jelenség között ok-okozati kapcsolat áll fenn, a jelenségekhez tartozó változók korreláltak. Ha két változó független, akkor korrelálatlan is. Fordítva nem feltétlenül igazak. Korreláció analízis A gyakorlatban változók közti összefüggések így ok-okozati összefüggések meghatározására használjuk (kellő óvatossággal). 36

Korrelációanalízis Stacionárius folyamatokra: Autokorreláció, autokovariancia R x τ = E x t x t + τ C x τ = E x t μ x x t + τ μ x μ x = E x t Keresztkorreláció, keresztkovariancia R xy τ = E x t y t + τ μ x = E x t C xy τ = E x t μ x y t + τ μ y μ y = E y t A korreláció- és kovariancia függvények csak τ eltolási időtől függnek. 37

Spektrumanalízis Sztochasztikus jelekre nem teljesül az abszolút vagy négyzetes integrálhatóság nem létezik Fourier-transzformáltjuk Ergodikus stacionárius sztochasztikus jelek spektrális függvénye: G x ω = Autokorreláció (autokovariancia) függvényük Fourier-transzformáltja R x τ e iωt dτ ahol az auto-teljesítménysűrűség függvény R x τ = E x t x t + τ (APSD Auto Power Spectral Density) 38

Spektrumanalízis Létezik az autokorreláció (autokovariancia) függvény Fouriertranszformáltja? Az autokorreláció függvény nem feltétlenül L 2 térbeli függvény, de korlátos jelek autokorreláció (autokovariancia) függvénye a Dirac-δ megengedésével Fourier-transzformálható. δ(x) Végtelenül keskeny és magas impulzus: nem függvény! x δ x = x = 0 0 x 0 Paul Dirac francia fizikus vezette be, precíz matematikai megalapozása: disztribúcióelmélet. δ x dx = 1 39

Spektrumanalízis 0-tól különböző középértékű jel: Azonosan állandó függvény Fourier-transzformáltja nullától különböző esetben nem létezik, de kiterjesztett értelemben G x (ω) G x ω = δ ω ω 40

Spektrumanalízis Szinusz-jel: x(t) = sin ω 0 t A Fourier-transzformáltja nem létezik, de kiterjesztett értelemben G x (ω) G x ω = δ ω ω 0 + δ ω + ω 0 ω -ω 0 ω 0 41

Spektrumanalízis G x ω G x f auto-teljesítménysűrűség függvény APSD Auto Power Spectral Density Főbb tulajdonságai: G x ω = G x ω valós függvény G x ω = G x ω páros függvény Lineáris rendszer átvitele: G y ω = W ω 2 G x ω x bemeneti, y kimeneti jel 42

Spektrumanalízis példa Időtartománybeli jel Teljesítménysűrűség spektrum (APSD) a pozitív frekvenciákhoz tartozó részt ábrázoltuk 43

Spektrumanalízis példa Időtartománybeli jel Teljesítménysűrűség spektrum (APSD) a pozitív frekvenciákhoz tartozó részt ábrázoltuk 44

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Dr. Soumelidis Alexandros email: soumelidis@mail.bme.hu BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG