3. FEJEZET silárdságtan alapkísérletei I. Egenes rúd húása, ömök rúd nomása 3.. alapkísérletek célja Hétkönapi megfigelés, hog uganaon silárd test alakváltoásainak mértéke függ a testet terhelő erőrendsertől. Minél nagobb a terhelés annál nagobb alakváltoások figelhetők meg. statikailag határoott rudak igénbevételeinek sámításánál at is láttuk, hog a fesültségi eredők, követkeésképp a belső erőrendser megoslása a rúdkerestmetseteken függ a terheléstől. E termésetesen más, nem rudalakú testeknél is íg van. Követkeik tehát hog a silárd test terhelés hatására kialakuló belső erőrendsere és alakváltoási állapota egmással kapcsolatban van. E a kapcsolat termésetserűen függ a silárd test anagától is. Valóban, ha két aonos alakú de más anagból késült silárd testet uganannak a terhelésnek vetünk alá, akkor más les a alakváltoás mértéke. Ennek illustrálására vissaidéük a 2. Fejeet 2.. ábráján semléltetett egik végén befogott, a sabad végén pedig koncentrált erővel terhelt rudat. Uganolan geometriai méretű és uganakkora erővel terhelt de különböő anagú rudakat véve különböő les a erő támadáspontjának elmodulása, a rúd görbülete, és a eddig megismert alakváltoási jellemők fajlagos núlások, sögváltoások etc. értéke. E at jelenti, hog a belső erőrendser és a alakváltoási jellemők köötti kapcsolat függ a test anagától. silárd testek mechanikájának egik fontos feladata een kapcsolat tistáása. kapcsolat visgálata résint kísérleti megfigeléseket, résint elvi megfontolásokat igénel. silárdságtan keretei köött csak bionos anagtípusokra, elsősorban rugalmas testekre vonatkoóan tistáuk ennek a kapcsolatnak a kérdéseit, és at is csak fokoatos kifejtésben. Valójában arra a kérdésre keressük a válast, hogan függ állandó hőmérsékleten sobahőmérsékleten, vag sobahőmérséklethe köeli hőmérsékleteken a elemi körneet fesültségi állapotát meghatároó T fesültségi tenor a elemi körneet alakváltoási állapotát meghatároó alakváltoási tenortól. Vegük ésre, hog a fentiek, íg a utolsó kérdés megfogalmaása is, eg hallgatólagos feltevést tartalma, neveetesen hog a fesültségi tenor csak a alakváltoási tenor függvéne, aa független más menniségektől, íg a terhelés történetétől, vag mondjuk a hőmérsékletváltoástól. Érdemes een a ponton hangsúloni, hog a hallgatólagos feltevés miserint léteik a kölcsönösen egértelmű T = T () (3.) függvénkapcsolat jól tükröi a valóságot a mindennapos hasnálatban megjelenő legtöbbser- keeti anagra a terhelés eg valamilen tartománában. fenti egenletet anagegenletnek neveük. Általánosan fogalmava a anagegenlet at mondja meg, hogan függ adott anag esetén a fesültségi tenor mint állapotjellemő a silárd test egéb állapotjellemőitől. Megjegeük a teljesség kedvéért, hog a anagegenletek lehetséges matematikai alakjainak visgálata termodinamikai alapokon, illetve a kapott alakok kísérleti eredménekkel való egbevetése a kontinuummechanika feladata. későbbiekben valamilen mértékben a képléken alakváltoással kapcsolatos anagegenletekre és a hőmérséklet hatására is kitérünk néhán példa kapcsán. Lineárisan rugalmas testről besélünk, ha a T fesültségtenor lineáris függvéne a alakváltoási tenornak. lineárisan rugalmas testekre vonatkoó anagegenlet meghatároása, 63
össhangban a fentebb mondottakkal résint kísérleti körülmének köött végett megfigeléseken, résint pedig elméleti megfontolásokon alapul. mi a sóhasnálatot illeti a anagegenlet meghatároására solgáló kísérleteket a silárdságtan alapkísérleteinek neveük. anagegenlet meghatároása során a alábbi gondolatmenetet követjük:. alapkísérletek alapján a mérési adatok felhasnálásával meghatárouk a U derivált tenort és ennek ismeretében sámítással a Ψ forgató tenort és a alakváltoási tenort. 2. próbatest egésére, illetve réseire felírt egensúli egenletek segítségével meghatárouk a T fesültségi tenort. 3. kapott eredmének alapján össefüggéseket tárunk fel a fesültségi és alakváltoási tenor koordinátái köött. anagegenlet meghatároása során eddigi feltevéseinket a elmodulások és alakváltoások kicsik, a silárd test anaga homogén és iotróp váltoatlanul érvénesnek tekintjük. 3.2. Primatikus rúd húása, ömök rúd nomása 3.2.. húókisérlet leírása és eredménei. silárdságtani állapot homogenitása. Tekintsük a 3. ábrán váolt téglalap kerestmetsetű rudat, más elneveés serint próbatestet. Feltessük, hog a rudat a tengele mentén működő F S = Ne és F S = Ne erők húásra vesik igénbe. rúd tengele mentén ható F S erőt úg houk létre hog a próbatest alkalmasan kialakított két végét sobahőmérsékleten a erre a célra kialakított sakítógépbe heleük. sakítógép alkalmas fokoatosan növekvő húó igénbevétel létrehoására, aa kváistatikus a terhelés. próbatest úg van kialakítva, hog l hossúságú sakasának mechanikai -F S F S l x a -F S b F S l 3.. ábra. állapotát a Saint Venant elv értelmében nem befolásolja a erőátadás módja. terhelés hatására megnúlik a l hossúságú rúdsakas, a kerestiránú a és b méretek pedig megrövidülnek. Jelölje l 0, valamint a 0 és b 0 a megváltoott méreteket. mondottak serint λ = l 0 l>0, a = a 0 a<0 és b = b 0 b<0, (3.2) ahol λ a l hossúságú rúdsakas megnúlása, a és b pedig a kerestiránú méretváltoás. mérés at mutatja, hog a a és b kerestiránú méretváltoás aonos a l hossúságú rúdsakas minden eges kerestmetsetére néve. alakváltoási állapot tistáása érdekében a x, és x koordinátasíkokkal párhuamos síksorok segítségével és alkalmasan kicsi egség válastásával egségni oldalélű kockákra hasítjuk gondolatban fel a próbatestet, és megfigeljük milen a alakváltoás jellege. 64
megfigelések serint a x, és x koordinátasíkokkal párhuamos anagi síkok a alakváltoás során párhuamosak maradnak a x, és x koordinátasíkokkal, követkeőleg a egségni oldalélű kockák oldallapjai is a x, és x koordinátasíkokkal párhuamos síkok maradnak, aa nincs sögtorulás a alakváltoás során. E at jelenti, hog a próbatest l hossúságú sakasának minden eges pontjában fennállnak a γ x = γ = γ x =0 (3.3) össefüggések. További megfigelés, hog a és x koordinátasíkokkal párhuamos elemi, egségni oldalélű négetek mindegike aonos nagságú téglalappá deformálódik: a iránban megnúlik, a -re merőleges iránban kerestirán pl. x vag k <0 >0 + k + 3.2. ábra. pedig megrövidül. Eeket a visonokat a 3.2. ábra semlélteti. Mivel egségni oldalélű négetekről van só a hossiránú méretváltoás a iránú ε fajlagos núlás, vagis ε = l0 l = l = λ l l l > 0. (3.4) Uganíg kapjuk, hog a kerestiránú méretváltoás pedig a ε k kerestiránú fajlagos núlás, amelnek aonban a megfigelések serint jóval kisebb a absolut értéke, mint a hossiránú fajlagos núlásé. Egrést tehát fennáll a ε k = a0 a = a a a < 0 (3.5) össefüggés itt a a helére b-t is írhattunk volna, másrést pedig ε k = νε (k = x, ), (3.6) ahol a ν sám aránossági téneő. Mivel nincs forgás a fenti megfigelésekből a követkeik, hog a próbatest l hossúságú sakasának minden eges pontjában pontjában érus a forgató tenor: Ψ = 0. (3.7) Követkeőleg v.ö. (2.8) apróbatestl hossúságú sakasának minden eges pontjában megegeik egmással a derivált tenor és a alakváltoási tenor: U = = ε x 0 0 0 ε 0 = νε 0 0 0 νε 0. (3.8) 0 0 ε 0 0 ε Vegük ésre, hog a képlet résleteése során a (3.6) össefüggést is felhasnáltuk. kísérleti eredmének serint a ν aránossági téneő értéke független a erő nagságától, feltéve hog a próbatest rugalmas módon viselkedik. Uganakkor a ν aránossági téneő értéke függ a próbatest anagától, mivel a mérések at mutatják, hog különböő anagból késült próbatestekre más és más ν-t kapunk. mérési eredmének serint fennáll a ν<0.5 (3.9) reláció is. Mindent össevetve megállapítható tehát, hog anagjellemőaν aránossági téneő. Et a menniséget Poisson téneőnek sokás neveni. Érdemes külön is hangsúloni at a mérések alapján nilvánvaló körülmént, hog a próbatest l hossúságú sakasának minden eges pontjában állandó a derivált tenor és a alakváltoási tenor. Tekintettel a keresett T = T () függvénkapcsolat kölcsönösen egértelmű voltára aonnal követkeik, hog a próbatest l hossúságú sakasának minden eges pontjában állandó a T fesültségi tenor is. Ha állandóak a és a T tenorok, akkor feltételehetően állandó értékű au fajlagos alakváltoási energia is. 65
fentiek alapján értelmeés serint homogénnek neveük a test valamel állapotát (pl. alakváltoási állapotát, energetikai állapotát), ha független a heltől a állapotot leíró tenor. Ha állandó a U = tenor (aa Ψ = 0), továbbá állandó a T fesültségi tenor és a u fajlagos alakváltoási energia is, akkor at mondjuk, hog homogén a test silárdságtani állapota. Mivel a próbatest minden eges pontjában ugana a fesültségtenor fennállnak a ρ x = σ x e x + τ x e + τ x e = állandó, ρ = τ x e x + σ e + τ e = állandó, és ρ = τ x e x + τ e + σ e = állandó össefüggések. egelőre ismeretlen σ x,τ x,...,σ fesültségkoordináták meghatároása során vegük figelembe, hog a silárd test S határfelületének külső ER-el terhelt résén a ρ n fesültségvektor meg kell, hog egeen a felületi terhelés f sűrűségvektorával, aa fenn kell állnia a T n = ρ n = f (3.0) egenletnek. próbatest l hossúságú sakasának terheletlenek a oldallapjai, aa érus eeken a oldallapokon a külső terhelőerf sűrűségvektora. Követkeésképp el kell, hog tűnjenek a n = e x és n = e normálisú hátulsó és felső oldallapokon ébredő fesültségvektorok: T e x = ρ x = σ x e x + τ x e + τ x e = 0, T e = ρ = τ x e x + σ e + τ e = 0. ρ x és ρ fesültségvektorok állandó volta és a fesültségi tenor simmetriája miatt a utóbbi kétegenletcsakakkorteljesülhet,ha σ x = τ x = τ x = τ x = τ x = τ = τ =0, (3.) aa, ha csak a σ = állandó normálfesültség különböik érustól. E egben at is jelenti, hog T = 0 0 0 0 0 0 (3.2) 0 0 σ alakú a fesültségi tenor mátrixa. σ normálfesültség abból a feltételből határoható meg, hog a próbatest l hossúságú sakasának bármel poitív kerestmetsetére iga, hog a ρ = σ e fesültségek egenértékűek a tengeliránú F S = Ne erővel. egenértékűséget kifejeő (2.89) és (2.90) össefüggésekből, tekintettel a (3.) képletekre, valamint arra, hog állandó a σ normálfesültség és hog érus a kerestmetset saját súlpontjára vett S S statikai nomatéka a Z Z Z F S = Ne = ρ d = (σ e + τ x e x + τ e )d = σ e d = σ e, (3.3) Z Z Z M S = R ρ d = R σ e d = Rd σ e = 0 { } S S =0 eredmének követkenek. fenti eredmének, aa a hoss- és kerestiránú núlásokkal kapcsolatos ε = állandó, ε k = νε (k = x, ) (3.4) képletek, valamint a (3.3)-ből követkeő ésaσ normálfesültséget adó σ = N (3.5) 66
össefüggések a terhelés eg korlátoott tartománában bármilen állandó kerestmetsetű, vagis primatikus rúdra érvénben maradnak. 3.2.2. Kapcsolat és σ köött. Sakítódiagram. terhelési folamat során a sakítógép diagramban rögíti a N húóerő, valamint a λ megnúlás össetartoó értékeit adó N = N(λ) függvént. íg nert függvén alakja függ egrést a próbatest anagától, másrést pedig a próbatest alakjától. utóbbit a eges serkeeti anagokra sabván rögíti. 3.3. ábra nagsilárdságú acélból késült próbatestre semlélteti a N = N(λ) függvént. próbatest alakjától független diagramho úg juthatunk, ha fajlagos menniségeket mérünk a eges tengelekre. E at N jelenti hog a függőleges tengelen a σ = σ normálfesültséget, a vísintes tengelen pedig a hoátartoó ε = ε fajlagos núlást ábráoljuk. íg nert σ = σ(ε) diagramokat sakítódiagramoknak neveik. sakítódiagramok a adott körülmének köött már valóban a próbatestek anagára jellemőek. 3.4. ábra néhán serkeeti anagtípus esetén aal a feltevéssel semlélteti a sakítódiagramokat, hog nem vesi figelembe a kerestmetset méretváltoását a σ normálfesültség sámítása során. diagramok köös jellemője, hog a kedeti egenes sakast eg átmeneti rés követi. Rideg anagú (pl. öntöttvas) 3.3. ábra. próbatestek esetén a átmeneti sakas hirtelen töréssel végődik, maga a diagram pedig megsűnik. Nem rideg anagú próbatestek esetén a átmeneti sakast követően a diagram ellaposodik majdegújabblassannövekvő sakas után vissahajlik és a törés után megsűnik - kis séntartalmú acélok -, vag eg lassan növekvő sakas majd kissé vissahajló sakas után törés követkeik be a utóbbi viselkedés elsősorban a jól alakítható fémekre (aluminium, ré etc.) jellemő. rideg anagok kis séntartalmú acélok F F E jól alkítható lág fémek 0.2% O C E m 3.4. ábra. 3.5. ábra. További jellegetes tulajdonságait ismerhetjük meg a próbatest anagának, ha különböő mértékű terhelésekre semléltetjük a tehermentesítés illetve a ismételt terhelés folamatát 3.5. ábra. sakítódiagram jellegét eekben a esetekben a terhelés mértéke határoa meg. kedeti egenes sakason a terhelés, a tehermentesítés és a újraterhelés a kedeti egenes sakason meg végbe (O O ). terheletlen állapotból a diagram laposabb, elhajló sakasára eső pontig terhelt próbatest tehermentesítése a kedeti egenes sakassal párhuamos C egenes mentén meg végbe és a terheletlen állapotho a ε m maradó fajlagos núlás tartoik. ismételt terhelés a C pontból indul, a C egenesen halad és a pont elérése 67
után a eredeti laposabb elhajló sakason jobbra foltatódik. újabb leterhelés ugancsak párhuamos a kedeti egenes sakassal (a újabb tehermentesítést már nem tünteti fel a ábra). O O egenesvonalú sakítódiagram a lineárisan rugalmas test sakítódiagramja. Általában rugalmas alakváltoásról besélünk, ha egbeesik, noha nem sükségképp lineáris e a kapcsolat, a terhelés és a tehermentesítés diagramja, vagis nem tapastalható képléken alakváltoás. Ha e a kapcsolat nemlineáris akkor nemlineárisan rugalmas testről besélünk. 3.6. ábra nemlineári- O san rugalmas test ilen például a gumi sakítódiagramját semlélteti. 3.6. ábra. 3.5. ábrán feltüntetett O C sakítódiagram rugalmas-képléken test sakítódiagramja. alábbiakban a 3.4. és 3.5. ábrákon semléltetett, képléken alakváltoást is mutató sakítódiagramok segítségével értelmeünk néhán fontos anagjellemőt. kedeti egenes sakason fennáll a σ = Eε (3.6) egenlet, ahol E a rugalmassági modulus (más elneveéssel Young modulus vag rugalmassági téneő). (3.6) és (3.4) 2 egenletek a egserű Hooketörvéntalkotják. t a határfesültséget, amel a kedeti egenessakas végéhe tartoik és ameddig a alakváltoás rugalmasnak vehető rugalmassági határnak neveük. Fémek esetére általában a 0.02% maradó núlásho tartoó fesültséget fogadjuk el rugalmassági határnak. Et a menniséget a sabván a R 0,02 módon jelöli. 0.05% maradó núlásho tartoó R 0,05 fesültség a σ E aránossági határ. 0.2% maradó núlást okoó R 0,2 fesültséget folási határnak sokás neveni. Et a menniséget a továbbiakban σ F jelöli. Eges serkeeti acéloknál a rugalmas alakváltoás után eg vísintes sakas követkeik és csak eután kedődik a diagram emelkedése. vísintes sakas a ideálisan képléken testre, alassanemelkedősakasakeménedő testrejellemő. keménedés fogalma at jelenti, hog a maradó núlás létrejötte után további maradó núlás csak a előőnél nagobb normálfesültséggel hoható létre. töréstelőidéő σ fesültség a sakítósilárdság. E nem valódi fesültség mivel a eredeti kerestmetseti területtel sámoljuk. kerestiránú núlás mértékére jellemő ν Poisson téneő reciprokát Poisson sámnak neveük és m-el jelöljük: m = ν. (3.7) 3.2.3. Ideális testek sakítódiagramjai. 2.. sakas második bekedésében rámutattunk, hog a mechanika a valóságos testek helett olan idealiált testeket, modelleket ho létre, amelek a visgált mechanikai mogás leglénegesebb tulajdonságait tükröik, és csak eekkel rendelkenek. Íg járunk el akkor is, amikor a valóságos sakítódiagramok alapján, eek eges tulajdonságait (rugalmas alakváltoás, képléken alakváltoás, keménedés) kiragadva különböő anagmodelleket hounk létre. íg létrehoott anagmodelleket követő testeket ideális testeknek neveük. Ilenek a lineárisan rugalmas test (amel a terhelés mértékétől függetlenül mindig lineárisan rugalmas módon viselkedik), a merev-ideálisan képléken test vag röviden ideálisan képléken test (amel a foláshatár eléréséig merev testként, utána pedig képléken testként viselkedik), 68
a merev-lineárisan keménedő test(amel a foláshatár eléréséig merev testként, utána pedig lineárisan keménedő képléken testként viselkedik), a lineárisan rugalmas-ideálisan képléken test (amel a foláshatár eléréséig lineárisan rugalmas testként, utána pedig képléken testként viselkedik), és a lineárisan rugalmas-lineárisan keménedő test(amel a foláshatár eléréséig lineárisan rugalmas testként, utána pedig lineárisan keménedő képléken testként viselkedik). a b c F F lineárisan rugalmas test merev-ideálisan képléken merev-lineárisan keménedö d e F F F F rugalmas-ideálisan képléken rugalmas-lineárisan keménedö 3.7. ábra. lineárisan rugalmas sóössetételben általában elhagjuk a lineárisan jelőt. a 3.7.(e) ábrákon sereplő feliratok már et a megállapodást tükröik. 3.7.(d) és 3.2.4. Primatikus rúd nomása, nomódiagram. Felmerül a kérdés, hog menniben és milen tekintetben maradnak érvénesek a sakítóvisgálat eredménei nomóerővel terhelt primatikus rudak esetén. próbatest a esetleges kihajlás elkerülése érdekében ömök, többnire kockaalakú. nomás hatására a hossméretek megrövidülnek, a kerestiránú méretek pedig ennél kisebb mértékben megnövekednek. rugalmas viselkedés tartománában valamenni eddigi eredmén érvénes marad. Résleteve a sögtorulások érus értékűek, a hossiránú ε és a kerestiránú ε k fajlagos núlások állandóak és értéküket a (3.4) és (3.5) képletekkel kell sámítani aa ε = l l = λ l és ε k = a a, ahol most l = λ = l 0 l<0, és a = a 0 a>0, a hossiránú és a kerestiránú núlások köött továbbra is fennáll a ε = νε k össefüggés, aa a (3.4) 2 egenlet, állandó értékű at fesültségi tenor, a egetlen érustól különböő fesültségkoordinátát pedig most is a (3.5) képlettel sámítható, ahol aonban mint igénbevétel N<0, a (3.5) alatti Hooke törvén váltoatlanul fennáll. 3.8.(a) ábra acél anagokra, a (b) ábra tista betonra, a (c) ábra pedig öntöttvasra jelleghelesen semlélteti a egesített sakító-, és nomódiagramokat. Kitűnik a ábráról, hog a acél anagok húásra és nomásra nagjából egformán viselkednek a rugalmas és a kis képléken alakváltoások tartománában. beton és a öntöttvas ettől lénegesen eltérően viselkedik. 69
a b c 3.8. ábra. ár a rugalmas alakváltoás tartománában uganat a törvént követik nomásra lénegesen nagobb absolutértékű normálfesültséget képesek maradó károsodás nélkül elviselni, mint húásra. F F F 3.9. ábra. F ideális testek egesített sakító-, és nomódiagramja simmetrikus a origóra. 3.9. ábra rugalmas-ideálisan képléken testre semlélteti a egesített sakító és nomódiagramot. Össegeésserűen megjegeük, hog a rugalmas alakváltoás tartománában a húással kapcsolatos valamenni eredmén érvénben marad a nomóerővel terhelt rövid primatikus rudak esetére is. rövid só hangsúloása arra utal, hog a hossú nomott rudaknál fellépő kihajlás jelensége további visgálatot igénel és eel csak később foglalkounk. 3.2.5. Hooke törvén egtengelű fesültségi állapotra. 2.3.4. sakasröviden foglalkoott fesültségi tenor, mint simmetrikus tenor főtengelproblémájával és megadta egebek köött a tenor mátrixát is a főtengelek KR-ében. vonatkoó (2.88) képlet és a (3.3) össefüggés egbevetéséből aonnal követkeik, hog húott, illetve nomott rudak esetén egetlen főfesültség különböik érustól, aa ha húásról van só, és σ = σ, σ 2 = σ 3 =0, σ 3 = σ, σ = σ 2 =0, ha nomás esete forog fenn. Értelmeés serint egtengelű fesültségi állapotról besélünk, ha egetlen főfesültség különböik érustól. Eel semben többtengelű a fesültségi állapot, ha legalább két főfesültség nem érus. Sokás két-, illetve háromtengelű fesültségi állapotnak is neveni aokat a eseteket amikor csak eg főfesültség érus, vagpedig nincs érus értékű főfesültség. beveetett terminológiát hasnálva egtengelű a húott, illetve nomott rúd fesültségi állapota. Mivel kölcsönösen egértelmű kapcsolat áll fenn a T és tenorok köött, aért léteik a (3.) egenlet = (T ) alakú un. megfordítása. alábbiak et a függvént konstruálják meg. (3.8), (3.6) és (3.2) képletek felhasnálásával és elemi algebrai átalakításokkal írható, 70
hog = ε x 0 0 0 ε 0 = νε 0 0 0 νε 0 0 0 ε 0 0 ε = +ν { E } 2G 0 0 0 0 0 0 νε 0 0 0 0 0 0 σ { } 0 0 { } T E. (3.8) E =2G( + ν) (3.9) képlet a G állandót értelmei. Vegük ésre, hog a T I = σ = Eε skalármenniség, aa a fesültségi tenor első skalárinvariánsa is behelettesíthető a egségtenor E mátrixa egütthatójába a (3.8) össefüggés jobboldalán. Mindeeket kihasnálva a = T ν 2G +ν T IE. (3.20) alakot ölti a keresett = (T ) függvén. Felhívjuk a olvasó figelmét arra a körülménre, hog össhangban a kísérleti eredménekkel lineáris a fenti függvénkapcsolat, hisen a sögletesárójelben álló első tag a fesültségi tenor, a második tag pedig eg, a egségtenorral arános additív tag, amelben T I a normálfesültségek, most σ, lineáris függvéne. 3.2.6. lakváltoási energia. 3.0. ábra a egik végén befogott, másik végén N erővel terhelt húott rudat illetve a N(λ) függvént semlélteti, utóbbi esetben a függvén lineáris tartománában. (3.4), (3.6) és (3.5) képletek felhasnálásával λ = ε l = σ l E = N l E (3.2) a rúd hossváltoása a N rúderő hatására. terhelés kváistatikus, vagis a terhelési folamat egmást követő egensúli állapotok soroata. Vegük ésre, hog a külső erők köül egedül a terhelés vége munkát, a befogás l N 3.0. ábra. N() helén ui. nincs elmodulás, követkeőleg érus a támastóerő munkája. Leolvasható a N(λ) függvént semléltető ábrarésletről a λ megnúlásho tartoó N(λ) terhelőerő elemi munkája: dw K = N(λ)dλ. külsőerők munkája integrálással adódik: W K = Z λ 0 N d N W K N(λ)dλ. (3.22) továbbiakban vegük figelembe, hog rúdban felhalmoódó alakváltoási energia, amint arra a 2.4.2. sakasban rámutattunk, megegeik a külső erők munkájával. Ha emellett kihasnáljuk, hog a W K -t semléltető terület háromsög, majd helettesítjük a (3.2) képletet a U = W K = 2 N λ = N 2l 2 E (3.23) 7
eredménre jutunk. Érdemes megfigelni, hog U = N 2l N N 2 E = N l E = λ. (3.24) E at jelenti, hog a N erő támadáspontjának erőiránú elmodulása a alakváltoási energia erőkoordináta serinti parciális deriváltjaként adódik. Mivel homogén a rúd silárdsági állapota állandó értékű a fajlagos energiasűrűség, vagis u = U V = N 2l l 2 E = N N 2 E = σ 2 2 E = 2 σ ε, (3.25) ahol V a rúd térfogata volt és kihasnáltuk a σ -t adó (3.5) össefüggést, valamint a (3.6) egserű Hooke törvént. 3.2.7. Ellenőrés, méreteés, bitonsági téneő. egenes köépvonalú húott vag nomott rúdban ébredő σ normálfesültség sámítása nem öncélú feladat, hanem esköe a alábbiakban megfogalmaott két alapvető mérnöki feladat megoldásának:. Megterveett, vag megépített mérnöki serkeetek, gépek visgálata annak eldöntésére, hogan viselkedik a adott serkeet, vag gép a üemelés köben fellépő terhelések hatására. Elsősorban arra vagunk kiváncsiak, hog a serkeet úg van-e megterveve, illetve megépítve, hog képes a üemelés köben fellépő terheléseket tönkremenetel nélkül elviselni. Ennek a feladatnak a megoldását ellenőrésnek neveük. (Tönkremenetelről besélünk, ha nem teljesül valamilen előírt követelmén, pl. törés lép fel, maradó alakváltoás keletkeik, stb.) 2. Új serkeet, vag gép terveése adott funkció megvalósítására. Kitüntetett figelmet érdemel eköben a serkeet, illetve rései anagának és a geometriai méretek megválastásának kérdése, mivel a üemeltetés illetve a hasnálat köben fellépő terhelések nem okohatnak tönkrementelt. Een résfeladat megoldását méreteésnek neveük. Jelölje a tönkrementelt okoó normálfesültséget σ jell (sigma jellemő). Et a menniséget nomáseseténispoitívértékűnek tekintjük. Sívós anagokra alacson séntartalmú acélok, lág fémek a jelentős maradó alakváltoások elkerülése érdekében a σ jell = σ F válastás a sokásos. Eel semben rideg anagok esetén nem elői meg jelentős mértékű alakváltoás a törést. E okból rideg anagokra a σ jell = σ feltételeés a elfogadott. Jelölje továbbá a tönkrementelt okoó rúderőt N jell. E a menniség is poitív mind húásra, mind pedig nomásra. n t = N jell = σ jell N σ > (3.26) hánados itt N a ténleges rúderő, σ pedig a N-hetartoónormálfesültség atönkrementellel sembeni ténleges bitonsági téneő. sabvánok, a terhelés módjától és a serkeet anagától függően, különböő előírásokat tartalmanak a bitonsági téneővel kapcsolatban. Jelölje n e vag röviden n a előírt bitonsági téneőt. ennek ismeretében képett σ meg = σ jell n (3.27) hánados a megengedett fesültséget értelmei. Nilvánvalóan megfelel a húott rúd, illetve a rövid nomott rúd, ha fennáll a (3.5) és (3.27) figelembevételével írható σ = N σ meg = σ jell (3.28) n egenlőtlenség. E a össefüggés a ellenőrés esköe. Mivel σ σ meg a n t -t adó (3.26) képlet alapján a bitonsági téneőkkel kapcsolatos n t = σ jell σ σ jell = n σ meg 72
reláció követkeik. Vagis a ténleges bitonsági téneő nagobb, vag egenlő mint a előírt bitonsági téneő. Ha adott a ruderő, valamint a rúd anaga, és keressük at a minimális területű kerestmetsetet jelölje et a területet s,aholas index a sükséges só első betűje, amel előírt bitonsággal képes elviselni a rúderőt, akkor méreteésről besélünk. (3.28) egenlőtlenség /σ meg hánadossal való átsorása a méreteés alapjául solgáló s = N σ meg (3.29) egenlőtlenséget eredménei. egenlőtlenség jobboldalát alkotó egenlőség at a minimális kerestmetseti területet adja, amel sükséges a előírt bitonságho. ténleges kerestmetset, termésetesen, ennél nagobb is lehet. Vissatérve a bitonsági téneő megválastásának kérdéséhe a bitonsági téneőt befolásoló körülmének köül, a teljesség igéne nélkül, a alábbiakra érdemes felhívni a figelmet:. anagjellemők sórása. Et a anaggártás pontatlansága, a hőkeelésből adódó maradó fesültségek, termésetes anagok esetén fa, kőetek pedig a növekedés illetve kialakulás körülméneinek váltoása okoák. (Fa esetén n =4,...,0, nomásra igénbevett terméskőre n =0,, 20) 2. fel- és leterhelések, vag másnéven terhelési ciklusok sáma. tönkrementelt okoó fesültség ui. csökken a terhelési ciklusok növekedésével. E a jelenség kifáradás néven ismert. 3. terhelés jellege. E nem csak kváistatikus, hanem dinamikus, periódikus avag lökésserű is lehet. utóbbi esetekben nagobb bitonsági téneőt kell válastani. 4. kopás vag korróió követketében fellépő és neheen prognostiálható hatások, méretváltoások. fentieken túlmenően, nagobb bitonsági téneőt kell válastani minden olan esetben, amikor a gép, vag serkeet tönkremenetele emberi életeket veséletet. Eekkel kapcsolatosan a vonatkoó sabvánok, terveési előírások adnak tájékotatást. 3.3. Váltoó kerestmetsetű rúd 3.3.. Sakasonként állandó kerestmetset. 3.. ábra a sakasonként állandó kerestmetsetű D rudat, a rúd terheléseit, a F C rúd K 3 D, K 2 D és K D jelű réseit, valamint a említett rúdréseken működő külsőésbelsőerő- l l 2 l 3 ket, illetve a rűderőábrát semlélteti. Vegük ésre, hog a, 2 és 3 jelű rúdsakasokon belül állandó a primatikus rudak húásával illetve N 3 nomásával kapcsolatos képletekben sereplő valamenni menniség, aa N i, i,e i és l i (i =, 2, 3). Leolvasható a ábráról mivel F C < 0 a is, hog N 2 K 2 F C N = F + F C + F D, N 2 = F C + F D, N 3 = F D. N K F F C D kor a össes eddigi eredmént, aa a (3.5), (3.2) és (3.23) képleteket egaránt érvénesnek tekinthetjük a eges sakasokra néve. Ha eltekintünk a hirtelen kerestmetsetváltoás fesültségi és alakváltoási állapotra gakorolt hatásától, e uganis csak lokális avarást oko, ak- N N N2 3.. ábra. N 3 F C K 3 D D D F D F D F D F D 73
Követkeőleg σ i = N i (3.30) i a normálfesültség a i-ik sakason belül (i =, 2, 3). rúd hossváltoása pedig a rúdsakasok hossváltoásainak össege: λ = λ + λ 2 + λ 3 = 3X N i l i. (3.3) i E i rúdban felhalmoódott teljes alakváltoási energia uganilen módon a eges rúdsakasokban felhalmoódott alakváltoási energia össegeként adódik: U = U + U 2 + U 3 = 2 i= 3X Ni 2l i. (3.32) i E i Mivel N i =; i =, 2, 3 F D a (3.32) képletből a (3.24) egenlet általánosítását jelentő U 3X N i l i N i 3X N i l i = = = λ F D i= i E i F D i= i E i össefüggés követkeik. ellenőrés illetve méreteés aon alapul, hog minden eges sakasra fenn kell állnia a σ i σ meg i (3.33) relációnak, ahol σ meg i a i-ik sakas anagának megengedett fesültsége. l d N N 3.2. ábra. N() Hasonló megfontolással kapjuk (3.23)-ból, hog N Z l i= 3.3.2. Foltonosan váltoó kerestmetset. Ha foltonosan de csak kismértékben váltoik a kerestmetset területe, akkor jó köelítéssel fennáll, hog σ () = N() (3.34) () a normálfesültség, a többi fesültségkoordináta pedig elhanagolhatóan kicsin. rúd hossváltoását a d hossúságú elemi rúdsakas dλ hossváltoásának integrálja a dλ hossváltoás a (3.2) képletből adódik, ha N helére N()-t, l helére d-t, E helére pedig ()E()-t írunk, aa a hossváltoások össege adja: Z l N() λ = 0 ()E() d. (3.35) { } dλ U = N() 2 d (3.36) 2 0 ()E() a rúdban felhalmoott alakváltoási energia. mi pedig a fenti képletek érvénességét illeti ismételten felhívjuk a figelmet arra a körülménre, hog csak akkor alkalmahatók eek a össefüggések, ha lassan váltoik a kerestmetset a függvénében. 74
Kimutatható, hog a d/d < 0. reláció fennállása esetén a σ normálfesültség a domináns, aa a össes többi fesültségkoordináta elhanagolható mellette. Megjegeük, hog a hirtelen kerestmetsetváltoások fesültségnövekedést okoó hatását a későbbiekben tekintjük majd át. 3.4. Statikailag határoatlan feladatok jelen sakas statikailag határoatlan rudak eges feladataira fordítja figelmét. Tengeliránú erőkkel terhelt egenes rudak esetén valamenni erő arúdtengelvonalamenténműködik, eért eg egensúli egenlet áll rendelkeésre a támastóerők meghatároására. Ha a rúd valamelik végét befogjuk, akkor eg ismeretlen támastóerővel kell sámolnunk, aa a feladat statikailag határoott. Ha aonban a rúd mindkét vége befogott akkor két támastóerőt kell meghatároni és íg a feladat statikailag határoatlan, hisen eg egensúli egenlet áll rendelkeésre a két ismeretlen meghatároására. E at jelenti, hog további egenletre van sükség a feladat határoottá tételéhe. Et a pótlólagos egenletet abból a feltételből kapjuk, hog a második támas révén valójában meggátoljuk a rúd tengeliránú méretváltoását. C = l F l 2 F K K 2 F C F C = K K K 2 K 2 = + + F N N N 2 N 2 F C F C N() F N2 F C F N l l 2 3.3. ábra. elmondottak, jól követhetők a 3.3. ábrán váolt C rúd esetén. rúd két vége befogott, és tengelvonalának pontjában a F < 0 erő terheli. ábra feltünteti a támasairól levett rudat és a reá ható F terhelést továbbá a ismeretlen F, F C támastóerőket, a rúd K, K K 2 és K 2 C réseit K és K 2 a C illetve C sakasokon belül lévő rúdkerestmetsetek, valamint a rajtuk működő külsőésbelsőerőket, illetve a N() rűderőábrát. Mivel a rúd egensúlban van fenn kell állnia a F + F + F C =0 (3.37) vetületi egenletnek. rúd λ hossváltoása érus értékű. Vissaidéve a (3.3) képletet írhatjuk, hog λe = N l + N 2 l 2 =0, ahol a K illetve K 2 C rúdsakasok egensúla alapján N = F és N 2 = F C. Követkeésképp F C = l F. (3.38) l 2 utóbbi formula (3.37)-ba történő helettesítésével F -t, majd a F -re vonatkoó eredmént (3.38)- be írva F C -t kapjuk F = l 2 F, F C = l F. (3.39) l + l 2 l + l 2 Eel megoldottuk a feladatot. 75
3 2 -F 32 F 32 -F 32 F l + = F -F 3 F 3 -F 3 3.4. ábra. 3.4. ábrán váolt rúd két résből, a 2 jelű csőből és a cső belsőátmérőjéhe illeskedő jelű tömör rúdból épül fel. két rés anaga különböik egmástól. rúd jobboldali vége befogott, a baloldali végét pedig a 3 jelű merev lap követítésével kifejtett F nomóerő terheli. ábra jobboldala a serkeet réseit, valamint a rajtuk működőkülsőésbelsőerőket is feltünteti. 3 jelű merev lapon működő F 3 és F 32 erőknek valójában a tengel a hatásvonala, elkülönített ábráolásuk a visonok áttekinthetősége érdekében történt. Célunk a csőben illetve a tömör rúdban ébredő fesültségek meghatároása. Vegük ésre, hog a feladat statikailag határoatlan, mivel a F F 3 F 32 =0 (3.40) egensúli egenletben a cső illetve a tömör rúd jobboldali végén kifejtett F 3 és F 32 támastóerők a ismeretlenek. További egenletet abból a feltételből kapunk, hog aonos a tömör rúd λ és a cső λ 2 össenomódása. (3.2) képlet felhasnálásával írhatjuk tehát, hog F 3 l = F 32l. (3.4) E 2 E 2 (3.40), (3.4) egenletrendser F 3 = E 2 E 2 F és F 32 = F E + 2 E 2 E + 2 E 2 megoldásaival, eek ui. a tömör rúdban és a csőben ébredő nomóerők, már sámítható a σ normálfesültség. 3.5. hőmérsékletváltoás hatása Eideig feltételetük, hog állandó a visgálat tárgát képeő rúdhőmérséklete a terhelési folamat során. alábbiakban megvisgáljuk at a kérdést, hog mi a hatása a hőmérsékletváltoásnak. Megjegeük, mint korlátoó feltevést, hog a váltoás követketében kialakuló új hőmérsékletet is állandónak vettük a rúdon belül. Másképp fogalmava nem foglalkounk a rúdon belüli egenlőtlen hőmérsékleteloslás fesültségekre gakorolt hatásával. első esetbenfeltételeük, hog nincs gátolva a rúd hőmérsékletváltoás követketében kialakuló mogása. 3.5. ábrán váolt l hossúságú primatikus rúd, mivel a felület melen támaskodik sima, sabadon mooghat a rúd tengele mentén. rúd fesültségmentes. Növeljük meg a rúd hőmérsékletét és jelölje T a vonatkoó hőmérsékletváltoást. l T megfigelések serint λ T = αl T (3.42) a rúd hőtágulásból adódó megnúlása, ahol anagjellemő a 3.5. ábra. α fajlagos hőtágulási egüttható e a menniség a egségni hossúságú rúdsakas tágulása, ha eg fokkal nő ahőmérséklet. vonatkoó fajlagos núlás a sokott módon sámítható: ε = λ T = α T (3.43) l Mivel nincs gátolva a tengeliránú mogás ehhe a alakváltoásho nem társul fesültség. második esetben a rúd mindkét vége befogott. Feltételeük, hog a hőmérséklet értékének megnövelése előtti kedeti állapotban nincs fesültség a rúdban. 76
rúdhőmérsékletének T -vel való növelése at eredménei, hog λ T értékkel megnövekedik a rúd l hossa, et aonban megakadáloák rúd végein elheleett támasok. Követkeésképp érus a iránú fajlagos núlás, uganakkor aonban a tágulást akadáloó tengeliránú erő és normálfesültség ébred a rúdban. l T Jelölje F a rúd jobboldali végén ható nomóerőt (támastóerőt). Ennek tehát akkora a értéke, hog a rúd hossa váltoatlan marad. N Hog matematikailag is át tudjuk tekinteni a visonokat tekintsük a 3.6. ábrát. legfelső ábraréslet a rúd kedeti állapotát semlélteti. Távolítsuk most el gondolatban a jobboldali befogást és növeljük meg a hőmérsékle- F l tet. E esetben l + λ T = l( + α T ) les a rúd hossa, és e nagobb mint a támasok l távolsága. Követkeőleg nem fér el a rúd a támasok köött. íg megnúlt 3.6. ábra. rudat a köépső ábraréslet mutatja. rúd úg neri vissa eredeti hossát, ha a jobboldali végén akkora F nomóerőt alkalmaunk e valójában a támastóerő, hog a vonatkoó λ N össenomódás pontosan akkora mint a hőtágulásból adódó núlás, aa λ T = λ N (3.44) utóbbi képletből a (3.42) és (3.2) össefüggések felhasnálásával a αl T = F l E, vag ami ugana a F = Eα T eredmén követkeik. normálfesültség értékét pedig a σ = F = Eα T össefüggés adja. Végeetül felhívjuk a figelmet arra, hog e a feladat is statikailag határoatlan feladat. iránú vetületi egenletből ui. csak anni követkeik, hog a rúd két végén aonos nagságú de ellentétes iránú támastóerők működnek. Maga a F támastóerő eg további független egenletből, a (3.44) geometriai feltételből adódott. 3.6. Mintafeladatok 3.. húókisérlet során a próbatest mértékadó l hossúságú sakasán mindig poitív a térfogatváltoás. Mutassa meg, hog ebből a körülménből követkeik a Poisson téneővel kapcsolatos (3.9) egenlőtlenség. Mivel állandó a alakváltoási tenor állandó és a kísérleti eredménekkel össhangban poitív a fajlagos térfogatváltoás. Tekintettel a (2.54) és a (3.4) 2 össefüggésekre fennáll a ε V = ε x + ε + ε = ε ( 2ν) > 0, reláció ahonnan ε poitivitása miatt valóban a 2ν >0 képlet, aa a bionítani kivánt egenlőtlenség követkeik. 3.2. Mutassa meg, hog húott vag nomott primatikus rudak esetén u x = u = u N E νx, u = v = v N E ν és u = w = w + N E alakú a elmodulásmeő, ahol u, v és w a origó merevtestserű eltolódása. Nilvánvaló, hog ε = u = N E, ε x = u x x = N E ν és ε = u = N E ν első egenlet, a második x és a harmadik serinti integrálásával innen a u = w = w + N E +f (x, ), u x = u N E νx+f x(, ) és u = v = v N E ν+f (x, ) eredmént kapjuk, ahol a f (x, ), f x (, ) és f (, x) egelőre ismeretlen függvének. továbbiakban megmutatjuk, hog eek mindegike érus. Ennek igaolása aon alapul, hog érus értékűek a sögtorulások, és érus értékű a forgató tenor. Követkeésképp fennállnak a γ x =0, 2ϕ =0; γ =0, 2ϕ x =0; és γ x =0, 2ϕ =0; 77
egenletkettősök. első egenletkettősből a (2.37b) és a (2.35) felhasnálásával a γ x = u x + u x = f x(, ) + f (x, ) =0 x 2ϕ = u x u x = f x(, ) f (x, ) =0 x össefüggések követkenek, aa f x (, ) =0 és f (x, ) x Uganilen gondolatmenettel kapjuk, a második és harmadik egenletkettősből, hog f (x, ) =0, f (x, ) =0 és f (x, ) x =0. (3.45) =0, f x (, ) x =0 (3.46) (3.45) és (3.46) 4 egenleteknek f x (, ) =C + f() és f x (,) =C + g() a megoldásuk, ahol C állandó, a f() és g() függvének pedig tetsőlegesek. Követkeőleg a f x (, )- re vonatkoó megoldások csak akkor lehetnek egenlőek, ha f x (, ) =C. C állandó pedig érus kell legen, mivel a origóban, feltevésünk serint, u x = u. Uganilen gondolatmenettel kapjuk, hog f = f =0. igaolás további résleteit a olvasóra hagjuk. 3.3. 3.7.(a) ábrán váolt primatikus rudat a rúd tengelvonala mentén működő F és F húóerők terhelik. rudat gondolatban átmetsük eg a x tengellel párhuamos síkkal. Mekkora a átmetsett síkon ébredő normálésnírófesültség? (a) -F -F x n n sin cos F (b) O=Y mn cos n = (cos 2 N mn = cos Z sin n n mn sin cos m 3.7. ábra. Jelölje ϕ asíkn normálisának tengellel beárt sögét. átmetső síkbanfekvő m irán merőleges a n és x iránokra. Leolvasható a ábráról, hog n =sinϕe +cosϕe és m = cos ϕ e +sinϕe ; n = m =. (2.79) és (3.2) képletek serint ρ n = T n = 0 0 0 0 0 0 0 0 σ 0 sin ϕ cos ϕ = 0 0 σ cos ϕ, vagis ρ n = σ cos ϕ e a fesültségvektor, ahol a (3.30) alapján σ = F / a pedig a rúd kerestmetsetének területe. Vegük ésre, hog ρ n párhuamos a tengellel. E at jelenti, hog a nírófesültség párhuamos kell legen a m iránnal. (2.83a,b) képletekkel σ n = n ρ n = σ (cos ϕ) 2 és τ mn = m ρ n = σ cos ϕ sin ϕ a keresett normál és nírófesültség. Figeljük meg, hog a ρ n fesültségvektor N végpontja σ átmérőjű körön helekedik el a σ n, τ mn koordinátarendserben. Magát a N pontot úg kapjuk meg, hog párhuamost húunk a origón kerestül a n iránnal. Ha ϕ =0, akkor σ n = σ a N pont pedig a Z Ismeretes, hog a r = a cos ϕ egenlet itt ϕ a polársög a átmérőjű kör egenlete polárkoordinátarendserben. jelen esetben a σ normálfesültség felel meg a a-nak. 78
pont, ha pedig ϕ = π/2, akkor σ n =0a N pont pedig a origóval egbeeső Y pont. kört a 3.7.(b) ábra semlélteti. 3.4. Határoa meg a 3.8. ábrán váolt sakasonként állandó kerestmetsetű CD rúd, C és CD sakasain belül a σ normálfesültséget, a rúd végpontjának elmodulását és a rúdban felhalmoódott alakváltoási energiát. rúdsakas anaga acél, amelre E =2 0 5 N/mm 2, a kerestmetset területe pedig = 600 mm 2. D = C + CD rúdsakas aluminium, amelre E =7 0 4 N/mm 2, a kerestmetset területe pedig 2 = 3 = 400 mm 2. ( indexek kiírása arra utal, hog a vonatkoó képletek alkalmaásakor a rudat három sakasra bontjuk.) 3.8. ábra rendre semlélteti a K 3 D, K 2 D és K D rúdsakasokat, valamint a reájuk működő külső és belső erőket. Leolvasható eek egensúlából, hog C D N =30kN, N 2 =2kN és N 3 = 2 kn. 24 kn kapott értékekkel megrajolt N() függvént a ábra 8 kn alsó résén találjuk. rúderők ismeretében a (3.30) 2 kn képletből 300 200 200 σ = N = 30 03 N 600mm 2 =50N/mm2 2 kn 24 kn N 3 K 3 D σ 2 = N 2 = 2 03 N 2 400mm 2 =30N/mm2 és N 2 kn σ 3 = N 3 = 2 03 N 2 K 24 kn 2 D 3 400mm 2 = 30 N/mm2 a keresett normálfesültségek. rúd hossváltoását a (3.3) össefüggés alapján a jelű, a2 jelű C és 8 kn 3 jelű CD rúdsakasok hossváltoása adja: N 2 kn K 24 kn D λ = λ + λ 2 + λ 3 = N l + N 2l 2 + N 3l 3, N E 2 E 2 3 E 3 30 kn ahol a feladat adatai serint a 2 és 3 jelű rúdsakasokon minden értékek aonos kivéve a rúderőt, amelre 2 kn néve aonban csak a előjelben van különbség. Követkeőleg λ 2 + λ 3 =0.Etfigelembevéve és a vonatkoó 2 kn értékeket helettesítve a 30 0 3.8. ábra. 3 N 300mm λ = λ = (600mm 2 ) 2 0 5 2 =0.075 mm N/mm eredmént kapjuk. Hasonlóan kapjuk a (3.32) felhasnálásával, hog a teljes alakváltoási energia a, 2 és 3 jelű résekben felhalmoott alakváltoási energia össege: U = U + U 2 + U 3 = N 2l + N2 2l 2 + N3 2l 3 = 2 E 2 2 E 2 2 3 E 3 = 30 0 3 2 N 2 300mm 2 0 3 (600mm 2 ) 2 0 5 N/mm 2 + N 2 200mm (400mm 2 ) 7 0 4 2 = 253.6 Nmm. N/mm 3.5. 3.9. ábrán váolt merev CD kart a 0 mm átmérőjű K és a 5 mm átmérőjű L rúd valamint a C csukló támastja meg. két rúd réből késült, melre E = 0 0 3 N/mm 2. Határoa meg a eges rudakban ébredő N és N rúderőket, valamint a rudak végpontjainak függőleges λ és λ elmodulásait, ha a kar D pontjában 33 kn nagságú teher van elheleve. ábra semlélteti a támasairól levett rudat, valamint a rúdra ható össes külső erőt. C pontra felírt nomatéki egenlet serint m C =0=(0.5m) 33kN (0.5m) N (0.25m) N illetve 2N + N =66. (3.47) merev karnak feltevés serint kicsi a sögelfordulása. mint a leolvasható a ábráról λ 0.5m = λ 0.25m, aa λ =2λ (3.48) 79
és λ = δ D. jelű K és 2 jelű L rúd λ = N l és λ = N l 2 E E 2 megnúlásait a (3.48) 2 össefüggésbe írva a N l =2 N l 2, E E 2 illetve a N =2 l 2 N =2 d2 πl 2 2 l d 2 2 πl N = =2 (0mm)2 0.9m (5mm) 2 0.6m N = 4 3 N eredmén követkeik. Ha a utóbbi képletet vissaírjuk a (3.47) egenletbe, akkor 8 3 N + N =66, aa N =8kN amivel N = 4 3 N =24kN. fentiek alapján 250 250 500 C K N C Z C N N Y C C 0.25m 0.25m 0.5m 33kN 0.25m 0.5m 0.25m N L N 33kN D D D δ D = λ = N l = 0.6m E 24 0 3 N 0 0.9m (600 mm) = ³0 2 5 =.6668 mm 0 3 N/mm (5 mm) 2 π és 3.9. ábra. λ =0.5λ =0.8334 mm. 3.6. 3.20. ábrán váolt kis belógású aluminiumötvöet hual L =40mtávolságot hidal át. Mekkora lehet a hual belógása, ha a aluminiumnak γ =2.746 8 0 5 N/mm 3 afajsúla,e =72 0 3 N/mm 2 a rugalmassági modulusa és σ meg = 30 N/mm 2 a megengedett fesültség. Határoa meg a hual hossát is. L O G/2 F N o N o K O F H L/4 G/2 3.20. ábra. maximális N max kötélerő a megengedett fesültség birtokában a N max = σ meg 80
módon sámítható, ahol a hual kerestmetsete. kötél felének súla pedig abból a megfontolásból adódik, hog 2s O ' L és íg G 2 ' L 2 γ. ábra aal a kis belógás esetére érvénes feltevéssel ábráolja a hual O sakasát, hog másodfokú parabola a hual alakja. E esetben ui. a O pontbeli vísintes érintő ésa pontbeli érintő a = L/4 abcissájú egenesen metsi egmást. Követkeőleg OH =. ábra feltünteti a O hualsakason működő N o kötélerőt, a hualsakas súlát adó G/2 súlerőt, valamint a pontbeli F támastóerőt. ábra semlélteti a O sakas egensúlát kifejeő erőháromsöget is. maximális kötélerőre néve nilvánvalóan fennáll, hog N max = F. Követkeőleg s r r N o = (F ) 2 G2 4 = (N max ) 2 G2 4 = Mivel a erőháromsög és a KH háromsög hasonló (σ meg ) 2 (γl)2 4 G 2 tg α = = 2, N L o 2 ahonnan = L G γl 2 = s. 8 N o (σ meg ) 2 (γl)2 4 E at jelenti, hog független a belógás a kábel kerestmetsetétől. vonatkoó értékek helettesítésével kapjuk, hog = v u t³ 30N/mm 2 2 2.7468 0 5 N/mm 3 40 0 3 mm 2 ³ 2.746 8 0 5 N/mm 3 2 40 0 3 mm 4. = 338 mm. ténleges L t hualhoss annak figelembevételével sámítható, hog a origó csúcspontú O parabolaívnek köelítőleg " s O ' + 2 µ # 2 3 ahossaa KR-ben, feltéve hog / < 0.5. utóbbi képlettel " L t =2 + 2 µ # 2 = 40 0 3 mm " + 2 µ # 2 338mm 3 3 20 0 3 = 40007.6mm mm a hualhoss értéke. 3.7. 3.2. ábrán váolt a terhelés előtt mindkét végén befogott és acélból késült C rúdon két tengeliránú külső erőműködik. Határoa meg a C pontban ébredő Z C támastóerőt. 500 mm 2 250 mm 2 200 kn C 400 kn = 200 kn 400 kn C C + Z C 80 80 80 80 N 600 kn 400 kn o N o Z C 3.2. ábra. 8
Ha eltávolítva gondoljuk a jobboldali C támast, akkor a terhelések hatására λ o lenne a C támas eltávolítása után statikailag határoott C rúd megnúlása. C pontban ébredő Z C < 0 támastóerő hatására a rúd vissa kell, hog nerje eredeti hossát aa a Z C erő λ o hossváltoást oko. köépső ábraréslet a C támas eltávolítása után semlélteti a rudat és terheléseit, valamint a ruderő ábrát. (3.3) össefüggés értelemserű alkalmaásával írhatjuk, hog 4X N i l i λ o = i= i E, ahol balról jobbra haladva l = l 2 = l 3 = l 4 = 80 mm, = 2 = 500 mm 2, 3 = 4 = 250 mm 2 és N = 600 kn, N 2 = N 3 = 400 kn, N 4 =0kN. Eekkel a értékekkel 4X N i l i λ o = i E = 600 0 3 N E 500 mm 2 + 400 03 N 500 mm 2 + 400 03 N 250 mm 2 +0 80 mm = N 6.48 05 E mm i= arúdmegnúlása. jobboldali ábraréslet a állandó Z C erő hatását illustrálja. fentihe hasonló gondolatmenettel kapjuk, hog λ o = Z C 4X i= l i i E = Z C E 500 mm 2 + 500 mm 2 + 250 mm 2 + 250 mm 2 80 mm = Z C E 2.6 mm. utóbbi két képlet felhasnálásával 4X N i l i 4X 0=λ o λ o = i= i E + Z l i C i= i E = 6.48 N 05 E mm + Z C E 2.6 mm, ahonnan a keresett támastóerő. Z C = P 4 N il i i= i E P 4 l i i= ie = 300 kn C C 3.22. ábra. T Z c Z C Mivel érus a rúd teljes hossváltoása írhatjuk, hog ahonnan 3.8. 20 C sobahőmérsékleten 800 mm hossú, sakasonként állandó kerestmetsetű C acélrudat 40 C -ra hűtjük le. Mekkora fesültség ébred a eges rúdsakasokban ha eltekintünk a kerestmetsetváltoás fesültséggüjtő hatásától. Vege figelembe, hog acélra α =.2 0 5 /C a fajlagos hőtágulási egüttható és E =2. 0 5 N/mm 2 a rugalmassági modulus. Vegük ésre, hog a serkeet statikailag egseresen határoatlan. Ha elhagjuk a jobboldali megfogást, akkor 600 mm 2 400 mm 2 C λ T = α T { } l =.2 0 5 /C ( 60C ) (800 mm) = ε T = 0.576 mm 400 400 hossváltoást oko a T = 60 C hőmérsékletváltoás. Ha a íg megrövidült rúd jobboldali végén működtetjük a egelőre ismeretlen Z C támastóerőt, akkor λ ZC = Z Cl E + Z Cl 2 2 E = Z C E µ l + l 2 2 a rúd megnúlása. feladat l = l 2 = 400 mm, = 600 mm 2, 2 = 400 mm 2 és E =2. 0 5 N/mm 2 adatainak helettesítésével λ ZC = Z C 400 mm 2. 0 5 N/mm 2 λ = λ T + λ ZC = 0.576 mm + Z C Z C = 72576.0N. 82 0 5 2. 0.6 µ 600 mm 2 + 400 mm 2 mm N =0, = Z C 0 5 2. 0.6 = mm N.
támastóerő ismeretében és σ = Z C = 72576.0N 600 mm 2 = 20.96 N mm 2 σ 2 = Z C 2 = 72576.0N 400 mm 2 = 8.44 N mm 2 a normálfesültség a és C rúdsakasokon belül. Vegük ésre, hog a fajlagos núlások és ennek megfelelően a eges rúdsakasok hossváltoásai is különböőek: amivel ε = ε T + σ E = α T + σ E =.2 0 5 /C ( 60C 20.96 N/mm2 )+ 2. 0 5 N/mm 2 = = 7.2 0 4 +5.76 0 4 =.44 0 4 ε 2 = ε T + σ 2 E = 7.2 0 4 + 8.44 =.44 0 4 2. 05 λ = ε l =.44 0 4 400 mm = 0.0576 mm = λ C a és C sakas hossváltoása. Nilvánvaló, hog λ + λ C =0. Gakorlatok 3.. Eg.8 mhossúságú és körkerestmetsetű veérlőrúd megnúlása nem lehet több, mint.8 mm ha 9kNnagságú húóerő hat rá. rúd anaga acél, melre E acél =2. 0 5 N/mm 2. Mekkora a rúd átmérője és mekkora a rúdban ébredő fesültség? Megfelel eel a átmérővel a rúd, ha σ jell = 375 N/mm 2 a előírt bitonsági téneő pedign =.5? 3.2. 3.23. ábrán váolt l = 400 mm hossú és négetkerestmetsetű acél rudat húásra vesi igénbe a kerestmetsetben centrikusan működő N erő. rúd megnúlása λ = 0.04 mm, a rugalmassági modulus E acél =2 0 5 N/mm 2,aPoissonsámν =0.3, a néget oldaléle pedig a =20mm. (a) Határoa meg a ε x, ε és ε fajlagos núlások, a σ normálfesültség, valamint a N húóerő értékét. (b) Írja fel a alakváltoási és a fesültségi tenor mátrixait a x és ξηζ KR-ben. (c) Mekkora a N erő, ha a = 0.045 mm a néget a oldalélének a megváltoása? a 45 o x x a l N 3.23. ábra. 3.3. ábrán váolt állandó 60 80 mm 2 kerestmetsetű farúdkétrésből áll, amelek a ábrán feltüntetett sík mentén vannak egmásho ragastva. Mekkora lehet a N terhelőerő legnagobb értéke, ha a feladat visonai köött τ meg =0.6N/mm 2 a megengedett nírófesültség a ragastóanagra néve. -N N 5 o 3.24. ábra. 3.4. Eg vékon acélhual megnúlása nem haladhatja meg a.5 mm-t. Mekkora a hual hossa,ha σ meg = 05 N/mm 2 és E acél =2. 0 5 N/mm 2? Mekkora a hual átmérője, ha a húóerő N = 330 N? 83
0.6 m 0.4 m D 0.25 m E 3.25. ábra. 0.5 m C 40Kn 3.5. tökéletesen merev C rudat a D aluminium és E acél rudak segítségével a ábrán váolt módon függestjük fel. D rúd kerestmetsete 500 mm 2,aaluminium rugalmassági modulusa E aluminium =7.2 0 4 N/mm 2 ;ae rúd kerestmetsete 650 mm 2, a acél rugalmassági modulusa pedig E acél =2. 0 5 N/mm 2. Mekkorák a, és C pontok elmodulásai? 3.6. 3.26. ábrán váolt 44 mm átmérőjű körkerestmetsetű rúd C sakasa acélból, CD sakasa pedig, réből késült. rúd terhelését a ábra semlélteti. Sámítsa ki C és D pontok elmodulásait! acél 22 kn C ré 2.5 m 3 m 2.6 m 3.26. ábra. D 88 kn 3.7. 3.27. ábrán váolt C rúd acélból késült, melre E acél =2 0 5 N/mm 2. Határoa meg a és C kerestmetsetek elmodulásait, ha Z = 200 kn és Z C =50kN. 60 mm 30 mm C Z Z C 400 mm 400 mm 3.27. ábra. 3.8. Tegük fel, hog Z = 250 kn. (a) Mekkora legen a Z C erő ha at akarjuk, hog ne váltoon a rúd hossa? (b) Mekkora e esetben a pont elmodulása? L C F C 3.9. 3.28. ábrán váolt háromcsuklós ív C pontját a F C erő terheli. (a) C és C rudak aonos anagúak és a C rúdkerestmetsetek területei is aonosak. Mutassa meg, hog L C a F C = L C F C L C reláció fennállása esetén a C pont a tengellel 45 o -os söget beáró egenes mentén modul el. (b) Hogan váltoik meg a 3.28. ábra. feltétel alakja, ha a különböő a két rúd anaga és kerestmetsete? 3.0. egik végén befogott 2 mm átmérőjű sárgaré csavart (E sárgaré =.05 0 5 N/mm 2 ) a 3.29. ábrán váolt módon 20 mm külső átmérőjűés2mmfalvastagságú aluminium csőbe (E aluminium =7.2 0 4 N/mm 2 ) heleük. Ha nem lép fel erő acsavaranaésacső köött, a ábra et a heletet semlélteti, akkor 500 mm hossú a csavar csőben fekvő rése. Ekkor a anát a teljes fordulat egharmadával sorosabbra húuk. Mekkora a normálfesültség a csőben és a csavarban, ha a menetemelkedés.5 mm. 500 3.29. ábra. 84
3.. Mekkora a előő feladat esetén a csőben és a csavarban ébredő fesültség, ha a csavar anaga acél. feladat egéb adatai váltoatlanok. (E acél =2. 0 5 N/mm 2 ). a a L C D Y 3.2. CD merev rudat három aonos kötél segítségével a 3.30. ábrán váolt módon függestjük fel. koordinátájú pontban a Y < 0 erő terheli a serkeetet. rúd súla elhanagolható a Y mellett. Határoa meg mekkora lehet a ha at akarjuk, hog mindegik kötél megfesüljön. 3.30. ábra. a a a C Y C L D 3.3. CD merev rudat nég aonos kötél segítségével a 3.3. ábrán váolt módon függestjük fel. C pontban a Y C < 0 erő terheli a serkeetet. rúd súla elhanagolható Y C mellett. Határoa meg a eges kötelekben ébredőerőt. 3.4. Oldja meg a előő feladatot, ha (a) eltávolítjuk a C pontho csatlakoó kötelet (b) ha eltávolítjuk a D pontho csatlakoó kötelet. 3.3. ábra. L F 3.32. ábra. L C 3.5. terheletlen állapotban 2L hossúságú kötéldarabot a 3.32. ábrán váolt módon a F erő terheli. Mutassa meg, hog a δ L feltétel fennállása esetén r F δ = L 3 E a kötél köépső pontjának függőleges elmodulása. Itt E a kötél anagának rugalmassági modulusa, pedigakötél kerestmetsete. 86