VaR számítási módszerek. Szabó Dávid

VaR számítási módszerek MSc. szakdolgozat Szabó Dávid Biztosítási és pénzügyi matematika Msc. Kvantitatív pénzügyek szakirány Témavezeto : Dr. Medvegyev Péter egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapesti Corvinus Egyetem Természettudományi Kar Közgazdaságtudományi Kar Budapest, 2014

Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Medvegyev Péternek, akit bármikor felkereshettem és kérdéseimre adott válaszaival segítette munkámat. Szeretnék köszönetet mondani csoporttársaimnak, barátaimnak és szüleimnek akik folyamatosan segítettek és motiváltak. Továbbá szeretnék még köszönetet mondani édesanyámnak és barátnőmnek, akik többször átolvasták dolgozatomat és segítettek kijvaítani nyelvtani és szerkezeti hibáimat. 2

Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. A kockázatról 7 1.1. A kockázat fogalma............................. 7 1.2. Value at Risk - kockáztatott érték...................... 8 1.3. Eloszlás definíciók............................. 9 2. Folytonos veszteségeloszlás esete 10 2.1. Veszteségek Laplace - transzformáltja................... 10 2.2. 1. példa a Laplace - transzformáltra.................... 12 2.3. 2. példa a Laplace - transzformáltra.................... 12 2.4. VaR számítása a Laplace - transzformáltból................ 14 3. Numerikus módszerek a Laplace - transzformált inverzének kiszámítására 16 3.1. Euler algoritmus............................... 16 3.2. Post-Widder algoritmus........................... 19 4. Diszkrét veszteségeloszlás esete 21 4.1. (a,b,k) eloszlások.............................. 21 4.2. Panjer rekurzió............................... 24 4.3. A példák előkészítése............................ 26 4.4. 1. példa................................... 27 4.5. 2. példa................................... 28 5. Monte - Carlo szimuláció 30 5.1. Kockáztatott érték Monte - Carlo módszerrel................ 30 5.2. A Monte - Carlo eljárás hibája....................... 31 3

VaR számítási módszerek 6. Módszerek tesztelése 32 6.1. Folytonos veszteség eloszlásra....................... 32 6.2. Diszkrét veszteség eloszlásra........................ 37 7. Összefoglaló 40 8. Matlab kódok 41 4

Bevezetés Szakdolgozatomat az első elképzelések alapján a Credit Risk plus modell bemutatásából, matematikai hátteréről és valós adatokon való teszteléséből, elemzéséből írtam volna. Egy olyan adatsorra lett volna szükségem mely egy banki hitelkockázati ágazat, például lakáshitel, vagy bankkártya hitel bedőléseket tartalmazott volna. Sajnos mindenhol zárt ajtókon kopogtattam, mivel ezen adatsorok titkosak, és még egy szakdolgozat keretein belül sem tehetőek publikussá. Ezért kellett megváltoztatnom szakdolgozatom címét is Credit Risk plus modellről a jelenlegi címre, hogy bár adatsor híján az addig meglévő anyagaim ne váljanak haszontalanná. Az 1. fejezetben definiálom magát a kockázatot illetve annak mérőszámait. Ezek után dolgozatom két nagyobb részre bontható, mégpedig az alapján, hogy a veszteségek eloszlása folytonos avagy diszkrét eloszlások szerint alakul. A 2. fejezet foglalkozik a folytonos esettel. Ez esetben az összetett veszteséget annak Laplace - transzformáltja alapján definiálom, illetve először annak általános alakját levezetem, majd ezek után pár példát is mutatok a transzformált alakulására. A példák utáni alfejezet taglalja, hogy az összetett veszteség Laplace - transzformáltjából miként tudok kockáztatott értéket számolni, amihez szükség van a Laplace - transzformált inverzének meghatározására. A 3. fejezetben ezen inverzek meghatározására mutatok két numerikus algoritmust, méghozzá az Euler és a Post-Widder algoritmusokat. Mindkét módszer a Fourier-soros módszerek variánsai. Az Euler módszer ezen kívül használja a Bromwich integrál tételt, a Poisson és az Euler összegzési formulát. Az imént felsorolt összefüggésekkel összeállított algoritmus javaslói: Simon, Stroot és Weiss voltak. A második, azaz a Post-Widder algoritmus nagyléptekben Post-Widder formula és a Poisson - összegzés fehasználásával jött létre. A 4. fejezet a diszkrét veszteség eloszlás eseteivel foglalkozik. Itt Panjer - rekurziója van a fő prioritásban, melyhez elengedhetetlen az (a, b, k) eloszlás családok definiálása. A fejezet végén két konkrét eloszlás esetén is bemutatom, hogy hogyan is alakul pontosan a rekurzió. 5

Bevezetés Az 5. fejezetben bemutatom a Monte - Carlo szimulációt, és azt, hogy jelen dolgozat keretein belül hogyan kell használni, hogy a kívánt kockáztatott értékre kapjak eredményt. Tulajdonképp a szimulációt a későbbiekben a 2. és a 3. fejezetekben bemutatott módszerek ellenőrzésére fogom használni. A 6. és egyben utolsó fejezetben szeretném bemutatni a módszerek működését, hatékonyságát. Mint azt már említettem, sajnos valós adatsort nem sikerült szereznem, ezért az eloszlások paramétereit én állítom majd be. A szükséges programkódokat Matlabban készítettem el, melyek a dolgozat végén találhatóak. 6

1. fejezet A kockázatról 1.1. A kockázat fogalma Maga a kockázat többféle módon definiálható annak függvényében, hogy az adott problémánk milyen jellegű. Egy lehetséges meghatározás lehet a következő: "A kockázat az a potenciálos kár, amely valamely jelenlegi folyamatból vagy jövőbeli eseményből származik." 1 Vagy egy pénzügyi szemszögből való megfogalmazás: "A kockázat egy befektetés lehetséges, mérhető vesztesége. Kockázatról akkor beszélünk, ha a befektetés eredménye a befektetés kezdetén bizonytalan. Bár bizonytalan az eredmény, de mérhető". Tehát a definíciók alapján a kockázat főbb sajátosságai a bizonytalan jövőbeli eredmény illetve valamilyen kedvezőtlen esemény bekövetkeztének lehetősége. Ez utóbbi valamilyen mérhető veszteségben jelenik meg. A kockázat számszerűsítésére, vagyis a kockázat egyetlen mérőszámmal történő kifejezésére szolgálnak a kockázati mutatók. A kockázati mutatókat két nagyobb csoportba oszthatjuk: 1. Relatív mérőszámok: ahol a kockázatot egy adott véletlen értéktől való távolság nagyságaként értelmezzük. Relatív kockázati mérőszámok például a variancia, az abszolút átlagos eltérés (MAD), Gini -féle átlagos differencia. 2. Abszolút mérőszámok: ez esetben a szükséges tőkeanyag nagyságával mérik a kockázatot, mely például egy adott pénzügyi pozíció megteremtéséhez vagy egy befektetés megvalósításához szükséges. Figyelembe véve a megfigyelési értékek abszolút 1 http://en.wikipedia.org/wiki/risk 7

1. FEJEZET A kockázatról nagyságát és helyzetét. Ezen mutatók közé tartozik például a VaR, a CVaR vagy az ES. 1.2. Value at Risk - kockáztatott érték A Value at Risk, azaz a Var a várható maximális avagy legnagyobb veszteséget méri egy adott időtávon, egy adott konfidencia avagy biztonsági szint (a továbbiakban α) mellett. Például tegyük fel, hogy egy portfólió egy napos Var-ja 10 millió forint 99,9 százalékos konfidencia szint mellett, vagyis V ar(1nap,99,9%) = 10M Ez nem jelent mást, mint hogy adott piaci körülmények között az adott portfóliót tekintve, egy napos időtávra és 0.01 % valószínűséggel a várható veszteségünk 10 millió forintnál nagyobb lesz. Ezt a megközelítést nevezzük pesszimista megközelítésnek. A másik oldalról megfogalmazhatjuk az optimista hozzáállást, vagyis 99.9 % annak a valószínűsége, hogy egy nap alatt nem várható 10 millió forintnál nagyobb veszteségünk. A pesszimista megközelítés az alsó Var, amely az alsó 0.01% közül a legjobb kimenetel, míg az optimista a felső var, mely a felső 99,9 % közül a legrosszabb kimenetel. Ezek alapján tehát a precíz definíció V ar α (X) = sup{x R F X (x) = P (X x) < α} vagyis az alsó kvantilis adja a VaR értékét, ezért V ar α az α - rendű alsó VaR. Hasonló módon definiálhatjuk a felső VaR-t is: V ar α (X) = inf{x R F X (x) = P (X x) > α} Az alsó és a felső kvantilis nem feltétlenül esnek egybe, kivéve ha abszolút folytonos az eloszlásunk, mert ez esetben egyezni fog az előző két érték. Hiszen ebben az esetben legyen q az az érték, amelyre F X (q) = α összefüggés teljesül, így tehát V ar α (X) = V ar α (X) = q A következő fejezetekben ezen VaR értékének kiszámolására mutatok megoldásokat folytonos illetve diszkrét veszteségeloszlások esetén. 8

1. FEJEZET A kockázatról 1.3. Eloszlás definíciók Itt szeretném definiálni azokat az eloszlásokat melyekre a továbbiakban szükség lesz. 1.3.1. Definíció (Poisson - eloszlás). Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson - eloszlást követ pontosan akkor, ha ahol λ > 0. P (X = k) = λk k! e λ 1.3.2. Definíció (Negatív binomiális eloszlás). Az X valószínűségi változó (r, q) paraméterű negatív binomiális eloszlást követ, ha ahol k = 0,1,..., r > 0 és 0 q < 1 P (X = k) = Γ(r+k) Γ(r)k! (1 q)r q k 1.3.3. Megjegyzés. Abban az esetben, ha r pozitív egész, akkor Y = X + r eloszlása a hagyományos negatív binomiális eloszláshoz vezet, mivel ekkor ahol k = r, r + 1,... P (Y = k) = ( ) n 1 r 1 (1 q) r q n r 1.3.4. Definíció (Exponenciális eloszlás). Az X valószínűségi változó λ paraméterű exponenciális eloszlást követ pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye ahol λ > 0. f(x) = { λe λx ha x 0 0 ha x < 0 1.3.5. Definíció (Gamma eloszlás). Az X valószínűségi változó α-d rendű β paraméterű gamma eloszlást követ pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye f(x) = βα x α 1 e βx Γ(α) ahol Γ(α) a gamma-függvény, a β és α pedig pozitívak. 9

2. fejezet Folytonos veszteségeloszlás esete 2.1. Veszteségek Laplace - transzformáltja Először definiáljuk a Laplace - transzformáltat: 2.1.1. Definíció. [Laplace - transzformált] Legyen f(t) a [0, ) intervallumon értelmezett függvény. Ekkor az f függvény Laplace - transzformáltjának nevezzük az alábbi impropius integrált, amennyiben létezik. 2.1.2. Megjegyzés. F (s) = L(f) = 0 e ts f(t)dt 1. Az eredeti függvény t-nek függvénye, a transzformált s-nek 2. Az eredeti f(t) függvény az F (s) inverz transformáltja, inverze: f(t) = L 1 (f) 3. Az f(t) függvény Laplace - transzformáltját impróprius integrállal definiáltuk, ezért a transzformált létezéséhez szükséges az integrál konvergenssége. Illetve még szükségünk lesz a generátorfüggvény fogalmára és tulajdonságaira is. 2.1.3. Definíció. [Generátorfüggvény] Legyen X egy nemnegatív értékű valószínűségi változó, P (X = k) = p k, k = 0,1,2,... eloszlással. Ekkor X generátorfüggvénye az alábbi hatványsor G X (z) = p 0 + p 1 z + p 2 z 2 +... = k=0 p kz k. 10

2. FEJEZET Folytonos veszteségeloszlás esete A G X (z) függvény konvergens a [0,1] intervallumon, mivel lim inf n 1 1, továbbá n pn G X (z) = k=0 p k = 1 2.1.4. Tétel. [Generátorfüggvény alaptulajdonsága] A generátorfüggvény egyértelműen meghatározza az eloszlást: G (k) k! = p k minden k = 0,1,2,... esetén. A képletben szereplő G (n) jelöli a G függvény n-dik deriváltját. Vagyis a generátorfüggvény deriválásával visszakapjuk az eloszlást. 2.1.5. Tétel. Egy X valószínűségi változó G X (z) generátorfüggvényére teljesül a következő állítás G X (z) = E(z X ) Ezek után definiáljuk az összetett veszteség eloszlást a következőképpen Loss = k=0 χ(σ k T )ξ k Ahol a T > 0 rögzített intervallum, a σ k a veszteségek bekövetkezésének időpontja és a ξ k a σ k időpontban bekövetkező veszteségek nagysága. Aminek a Laplace - transzformáltját a korábbi definíciók szerint (2.1.1,2.1.3) a következőképpen számolhatjuk ki: Amennyiben P (N = k) = p k akkor L Loss (s). = E(e s Loss ) =...... = E(E(e s Loss ) N = k) = k=0 E(e s Loss ) N = k) p k = = E(e s k i=0 k=0 ξ i ) p k = k=0 (E(e s ξ )) k p k = G(L ξ (s)) Ahol G(z). = k=0 zk p k a veszteségek számának generátorfüggvénye. Nézzünk most két konkrét példát a veszteség eloszlás Laplace - transzformáltjának kiszámolására. Tegyük fel, hogy mindkét esetben a veszteségek bekövetkezésének száma Poisson - eloszlás szerint alakul továbbá, hogy a veszteségek nagyságának eloszlása azonos és egymástól független események. 11

2. FEJEZET Folytonos veszteségeloszlás esete 2.2. 1. példa a Laplace - transzformáltra Ha a veszteségek száma Poisson - eloszlást követ, ebben az esetben a veszteségek számának generátorfüggvénye a definíció alapján következőképpen alakul: G(z) = λ k k=0 k! e λ z k = e λ (zλ) k k=0... k! 2.2.1. Megjegyzés. Az exponenciális függvény a 0 pont körüli Taylor-sorba fejtése e x = x n n=0 ahol x R n! Ez alapján a generátorfüggvény a követező egyszerűbb alakra hozható... = e λ e zλ = e λ(z 1) Amennyiben a veszteségek nagysága exponenciális eloszlást követ µ paraméterrel, ekkor a Laplace - transzformált definíciója (2.1.1) szerint: L ξ (s) = µe µt e st dt = µ [ e (µ+s)t dt = µ 0 0 Így az L Loss (s) = G(L ξ (s)) összefüggésünk alapján L Loss (s) = e λ( µ 1) µ+s = e λs µ+s e (µ+s)t µ+s ] 0 = µ µ+s 2.3. 2. példa a Laplace - transzformáltra Ebben a példában tegyük fel az előzőhöz képest, hogy a feltételes eloszlásunk lesz Poisson. Azaz P (N = n λ) = λn n! e λ Továbbá tegyük fel, hogy a λ eloszlása (α, β) paraméterű gamma eloszlású lesz. Ez esetben N eloszlása a következőképpen alakul P (N = n) = E(P (N = n) λ)) = 1 n! (E(λn e λ )) A gamma eloszlás sűrűségfüggvényének képlete alapján E(λ γ e λz ) = λ γ λz βλ e 0 Γ(α) λα 1 e βλ dλ = β α 0 Γ(α) λα+γ 1 e (β z)λ dλ =... Egy kicsit átalakítva az egyenletet 12

2. FEJEZET Folytonos veszteségeloszlás esete... = βα Γ(α+γ) (β z) α+γ Γ(α)(β z) α+γ 0 Γ(α+γ) λα+γ 1 e (β z)λ dλ =... Így az integrálban (α + γ, β z) paraméterű gamma eloszlás sűrűségfüggvénye szerepel, aminek az integrálja [0, ) a sűrűségfüggvény definíciója alapján 1 lesz. Így... = βα Γ(α+γ) Γ(α)(β z) α+γ 1 = Γ(α+γ) β γ Γ(α)(1 z β )α+γ ahol a β > z és az α + γ > 0. Esetünkben ugye z = 1 és λ = n, vagyik ezeket visszahelyettesítve kapjuk, hogy P (N = n) = Γ(α+n) n!γ(α) 1 1 β n (1+ 1 β )α+n =... 2.3.1. Megjegyzés (Gamma-függvény). A Gamma-függvény a következő képlettel definiált komplex változós függvény E függvény parciális integrálásából adódik Γ(s) = 0 t s 1 e t dt Γ(s) = (s 1)Γ(s 1) amennyiben s valós része 1-nél nagyobb. Ezen tulajdonság miatt n pozitív egész esetén Γ(n) = (n 1)! Ezt felhasználva N eloszlása a következőképpen alakul... = n 1 k=0 (α+k)γ(α) 1 1 n!γ(α) β n = ( ) α+n 1 (1+ 1 β )α+n n p α q n Ez utóbbi egyenlőség szintén csak a Gamma-eloszlás tulajdonságán alapszik, ahol p = β és a q = 1. Ezt az eloszlást nevezik negatív binomiális eloszlásnak. 1+β 1+β A negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye tehát a következőképpen alakul G(z) = E(z N ) = E(E(z N λ)) =... Tehát használva a Poisson - eloszlás generátorfüggvényét és a gamma eloszlás sűrűségfüggvényét... = E(G λ (z)) = e λ(z 1) β α 0 Γ(α) λα 1 e βλ dλ = = β α 1 Γ(α) λα 1 e λ(β+1 z) dλ. 0 13

2. FEJEZET Folytonos veszteségeloszlás esete Ezt bővítve (β + 1 z) α -nal, az integrál nem lesz más mint a Γ(α, β + 1 z) paraméterű gamma eloszlás, ami nyilván 1-et ad eredményül. Így kapjuk, hogy a negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye ( G(z) = β β+1 z Ha továbbra is feltesszük, hogy az egyes veszteségek nagysága µ paraméterű exponenciális eloszlást követ, melynek Laplace - transzformáltját már a (2.2) kiszámoltuk, megkapjuk az összetett veszteség Laplace - traszformáltját. Mégpedig ( ) α L Loss (s) = ) α β β+1 µ µ+s 2.4. VaR számítása a Laplace - transzformáltból Az előző példákban (2.2, 2.3) kiszámoltuk két összetett veszteségeloszlás Laplace - transzformáltját, melyekben a veszteségek nagysága mindkét esetben exponenciális eloszlást követett µ paraméterrel. A veszteségek darabszáma pedig rendre Poisson - eloszlásból λ paraméterrel, és negatív binomiálos eloszlásból, (α, β) paraméterrel, származott. Ezek a függvények az eredeti veszteségeloszlás sűrűségfüggvényeinek transzformált függvényei. Tehát ezen függvények inverzére van szükségünk ahhoz, hogy visszakapjuk a veszteség eloszlásaink sűrűségfüggvényét. Az inverz függvények természetesen csak a 0-ponttól értelmesek, mivel negatív veszteségeket nem értelmezünk. A sűrűségfüggvény 0-pontban számolt értéke lesz annak a valószínűsége amikor a veszteségünk éppen 0. Mivel sűrűségfüggvényről van szó a sűrűségfüggvényre vonatkozó tulajdonságoknak itt is fenn kell állnia. Vagyis az inverz függvényünk integráljának a [0, ) intervallumon 1-et kell adnia. Miután megvan az inverze a Laplace - transzformáltnak már könnyű dolgunk van. Csak ki kell integrálnunk az inverz függvényünket 0-tól egészen addig, míg az integrál értéke el nem éri a kívánt szignifikancia szintet, vagyis a görbe alatti terület el nem éri az α értéket. A példa kedvéért legyen x az α biztonsági szinthez tartozó VaR és a hozzá tartozó veszteségeloszlás Laplace - traszformáltja L(s). Ekkor f(t) = L 1 (s) x 0 f(t)dt = α A gond csak a Laplace - transzformált inverezének meghatározásával van. Az egyszerűbb racionális törtfüggvények Laplace - transzformáltja gyakran meghatározható ránézésre vagy táblázat alapján. Azonban ha függvényünk összetettebb akkor a fügvény elemi 14

2. FEJEZET Folytonos veszteségeloszlás esete törtekre való bontása szükséges. Ez esetben a Laplace - transzformáció lineáris tulajdonságaival: L 1 [cf ] = cl 1 [F ] L 1 [F 1 + F 2 ] = L 1 [F 1 ] + L 1 [F 2 ] és a felbontással együtt már megadható az inverz függvény. De ez a megoldás a mi esetünkben fárasztó számításokat igényelne, ha egyáltalán lehetséges a felbontás. Ezért a következő fejezetben bemutatok két numerikus módszert a Laplace - transzformált inverzének meghatározására. 15

3. fejezet Numerikus módszerek a Laplace - transzformált inverzének kiszámítására 3.1. Euler algoritmus Maga az algoritmus az Euler összegzési formulát használja, innét is kapta a nevét.az algoritmus alapja a Bromwich féle körvonal integrál. 3.1.1. Definíció (Bromwich féle körvonal integrál). Legyen f(t) folytonosan differenciálható függvény. f(t) Laplace - transzformáltját jelöleje F (s). Illetve legyen f(t) < Ke γt ahol a K és a γ pozitív konstansok. Ekkor vagy f(t) = 1 lim c+it 2πi T F c it (s)est ds, c > γ f(t) = 1 c+i 2πi c i est F (s)ds Amennyiben f(t) függvényünk valós akkor egy speciális körvonal választásával illetve s = c + iu helyettesítésével az előző összefüggést a következő alakban írhatjuk fel. f(t) = 1 2πi c+i c i = ect 2π e st F (s)ds = 1 2π e iut F (c + iu)du =... e (c+iu)t F (c + iu)du = Felhasználva az exponenciális függvény trigonometrikus felírását e ix = cos(x) + i sin(x) 16

3. FEJEZET Numerikus módszerek kapjuk, hogy = ect 2π... = ect 2π = ect 2π (cos ut + i sin ut)f (c + iu)du = [F (c + iu) cos ut + F (c + iu) sin ut]du = [Re{F (c + iu)} cos ut + Im{F (c + iu)} cos ut+ +Re{F (c + iu)}i sin ut + Im{F (c + iu)}i sin ut]du =... Ahol a Res és Ims jelölik s valós illetve imaginárius részét. Kihasználva a következő azonosságokat sin ut = sin ut cosut = cos ut Re(F (c + iu)) = Re(F (c iu)) Im(F (c + iu)) = Im(F (c iu)) egyenletünk a következő alakra egyszerűsödik... = ect π [Re{F (c + iu)} cos ut Im{F (c + iu)} sin ut]du 0 Továbbá kihasználva azt a tényt, hogy a egy teljes körvonalon vett integrál értéke 0, vagyis a valós illetve a képzetes résznek egyenlőknek kell lenniük, kapjuk az összefüggést f(t)- re f(t) = 2ect π vagy ennek komplementer alakja f(t) = 2ect π 0 Re{F (c + iu)} cos utdu 0 Im{F (c + iu)} sin utdu Az előző összefüggést numerikus integrálással közelítjük. A trapéz szabályt alkalmazva h lépésenként kapjuk, hogy alakul f(t) f h (t) = hect π Re(F (c)) + 2hect π k=1 Re(F (c + ikh)) cos(kht) Alkalmazzuk a h = π és az c = A helyettesítést, így egyenletünk a következőképpen 2t 2t f h (t) = ea/2 Re(F ( A ea/2 )) + 2t 2t t k=1 ( 1)k Re(F ( A+2kπi )) 2t 17

3. FEJEZET Numerikus módszerek A fennmaradó probléma a végtelen összeg numerikus kiszámítása az egyenletben. Erre használhtajuk az Euler összegzési formulát. Vagyis ahol E(m, n, t) = m k=0 ( m k ) 2 m s n+k (t) ( ( )) s n (t) = ea/2 A n 2t Re F + ea/2 ( 1) k a k (t) 2t t k=1 ( ( )) A + 2kπi a k (t) = Re F 2t Az Euler összegzés binomiális átlagolást használ, tipikusan m = 11 és n = 15 értékekre szokás futtatni az algoritmust. Ezen értékek növelésével a számítások pontosságát növelhetjük, azaz a Laplace - transzformált inverzének pontosságát egy adott helyen. Most használjuk a Poisson - összegzési formulát az s n (t) diszkrét hibájának megállapítására. Az alapötlet, hogy helyettesítjük a g(t) = e bt f(t) függvényt egy periodikus függvénnyel, ahol b > 0 g p (t) = k g ( ) t + 2πk h és amelynek periódusa 2π h. A g p komplex Fourier sora ahol c k a g p k-dik Fourier együtthatója. Ami q p (t) = k= c ke ikht Tehát c k = h π/2 g p (t)e ikht dt = h 2π π/2 2π = h 2π π/2 g(t)e ikht dt = h 2π π/2 k= = h F (b + ikh). 2π 0 ( g t + 2πk ) e ikht dt = h e bt f(t)e ikht dt = g p (t) = h 2π k= F (b + ikh)eikht. Helyettesítsük be a h = π t és a b = A 2t értékeket. Így kapjuk, hogy f(t) = ea/2 2t k= ( 1)k Re(F ( A+2πki )) 2t k=1 e ka f((2k + 1)t). 18

3. FEJEZET Numerikus módszerek Ezen kifejezés első tagja magába foglalja a trapéz szabályt így a második kifejezés adja a diszkrét hibánkat. Vagyis e d = k=1 e ka f((2k + 1)t) Ha feltételezzük, hogy f(t) 1 minden t-re, akkor a diszkrét hibánkat egy mértani sorozat összege adja, vagyis e d e A 1 e A Ha az e A értéke elég kicsi ebben az esetben a törtünk értéke megközelítőleg e A lesz egyenlő. Amennyiben egy 10 γ hibával szeretnék dolgozni, az A értékét A = γ ln 10 kell állítani, ahol γ a kívánt pontosság. Álltalában a 10 8 pontossággal szokás számolni ami A = 8 ln 10. = 18,4. 3.2. Post-Widder algoritmus A Post-Widder elméleten alapszik, ami a következőképpen néz ki. 3.2.1. Tétel. Ha az f függvény Laplace - transzformáltja létezik, melyet jelöljön F, akkor f(t) = lim n ( 1) n n! ( n t ) ( n+1 ) F (n) n t Ahol F (n) jelöli a Laplace - transzformált n.-ik deriváltját. Jagerman eredményei alapján f n (t) numerikusan meghatározott értékét a következő generátorfüggvényen keresztül kapjuk G(z) = n=0 f n(t)z n = n+1 t F ( n+1 t (1 z) ). Ezután alkalmazva a Cauchy - féle körvonal integrált f n (t) = 1 G(z) 2πi C r dz z n+1 összefüggés kaptjuk f n (t)-re, ahol C r egy r sugarú kör. Alkalmazva a z = re iu behelyettesítést kapjuk, hogy f n (t) = 1 2πr n 2π 0 G(re iu )e inu du 19

3. FEJEZET Numerikus módszerek majd G(z)-t értékét behelyettesíve f n (t) = n+1 t 1 2π 2πr n F ( n+1(1 re iu ) ) e inu du 0 t összegfüggéshez jutunk. Ezek után alkalmazva a Poisson - összegzési formulát illetve a trapéz szabály szerinti integrál közelítésében π -es lépésközökkel számolva n ahol f n (t) = n + 1 2tnr n 2n k=1 ( 1) k Re { = n + 1 2tnr n F ( n + 1 +( 1) n F t n 1 ( n + 1 +2 ( 1) k ReF t k=1 e d = j=1 f n+jm { ( )} n + 1 F (1 re πik n ) e d = t ( ) n + 1 (1 r) + t ) (1 r) + ) } (1 re πik n ) e d ( ) t + tj2m n+1 r 2jn az Euler - algoritmus hibájának meghatározásával hasonló módon. Ha feltesszük, hogy minden n-re az f n (t) 1 így e d = r2n 1 r 2n r 2n. Ahhoz, hogy 10 γ pontosságot érjünk el, körülbelül r = 10 γ 2 -et kell megadnunk. ahol A számítások pontosabbá tételéhez a következő összefüggést javasolták f j m (t) = m k=1 w(k, m)f j k(t) w(k, m) = ( 1) m k km k!(m k)! Az algoritmus futtatása j = 10 illetve m = 6 illetve a helyiértékeken vett pontosságra E = 8 ami 10 4 -es pontosságot eredményez paraméterek mellett javasolt. 20

4. fejezet Diszkrét veszteségeloszlás esete Ezidáig olyan esetekkel foglalkoztunk ahol egy adott időintervallum alatt bekövetkető károk darabszáma egy diszkrét eloszlás szerint alakult és az egyedi veszteségek nagysága valamilyen folytonos eloszlásból származott. Ebben a fejezetben annyi lesz a változás, hogy a veszteségek nagysága diszkrét értékeket vehet csak fel. A célunk továbbra is azonos, ez esetben is a várható legnagyobb veszteséget szeretnénk meghatározni egy adott biztonsági szint mellett. Egy adott időszak alatt bekövetkező összkárunkat a következőképpen írhatjuk fel vagyis S = X 1 + X 2 +... + X n S = N n=1 X n Ahol X n az egyedi veszteségeink, melyek egymástól függetlenek és azonos eloszlásúak, illetve függetlenek a N N 0 káresetek számától is. A következőkben bemutatok egy rekurzív és viszonlyag gyors módszert ezen véletlen összeg vagyis az összkár eloszlásának meghatározására, melyből aztán a VaR értékére tudunk eredményt adni. Ez a rekurzió Panjer nevéhez fűződik, de előtte még szükségünk lesz pár fogalom tisztázására. 4.1. (a,b,k) eloszlások 4.1.1. Definíció ((a,b,k) eloszlás). Egy X nemnegatív egész értékű valószínűségi változó az (a, b, k) eloszlás osztályba tartozik, ha 21

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete ahol a, b R és k N 0, ha P (X = n) = ( a + b n) P (X = n 1) minden n N ahol n k + 1 P (X = 0) = P (X = 1) =... = P (X = k 1) = 0 Tapasztalatok alapján S azaz az összkár eloszlása az (a, b,0) eloszlású veszteségszám esetén jól számolható. 4.1.2. Állítás. Az X nemnegatív egész értékű valószínűségi változó (a, b,0) eloszlás osztályba tartozik pontosan akkor, ha Poisson, binomiális vagy negatív binomiálos eloszlású. Bizonyítás. Nézzük először ha X Poisson - eloszlású λ paraméterrel. Továbbá jelölje p n = P (X = n). vagyis p n = λn n! e λ, n = 0,1... pn p n 1 = λ n (a + b n ) = λ n n! e λ = λ λ n 1 (n 1)! e λ n, n = 1,2,... kell lennie, és ebből adódik, hogy a = 0 és b = λ. Azaz a Poisson - eloszlás egy (0, λ,0) osztályú eloszlás. Bizonyítás. Nézzük most azt az esetet, ha X eloszlása Binomiális m, p paraméterekkel. Vagyis X B(m, p). Ekkor p n p n 1 = p n = P (X = n) = ( m ( n m n 1 ( ) m p n (1 p) m n, n = 0,1,..., m n ) p n (1 p) m n m! ) p n 1 (1 p) = (m n)!n! pn (1 p) m n m n+1 = m n + 1 n Vagyis a = p (m+1)p és b = 1 p (1 p) p 1 p = p 1 p m! (m (n 1))!(n 1)! pn 1 (1 p) = m (n 1) (m + 1)p +, n = 1,2,... m. (1 p)n Bizonyítás. És végül ha X eloszlása negatív binomiális (r, q) paraméterekkel Γ(r + n) p n = P (X = n) = (1 q) r q n, n = 0,1,... Γ(r)n! p n Γ(r + n) q = p n 1 Γ(r + n 1) n = q + r 1 n q Így kapjuk, hogy az a = q és a b = (r 1)q 22

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete Ezek azonban csak az egyik oldali bizonyítások voltak. A teljesség kedvéért nézzük meg a másik irányt is, azaz a és b lehetséges értékeit, és nézzük meg, hogy ebben az esetben milyen eloszlást fogunk kapni. Bizonyítás. 1. a = 0. Ebben az esetben p n = b n p n 1 = bn n! p 0 amiből látható, hogy X nem más mint b paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó, ahol b 0. 2. a > 0 és b < a. Ekkor a + b < 0, ami a p 1 < 0 eredményezné, ami pedig nem lehetséges 3. a > 0 és b = a. Ebben az esetben p 1 = (a + b)p 0 = 0, ami minden n-re a p n = 0-át eredményezné. Vagyis az X eloszlása azonosan 0 eloszlás, ami B(0,p). 4. 0 < a < 1 és b > a. Ez esetben X NB(1 + b a, a) Bizonyítás. Vegyünk egy s n NB(1+ b, a) eloszlásnak megfelelő számsorozatot, a és teljes indukciót használva lássuk be, hogy p n p 0 = sn s 0. a) A teljes indukció első lépése, hogy megnézzük n = 0, ami nyilván igaz, mert mindkét oldalon 1-et kapunk. b) feltesszük, hogy (n 1)-re igaz c) így n-re p n p 0 = ( a + b n Ennek meg kell egyeznie a ) pn 1 p 0 = ( a + b n ) Γ(1+ b a +n 1) Γ(1+ b a )(n 1)!an 1 Γ(1+ a b +n) n! a n hányadossal. Ez a már korábban is használt gamma-függvényre vonatkozó összefüggés alpján látható. Mivel mind a két számsorozat összege 1-et ad, ezért a tagoknak is egyenlőknek kell lennie. 23

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete 5. a 1 és b > a, ez esetben a + b > a(1 1 ) n 1. Bontsuk a p n n n n-t harmonikus szorzatára p n = pn p n 1 pn 1 p n 2... p2 p 1 p 1 = n 1 n 2... 1 p n n 1 2 1 = p 1 n Tehát n=1 p n p 1 1 n=1. Az 1 végtelen sorozat összege divergens, vagyis n n az egyenlőtlenség csak p 1 = 0 esetben állhat fönn, ami pedig az (a, b,0) eloszlás családon belül nem lehetséges. 6. a < 0 b < a. Ez esetben az a + b < 0, mely már a 2. pontban látottak szerint megint csak nem lehetséges. 7. a < 0 és b = a. Ekkor a + b = 0, ami a p 1 = 0 eredményezi, és a rekurzió révén minden n-re p n = 0 kapunk, ami egy azonosan 0 eloszlású valószínűségi változót eredményez. 8. a < 0 és b a. Ez esetben létezik olyan K (K < n) amitől kezdve (a + b n ) < 0. Tehát X eloszlása ez esetben B(K 1, a a 1 ). Említésképpen például a logaritmikus eloszlás az (a, b,1) eloszlás családba tartozik. 4.2. Panjer rekurzió 4.2.1. Tétel (Panjer). Legyen N (a, b,0) eloszlású és az X 1 pedig egy pozitív egész értékű valószínűségi változó. Ekkor a már korábban említett S = N n=1 X n formulával meghatározott összkár eloszlására teljesül a következő rekurzív azonosság P (S = n) = P (S = 0) = P (N = 0) n ( a + b j ) P (X 1 = j)p (S = n j) n j=1 Bizonyítás. Tételünk első egyenlete, azaz P (S = 0) = P (N = 0) nyilván igaznak kell hogy legyen, mivel az összes veszteségünk pontosan akkor egyenlő nullával, ha nincs 24

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete káresetünk, azaz veszteségeink száma nulla. A következő lépésben írjuk fel a generátorfüggvényeket G X1 (z) = P (X 1 = n) z n G S (z) = n=1 P (S = n) z n = n=0 n=0 P (N = n) [G X1 z] n Mivel N az (a, b,0) eloszlás családból származik, így n p n = a n p n 1 + b p n 1 =... Hozzáadva és kivonva a p n 1... = a (n 1) p n 1 + (a + b) p n 1 kapjuk, ahol a p n = P (N = n) jelölést használtuk. Ez alapján [p n (G X1 (z)) n ] = n p n [G X1 (z)] n 1 G X 1 (z) = = a (n 1) p n 1 [G X1 (z)] n 2 G X 1 (z) G X1 (z) + (a + b) p n 1 [G X1 (z)] n 1 G X 1 (z). Ha ezt összegezzük 1-től végtelenig [ ] p n (G X1 (z)) n p 0 = n=1 n=0 [ = a G X1 (z) p n 1 (GX1 ) n 1] + (a + b) G X1 (z) p n 1 [G X1 (z)] n 1 ekkor G X1 (z) és G S (z) alapján n=1 [G S (z)] = a [G S (z)] G X1 (z) + (a + b) G S (z) G X 1 (z). Ebből a következő összefüggéshez juthatunk, melyben jelölje p S (n) = P (S = n), és analóg módon p X1 (n) = P (X 1 = n)-et: p S (n)nz n 1 = n=1 [ ] [ ] [ ] [ ] = a p S (k)kz k 1 p X1 (l)z l + (a + b) p S (m)z m p X1 (i)iz i 1 k=1 l=1 m=0 Felírva mindkét oldal z n 1 -hez tartozó együtthatóit, vagyis n p S (n) = a k,l 1 p S (k) k p X1 (l) + (a + b) m 0,i 1 p S (m) p X1 (i) i k+l=n m+i=n ami végeredményül nem más mint a kívánt rekurziónk. i=1 25

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete 4.3. A példák előkészítése A következő példákban bemutatom, hogy egy adott eloszlás esetén, hogyan is alakul a rekurziónk. A 4.2 tétel alapján ez az eloszlás természeretsen az (a, b,0) eloszlás családból fog származni. A tétel követelményei miatt az egyedi veszteségek nagysága is egy diszkrét egész értékű valószínűségi változó lesz, melyek bekövetkeztének valószínűségét jelölje (r j ), j = 0,1,..., M. Ez esetben a generátorfüggvény a következőképpen alakul: G(z) = P (S = n)z n = E(z S ) = n=0 = E(E(z S ) N = k) = E(E(z N k=1 ξ k N = k) = k E(z k i=1 ξ i ) p k = = k (E(z ξ )) k p k = F (P (z)) E levezetésben felhasználtuk a generátorfüggvény tulajdonságát, melyet a 2.1.5 tételben definiáltunk, továbbá a ξ i -k a már korábban használt jelöléssel az egyes időpontokban bekövetkező veszteségek nagysága. G(z) = F(P(z)) ahol P (z) = M j=0 zj r j a teljes veszteség generátorfüggvénye, az F pedig frekvenciájának generátorfüggvénye. Szükségünk lesz még a Leibnitz - formulára: 4.3.1. Tétel. [Leibnitz - formula] (f g) (n) = n k=0 f (n) g (n k) ahol f (n) az f függvény n.-dik deriváltját jelöli. Bizonyítás. A tételünket teljes indukcióaval bizonyíthatjuk. 1. n = 0 esetén a tételünk ránézésre látható, hogy teljesül 2. n = 1 esetén visszakapjuk a szorzat deriválási szabályt, vagyis tételünk itt is igaz. (f g) (1) = (f g) = f g + f g 26

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete 3. Az indukció alapján, tegyük fel, hogy n-re teljesül a feltételünk, így vizsgáljuk meg n + 1-re n ( ) n n (f g) n+1 = (f (k) g (n k) ) = k k=0 k=0 ( ) n n (( n = f (0) g (n+1) + f (k) g (n+1 k) 0 k k=1 ( n k ) + Kihasználva, hogy az ( ) ( n 0 = n+1 ) ( 0 illetve n ( n) = n+1 ( n ( k) + n ) k+1 = n! + n! = n!(n k+1) (n k)!k! (n (k+1))!(k 1)! ( ) n + 1 n ( n + 1... = f (0) g (n+1) + 0 k k=1 n+1 ( n + 1 = k k=0 ) (f (k+1) g (n k) + f (k) g (n k+1) ) = ( )) n + k 1 n+1), továbbá, hogy (n k+1)!k! + ) f (k) g (n+1 k) + ) f (k) g (n+1 k) ( ) n f (n+1) g (0) =... n n!k = ( ) n+1 (n k+1)!k! k ( ) n + 1 f (n+1) g (0) = n + 1 4.4. 1. példa Tegyük fel, hogy a veszteségek bekövetkezésének száma Poisson - eloszlást követ, ez esetben F(z) a már korábban kiszámolt módon alakul Legyen a µ j = λr j jelölés mellett F (z) = e λ(z 1). P (z) = M j=0 r jz j = M µ j j=0 λ zj amit átszorozva alkalmazzuk a következő jelölést P (z) = λp (z) = M j=0 µ jz j Alkalmazzuk az A n = P (S = n) jelölést, ekkor a a generátorfüggvény tulajdonsága alapján (2.1.4) A n = G(n) (0) = 1 ( ) d n 1 d n! n! dz n 1 dz G(0) = 1 n! = 1 d (G(z) n 1 ddz ) n! dz λp (z) = 1 d n 1 n 1 n! Felhasználva a Leibnitz - formulát (4.3.1) dz n 1 d n 1 dz n 1 (λg(z) ddz ) P (z) = ) =... ( G(z) d dz P (z) 27

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete... = n 1 k=1 1 n! ( n 1 ) k G n 1 k (0) P k+1 (0) =... Bővítve a generátorfüggvények kitevőjével, (n k 1) és (k + 1), így n 1 k=1 1 n! ( n 1 ) An k 1 (n k 1)! µ k k+1 (k + 1)!. Egyszerűsítsük az egyenletben szereplő együtthatókat ( ) 1 n 1 (n k 1)! (k + 1)! = 1 (n 1)! (n k 1)! (k + 1)! = n! k n! (n 1 k)! k! = k + 1 n tehát végeredményben kapjuk, hogy A n = n 1 k+1 k=0 A n n k 1µ k+1 Az összefüggés amelyet kaptunk teljesen tükrözi a 4.2 tételben definiáltakat. A µ paraméterünk tartalmazza ugye a λ-t, mely a Panjer rekurzióban a b helyettesítésének felel meg, illetve r j -t ami pedig nem más mint P (X 1 = j). Mint minden rekurziónak, az első elem megadása elengedhetetlen. Ez esetben ismét felhasználva a generátorfüggvény tulajdonságát A 0 = P (S = 0) = G(0) (0) 0! = e λ 4.5. 2. példa Nézzük most azt az esetet, amikor a veszteségeink frekvenciájának eloszlása továbbra is Poisson - eloszlású, de a paramétere nem konstans hanem egy gamma eloszlású valószínűségi változó lesz. Vagyis a veszteségek eloszlása negatív binomiális. Ez esetben bevált módszer a következő: Ha a generátor függvény általánosságban G(z) = n=0 C nz n alakú, akkor tegyük fel, hogy G(z) kielégíti az alábbi differenciál egyenletet d 1 dg(z) (ln G(z)) = dz G(z) dz = A(z) B(z) 28

4. FEJEZET Diszkrét veszteségeloszlás esete ahol A és B adott polinomok A(z) = a 0 + a 1 z 1 +... + a r z r = B(z) = b 0 + b 1 z 1 +... + b s z s = r a k z k k=0 s b k z k Vagyis tulajdonképpen elvárjuk, hogy a G(z) logaritmusának deriváltja egy racionális törtfüggvény legyen. Az előző egyenletünkben keresztszorzást alkalmazva a következő összefüggésünkhöz juthatunk el vagyis ( s Ezt átrendezve B(z) d G(z) = A(z)G(z) dz k=0 b kz k )( n=0 (n + 1)C n+1z n ) = ( r k=0 k=0 a kz k )( n=0 C nz n ). min(s,n) n=0 j=0 b j (n + 1 j)c n+1 j z n = min(r,n) n=0 i=0 a i C n i amiből megkapjuk a rekurziónkat a C n sorozatra ( min(r,n) C n+1 = 1 b 0 (n+1) i=0 a i C n i min(s,n) j=1 b j (n + 1 j)c n+1 j z ). n Tehát, akkor ha a bekövetkező veszteségeink száma negatív binomiálos eloszlású ekkor = ( ) α d dz ln β = β + 1 P (z) d dz ( ( ) α β β+1 P (z) β β+1 P (z) ) α = d (β + 1 P (z)) α dz (β + 1 P (z)) = α(β + 1 P (z)) α 1 ( P (z)) = α (β + 1 P (z)) α = αp (z) β + 1 P (z) = A(z) B(z). Természetesen itt is szükségünk lesz a rekurzió elemére, amely most sem lesz más mint a generátorfüggvény értéke a 0 pontban vagyis C 0 = G(0) (z) 0! = ( β β+1 )α 29

5. fejezet Monte - Carlo szimuláció Monte - Carlo módszernek a matematikában azt az eljárást nevezzük melyek során determinisztikus problémák megoldásakor az eredeti problémát egy analóg valószínűségi feladattal helyettesítünk, és azt sztochasztikus módszerekkel, statisztikai mintavételezéssel oldjuk meg. Maga a módszer a XVII. században élt Buffon nevéhez fűződik, aki a π értékét közelítette padlóra dobott tűk segítségével. A második világháború alatt Neumann, Metropolis és Ulam tanulmányozta a szimulációval a neutronok diffúzióját a maghasadásra képes anyagban. A Monte - Carlo elnevezést is ők találták ki a módszerre. 5.1. Kockáztatott érték Monte - Carlo módszerrel Jelen dolgozatban a Monte - Carlo szimulációt a kockáztatott érték meghatározására fogom használni, ellenőrizve ezzel a korábbi fejezetek VaR számítási módszereinek helyességét. Mivel elég nagy mintavételezés esetén, a Monte - Carlo szimuláció elméletileg pontos eredményt ad ezért valószínűleg eltérések fognak mutatkozni az inverz Laplace - transzponált, illetve a Panjer rekurzió eredményeivel szemben. Ez a hiba, avagy eltérés az inverz Laplace - transzformált módszer esetén az inverz függvény numerikus meghatározásából, a Panjer rekurzió esetében pedig a diszkrét eloszlások használatból eredhet. A kockáztatott érték meghatározására a következő megfontolást használtam: Általában a biztonsági szint, amely mellett a kockáztatott érték meghatározása történik igen magas. A továbbiakban α = 0.999 azaz 99,9% szignifikanicia szintet használok. Erre az értékre természeresen banki illetve vállalati szabályozások vannak. Következő lépésben az éppen aktuális veszteség gyakoriság eloszlásból legeneráltam M darab véletlen értéket, melyek megadnak egy lehetséges veszteség darabszámot. Ezekből az értékekből külön - 30

5. FEJEZET Monte - Carlo szimuláció külön számoltam összetett veszteséget. Így végeredményben M "különböző" eredményt kaptam az összetett veszteségre. Ezekből a VaR értéke a definíció szerint nem lesz más, mint az eredmények növekvő sorbarendezettjének α-kvantilise. Így kaptam egy lehetséges értéket a kockáztatott értékre. Az előbb leírt algoritmust N-szer megismétlem. Ezáltal pontosan N lehetséges értékem lesz a VaR értékére. A tényleges eredményt majd ezek átlaga fogja adni. Mivel a programok elkészítésében Matlab-ot használtam, így az egyes eloszlásokból való értékek sorsolása a beépített véletlen függvényeknek hála, nem jelentett nagyobb problémát. Poisson, gamma és exponenciális eloszlásokból sorsoltam értékeket, melyeknek beépített függvényei a Matlab-ban a szükséges paraméterekkel rendre poissrnd(λ), gamrnd(α, β), exprnd(µ). Az M értékét mindegyik szimulációban 1000-re állítottam, mégpedig a szignifikancia szint nagyságának megfontolásából. Így a kockáztatott érték valahová félúton, a sorbarendezett összetett veszteségek utolsó és utolsó előtti elemének értéke közé esik. A tényleges sorbarendezésre természetesen nem volt szükség mivel a Matlab quantile(mm,α) parancsa már csak az adott kvantilis értékét adja, ahol MM egy tömb változó. 5.2. A Monte - Carlo eljárás hibája Nézzük most meg, hogy milyen hibával dolgoztunk a szimuláció kapcsán, egy adott realizáció szám mellett. Továbbra is jelölje N az előállított realizációk számát, és v 0,j a j-dik realizációt, azaz a j VaR értékét. Ez esetben v 0 = ami a szimuláció során becsült VaR értéke. j=1 Nv 0,j N A g 0,j és a g 0 valószínűségi változók szórása nem lesz más mint S = Így tehát a becslésünk sztenderd hibája M j=1 (v 0,j v 0 ) 2 SE = M 1 S M 31

6. fejezet Módszerek tesztelése A következőkben az egyes eloszlások paramétereit magam választom meg, a már említett adatsor hiány probléma miatt. 6.1. Folytonos veszteség eloszlásra Először is vizsgáljuk meg, hogy a 3. fejezetben bemutatott numerikus módszerek milyen eredményt adnak a 2.2-es példában definiált Laplace - transzformáltra. Vagyis ha a veszteségek eloszlása Poisson, és a veszteségek nagysága exponenciális eloszlást követ. Ez esetben a Laplace - transzformáltra a következő formulát kaptuk L Loss (s) = e λs µ+s. Továbbá tegyük fel, hogy a függvény paraméteri λ = 1 és µ = 1. Ebben az esetben mindkét numerikus algoritmus a 6.1-es ábrán látható veszteség sűrűségfüggvényt adja eredményül. Természetesen mivel két különböző numerikus algoritmusról van szó ezért ugyanazon a helyiértéken számolt inverz Laplace - transzformált nem valószínű, hogy megegyezik. Az eltérés a két módszer között az algoritmusok 3. fejezetben leírt paraméterei mellett helyiértékenként 10 6 nagyságrendűek. Ami az ábrából nem feltétlenül szembetűnő, de az algoritmusokból annál inkább, hogy az inverz függvényünk egy ugrással indul. Ugyanis a 0-pontban nincs értelmezve a függvény, mivel ez mind az Euler mind a Post - Widder algoritmusban egy 0-val való osztást eredményezne. Ezért a 0 veszteség valószínűségét hozzá kell adnunk a kapott sűrűségfüggvényünkhöz. 32

6. FEJEZET Módszerek tesztelése 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.1. ábra. Vagyis G (0) 0! (0) = e λ(0 1) = e λ ami esetünkben e 1. Sűrűségfüggvényünk ezzel együtt integrálva a (0, ) intervallumon 1-et adna eredményül. A kockáztatott érték, vagyis a VaR értékére a következő eredményeket kaptam. Emellett ezek ellenőrzésére a Monte - Carlo szimulációból származó eredményeket is feltüntetem. 6.1.1. Megjegyzés. A sűrűségfüggvény kiintegrálására nem egy matlab beépített függvényt használtam. Tudtommal a beépített integráló függvények is trapéz szabályt alkalmaznak az integrál értékének közelítéséhez, de azt nem találtam meg sehol, hogy milyen hibával dolgoznak. Ezért írtam egy saját numerikus integráló függvényt, ugyanúgy a trapéz szabályt alkalmazva, hogy becsülni tudjam a integrál hibáját. Erre azért volt szükség, mert az Euler, illetve a Post-Widder algoritmusok is egy adott hibával dolgoznak, és így meg tudom határozni a felhalmozott hiba értékét. A Monte - Carlo szimulációval az 5.1 alapján a következő eredményeket kaptam a VaR értékére: Szimuláció szám VaR SE t (sec) 1k 9.3296 0.0383 23.6 10k 9.3553 0.0123 235.1 100k 9.3644 0.0039 2874.5 33

6. FEJEZET Módszerek tesztelése Vagyis ahhoz, hogy a szimulációból származó sztenderd hibánk meglehetősen kicsi legyen körülbelül 50 percet kell várnunk. A VaR értékére pedig körülbelül 9.36-os értéket kaptunk. Nézzük most az Euler algoritmust. A [2] cikk alapján a javasolt értéke az algoritmusban szereplő A paraméternek 18.4 ami egy 10 8 -os hibát eredményez a függvény minden egyes helyiértékének kiszámolásánál. A saját integrál függvényem, melyet a 6.1.1 megjegyzésben említettem, dx = 0.001 lépésközönként számolja a görbe alatti területet a trapéz szabály alapján. Ez a Monte - Carlo szimulációból kapott Var alpján durván 10 000 lépéssel határozná meg a Laplace - transzformáltból számolt VaR értékét. Vagyis a görbe alatti területet egy 10 4 -es hibával számolná. Ez esetünben nem lenne annyira szerencsés, mivel α = 0.999, és a 10 4 hiba ronthatná eredményüket. Ezért az algoritmust lefuttattam dupla pontossággal is, ami nagyjából A = 37 értékét jelenti. A következő eredményeket kaptam: A VaR t (sec) 18.4 9.27 0.80 37.0 9.38 0.78 Tehát a pontatlanabb eredményt a sűrűségfüggvény egyes helyiértékeken vett hibája okozhatta. A Post-Widder algoritmusban is változtatásokat eszközöltem a pareméterek beállításában, az előzőekhez hasonló megfontolásból. A kapott eredményeim: E VaR t (sec) 8 9.279 0.53 11 9.31 0.63 ahol az E az inverz függvény helyiértékenként vett pontossága. E = 8 esetben ugyan azt az eredményt kaptuk mint az Euler algoritmus A = 18.4 esetében. Ez nem véletlen, hiszen mind a két algoritmus ezeknél a paramétereknél 10 4 -es hibakorláttal számol. Nézzünk most még egy példát ugyanerre az esetre. Legyen λ = 6 és µ = 3. Ekkor a sűrűségfüggvényhez hozzáadandó P (N = 0), vagyis a 0 veszteség valószínűsége, az előző alapján e 6. A Monte - Carlo szimulációnál vigyázni kell a Matlab beépített exprnd(µ) véletlen szám generáló függvényével, ugyanis a Matlab definíciója szerint a függvény paraméteré- 34

6. FEJEZET Módszerek tesztelése 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.2. ábra. ben az exponenciális eloszlás várható értéke szerepel, nem pedig maga a paraméter. µ = 1 esetén ennek nem volt jelentősége. A sűrűségfüggvényünk ez esetben a 6.2 ábra szerint alakul. A Monte - Carlo szimulációval kapott eredmények: Szimuláció szám VaR SE t (sec) 1k 6.9937 0.019 119.6 10k 6.9737 0.006 1433.8 Az Euler módszerrel kapott eredmények A VaR t (sec) 18.4 6.94 0.407 37.0 6.98 0.562 A Post-Widder módszer eredményei E VaR t (sec) 8 6.94 0.45 11 6.94 0.43 Láthatjuk, hogy míg a Monte - Carlo szimuláció futásideje a paraméterek növelésével egyre csak növekedett, az inverz Laplace - transzformáltból számolt kockáztatott értékek futásideje a jelen paraméterek mellett egy másodpercen belül maradt. 35

6. FEJEZET Módszerek tesztelése 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 6.3. ábra. Nézzünk pédát most arra, ha a Laplace - transzformáltunk a 2.3 szerint alakul, vagyis ha a veszteség eloszlásunk továbbra is Poisson - eloszlású, viszont a paramétere nem konstans, hanem egy gamma eloszlású valószínűségi változó. Vagyis ( L Loss (s) = β β+1 µ µ+s ) α. Ez esetben, hogy sűrűségfüggvényünk továbbra is teljes legyen, hozzá kell adnunk a hiányzó 0 veszteség valószínűségét. Ami itt nem lesz más mint ( β α. β+1) A paramétereink legyenek α = 1, β = 1 és a µ = 1. Vagyis a 0 veszteség valószínűsége nem más mint ( ) 1 1 1+1 = 1. Sűrűségfüggvényünk a 6.3 ábrán látható alakot ölti. 2 A Monte - Carlo szimuláció eredményei Az Euler algoritmussal kapott eredmények Szimuláció szám VaR SE t (sec) 0.1k 12.74 0.1746 12.2 1k 12.65 0.0617 121.6 10k 12.57 0.0190 1503.9 A VaR t (sec) 18.4 12.43 1.1 37.0 12.27 1.1 39.0 12.56 1.1 36

6. FEJEZET Módszerek tesztelése Az, hogy most A = 39 értékre kaptuk a legkisebb eltérést, azt valószínűleg valamilyen numerikus hiba okozhatta, akár az egyes helyiértékeken vett inverz értékek vagy az integrálás folyamán. Tulajdonképen a többi A értékre nézve sem kapunk nagy eltéréseket a Monte - Carlo szimulációtól. A Post -Widder algoritmussal kapott eredmények E VaR t (sec) 8 12.44 0.84 11 12.55 0.83 Végeredményben azt mondhatjuk, hogy az inverz Laplace - transzformált módszer merőben jobb a Monte - Carlo szimulációnál. A futási idők a töredékei a szimulációjéhoz képest, főleg ha nagy pontosságra törekszünk. 6.2. Diszkrét veszteség eloszlásra Ebben az alfejeztben a példa kedvéért számoljunk a következő diszkrét veszteség eloszlással. Legyenek a lehetséges veszteségeink 1, 2, 3 és 4 millió forint, továbbá bekövetkezési valószínűségeik legyenek egyenlőek. Vagyis a veszteségek generátorfüggvényét a következőképpen adhatjuk meg: P (z) = 0.25z + 0.25z 2 + 0.25z 3 + 0.25z 4. Nézzük először a 4.4-es pontban definiált rekurziót, ahol a veszteségeink frekvenciája Poisson - eloszlás szerint alakul λ konstans paraméterrel. Ez esetben a rekurziónkra a következő összefüggést kaptuk: P (S = n) = A n = n 1 k+1 k=0 A n n k 1λ r j. Rekurziónk első eleme, vagyis A 0 = e λ szintén a 4.4. pontban leírtak alapján. Nézzük meg, hogy hogyan alakul a diszkrét eloszlásfüggvényünk most párhuzamosan λ = 1 illetve λ = 3 esetén. Ezt láthatjuk a 6.4 ábrán Magát az eloszlás függvényt már a Panjer rekurzióból kaptam, így megnézve, hogy hol éri el a függvény a kívánt szignifikancia szintet kapjuk a VaR értékét. A következő táblázat foglalja magába az egyes λ-hoz kapott értékeket. 37

6. FEJEZET Módszerek tesztelése 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 6.4. ábra. λ VaR t (sec) 1 15 0.000138 3 26 0.000145 Vagyis λ = 1 esetén n = 14-nél érjük el alulról α = 0.999 szignifikancia szintet, és λ = 3 esetén pedig n = 25-nél. Ellenőrizve a kapott eredményeinket a Monte - Carlo szimulációval, a következőket kaptam. λ Szimuláció szám VaR SE t (sec) 1k 14.973 0.0470 0.8 1 10k 15.045 0.0152 8.8 100k 15.0257 0.0048 104.4 1k 26.483 0.0701 1.4 3 10k 26.503 0.0212 12.8 100k 26.493 0.0067 128.4 A Monte - Carlo szimuláció természetesen pontosabb eredményt ad a VaR értékére, de ez milliós nagyságrendben nem is fontos. λ = 1 esetben a Panjer rekurziónk 15 milliós VaR-t adott eredményül, a szimulációval pedig, ha a legpontosabbat nézzük, 15.025-öt. Ez milliós nagyságrendben 25 000 forint, ami elenyésző összeg az egész kockáztatott értékhez képest. λ = 3 esetén már kicsit más a helyzet. Az eredmény javítható ha a lehetséges veszteségeket nem 1 milliós, hanem példul 1 milliós intervallumonként adjuk 2 meg, természetesen a hozzájuk tartozó valószínűséggel. 38

6. FEJEZET Módszerek tesztelése Nézzük most meg a 4.5-ös szakaszban leírtak szerint a VaR alakulását. A veszteségek frekvenciája továbbra is Poisson - eloszlású, de az eloszlás paramétere Γ(α, β) eloszlású valószínűségi változó. Ez esetben a rekurziónk ( min(r,n) C n+1 = 1 b 0 (n+1) i=0 a i C n i min(s,n) j=1 b j (n + 1 j)c n+1 j z ). n és ( C 0 = β β+1 ) α illetve αp (z) = A(z). β+1 P (z) B(z) Az ezen fejezet elején megadott veszteség generátorfüggvény alapján 3 a k z k = a 0 z 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 = 0.25 + 2 0.25 z 1 + 3 0.25z 2 + 4 0.25z 3 k=0 4 b k z k = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b 3 z 3 + b 4 z 4 = (β + 1) 0.25z 1 0.25z 2 0.25z 3 0.25z 4 k=0 Nézzük például α = β = 1-re. Ez esetben a következő eredményeket kaptam. A Panjer rekurzió alapján a VaR értéke 25 millió forint. Illetve a futási ideje ismét csak a másodperc töredéke 0.000171 másodperc. A Monte - Carlo szimuláció 10 000 lépésszám után 25,39-ad eredményül. 39

7. fejezet Összefoglaló Dolgozatom 1. fejezetében definiáltam a kockázat fogalmát, illetve annak mérőszámait. Főbb hagsúlyt fektetve a kockázatott érték, azaz a VaR definiálására. Ugyanis dolgozatom további részeiben, szakdolgozatom címének hűen, a kockáztatott érték számításának módszereivel foglalkoztam. Dolgozatom két nagyobb részre osztható, folytonos illetve diszkrét veszteség eloszlások eseteire. Folytonos esetben a viszonylag könnyen számolható veszteség eloszlások Laplace - transzformáltjának inverzének kiszámítására mutattam be két numerikus algoritmust, névszerint az Euler és a Post-Widder algoritmusokat. Diszkrét veszteség eloszlás esetén, pedig a Panjer rekurzióval foglalkoztam, mely tulajdonképpen egy gyors rekurzió a kockáztatott érték meghatározására. Végül a jól ismert Monte - Carlo szimuláció is bekerült a dolgozatomba, mely jelen esetben inkább ellenőrzéseként szerepelt az előző két módszer eredményeinek. Dolgozatom végén konkrét példákon teszteltem az említett módszereket. A 6. fejezet táblázataiból kiderül, hogy bár sok esetben az egyetlen megoldás a Monte - Carlo szimuláció a VaR értékének meghatározására, vagy akár egy opció árának meghatározására, ha a Laplace - transzformáltunk viszonylag egyszerű alakban megadható, akkor például az általam bemutatott két algoritmussal hatékonyabbak lehetünk mint a szimulációval. Diszkrét veszteség eloszlások esetén ugyanez a helyzet. Itt a rekurzió a másodperc töredéke alatt ad elfogadható eredményt a VaR értékére, míg a szimuláció nagyságrendekben lassabb, de cserébe pontosabb is. Ez utóbbi módszer konkrétan, ha a veszteségek frekvenciája Poisson - eloszlású és paramétere Γ eloszlást követ, a biztosítás matematika Credit Risk plus modell néven ismeri és alkalmazza. Dolgozatom függelékében az általam írt, és munkám során felhasznált Matlab programkódokat tettem közzé. 40

8. fejezet Matlab kódok 1 f u n c t i o n E = e u l e r k e ( t ) 2 m = 1 1 ; 3 n = 1 5 ; 4 E = 0 ; 5 f o r k = 0 :m 6 E = E + nchoosek (m, k ) 2^( m) s s s ( ( n+k ), t ) ; 7 end 8 end 1 f u n c t i o n s s s = s s s ( n, t ) ; 2 A = 1 8. 4 ; 3 s s s = 0 ; 4 f o r k = 1 : n 5 s s s = s s s + ( 1) ^k r e a l ( L l o s s ( ( ( A+2 k pi i ). / ( 2 t ) ) ) ) ; 6 end 7 s s s = ( ( exp (A/ 2 ) ). / ( 2 t ) ) r e a l ( L l o s s (A. / ( 2 t ) ) ) +( exp (A/ 2 ). / t ) s s s ; 8 end 41