Térgörbék (R R 3 függvények) Síkgörbék (R R 2 függvények) Felületek (R 2 R 3 függvények)

Hasonló dokumentumok
A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az anyagi pont mozgásának jellemzőit.

. Vonatkoztatási rendszer z pálya

Atomfizika előadás Szeptember 29. 5vös 5km szeptember óra

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

) négydimenziós eseményekre felírt

Atomfizika előadás 4. Elektromágneses sugárzás október 1.

3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)

Felkészítő feladatok a 2. zárthelyire

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Matematika III előadás

A Lorentz transzformáció néhány következménye

5. Szerkezetek méretezése

Dierenciálgeometria feladatsor

Fourier-sorok konvergenciájáról

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

GÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK

5. Differenciálegyenlet rendszerek

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

Elektromágneses hullámok

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Inverz függvények Inverz függvények / 26

8. Optikai áramlás és követés

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Acélszerkezeti mintapéldák az Eurocode szabványhoz,

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

3. ábra nem periodikus, változó jel 4. ábra periodikusan változó jel

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

Tóth András. Kísérleti Fizika I.

mateking.hu -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész V

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

Feladatok Oktatási segédanyag

Matematika A1a Analízis

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok

) (11.17) 11.2 Rácsos tartók párhuzamos övekkel

HF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és

Az összetett hajlítás képleteiről

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

8. előadás Ultrarövid impulzusok mérése - autokorreláció

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése

A kúpszeletekről - V.

Többváltozós, valós értékű függvények

Matematika. Kocsis Imre. TERC Kft. Budapest, 2013

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 7.

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Mechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30

Matematika III előadás

Ezért A ortogonális transzformációval diagonalizálható, vagyis létezik olyan S ortogonális transzformáció,

Bevezetés. Vizsgálati módszerének vázlata: kísérleti. fizika. fizikai mennyiségek MEGFIGYELÉS, KÍSÉRLET. ellenőrzés összefüggések

SZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Térgörbék

Gyakorló feladatok a 2. zárthelyihez. Kidolgozott feladatok

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

2. Koordináta-transzformációk

= és a kínálati függvény pedig p = 60

7. Kétváltozós függvények

Kvadratikus alakok gyakorlás.

Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .

Többváltozós, valós értékű függvények

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

Képlékenyalakítás elméleti alapjai. Feszültségi állapot. Dr. Krállics György

1. Lineáris transzformáció

A talajok összenyomódásának vizsgálata

Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

l = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 )

Matematika A3 HÁZI FELADAT megoldások Vektoranalízis

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI. minimum tételek szóbeli vizsgához. Powered by Beecy

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR


VI. Deriválható függvények tulajdonságai

Fizika A2E, 1. feladatsor

3D-s számítógépes geometria

Telítetlen közegben történő szivárgás és anyagtranszport numerikus vizsgálata. T OTKA kutatás szakmai zárójelentése

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

László István, Fizika A2 (Budapest, 2013) Előadás


hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

Fizika A2E, 5. feladatsor

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

ö ő ö ö ő ő ő ő ö ú ő ü ü ő ő ő ő ö ö ő ö ő ü ő ö ő ő ö ö ö ő ü ö ő ő ő ő ő ö ő ő ő ő ő ő

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű Ö ű Ü Ó ű

ű ú ú ű ú ú ú Ó ú ú ű ú ű ű ű ű ű Ó ű


sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

Másodfokú függvények

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Átírás:

Vekoranalíis Térgörbék (R R függének Síkgörbék (R R függének Felüleek (R R függének A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis R R ípusú függének (érgörbék A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r( ( ( ( függén (érgörbe koordináafüggénei a,, : R R egáloós, alós érékű függének. A koordináafüggének érékei adják a függénérékek koordináái. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 4 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r( ( ( függén (síkgörbe koordináafüggénei a, : R R egáloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 5 Példa Térbeli egenes előállíása R R függénnel A r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, iránekorú egenes állíja elő a köekeő függén: r( r, R Megjegés A paraméerérékek és a egenes ponjai köö kölcsönösen egérelmű megfeleleés jelen a feni függénkapcsola. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 A egenes előállíása koordináafüggénekkel: Legen ( (, R ( r r( r r Ekkor a feni ekorfüggén koordináafüggénei:

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 7 Ekkor a egenes: ( 4 ( 5, R ( A egenes néhán ponja: Példa 5 4 r( 5 r 4 5 r( 5 r( 8 r(

Vekoranalíis 8 R R ípusú függének (felüleek A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 9 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r(u, (u, (u, (u, függén (érgörbe koordináafüggénei a,, : R R kéáloós, alós érékű függének. A koordináafüggének érékei adják a függénérékek koordináái. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis Példa Sík előállíása R R függénnel Ado r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, ado a és a b ekorokkal párhuamos síko állíja elő a köekeő függén (a és b nem lehe párhuamos: r(u, r u a b, (u, R A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis A sík előállíása koordináafüggénekkel: legen (u, a u b (u, a u b, (u, R (u, a u b r u b u a b u a b u a r(u, (u, r r a a a a Ekkor a feni ekorfüggén koordináafüggénei: b b b b

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis Legen (u, 4 u (u, 5 u, (u, R (u, u 7 A sík néhán ponja: Példa 7 u u 5 u 4 r(u, 5 r 4 a 7 b Ekkor a síko előállíó függén: 5 r(, 8 6 8 r(, 9, r(

Vekoranalíis Megjegés Sík normálekoros előállíása Ado r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, ado n normálekorú sík egenlee: ( r -r n (A jel a skaláris sorás jelöli. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 4 Legen r (,,, r (,,, n (A,B,C Ekkor a feni egenle: ( r -r n ( (,, - (,, (A,B,C (-, -, - (A,B,C A(- B(- C(- A B C (-A -B -C A B C D A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 A(- B(- C(- formula a sík álalános egenlee. A áloók egühaói a sík eg normálekorának koordináái. A álalános egenlee elosa a n(a,b,c normálekor hossáal a sík normál egenleé kapjuk: a(- b(- c(- ahol C B A A a C B A B b C B A D d C B A C c

Vekoranalíis 6 Megjegés A normál egenle eg ulajdonsága: a pon áolsága a P ( p, p, p a(- b(- c(- normál egenleű S síkól: d(p,s a ( p - b ( p - c ( p - A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 7 Megjegés Kapcsola eg sík állásá meghaároó adaai (és íg köee a kéféle egenlee köö: Ha a és b eg síkkal párhuamos ekorok (de egmással nem párhuamosak, akkor a b a sík normálekora. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 8 Példa Egenesek söge egenlő a iránekoraik sögéel. Sögfeladaok Síkok söge egenlő a normálekoraik sögéel. Egenes és sík söge a egenes iránekorának és a sík normálekorának sögéből sámíhaó. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 9 Példa Táolságfeladaok A d(p,e áolság kisámíása: A d(p,s áolság kisámíása: T ABP d(a, B d(p, e d(p, e T ABP d(a, B V ABCP d(p,s T ABC d(p,s T V ABCP ABC A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis A R R ípusú függének differenciálása Definíció: differenciálhánados A r( ( ( ( függén differenciálhaó a [a,b] helen, ha a koordináafüggénei differenciálhaók a helen. Ha a r:[a,b] R differenciálhaó a helen, akkor a differenciálhánadosa: ( r ( ( ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis A R R ípusú függének differenciálása Definíció: differenciálhánados A r( ( ( függén differenciálhaó a [a,b] helen, ha a koordináafüggénei differenciálhaók a helen. Ha a r:[a,b] R differenciálhaó a helen, akkor a differenciálhánadosa: r ( ( ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis Megjegés A paraméer (fiikában a idő serini deriálaka esső hele álalában ponal jelöljük: r ( r( & ( & ( & ( & A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis A differenciálhánados geomeriai és fiikai jelenése ( r( & Eg R R ípusú függén differenciálhánadosának geomeriai jelenése: érinő ekor. Ha a r( függén eg mogó pon hel-idő függéne, akkor a differenciálhánados ekor ado időponban érénes pillanani sebesség. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 4 Példa 4 r( 5 7 6 r&( 7 6 r& ( r( & 96 6 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 5 Definíció: érinő egenes Differenciálhaó érgörbe érinő egenese: r( e( r( r( & ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 6 Példa r( 4 5 7 6 Haárouk meg a érinő egenes a helen, és ennek felhasnálásáal adjunk becslés a r(,9 függénérékre! r( 48 6 4 96 r&( 4 6 48 96 e(,9 6 4 (,7 4 6 48 96 e( 6 4 ( 4 6 48 6,7 6,98 4,4 4,8 5, 4,4 44 96 4 6 6 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 7 Példa Tekinsünk a a síkbeli mogás, melnek hel-idő függéne: cos5 r( sin 5 Megjegés r( 9cos 5 9sin 5 A mogás pálája a origó köépponú, egség sugarú kör. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 8 r( cos5 sin 5 A sebesség-idő függén: r&( ( 5sin 5 5cos5 A pillanani sebesség a π/, időponban: π π 5sin 5 π 5cos5 5 5, 7,5 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 9 Megjegés 5sin 5 5cos 5 5 A sebesség nagsága állandó ehá i eg egenlees körmogásról an só, 5 egség nagságú sebességgel. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis Differenciálhaó érgörbék néhán ponbeli jellemője Definíció: érinő egségekor r( & r( & A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis Megjegés: érgörbe íhoss-paraméeres előállíása Ado érgörbének esőleges sámú előállíása léeik R R ípusú függén segíségéel. A különböő előállíásokban álalában különböik eg ado görbeponho aroó érinőekor hossa. E eg mogó pon helidő függéne eseén uganaon pála különböő sebességgel aló befuásának felel meg a fiikában. Differenciálhaó érgörbe eseén a a előállíás, melnél a érinőekor hossa bármel ponban egségni, íhossparaméeres előállíásnak neeük. E a pála egségni nagságú sebességgel aló befuásának felel meg a fiikában. A íhoss-paraméeres előállíás elneeés onnan ered, hog ekkor Ebben a előállíásban a paraméer hele s-sel sokás jelölni. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis Definíció: binormális egségekor b r( & && r( felée, hog r& ( & r( r( & && r( Definíció: főnormális egségekor n b A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis Definíció: kísérő riéder A érinő, a főnormális és a binormális egségekorok a görbe bármel ponjában (ahol nem űnnek el oronormál ekorrendser alkonak. A (e,n,b hármas a görbe kísérő riéderének neeük. A görbék isgálaában a kísérő riéder koordináarendser alapeő fonosságú. álal meghaároo A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 4 Definíció: simulósík A és n ekorok álal kifesíe sík a görbe simulósíkja. Definíció: normális sík A n és b ekorok álal kifesíe sík a görbe normális síkja. Definíció: rekifikáló sík A és b ekorok álal kifesíe sík a görbe rekifikáló síkja. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 5 Definíció: görbüle A, hog eg görbe eg ado helen mennire ér el a egenesől a görbüleel mérjük. A görbüle a érinő ekor iránának megáloásáal függ össe. Ha a görbe késer differenciálhaó és a első deriálja nem űnik el, akkor a görbüle: κ( r( & && r( r( & Megjegések Egenes görbülee nulla. Kör görbüleének nagsága a sugár reciproka. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 6 Definíció: orió A, hog eg görbe mennire csaarodik a orióal mérjük. A orió a binormális ekor iránának áloásáal függ össe: a görbe mennire ér el a simulósíkjáól. Ha a görbe háromsor differenciálhaó és a első és a második deriálak ekori soraa nem űnik el, akkor a orió: τ( r(r( & && &&& r ( r( & && r( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 7 Megjegés Síkgörbe a sajá simulósíkjában an, íg a oriója nulla. A állíás megfordíása is iga, íg a orió elűnése a síkgörbék jellemője: Eg háromsor differenciálhaó görbe ponosan akkor síkgörbe, ha a oriója nulla. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 8 Térgörbe íhossa Eg differenciálhaó ((,(,( görbe [, ] paraméer sakasáho aroó darabjának íhossa: s r& d & ( & ( & (d Vegük ésre a analógiá aal, ahogan a sebesség nagságából sámíjuk a mege ua: ha a ( függén adja a mogó pon sebességének nagságá, akkor a [, ] időaram ala mege ú s (d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 9 Példa r( r&( s & ( & ( & (d s 9 4 d 4 d d d sh u chu du ch u du shu d shu chu du u arsh A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 4 ch u du (chu 4 du 4 shu u sh arsh arsh 8 4 sh arsh ch arsh arsh 8 4 sh arsh arsh 4 4 4 arsh 4 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 4 arsh 4 4 d s arsh 4 4 d arsh 4 4

Vekoranalíis 4 Síkgörbék differenciálásáal kapcsolaos megjegések Eg ((,( síkgörbe isgálaakor sükség lehe a és a kapcsolaá leíró jellemőkre: '( d d "( d d miel a síkgörbék jellemői megadó sámos formula (pl. érinő egenlee, érinési paraméerek, simulókör, görbüle eeke a érékeke araralmaa. Eek a differenciálhánadosok kisámíhaók a ( és a ( függének deriáljaial a köekeők serin: A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 4 Ha ( deriálja nem űnik el eg ado helen, akkor o '( "( d d d d ( & ( & & (( & && (( & ( ( & & ( &( && ( && ( d d d d d d d d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 44 Vekormeők (R R függének A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 45 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú (,, (,, (,, (,, függén (ekormeő koordináafüggénei a,, : R R háromáloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 46 Definíció: R R ípusú lineáris függének A f (,, A a a a a a a a a a alakú függéneke, ahol A eg ( ípusú mári, R R ípusú lineáris függéneknek neeük. A A mári a f függén mária. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 47 Definíció: differenciálhánados A :D( R R függén differenciálhaó a D érelmeési aromán eg r belső ponjában, ha an olan K R, melre K r h r ahol lim r r h r r r Ekkor a A függén a f függén P helen e differenciálhánadosának neeük. Jelölése: K A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 48 A Δ r r Δ r jelölésekkel a differenciálhánados definiáló össefüggés: Δ K Δr h( Δr ahol lim Δr h( Δr Δr A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 49 A differenciálhánados mária a koordináa-függének parciális deriáljaiból áll: Téel

Vekoranalíis 5 Definíció: differenciál Ha a :D( R R függén differenciálhaó a r ponban, akkor a függén r ponbeli, -he aroó differenciálja: Definíció: lineáris köelíés r Δr Ha a :D( R R függén differenciálhaó a r ponban, akkor a függén r ponbeli lineáris köelíése: r Δ Δr aag: r A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 5 Példa (,, 4 6 haárouk meg a függén differenciálhánadosá; írjuk fel a lineáris köelíés a r 4 helen;, sámoljuk ki a f függén köelíő éréké a r,8, helen! A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 6 4 4 6 4 4 r 6 4 A lineáris köelíés formulája: -r 4 6 4 6 6 4 6 6 4

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 (. 4.8. 6 4 6 6,,8, r 4 6 4 6 6.8 6.6 9.5..6.5 4 6 6... 6 4 6 6,,8, r

Vekoranalíis 54 Megjegés Ado ekormeő (pl. sebességér a áramló foladékban, érerőség a elekromos erőérben eseén a differenciálhánados máriának elemei függenek a koordináarendser megálasásáól. A alábbiakban ké olan jellemő adunk meg, melek a differenciálhánados mári elemeiből sámíhaók, de inariánsak a koordináarendser megáloaásáal semben, és köelen fiikai aralommal bírnak. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 55 Definíció: ekormeő diergenciája di Megjegések. A diergencia egenlő a differenciálhánados mári főálójában léő elemek össegéel.. A diergencia a forrásossággáal függ össe: eg ekormeő forrásmenes, ha a diergenciája. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 56 Példa 6 6 4 4 6 4 6 5 4 ( r,, 6 di 4 di

Vekoranalíis 57 Megjegés A di lim ΔV V r A df ΔV ΔV ahol A a r pono aralmaó aromán haároló felüle, ΔV. a aromán érfogaa. A fdf A A ár felülere onakoó áramsűrűség. Ennek éréke akkor különböik -ól, ha a aromán belsejében forrás ag nelő an: a beáramlás és a kiáramlás méréke különböik. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 58 Megjegés A diergencia jelenése (légüres elekrosaikus érben: ε ( ( ρ die r r ahol ρ a (érfogai öléssűrűség, ε a elekromos permiiiás. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 59 k j i de ro Definíció: ekormeő roációja Könnebben megjegeheő forma: A roáció a örénességgel függ össe: eg ekormeő örénmenes, ha a roációja. A deermináns formális kifejéséel a roáció feni képleé kapjuk. ro Megjegés

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 Példa k j i de ro 6 6 4 4 6 5 4 4 6 ro ro

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 Példa 6 6 4 4 6 4 6 5 4 r 4 6 4 6 ro ro 4 6 ro

Vekoranalíis 6 Megjegés n ro f lim ΔA G r G fdr ΔA ahol ΔA a pono aralmaó felüledarab felsíne, G a felüledarabo haároló ár görbe. G fdr Cirkuláció a G ár görbe menén. (Koneraí erőér eseén bármel ár görbére. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 6 Jelölés: nabla operáor (,, A nabla operáor segíségéel röiden felírhaók a differenciál operáorok: di ro (,, ro i de j k A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 64 Megjegések A diergencia és a roáció megjelenik a elekromágneses ér jellemői köi össefüggéseke megadó Mawell egenleek differenciális alakjában: D ro H J B ro E di D ρ di B E: elekromos érerősség ekor D: dielekromos elolódás ekor H: mágneses érerősség ekor B: mágnese indukció ekor J: áramsűrűség ekor ρ: elekromos öléssűrűség A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 65 Vekormeő görbemeni inegrálja Folonos r ekormeő görbemeni inegrálja a differenciálhaó G: r(, görbeíen: dr ( G r( & d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 66 Példa 5 4 r( 4 6 r&( G dr ( r( & d ( 4 4 4 - - 6,(4 6,5 6 ( -,, d ( 4 5-4 6 48 4 5 6 d ( 5 4 4 8 54 d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 67 ( 4 5 d 54 8 4 4 5 6 54 4 8 5 6 4 86,8 54 4 8 5 6 4

Vekoranalíis 68 Példa r( cos sin π r&( sin cos G dr π ( r( & d ( cos sin,,sin ( - sin, cos, d π ( -sin cos sin cos sin d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 69 Vekormeő felülemeni inegrálja Folonos r ekormeő görbemeni inegrálja a differenciálhaó F: (u, r(u,, (u, D felüledarabon D df D (u, r(u, u r(u, dud A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 7 Példa 6 r(u, u u 5 u, r(u, u u r(u, u r i j k (u, r(u, de u (, u,u u u A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 7 6 r(u, u u 5 r (u, r(u, (, u,u u D df D (u, r(u, u r(u, dud u u ( ( u 5,u 5,6u, u,u dud ( u 5 u 6u u 6u u 8u dud A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 7 u u ( u 5 u 6u u 6u u 8u dud ( u u (9u (u u 5 d du ( u u (9u (u u 5 u du u u u (9u 7 (u u 5 du A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 7 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 74 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 75 A R n R m ípusú függének differenciálása Definíció: koordináafüggének A R n R m ípusú f ( f f f m ( ( M ( (,,..., n függén koordináafüggénei a f,f,, f m : R n R n áloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 76 Definíció: R n R m ípusú lineáris függének A f (,,..., n A M n alakú függéneke, ahol A eg (m n ípusú mári, R n R m ípusú lineáris függéneknek neeük. A A mári a f függén mária. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 77 Definíció: differenciálhánados A f:d( R n R m függén differenciálhaó a D érelmeési aromán belső ponjában, ha an olan A:R n R m lineáris függén, melre lim f ( f ( A( Ekkor a A függén a f függén P helen e differenciálhánadosának neeük. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

Vekoranalíis 78 A differenciálhánados mária a koordináafüggének parciális deriáljaiból áll: f ( f f m ( M ( K K n n f f m ( M ( Megjegés A differenciálhánados márinak anni sora an, ahán dimeniós a érékkésle, és anni oslopa an, ahán áloós a függén (ahán dimaniós a érelmeési aromán. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!

A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 79 R R ípusú függének (három áloós függének skalármeők ( f, f, f grad f ' f R R ípusú függének (érgörbék ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f A differenciálhánados mária speciális eseekben: f f f f f f f f f f R R ípusú függének (ekormeők

Vekoranalíis 8 Definíció: differenciál Ha a f:d( R n R m függén differenciálhaó a ponban, akkor a f függén ponbeli, he aroó differenciálja: f ( (- f ( Δ. Definíció: lineáris köelíés Ha a f:d( R n R m függén differenciálhaó a ponban, akkor a f függén ponbeli lineáris köelíése: f( f( f ( (- f( f ( Δ, aag: Δf f( - f( f ( Δ. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!