Vekoranalíis Térgörbék (R R függének Síkgörbék (R R függének Felüleek (R R függének A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis R R ípusú függének (érgörbék A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r( ( ( ( függén (érgörbe koordináafüggénei a,, : R R egáloós, alós érékű függének. A koordináafüggének érékei adják a függénérékek koordináái. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 4 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r( ( ( függén (síkgörbe koordináafüggénei a, : R R egáloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 5 Példa Térbeli egenes előállíása R R függénnel A r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, iránekorú egenes állíja elő a köekeő függén: r( r, R Megjegés A paraméerérékek és a egenes ponjai köö kölcsönösen egérelmű megfeleleés jelen a feni függénkapcsola. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 A egenes előállíása koordináafüggénekkel: Legen ( (, R ( r r( r r Ekkor a feni ekorfüggén koordináafüggénei:
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 7 Ekkor a egenes: ( 4 ( 5, R ( A egenes néhán ponja: Példa 5 4 r( 5 r 4 5 r( 5 r( 8 r(
Vekoranalíis 8 R R ípusú függének (felüleek A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 9 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r(u, (u, (u, (u, függén (érgörbe koordináafüggénei a,, : R R kéáloós, alós érékű függének. A koordináafüggének érékei adják a függénérékek koordináái. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis Példa Sík előállíása R R függénnel Ado r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, ado a és a b ekorokkal párhuamos síko állíja elő a köekeő függén (a és b nem lehe párhuamos: r(u, r u a b, (u, R A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis A sík előállíása koordináafüggénekkel: legen (u, a u b (u, a u b, (u, R (u, a u b r u b u a b u a b u a r(u, (u, r r a a a a Ekkor a feni ekorfüggén koordináafüggénei: b b b b
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis Legen (u, 4 u (u, 5 u, (u, R (u, u 7 A sík néhán ponja: Példa 7 u u 5 u 4 r(u, 5 r 4 a 7 b Ekkor a síko előállíó függén: 5 r(, 8 6 8 r(, 9, r(
Vekoranalíis Megjegés Sík normálekoros előállíása Ado r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, ado n normálekorú sík egenlee: ( r -r n (A jel a skaláris sorás jelöli. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 4 Legen r (,,, r (,,, n (A,B,C Ekkor a feni egenle: ( r -r n ( (,, - (,, (A,B,C (-, -, - (A,B,C A(- B(- C(- A B C (-A -B -C A B C D A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 A(- B(- C(- formula a sík álalános egenlee. A áloók egühaói a sík eg normálekorának koordináái. A álalános egenlee elosa a n(a,b,c normálekor hossáal a sík normál egenleé kapjuk: a(- b(- c(- ahol C B A A a C B A B b C B A D d C B A C c
Vekoranalíis 6 Megjegés A normál egenle eg ulajdonsága: a pon áolsága a P ( p, p, p a(- b(- c(- normál egenleű S síkól: d(p,s a ( p - b ( p - c ( p - A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 7 Megjegés Kapcsola eg sík állásá meghaároó adaai (és íg köee a kéféle egenlee köö: Ha a és b eg síkkal párhuamos ekorok (de egmással nem párhuamosak, akkor a b a sík normálekora. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 8 Példa Egenesek söge egenlő a iránekoraik sögéel. Sögfeladaok Síkok söge egenlő a normálekoraik sögéel. Egenes és sík söge a egenes iránekorának és a sík normálekorának sögéből sámíhaó. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 9 Példa Táolságfeladaok A d(p,e áolság kisámíása: A d(p,s áolság kisámíása: T ABP d(a, B d(p, e d(p, e T ABP d(a, B V ABCP d(p,s T ABC d(p,s T V ABCP ABC A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis A R R ípusú függének differenciálása Definíció: differenciálhánados A r( ( ( ( függén differenciálhaó a [a,b] helen, ha a koordináafüggénei differenciálhaók a helen. Ha a r:[a,b] R differenciálhaó a helen, akkor a differenciálhánadosa: ( r ( ( ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis A R R ípusú függének differenciálása Definíció: differenciálhánados A r( ( ( függén differenciálhaó a [a,b] helen, ha a koordináafüggénei differenciálhaók a helen. Ha a r:[a,b] R differenciálhaó a helen, akkor a differenciálhánadosa: r ( ( ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis Megjegés A paraméer (fiikában a idő serini deriálaka esső hele álalában ponal jelöljük: r ( r( & ( & ( & ( & A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis A differenciálhánados geomeriai és fiikai jelenése ( r( & Eg R R ípusú függén differenciálhánadosának geomeriai jelenése: érinő ekor. Ha a r( függén eg mogó pon hel-idő függéne, akkor a differenciálhánados ekor ado időponban érénes pillanani sebesség. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 4 Példa 4 r( 5 7 6 r&( 7 6 r& ( r( & 96 6 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 5 Definíció: érinő egenes Differenciálhaó érgörbe érinő egenese: r( e( r( r( & ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 6 Példa r( 4 5 7 6 Haárouk meg a érinő egenes a helen, és ennek felhasnálásáal adjunk becslés a r(,9 függénérékre! r( 48 6 4 96 r&( 4 6 48 96 e(,9 6 4 (,7 4 6 48 96 e( 6 4 ( 4 6 48 6,7 6,98 4,4 4,8 5, 4,4 44 96 4 6 6 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 7 Példa Tekinsünk a a síkbeli mogás, melnek hel-idő függéne: cos5 r( sin 5 Megjegés r( 9cos 5 9sin 5 A mogás pálája a origó köépponú, egség sugarú kör. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 8 r( cos5 sin 5 A sebesség-idő függén: r&( ( 5sin 5 5cos5 A pillanani sebesség a π/, időponban: π π 5sin 5 π 5cos5 5 5, 7,5 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 9 Megjegés 5sin 5 5cos 5 5 A sebesség nagsága állandó ehá i eg egenlees körmogásról an só, 5 egség nagságú sebességgel. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis Differenciálhaó érgörbék néhán ponbeli jellemője Definíció: érinő egségekor r( & r( & A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis Megjegés: érgörbe íhoss-paraméeres előállíása Ado érgörbének esőleges sámú előállíása léeik R R ípusú függén segíségéel. A különböő előállíásokban álalában különböik eg ado görbeponho aroó érinőekor hossa. E eg mogó pon helidő függéne eseén uganaon pála különböő sebességgel aló befuásának felel meg a fiikában. Differenciálhaó érgörbe eseén a a előállíás, melnél a érinőekor hossa bármel ponban egségni, íhossparaméeres előállíásnak neeük. E a pála egségni nagságú sebességgel aló befuásának felel meg a fiikában. A íhoss-paraméeres előállíás elneeés onnan ered, hog ekkor Ebben a előállíásban a paraméer hele s-sel sokás jelölni. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis Definíció: binormális egségekor b r( & && r( felée, hog r& ( & r( r( & && r( Definíció: főnormális egségekor n b A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis Definíció: kísérő riéder A érinő, a főnormális és a binormális egségekorok a görbe bármel ponjában (ahol nem űnnek el oronormál ekorrendser alkonak. A (e,n,b hármas a görbe kísérő riéderének neeük. A görbék isgálaában a kísérő riéder koordináarendser alapeő fonosságú. álal meghaároo A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 4 Definíció: simulósík A és n ekorok álal kifesíe sík a görbe simulósíkja. Definíció: normális sík A n és b ekorok álal kifesíe sík a görbe normális síkja. Definíció: rekifikáló sík A és b ekorok álal kifesíe sík a görbe rekifikáló síkja. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 5 Definíció: görbüle A, hog eg görbe eg ado helen mennire ér el a egenesől a görbüleel mérjük. A görbüle a érinő ekor iránának megáloásáal függ össe. Ha a görbe késer differenciálhaó és a első deriálja nem űnik el, akkor a görbüle: κ( r( & && r( r( & Megjegések Egenes görbülee nulla. Kör görbüleének nagsága a sugár reciproka. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 6 Definíció: orió A, hog eg görbe mennire csaarodik a orióal mérjük. A orió a binormális ekor iránának áloásáal függ össe: a görbe mennire ér el a simulósíkjáól. Ha a görbe háromsor differenciálhaó és a első és a második deriálak ekori soraa nem űnik el, akkor a orió: τ( r(r( & && &&& r ( r( & && r( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 7 Megjegés Síkgörbe a sajá simulósíkjában an, íg a oriója nulla. A állíás megfordíása is iga, íg a orió elűnése a síkgörbék jellemője: Eg háromsor differenciálhaó görbe ponosan akkor síkgörbe, ha a oriója nulla. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 8 Térgörbe íhossa Eg differenciálhaó ((,(,( görbe [, ] paraméer sakasáho aroó darabjának íhossa: s r& d & ( & ( & (d Vegük ésre a analógiá aal, ahogan a sebesség nagságából sámíjuk a mege ua: ha a ( függén adja a mogó pon sebességének nagságá, akkor a [, ] időaram ala mege ú s (d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 9 Példa r( r&( s & ( & ( & (d s 9 4 d 4 d d d sh u chu du ch u du shu d shu chu du u arsh A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 4 ch u du (chu 4 du 4 shu u sh arsh arsh 8 4 sh arsh ch arsh arsh 8 4 sh arsh arsh 4 4 4 arsh 4 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 4 arsh 4 4 d s arsh 4 4 d arsh 4 4
Vekoranalíis 4 Síkgörbék differenciálásáal kapcsolaos megjegések Eg ((,( síkgörbe isgálaakor sükség lehe a és a kapcsolaá leíró jellemőkre: '( d d "( d d miel a síkgörbék jellemői megadó sámos formula (pl. érinő egenlee, érinési paraméerek, simulókör, görbüle eeke a érékeke araralmaa. Eek a differenciálhánadosok kisámíhaók a ( és a ( függének deriáljaial a köekeők serin: A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 4 Ha ( deriálja nem űnik el eg ado helen, akkor o '( "( d d d d ( & ( & & (( & && (( & ( ( & & ( &( && ( && ( d d d d d d d d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 44 Vekormeők (R R függének A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 45 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú (,, (,, (,, (,, függén (ekormeő koordináafüggénei a,, : R R háromáloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 46 Definíció: R R ípusú lineáris függének A f (,, A a a a a a a a a a alakú függéneke, ahol A eg ( ípusú mári, R R ípusú lineáris függéneknek neeük. A A mári a f függén mária. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 47 Definíció: differenciálhánados A :D( R R függén differenciálhaó a D érelmeési aromán eg r belső ponjában, ha an olan K R, melre K r h r ahol lim r r h r r r Ekkor a A függén a f függén P helen e differenciálhánadosának neeük. Jelölése: K A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 48 A Δ r r Δ r jelölésekkel a differenciálhánados definiáló össefüggés: Δ K Δr h( Δr ahol lim Δr h( Δr Δr A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 49 A differenciálhánados mária a koordináa-függének parciális deriáljaiból áll: Téel
Vekoranalíis 5 Definíció: differenciál Ha a :D( R R függén differenciálhaó a r ponban, akkor a függén r ponbeli, -he aroó differenciálja: Definíció: lineáris köelíés r Δr Ha a :D( R R függén differenciálhaó a r ponban, akkor a függén r ponbeli lineáris köelíése: r Δ Δr aag: r A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 5 Példa (,, 4 6 haárouk meg a függén differenciálhánadosá; írjuk fel a lineáris köelíés a r 4 helen;, sámoljuk ki a f függén köelíő éréké a r,8, helen! A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 6 4 4 6 4 4 r 6 4 A lineáris köelíés formulája: -r 4 6 4 6 6 4 6 6 4
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 (. 4.8. 6 4 6 6,,8, r 4 6 4 6 6.8 6.6 9.5..6.5 4 6 6... 6 4 6 6,,8, r
Vekoranalíis 54 Megjegés Ado ekormeő (pl. sebességér a áramló foladékban, érerőség a elekromos erőérben eseén a differenciálhánados máriának elemei függenek a koordináarendser megálasásáól. A alábbiakban ké olan jellemő adunk meg, melek a differenciálhánados mári elemeiből sámíhaók, de inariánsak a koordináarendser megáloaásáal semben, és köelen fiikai aralommal bírnak. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 55 Definíció: ekormeő diergenciája di Megjegések. A diergencia egenlő a differenciálhánados mári főálójában léő elemek össegéel.. A diergencia a forrásossággáal függ össe: eg ekormeő forrásmenes, ha a diergenciája. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 56 Példa 6 6 4 4 6 4 6 5 4 ( r,, 6 di 4 di
Vekoranalíis 57 Megjegés A di lim ΔV V r A df ΔV ΔV ahol A a r pono aralmaó aromán haároló felüle, ΔV. a aromán érfogaa. A fdf A A ár felülere onakoó áramsűrűség. Ennek éréke akkor különböik -ól, ha a aromán belsejében forrás ag nelő an: a beáramlás és a kiáramlás méréke különböik. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 58 Megjegés A diergencia jelenése (légüres elekrosaikus érben: ε ( ( ρ die r r ahol ρ a (érfogai öléssűrűség, ε a elekromos permiiiás. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 59 k j i de ro Definíció: ekormeő roációja Könnebben megjegeheő forma: A roáció a örénességgel függ össe: eg ekormeő örénmenes, ha a roációja. A deermináns formális kifejéséel a roáció feni képleé kapjuk. ro Megjegés
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 Példa k j i de ro 6 6 4 4 6 5 4 4 6 ro ro
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 Példa 6 6 4 4 6 4 6 5 4 r 4 6 4 6 ro ro 4 6 ro
Vekoranalíis 6 Megjegés n ro f lim ΔA G r G fdr ΔA ahol ΔA a pono aralmaó felüledarab felsíne, G a felüledarabo haároló ár görbe. G fdr Cirkuláció a G ár görbe menén. (Koneraí erőér eseén bármel ár görbére. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 6 Jelölés: nabla operáor (,, A nabla operáor segíségéel röiden felírhaók a differenciál operáorok: di ro (,, ro i de j k A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 64 Megjegések A diergencia és a roáció megjelenik a elekromágneses ér jellemői köi össefüggéseke megadó Mawell egenleek differenciális alakjában: D ro H J B ro E di D ρ di B E: elekromos érerősség ekor D: dielekromos elolódás ekor H: mágneses érerősség ekor B: mágnese indukció ekor J: áramsűrűség ekor ρ: elekromos öléssűrűség A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 65 Vekormeő görbemeni inegrálja Folonos r ekormeő görbemeni inegrálja a differenciálhaó G: r(, görbeíen: dr ( G r( & d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 66 Példa 5 4 r( 4 6 r&( G dr ( r( & d ( 4 4 4 - - 6,(4 6,5 6 ( -,, d ( 4 5-4 6 48 4 5 6 d ( 5 4 4 8 54 d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 67 ( 4 5 d 54 8 4 4 5 6 54 4 8 5 6 4 86,8 54 4 8 5 6 4
Vekoranalíis 68 Példa r( cos sin π r&( sin cos G dr π ( r( & d ( cos sin,,sin ( - sin, cos, d π ( -sin cos sin cos sin d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 69 Vekormeő felülemeni inegrálja Folonos r ekormeő görbemeni inegrálja a differenciálhaó F: (u, r(u,, (u, D felüledarabon D df D (u, r(u, u r(u, dud A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 7 Példa 6 r(u, u u 5 u, r(u, u u r(u, u r i j k (u, r(u, de u (, u,u u u A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 7 6 r(u, u u 5 r (u, r(u, (, u,u u D df D (u, r(u, u r(u, dud u u ( ( u 5,u 5,6u, u,u dud ( u 5 u 6u u 6u u 8u dud A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 7 u u ( u 5 u 6u u 6u u 8u dud ( u u (9u (u u 5 d du ( u u (9u (u u 5 u du u u u (9u 7 (u u 5 du A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 7 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 74 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 75 A R n R m ípusú függének differenciálása Definíció: koordináafüggének A R n R m ípusú f ( f f f m ( ( M ( (,,..., n függén koordináafüggénei a f,f,, f m : R n R n áloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 76 Definíció: R n R m ípusú lineáris függének A f (,,..., n A M n alakú függéneke, ahol A eg (m n ípusú mári, R n R m ípusú lineáris függéneknek neeük. A A mári a f függén mária. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 77 Definíció: differenciálhánados A f:d( R n R m függén differenciálhaó a D érelmeési aromán belső ponjában, ha an olan A:R n R m lineáris függén, melre lim f ( f ( A( Ekkor a A függén a f függén P helen e differenciálhánadosának neeük. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
Vekoranalíis 78 A differenciálhánados mária a koordináafüggének parciális deriáljaiból áll: f ( f f m ( M ( K K n n f f m ( M ( Megjegés A differenciálhánados márinak anni sora an, ahán dimeniós a érékkésle, és anni oslopa an, ahán áloós a függén (ahán dimaniós a érelmeési aromán. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 79 R R ípusú függének (három áloós függének skalármeők ( f, f, f grad f ' f R R ípusú függének (érgörbék ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f A differenciálhánados mária speciális eseekben: f f f f f f f f f f R R ípusú függének (ekormeők
Vekoranalíis 8 Definíció: differenciál Ha a f:d( R n R m függén differenciálhaó a ponban, akkor a f függén ponbeli, he aroó differenciálja: f ( (- f ( Δ. Definíció: lineáris köelíés Ha a f:d( R n R m függén differenciálhaó a ponban, akkor a f függén ponbeli lineáris köelíése: f( f( f ( (- f( f ( Δ, aag: Δf f( - f( f ( Δ. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!